propagacion de incertidumbres
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SEMANA 2
Propagación de Incertidumbres:
• Suma
• Diferencia
• producto
• cociente.
• Incertidumbres independientes.
• Incertidumbre de una función
arbitraria de una variable.
Propagación de incertidumbre para
funciones de más de una variable
SUMA 𝒙 = 𝒙𝒐 ± 𝜹𝒙 𝒚 = 𝒚𝒐 ± 𝜹𝒚
Se realizan dos medidas con sus respectivas
incertidumbres:
El valor probable mas alto de
𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝜹𝒙 + 𝒚𝒐 + 𝜹𝒚
el valor más bajo
𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝜹𝒙 + 𝒚𝒐 − 𝜹𝒚
Por lo tanto la mejor estimación de 𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐
Y su incertidumbre 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚
𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 ± ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚)
En general: Si varias cantidades 𝒙, 𝒚 … … . . 𝒘 se
miden con incertidumbres 𝜹𝒙, 𝜹𝒚, … … 𝜹𝒘
𝒙 + 𝒚 + ⋯ + 𝒘 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 + ⋯ 𝒘𝒐 ± (𝜹𝒙 + 𝜹𝒚+. . 𝜹𝒘)
𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 + (𝜹𝒙 + 𝜹𝒚) 𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 − ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚)
DIFERENCIA
El valor probable mas alto de
𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝜹𝒙 − (𝒚𝒐−𝜹𝒚)
El valor más bajo
𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝜹𝒙 − (𝒚𝒐 + 𝜹𝒚)
Por lo tanto la mejor estimación de 𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝒚𝒐
Y su incertidumbre 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚
𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝒚𝒐 ± ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚)
En general: Si varias cantidades 𝒙, 𝒚 … … . . 𝒘 se
miden con incertidumbres 𝜹𝒙, 𝜹𝒚, … … 𝜹𝒘
𝒙 + 𝒚 + ⋯ − (𝒖 + ⋯ 𝒘) =
𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 + ⋯ − 𝒖𝒐 + … . 𝒘𝒐 ± (𝜹𝒙 + 𝜹𝒚+. . 𝜹𝒘)
𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝒚𝒐 + ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚) 𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝒚𝒐 − ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚)
PRODUCTO
𝒙 = 𝒙𝒐 𝟏 +𝜹𝒙
𝒙𝒐 y 𝒚 = 𝒚𝒐 𝟏 +
𝜹𝒚
𝒚𝒐
(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= 𝒙𝒐 𝟏 +𝜹𝒙
𝒙𝒐.𝒚𝒐 𝟏 +
𝜹𝒚
𝒚𝒐
(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= 𝒙𝒐𝒚𝒐 𝟏 +𝜹𝒙
𝒙𝒐. 𝟏 +
𝜹𝒚
𝒚𝒐
𝟏 +𝜹𝒙
𝒙𝒐. 𝟏 +
𝜹𝒚
𝒚𝒐 = 𝟏 +
𝜹𝒙
𝒙𝒐+
𝜹𝒚
𝒚𝒐+
𝜹𝒙
𝒙𝒐∗
𝜹𝒚
𝒚𝒐
Como 𝜹𝒙
𝒙𝒐< 𝟏 𝒚
𝜹𝒚
𝒚𝒐< 𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔
𝜹𝒙
𝒙𝒐∗
𝜹𝒚
𝒚𝒐<<<1
𝒙 = 𝒙𝒐 ± 𝜹𝒙 𝒚 = 𝒚𝒐 ± 𝜹𝒚
(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= (𝒙𝒐 + 𝜹𝒙)(𝒚𝒐 + 𝜹𝒚)
Entonces: 𝟏 +𝜹𝒙
𝒙𝒐. 𝟏 +
𝜹𝒚
𝒚𝒐= 𝟏 +
𝜹𝒙
𝒙𝒐+
𝜹𝒚
𝒚𝒐
Por lo tanto:
(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝟏 +𝜹𝒙
𝒙𝒐+
𝜹𝒚
𝒚𝒐)
(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝟏 +𝜹𝒙
𝒙𝒐+
𝜹𝒚
𝒚𝒐)
(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= 𝒙𝒐𝒚𝒐 + 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝜹𝒙
𝒚𝒐+
𝜹𝒚
𝒙)
PRODUCTO
𝒙 = 𝒙𝒐 𝟏 −𝜹𝒙
𝒙𝒐 y 𝒚 = 𝒚𝒐 𝟏 −
𝜹𝒚
𝒚𝒐
(𝒙𝒚)𝒎𝒊𝒏= 𝒙𝒐 𝟏 −𝜹𝒙
𝒙𝒐.𝒚𝒐 𝟏 −
𝜹𝒚
𝒚𝒐
(𝒙𝒚)𝒎𝒊𝒏= 𝒙𝒐𝒚𝒐 𝟏 −𝜹𝒙
𝒙𝒐. 𝟏 −
𝜹𝒚
𝒚𝒐
𝟏 −𝜹𝒙
𝒙𝒐. 𝟏 −
𝜹𝒚
𝒚𝒐 = 𝟏 −
𝜹𝒙
𝒙𝒐−
𝜹𝒚
𝒚𝒐+
𝜹𝒙
𝒙𝒐∗
𝜹𝒚
𝒚𝒐
Como 𝜹𝒙
𝒙𝒐< 𝟏 𝒚
𝜹𝒚
𝒚𝒐< 𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔
𝜹𝒙
𝒙𝒐∗
𝜹𝒚
𝒚𝒐<<<1
𝒙 = 𝒙𝒐 ± 𝜹𝒙 𝒚 = 𝒚𝒐 ± 𝜹𝒚
(𝒙𝒚)´𝒎𝒊𝒏= (𝒙𝒐 − 𝜹𝒙)(𝒚𝒐 − 𝜹𝒚)
Entonces: 𝟏 −𝜹𝒙
𝒙𝒐. 𝟏 −
𝜹𝒚
𝒚𝒐= 𝟏 −
𝜹𝒙
𝒙𝒐−
𝜹𝒚
𝒚𝒐
Por lo tanto:
(𝒙𝒚)𝒎𝒊𝒏= 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝟏 −𝜹𝒙
𝒙𝒐+
𝜹𝒚
𝒚𝒐)
(𝒙𝒚)𝒎𝒊𝒏= 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝟏 −𝜹𝒙
𝒙𝒐−
𝜹𝒚
𝒚𝒐)
(𝒙𝒚)𝒎𝒊𝒏= 𝒙𝒐𝒚𝒐 −(𝜹𝒙
𝒚𝒐+
𝜹𝒚
𝒙)
Por lo tanto
𝒙𝒚 = 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝟏 ±𝜹𝒙
𝒙𝒐+
𝜹𝒚
𝒚𝒐)
𝒙𝒚 = 𝒙𝒐𝒚𝒐 ± 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝜹𝒙
𝒙𝒐+
𝜹𝒚
𝒚𝒐)
Demostrar para el caso del cociente
Se realizan las siguientes medidas
𝐴 = 200 ± 2, 𝐵 = 5,5 ± 0,1 𝐶 = 10,0 ± 0,4
Hallar: 𝑫 =𝑨𝑩
𝑪
𝛿𝐷
𝐷=
𝛿𝐴
𝐴+
𝛿𝐵
𝐵+
𝛿𝐶
𝐶= 1 + 2 + 4 % = 7%
𝐷 = 110 ± 8
𝐷0 =200 × 5,5
10,0= 11 × 101
Error del producto por una constante
𝑺𝒆𝒂: 𝒙 = 𝒙𝒐 ± 𝜹𝒙
A= constante (no tiene incertidumbre)
Hallar 𝒒 = 𝑨𝒙 con su incertidumbre
Aplicamos la regla del producto
𝛿𝑞
𝑞≈
𝛿𝐴
𝐴+
𝛿𝑥
𝑥𝑜=
𝛿𝑥
𝑥𝑜 𝜹𝒒 = 𝒒
𝜹𝒙
𝒙𝟎
𝒒 = 𝑨𝒙𝒐 ± 𝒒𝜹𝒙
𝒙
Ejercicio: MRUV
Un móvil parte con velicidad inicial =0 y recorre (46,2 ± 0,3 )𝑚 en
(1,6 ± 0,1)𝑠, ´cuál es la aceleración del móvil si tiene un MRUV.
𝑒 =1
2𝑎𝑡2 → 𝑎 =
2𝑒
𝑡2
𝑎𝑜 =2 × 46,2
1,62= 36m/𝑠2
𝛿𝑒
𝑒=
0,3
46,2= 0,6%
𝛿𝑡
𝑡=
0,1
1,60= 6,3%
𝛿𝑎
𝑎=
𝛿𝑒
𝑒+ 2
𝛿𝑡
𝑡= 0,6% + 2(6,3%) = 13,2%
𝛿𝑎 = 36,1 ×13,2
100% = 4,77 ≈ 4,8 ≈ 5 𝑚/𝑠2
𝑎 = (36 ± 5) 𝑚/𝑠2
EN RESUMEN
• Cuando se suman o restan las cantidades medidas, las
incertidumbres se suman.
• Cuando se multiplican o dividen las cantidades medidas, las
incertidumbres fraccionarias se añaden.
• Bajo ciertas condiciones, las incertidumbres calculadas usando las
reglas anteriores pueden ser innecesariamente grandes.
• Si las incertidumbres originales son independientes y aleatorios, una
estimación más realista (y más pequeño) a la incertidumbre final está
dado por reglas similares en los que se añaden las incertidumbres (o
incertidumbres fraccionarias) en cuadratura
ERRORES INDEPENDIENTES Y ALEATORIOS
Las reglas anteriores suponen una sobreestimación del error,
puesto que siempre nos situamos en el caso más
desfavorable.
En el caso de la suma
q= 𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 ± ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚)
𝜹𝒒 ≈ 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚
Sin embargo: El máximo valor posible de q, q ±δq se alcanza
cuando nos equivocamos simultáneamente δx en x y δy en y ,
lo que es altamente improbable si las medidas son aleatorias e
independientes.
Una sobreestimación (o subestimación ) de x no viene
necesariamente acompañada de una sobreestimación (o
subestimación) de y .
Si las medidas son independientes
La hipótesis pesimista es exagerada.
Los errores se cancelan parcialmente.
Los errores se propagan cuadráticamente.
INCERTIDUMBRE DE LA SUMA Y DIFERENCIA
Supongamos que tenemos:
𝐱, 𝒚, … . 𝒘 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒖𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 𝒊𝒏𝒄𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒖𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝜹𝒙, 𝜹𝒚 … . . 𝜹𝒘
Si hallamos 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 + ⋯ 𝑧 − (𝑢 + ⋯ 𝑤)
Si las medidas son independientes, la incertidumbre de
q la suma cuadrática
𝜹𝒒 = (𝜹𝒙)𝟐+ ⋯ … . 𝜹𝒛 𝟐 + ⋯ 𝜹𝒖 𝟐+. . (𝜹𝒘)𝟐
𝛿𝑞 ≤ 𝜕𝑥 + ⋯ . 𝜕𝑧 + 𝜕𝑢 + ⋯ 𝜕𝑤
INCERTIDUMBRE DEL PRODUCTO Y COCIENTE
Supongamos que tenemos
x, 𝒚, … . 𝒘 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒖𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 𝒊𝒏𝒄𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒖𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝜹𝒙, 𝜹𝒚 … . . 𝜹𝒘
Si hallamos 𝑞 =𝑥×𝑦×⋯𝑧 𝑢×⋯×𝑤
Si las incertidumbres son independientes y aleatorias
𝜹𝒒
𝒒=
𝜹𝒙
𝒙
𝟐
+ ⋯ … .𝜹𝒛
𝒛
𝟐
+ ⋯𝜹𝒖
𝒖
𝟐
+. . (𝜹𝒘
𝒘)𝟐
𝜹𝒒
𝒒≤
𝜹𝒙
𝒙+ ⋯
𝜹𝒛
𝒛+
𝜹𝒖
𝒖+ ⋯ . .
𝜹𝒘
𝒘
Analíticamente
El error absoluto de 𝑞 es: 𝛿𝑞 =𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥𝛿𝑥
𝜹𝒒 = 𝒒 𝒙 + 𝜹𝒙 − 𝜹𝒙
Usando la aproximación de calculo:
𝒒 𝒙 + 𝒖 − 𝒒 𝒙 =𝒅𝒒
𝒅𝒙𝒖
𝜹𝒒 = 𝒒 𝒙 + 𝜹𝒙 − 𝜹𝒙 =𝒅𝒒
𝒅𝒙𝜹𝒙
Entonces
Si
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜃 = (20 ± 3) 0
𝛿𝑥 =𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑑𝜃𝛿𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝛿𝜃 = 0,34 × 0,05 = 0,02 (𝑟𝑎𝑑)
𝑐𝑜𝑠200 = 0,94
𝒙 = 𝟎, 𝟒𝟏 ± 𝟎, 𝟎𝟐
SI MEDIMOS EL ÍNDICE DE REFRACCIÓN 𝑛 =𝑠𝑒𝑛𝑖
𝑠𝑒𝑛𝑟
𝜹𝒏
𝒏=
𝜹𝒔𝒆𝒏𝒊
𝒔𝒆𝒏𝒊
𝟐
+𝜹𝒔𝒆𝒏𝒓
𝒔𝒆𝒏𝒓
𝟐
Para un ángulo 𝜃
𝜹𝒔𝒆𝒏𝜽 =𝒅(𝒔𝒆𝒏𝜽)
𝒅𝜽𝜹𝜽 = cos𝜽 𝜹𝜽
𝜹𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽= 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝜹𝜽 (𝒆𝒏 𝒓𝒂𝒅)
i (grad) r (grad) seni senr n 𝒅(𝒔𝒆𝒏𝒊)
𝒔𝒆𝒏𝒊
𝒅(𝒔𝒆𝒏𝒓)
𝒔𝒆𝒏𝒓
𝜹𝒏
𝒏
20 13 0,342 0,225 1,52 5% 8% 9%
Verificar
ERROR EN FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
Sean x, y con errores 𝜹𝒙 , 𝜹𝒚
Calcular 𝒒 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
Mediante el desarrollo en serie para el caso de varias
variables
𝒇 𝒙 + 𝜹𝒙, 𝒚 + 𝜹𝒚 = 𝒇 𝒙, 𝒚 +𝝏𝒇
𝝏𝒙𝜹𝒙 +
𝝏𝒇
𝝏𝒚𝜹𝒚 + ⋯ . .
Por lo tanto:
𝜹𝒒 = 𝒇 𝒙 + 𝜹𝒙, 𝒚 + 𝜹𝒚 − 𝒇 𝒙, 𝒚 ≈𝝏𝒇
𝝏𝒙𝜹𝒙 +
𝝏𝒇
𝝏𝒚𝜹𝒚 + ⋯ . .