Material para la exposición(PROPORCIÒN AUREA)

INTRODUCCIÒN (ANDRES)Uno de los más grandes misterios del universo es el hecho de que no sea un misterio. Somos capaces de entender y predecir su funcionamiento hasta el punto que si un hombre normal de la Edad Media fuese transportado a nuestros días pensaría que éramos magos. La razón de que hayamos tenido tanto éxito en desvelar el funcionamiento interno del universo es que hemos descubierto el lenguaje en el que parece estar escrito el libro de la naturaleza.John D. BarrowHemos titulado la charla “La Divina Proporción” podíamos haber elegido otro título distinto para hablar del mismo tema; por ejemplo “el número de oro”, “el número áureo”, “la proporción áurea”, “la estética de las proporciones”, “la sucesión de Fibonacci” , etc. . . Hay mucha bibliografía al respecto. De forma simple, la Proporción Aurea establece que lo pequeño es a lo grande como lo grande es al todo. Habitualmente esto se aplica a las proporciones entre segmentos. Esta razón ha sido venerada por toda cultura en este planeta. Podemos encontrarla en el arte, la composición musical, incluso en las proporciones de nuestro propio cuerpo, y en general en toda la Naturaleza "escondida" detrás de la secuencia de Fibonacci. algunos ejemplos de disciplinas en donde la presencia de la Proporción Aurea resultaba insospechada hasta hace poco. Este es el caso, por ejemplo, de la Física Atómica o la población de los codones del ADN del genoma humano completo.

ANTECEDENTES (MÓNICA)El origen exacto del término sección áurea es bastante incierto.Generalmente se sitúa en Alemania, en la primera mitad del S. XIX. Muchos han sido los artistas, humanistas y matemáticos que lo han tratado, aunque bajo distinto sobrenombre y con distinta disposición. Otros nombres que recibe son sección divina, sección de oro, proporción divina, proporción dorada, canon áureo, regla de oro o número de oro.Sección áurea es simplemente una proporción concreta. Esta proporción ha desempeñado un importante papel en los intentos de encontrar una explicación matemática a la belleza, de reducir ésta a un número, de encontrar “ la cifra ideal ".De esta proporción se hablaba ya desde muy antiguo, los egipcios la descubrieron buscando medidas que les permitieran dividir la tierra de forma exacta. De Egipto pasó a Grecia y de allí a Roma. Pitágoras (569 a.C.) escogió como símbolo para su Escuela la estrella pentagonal, figura geométrica que muestra en todas sus relaciones la sección áurea y se cree que a partir de esta figura llegaron a la noción de inconmensurabilidad y al conocimiento de los números inconmensurables, tales como el que ahora nos ocupa. Platón (428-347 a.C.) hace referencia a ella en el Timeo y dice “es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una ligazón entre ellas que las ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo...”.Euclides (450-380 a. C.), matemático griego, en su obra principal Elementos, extenso tratado de matemáticas sobre geometría plana, proporciones, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio, nos revela la primera fuente documental importante sobre esta sección, su cálculo y trazado geométrico. Más tarde, Vitruvio, arquitecto romano, vuelve a tratarla en sus Diez libros de arquitectura.En el periodo renacentista existen numerosos autores que retoman este canon. El monje Franciscano Luca Pacioli (1445-1514) la denominaba "divina proporción" y escribe todo un tratado (De Divina Proportione), sobre sus propiedades y proporciones, del que hablaremos más tarde. Este tratado se apoyaba en las ideas de Piero della Francesca (1420-1492), quien había expuesto en De Abaco, manual de matemáticas para comerciantes, el cálculo de proporciones. Otros artistas como Leonardo da Vinci (1452-1519) oDurero (1417-1528) hicieron especial hincapié en la relación del número áureo y las proporciones humanas y elogiaron la apariencia de armonía y equilibrio que presentan las obras creadas a partir e dicha proporción. Andrea Palladio(1508-1580), arquitecto italiano, estaba convencido de que las escalas musicales -relacionadas con la sección áurea como veremos más tarde- han de usarse como cánones de diseño arquitectónico. Uno de los últimos

renacentistas que celebraron sus virtudes fue Kepler (1517-1630), quien afirmaba: “hay dos tesoros en la geometría... uno el teorema de Pitágoras y otro la división proporcional... una joya”. 1Después esta regla divina cayó en el olvido hasta el S.XIX. En este periodo vuelve a ser puesta de relieve como principio morfológico por el alemánZeysing, quien en 1855 afirma en su Aestetische Forschungen: “Para que un todo, dividido en partes desiguales, parezca hermoso, desde el punto de vista de la forma, debe haber entre la parte menor y la mayor, la misma razón que entre la mayor y el todo”.2 En este mismo siglo, pintores como Seurat (1859-1891) o Cézanne (1839-1906) volvieron a buscar la armonía y la belleza en el arte por medio de estrictas reglas geométricas, entre ellas, la regla áurea. En la arquitectura, destacamos sin duda a Le Corbusier (1887-1965) que en su empeño de considerar a la naturaleza como encarnación de todo lo verdadero, quiere traducir las leyes que la rigen en proporciones geométricas simples y tomarlas como cánones de diseño universal, haciendo así que toda obra creada por el hombre, refleje la naturaleza misma de éste.Hoy en día son muchos los artistas que usa esta proporción para estructurar sus obras, ya sea de forma consciente e inconscientemente, debido al bagaje cultural de siglos.

FIDIAS (490-430 a. C.)

Fidias fue un escultor griego y también un matemático que ayudó a dirigir la construcción del Partenón.

Se dice que aplicó la proporción áurea al diseño de las esculturas que se encontraron en el templo.

El número de oro lleva la letra griega Φ en honor a la primera letra de su nombre ( phi).

PLATON (427-347 a. C.)

En el Timeo, Platón describió cinco posibles cuerpos regulares que, en su opinión, podían constituir la base de la estructura armoniosa del universo.

La proporción áurea determina las dimensiones y la formación de algunos de ellos.

EUCLIDES (325-265 a. C.)

En sus Elementos, Euclides formuló la primera definición que se conserva de la proporción áurea.

Este libro todavía se usa para enseñar Geometría.

Simpatizaba con la filosofía de Platón y puso como final de los Elementos la construcción de los llamados sólidos platónicos.

FIBONACCI (1170-1250)

Leonardo Pisano, Fibonacci, ideó la sucesión numérica que lleva su nombre ( 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…).

Estos números guardan una relación intrínseca con la proporción áurea.

LUCA PACIOLI (1445-1517)

Geómetra y amigo de los grandes pintores del Renacimiento, “redescubrió” el “secreto de oro” y propuso en su libro Divina Proportione llamarlo divina proporción.

Leonardo da Vinci ilustró la obra con hermosos dibujos de los cinco sólidos platónicos.

KEPLER (1571-1630)

Johannes Kepler, descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas que giran alrededor del Sol, reveló la relación que había entre la secuencia de Fibonacci y la proporción áurea, al demostrar que los cocientes que se dan entre los términos consecutivos de la serie, tienden a acercarse a la razón áurea.

CH. BONNET (1720-1793)

Charles Bonnet describió la disposición de las hojas de las plantas y señaló que los números de espirales que giraban en uno u otro sentido en las filotaxis de las plantas, eran a menudo dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

MARTIN OHM (fines del XVIII-fines del XIX)

Matemático alemán, hermano de Georg Ohm, el físico que dio su nombre a la unidad de resistencia eléctrica, el ohmio, fue al parecer el primero en utilizar las palabras “sección áurea” para describir esta maravillosa proporción, marcando la primera aparición del término en una publicación, en este caso, de un libro suyo en el año 1835.

HACIENDO ÉNFASIS EN LA SERIE FIBONACCIEn matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: Leonardo de Pisa (Fibonacci) usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la aparición y cada camada es de dos conejos). 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…Resulta que el cociente entre cada dos números consecutivos de esta sucesión, es el número de oro.

ED. LUCAS (1842-1891)

Edouard Lucas, matemático francés que ideó la serie numérica que lleva su apellido, fue quien oficialmente bautizó la serie numérica conocida por el nombre de sucesión de Fibonacci.

MARK BARR (SIGLO XX)

Mark Barr empleó, a comienzos del siglo XX, la letra griega Φ (phi) para designar la proporción áurea.

Phi es la primera letra en griego del nombre de Fidias. Es así mismo la letra equivalente a la f del alfabeto latino, como también la inicial de Fibonacci.

ROGER PENROSE (n. 1931)

Físico y matemático inglés. En el ámbito de los mosaicos periódicos, halló una simetría basada en la proporción áurea que dio lugar a un descubrimiento sobre los cuasicristales. (Los cuasicristales son sólidos que violan uno de los preceptos básicos de la cristalografía: la no existencia de simetría pentagonal).

Completamos esta lista mencionando a Le Corbusier (1887-1965), arquitecto, diseñador y pintor suizo, nacionalizado francés. Ideó el Modulor, sistema de medidas basado en las proporciones humanas, en que cada magnitud se relaciona con la anterior por el Número Áureo, para que sirviese de medida de las partes de arquitectura. De esta forma retomaba el ideal antiguo de establecer una relación directa entre las proporciones de los edificios y las del hombre.

32

,53

,85

,138

,2113

,3421

,5534

,8955

, .. .

32

=1' 5 ;53

=1 ' 66 .. . ;85

=1 ' 6 ;138

=1' 625;2113

=1 ' 615 .. .;

3421

=1 ' 619 .. . ;5534

=1' 617 . . .;8955

=1 ' 618 .. .

La espiral fibonacci

Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números de la sucesión de Fibonacci. Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión. Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3x2.Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21... Cuanto más avanzamos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo aureo. Si unimos los vértices de estos rectángulos se va formando la espiral de Fibonacci.

EL NUMERO FI (ANDRES)

El número áureo o de oro (divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:

La sección áurea del latín sectio aurea es una proporción que aparece entre los segmentos de una recta al dividir ésta en media y extrema razón. Una recta AB queda dividida por un punto F en otros dos segmentos (AF y FB) de tal forma que el segmento mayor es al menor, como el todo es al mayor.

Tan solo existe un punto F que haga posible esta relación entre los segmentos y verifique la proporción AF /FB = AB /AF, que también podemos escribir como AF /FB = (AF+FB) /AF.Si hacemos AF = x y FB =1, tenemos:

Eligiendo la solución positiva tenemos:x ( 5 1) / 2 1,6180339885 ...Éste es El Número de Oro, que normalmente designamos con la letra griega Su característica principal es la inconmensurabilidad, es decir, no se puede expresar como proporción de dos enteros, es irracional. El periodo de este número es infinito y sus cifras decimales no se repiten periódicamente.

Definición

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:

La longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.

Escrito como ecuación algebraica:

Siendo el valor del número áureo φ el cociente

Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.

Cálculo del valor del número áureo

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

Si es igual a entonces la ecuación queda:

Multiplicando ambos miembros por , obtenemos:

Igualamos a cero:

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación

GEOMETRÍA (ABISAI)Luca Pacioli en su Divina proporción analiza los trece “efectos” (aplicaciones matemáticas) de este número. Algunos de ellos se relacionan con los polígonos regulares; éstos son el séptimo: “ que los lados del hexágono y del decágono estén en esta proporción”, el noveno: “que mediante el cruce de las diagonales del pentágono obtendremos la relación del lado con la diagonal”, el undécimo: “ al dividir el lado de un hexágono según esta proporción, su parte mayor será siempre el lado del decágono”, y el decimotercer efecto: “ Como sin esta proporción no es posible construir un pentágono equilátero y equiángulo”. Ahora estudiaremos estas relaciones más detenidamente.

NOTA: Incluir la construcción de la espiral aurea con rectángulos y triángulos áureos.

APLICACIONES (ANA)(EN DONDE PODEMOS ENCONTRAR LA PROPORCIÓN AUREA Y EN DONDE PUEDE SER

APLICADO) La proporción aurea en el arte En la naturaleza En el ser humano En la arquitectura En la escultura En la música

Como extra hablar de la espiral logarítmica En la naturaleza (huracanes), etc. En el arte Fotografías perfectas

RESUMEN (ANDRES)

El número de oro aparece en ciertas figuras geométricas, en la Naturaleza, en el Arte…La espiral de Durero, construída sobre rectángulos áureos, ha sido utilizada en el arte (pintura, arquitectura, escultura…). Asociada al número de oro está la sucesión de Fibonacci: el cociente de dos términos consecutivos es φ. Con ella construimos la espiral de Fibonacci, ayudándonos de una sucesión de cuadrado de lado los términos de la sucesión. Esta espiral se utiliza para aproximar la espiral logarítmica. La espiral logarítmica describe multitud de fenómenos naturales.