proporcionalidad y funciones - … · identificación de las que corresponden a una relación de...
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PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONESAnálisis de representaciones que corresponden a una misma situación.Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, biología, economía y otras disciplinas.
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
Al realizar tanto el estudio como el registro de un experimento o encuesta, conviene hacer una representación de lo obtenido, ya sea por medio de:
Gráficos,
Representación Algebraico,
Tabulación de resultados.
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 2
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
Daniela realiza un experimento de Física, que consiste en fijar una liga y colocarle diferentes pesos para conocer la elongación que sufre.
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 3
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
Por cada peso, ella registró las siguientes longitudes:
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ
PESO (GR) LONGITUD (CM)
0 4.5
25 5.5
75 7.5
150 10.5
200 12.5
400 20.5
500 24.54
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
Gráfico:
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ
0
5
10
15
20
25
30
0 100 200 300 400 500 600
LON
GIT
UD
(CM
)
PESO (GR)
ELONGACIÓN
5
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
¿qué muestra el gráfico?
Crecimiento LINEAL.
Si aumenta el peso, entonces…LA ELONGACIÓN TAMBIÉN AUMENTA .
Por lo que CORRESPONDE A UNA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD.
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 6
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
Al investigar este fenómeno en su libro de Física, encuentra que este fenómeno tiene una EXPRESIÓN ALGEBRAICA:
Longitud=1
25𝑃𝑒𝑠𝑜 + 4.5
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 7
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
¡¡¡¿Les suena esa expresión conocida?!!!
y= 𝑚𝑥 +b
Longitud=1
25𝑃𝑒𝑠𝑜 + 4.5
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 8
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
Y ahooooora…
¡¡¡ EJERCICIOS!!!
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 9
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
…PARA EJERCITAR NUESTRA MENTE
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 10
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
Una de las formas que tienen las radiodifusoras de conocer laaceptación del público hacia algún programa, es mediante el registrodel aumento de radioescuchas; esto puede hacerse por día, porsemana o mes, dependiendo de las necesidades de cada estación deradio. Uno de los programas que se está revisando presenta lasiguiente gráfica de aumento en el número de radioescuchas.
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 11
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20 25 30
RA
DIO
ESC
UC
HA
S (C
IEN
TOS)
SEMANAS
ACEPTACIÓN DEL PÚBLICO AL PROGRAMA "X"
12
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
Construye una representación tabular para algunos de los valores quese presentan en la gráfica:
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20 25 30
RA
DIO
ESC
UC
HA
S (C
IEN
TOS)
SEMANAS
ACEPTACIÓN DEL PÚBLICO AL PROGRAMA "X"
SEMANA RADIOESCUCHAS (CIENTOS)
0
5
10
15
20
25
28
13
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
¿es una relación de proporcionalidad la que se presenta?, ¿por qué?
¿Se podrá modelar la relación por medio de una expresiónmatemática?
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ
y = 3.9108x - 4.8897
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20 25 30
RA
DIO
ESC
UC
HA
S (C
IEN
TOS)
SEMANAS
ACEPTACIÓN DEL PÚBLICO AL PROGRAMA "X"
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PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
En un estudio de calidad para una estufa, se coloca un litro de agua que estaba a 16ºc y se prende la flama, registrando con el termómetro el aumento de temperatura que se va dando. Se obtiene los siguientes datos:
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ
TIEMPO (MINUTOS) TEMPERATURA (ºc)
0 16
2 24
5 36
8 48
10 56
15 76
17 84
18 88
19 92
20 96
21 100
15
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
Grafiquen los resultados.
La gráfica, ¿es lineal?
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ
TIEMPO (MINUTOS) TEMPERATURA (ºc)
0 16
2 24
5 36
8 48
10 56
15 76
17 84
18 88
19 92
20 96
21 100
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PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
¿Cuál es la expresión matemática que representa los resultados obtenidos?
¿Es una relación de proporcionalidad?, ¿por qué?
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 17
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20 25
TEM
PER
ATU
RA
(ºC)
TIEMPO (MINUTOS)
ESTUDIO DE CALIDAD DE UNA ESTUFA
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
En un lapso de tiempo, medido en segundos, la altura en metros que alcanza un proyectil sobre el nivel del suelo es proporcionado por la siguiente ecuación:
ℎ = 80𝑡 − 5𝑡2Donde
ℎ representa la altura medida en metros
𝑡 representa el tiempo medido en segundos.
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 18
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 19
Realicemos una tabla en dondenos informe la altura alcanzada porel proyectil al paso de segundos:𝑡
t h
0 0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 20
t h
0 0
1 75
3 195
5 275
7 315
9 315
11 275
13 195
15 75
17 -85
19 -285
21 -525
La altura alcanzada al tiempo , ¿es una relación proporcional?¿por qué?
Después de 15 segundos de haber lanzado el proyectil, ¿es lógico que, a nivel del suelo, alcance una altura negativa?
¿Qué significa que nos dé alturas negativas en la vida real?
𝑡
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 21
t h
0 0
1 75
3 195
5 275
7 315
9 315
11 275
13 195
15 75
17 -85
19 -285
21 -525
Si graficamos la información de la tabla:
¿Nos muestra una relación de proporcionalidad?
¿Dónde quedan ubicados las alturas positivas?, ¿y las negativas?
¿Qué nos indican las alturas negativas, es decir, qué interpretación se le debe dar?
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 22
t h
0 0
1 75
3 195
5 275
7 315
9 315
11 275
13 195
15 75
17 -85
19 -285
21 -525
0
75
195
275315 315
275
195
75
-85
-285
-525
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25A
ltur
a (m
etro
s)
Tiempo (segundos)
Lanzamiento vertical de un proyectil.
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 23
t h
0 0
1 75
3 195
5 275
7 315
9 315
11 275
13 195
15 75
17 -85
19 -285
21 -525
Si graficamos la información de la tabla:
¿Nos muestra una relación de proporcionalidad?
¿Dónde quedan ubicados las alturas positivas?, ¿y lasnegativas?
¿Qué nos indican las alturas negativas, es decir, quéinterpretación se le debe dar?
0
75
195
275315 315
275
195
75
-85
-285
-525
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25
Alt
ura
(met
ros)
Tiempo (segundos)
Lanzamiento vertical de un proyectil.
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 24
Ahora, si el proyectil alcanza una alturade 320 metros, ¿en cuánto tiempotardará el proyectil en alcanzar dichaaltura?
0
75
195
275315 315
275
195
75
-85
-285
-525
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25
Alt
ura
(met
ros)
Tiempo (segundos)
Lanzamiento vertical de un proyectil.
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 25
0
75
195
275315 315
275
195
75
-85
-285
-525
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25
Alt
ura
(met
ros)
Tiempo (segundos)
Lanzamiento vertical de un proyectil.Para determinar el tiempo que tarda el proyectil en tener una altura de 320 m, este valor se evalúa en la ecuación dada, es decir:
320 = 80𝑡 − 5𝑡2
Se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ahora se encontrará el valor del tiempo al que logrará la altura de 320 m:
𝑡
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 26
0
75
195
275315 315
275
195
75
-85
-285
-525
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25
Alt
ura
(met
ros)
Tiempo (segundos)
Lanzamiento vertical de un proyectil.
320 = 80𝑡 − 5𝑡2
5𝑡2-80𝑡-320 = 0
𝑡2-16𝑡-64 = 0
𝑡 − 8 2 = 0
𝑡 − 8 = 0
𝑡 = 8
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 27
320 = 80𝑡 − 5𝑡2
5𝑡2-80𝑡-320 = 0
𝑡2-16𝑡-64 = 0
𝑡 − 8 2 = 0
𝑡 − 8 = 0
𝑡 = 8
¿Cómo se interpreta este resultado?
0
75
195
275300 320 275
195
75
-85
-285
-525
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25
Alt
ura
(met
ros)
Tiempo (segundos)
Lanzamiento vertical de un proyectil.
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 28
Ahora, ¿en cuánto tiempo el proyectiltocó suelo?
0
75
195
275315 315
275
195
75
-85
-285
-525
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25A
ltur
a (m
etro
s)
Tiempo (segundos)
Lanzamiento vertical de un proyectil.
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 29
0
75
195
275315 315
275
195
75
-85
-285
-525
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25
Alt
ura
(met
ros)
Tiempo (segundos)
Lanzamiento vertical de un proyectil. 0 = 80𝑡 − 5𝑡2
5𝑡2-80𝑡 = 0
𝑡2-16𝑡 = 0
𝑡 𝑡 − 16 = 0
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 30
Primer caso:
𝑡 𝑡 − 16 = 0𝑡 = 0
Segundo caso:
𝑡 𝑡 − 16 = 0𝑡 = 16
075
195
275315 315
275
195
75
0
-285
-525
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25
Alt
ura
(met
ros)
Tiempo (segundos)
Lanzamiento vertical de un proyectil.
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 31
Primer caso:
𝑡 𝑡 − 16 = 0𝑡 = 0
Segundo caso:
𝑡 𝑡 − 16 = 0𝑡 = 16
075
195
275315 315
275
195
75
0
-285
-525
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25
Altu
ra (m
etro
s)
Tiempo (segundos)
Lanzamiento vertical de un proyectil.
¿Cómo se interpreta este resultado?
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 32