Proposiciones, vectores binarios y Conjuntosfinitos

Rafael F. Isaacs G. *

Fecha: 24 de octubre de 2004

Trataremos de matar tres pajaros de un solo tiro. Nuestro objetivo no es descabellado,realmente el algebra que se trabaja en los vectores binarios, en los conjuntos finitos y lalogica de proposiciones es el algebra booleana. La misma que tambien que se realiza enlos circuitos electronicos.

1. Nada depende de UNO, todo resulta de DOS

En principio tenemos el bien y el mal, el yin y el yang, dios y el diablo, la verdad yla falsedad, los pares y los impares. De esta division arbitraria y rıgida se genera toda ladiversidad. Debemos trabajar entonces un conjunto con dos elementos que pueden ser Falso,Verdadero, o bien F , V , o lo que es lo mismo 0, 1. En principio identificaremos el 0 con lafalsedad y el 1 con la verdad que son los valores de verdad que pueden tomar las proposiciones.

Las letras p, q, r serviran para referirnos a proposiciones que pueden ser falsas o verda-deras, el lector debe conocer las tablas de verdad para los conectivos logicos, que serefieren a como las combinaciones de esas proposiciones producen nuevas proposiciones, porejemplo la tabla de verdad del o exclusivo, corresponde a la suma modulo 2 que es la sumade los pares y los impares

p q p ∨ q1 1 01 0 10 1 10 0 0

mientras que la suma modulo 2 en el conjunto {0, 1} se da segun la siguiente tabla

+ 0 10 0 11 1 0

El lector identificara las dos tablas como expresiones del mismo fenomeno.Los conectivos logicos usuales son la negacion que notaremos ¬(de un solo argumento)

y los binarios: la disjuncion, notada con el signo ∨, al conjuncion (∧), la implicacion (⇒) laequivalencia (⇔), la cual se puede considerar como una igualdad.

*Profesor titular UIS

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1.1. Formulas Proposicionales

Las formulas proposicionales se obtienen combinando correctamente variables proposi-cionales con conectivos logicos y sımbolos de agrupamiento. Tomando como variables p,q,r,se pueden definir recursivamente ası:

Definicion 1. Las formulas proposicionales sobre las variables p,q,r, se definen recursiva-mente ası:

Base : p, q, r son formulas proposicionales.

Paso Recursivo : si α y β son formulas proposicionales tambien lo son:(¬α), (α ∧ β),(α ∨ β), (α ⇒ β) y (α ⇔ β).

Nuestro alfabeto en este caso serıa {p, q, r,¬,∨,∧,⇒,⇔, (, )}. Seguir estrictamente estasreglas para formar formulas puede resultar engorroso y redundante en cuanto al exceso deparentesis por lo cual en la practica, estos se eliminan desde que no haya lugar a confusion.

Todos los conectivos logicos (¿cuantos hay?) se pueden desarrollar a partir de unos pocos,por ejemplo de ¬ y ∧:

p ∨ q : ¬(¬p ∧ ¬q)

p ⇒ q : ¬(p ∧ ¬q)

p ⇔ q : ¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬(¬p ∧ q)

p∨q : ¬(¬p ∧ ¬q) ∧ ¬(p ∧ q)

Por esta razon el conjunto {¬,∧} se dice que es un conjunto completo de conectivos.Los valores de verdad en la logica clasica son exactamente los elementos de Z2. Las

formulas proposicionales tiene valor de verdad segun el valor de verdad de sus componentes.Este valor de verdad se halla recursivamente guiados por la construccion recursiva de laformula. Esto es lo que se lleva a cabo con las tablas de verdad. Mostramos como ejemplo,la tabla de verdad de la implicacion “⇒”:

p q ¬q (p ∧ ¬q) ¬(p ∧ ¬q)0 0 1 0 10 1 0 0 11 0 1 1 01 1 0 0 1

Las tautologıas se identifican porque en sus tablas de verdad siempre se obtiene laverdad, independiente del valor de verdad de las componentes (¡verdad!). Las tautologıasson como los teoremas de la logica de proposiciones, teorıa muy particular por cuanto susteoremas se pueden establecer tanto por deduccion axiomatica , como por aplicacion de unalgoritmo, que consiste exactamente en elaborar la tabla de verdad. Algunas tautologıas sonreconocidas como leyes del algebra booleana:

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Doble negacion : ¬(¬p) ⇔ p

Conmutativa : (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)

Asociativa : (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Distributiva : (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) (p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)

Morgan : ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q) ¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)

Tercio excluido : (p ∨ ¬p) ⇔ V (p ∧ ¬p) ⇔ F.

Absorcion : p ∧ (p ∨ q) ⇔ p p ∨ (p ∧ q) ⇔ p

Identidad : (p ∧V) ⇔ p (p ∨ F) ⇔ p.

Dominancia : (p ∨V) ⇔ V (p ∧ F) ⇔ F.

Idempotencia : (p ∨ p) ⇔ p (p ∧ p) ⇔ p.

En estas tablas V significa la verdad (absoluta) y F la falsedad o la contradiccion. Hemoselaborado solo algunas de las equivalencias que se tienen involucrando a los conectivos ∨,∧,¬en donde se cumple el principio de dualidad. Notese que las tautologıas de la derecha seobtienen intercambiando ∨ por ∧ y F por V en las de la izquierda. El principio de dualidadnos dice que si tenemos una tautologıa donde interviene ∨,∧,¬ al hacer dichos intercambioslo que se obtiene tambien es tautologıa. Para ello es necesario que la tautologıa sea unaequivalencia.

1.2. Demostraciones

La mayorıa de las proposiciones de la matematica son de tipo “si p entonces se debecumplir q”, abreviadamente p ⇒ q, en donde p juega el papel de hipotesis y q el de tesis oconclusion. Se pueden dar diferentes versiones idiomaticas de este conectivo logico; en espanolse usa “si p entonces q”, “p implica q”, “q siempre que p”, ”para que suceda p es necesarioque q”, “para que q es suficiente que p”, etc. Sea p, por ejemplo, la proposicion “a y b sonpares 2q la proposicion “a+ b es par”, p ⇒ q se puede leer: “Si a y b son pares entonces a+ btambien lo es”, como quien dice “la suma de dos pares es un par”, o, “condicion suficientepara que a + b sea par es que a y b sean pares”.

La recıproca de la proposicion p ⇒ q es la proposicion q ⇒ p que en general tienediferente valor de verdad. En el ejemplo anterior, mientras “la suma de pares es par”es unaproposicion cierta, su recıproca “si la suma de dos numeros es par entonces ambos numerosson pares”es falsa, puesto que 5 + 3 es par siendo uno de los sumandos impar (realmenteambos ¡pero con unos es suficiente!).

La contrarrecıproca de la proposicion p ⇒ q es la proposicion ¬q ⇒ ¬p que es equi-valente a la original, por lo tanto, para demostrar una implicacion podemos demostrar sucontrarrecıproca.

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Ası, para, mostrar que “todo par elevado al cuadrado es par”(n par implica n2 par)podemos mostrar que ”si el cuadrado de un numero es impar, el numero debe ser impar”(n2

no par implica n no par) que es equivalente.En el ejemplo inicial la contrarrecıproca de “la suma de dos pares es un par”es la propo-

sicion “si la suma de dos numeros no es par entonces ambos numeros no pueden ser pares.o

lo que es lo mismo “si la suma de dos numeros no es par entonces alguno de los numeros esimpar”.

Muchas veces la hipotesis o la tesis viene en forma de conjuncion o disyuncion. Porejemplo la forma (p ∧ q) ⇒ r, que es la forma de la proposicion que acabamos de analizar.En efecto, si convenimos en que p, r, q sean las proposiciones “a es par”, “b es par”, “a+ b esparrespectivamente, se ve mas claramente porque la contrarecıproca tiene como conclusionque alguno de los numeros es impar, ya que la negacion de p ∧ qes ¬p ∨ ¬q y la forma de lacontrarecıproca sera r ⇒ (¬q ∨ ¬p).

Probar la contrarecıproca es hacer la prueba por contradiccion: Para demostrar p ⇒ qse supone que la conclusion no es cierta (pensemos lo peor) o sea ¬q y se deduce que lahipotesis fallarıa o sea que ¬p; se esta demostrando que ¬q ⇒ ¬p.

Otra propiedad que nos interesa resaltar de la logica de proposiciones es que la negacionde una implicacion p ⇒ q es equivalente a ¬(p ∧ ¬q). Esta es la razon para que negar laproposicion “la suma de dos numeros es impar implica que ambos son pares”, sea afirmarque “existen numeros cuya suma es par sin que ambos sean pares”. La equivalencia entrep==¿q y (p q) nos ayuda tambien a explicar las demostraciones por contradiccion: Se tratade ver que es imposible que se cumpla la hipotesis sin que se cumpla tambien la tesis.

Cuando tanto p ⇒ q como su recıproca q ⇒ p, son ciertas se dice que p y q son equivalentesy se nota p ⇔ q. Por ejemplo, “n2 es par 2“n es par”son proposiciones equivalentes, puestanto “si n2 es par entonces n es par” como “si n es par su cuadrado tambien lo es”sonproposiciones ciertas.

Otras versiones idiomaticas para esta equivalencia son: “a es par sı y solo sı a2 lo es” o“condicion necesaria y suficiente para que n2 sea par es que n lo sea. La equivalencia tambiense utiliza en las definiciones, por ejemplo para definir par podemos decir “n es par sı y solosı existe un entero k tal que a = 2k”.

Las equivalencias logicas (tautologicas) son validas por su forma sin importar el contenidode las proposiciones ’internas’. Ası, “k no es primo par sı y solo sı k no es primo o k es impar”,es una equivalencia valida por su forma pues ¬(p ∧ ¬q) ⇔ (¬p ∨ q) es cierta sin importar elvalor de verdad de p y q. La tabla 1 muestra una lista de las principales equivalencias logicas.Digamos para terminar esta seccion, que siempre que p y q sean equivalentes la proposicionp se puede reemplazar por q y el reves.

Especial atencion merece el conectivo ⇒ es decir la implicacion, que no es conmutativoy que es el que da caracter deductivo a la logica simbolica. Cuando una implicacion esuna tautologıa da lugar a que el antecedente se puede reemplazar por la concecuencia. Porejemplo, p ⇒ (p∨ q) entonces si tengo p como cierto, tambien sera cierto (p∨ q), pero noteseque teniendo p ∨ q no puedo deducir p. Cuando una equivalencia es tautologıa se puedenreemplazar como queramos los extremos, tenemos entonces identidades logicas. Enseguidapresentamos algunas tautologıas referentes a la implicacion:

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Figura 1: George Boole

Figura 2: Caricatura de Auguste de Morgan, dibujada por un alumno

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Contrarrecıproca : (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

Implicacion como disjuncion : (p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q)

Negacion de la implicacion : ¬(p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ¬q).

Equivalencia como implicacion : p ⇔ q ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

Exportacion : (p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r).

Modus Ponens : (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q.

1.3. Ejercicios

1. Segun la definicion 1 cuales de las siguientes expresiones no son formulas proposicionalessobre p,q,r?a) (p ∧ (¬q)) b)(¬p ∧ (¬q))c) p ∧ (¬q)) b)((¬p) ∧ (¬q))

2. Construya las tablas de verdad de los conectivos: ¬,∨,∧,⇒,⇔,⇐

3. Sea p la proposicion “Hay buen tiempo”, q : “Hay buenas cosechas”, r : “Los pre-cios suben”. Exprese las siguientes afirmaciones con formulas proposicionales en lasvariables p, q, r:

a) Hay buen tiempo y buenas cosechas y sin embargo los precios suben.

b) Si hay buen tiempo hay buenas cosechas y los precios bajan.

c) Si hay buen tiempo y buenas cosechas entonces los precios bajan.

d) Si los precios bajan es porque hay buen tiempo y buenas cosechas.

e) Si los precios bajan entonces hay buen tiempo y buenas cosechas.

f ) Para que hayan buenas cosechas y los precios bajen es necesario que haya buentiempo.

4. Demostrar que {¬,∨} es un sistema completo de conectivos logicos.

5. Escriba la negacion de las siguientes afirmaciones.

a) Soy bueno y honesto.

b) Es pobre pero de buena familia.

c) Como nunca viene entonces no se dara cuenta.

d) Si es lunes es un dıa difıcil.

e) Juan salio a jugar y por lo tanto no esta.

f ) Si a divide a bc entonces a divide a b o bien a divide a c.

g) El que asegura eso, no sabe lo que esta diciendo o es un hipocrita.

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6. La madre de Mafalda le dice: “Si te tomas la sopa te doy dulce”mientras que el padredice: “si no te tomas la sopa no tomas dulce”. Explique por que el padre es mas riguroso.

2. Logica de predicados

La expresion “x + 1 = 5” no es una proposicion ya que no podemos darle un valor deverdad. Cuando tenemos expresiones con variables para que tengan un valor de verdad tene-mos dos caminos: o bien reemplazamos la variable por una constante apropiada (podrıamosdecir “5 + 1 = 5”, aunque sea falso, pero no “Juan + 5 = 1”, que no tiene sentido), o bienpodemos colocar cuantificadores a las variables y obtener por ejemplo “∃x(x + 1 = 5)”,que se lee: Existe un x tal que x + 1 = 5.

Un predicado es una expresion p(x1, . . . , xn) donde los x1, . . . , xn son variables. Lospredicados pueden operarse como las proposiciones con conectivos logicos, pero ademas,permiten se modificados por cuantificadores.

El uso de cuantificadores supone un universo donde puedan estar las variables. Si nuestrouniverso es finito por ejemplo sus elementos son a1, a2, . . . an entonces

p(a1) ∨ p(a2) . . . ∨ p(an) =n∨

i=1

p(ai) = ∃x (p(x))

p(a1) ∧ p(a2) . . . ∧ p(an) =n∧

i=1

p(ai) = ∀x (p(x))

Notara el lector, que los cuantificadores universal ∀ (para todo) y existencial ∃ (existe), sepueden entender como una generalizacion de los conectivos ∧ y ∨, aun en el caso infinito.Citamos algunas propiedades fundamentales de estos cuantificadores, no independientes,pues algunas se pueden demostrar de las otras.

Negacion del Universal : ¬(∀x(p(x)) ⇔ ∃x(¬p(x))

Negacion del Existencial : ¬(∃x(p(x)) ⇔ ∀x(¬p(x))

Conjuncion del Universal : ∀x(p(x) ∧ q(x)) ⇔ (∀x(p(x)) ∧ ∀x(q(x)))

Disjuncion del Existencial : ∃x(p(x)∨ q(x)) ⇔ (∃x(p(x))∨∃x(q(x)))

Conjuncion del Existencial : ∃x(p(x)∧q(x)) ⇒ (∃x(p(x))∧∃x(q(x)))

Disjuncion del Universal : ∀x(p(x) ∨ q(x)) ⇐ (∀x(p(x)) ∨ ∀x(q(x)))

Los cuantificadores pueden aparecer varias veces en un predicado desde que se refieran avariables no cuantificadas anteriormente. Dos cuantificadores del mismo tipo que aparecenseguidos se pueden intercambiar, no ası cuando son de diferente tipo.

Ademas de la existencia de un elemento que cumple una propiedad a veces es util garan-tizar que tal elemento es unico. Se usa el cuantificador ∃! que se lee “existe un unico” y quese define ası:

∃!(p(x)) ⇔ ∃x(p(x)) ∧ ∀x∀y((p(x) ∧ p(y)) ⇒ x = y)

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Esto no muestra como demostrar que una solucion a un problema es unica: se suponen dossoluciones y se concluye que son iguales. Demostrar la unicidad de una solucion es muchomas util y necesario de lo que a primera vista aparece.

Por otra parte, se acostumbra especificar el universo de la variable con el cuantificador,se usa por ejemplo ∀x ∈ A, pero estrictamente hablando esto solo es una abreviatura, ası:

∀x ∈ A(p(x)) ⇔ ∀x(x ∈ A ⇒ p(x))

2.1. Ejercicios

1. Dar un ejemplo de un predicado de dos variables p(x, y) tal que ∀x∃y(p(x, y)) no seaequivalente a ∃y∀x(p(x, y))

2. Escriba la negacion de los siguientes predicados:

a) ∀x(p(x) ∧ ¬q(x))

b) ∀x(p(x) ⇒ q(x))

c) ∃x(p(x) ∧ ¬q(x))

d) ∃x(p(x) ∨ ¬q(x))

e) ∀x(p(x) ∧ ¬q(x)) ∧ ∀y(¬p(y) ∨ q(y))

f ) ∀x∀y(p(x, y) ⇒ q(x, y))

g) ∀x∃y(p(x, y))

3. Las siguientes proposiciones son falsas. De en cada caso un contra ejemplo:

a) Si a2 no es par a3 sı lo es.

b) n2 + 2n siempre es par.

c) Si n es primo 2n− 1 tambien lo es.

d) Si n es positivo n3 − 6n2 + 11n− 6 = 0.

4. Analice la veracidad de los siguientes predicados de la aritmetica sabiendo que el uni-verso son los numeros enteros.

a) ∀n∃k(n2 = 4k + 1 ⇒ n = 4k + 1))

b) ∀n(∃k(n2 = 4k + 1) ⇒ ∃k(n = 4k + 1))

c) ∀n(∃k(n = 2k + 1 ∨ n = 2k)

d) ∀n((n|12 ∧ n|16) ⇒ n|2)

e) ∃m(∀n(m|n))

f ) ∃n(∀m(m|n))

g) ∀n∀m∀r((n|m ∧m|r) ⇒ (n|r))h) ∀m∀n(2|(n + m) ⇒ 2|(n−m))

5. Demuestre que las siguientes equivalencias son ciertas:

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a) ¬(∀x(p(x) ∧ ¬q(x))) ⇔ ∃x(¬p(x)) ∨ ∃x(q(x))

b) ¬(∀x(p(x) ⇒ ¬q(x))) ⇔ ∃x(p(x) ∧ q(x))

c) ∃x¬(p(x) ∧ ¬q(x)) ⇔ ∃x(¬p(x)) ∨ ∃x(q(x))

6. La negacion de “existen numeros pares cuyo cuadrado es impar”es (escoja lo correcto):

a) “existen numeros pares cuyo cuadrado es par”

b) “existen numeros impares cuyo cuadrado es impar”

c) “Todo numero par tiene cuadrado par”

d) “Todo numero impar tiene cuadrado impar”

3. Algebra de conjuntos

Cuando se cuantifican todas las variables que aparecen en un predicado se obtiene unaproposicion que puede ser falsa o verdadera. Cuando una variable no se cuantifica el predicadop(x) da lugar al conjunto de los elementos que cumplen el predicado, este conjunto se notaası:

{x | p(x)}Esto nos permite definir muchısimos conjuntos, por ejemplo el conjunto vacıo se podrıa

definir ası:∅ = {x | x 6= x}

Hay que ser cuidadosos con tener bien claro el universo de donde se escogen los elementospara determinar el nuevo conjunto. Si definimos A = {x | p(x)} estamos diciendo que (x ∈A) ⇔ (p(x)) pero ¡cuidado! Expresiones como

{x | x /∈ x}

lleva a contradicciones por cierto muy interesantes, contradicciones y paradojas (por ejemplola “paradoja del Barbero”) que han jugado un papel muy importante en el desarrollo de laTeorıa de Conjuntos.

Los predicados fundamentales de conjuntos son del tipo x ∈ A que se lee “x es unelemento de A”. Aquı trataremos de seguir la buena costumbre de notar siempre los elementoscon letras minusculas y los conjuntos con mayusculas. Pero la distincion entre elemento yconjunto no es esencial, podrıamos considerar que todos los entes de nuestro universo sonconjuntos! Las definiciones del algebra de conjuntos se pueden dar en terminos de la logicade proposiciones y de predicados como se indican en la siguiente tabla.

A ∪B =: {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ∩B =: {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Ac =: {x | x /∈ A}

A ⊆ B ⇔: ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B}

A = B ⇔: ∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B}

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Ejemplo 1. Las propiedades del algebra de conjuntos estan ıntimamente ligadas con las dela logica. Por ejemplo las leyes de Morgan para conjuntos se traducen en (A∩B)c = Ac∪Bc

y (A ∪B)c = Ac ∩Bc y esta ultima se puede demostrar ası:

(A ∪B)c =: {x | x /∈ (A ∪B)}= {x | ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B)}= {x | x /∈ A ∧ x /∈ B}= {x | x ∈ Ac ∧ x ∈ Bc}= Ac ∩Bc

La esencia de la demostracion yace en aplicar la tautologıa: ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q).

Figura 3: John Venn (1834-1923

Las leyes entonces del algebra de conjuntos son las mismas de la logica de proposiciones,es decir las del algebra booleana. Enseguida traducimos las planteadas anteriormente.

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(A ⊆ B) ⇔ (Bc ⊆ Ac)

(A ⊆ B) ⇔ (Ac ∪B) = U

(A ⊆ B) ⇔ (A ∩Bc) = ∅.

A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

((A ∩B) ⊆ C) ⇔ (A ⊆ C ∧B ⊆ C)

(U ⊆ A ⇒ A = U)

En lo anterior, y en lo que sigue, debe entenderse U como el conjunto universal, el cual haceel papel de V en logica de proposiciones. El lector comprendera que los enunciados ciertosen el algebra de conjuntos son infinitos y que conviene reducirlos a unos pocos axiomas delos cuales se deduzcan todos. Este es el metodo axiomatico, una forma muy eficaz y antiguade comprimir informacion! Pues bien, hay varias formas de dar axiomas para el algebrabooleana, sin embargo por ahora no es nuestro interes abordar esta tematica. Nuestro intereses investigar la veracidad de alguna afirmacion de manera intuitiva o reduciendola a su formalogica. Un tratamiento bastante practico es utilizar diagramas de Venn que consiste ensimular la situacion con conjuntos en un sector del plano.

Ejemplo 2. Para analizar la veracidad de (A ∪ B)c ∩ C = Ac ∩ Bc ∩ C por medio dediagramas de Venn mostramos la siguiente grafica: En la figura de la izquierda mostramos

Figura 4: (A ∪B)c ∩ C = Ac ∩Bc ∩ C

(A ∪ B)c en color amarillo. En la central representamos (A ∪ B)c ∩ C y a la derecha laslıneas amarillas verticales son el complemento de A y las de fondo rojo son el complementode B, ası Ac ∩ Bc aparece con lıneas verticales amarillas y fondo rojo. Se ve entonces que(A ∪ B)c ∩ C = Ac ∩ Bc ∩ C. Esta afirmacion del algebra de conjuntos corresponde a latautologıa: (¬(p ∨ q) ∧ r) ⇔ (¬p ∧ ¬q ∧ r)

3.1. Ejercicios

1. Representar con diagramas de Venn los siguientes conjuntos:

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a) Ac ∩Bc

b) Ac ∩ (Bc ∩ C)

c) Ac ∪ (Bc ∩ C)

2. Si A, B, C son conjuntos entonces:

a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

b) (A ∪B)c = Ac ∩Bc

c) A ∩ (B ∩ C)c = A ∩ (Bc ∩ Cc)

d) Todas las anteriores son ciertas.

e) Todas las anteriores son falsas.

3. Si se tiene A ∩ (B ∩ C) = ∅ podemos asegurar:

a) A ⊆ B

b) A ⊂ (B ∩ C)

c) A ∩B = ∅, y ademas A ∩ C = ∅d) Todas las anteriores son ciertas.

e) Todas las anteriores son falsas.

4. Demostrar reduciendo a tautologıas y comprobar con diagramas de Venn las siguientesafirmaciones del algebra de conjuntos:

a) Ac ∩Bc = ∅ ⇔ (A ∪B) = U

b) A ⊆ (Bc ∩ C) ⇔ (B ⊆ Ac) ∧ (A ⊆ C)

5. la diferencia simetrica de A y B que se nota A4B se define como A4B = (A∩Bc)∪(Ac ∩B) demostrar:

a) (A4B)c = (A ∪Bc) ∩ (Ac ∪B)

b) A4B = B 4 A

c) (A4B)4 C = A4 (B 4 C)

6. i) 0 ∈ A

ii) Si x ∈ A entonces (x + 2) ∈ A y (x− 2) ∈ A

¿Cual es el menor subconjunto A de los reales que cumple i) y ii)?

7. Sea Σ = {a, b} se define recursivamente el lenguaje L (un lenguaje es cualquier sub-conjunto de palabras) ası

i) Base: a ∈ L ; bb ∈ L.

ii) Paso inductivo: Si w ∈ L entonces ww ∈ L.

iii) Clausura: Las palabras de L se forman unicamente aplicando i) y ii).

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¿Cuales de las siguientes palabras pertenecen a L?

a. aaaa

b. bbb

c.abbabb

d.λ

4. Familias de Conjuntos

Un conjunto cuyos elementos son conjuntos lo denominamos una familia de conjuntos.Esta distincion entre conjuntos y familias no es teorica sino mas bien pedagogica. La teorıade conjuntos se desarrolla considerando todos sus entes como conjuntos. Una familia deconjuntos es por ejemplo P (X) el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto X. Engeneral utilizaremos letras caligraficas A,B, C, T para notar familias de conjuntos. Tambiense usa notacion subindizada

A = {Ai | i ∈ I} = {Ai}i∈I

aquı I es un conjunto cualquiera de ındices y para cada i ∈ I se supone un conjunto Ai enla familia.

Las operaciones que se han visto entre conjuntos, son solamente validas para familiasfinitas de conjuntos, realmente para familias de dos conjuntos del tipo A = {A1, A2} ={Ai}i∈I cuando I = {1, 2}. Como estas definiciones estan fundamentadas en los conectivos∨ y ∧ y estos se generalizan a los cuantificadores ∃ y ∀, dicha generalizacion nos permite darla definicion general y muy natural.

Definicion 2. Sea F = {Ai}i∈I una familia de conjuntos, definimos:⋃F =

⋃i∈I

Ai = {x | ∃i(i ∈ I ∧ x ∈ Ai)}

⋂F =

⋂i∈I

Ai = {x | ∀i(i ∈ I ⇒ x ∈ Ai)}

Definicion 3. Sea X un conjunto. Una familia F ⊆ P(X) es una particion de X si secumple:

i) ∅ /∈ F

ii) Si A, B ∈ F y A 6= B entonces A∩B = ∅ (se dice que los conjuntos de F son disjuntosdos a dos).

iii)⋃F = X

Ejemplo 3. {{z ∈ Z | z ≡ n( mod m)}n∈N} es una particion de Z en m conjuntos, cadauno de ellos infinito.

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4.1. Ejercicios

1. Describir los elementos de los siguientes subconjuntos de R:

a)⋂∞

i=1[i− 1, i + 1i)

b)⋂∞

i=1[0, 1 + 1i)

c)⋃∞

i=1[0, 1−1i]

d)⋂∞

i=1[−1i, 1− 1

i]

2. Demostrar las siguientes afirmaciones cuando {Ai}i∈I es una familia de conjuntos:

a) (⋂

i∈I Ai)c =

⋃i∈I(Ai)

c

b) (⋃

i∈I Ai)c =

⋂i∈I(Ai)

c

c)⋂

i∈I(Ai ∪B) = (⋂

i∈I Ai) ∪B

d) Si ∀i ∈ I(Ai ⊆ Bi) entonces⋂

i∈I Ai ⊆⋂

i∈I Bi

3. Se particionan los enteros entre 0 y 11 segun dejen el mismo residuo al ser divididosentre 3. Especifique los elementos de esta particion.

4. Las siguientes familias de conjuntos no forman una particion de Z. ¿Que propiedadfalla?

a) {{nk ∈ Z | k ∈ N( mod m)}n∈N}b) {{z ∈ Z | |z − n| ≤ 2( mod m)}n∈N}c) {{z ∈ Z | |z − n| ≤ 2( mod m)}n∈Z}d) {{z ∈ Z | |z − 3n| ≤ 2( mod m)}n∈N}

5. Determine de las siguientes familias de conjuntos cuales forman una particion de R.

a) {{xk ∈ R | k ∈ N( mod m)}x∈R}b) {{x + k ∈ R | k ∈ Z( mod m)}x∈R}c) {(n− 1

2, n + 1

2]}n∈Z}

d) {[n− 12, n + 1

2]}n∈Z}

6. Si I = ∅ ¿ que es⋂

i∈I Ai y⋃

i∈I Ai? Justifique su respuesta.

5. Algo de conteo: Conjuntos Finitos

En las ciencias de la computacion saber contar es algo muy importante, piense en laimportancia de este arte, llamado tambien combinatoria, para comparar la eficiencia dedos algoritmos. Empezaremos contando los elementos de ciertos conjuntos, estos que se dejancontar con numeros naturales son los conjuntos finitos.

Definicion 4. El numero de elementos de un conjunto finito A se llama el cardinal de A yse nota |A|. En este caso A se puede expresar ası: A = {a1, a2, . . . , an}.

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5.1. Vectores Booleanos

La manera natural de tratar los conjuntos finitos computacionalmente es por medio devectores que en sus componentes siempre llevan 0’s o 1’s, o lo que lo mismo, palabras sobreel alfabeto Σ = {0, 1}.

Si A es un conjunto dentro de un universo U con n ∈ N elementos, A queda determinadopor un vector A[i] de n componentes donde el valor de A[i] es 0 o 1 si el i-esimo elementode U no esta o esta en A.

Los vectores booleanos tambien se pueden entender como entradas a una maquina quedebe devolver valores de 0 o 1 segun las entradas.

Ejemplo 4. Para mostrar los numeros una calculadora se usan siete diales que formanun ocho. Supongamos que se quiere controlar el dial superior horizontal. Este se prende

Figura 5: Diales para expresar los numeros en una calculadora

con los numeros 0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 es decir no se prende con 1 y 4 de los numeros de lacalculadora. Necesitamos hacer un mecanismo que responda con 0 cuando entran los vectoresbooleanos 0001 y 0100 y que responda 1 ante los estımulos 0000, 0010, 0011, 0101, 0111, 1000y 1001. Para simplificar suponemos que los demas vectores booleanos de 4 componentes nose dan. Si representamos por (x1, x2, x3, x4) el vector que entra, la salida que queremos es¬((¬x1 ∧ ¬x2 ∧ ¬x3 ∧ x4) ∨ (¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4)). Ahora bien estas expresiones logicas sepueden realizar en circuitos electronicos. ¡He aquı la base teorica del hardware!

5.2. Otras Cuentas

Proposicion 1. El numero de palabras de longitud n sobre una alfabeto de m elementos esmn. Si Σn = {w ∈ Σ∗ | |w| = n}

|Σn| = |Σ|n

.

Demostracion. Si tenemos palabras mn de longitud n para formar palabras de longitud n+1podemos y debemos agregar una letra dentro de m posibles. Por tanto por cada una de las mn

palabras sobre una alfabeto de m elementos formamos exactamente m palabras de longitudm + 1, en total obtenemos mn ×m = mn+1 palabras de longitud n + 1.

Demostracion. Procedemos por induccion sobre n la longitud de la palabra. Es claro paran = 0 pues Σ0 = {λ} (y para 1 tambien:Σ1 = Σ).

15

Proposicion 2. Sea X un conjunto finito y notemos P(X) al conjunto que consta de todoslos subconjuntos de X. Entonces:

|P(X)| = 2|X|

Demostracion. Simplemente notese que hay tantos subconjuntos de X como vectores boo-leanos de |X| componentes.

¿Cual es el cardinal de Ai ∪A2, . . .∪An? Empezaremos respondiendo para dos casos queson faciles de manipular.

Proposicion 3. Siendo A, B, C conjuntos:

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|

Demostracion. Probemos que |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B| por induccion sobre el numerode elementos de B. Si B = ∅, el resultado es obvio. Supongamos ahora que a B le agregamosun elemento x /∈ B y hay dos posibilidades:

Si x ∈ A entonces |A∪B∪{x}| = |A∪B| = |A|+|B|−|A∩B| pero |A∩(B∪{x})| = |A∩B|+1mientras |B ∪ {x}| = |B|+ 1 entonces

|A ∪B ∪ {x}| = |A|+ |B ∪ {x}| − |A ∩ (B ∪ {x})|

Si x /∈ A entonces |A∪B∪{x}| = |A∪B|+1 = |A|+ |B|−|A∩B|+1 pero |A∩(B∪{x})| =|A ∩B| mientras |B ∪ {x}| = |B|+ 1 entonces

|A ∪B ∪ {x}| = |A|+ |B ∪ {x}| − |A ∩ (B ∪ {x})|

y queda demostrado que |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.Para ver que |A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C| lohacemos aplicando lo anterior:

|(A ∪B) ∪ C| == |(A ∪B)|+ |C| − |(A ∪B) ∩ C|= |A|+ |B| − |A ∩B|+ |C| − |(A ∩ C) ∪ (B ∩ C|= |A|+ |B| − |A ∩B|+ |C| − (|(A ∩ C)|+ |B ∩ C| − |A ∩B ∩ C|)= |A|+ |B| − |A ∩B|+ |C| − |(A ∩ C)| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|

Teorema 1 (Principio de Inclusion-Exclusion). Dados A1, . . . , An ⊆ S then

|A1 ∪ · · · ∪ An| =∑

∅6=J⊆{1,...,n}

(−1)|J |−1 |AJ | , donde AJ =⋂i∈J

Ai.

16

5.3. Binomial

Definicion 5. Se define recursivamente(

nk

)para n, k ∈ Z ası:

Base :Si n < 0 ∨ k < 0 ∨ k > n entonces(

nk

)= 0;

(00

)= 1

Paso Recursivo :(

n+1k+1

)=

(nk

)+

(n

k+1

)Proposicion. (

n

k

)=

n!

k!(n− k)!

Demostracion. Pruebese que n!k!(n−k)

! cumple la base y el paso recursivo de la definicion delcoeficiente binomial.

Proposicion. Un conjunto con n elementos tiene exactamente(

nk

)subconjuntos con k ele-

mentos.

Demostracion. Sea C(n, k) el numero de conjuntos de k elementos de un conjunto con n ele-mentos. Demostraremos que C(n, k) cumple la ley recursiva del coeficiente binomial. Veamosque

C(n + 1, k + 1) = C(n, k) + C(n, k + 1)

En efecto, los conjuntos de {a1, . . . , an, an+1} con k + 1 elementos los podemos dividir endos: los que contienen a an+1 que son tantos como los subconjuntos de {a1, . . . , an} con kelementos y son C(n, k) y por otra parte, los que no contienen a an+1 que son tantos comolos subconjuntos de {a1, . . . , an} con k + 1 elementos y son C(n, k + 1). Como en estas dosfamilias no hay conjuntos comunes se tiene el paso recursivo de la definicion de binomial.Que C(n, k) tambien cumple la base es inmediato.

Ejemplo 5. El numero de maneras de escoger 5 cartas de la baraja es(525

). De estas “manos”

¿cuantas son las que tienen al menos una carta de cada palo?. Contemos las que no contienenun palo especıfico, por ejemplo el diamante:

(52−13

5

)=

(395

). Sean A1, A2, A3, A4 los conjuntos

de 5 cartas que no contiene un palo determinado, entonces |Ai| =(395

). Si i 6= j entonces

Ai ∩Aj es el conjunto de manos que no contienen los palos i y j y |Ai ∩Aj| =(265

)y habrıa(

42

)maneras de escoger i, j. Ası mismo, |Ai∩Aj ∩Ak| =

(135

)y habrıa

(43

)maneras de escoger

i, j, k. Aplicando el principio de inclusion exclusion hay(52

5

)−

(39

5

)(4

1

)+

(26

5

)(4

2

)−

(13

5

)(4

3

)= 685,464

conjuntos de cinco cartas que contienen todos los palos.

Proposicion. Hay(

nk

)vectores binarios de n componentes que tienen exactamente k 1´s.

Teorema 2 (Teorema del Binomio). Para a y b ∈ R, n ∈ N se tiene:

(a + b)n =∑

k

(n

k

)akbn−k.

Hay muchas pruebas de esta afirmacion. Bosquejamos dos:

17

Demostracion. (a + b)n = (a + b)(a + b) . . . (a + b), y se tiene que el coeficiente akbn−k es elnumero k-subconjuntos de un n-conjunto — por tanto el coeficiente es

(nk

).

Demostracion. Procedemos por induccion sobre n, usando el hecho de que(n

k

)=

(n− 1

k − 1

)+

(n− 1

k

).

Proposicion. Si p es primo y 0 < m < p entonces(

pm

)≡ 0 (mod p)

Demostracion. Haciendo a = (p − 1) . . . (m + 1) tenemos que(

pm

)= pa

(p−m!∈ N por tanto

(p−m)! divide a pa pero p y (p−m)! son primos relativos y por el lema de Euclides, (p−m)!debe dividir a a, digamos que a = q(p − m)!, de donde

(pm

)= pq y por tanto p divide a(

pm

).

El teorema del binomio tiene muchısimas aplicaciones. Como un ejemplo, veamos lassiguiente demostracion de un teorema clave en la teorıa de numeros.

Teorema 3 (Teorema debil de Fermat). Si p es primo entonces ap ≡ a (mod p) paratodo a ∈ N.

Demostracion. Procedemos por induccion sobre a. Es obvio cuando a = 0, tomemos a > 0y supongamos que el teorema es cierto para a− 1. Entonces

ap = ((a− 1) + 1)p

≡ (a− 1)p + 1 mod p porque

(p

k

)≡ 0 (mod p) salvo para k = 0 o k = p

≡ a− 1 + 1 mod p

≡ a mod p

5.4. Ejercicios

1. Para cada una de las siguientes expresiones booleanas p(x, y, z) especifique los elemen-tos del conjunto de vectores booleanos A = {xyz | p(x, y, z) = 1}.

a) ¬(x ∨ y) ∧ (z ∧ ¬x)

b) ¬(x ∧ ¬y) ∨ ¬(z ∨ ¬x)

c) ¬(x ∨ y) ∨ (¬z ∧ ¬x)

d) (x ∧ ¬y) ∨ (z ∧ ¬x)

2. Para cada uno de los siguientes conjuntos encuentre una expresion booleana p(x, y, z)en terminos de los conectivos ¬,∨,∧ (es decir A = {xyz | p(x, y, z) = 1}.

a) {010}

18

b) {000,101,110,011}c) {000,001,100,010}d) {101,110,011,111}

3. ¿Cuantos numeros hay de tres cifras con todos su dıgitos impares?

4. ¿Cuantos numeros hay de tres cifras con todos su dıgitos pares? (Ojo: ¡024 no es deestos, ya que es de dos cifras!)

5. Sea X un conjunto con n elementos y F una particion de X tal que si A ∈ F entonces|A| = m, determine |F|

6. ¿Cuantas placas de autos se pueden hacer si deben tener tres letras seguidas con tresdıgitos?

7. Una clave para ingreso a una cuenta debe tener entre 4 y 8 letras del alfabeto inglesdistinguiendo entre mayusculas y minusculas (52 caracteres en total). ¿Cuantas clavesdiferentes pueden existir?

8. ¿De cuantas maneras se puede escoger 3 estudiantes de un grupo de 25?

9. Un equipo de voliball consta de 5 mujeres y 6 hombres, si en la alineacion siempre debehaber exactamente dos mujeres. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden escoger losseis jugadores ?

10. Encuentre el valor de cada uno de los siguientes coeficientes binomiales:

a)(100

); b)

(501

); c)

(203

).

11. Demostrar:

a)(

nn

)=

(n0

)= 1; b)

(nk

)=

(n

n−k

).

12. Use el teorema del binomio para encontrar todos los terminos en la expansion de lassiguientes expresiones:

a) (a + b)5; b) (m− n)7; c) (3x− 4y)7.

13. ¿Cual es el coeficiente de x99y101 en la expansion de (2x + 3y)200?.

14. Demuestre que:n∑

i=0

(n

i

)= 2n

( Sugerencia: expanda (1 + 1)n).

15. Expandiendo (1 + (−1))n, demuestre que:

n∑i=0

(−1)i

(n

i

)= 0

.

19

16. Usando el ejercicio anterior compare los valores de(

n0

)+

(n2

)+

(n4

)+ . . . y

(n1

)+

(n3

)+(

n5

)+ . . ..

17. Pruebe que si n, r y k son enteros tales que 0 ≤ k ≤ r ≤ n entonces:(nr

)(rk

)=

(nk

)(n−kr−k

).

18. Pruebe que(

rr

)+

(r+1

r

)+ . . . +

(nr

)=

(n+1r+1

).

19. Los coeficientes binomiales se pueden colocar formando el famoso Triangulo de Pas-cal (tambien llamado de Tartaglia) como se muestra en el arreglo.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

a) ¿Cuales de las propiedades de los coeficientes binomiales enunciadas se observanen el Triangulo?

b) Si desarrollamos un trinomio a la potencia n los coeficientes correspondientes sepueden ordenar en una piramide. ¿Como serıa?

20. De los estudiantes de un grupo 2 no practican ningun deporte, 12 practican el futboly el basquet, 5 el futbol y el volibol , 7 practican el futbol unicamente, 17 en totalpractican el basquet, 12 en total practican el volibol, no hay quien practique los tresdeportes conjuntamente, y son 5 los que practican el basquet y el volibol. ¿Cuantaspersonas componen el grupo?

21. 28 personas se encuentran en una montana del Peru. Entre ellos se hablan tres idiomas:quechua, espanol e ingles. El numero de los que hablan exclusivamente un idiomasiempre es impar, los grupos de personas que hablan dos de los tres idiomas es siemprepar. Si los que hablan espanol son 18, cuantos hablan ingles y quechua?

22. En terminos de la sucesion de Fibonacci determine cuantas palabras sobre el alfabeto{0, 1} hay de longitud n que no tienen dos 1´s seguidos. Justifique su respuesta.

23. Elaborar una algoritmo que enumere todos los subconjuntos del conjunto {0, 1, . . . , n}

24. Dados los vectores booleanos de n componentes A[i], B[j], que representan los conjuntosA y B respectivamente desarrollar algoritmos para construir C[i] que representa:

a) Ac ∩Bc

b) A ∩Bc

c) Ac ∪Bc

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6. Lenguajes Regulares

Recordamos que si Σ es un conjunto finito (alfabeto), cualquier subconjunto de Σ∗ es unlenguaje. Tambien recordemos que hemos definido una operacion muy natural entre palabrasde Σ∗ que es la concatenacion y que consiste en “juntar” las palabras a operar. Dados doslenguajes podemos hacer entre ellos operaciones como conjuntos y tambien hallar relacionesentre ellos.

Ejemplo 6. {ancbn | n ∈ N} y {ancbm | n, m ∈ N} son lenguajes sobre Σ = {a, b, c}, setiene que {ancbn | n ∈ N} es subconjunto propio de {ancbm | n,m ∈ N}.

Definicion 6. Dados L1 y L2 lenguajes sobre un alfabeto Σ se define la concatenacion deL1 y L2 ası:

L1L2 = {w1w2 | w1 ∈ L1, w2 ∈ L2}

Ejemplo 7. {ab, aa, ba, bb}{ab} son todas las palabras sobre Σ = {a, b} de cuatro letras queterminan en ab.

Podemos tambien ampliar el concepto de lenguaje generado por un alfabeto, tomandoahora como alfabeto cualquier conjunto de palabras.

Definicion 7. Dados L lenguaje sobre el alfabeto Σ se define la estrella de Kleene L∗

recursivamente ası:

i) BASE λ ∈ L∗

ii) PASO RECURSIVO Si v ∈ L y w ∈ L∗ entonces wv ∈ L∗

Notacion. L+ = LL∗

Ejemplo 8. {ab, aa}∗{ab, aa} = {ab, aa}+ son todas las palabras sobre Σ = {a, b} con unnumero par de letras que no contienen dos b’s seguidas y que empiezan por a.

Finalmente definimos los lenguajes regulares que son una familia muy importante delenguajes.

Definicion 8. Dado el alfabeto Σ se define la familia de lenguajes regulares sobre Σrecursivamente ası:

i) BASE ∅, {λ} y {x} para cada x ∈ Σ son lenguajes regulares.

ii) PASO RECURSIVO Si L1 y L2 son lenguajes regulares entonces L1 ∪ L2, L1L2 y L∗1

son lenguajes regulares.

Notacion. L+ = LL∗

Ejemplo 9. Todo conjunto finito de palabras es un lenguaje regular. Para generarlos no esnecesario utilizar la ∗ de Kleene. Por ejemplo, L = {abab, aaab, abaa, aaaa} es regular puessi N = {a}{b} ∪ {a}{a} entonces L = NN .

Ejemplo 10. El conjunto de palabras sobre Σ = {a, b} que empiezan y terminan con a esun lenguaje regular ya que se puede expresar ası: {a}{a, b}∗{a}.

21

No todos los lenguajes sobre un alfabeto son regulares. Demostrar que determinado len-guaje no es regular por ahora no esta a nuestro alcance, sin embargo anotemos que lossiguientes no lo son:

1. El conjunto de palabras sobre Σ = {a, b} que tiene igual numero de a’s que b´s.

2. El conjunto de palabras sobre Σ = {a, b} de la forma anbn.

3. El conjunto de palabras palındromes sobre un alfabeto Σ, es decir el conjunto {w ∈Σ∗ | wR = w}.

6.1. Ejercicios

1. Entre los siguientes conjuntos de palabras sobre Σ = {a, b} encuentre las relaciones decontenencia:

a) ({a} ∪ {ab}∗)∗

b) {a}∗ ∪ {ab}∗

c) {a, ab}∗

2. Cuales de las siguientes palabras pertenecen al lenguaje {a}({ab, ba})∗{b}:

a. ababab

b. ababbab

c. aabbabab

d. abbaabb

d. aababaabb

3. La palabra aaabab a cuales de los siguientes lenguajes pertenece:

a. {a}({ab, ba})∗{b}:b. {a}∗{ab, ba}{b}:c. {aa}{ab, ba}{b}d. {a}∗{ba}{b}d. {a}∗{ab}{b}

4. Defınase recursivamente el lenguaje L ası:

i) Base: λ ∈ L

ii) Paso recursivo: Si ω ∈ L ⇒ ωb ∈ L ∧ aaω ∈ L

Entonces L es el lenguaje:

a. {aa}∗{b}∗b. {aa}∗{b}+

c. {ab}∗

22

d. {a2nbn | n ≥ 0}d. Ninguna de las anteriores

5. De las palabras del lenguaje {a, ba}∗ podemos decir (FALSO/VERDADERO):

a. Todas tienen un numero par de b’s.

b. Que salvo λ, todas tienen al menos una b.

c. Que salvo λ, todas terminan en a.

d. Ninguna contiene a bb.

e. Que salvo λ, todas contienen al menos una a.

6. De las cadenas del lenguaje a∗b(a+b)∗ podemos decir (FALSO/VERDADERO):

a. Todas tienen un numero impar de b’s.

b. Que todas tienen al menos una b.

c. Todas terminan en b.

d. Ninguna contiene a bb.

e. Que todas contienen al menos una a.

7. Demostrar que los siguientes conjuntos de palabras sobre Σ = {a, b} son regulares:

a. Todas las que tienen un numero impar de b’s.

b. Las que tienen al menos una b.

c. Las que terminan en b.

d. Las que NO contienen contiene a bb.

e. Las que contienen exactamente una a.

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