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Proposições
São sentenças que podem ser atribuídos
valores verdadeiros ou falsos. Mas nunca
ambos.
Princípio do Terceiro Excluído: uma proposição
ou é verdadeira ou é falsa, isto é, há de ser
um desses casos e nunca um terceiro caso;
Princípio da Não-Contradição: uma proposição
não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e
falsa.
prof. Alessandro Ramaldes
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O que não é proposição?
Sentenças abertas.
Uma sentença aberta não é considerada
proposição, pois não é possível julgá-la como
verdadeira nem como falsa. Considere a
sentença:
Ele marcou mais de mil gols.
É impossível dizer se essa sentença é
verdadeira ou falsa sem saber quem é a
variável "Ele''
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Também não são preposições.
Sentenças exclamativas!
Seja feliz!
Sentenças interrogativas
Que é isso?
Sentenças auto-referentes
porque essa se refere ao seu próprio valor
verdade, exemplo: está sentença é falsa.
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Exemplos.
A terra é maior que a lua
Esta é sentença tem valor lógico verdadeiro,
portanto é uma proposição
Maria é bonita.
Esta sentença tem valor lógico que pode ser
verdadeiro ou falso portanto temos uma
proposição.
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Exercitando.
Reconheça as proposições abaixo como genéricas e proposições valoradas.
Renata é linda.
Pele fez 10 gols pela seleção brasileira.
√3 + 4 = 7.
Feliz ano novo
Flamengo é um time de futebol
Seja feita a vontade de Deus.
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Questão cespe.
Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.
“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
A expressão X + Y é positiva.
O bb é o melhor banco do país
Dunga jogou pela seleção brasileira.
O que é isto?
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Trabalhando com proposições
Tomamos como base a seguinte proposição composta.
Te darei uma bola e um carrinho.
Possibilidades.
Dar a bola e o carrinho
Dar a bola e não dar o carrinho
Não dar a bola e dar o carrinho
E não dar nenhum dos dois.
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Calculando as possibilidades.
Fórmula:
2n = numero de possibilidades
Onde n é o numero de proposições.
No exemplo anterior temos duas proposições
por isso 4 possibilidades.
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Montando a tabela verdade.
Se temos duas proposições sabemos que
temos 4 possibilidades, se 3 temos 8.
V V
V F
F V
F F
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
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Analisando os conectivos lógicos.
Primeiro conectivo e símbolo ^
Regra
A sentença é verdadeira quando todas as
proposições forem verdadeiras.
Ex: uma pai promete ao seu filho; te darei
uma bola e um carrinho.
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Analisando.
1. Notamos o numero de proposições
2. Fazemos a tabela verdade.
3. Damos a sentença segundo a regra do
conectivo.
4. Chamamos de A= dar a bola B= dar o carrinho
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A B A ^ B
V V V
V F F
F V F
F F F
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Conectivo ou exclusivo.
Ou.... Ou..... Símbolo “v”
REGRA; a sentença é verdadeira quando as
proposições tiverem valores lógicos
diferentes.
Tomemos como exemplo ainda a frase; um pai
promete ao seu filho ou te darei uma bola ou
uma carrinho.
Chamemos da A= dar a bola B= dar o
carrinho.
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Analisando.
1. Notamos o numero de proposições
2. Fazemos a tabela verdade.
3. Damos a sentença segundo a regra do conectivo.
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A B A “V” B
V V F
V F V
F V V
F F F
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Conectivo ou
......Ou..... Símbolo v
REGRA; a sentença é verdadeira quando pelo
menos uma proposição for verdadeira.
Tomemos como exemplo ainda a frase; um pai
promete ao seu filho te darei uma bola ou
uma carrinho.
Chamemos da A= dar a bola B= dar o
carrinho.
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Analisando.
Notamos o numero de proposições
Fazemos a tabela verdade.
Damos a sentença segundo a regra do conectivo.
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A B A v B
V V V
V F V
F V V
F F F
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Exercitando.
De as sentenças das seguintes equações
lógicas abaixo.
1. (A v B) ^ ( A ^ B)
2. (A v B) “v” ( A ^ B)
3. (A ^ B) ^ ( A “v” B)
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RESOLUÇÃO 1.
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A B A v B A ^ B(A v B) ^ ( A ^ B)
V V V V V
V F V F F
F V V F F
F F F F F
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RESOLUÇÃO 2.
prof. Alessandro Ramaldes
A B A v B A ^ B(A v B) “v” ( A ^
B)
V V V V F
V F V F V
F V V F V
F F F F F
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RESOLUÇÃO 3.
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A B A ^ B A “v” B(A ̂ B) ^ ( A “v” B)
V V V F F
V F F V F
F V F V F
F F F F F
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Negação de uma proposição.
Símbolo ~ ou ⌐
Seja a proposição A
Se A = V então ~A = F
Se A = F então ~A = V
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Exemplos.
Maria é bonita.
Negação = maria não é bonita.
João não é médico.
Negação = joão é médico.
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(CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem
proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores
lógicos que constroem novas proposições e significam não, e,
ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada
proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode
ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.
Com base nas informações apresentadas no texto acima,
julgue os itens a seguir.
1) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa,
então a proposição R v (¬ T) é falsa
2)Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é
falsa, então a proposição (P∧R)”v”(¬Q) é verdadeira.
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Se a proposição T é verdadeira e a proposição
R é falsa, então a proposiçãoR v (¬ T) é falsa
RESOLUÇÃO
T= V R = F
Daí temos F v ~V F v F = F
CORRETA A QUESTÃO
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2)Se as proposições P e Q são verdadeiras e a
proposição R é falsa, então a proposição
(P∧R)”v”(¬Q) é verdadeira.
RESOLUÇÃO
Substituindo os valores temos;
( V ^ F ) “v” ~V ( F ) “v” F F
QUESTÃO ERRADA.
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EXERCICIOS CESPE.
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23. resolução.~(AvB)v(AvB)
Temos que independente isso quer dizer que
são todas as possibilidades.
Daí temos a tabela verdade.
QUESTÃO CORRETA.
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A B AvB ~(AvB) .~(AvB)
v(AvB)V V V F V
V F V F V
F V V F V
F F F V V
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24. resolução.
Seja A= todos os beija-flores...
Seja B= algum beija-flor....
Negação de todos = algum
Negação de nenhum = algum
Negação de algum = todos ou nenhum.
Então temos se A=F temos B= ~A daí B= V
Correta a questão.
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25. resolução
~AvB= V e sendo A=F
Sabemos que conectivo ou a sentença é
verdadeira quando ao menos uma proposição
for verdadeira daí temos.
Fv”B”=F obrigatoriamente B tem que ser falso.
Questão errada.
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Conectivo condicional. Símbolo
Módulo clássico de se ver a forma condicional.
Se.... Então....
Exemplo;
Se nasci em Petrópolis então sou fluminense.
Tabela verdade. A= nascer em pet... B= ser flu...
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A B A B
V V V
V F F
F V V
F F V
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REGRA
A sentença será falsa quando a primeira
proposição for verdadeira e a segunda falsa.
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a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das
seguintes maneiras:
Se chove, faz frio.
Faz frio, se chove.
Quando chove, faz frio.
Chover implica fazer frio.
Chover é condição suficiente para fazer frio.
Fazer frio é condição necessária para chover.
Chove somente se faz frio.
Toda vez que chove, faz frio.
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Questão 1
(Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:
P: “A ou B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: “Carlos é dentista”
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
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Questão 2
Julgue a questão abaixo.
É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de
proposições seguintes:
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José
será aprovado no concurso.
Maria é alta.
Portanto José será aprovado no concurso.
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Questão 3
Julgue a questão abaixo.
É correto o raciocínio lógico dado pela
seqüência de proposições seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela
conseguirá um emprego.
Ela conseguiu um emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
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Questão 4
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Questão 5
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Questão 6
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Questão 7
Julgue as questões abaixo
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Questão 8
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Questão 9
Um pai diz ao filho: Ser aprovado é condição suficiente para você ganhar um presente. A promessa do pai só será falsa se:
a) Sendo aprovado e ganhando o presente
b) Não sendo aprovado, mais ganhara o presente.
c) Não sendo aprovado e não ganhando o presente
d) Sendo aprovado e não ganhando o presente
e) Nenhuma das opções acima
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Questão 10
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Questão 11
(ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema.
Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla
fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga
com Carla. Logo.
a. Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.
b. Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.
c. Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.
d. Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
e. Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.
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Conectivo bi condicional.
Símbolo
Forma clássica de ocorrer.
.... Se somente se....
Regra a sentença é verdadeira quando as proposições tiverem
valores lógicos iguais e falsa quando são diferentes.
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São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se
q" as seguintes
expressões:
A se e só se B.
Se A então B e se B então A.
A somente se B e B somente se A.
A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para
A.
B é condição necessária para A e A é condição necessária
para B.
Todo A é B e todo B é A.
Todo A é B e reciprocamente.
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Outras formas de aparecer a bicondicional.
A é condição suficiente e necessária para B
A é condição necessária e suficiente para B
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Exercícios.
Questão 1
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Questão 2
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Questão 3
Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente
a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao
comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a
seguir:
A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não
foi à praia
pode ser corretamente representada por ¬P (¬R ∧ ¬Q)
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Questão 7
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Questão 8
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Questão 9
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Diagramas lógicos.
O uso de diagramas é feito para resoluções do tipo em que
apareçam palavras lógicas do tipo; todos, alguns e nenhum.
A idéia básica para resolução das questões é o conceito básico
de lógica em que diz. Que uma coisa possível não é uma
coisa verdadeira, pois uma coisa para ser verdadeira deve
ser verdadeira em todos os casos.
Vamos a um exemplo para podemos entender melhor isso.
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Exercitando.
Questão 1
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Questão 2
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Questão 4
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Questão 5
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Questão 6
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Questão 7
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Questão 8
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Negação de diagramas lógicos.
Negação de todos é alguns
Negação de nenhum é alguns
Negação de alguns é nenhum ou
todos.
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Exercitando.
Dizer que não é verdade que, todos os artistas são felizes e
alguns professores são ricos é o mesmo que dizer que;
a) Todos os artistas não são felizes e alguns professores são
ricos.
b)Todos os artistas não são felizes e alguns professores não são
ricos.
c) algum artista não é feliz ou nenhum professor é rico
d) Alguns artistas não são felizes e nenhum professor é rico.
e) Nenhum das anteriores esta correta.
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Exercitando.
A afirmação; não é verdade que se nenhum pobre é feliz então
algum rico é infeliz. É logicamente equivalente a;
a) Algum rico é feliz e algum pobre é infeliz
b) Algum pobre é feliz e nenhum rico é infeliz.
c) Todos os pobres são felizes ou algum rico é infeliz
d) Nenhum pobre é feliz se somente se todos os ricos são
infelizes
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
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Análise combinatória ou principio fundamental da contagem.
Toda vez que houver a necessidade de se contar, quantificar,
combinar... Usamos as técnicas de análise combinatória que
consiste em utilizar uma das três técnicas. PERMUTAÇÃO,
ARRANJO ou COMBINAÇÃO.
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Fatorial.
n! = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4).... Ate que a subtração por n seja igual
á 1.
4! = 4x3x2x1= 24
5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120
8! \ 4! = ?
9! \ 6! x 2! = ?
12! \ 8! X 4! = ?
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PEMUTAÇÃO.
Só usamos a permutação quando podemos repetir
elementos do problema.
Usamos o seguinte esquema.
Pos x pos x pos x pos........
Ex; quantas senhas diferentes com quatro dígitos
podem ser formadas ?
Temos; 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
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ARRANJO.
se em um problema não podemos repetir elementos vemos se a
ordem desses elementos é importante para a solução, se for
temos um problema de ARRANJO.
formula. A n,p = n! \ (n-p)!
Ex; deseja-se formar uma comissão composta por 3 pessoas
sendo um presidente, um secretário e um vice-presidente.
Escolhe-se ao acaso essas pessoas de um grupo de 6
pessoas quantas possibilidades diferentes temos para
montar essas comissões?
Temos n= 6 p = 3 A 6,3 = 6! \ ( 6 – 3 )! 6x5x4x3!\3! =
6x5x4=120
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Combinação
ao testar em um problema se o mesmo é uma permutação ou
um arranjo, e ao notar que não é podemos ver que a ordem
dos elementos se torna importante e temos um problema de
combinação.
Fórmula. C n,p = n! \ p! ( n-p )!
Ex; quantas saladas de frutas podem ser feitas utilizando 4
frutas escolhidas de uma sexta com 7 frutas?
n= 7 p = 4 temos; C 7,4 = 7! \ 4! ( 7- 4 )! 7! \ 4! x 3!
7x6x5x4 \ 3x2x1 = 35
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EXERCITANDO.
Questão 1
Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de
pessoas para serem usados em uma propaganda na
televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da
Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de
nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e
que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre
apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a
quantidade de inserções com pares diferentes de nomes
distintos que pode ocorrer é inferior a 70.
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Questão 2
Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12
funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada
agência receba 4 funcionários.
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Questão 3
Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há
4 setores distintos onde eles podem ser lotados, então há, no
máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações.
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Questão 4
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Questão 5
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Questão 6
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QUESTÃO 7
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Questão 8
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Questão 9
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Questão 10
O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de seis dezenas de
um conjunto de sessenta possíveis (01, 02, 03, ..., 59, 60). A
aposta mínima é feita escolhendo-se seis dessas dezenas.
José pensou em oito dezenas diferentes, e resolveu fazer o
maior número de apostas mínimas, combinando-as oito
dezenas escolhidas de todas as maneiras possíveis. Quantas
apostas fez José?
(A) 28
(B) 48
(C) 56
(D) 98
(E) 102
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Questão 11
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EXERCICIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA.
QUESTÃO 1
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Questão 3
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Questão 7
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve
resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10
questões?
a) 3003
b) 2002
c) 4000
d) 4084
e) 2048
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Probabilidade.
Em resumo podemos definir probabilidade como sendo ;
Número de casos possíveis
casos prováveis.
ou
evento .
Espaço amostral.
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Exemplo:
Qual a probabilidade de jogarmos um dado ao acaso e termos
como resultado o número 4.
Qual a probabilidade de em um baralho com 52 cartas tirarmos
uma ao acaso e a mesma ser do nipe de copas.
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: A probabilidade do evento impossível é nula.
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto
vazio (Ø), teremos:
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
Por exemplo, se numa urna só existem bolas
brancas, a probabilidade de se retirar uma bola
verde (evento impossível, neste caso) é nula.
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A probabilidade do evento certo é igual a unidade.
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a
probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo,
neste caso) é igual a 1.
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A soma das probabilidades de um evento e do seu evento
complementar é igual a unidade.
Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A'
= U.
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).
Dividindo ambos os membros por n(U), vem:
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:
p(A) + p(A') = 1
Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois
facilita a solução de muitos problemas aparentemente
complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a
probabilidade do evento complementar e, pela propriedade
acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.
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ex; de probabilidade complementar.
Ao lançarmos 5 moedas ao acaso qual a probabilidade de que
pelo menos uma moeda tenha na sua face voltada para cima
a cara.
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Questão 1
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Questão 3
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Questão 4
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Questão 5
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Questão 6
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Questão 7
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Questão 8
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Questão 10
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Questão 11
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Questão 13
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Questão 14
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Questão 15
Lança-se, simultaneamente, uma moeda e um dado. A
probabilidade de obtermos cara e um número par é
a) 1 / 12.
b) 2 / 12.
c) 3 / 12.
d) 4 / 12.
e) 6 / 12.
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