PROPOSITO DE LA UNIDAD II

Con los contenidos temáticos que forman parte de la Unidad II

denominada movimiento se tiene el firme propósito de que

estudiante primero antes que nada entienda de que se esta hablando,

cuales son los elementos fundamentales que contribuyen a que se

desarrolle un movimiento de distinto tipo como pude ser: rectilíneo

uniforme, rectilíneo uniformemente variado, vertical, parabólico,

circular uniforme y circular uniformemente variado; así mismo se

busca que el estudiante entienda y comprenda la relación que existe

entre los diferentes tipos de movimientos, todo lo anterior con la

finalidad especifica de hacerle notar la relación vertical y horizontal

que existe con otros temas de la física en general y con otras ciencias

de diferentes campos de conocimiento.

Se pretende también que el estudiante interrelacione la teoría y

problemas resueltos asimilados con situaciones prácticas del medio

en que este se desenvuelve o se valla a ver inmerso dentro del

desarrollo de su vida cotidiana.

Es necesario que se comprenda que ningún cuerpo por grande o

pequeño que este sea, no se puede modificar su estado de reposo o

de movimiento a menos de que agentes externos actúen sobre el;

por tal razón se puede decir que nada puede permanecer en completo

estado de reposo o de movimiento, pues como elemento que

formamos parte de un universo mayor, estamos sujetos al

comportamiento de leyes universales y naturales que rigen el

comportamiento de los diferentes cuerpos que sobre el planeta tierra

existen.

MÓDULO II

UNIDAD II. Movimiento

C I N E M A T I C A

INTRODUCCION

La Cinemática es el estudio del movimiento de los cuerpos, sin considerar las causas que los ocasionan. Los movimientos de mayor interés son el rectilíneo, la caída libre, el movimiento circunferencial, el elíptico, y el parabólico. Tipos de movimiento

Los tipos de movimiento dependen de cómo sea su aceleración, es decir, de si varía o no la velocidad, y de la trayectoria que siga el móvil. Así, podemos distinguir:

Movimiento Uniforme, si lavelocidad es constante o, lo quees lo mismo, la aceleración esnula. Este movimiento es tansencillo que es difícil de observaren la naturaleza.

Movimiento uniformemente acelerado, si la velocidad cambia de manera uniforme, es decir, aumenta o disminuye lo mismo cada segundo. En este movimiento, por tanto, la aceleración es constante. La aceleración puede ser positiva, si la velocidad va aumentando, o negativa, si disminuye. El movimiento de un objeto que cae es de este tipo.

Movimiento acelerado,cuando la velocidad varía perono lo hace de manera uniformeporque la aceleración tambiénes variable. Un vehículo quefrena y acelera constantementeestá sometido a este tipo demovimiento.

También podemos clasificar los movimientos en función de su trayectoria. Así tendremos:

Movimientos rectilíneos, si elcamino seguido por el móvil otrayectoria, es una línea recta.Un objeto que cae librementetiene esta trayectoria.

Movimientos curvilíneos, si la trayectoria es curva. Dentro de estos estarían el circular, cuando el móvil describe trayectorias con forma de circunferencia, como las agujas de un reloj; o el parabólico, si describe una parábola, como el proyectil disparado por un arma o un balón de baloncesto lanzado a canasta.

TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO

Al estudiar el movimiento de un cuerpo, es necesario distinguir entre su trayectoria o recorrido y su desplazamiento. La medida de la trayectoria nos indica la distancia recorrida por el móvil, la cual es una magnitud escalar. En cambio, el desplazamiento es una magnitud vectorial, por lo tanto se representa por un vector que indica el punto de partida y el punto de llegada del movimiento de ese cuerpo.

POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA La posición de una partícula M sobre una recta que tiene un origen O, la da su abscisa x. Se dirá entonces que el vector que une el origen

con la partícula es el vector posición .

Matemáticamente se dirá que el vector posición es función del tiempo, es decir:

DISTANCIA Y DESPLAZAMIENTO DE UNA PARTÍCULA Es necesario distinguir entre distancia y desplazamiento y para comprenderlo mejor es necesario poner un ejemplo. Supóngase que una persona camina 80 m hacia el este y luego retorna hacia el oeste 30 m. La distancia total recorrida por la persona es de 80 m sin embargo el desplazamiento es de 50 m hacia el este. El desplazamiento es un vector que indica el cambio de posición de una partícula, es decir.

RAPIDEZ Y VELOCIDAD DE UNA PARTÍCULA También hay que distinguir entre rapidez y velocidad aunque los términos parecerían ser los mismos. El término rapidez indica cuan lejos puede moverse una partícula en un determinado tiempo (90 Km./h) indicando únicamente el valor y su unidad (escalar), en cambio la velocidad es un vector que representa también una dirección. Con esta aclaración de conceptos, se puede definir a la rapidez promedio como la relación entre la distancia total recorrida y el tiempo empleado en ese recorrido.

Se definirá el vector velocidad media (V) como la relación entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.

Una velocidad positiva indicará que la partícula se desplaza en la dirección positiva de la trayectoria. Una velocidad negativa indicará lo contrario. Las unidades de la velocidad son m/s, Km/h, cm/s, millas/h, pie/s, etc.

VELOCIDAD INSTANTÁNEA La velocidad media no describe el movimiento en cada instante y por tanto no sirve para una descripción precisa del mismo. La única manera de conocer el movimiento de un cuerpo cada instante es determinando su velocidad media para desplazamientos muy pequeños, durante intervalos de tiempo también muy pequeños. Se definirá entonces la velocidad instantánea a la relación entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente, cuando este último tienda a ser cero, es decir

ACELERACIÓN DE UNA PARTÍCULA Si la velocidad de una partícula varía de a un tiempo hasta un valor a un tiempo, se define al vector aceleración media (a) la razón de la variación de el vector velocidad en el intervalo de tiempo correspondiente.

Una aceleración positiva indicará un incremento de la velocidad y una negativa un decremento. Las unidades de la aceleración son m/s2, Km/h2, pie/s2, etc.

Por concepto la aceleración instantánea será la variación de la velocidad en un intervalo de tiempo cuando este último tiende a cero

Las ecuaciones vectoriales del movimiento se transforman inmediatamente en ecuaciones escalares para el movimiento rectilíneo en vista de que todos los vectores posición, velocidad y aceleración están en la dirección de la trayectoria y los signos + ó – que puedan tener indicarán si estos vectores están en la dirección positiva o negativa de la trayectoria, por tanto estos vectores podrán ser representados como cantidades escalares y las ecuaciones vectoriales del movimientos se transformarán en:

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME Se dirá que un móvil tiene un movimiento rectilíneo uniforme cuando tiene velocidad constante, es decir, recorre espacios iguales en tiempos iguales. Las ecuaciones cinemáticas que describen este movimiento son:

1. Velocidad.- Siendo la velocidad instantánea constante, necesariamente la velocidad media también será constante e igual a V.

2. Aceleración.- Según la definición de aceleración media se tiene que:

por tanto la aceleración es cero.

3. Posición.- Según la definición de velocidad media, se tiene que:

Si se toma como condición inicial que para t0=0, la posición inicial es x0, se obtiene la ecuación:

En resumen, las ecuaciones cinemáticas que definen el movimiento rectilíneo uniforme son:

GRAFICOS DEL MRU

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO Se dirá que un móvil tiene un movimiento uniformemente variado cuando tenga una aceleración constante, es decir, recorra espacios diferentes en tiempos iguales. Las ecuaciones cinemáticas que describen este movimiento son:

1. Aceleración.- Siendo la aceleración instantánea constante, necesariamente la aceleración media también será constante e igual a "a".

2. Velocidad.- Según la definición de aceleración media se tiene que :

Si se toma como condición inicial que para t0=0 , la velocidad inicial es v0 , se obtiene la ecuación:

Cuando se trata de un solo movimiento con aceleración, la velocidad media también puede ser calculada como la semisuma de las velocidades, es decir:

3. Posición.- Por definición la velocidad media es:

Si se toma como condición inicial que para t0=0, la posición inicial es x0, operando con las ecuaciones 1 y 2 se obtiene la ecuación:

NOTA 1.- Se deja la demostración anterior para ser realizada por el estudiante.

En resumen, las ecuaciones cinemáticas que definen el movimiento rectilíneo uniformemente variado son:

NOTA 2.- Normalmente, tanto para el movimiento uniforme como para el movimiento acelerado x0=0, por tanto este término en las ecuaciones de la posición desaparece.

GRAFICOS DEL MRUV

MOVIMIENTO HORIZONTAL Se utilizarán las mismas ecuaciones anteriores con igual nomenclatura

MOVIMIENTO VERTICAL Se utilizarán las mismas ecuaciones anteriores pero cambiando la nomenclatura "y por x". En este movimiento, la aceleración es siempre un valor conocido por tratarse de la aceleración de la gravedad e igual a 9.8 m/s2 para el S.I. y de 32 ft/s2 para el sistema Inglés.

MOVIMIENTO DE PROYECTILES (TIRO PARABÓLICO) (Movimiento de una partícula en el plano) Si se desprecia la resistencia ofrecida por el aire, la experiencia muestra que todos los cuerpos en caída libre están sometidos a la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre una masa cualquiera. El efecto de esta atracción produce en los cuerpos una aceleración dirigida hacia abajo conocida como la aceleración de la gravedad. De acuerdo a esto, un cuerpo que es lanzado horizontalmente avanzará en esa dirección a velocidad constante (aceleración igual a cero) y caerá en la dirección vertical con movimiento uniformemente variado

debido a la aceleración de la gravedad. Es conveniente por eso cuando se trata de movimiento de proyectiles, considerar que es el resultado de dos movimientos y analizar cada uno de ellos por separado.

LANZAMIENTO DE PROYECTILES AIRE – TIERRA

Si se supone que se dispara una bala de cañón desde la izquierda (fig.) y al mismo tiempo se deja caer otra bala desde la derecha, se observa lo siguiente:

• El proyectil disparado avanzará horizontalmente con una velocidad constante igual a la velocidad inicial con que fue disparada. (Igual longitud en las flechas horizontales)

• El proyectil disparado y el dejado caer, tendrán una velocidad inicial de cero en el eje vertical.

• El proyectil disparado y el dejado caer, incrementarán uniformemente su velocidad vertical debido a la aceleración de la gravedad. (Diferente longitud de las flechas verticales conforme cambia el tiempo)

• El proyectil disparado y el dejado caer, llegarán al final del movimiento en el mismo instante y con la misma velocidad vertical.

Es por tanto conveniente para el estudio de este tipo de lanzamiento, separarlo en dos:

1. Un movimiento horizontal uniforme (velocidad constante) 2. Un movimiento vertical uniformemente variado (aceleración

constante igual a la aceleración de la gravedad)

(CASO GENERAL DE MOVIMIENTO O TIRO PARABÓLICO) El caso general de lanzamiento de proyectiles se tiene cuando se lo lanza con un ángulo de inclinación respecto a la horizontal. Como en el caso anterior es conveniente separar este movimiento en dos, uno horizontal uniforme (velocidad en el eje horizontal constante) y otro uniformemente variado (la velocidad vertical varía porque existe la aceleración de la gravedad dirigida hacia abajo).

Como se observa en la figura, la velocidad inicial forma un ángulo "teta" respecto a la horizontal y por tanto podrá ser descompuesta en sus componentes rectangulares V0x y V0y. La velocidad en x será siempre constante e igual a la velocidad inicial en x (V0x) y será la que hace avanzar horizontalmente al proyectil. La velocidad en y será variable debido a la aceleración de la gravedad y permitirá que el proyectil suba y luego baje. La velocidad en y variará desde la velocidad inicial en y (V0y) hasta hacerse cero en su altura máxima, para luego aumentar cuando el cuerpo desciende hasta llegar otra vez a alcanzar la velocidad en y con la que partió.

GLOSARIO DE TERMINOS Y FORMULAS UTLIZADAS PARA CALCULAR DICHOS ELEMENTOS ALTURA MAXIMA: máxima altura alcanzada por el proyectil (velocidad final en y igual a cero).

gvh y

20

2

max −=

TIEMPO DE SUBIDA: tiempo en el que el proyectil alcanza su máxima altura.

gv

t ysubir

0−=

TIEMPO DE BAJADA: tiempo que tarda el proyectil en descender desde su altura máxima hasta la posición desde la cual partió.

ghtcaer

2=

TIEMPO DE VUELO: tiempo total en el que el proyectil ha estado en el aire.

gv

t yaire

02−=

ALCANCE (R): distancia horizontal máxima que alcanza el proyectil.

gsenVR θ20

2

−=

NOTA: Los problemas de lanzamiento de proyectiles deberán siempre ser analizados como si se trataran de dos movimientos, uno horizontal rectilíneo uniforme y uno vertical uniformemente variado.

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuyavelocidad angular θ es constante, por tanto, laaceleración angular es cero. La posición angularθ del móvil en el instante t lo podemos calcularintegrando θ - θ 0= θ (t-t0) o gráficamente, en la representación de θ enfunción de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

Movimiento circular uniformemente acelerado

Un movimiento circular uniformementeacelerado es aquél cuya aceleración θ esconstante. Dada la aceleración angular podemos obtener elcambio de velocidad angular θ - θ 0 entre losinstantes t0 y t, mediante integración, ográficamente.

Dada la velocidad angular θ en función deltiempo, obtenemos el desplazamiento θ - θ 0del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente(área de un rectángulo + área de un triángulo),o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ - θ0

RESUMEN DE FORMULAS BÁSICAS CINEMATICA Movimiento rectilíneo y uniformemente variado:

asVadVV

attvdS

atVV

f 222

20

20

2

2

0

0

+=+=

+==

+=

Caída libre:

gdgsV

gtdS

gtV f

222

2

2

==

==

=

Lanzamiento vertical:

Movimiento en un plano (movimiento de proyectiles):

Movimiento circular: Velocidad angular:

Aceleración angular:

Ángulo girado:

EJERCICIOS RESUELTOS MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS

1. Un globo está ascendiendo a razón de 12 m/s hasta una altura de 80 m, momento en el que suelta un paquete. ¿Cuánto tardará el paquete en llegar al suelo? Tomando como origen de espacios el origen de coordenadas, la ecuación del movimiento:

se obtiene:

ecuación que resuelta da para el tiempo el valor:

ya que la solución negativa no tiene sentido físico.

2. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de diferencia, el primero con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con la de 80 m/s. a) ¿Qué tiempo transcurrirá hasta que los dos se encuentren a la misma altura?. b) ¿Qué velocidad tendrá cada uno en ese momento?

Cuando los proyectiles se encuentran a la misma altura se verifica que:

de donde el tiempo que transcurre desde el primer lanzamiento es: st 6.3

6.496.179

==

y la velocidad de cada proyectil en ese instante:

smV

smV

3.64)26.3(8.980

72.146.38.950

2

1

=−−=

=×−=

=

3. En una carretera cuya velocidad máxima tolerada es de 70 km/h se ha instalado una cámara de cine que toma 32 imágenes por segundo para determinar la velocidad de los vehículos. Si un automóvil cuya longitud es 2.50 m ocupa en su movimiento total ante la cámara 5 imágenes, ¿está infringiendo la ley?

En primer lugar: 70 km/h= 19,44 m/s El automóvil tarda en pasar delante de la cámara 5/32 s, luego su velocidad es de:

smsmv /44.19/1632/550.2

p==

Luego, no infringe la ley.

4. Un móvil parte del reposo y de un punto A, con movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado (a = 10 cm/s2); tarda 3 s en recorrer una distancia BC =105 cm y finalmente llega al punto D siendo CD =55 cm. Calcular: a) Velocidad del móvil en los puntos B, C y D. b) Distancia AB. c) Tiempo invertido en los recorridos AB y CD. d) El tiempo total en el recorrido AD.

En el recorrido BC: En el recorrido CD:

De la ecuación: :

despejando VD: El tiempo invertido en el recorrido CD se puede calcular a partir de la ecuación:

El tiempo total invertido en el recorrido AD es: de donde el correspondiente a la primera parte de dicho recorrido es:

Finalmente, la distancia AB se obtiene sustituyendo en la ecuación:

5. Un móvil parte de un punto con una velocidad de 110 m/s y recorre una trayectoria rectilínea con una aceleración de – 10 m/s2. Calcular el tiempo que tardará en pasar por un punto que dista 105 m del punto de partida. Interpretar físicamente los dos resultados que se obtienen.

De la ecuación s=v0t+1/2at2, sustituyendo, obtenemos: 105 = 110t - 5 t2, de donde:

Para interpretar los dos valores del tiempo que se obtienen como solución, escribimos la ecuación general de la velocidad del móvil: v =110 - 10t, según la cual encontramos que para t =11 s, v =0. Es decir, que el móvil, cuando ha transcurrido 1 s de su movimiento,

está a 105 m del origen; transcurridos otros 10 s se para y, a continuación, vuelve por el mismo camino estando nuevamente a 105 m del origen en t =21 s. 6. Un cuerpo se mueve en el plano XY y sus coordenadas están expresadas por las ecuaciones:

donde t es el tiempo y y R constantes. a) Hallar la ecuación de la trayectoria. ¿Qué representa? b) Hallar la velocidad y aceleración del movimiento. c) Encontrar el significado de las constantes R y . a) Para hallar la ecuación de la trayectoria eliminamos la variable t entre las dos ecuaciones de x e y. Para ello elevamos al cuadrado y sumamos miembro a miembro:

Esta ecuación representa una circunferencia de radio R. b) Velocidad:

con lo que:

Aceleración:

con lo que:

c) Como hemos dicho, R es el radio de la trayectoria. En cuanto a w,

al ser x e y funciones sinusoidales: siendo T el periodo de la función; es decir, el mínimo valor del tiempo para el cual los valores de x e y se repiten. 7. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 51 ms-1. a) ¿Cuántos metros recorrerá en el tercer segundo de su movimiento ascendente? b) ¿A qué altura estará al final del quinto y sexto segundo? Tomando como origen de coordenadas el punto de lanzamiento, la ecuación del movimiento de la piedra es: s = 51t – 4,9t2 a) En el tercer segundo de su movimiento el espacio recorrido será:

= 51 – 24,5 = 26,5 m b) Para t = 5 s, estará a una altura igual a: s = 515 – (4.9) (5)2 = 132,5 m Para t = 6 s: s = 516 - 4,9·62 = 306 - 176,4 = 129,6 m

8. Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30º con la horizontal y, al llegar a su extremo, queda en libertad con una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es 60 m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado de 30 m. Calcular: a) Las ecuaciones del movimiento de la pelota al quedar en libertad. b) ¿Llegará directamente al suelo o chocará con la pared opuesta, antes? c) Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad en ese momento. d) La posición en que se encuentra cuando la velocidad forma un ángulo de 45º con la horizontal.

a) Ecuaciones del movimiento:

Tiempo que tarda en caer al suelo: y = 60 m; 60 = 5t + 4,9t2 ; 4,9t2 + 5t – 60 = 0 donde t es igual a:

la solución negativa no tiene sentido. b) Distancia que recorre en horizontal:

luego llegará al suelo sin chocar antes contra la pared opuesta. c) t = 3 s. Ecuaciones de la velocidad de la pelota:

d) Cuando la velocidad forma un ángulo do 45º con la horizontal vx= vy, luego:

9. Un auto está esperando que cambie la luz roja. Cuando la luz cambia a verde, el auto acelera uniformemente durante 6 s a razón de 2 ms-2, después de lo cual se mueve con velocidad constante. En el instante en que el auto comienza a moverse, un camión que se mueve en la misma dirección con movimiento uniforme de 10 m/s, se

le adelanta. ¿A qué distancia y en qué momento se encontrarán nuevamente el auto y el camión? Al final de los 6 s el auto tiene una velocidad de: v = at =12 ms-1

Cuando se encuentran de nuevo el auto y el camión, ambos han recorrido una distancia x en un tiempo t. Será: Para el auto: x = 12(t – 6)+1/2262 + 12(t-6). Para el camión: x = 10t Igualando ambas expresiones de x: 36 + 12t - 72 = 10t; t = 18 s de donde: x = 10t = 180 m.

10. Un coche va por una carretera recta y horizontal a una velocidad de 72 km/h. El conductor ve de pronto delante de él otro coche que va a 18 km/h en su misma dirección y sentido. Si este otro coche se encuentra a 35 m cuando el conductor lo ve, tarda 0,3 s en reaccionar y en apretar el freno, ¿qué aceleración constante se necesita para evitar el choque?

72 km/h = 20 ms-1; 18 km/h = 5 m/s En los 0,3 s que tarda el conductor en reaccionar, se aproxima al coche que va delante en 0,320 = 6 m. En este mismo tiempo dicho coche avanza 0,35=1,5 m. La distancia entre los dos vehículos cuando el primer coche frena es: 35 – 6 + 1,5 = 30,5 m. Luego, considerando que, para no chocar, el coche que frena debe reducir su velocidad a 5 ms-1 en una distancia de 30,5 m, se tendrá que cumplir:

de donde:

11. Un avión vuela en la dirección S-N con la velocidad de 720 km/h hacia el Norte. Sopla viento de 60 km/h en la dirección Nordeste. a) Determinar la velocidad resultante. b) Determinar la dirección y velocidad del avión para ir en la dirección SN con la velocidad resultante de 720 km/h.

a) La velocidad resultante tiene como componentes:

siendo su módulo:

y:

b) Se verifica que:

de donde:

El módulo de la velocidad del avión es entonces:

y

12. Una bola rueda sobre un tablero horizontal de 2 m de altura y cae al suelo a una distancia de 5 m, contada desde el borde del tablero. ¿Con qué velocidad rodaba?

El tiempo que tarda la bola en llegar al suelo es el mismo que tardaría si cayera libremente desde una altura de 2 m. Es decir: 2 = 1/29,8t2; t = 0,64 s y, en ese tiempo, la bola recorrería:

con la velocidad constante v. Luego:

13. Un avión de la Cruz Roja vuela a 1200 m de altura con una velocidad de 180 km/h. ¿Cuánto tiempo antes de estar en la misma vertical de un poblado debe soltar un paquete? ¿A qué distancia del blanco deberá estar? ¿Con qué velocidad llegará el paquete al suelo? El tiempo que tarda el paquete en caer se obtiene de la ecuación: y = 1/2 gt2

y la distancia x a que debe estar el avión del blanco: x = 50·15,65 = 782,5 m. La velocidad del paquete al llegar al suelo tendrá como componentes: Vx= 50 m/s; Vy= 9,8·15,65 = 153,4 m/s de donde:

y

14. El alcance de una piedra, lanzada desde un cierto punto, es de 82,6 m y la altura máxima a que se ha elevado es de 11,9 m. Hallar en magnitud y dirección la velocidad con que se ha lanzado.

El alcance máximo viene dado por la expresión:

y la altura máxima por la:

θϕ =:tomaremos

Sustituyendo valores obtenemos que:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ιθθθ

θθθθθθθ

θθθ

θθθθθ

θθ

θ

θ

5729953.295762.06.826.47tan:;6.47tan6.82

:cos:;cos6.476.82:;cos6.476.82

:minmin;8.23

cos26.82

:

cos22:;8.23

26.82

:43

48.23;326.82:21

22

2.9.11

12

6.82

00

2

2

2

22

02

02

0

20

20

=====

==

=

∴==

→=→=

→=

→=

arcquetendremosdespejando

quetendremosentreobtenidaigualdadladividiendosenobtendrasesengentreobtenidaigualdadladividiendosengseng

obtenidaproporciónlaenoteraoterndomultiplicaseng

seng

quetendrase

anteriorigualdadlaendosustituyensensenqueriatrigonometdesabesesiseng

seng

quetendraseyecuacioneslasIgualando

ecuaciónsen

gVecuaciónsengVqueseyecuacioneslasdeVDespejando

Ecuacióng

senV

Ecucacióng

senV

siendo el valor de v0 igual a:

( )( )( ) s

msensensen

XgV MAX 58.306.935

86515.048.809

9.5948.809

953.292)6.82)(8.9(

2 00 ======θ

15. Un proyectil es lanzado horizontalmente con una velocidad de 305 ms-1 desde encima de un acantilado de 80 m. ¿Cuánto tardará en chocar contra el plano horizontal que pasa por el pie del acantilado? ¿Cuánto dista del pie de éste del punto de impacto? El tiempo que tarda en chocar será:

y la distancia x desde el punto de impacto al pie del acantilado: x = vt = 3054,04 = 1232,3 m.

16. Una bala de rifle tiene en la boca del cañón una velocidad de 400 ms-1 y sale con una inclinación de 30º respecto al horizonte. Calcular: a) Altura máxima. b) Alcance de la bala. La altura máxima viene dada por:

y el alcance:

17. La velocidad de un volante disminuye uniformemente desde 900 a 800 r.p.m. en 5 s. Encontrar, para un punto de la periferia del volante: a) Su aceleración angular. b) El número de revoluciones en 5

s. c) ¿Cuántos segundos más serian necesarios para que el volante se parara? d) ¿Qué resultados se obtendrían en los apartados a) y b) para otro punto en el interior del volante? a) La aceleración angular a es igual a:

b) El ángulo girado en 5 s es:

c) El tiempo t necesario para que el volante se pare es tal que:

d) Se obtendrían los mismos resultados. 18. Desde un mismo punto de una circunferencia parten dos móviles en sentidos opuestos. El primero recorre la circunferencia en 2 h 40 min., y el segundo recorre un arco de 6º 30’ por minuto. Determinar en qué punto se encontrarán y el tiempo invertido. 2 h 40 min. = 7.200 + 2.400 = 9.600 s

Las velocidades angulares de cada uno de los móviles son, respectivamente:

Cuando se encuentran, el primer móvil ha recorrido un ángulo ϕ y el segundo un ángulo 2π − ϕ. Se verifica que:

En cuanto al tiempo t que tardan en encontrarse:

19. Un volante gira en torno a su eje a razón de 300 r.p.m. Un freno lo para en 20 s. Calcular la aceleración angular, supuesta constante, y el número de vueltas que ha dado hasta que el volante se detiene. Si el volante tiene 10 cm de radio, hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración de un punto de la periferia en el instante en que la rueda ha dado 40 vueltas. Hallar también la aceleración resultante en ese momento.

Aceleración angular:

Número de vueltas:

Cuando la rueda ha dado 40 vueltas, el ángulo descrito es: 2p40 rad y se verifica que:

de donde t es igual a:

La solución de 28,94 s se desecha porque la rueda se para en 20 s. La velocidad angular al cabo de 11,05 s es:

La aceleración centrípeta del punto considerado:

La aceleración tangencial:

La aceleración total:

20. Un automotor parte del reposo y se mueve en una vía circular de 400 m de radio con movimiento uniformemente acelerado. A los 50 s de iniciada la marcha alcanza la velocidad de 72 km/h, desde cuyo momento conserva esa velocidad. Hallar: a) La aceleración tangencial en la primera etapa del movimiento. b) La aceleración normal, la aceleración total y la longitud de vía recorrida en dicha primera etapa. c) La velocidad angular media en la primera etapa y la velocidad angular al cabo de los 50 s. d) El tiempo que tardará el automotor en dar 100 vueltas al circuito.

a) La aceleración tangencial en la primera etapa del movimiento es:

b) La aceleración normal:

El espacio recorrido sobre la trayectoria:

c) Velocidad angular media:

d) Tiempo que tarda el automotor en dar 100 vueltas al circuito:

21. Un satélite terrestre está en una órbita circular por encima de la superficie de la Tierra dando una vuelta a la Tierra en 145 min. Si el radio de la órbita es 2.735 km, ¿cuál es la aceleración de la gravedad a esa altura?

Si el satélite está en órbita, se ha de verificar la igualdad:

22. Calcular la velocidad angular de la Tierra, sabiendo que da una vuelta completa en 24 horas. Calcular también la velocidad y aceleración centrípeta de un punto del ecuador. (Tómese como radio terrestre 637108 m)

Velocidad angular de la Tierra:

Para un punto del ecuador es:

23.-Un carrusel tarda 22 segundos en acelerar del reposo a su velocidad de operación 3.75rev. /min. Calcule: a) Su aceleración en rev. /s2

b) El numero de revoluciones que da en este tiempo Datos:

t = 22 Seg. a).- α = ? Wo = 0 Rev./s b).- θ = ? Wf = 3.75 Rev./min. = 0.0625 rev/s Solución a) Wf = Wo + α t (Formula) Wo + α t = Wf α t = Wf - Wo α = (Wf – Wo/t) α = (0.0625 rev/s – 0 rev/s)/22 s α = 0.00284 Rev./Seg2 α = (0.0625 rev/s)/22s Solución b) θ = Wo t + ( t2/2) θ = (0 rev./s) (22 s) + ((0.00284 rev./s2) (22s)/2) θ = ((0.00284 rev /s2) (484 s2))/2 θ = 1.37456 rev./2 θ = 0.68728 rev. 24.-A rueda de una ruleta gira a 3 rev/s, y desacelera de manera uniforme hasta detenerse en 18 Seg. Determinar: a) su desaceleración b) el número de revoluciones que da antes de detenerse Datos: Wo = 3 rev./s a). - α =? Wf = 0 rev/s b).- θ =? t = 18 seg. Solución a) α = Wf – Wo/t (Formula) α = (0 Rev./seg. – 3 Rev./seg.)/18 seg. α = -3 Rev./seg./18 seg. α = -0.1666 Rev./Seg2

Solución b) θ = Wo t + (α t2/2) θ = (3 rev/s) (18 s) + ((-0.1666 rev/s2) (18s)2/2) θ = (54 rev/s) + (-0.1666 rev/s) (3245 s) θ = 54 rev/s – (53.9754 rev)/2 θ = 54 rev/s – 26.9892 rev

θ = 27.0108 rev. 25.-Una rueda de 40 Cm. de radio gira sobre su eje que esta fijo. Su rapidez se incrementa uniformemente desde el reposo hasta una rapidez de 900 Rev./min. En un tiempo de 20 Seg. Determinar: a) La aceleración angular de la rueda b) La aceleración tangencial de un punto que se encuentra en el borde Datos: r = 40 cm. =0.4 m a).- α = ? Wo = 0 rev/min b).- at = ? Wf =900 rev/min. = 15 rev./s t = 20 s Solución a) α = Wf – Wo/t (Formula) α = (15 rev/s – 0 rev/s)/20s α = (15 rev/s)/20s α = 0.75 rev/ s2

Solución b) at = α r (Formula) 0.75 rev/s2 = (0.75 rev/s2) (2 π Radianes/1rev) = 4.7124 Rad./s2

at = (4.7124 Rad./s2) (0.4 m) at = 1.884 m/ s2

26.- Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido: a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s? b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo? Datos: v1 = 1.200 cm/s t1 = 9 s v2 = 480 cm/s t2 = 7 s a) El desplazamiento es: x = v.t Para cada lapso de tiempo:

El desplazamiento total es:

b) Como el tiempo total es: tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s Con el desplazamiento total recién calculado aplicamos: Dv = xt/tt Þ Dv = 141,6 m/16 s Þ Dv = 8,85 m/s 27.- Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 s se oye el choque contra el fondo, si la velocidad del sonido es de 330 m/s, ¿cuál es la profundidad del pozo? Solución Para caída libre usamos las siguientes ecuaciones:

El tiempo es el tiempo total, es decir el que tarda la piedra en caer más el que tarda el sonido en llegar hasta el punto de partida de la piedra: t = tp + ts = 10 s Þ ts = 10 s - tp (3) La distancia que recorre el sonido es igual a la distancia que recorre la piedra: DhT = Dhs = Dhp (4) Para el sonido:

Para la piedra

Igualando (5) y (6):

Reemplazando (3) en (7):

Reemplazando por los datos:

Resolvemos la ecuación cuadrática:

tp2 lo descartamos porque el tiempo negativo no existe. En la ecuación (6) reemplazamos con tp1 y resolvemos: