propriedades eletrônicas de nanoestruturas...
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Propriedades eletrônicas de Propriedades eletrônicas de nanoestruturasnanoestruturas semicondutorassemicondutoras
Luis Carlos Ogando Dacal
Instituto de Estudos Avançados – Centro Técnico Aeroespacial
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ÍÍndicendice
EquaEquaçção de ão de SchrSchröödingerdinger e poe poçços de potencial infinitoos de potencial infinito
SemicondutoresSemicondutores
O problema: transporte eletrônico na O problema: transporte eletrônico na ““crosscross--
junctionjunction””. C. Cáálculo da condutância (2D x 3D).lculo da condutância (2D x 3D).
AnAnáálise dos resultadoslise dos resultados
ConclusõesConclusões
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EquaEquaçção de ão de
SchrSchröödingerdinger e poe poçços os
de potencial infinitode potencial infinito
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EquaEquaçção de ão de SchrSchröödingerdinger::
)(.)()()(2 2
22xExxVx
dxd
mΨ=Ψ+Ψ−
Independente do tempo.
Unidimensional.
O que é a função de onda (autofunção) ?
E a energia (autovalor) ?
Simetrias.
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O caso mais simples:O caso mais simples: partpartíícula livrecula livre
)(.)(2 2
22xEx
dxd
mΨ=Ψ−
mkE
eBeAx xkixki
2
..)(22
....
=
+=Ψ −
progressiva regressiva
A e B são constantes.Momento é
conhecido, mas não a posição.
E em função de k éuma parábola.
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PoPoçço de potencial infinitoo de potencial infinito
0 a/2-a/2 x
Ener
gia
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
><∞+
≤≤
=
a/2x ou -a/2x se ,
a/2xa/2- se 0,
V(x)
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SoluSoluççãoão
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
><
≤≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
≤≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
a/2x ou -a/2x 0,
a/2xa/2- 2,4,6...n ,a
n.π.sina2
a/2xa/2- 1,3,5...n ,a
n.π.cosa2
Ψ(x) x
x
( )2
22
2manEn
π=
Robert Eisberg, “Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles”
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SemicondutoresSemicondutores
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O que O que éé um cristal ?um cristal ?Arranjo infinito de átomos, moléculas ou íons cuja
disposição e orientação parecem exatamente as mesmas quando vistas de qualquer elemento do arranjo.
Ashcroft, “Solid State Physics”
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Outras simetriasOutras simetrias
GaAs éblenda de zinco (e)
Davies, “The Physics of Low-Dimensional Semiconductors”
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O que O que éé estrutura de banda ?estrutura de banda ?
Davies, “The Physics of Low-Dimensional Semiconductors”
Perto do ponto Γ no GaAs, aproximação parabólica => massa efetiva
Bastard, “Wave Mechanics Appliedto Semiconductor Heterostructures”
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O que O que éé um semicondutor ?um semicondutor ?
Bastard, “Wave Mechanics Appliedto Semiconductor Heterostructures”
A T = 0 K, a banda de valência está preenchida e a de condução está vazia.
“Gap” entre 0 e 3 eV.
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O que O que éé uma uma heteroestruturaheteroestrutura/ / nanoestruturananoestrutura ??
Bastard, “Wave Mechanics Appliedto Semiconductor Heterostructures”
Justaposição de materiais diferentes e alinhamento dos extremos das bandas formam barreira de potencial no espaço real.
Aproximação de massa efetiva permite tratar o confinamento como nos livros de “estrutura da matéria”.
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Crescimento da estruturaCrescimento da estrutura
Peter Yu and Manuel Cardona, “Fundamentals of Semiconductors”
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Crescimento da estruturaCrescimento da estrutura
Peter Yu and Manuel Cardona, “Fundamentals of Semiconductors”
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Crescimento da estruturaCrescimento da estrutura
Peter Yu and Manuel Cardona, “Fundamentals of Semiconductors”
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CondiCondiçções de contorno ões de contorno nas interfacesnas interfaces
Bastard, “Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures”
erface
B
Berface
A
A
erfaceB
erfaceA
dzd
mdzd
m int*
int*
intint
11Ψ=Ψ
Ψ=Ψ
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O problema: transporte O problema: transporte
eletrônico na eletrônico na ““crosscross--
junctionjunction””. C. Cáálculo da lculo da
condutância (2D x 3D).condutância (2D x 3D).
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O sistemaO sistemaJunção entre
contatos tridimensionais.
Contatos e junção do mesmo material. Fora da cruz, um material que forma uma barreira muito alta (infinita) e desacopla x, y e z.2D x 3D2D x 3D
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A base de estadosA base de estadosParâmetros desconhecidos
serão determinados a partir das condições de contorno: continuidade da função de onda e do fluxo de probabilidade nas interfaces.
Conservação da energia
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Sistema de equaSistema de equaççõesõesRecaímos em um sistema de equações 6x6 que permite
determinar os parâmetros desconhecidos nas funções da base.
Solução numérica a partir de subrotinas FORTRAN disponíveis na “internet”. (NetLiB)
Uma vez determinadas as funções de onda, partimos para o cálculo da condutância do sistema :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ Ψ
∂∂
Ψ−Ψ∂∂
Ψ−
−= *** ..
2 xxmiejl
Fluxo de probabilidade
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AnAnáálise dos resultadoslise dos resultados
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80 100 120 140 160 1800
1
2
3
4
Dz = 20 nm
Dz = 12 nm
Con
duct
anci
a (2
e2 /h)
Energia de Fermi (meV)
Dz = 10 nm
-10 -5 0 5 10-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Den
sida
de d
e pr
obab
ilidad
e (u
. a.)
x (nm)
Platôs preservadosPlatôs preservados
Wx= 90 nm, Wy= 20 nm, Wz= 10 nm, Dx= 20 nm
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Platôs preservadosPlatôs preservados
Wx= 90 nm, Wy= 20 nm, Wz= 10 nm, Dx= 20 nm
-10 -5 0 5 10-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0 Dz=10 nm
Dz=10.5 nm
Dz=12 nm
Dz=20 nm
Den
sida
de d
e pr
obab
ilidad
e (u
. a.)
x (nm)
EF= 83.6 meV
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80 100 120 140 160 1800
1
2
3
Dz = 8 nm
Con
dutâ
ncia
(2e2 /h
)
Energia de Fermi (meV)
Dz = 10 nm
Platôs preservados,Platôs preservados,ConstriConstriççãoão
Wx= 99.5 nm, Wy= 20 nm, Wz= 10 nm, Dx= 1 nm
Valores maiores de Dx deslocam o limiar de energia.
No caso do gráfico, ocorre tunelamento e interferência.
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15 16 17 180
1
2 quase 2D Ly= 22 nm Ly= 25 nm 3D
Con
dutâ
ncia
(2e2 /h
)
Energia de Fermi (meV)
Platôs indefinidosPlatôs indefinidos
Fluxo de elétrons assume padrões complicados (K.-F. Berggren et al., Physica ScriptaT42, 141 (1992))
Suave transição entre o 2D e o 3D
Wx= 50 nm, Wy= 20 nm, Wz= 100 nm, Dx= 100 nm, Dz= 180 nm
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15 16 17 180
1
2 quase 2D, Wy = 20 nm 3D, Wy = 20 nm 3D, Wy = 50 nm
Con
dutâ
ncia
(2e2 /h
)
Energia de Fermi (meV)
Platôs indefinidosPlatôs indefinidosWx= 50 nm,Wz= 100 nm, Dx= 100 nm, Dz= 180 nm
Modelos 2D são adequados quando o espalhamento nas interfaces com os contatos émenor.
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ConclusõesConclusões
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ConclusõesConclusões
Transporte eletrônico em “cross-junctions” é
fortemente influenciado pela geometria do sistema.
As dimensões do sistema determinam dois regimes:
(i) platôs preservados e (ii) platôs indefinidos.
Modelos bidimensionais podem não ser adequados
para representação de sistemas reais tridimensionais.
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AgradecimentosAgradecimentos
Os resultados de condutância foram
obtidos em colaboração com o Dr. Erasmo A. de Andrada e Silva do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
(INPE).
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