propriedades: notação: x ~ u(wiki.icmc.usp.br/images/2/20/principais_modelos_continuo...a dureza...
TRANSCRIPT
2011
PRINCIPAIS MODELOS
CONTÍNUOS
Notação: X
~ U(α , β).
Proprie
dades:
A dureza
de uma peça
de a
ço po
de se
r pensada co
mo se
ndo um
a
variá
vel a
leatória
uniform
e n
o in
terva
lo (5
0,70) u
nidades. Q
ual a
probabilid
ade de que uma peça tenha dureza entre
55 e 60?
≤
≤=
..
,0
,70
50
,20 1
)(
cc x
xf
Solução. X
represen
ta a dureza d
e uma peça
de a
ço, se
ndo qu
e X ~
U(50, 70) e
.25
,0
20 5
20 1
)60
55
(60
55
==
=<
<∫
dx
XP
Porta
nto,
Exemplo
Uma v.a
. contín
ua X te
m distribu
ição exp
onencia
l com parâm
etro
λ > 0
se su
a função de densid
ade é dada por
2. M
odelo exponencia
l
≥
=−
c.c.,
0
,0
,)
(x
ex
fx
λλ
Notação: X
~ Ex(λ).
A função de distrib
uiçã
o acumulada é
dada por
≥−
=−
c.c.,0
0,
1)
(x
ex
Fx
λ
Proprie
dades:
./
1)
(Var
e
/1
)(
E2
λλ
==
XX
x
f(x)
0
0 λ
x
F(x)
0
0 1
2. M
odelo exponencia
l
Observa
ção. Ta
mbém encontra
mos X
~ Ex(α
), em que
Proprie
dade. S
e X ~ Ex(λ), e
ntão P(X > a + b| X
> b) =
P(X > a).
É a única
distribu
ição contínua
com esta
prop
riedade (“ fa
lta de
memória
”).
≥
=−
c.c.,
0
,0
,1
)(
xe
xf
xα
αRelação: α
= 1 / λ.
α: esca
la e λ: ta
xa.
x
f(x)λ3 λ2 λ1
Exemplo gráfico
. Diferentes va
lores d
e λ.
O tem
po de vid
a de um tip
o de fusíve
l segue um
a distrib
uiçã
o
exponencia
l com vid
a m
édia de 10
0 ho
ras. Cada fu
sível te
m
um cu
sto de $10,0 e se
durar m
enos d
e 200 horas há u
m custo
adicio
nal de $8,0.
(a)Qual é a probabilid
ade de um fusíve
l durar m
ais d
e 150 horas?
(b)Determ
inar o
custo
esperado.
Solução. S
e X é o tem
po de vid
a de um
fusível, tem
os E
(X) =
100 horas,
λ = 1 / E
(X) =
0,01 e X ~ Ex(0
,01). O
u se
ja,
.223
,0
)1(
1)
150
(1
)150
()
(5,
1100
150
==
−−
=≤
−=
>−
−e
eX
PX
Pa
≥
−=
−
c.c.,0
,0
,1
)(
100
xe
xF
x
Exemplo
(b) O
custo
C é uma v.a
. discre
ta dada por
<
+
≥=
.200
se,
810
,200
se,
10
)(
X XX
C
O custo
esperado (custo m
édio) é E
(C) =
10 × P
(C = 10) +
18 × P
(C =
18). U
sando a va
riável X
calcu
lamos
,)
200
(1
)200
(1
)200
()
10
(2
−=
−=
<−
=≥
==
eF
XP
XP
CP
e
1)
200
()
200
()
18
(2
−−
==
≤=
=e
FX
PC
P
.9,
16
$)
1(18
10
)(
22
=−
×+
×=
−−
ee
CE
Exemplo
3. M
odelo de W
eibull
Uma variá
vel aleatória
contínu
a X tem distrib
uiçã
o de Weibull
com
parâmetro
s de esca
la α > 0 e form
a β >
0 se
sua fu
nção de
nsidade é
dada por
.0 ,
)(
1
≥
=
−
−
xe
xx
f
xβ
αβ
αα β
Notação: X
~ W
(α, β).
.0 ,
1)
()
(≥
−=
≤=
−
xe
xX
Px
F
xβ
α
Função distrib
uiçã
o acumulada:
Obs. S
e β =
1, X
~ Ex(α
) (slide 5).
Exemplos g
ráfico
s
01
23
45
67
0.0 0.5 1.0 1.5
α=1
x
f(x)
124
01
23
45
67
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
β=2
xf(x)
123
Aplica
ções
Modelo de
Taxa de fa
lhas: e
m ca
so de um
sistema com
posto
(em sé
rie ou
em paralelo) e
m que a falha é devid
a ao problema “m
ais g
rave”.
Confiabilid
ade de site
mas:
avaliar con
fiabilid
ade dos sistem
as mesm
o sem co
nhecer a
confiabilid
ade de ca
da co
mponente.
Função de co
nfiabilid
ade: R
(t) = exp( -[t/ α
] β).
4. M
odelo norm
al (o
u gaussia
no)
Uma variá
vel aleatória
contínua X
tem distrib
uiçã
o norm
al com
média µ
e variâ
ncia
σ2 se
sua função densid
ade é dada por
.,
2 1)
(
2
2 1
Rx
ex
f
x
∈=
−−
σµ
σπ
Notação: X
~ N(µ, σ
2).
Distrib
uiçõ
es n
orm
ais
com médias d
iferentes e
variâ
ncia
s iguais.
Distrib
uiçõ
es norm
ais com
médias ig
uais e variâ
ncias
diferentes.
Exemplos
µ1 < µ
2 µ1 = µ
2
σ1 < σ
2
µ1 < µ
2
σ1 < σ
2
Exemplos
Propriedades
(a) E
(X) =
µ, V
ar(X
) = σ
2. (b) m
ediana = moda = µ : a
distrib
uiçã
o é sim
étrica
em re
lação à m
édia.
(c) Como a área to
tal so
b cu
rva é igual a 1, à
esquerda e à direita de µ a área
é igual a 0,5.
(d)
.9973
,0
)3
3(
e
9546
,0
)2
2(
,6896
,0
)(
=+
≤≤
−
=+
≤≤
−
=+
≤≤
−
σµ
σµ
σµ
σµ
σµ
σµ
XP
XP
XP
.2 1
exp
2 1)
(
2
dt
tx
F
x
−
−=∫∞−
σµ
σπ
A função de distrib
uiçã
o acumulada de uma v.a
. X ~ N(µ, σ
2) é
Propriedades
Integral se
m so
lução analítica
. Cálcu
lo de probabilid
ades
com o auxílio
de ta
belas.
Norm
al padrão
ou red
uzida. S
e Z é uma
v.a. norm
al com média 0 e variância
1,
então Z é chamada de uma v.a
. norm
al
padrão
ou
reduzid
a
e
sua
função
densid
ade é
.,
2 1)
(2 2
Rz
ez
fz
∈=
−
π
A função de distrib
uiçã
o acumulada de uma v.a
. Z ~ N(0,1) é
.)
2 1exp(
2 1)
()
(2dt
tz
ZP
z
z
−=
≤=
Φ∫∞−
π
z
f(z)
-4-3
-2-1
01
23
4
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
Uso da ta
bela norm
al
.59
,4
59
,4
,
)2 1
exp(
2 1)
()
(2
≤≤
−−
=≤
=Φ
∫∞−
zdt
tz
ZP
z
z
π
Tabela. A
reas so
b a cu
rva norm
al padrão ou re
duzid
a para z ≥ 0
.
Z ~ N(0,1): d
istribuiçã
o norm
al padrão.
Valores n
o co
rpo da tabela: P
(0 ≤ Z
≤ z), z com duas d
ecim
ais.
Para obter a
s probabilid
ades a
cumuladas:
Φ(z) =
P(Z ≤ z) =
0,5 + P(0 ≤ Z
≤ z) (valor d
a tabela);
Áreas n
a tabela.
Áreas d
e interesse
.
Uso da ta
bela norm
al
1a co
luna: parte
inteira
de z e
1a d
ecim
al.
A partir d
a 2
a coluna a 2
a decim
al de z:
na 2
a coluna a 2
a decim
al de z é
“0”;
na 3
a coluna a 2
a decim
al de z é
“1”; e
tc.
z0,00
0,010,02
0,030,04
0,050,06
0,070,08
0,090,0
...1,20,39435
...4,5
2a d
ecim
al
Parte
inteira
e 1
a decim
al
Exemplo. P
(Z ≤ -1
,25)? Na tabela encontra
mos P
(0 ≤ Z
≤ 1,25) n
a
interse
ção da lin
ha co
rrespondente a 1,2 co
m a co
luna 0,05:
Resposta
. P(Z ≤ -1
,25) =
0,5 - 0
,39435 = 0,10565.
Se Z ~ N(0,1), ca
lcule
(a) P
(Z < 1,80),
(b) P
(0,80 < Z < 1,40),
(c) P(Z > -0
,57) e
(d) o
valor d
e k ta
l que
P(Z < k) =
0,05.
Solução. D
a tabela norm
al padrão tem-se
0,1311,
0,28814
-0,41924
(0,80)
-(1,40)
1,40)
ZP(0,80
(b)
0,96407,
46407
,05,
0)
80
,1(
)80
,1(
)(
==
ΦΦ
=<
<
=+
=Φ
=<
ZP
a
71566,
,0
0,21566
5,0
)57
,0
0(5,
0)
57
,0
()
(=
+=
≤≤
+=
−>
ZP
ZP
c
.64
,1
64
,145
,0
)0(
05
,0
)(
)(
−=
⇒=
⇒=
<<
⇒=
<
k
zz
ZP
kZ
Pd
Observa
ção. P
ara todo k >
0,
).0(
P2
)(
P)(
e )
0(P
5,0
)(
P)
(
kZ
kZ
kii
kZ
kZ
i
≤≤
=≤
≤−
≤≤
−=
−≤
Exemplo
No Exce
l:
(a) D
IST.N
ORMP(1,8).
(b) D
IST.N
ORMP(1,4) –
DIST.N
ORMP(0,8).
(c) 1-DIST.N
ORMP(-0
,57).
(d) IN
V.NORMP(0,05).
Transfo
rmação lin
ear d
e uma va
riável norm
al
Tomando a = - µ
/ σ e b = 1 / σ
obtemos a
padroniza
ção
).1,
0(
N~
σµ
−=X
Z
Exemplo. S
e X ~ N(90,100), d
eterm
inar
(a)P(80 < X < 100),
(b)P(|X
- 90| <
30) e
(c)
o va
lor d
e a tal que P(90 - 2
a < X < 90 + 2a) =
0,99.
Se X ~ N(µ, σ
2), então
Y = a + bX ~ N(µ
Y , σY2), se
ndo que µ
Y = a + bµ
e σY2 =
b2 σ
2.
Distrib
uiçã
o norm
al p
adrão
ou re
duzid
a.
.68268
,0
134134
,0
2)
00
,10(
2
)00
,100
,1(
)10
90
100
10 90
80
()
100
80
()
(
=−
×=
≤≤
=
<<
−=
−<
−<
−=
<<
ZP
ZP
XP
XP
aσµ
0,99720.
0,49865
2
)00
,3
0(2
)00
,3
00
,3
(
)10 30
10 90
10 30
()
30
90
30
()
30
|90
(|)
(
=×
=
<<
=<
<−
=
<−
<−
=<
−<
−=
<−
ZP
ZP
XP
XP
XP
b
.05
,14
81
,25
4975
,0)5
0(99
,0)5
0(2
10
2
10 90
10
2)
290
2(
)2
90
290
()
(
=⇒
=⇒
=<
≤⇒
=≤
≤=
<−
<−
=<
−<
−=
+<
<−
aa
aZ
Pa
ZP
aX
aP
aX
aP
aX
aP
c
Exemplo
Propriedade
Se
nX
X,
,1 K sã
o v.a
. independentes ta
is que X
i ~ N( µ, σ
2), para i =
1,...,n, então, a v.a.
∑=
=+
+=
n
i
in
XX
XY
1
1L
é tal que Y
~ N(nµ
, nσ2).
).1,
0(~
)(
/
1N
Xn
n
X
n
nX
Z
ni
i
σµ
σµ
σ
µ−
=−
=−
= ∑=
Padroniza
ção:
Teorema ce
ntra
l do lim
ite
Se X
1 , X2 , ..., X
n é uma amostra
aleatória
de tamanho n de uma
distrib
uiçã
o co
m média µ e desvio
padrão σ (0
< σ < ∞), e
ntão a
distrib
uiçã
o aproxim
ada de
σµ)
(−
=X
nZ
sendo que
amostral.
média
a é
1
1
∑=
=ni
iX
nX
Observa
ções.
(1) Q
uanto maior n
, melhor a
aproxim
ação.
(2) A
distrib
uiçã
o das va
riáveis X
pode se
r discre
ta ou co
ntínua.
(3) A
distrib
uiçã
o aproxim
ada de
é norm
al padrão N(0,1),
).,
(N
é
1
2σ
µn
nn
ii
X∑=
Teorema ce
ntra
l do lim
ite – Distrib
uiçã
o exponencia
l
n =
1
Z
Densidade
-4-2
02
4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
n =
10
Z
Densidade
-4-2
02
4
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
n =
50
Z
Densidade
-2-1
01
2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
n =
100
Z
Densidade
-20
2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
Teorema ce
ntra
l do lim
ite – Distrib
uiçã
o Bernoulli (p
= 0,45)
n =
1
Z
Densidade
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
0.0 1.0 2.0
n =
10
Z
Densidade
-3-2
-10
12
3
0.0 0.2 0.4
n =
50
Z
Densidade
-3-2
-10
12
3
0.0 0.2 0.4
n =
100
Z
Densidade
-3-2
-10
12
3
0.0 0.2 0.4