60

Propósitos de la secuencia Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas

de frecuencia absoluta y relativa.

Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos Vínculos

1¿Quién llegó primero? Reconocer las ventajas de presentar información en tablas.

Video Un recorrido por el origen de

la estadística Aula de medios

“¿Quién llegó primero?” (Hoja de cálculo)

2Tabla de frecuencia relativa Elaborar e interpretar tablas de frecuencia relativa.

Aula de medios “Tabla de frecuencia

relativa” (Hoja de cálculo)

3

La tabla representa… Resolver problemas mediante la elaboración e interpretación de tablas de frecuencia absoluta y relativa, expresada como fracción, decimal o porcentaje.

Aula de medios “La tabla representa…”

(Hoja de cálculo)

Geografía I Secuencia

7

Eje

Manejo de la información.

Tema

Representación de la información.

Antecedentes

Durante la escuela primaria los alumnos han organizado y analizado la información contenida en tablas, ahora se espera que aborden otros aspectos, como la frecuencia relativa y absoluta expresada de distintas maneras.

Propósito de la sesión. Reconocer las ventajas de presentar información en tablas.

Organización del grupo. Trabajar en parejas durante toda la sesión intercalando momentos para comparar resultados y comentar conclusiones de manera grupal.

Material. Calculadora.

Propósito del video. Conocer el origen y la importancia de la estadística. Identificar situaciones en las cuales es necesario organizar y representar la información.

Propósito de la actividad. La intención es hacer sentir a los alumnos la conveniencia de organizar los datos para analizarlos. Aunque desde la escuela primaria los alumnos han utilizado, elaborado y completado tablas, quizá no recurran a ellas para responder las preguntas de los incisos a), b) y c). Acérquese a las parejas mientras trabajan para conocer qué estrategias utilizan.

Respuestas.a) Hubo tres alumnos empatados

en el primer lugar que hicieron la carrera en 300 segundos.

b) 60 segundos.c) 340 segundos; 9 alumnos hicieron

ese tiempo.d) En 1º A. Hay 6 alumnos que

terminaron antes de 340 segundos (hubo 5 en 1º B y 4 en 1º C).

secuencia 22

60

En esta secuencia interpretarán y comunicarán información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

¿Quién llegó primero? Para empezarUn recorrido por el origen de la estadística

Para presentar un número pequeño de datos basta con enunciarlos o enumerarlos orde-nadamente. Por ejemplo, las calificaciones de un alumno en los 5 bimestres de Matemá-ticas son: 10.0, 9.0, 9.0, 8.0, 8.0.

Sin embargo, cuando el número de datos es grande, conviene recurrir a una tabla de frecuencias para poder hacer un análisis más completo o para tener una idea más clara de la información obtenida.

Consideremos lo siguienteLos alumnos de primer grado de una escuela secundaria participaron en una competen-cia de atletismo.

A continuación se presentan los tiempos, en segundos, que hicieron 30 alumnos en la carrera de 1 000 metros y el grupo al que pertenece cada uno.

320 (1°C) 350 (1°B) 330 (1°A) 300 (1°C) 340 (1°B)330 (1°A) 340 (1°C) 360 (1°B) 320 (1°A) 330 (1°C) 300 (1°B) 320 (1°A) 350 (1°C) 330 (1°B) 340 (1°C)340 (1°B) 330 (1°B) 340 (1°A) 340 (1°C) 320 (1°A)320 (1°A) 340 (1°A) 320 (1°C) 360 (1°A) 300 (1°B)330 (1°B) 360 (1°C) 340 (1°B) 350 (1°C) 340 (1°A)

a) ¿Cuánto tiempo registró el ganador de la carrera?

b) ¿Qué diferencia de tiempo hay entre el primero y el último lugar de la carrera?

c) ¿Cuál es el tiempo en el que se registró el mayor número de alumnos que termi-

naron la competencia?

d) Considerando los resultados por grupo, ¿en cuál hubo más alumnos que termina-

ron antes de 340 segundos?

sesión 1

Tablas de frecuencia

61

61

MATEMÁTICAS IComenten qué grupo consideran que tuvo mejor desempeño en la competencia y por qué. Además, digan cómo organizaron los datos para responder las preguntas.

¿A cuántos minutos equivale el tiempo registrado por el primer lugar?

Manos a la obraI. Una forma de organizar y presentar los resultados de la competencia es mediante

una tabla de frecuencias. Contesten las siguientes preguntas para construirla.

a) ¿A qué se refieren los datos que aparecen en el listado anterior?

b) ¿Cuántos grupos participaron en la competencia?

c) ¿Cuáles fueron esos grupos?

d) ¿Cuántos tiempos diferentes se registraron en la competencia?

e) ¿Cuáles fueron esos tiempos?

f) Completen la siguiente tabla de frecuencias.

Recuerden que:

La frecuencia es el

número de veces

que aparece cada

valor.

Tabla de frecuencias del tiempo realizado en la carrera de 1 000 metros por grupo

Tiempos

Grupos

Total1° A 1° B 1° C

Conteo Frecuencia Conteo Frecuencia Conteo Frecuencia

300 0

II 2

340 Ill 3 9

350

3

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos analicen los datos para valorar qué grupo tuvo un mejor desempeño, lo cual puede variar dependiendo de qué criterios utilicen. Por ejemplo, en 1º B hay 2 alumnos que quedaron en primer lugar, sin embargo, en 1º A hay más alumnos que terminaron la competencia antes de 340 segundos. Invite a los alumnos a que justifiquen sus respuestas.

Propósito de la actividad. Con estas preguntas se pretende que el alumno vaya identificando los elementos que entran en juego en la elaboración de la tabla (qué tipo de datos se están organizando, cuántos son, etc.).

62

Sugerencia didáctica. Comenten las respuestas del inciso e). Es importante que se den cuenta de que un conjunto de datos se puede analizar mirándolo desde distintos ángulos, por ejemplo, ver los resultados por grupo o ver los de todos los grupos.

Respuestas.a) Fue de 320 segundos, que son 5

minutos y 20 segundos.b) 6 alumnos.c) 2 alumnos.d) 3 del 1º B y 1 del 1º C.e) Fue 340 segundos (9 alumnos

llegaron en ese tiempo). Sólo en 1º A es más frecuente otro tiempo: 320 segundos.

secuencia 22

62

ii. Usen la información que proporciona la tabla para contestar las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál fue el mejor tiempo que se registró en el grupo 1° A en la carrera?

¿A cuántos minutos corresponde ese tiempo?

b) ¿Cuántos alumnos de 1° A hicieron menos de 340 segundos?

c) ¿Cuántos alumnos de 1° A llegaron a la meta en 330 segundos?

d) ¿Cuántos del 1° B? ¿Y cuántos del 1° C?

e) Considerando los resultados de los tres grupos, ¿cuál es el tiempo registrado en

que más alumnos llegaron juntos a la meta? Compara ese

tiempo con el más frecuente por grupo, ¿en qué caso o casos fue diferente?

iii. Consideren las siguientes afirmaciones y marquen el cuadro de la “V” si es verdadera o el de la “F” si es falsa, a partir de la información que proporciona la tabla de fre-cuencias.

V F

• En el grupo de 1° B hubo más alumnos que hicieron 330que 340 segundos.

• Hay más alumnos de 1° C que de 1° A que hicieron menos de 320 segundos.

• En total, hay más alumnos que lograron llegar en pri-mer lugar que en último lugar.

A lo que llegamosUna tabla de frecuencias es una forma de resumir datos. En ella se presentan en orden creciente los valores observados, así como sus respectivas frecuencias.

El organizar los datos en una tabla de frecuencias permite contar con una visión global e inmediata del comportamiento de la situación que se analiza.

Por ejemplo, en la tabla se observa fácilmente cuántos alumnos logra-ron el primer lugar y a qué grupo pertenecen, lo cual no ocurre con el listado de números.

La suma de las frecuencias absolutas siempre es igual que el total de los datos considerados, es decir, que la población, en este caso los 30alumnos que participaron en la competencia.

F

V

F

63

Sugerencia didáctica. Es posible organizar los datos de diferentes maneras (en la secuencia 8 los alumnos aprendieron esto) y encontrar las distintas relaciones que se dan entre ellos. En esta situación los alumnos están organizando datos cualitativos (de cualidad): si la persona es hombre o mujer; y cuantitativos (de cantidad): qué edad tiene. Sugiera a los alumnos que lean las preguntas de los incisos a) al f) para decidir de qué manera les conviene organizar la información.

Respuestas. b) 50 personas.c) Igual, 25 hombres y 25 mujeres.d) 45 años. Hay 6 personas con esa

edad.e) 11 personas de 20 a 29 años, 6

mujeres y 5 hombres. f) 18 personas eran mujeres y tenían

menos de 40 años.

63

MATEMÁTICAS ILo que aprendimosLa edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunión son los siguientes:

38 (M) 8 (M) 68 (H) 17 (H) 11 (M) 33 (H)

15 (M) 45 (H) 10 (H) 57 (H) 27 (M) 23 (M)

20 (H) 45 (H) 20 (M) 25 (M) 40 (H) 8 (M)

23 (H) 49 (M) 33 (H) 27 (H) 48 (H) 10 (H)

28 (M) 31 (M) 36 (M) 5 (H) 39 (H) 45 (M)

45 (H) 23 (H) 45 (M) 8 (H) 48 (M) 20 (M)

33 (M) 22 (H) 55 (M) 33 (H) 45 (H) 40 (H)

52 (M) 15 (M) 5 (H) 65 (M) 3 (M) 15 (H)

15 (M) 8 (M)

a) En su cuaderno, organicen los datos en una tabla de frecuencias. Decidan cuál información va en las columnas y cuál en los renglones. Pónganle el título a la tabla y a cada una de las columnas.

b) ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?

c) ¿Qué hubo más, hombres o mujeres?

d) De las personas que asistieron, ¿cuál fue la edad más frecuente?

e) ¿Cuántas personas del grupo tenían de 20 a 29 años? Y de ese gru-

po de edades, ¿qué hubo más, hombres o mujeres?

f) ¿Cuántas personas eran mujeres y tenían menos de 40 años?

64

Propósito de la sesión. Elaborar e interpretar tablas de frecuencia relativa.

Organización del grupo. Forme parejas de alumnos para las dos primeras partes de la sesión y equipos para la tercera. La última se sugiere que la resuelvan de manera individual.

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos la información de las tablas. Los datos están organizados por género y por intervalos de edad: se cuenta a todas los hombres (o mujeres) que tienen de 0 a 9 años y el resultado se pone en la columna de frecuencia. Se va haciendo lo mismo con las que tienen de 10 a 19, de 20 a 29, etcétera. La columna de “frecuencia relativa” está dividida en 2 para expresarla con una fracción y con un número decimal. La fracción puede leerse así: “3 de cada 25 hombres tienen entre 0 y 9 años”. Diga a los alumnos que pueden utilizar la calculadora para encontrar la expresión decimal de la frecuencia relativa. La columna de “porcentaje” puede interpretarse como: “del total de hombres, el 12% tienen entre 0 y 9 años”. Puede preguntar a los alumnos: si el total de hombres fuera 100 y el 12% tuvieran entre 0 y 9 años ¿cuál sería la frecuencia?, ¿cuál sería la frecuencia relativa?

secuencia 22

64

Tabla de frecuencias relaTivasPara empezarEn la sesión anterior construiste la tabla de frecuencias de la siguiente situación.

La edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunión son las siguientes:

38 (M) 8 (M) 68 (H) 17 (H) 11 (M) 33 (H)

15 (M) 45 (H) 10 (H) 57 (H) 27 (M) 23 (M)

20 (H) 45 (H) 20 (M) 25 (M) 40 (H) 8 (M)

23 (H) 49 (M) 33 (H) 27 (H) 48 (H) 10 (H)

28 (M) 31 (M) 36 (M) 5 (H) 39 (H) 45 (M)

45 (H) 23 (H) 45 (M) 8 (H) 48 (M) 20 (M)

33 (M) 22 (H) 55 (M) 33 (H) 45 (H) 40 (H)

52 (M) 15 (M) 5 (H) 65 (M) 3 (M) 15 (H)

15 (M) 8 (M)

Sin embargo, esta información se puede presentar de otra manera, en la que las edades se agrupan en intervalos y se dan las frecuencias absoluta y relativa y el porcentaje de cada intervalo.

Consideremos lo siguienteEn las siguientes tablas faltan algunos datos, realicen los cálculos necesarios y completen:

edad(años)

Hombres

frecuenciafrecuencia relativa

Porcentajefracción decimal

0-9 3 12%

10-19 4 16%

20-29 5 0.20 20%

30-39 4 16%

40-49 7 28%

50-59 1 0.04 4%

60-69 1 4%

Total 25 1 100%

sesión 2

65

Propósito de la actividad. Con las preguntas de los incisos a) al j) se pretende que los alumnos le den sentido a la frecuencia relativa (su significado y obtención), así como a las diferentes formas en que se puede expresar (como porcentaje, fracción o decimal).

Respuestas.a) 7 intervalos.b) 25 hombres y 25 mujeres.c) Hay 7 hombres.d) 7 de 25 o w U t .e) El 5 es el número de personas

cuyas edades se encuentran en cierto intervalo, y el 25 es el número del total de personas.

2

Sugerencia didáctica. Es conveniente hacer notar a los alumnos la relación entre la columna de “Frecuencia relativa” y la de “Porcentaje”. Puede hacerles preguntas como: ¿De qué manera obtuvieron los datos de la columna “Porcentaje”?, ¿en qué se parecen a los de la columna “Frecuencia relativa”?

Integrar al portafolios. Cuando terminen de resolver la sesión 2 pida a los alumnos una copia de esta tabla llena y de las respuestas a las preguntas de los incisos a) al d). Analícelas para ver si han comprendido la diferencia entre la frecuencia absoluta y la relativa, y sobre su expresión como porcentaje. Si lo considera necesario, repasen la sesión.

65

MATEMÁTICAS IEdad

(años)

Mujeres

FrecuenciaFrecuencia relativa

PorcentajeFracción Decimal

0-9 4

10-19 16 %

20-29 6

30-39

40-49 0.16

50-59 8 %

60-69

Total 100 %

a) ¿Cuántas personas son menores de 20 años?

b) ¿Qué significa que la frecuencia relativa de hombres entre 20 y 29 años sea ?

c) De las mujeres que asistieron a la reunión, ¿qué porcentaje tiene entre 30 y 39

años de edad?

d) ¿Qué porcentaje de hombres y mujeres tiene 50 años o más?

Comparen sus respuestas.

Manos a la obraI. Usen la información que proporcionan las tablas para contestar

las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos intervalos de edades se formaron?

b) ¿Cuántos hombres hay en la reunión? ¿Y cuántas mujeres?

c) ¿Cuántos de los hombres que están en la reunión tienen entre 40 y 49 años

de edad?

d) ¿Qué parte del total de hombres tiene entre 40 y 49 años de edad?

e) Uno de los valores de la tabla es , ¿qué representa el número 5?

¿Y el 25?

Recuerden que:

Si divides la frecuencia entre el

número total de observaciones,

obtienes la frecuencia relativa.

w R t 0.16 16%

4 w R t 0.16 w Y t 0.24 24%

4 w R t 0.16 16%

4 16% 2 w W t 0.08

25 W t 1

1 0.04 4%

66

secuencia 22

66

A lo que llegamosA la fracción se le llama frecuencia relativa e indica la parte del total de la población que tiene un mismo atributo o característica.

f) De las mujeres que había en la reunión, ¿cuál es la frecuencia relativa de las que

tienen entre 30 y 39 años de edad?

g) La frecuencia relativa de mujeres que tienen entre 40 y 49 años es . Esta frac-

ción expresada como decimal es 0.16, ¿qué significa este decimal en esta si-

tuación?

h) ¿De qué manera expresarían como porcentaje la frecuencia relativa 0.16?

i) ¿Cuánto suman las frecuencias relativas correspondientes a las mujeres que asis-

tieron a la reunión?

j) ¿En dónde hay más mujeres, en 4% de las mujeres de 60 a 69 años o en las 4

mujeres de 40 a 49?

A lo que llegamosLa frecuencia relativa también puede expresarse en forma de número decimal y porcentaje.

ii. Utilicen la información que presentan las dos tablas anteriores para completar la si-guiente tabla que agrupa todos los resultados.

Edad(años)

Total hombres y mujeres

FrecuenciaFrecuencia relativa

PorcentajeFracción Decimal

0-9

10-19

20-29

30-39

40-49

50-59

60-69

Total 50 100%

Respuestas.

f) w R t g) Es también la frecuencia relativa.

Quiere decir que del total (que es igual a 1), hay 0.16 mujeres que tienen entre 40 y 49 años.

h) Cuando las relaciones entre los datos se expresan en forma de porcentaje, el total es igual a 100%. El porcentaje de mujeres que tienen entre 40 y 49 años de edad es 16%.

i) Suman 1.j) En las 4 mujeres de 40 a 49 años,

porque el número 4 en ese caso es la frecuencia; en cambio, en el otro caso se refiere al porcentaje, y en este ejemplo (el de las personas que asistieron a una reunión) 4% equivale a una sola mujer.

Sugerencia didáctica. Cuando revisen sus respuestas deténgase un poco en el inciso g). Para algunos alumnos no es evidente que w R t y 0.16 son el mismo número.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta de los diferentes tipos de análisis que pueden hacerse al reorganizar la información.

secuencia 22

66

A lo que llegamosA la fracción se le llama frecuencia relativa e indica la parte del total de la población que tiene un mismo atributo o característica.

f) De las mujeres que había en la reunión, ¿cuál es la frecuencia relativa de las que

tienen entre 30 y 39 años de edad?

g) La frecuencia relativa de mujeres que tienen entre 40 y 49 años es . Esta frac-

ción expresada como decimal es 0.16, ¿qué significa este decimal en esta si-

tuación?

h) ¿De qué manera expresarían como porcentaje la frecuencia relativa 0.16?

i) ¿Cuánto suman las frecuencias relativas correspondientes a las mujeres que asis-

tieron a la reunión?

j) ¿En dónde hay más mujeres, en 4% de las mujeres de 60 a 69 años o en las 4

mujeres de 40 a 49?

A lo que llegamosLa frecuencia relativa también puede expresarse en forma de número decimal y porcentaje.

ii. Utilicen la información que presentan las dos tablas anteriores para completar la si-guiente tabla que agrupa todos los resultados.

Edad(años)

Total hombres y mujeres

FrecuenciaFrecuencia relativa

PorcentajeFracción Decimal

0-9

10-19

20-29

30-39

40-49

50-59

60-69

Total 50 100%

7 t U p 0.14 14%

8 t I p 0.16 16%

11 tQ pQ 0.22 22%

8 t I p 0.16 16%

11 tQ pQ 0.22 22%

3 t E p 0.06 6%

2 t W p 0.04 4%

t pP 1

67

Respuestas.

a) 16% en total.

b) Es igual, 4 hombres y 4 mujeres. Esta información la buscamos en las tablas anteriores, en las que se separó a hombres y mujeres.

c) 1

d) 15 personas, que representan 30%.

Sugerencia didáctica. Lean juntos esta información y pida a los alumnos que la copien en sus cuadernos.

67

MATEMÁTICAS Ia) ¿Qué porcentaje de personas que tienen entre 30 y 39 años de edad fueron a la

reunión?

b) De las personas de entre 30 y 39 años de edad que había en la reunión, ¿son más

hombres o más mujeres? ¿En qué tablas encuentran esta

información?

c) ¿Cuál es la suma de frecuencias relativas de hombres y mujeres que asistieron a la

reunión?

d) En total, ¿cuántas personas menores de 20 años asistieron a la reunión?

¿Qué porcentaje representan?

A lo llegamosCuando se trata de presentar información estadística, las tablas que generalmente se utilizan son de frecuencias relativas con porcentaje. La frecuencia relativa de un valor observado es el cociente entre su frecuencia y el total de observaciones realizadas. El porcentaje de veces que aparece un determinado valor observado se obtiene multi-plicando su frecuencia relativa por 100.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al total de los datos u observaciones.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

La suma de los porcentajes es igual a 100.

Lo que aprendimosCompleta la tabla de frecuencias relativas y de porcentaje para los datos de la carrera de 1 000 metros, presentada en la sesión 1 de esta secuencia.

Tiempo registrado en segundos Frecuencia

Frecuencia relativa Porcentaje%Fracción Decimal

300 3320 6330 6340 9350 3360 3Total 30

e E p 0.1 10% e Y p 0.2 20% e Y p 0.2 20% e O p 0.3 30% e E p 0.1 10% e E p 0.1 10% eE pP 1 100%

68

secuencia 22

68

a) ¿A qué tiempo registrado corresponden cada una de las siguientes frecuencias relativas?

30% 0.30.1

b) ¿Cuál es la frecuencia relativa de alumnos que llegaron a la meta antes de 330

segundos?

c) ¿Qué porcentaje de alumnos que participaron en la carrera hicieron menos de 320

segundos?

la Tabla represenTa…Para empezarComo habrás observado, en tu clase de Geografía de México y del mundo, es frecuente que se presente información en tablas; por ejemplo, en la secuencia 7 ¿cómo es y dón-de está la población?

sesión 3

Matrícula en Educación Básica por nivel educativo y por sexo en los años 1992 y 2002

Año 1992 2002

Nivel educativo ysexo Total Porcentaje Total Porcentaje

Preescolar 2 858 890 100% 3 635 903 100%Hombres 1 439 632 50.35% 1 836 121 51%Mujeres 1 419 258 1 799 782 49%Primaria 14 425 669 100% 14 857 191 100%Hombres 7 429 429 51.50% 7 604 635 51.18%Mujeres 6 996 240 48.50% 7 252 556 48.82%

Secundaria 4 203 098 100% 5 660 070 100%Hombres 2 152 648 51.22% 2 862 463Mujeres 2 050 450 2 797 607 49.43%

Fuente: SEP, Estadística Básica del Sistema Educativo Nacional. Inicio de cursos 1992-1993.SEP, DGPPP, Subdirección de Análisis Estadístico y Presupuestal 2003.

Lo que aprendimos1. La matrícula en educación básica se refiere al

número de alumnos inscritos en institucioneseducativas de preescolar, primaria y secundaria en un ciclo escolar determinado.

Analicen la información que presenta la siguiente ta-bla y complétenla. Pueden utilizar una calculadora.

Respuestas.a)El 30% sería equivalente a 9 corredores, por lo tanto, corresponde a 340 segundos. 0.1 como frecuencia relativa quiere decir que una décima parte de los corredores registró cierto tiempo (o 10%). La décima parte del total de corredores (30) es 3, así que corresponde a los que hicieron 300, 350 y 360 segundos. 0.3 como frecuencia relativa puede expresarse también como 30%, lo que equivale a 9 corredores (340 segundos).

E p significa que 3 de los 30 corredores registraron cierto tiempo, así que corresponde a 300, 350 y 360 segundos. Puede expresarse también como 0.1 o como 10%.b) O p c) 10% (10 de 30)

1

Propósito de la sesión. Resolver problemas mediante la elaboración e interpretación de tablas de frecuencia absoluta y relativa, expresada como fracción, decimal o porcentaje.

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas, con momentos de intercambio grupal. Propósito de la actividad. Que

los alumnos analicen la información de la tabla para completarla y para contestar las preguntas que aparecen en seguida.

Respuesta. Una forma de resolver es completando el porcentaje, es decir, teniendo en cuenta que el porcentaje de hombres y el de mujeres en cada nivel escolar, debe sumar 100.

49.65%

50.47%48.78%

69

69

MATEMÁTICAS Ia) ¿Qué información les muestra la tabla?

b) ¿A qué años corresponde la información que presenta la tabla?

c) En el renglón que corresponde al nivel de Preescolar aparece dos veces la expre-

sión “100%”, ¿qué significa en cada caso?

d) ¿En cuál de los tres niveles es mayor la matrícula?

e) De 1992 a 2002 aumentó la matrícula en todos los niveles educativos. ¿Cuáles fueron los incrementos en cada uno de los tres niveles educativos? Escríbelos en tu cuaderno.

f) ¿En cuál de los tres niveles hubo un menor aumento?

g) ¿Y en cuál hubo un mayor aumento?

2. Con la información que presenta la tabla anterior, completen la siguiente tabla para que muestre la matrícula de la educación básica por sexo en los años 1992 y 2002.

Año 1992 2002

Nivel educativo y sexo Total Porcentaje Total Porcentaje

EducaciónBásica

Hombres

Mujeres

a) ¿Cómo obtienen el total de la matrícula para el año

1992?

b) ¿Y para el año 2002?

c) De 1992 a 2002, ¿cuál de los porcentajes de matrícula

aumentó, el de los hombres o el de las mujeres?

Respuestas. a) Número y porcentaje de alumnos

en 1992 y 2002, por nivel educativo y por género.

b) 1992 y 2002.c) El total de estudiantes en ese nivel

en 1992 y el de 2002.d) En primaria.e) Preescolar: 777 013.

Primaria: 431 52. Secundaria: 1 456 972.

f) En primaria.g) En secundaria.

Respuestas. Hay que calcular los porcentajes, no deben sumarse o promediarse.

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que la educación básica, como se señala en la tabla anterior, comprende el preescolar, la primaria y la secundaria, por lo tanto, en esta segunda tabla deben sumar las matrículas de los tres niveles.

Puede dar indicaciones a los alumnos para que redondeen los porcentajes y la suma sea 100%.

21,487,657 100% 24,153,164 100%

11,021,709 51.29% 12,303,219 50.94%

10,465,948 48.71% 11,849,945 49.06%

70

secuencia 22

70

3. En el examen que se aplicó en una escuela aprobaron 90 alumnos.

De acuerdo con esta información, sólo una de las siguientes afirmaciones es válida. Márquenla con una

El examen se aplicó a 100 alumnos.

La mayoría de los alumnos aprobó el examen.

El examen lo presentaron cuando menos 90 alumnos.

El número de alumnos reprobados fue 10.

4. En el examen que se aplicó en una escuela la frecuencia relativa de los alumnos apro-bados es .

De acuerdo con esta información, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son válidas? Márquenlas con

El examen se aplicó a 100 alumnos.

La mayoría de los alumnos aprobó el examen.

El examen lo presentaron cuando menos 90 alumnos.

El número de alumnos reprobados fue 10.

5. Completen la siguiente tabla.

Intervalo FrecuenciaFrecuencia relativa

PorcentajeFracción Decimal

0-9

10-19 8

20-29 6

30-39 8

40-49 4

50-59 7

60-69 3

70-79 10

80-89 5

90-99 5

Total 60

2

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos analicen si con la información que les da el enunciado es posible hacer alguna de las afirmaciones.

Analizar la información es un aspecto muy importante en clase, y para fomentarlo es útil presentar actividades o problemas:

- en los que haya información innecesaria para resolverlo, o

- en los que falten datos.

Así, los alumnos no se acostumbrarán a que todo problema tiene solución o a que siempre deben utilizar todos los datos presentados.

Sugerencia didáctica. Discutan cada una de las afirmaciones del punto 3. Cuando digan que una de ellas es válida, pregunte por qué y cómo pueden estar seguros. Pregunte al resto del grupo si están o no de acuerdo. Pasen al número 4 cuando todos estén seguros de cuál es la afirmación válida.

Luego analicen con detenimiento la nueva información. Pregunte: ¿Qué significa que la frecuencia relativa de los alumnos aprobados sea q O p P p ?, ¿en qué cambia esta nueva información lo que sabíamos en el punto 3?

Respuestas.

3. Con la información que proporciona el enunciado no se puede saber:

- a cuántos alumnos se aplicó el examen,

- cuántos fueron los reprobados,

- si los 90 que aprobaron eran la mayoría de los alumnos que presentaron el examen.

La única afirmación que es válida es la tercera (el examen lo presentaron al menos 90 alumnos).

4. Todas las afirmaciones son válidas. El conocer la frecuencia relativa de los que aprobaron permite saber:

- a cuántos alumnos se les aplicó el examen,

- que la mayoría aprobó,

- que al menos lo presentaron 90 alumnos, y

- que los reprobados fueron 10.

6 0.1 0

y I p 0.133... 13.33

y Y p 0.1 10 y I p 0.133... 13.33

y R p 0.0666… 6.67

y U p 0.116… 1.67

y E p 0.05 5

yQ Pp 0.1666… 16.673 y E p 0.05

y p 0.08333… 8.3

yY pP 1 100

71

71

MATEMÁTICAS Ia) ¿A cuál de las siguientes tres situaciones puede corresponder esta tabla? Márquenla

con una

Número de saltos que pueden dar en 10 segundos un conjunto de 60 personas.

Número de pulsaciones por minuto que registró un conjunto de personas.

Número de clientes que llegan a una tienda en ciertos intervalos de tiempo.

De acuerdo con el contexto de la situación que eligieron, respondan las siguientes preguntas

b) ¿Qué representa el intervalo 40-49?

c) ¿Y el valor 10 de la columna de frecuencias?

d) ¿Tiene sentido el valor 15.5? ¿Por qué?

e) ¿Qué representa la fracción de la columna de frecuencia relativa?

f) ¿Qué significa el número 5 de la columna de porcentajes?

Para saber másSobre información que ofrece el INEGI para la utilización de tablas de frecuencia consulten: www.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.

Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos puedan relacionar los datos que están representados en una tabla con la situación que los genera.Cada pareja debe decidir cuál es la situación que más le parece y responder en función de su elección.

Integrar al portafolios. Pida a cada pareja de alumnos una copia de la actividad 5.

72

Eje

Manejo de la información.

Tema

Representación de la información.

Antecedentes

Durante la escuela primaria los alumnos han interpretado la información representada en gráficas circulares, ahora se espera que también las construyan y analicen.

Propósito de la sesión. Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa.

Organización del grupo. Para esta sesión es conveniente que los alumnos trabajen en parejas, excepto en el apartado Lo que aprendimos, que es individual.

Sugerencia didáctica. Esta información puede aprovecharse para hablar sobre los censos, qué son y para qué sirven.

Propósito de la actividad. La intención con la que se hacen las preguntas del inciso a) es que los alumnos analicen la gráfica y sepan qué tipo de información es la que proporciona y qué cosas no pueden saberse por la manera en que se organiza dicha información. Permítales contestarlas sin darles aún explicaciones.

Respuestas. a) La primera pregunta no puede contestarse porque en el eje vertical dice “número de personas”, pero no se sabe cuántas de esas personas son niños. La segunda sí se puede contestar: hay 300 000 personas con discapacidad auditiva.

secuencia 23

72

En esta secuencia aprenderás a interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencias absoluta y relativa, proveniente de diarios o revistas y de otras fuentes. También verás cómo comunicar información proporcionada por estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

Qué dicen las gráficasPara empezarDos de las maneras más utilizadas para presentar información son la gráfica de barras y la gráfica circular. Debido a su forma sencilla, resultan muy útiles para representar los datos obtenidos en encuestas y estudios sobre diversos temas.

Consideremos lo siguienteSegún el XII Censo General de Población y Vivienda, la población de México en el año 2000 era de 99 722 200 habitantes, de los cuales 1 795 000 presentaban al menos un tipo de discapacidad. Dicho censo consideró 5 tipos de discapacidad.

La siguiente gráfica muestra la cantidad de personas que padecen cada tipo de discapacidad.

a) ¿Cuál de las siguientes preguntas puede contestarse a partir de la información que proporciona la gráfica? Márquenla con una

¿Cuántos niños padecen la discapacidad motriz?

¿Cuántas personas tienen discapacidad auditiva?

sesión 1

Gráficas de barras y circulares

Fuente: INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda 2000.

Población de discapacitados en México

Nú

mer

o d

e p

erso

nas

dis

cap

acit

adas

(en

mile

s)

1000

800

600

400

200

0Motriz Visual Lenguaje Auditiva Mental

Tipo de discapacidad

Propósitos de la secuencia Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, proveniente de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar información provenien-

te de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos Vínculos

1Qué dicen las gráficas Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa.

2Gráficas de barras Elaborar e interpretar una gráfica de barras de frecuencia relativa.

Español I Secuencia 10

3 Gráfica circular Elaborar e interpretar una gráfica circular.

Video “El rating en la

televisión”

Español I Secuencia 14

73

Respuestas. a) Son 5: motriz, visual, lenguaje,

auditiva, mental.b) La más frecuente es la motriz (es

la barra más alta en la gráfica). La menos frecuente es la de lenguaje (es la barra más corta en la gráfica).

c) Es importante comentar esta pregunta porque los alumnos suelen cometer errores como el que se plantea al analizar la información contenida en gráficas y tablas. En el eje vertical de la gráfica dice “número de personas” y también “en miles”. Esto quiere decir que el número al que llega la altura de cada barra en la gráfica debe multiplicarse por mil. Los datos se escriben así para no tener que poner muchos ceros en los números de los ejes, lo cual dificulta la lectura. Por lo tanto, no hay 800 personas con discapacidad motriz, sino 800 000.

d) Motriz, visual, auditiva y mental.e) Hay 800 000 con discapacidad

motriz, y aproximadamente 450 000 con discapacidad visual, 85 000 con discapacidad de lenguaje, 300 000 auditiva y 300 000 mental. El cálculo del número de personas se hace por la altura de la barra. Si es necesario hay que medirlas.

f) No, la suma de los datos anteriores excede los 1 795 000, aunque el número total de personas con alguna discapacidad no cambia, lo que sucede es que hay personas con más de una discapacidad.

g) Una persona puede tener más de un tipo de discapacidad.

73

MATEMÁTICAS Ib) Escriban tres preguntas que se puedan contestar con la información que proporciona

la gráfica.

Pregunta 1:

Pregunta 2:

Pregunta 3:Lean al grupo una de las preguntas que escribieron y pidan que se las respondan.

Manos a la obraI. Observen la gráfica anterior y contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cuáles son los tipos de discapacidad que reporta el XII Censo General de Pobla-

ción y Vivienda?

b) ¿Cuál es la discapacidad más frecuente en México? ¿Y la

menos frecuente?

c) Un alumno dice que en México hay 800 personas con discapacidad motriz. ¿Es

esto cierto? ¿Por qué?

d) En la gráfica hay cuatro tipos de discapacidades con al menos 300 000 personas,

¿cuáles son?

e) Completen la tabla de frecuencias que corresponde a la información que presenta la gráfica de barras.

Tipo de discapacidad Número de personas

Total

74

2

Propósito de la actividad. Interpretar la información presentada en una gráfica circular. Cada sector representa un porcentaje, y a diferencia de la gráfica anterior, aquí sólo se consideran los datos correspondientes a una de las discapacidades (la motriz) y se presenta información nueva: el grupo de edad en el que se encuentran quienes padecen tal discapacidad.Respuestas. a) 800 000b) Adultos mayores, adultos,

jóvenes, niños.c) Sí, de las personas con

discapacidad motriz, 10% son niños y 10% son jóvenes, es decir que hay la misma cantidad de personas en cada grupo de edad (80 000).

secuencia 23

74

f) ¿El número total de personas discapacitadas que obtuvieron en la tabla es igual al

que señala el INEGI de 1 795 000 personas?

g) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones justifica esta situación? Subráyenla.

• Existe un error en los datos que se recolectaron.

• El número de personas con discapacidad aumenta conforme a la edad.

• Una persona puede tener más de un tipo de discapacidad.

ii. La siguiente gráfica muestra, según el grupo de edad, los porcentajes de personas en México que tienen discapacidad motriz.

a) ¿Cuántas personas tienen discapacidad motriz en México?

b) ¿En cuáles grupos de edad se manifiesta más esta discapacidad?

Un alumno planteó la siguiente pregunta: ¿Habrá la misma cantidad de niños que de jóvenes con discapacidad motriz?

c) ¿Podrán contestar esta pregunta con la información que proporciona la gráfica?

¿Cómo podrían saberlo?

Distribución de la población con discapacidad motrizpor grupo de edad en porcentaje

Niños10 %

Adultos30 %

Jóvenes10 %

Adultos mayores50 %

Número total de personas con discapacidad motriz: 800 000Fuente: INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda 2000.

75

3

Sugerencia didáctica. Comenten lo que aprendieron en la secuencia anterior sobre la frecuencia absoluta y relativa.

75

MATEMÁTICAS Id) Completen la tabla de frecuencias que corresponde a la información que presenta

la gráfica circular.

Grupo de edad Número de personas Porcentaje

Total 800 000 100%

A lo que llegamosLas gráficas de barras y las gráficas circulares nos permiten compa-rar la forma en que se distribuyen los atributos o características en una cierta población o muestra, ya sea que los datos se expresen mediante frecuencias absolutas o relativas.

En el caso de que los datos de la gráfica estén expresados como frecuencias relativas y se conozca el total de la población, como es el caso de la gráfica circular anterior, es posible determinar con exacti-tud la frecuencia con que se observa cada uno de los atributos en la población.

Lo que aprendimosLa siguiente gráfica presenta el resultado de una encuesta realizada a un grupo de 200 personas sobre su nivel máximo de estudios.

Porc

enta

je

Nivel máximo de estudios

Primaria Secundaria Bachillerato Licenciatura

50

40

30

20

10

0

Adultos Mayores 400 000 50%

Adultos 240 000 30%

Jóvenes 80 000 10%

Niños 80 000 10%

76

Respuestas.a) Sugiérales que calculen el

porcentaje representado por cada barra, si es necesario, midiendo cada una. La suma de los porcentajes debe ser 100%.

Las frecuencias relativas se obtienen de la siguiente manera: sabemos que la encuesta se realizó a 200 personas. Los que cursaron hasta primaria son el 45% de esos 200, es decir, 90 personas ( w O p P p ), y así con los demás valores. La tabla debe mostrar los siguientes datos:

Frecuencia Frecuencia/relativa Porcentaje

Prim. 90 w O p P p = 0.45 45%

Sec. 50 w T p P p = 0.25 25%

Bach. 40 w R p P p = 0.2 20%

Lic. 20 w W p P p = 0.1 10%

b) La primera es incorrecta, sin embargo, algunos alumnos podrían pensar lo contrario porque en la tabla se muestra que quienes terminaron la licenciatura son 10%, pero ese porcentaje está referido al total de personas encuestadas, que son 200, por lo tanto, 10% de 200 es 20.

La segunda también es incorrecta. La suma de los porcentajes de quienes tienen como nivel máximo de estudios la secundaria y los que tienen el bachillerato es 45%, lo que equivale a 90 personas.

La tercera es correcta. El 45% de las personas encuestadas estudiaron hasta la primaria.

La cuarta es incorrecta. De las personas encuestadas, exactamente 20% cursaron el bachillerato.

secuencia 23

76

a) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias a partir de la información que proporciona la gráfica.

b) Según los datos registrados en la gráfica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? Subráyala con una línea roja.

• Un total de 10 personas tienen licenciatura como nivel máximo de estudios.

• De las personas encuestadas 30 tenían, como nivel máximo de estudios, secun-daria o bachillerato.

• El 45% de las personas entrevistadas sólo terminaron la primaria.

• Menos de 20% de las personas encuestadas estudiaron hasta bachillerato.

Gráficas de barrasPara empezarExisten diversas situaciones en las que se requiere comparar valores, por ejemplo, cuando se trata de definir a un ganador o establecer el valor más frecuente.

Consideremos lo siguienteUna agencia de automóviles da un bono mensual al vendedor que logre hacer mayores ventas. Para motivar a los vendedores, se les muestra el número de autos que llevan vendidos y el monto de sus ventas. En cierto mes se presentó la siguiente gráfica:

El gerente le dijo a Gustavo que el importe de las ventas de otro vendedor es el doble de las que hizo él.

a) ¿En qué creen que se basa el gerente para hacer esa afirmación?

b) ¿Es correcta? ¿Por qué?

Comparen sus respuestas.

sesión 2

1 200

800

400Ricardo Fernando Gustavo Antonio

Vendedores

Total de ventas, en miles de pesos, correspondientes al mes de noviembreV

enta

s(m

iles

de

pes

os)

Propósito de la sesión. Elaborar e interpretar una gráfica de barras de frecuencia relativa.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas, excepto en el apartado Lo que aprendimos, que es individual.

Respuestas. a) En la gráfica podría parecer que

Ricardo vendió el doble que Gustavo, porque la barra que representa las ventas de Gustavo tiene la mitad del tamaño de la de Ricardo.

b) No, debido a que el eje vertical no empieza en 0 sino en 400 000. Observando con cuidado los datos podemos ver que 1 200 000 no es el doble de 800 000.

77

Propósito de la actividad. Además de reconocer que el eje vertical empieza desde 0, se espera que los alumnos se percaten de que lo importante no es cuántas divisiones haya sino lo que representa cada una. Por ejemplo, para representar cierta información, el eje de una gráfica puede:

- Empezar en 0, terminar en 120 y tener 12 divisiones (cada una representa 10 segundos).

- Empezar en 0, terminar en 120 y tener 4 divisiones (cada una representa 30 segundos).

En ambos casos la información representada no cambiará, pero una de las opciones puede ser más cómoda que la otra, dependiendo de los datos con los que se esté trabajando.

Sugerencia didáctica. En esta gráfica, como en otras anteriores, hay que multiplicar por mil los valores del eje vertical. Si algunos alumnos no lo han notado podrían responder que Gustavo ha vendido $800. Hágales ver que ese monto no corresponde a los precios de los autos e invítelos a leer con cuidado la información de la gráfica.

Respuestas. a) $800 000.b) $1 200 000.c) Es 1.5 veces más grande (una vez y

media).d) La de Ricardo es el doble de alta

que la de Gustavo.e) Hay que agregar la casilla del otro

vendedor en el eje horizontal y hacer que el eje vertical comience al menos en 200.

77

MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Con la información que proporciona la gráfica, respondan las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el importe de las ventas de autos que hizo Gustavo?

b) ¿Y las de Ricardo?

c) ¿Cuántas veces más grande es el importe de las ventas de Ricardo que el importe

de las ventas de Gustavo?

d) ¿Cuántas veces más alta es la barra que representa las ventas de Ricardo que la

barra que representa las ventas de Gustavo?

e) Si el importe de las ventas de un quinto vendedor fuera de $200 000, ¿qué cam-

bios habría que hacer en la gráfica para representarla?

A lo que llegamosEn una gráfica de barras, la altura de cada barra debe ser proporcional a la cantidad que representa.

Observa que en la gráfica anterior esto no ocurre. Para corregirla hay que considerar el eje de las ventas como una recta numérica que va de 0 a un valor máximo adecuado a la situación, y dividirla en un número conveniente de partes iguales.

II. Completen la siguiente gráfica de modo que incluya la venta del quinto vendedor.

1 400

400

0Ricardo Fernando Gustavo Antonio

Vendedores

Total de ventas, en miles de pesos, correspondientes al mes de noviembre

Ven

ta(m

iles

de

pes

os)

1 200

1 000

800

600

200

Otro vendedor

78

Respuestas. a) De cero.b) $1 400 000.c) Está dividida en 7 partes y cada

una representa $200 000.d) No, para que la barra que

representa las ventas de Ricardo fuera del doble de tamaño que la de Gustavo tendría que haber vendido el doble que Gustavo, es decir $1 600 000.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien esta información en sus cuadernos.

secuencia 23

78

a) ¿A partir de qué valor empieza la escala que representa el importe de las ventas?

b) ¿Cuál es el máximo valor que está representado en esa escala?

c) ¿En cuántas partes está dividida? ¿Qué valor representa cada

parte?

d) ¿La altura que representa la barra de Ricardo mide el doble de la de Gustavo?

¿Cuánto debió haber vendido Ricardo para que esto sucediera?

A lo que llegamosLa gráfica de barras o diagrama de barras facilita la comparación de datos, al interpretar la altura o la longitud de las barras.

Cómo trazar una gráfica de barras:

• Determinen el número de barras que necesitarán en el eje x (horizontal) para representar los datos, de acuerdo con el número de atributos o cualidades que se observan.

• A partir del origen, definan la escala en el eje y (vertical) considerando los valores mínimo y máximo que se proporcionan. Marquen la escala y anoten las unidades.

• Definan el ancho de las barras y el espacio que se dejará entre ellas. Marquen los anchos y rotulen las barras. Con la escala del eje y como referencia, tracen la altura de las barras.

• Asignen un título a la gráfica.

Lo que aprendimos1. Se le preguntó a un grupo de personas a cuál de los siguientes personajes les gustaría

más haber conocido. La siguiente tabla muestra los resultados de la encuesta:

PersonajeNúmero de votos

Adultos Niños

Benito Juárez 16 7

Miguel Hidalgo 22 18

Emiliano Zapata 24 31

Francisco I. Madero 9 15

79

Respuesta. En los recuadros de la izquierda van los números 0 y 30 (cada división representa 10 votos).

El título debe corresponder a la información presentada en la tabla. Podría ser algo como “Personaje al que más le hubiera gustado conocer”.

Hay que escribir al lado del cuadrito de abajo que las barras moradas representan los votos de los niños.

Propósitos de la actividad. En las actividades 2 y 3 se pretende que los alumnos:

- Representen la información de diversas formas (en una tabla, gráfica de barras, circular, etc.) y que comprendan que ésta no cambia.

- Aprendan a utilizar escalas apropiadas a los datos que estén manejando.

- Representen tanto la frecuencia absoluta como la relativa.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de la gráfica que elaboren y analícela para ver si han comprendido lo trabajado en la sesión.

79

MATEMÁTICAS IUtiliza la información que presenta la tabla anterior para completar la siguiente gráfica de barras.

2. En la sesión 2 de la secuencia 22, aprendiste a construir las tablas de frecuencia. Uti-liza la información de la tabla que presenta los resultados de la carrera de 1 000 m para construir, en tu cuaderno, la gráfica de barras que le corresponde.

a) Compárala con las que elaboren tus compañeros. ¿Eligieron el mismo tipo de escala?

¿Por qué?

b) ¿Qué título y etiquetas le pusieron?

3. En la secuencia 10 La jaula de oro, de tu libro de Español I, volumen II estudiaste la migración a los Estados Unidos. Además, realizaste una encuesta.

a) Elabora una gráfica de barras con los datos que obtuviste en la pregunta: ¿Cuál es la actividad que desempeñan en los Estados Unidos?

b) ¿Qué escala utilizarás?

20

Nú

mer

o d

e vo

tos

10

Benito Juárez Miguel Hidalgo Emiliano Zapata Francisco I. Madero

Adultos

0

30

Niños

Personaje al que más le hubiera gustado conocer

10

8

6

4

2

0 300 320 330 340 350 360

Tiempo registrado en segundos

Frec

uen

cia

Resultados de la carrera de 1 000 metros

80

secuencia 23

80

Gráfica circularPara empezarDurante el mes de septiembre de 2005, se llevó a cabo en Perú el Campeonato Mundial Juvenil Sub 17 de la FIFA, y el equipo mexicano resultó campeón. En esta sesión analiza-rás y presentarás estadísticamente algunas cifras relacionadas con este tema.

Consideremos lo siguienteUna revista deportiva presentó la siguiente información sobre los jóvenes futbolistas que se preparan para el próximo campeonato mundial Sub 17:

a) De los 740 jugadores registrados, ¿cuántos

son delanteros?

b) ¿Y cuántos son porteros?

c) Hay 37 jugadores delanteros zurdos. Si se requiere que en la gráfica se distingan los delanteros diestros de los zurdos, ¿qué cambio debe hacerse en la gráfica? Con-testen en su cuaderno.

sesión 3

Manos a la obrai. Observen la gráfica circular anterior y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Qué información proporciona?

b) ¿Cuál es la posición en la que hay más jugadores?

c) ¿Qué fracción de la gráfica representa el porcentaje de defensas?

d) ¿Cuántos jugadores defensas hay? ¿Qué fracción representan

del total de jugadores registrados?

e) ¿Qué porcentaje representan los delanteros zurdos del total de jugadores registra-

dos?

f) ¿Qué porcentaje le correspondería a los delanteros diestros?

g) ¿Cuánto es la suma de los porcentajes de delanteros zurdos y delanteros diestros?

h) ¿Cómo representarían el porcentaje de delanteros zurdos y el de delanteros dies-

tros en la gráfica?

Tercera divisiónprofesional de futbol.Relación de menoresnacidos en 1990 o más, por posiciones, al 7 de octubre de 2005.

740 jugadoresregistrados.

Fuente: Revista Futbol Total, 2005.

Medios 35%

Delanteros 30%

Defensas 25%

Porteros 10%

Comparen sus respuestas.

Propósito de la sesión. Elaborar e interpretar una gráfica circular.

Organización del grupo. En esta sesión se sugieren actividades que se resuelven en equipo, en parejas e individualmente.

Respuestas. a) El 30% de 740 es igual a 222.

b) El 10% de 740 es igual a 74.

Sugerencia didáctica. Es probable que los alumnos no sepan cómo modificar la gráfica circular, en cuyo caso conviene que comenten cuáles son sus dudas y continúen resolviendo la sesión, ya que más adelante aprenderán cómo hacerlo.

Posibles procedimientos. Para conocer qué porcentaje representan los 37 delanteros zurdos podrían: - Calcular qué porcentaje representan

del total de jugadores registrados (740), con lo cual obtendrían 5%.

- Calcular qué porcentaje representan del total de delanteros (222), con lo cual obtendrían 17% (redondeando).

Ambos datos son correctos, sin embargo, para hacer el trazo que se pide en la gráfica se deben seguir distintos procedimientos, dependiendo de con cuál de ellos se trabaje.Para trazar la “rebanada” correspondiente a los 37 delanteros zurdos podrían:- Partir la “rebanada” de los delanteros

“a ojo”, dividiéndola en 25% de los derechos y 5% de los zurdos. La idea es acertada pero puede ser inexacta la división, por lo que se le considera un procedimiento incorrecto.

- Partir la “rebanada” de los delanteros (30% del total de jugadores) restándole 17% y trazando “a ojo” 13% resultante. Este procedimiento es incorrecto, porque los delanteros representan el 30% del total de jugadores, y el 17% son los delanteros zurdos del total de delanteros. Para hacer un trazo correcto tendrían que calcular 17% de 108º (es la medida del ángulo central que representa 30%), obteniendo 18º. Esa sería la medida del ángulo central que representa a los 37 delanteros zurdos.

- Trazar el 5% en la “rebanada” de los delanteros. Los delanteros son u W r W p W , ese número se multiplica por 360º (son los grados que mide todo el círculo). La “rebanada” de 5% tendría 18º. También puede calcularse así: hay que dividir los 360º del círculo entre 100 (el porcentaje) para saber cuántos grados tendría 1%, y el resultado multiplicarlo por 5. Los 18º resultantes se trazan en el 30% correspondiente a los delanteros. Estos son procedimientos correctos.

- “Acomodar” una rebanada que represente aproximadamente 5% quitando un poquito a todas las demás. Este procedimiento es incorrecto.

Respuestas. a) Número de jugadores menores nacidos

en 1990 o más, por posición, en la tercera división profesional.

b) Medios.c) Es la cuarta parte de la gráfica.d) Hay 185 defensas y representan la

cuarta parte del total.e) Es 5% (37 de 740).f) 25% (30% menos el 5%).g) 30%.h) Se debe dividir la parte

correspondiente a los delanteros. Ahora el 5% será para los delanteros zurdos (37 es el 5% de 740) y el 25% para los delanteros derechos.

81

81

MATEMÁTICAS IA lo que llegamosA la gráfica circular se le llama también de pastel o diagrama de sectores.

Cómo trazar una gráfica circular:

Deporte favorito Frecuencia

Basquetbol 10

Futbol 20

Natación 4

Volibol 6

Total de alumnos 40

• Se calcula la fracción que corresponde a cada una de las preferencias por cada depor-te. Por ejemplo, el basquetbol representa , o sea de los votos totales.

• Se multiplica la fracción por los 360° que corresponden a todo el círculo. Por ejemplo, × 360° = 90°. Ésta es la medida del ángulo central que corresponde a la preferencia de basquetbol. Con este ángulo (90°) se traza el sector circular que representa la cantidad de personas a las que les gusta practicar el basquetbol.

Así, se obtiene el ángulo para cada uno de los demás datos, como se muestra en la tabla:

DeporteCantidad de personas

que lo prefierenFrecuencia relativa

(fracción del círculo)Ángulo central de:

Basquetbol 10 = × 360° = 90°

Futbol 20 = × 360° = 180°

Natación 4 = × 360° = 36°

Volibol 6 = × 360° = 54°

Total 40 = 1 1 × 360° = 360°

• Se traza el círculo y se marcan los ángulos centrales.

• Se nombran las partes de la gráfica.

• Se anota el título de la gráfica circular.

Preferencias de deporte que les gusta practicar

a los alumnos de 1º

Basquetbol 25%

Futbol 50%Natación 10%

Volibol 15%

Sugerencia didáctica. Es conveniente vincular esta actividad con los conocimientos de la secuencia 13 Polígonos regulares para trabajar con los ángulos a los que equivale el porcentaje. Hagan una o dos gráficas circulares con datos de esta misma secuencia para practicar.

82

secuencia 23

82

El rating en la televisión

La medida que se utiliza para conocer la aceptación de un programa de televisión por parte de los televidentes se llama rating, y existen diferentes formas de medirlo. Con esta medida las televisoras definen, entre otras cosas, el horario de transmisión de los progra-mas y su duración.

Lo que aprendimos1. En la sesión 3 de la secuencia 22, Tablas de frecuencia absoluta y relativa, comple-

taste la siguiente tabla.

Matrícula en Educación Básica por nivel educativo y por sexo (1992 y 2002)

Año 1992 2002

Nivel educativo Total Porcentaje Total Porcentaje

Preescolar 2 858 890 3 635 903

Primaria 14 425 669 14 857 191

Secundaria 4 203 098 5 660 070

Fuente: SEP, Estadística Básica del Sistema Educativo Nacional. Inicio de cursos 1992-1993.SEP, DGPPP, Subdirección de Análisis Estadístico y Presupuestal 2003.

Balada

Rock

Ranchera

Cumbia

Clásica

ii. Se aplicó una encuesta a un grupo de alumnos, y con los datos obtenidos se elaboró la siguiente gráfica.

a) ¿Qué tipo de música es el que más le gusta a los alumnos?

b) ¿Qué fracción de la gráfica representa?

c) Expresado en porcentaje, ¿cuánto le corresponde?

d) ¿A qué porcentaje de los alumnos de primero les gusta el rock?

e) ¿Qué relación encuentran entre los alumnos a los que les gusta

escuchar la música ranchera y a los que les gusta la cumbia?

f) ¿Qué fracción de la gráfica representa a los que prefieren músi-

ca clásica, si se sabe que es la mitad de los que prefieren música

ranchera?

a) Anota en la tabla los porcentajes que corresponden a cada año.

b) Construye en tu cuaderno las gráficas circulares que representan la información de la tabla.

Tipo de música que prefieren los alumnos de primero.

Respuestas. a) La balada.b) Es wQ .c) Al 50%.d) Al 25%.e) Los sectores son del mismo

tamaño, por lo tanto, la música ranchera y la cumbia les gustan a la misma cantidad de alumnos.

f) Es 5%. Entre la balada y el rock llevamos 75%, el 25% restante se reparte con 10% ranchera, 10% cumbia y 5% clásica.

Propósito del video. Visualizar la construcción de una gráfica circular.

Sugerencia didáctica. Si se suman los porcentajes no se obtiene 100% debido a que se quitan cifras decimales (por ejemplo, el porcentaje que representa la matrícula de preescolar en 1992 es 13.304800984118… pero para manejar con facilidad los datos se suelen anotar sólo las primeras cifras decimales). Coméntelo con los alumnos.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que le entreguen al menos una de las dos gráficas circulares que hagan. Si no son correctas, resuelvan juntos todo este apartado (Lo que aprendimos) para aclarar dudas y hacer correcciones.b) Redondeando, en la gráfica de

1992 pueden tomarse ángulos de 50º, 240º y 70º. En la de 2002 de 54º, 216º y 90º para preescolar, primaria y secundaria, respectivamente.

13.3% 15.05% 67.13% 61.51% 19.56% 23.43%

Matrícula en Educación Básica por nivel

educativo (1992)

20 %13 %

67 %

Preescolar Primaria Secundaria

23 %15 %

62 %

Preescolar Primaria Secundaria

Matrícula en Educación Básica por nivel

educativo (2002)

83

83

MATEMÁTICAS I2. En la secuencia 14, La TV ¿Ventana al mundo o “caja idiota"?, de su libro de Español I,

volumen II realizaron una encuesta sobre el impacto de la televisión en su familia; posteriormente, registraron los datos que reunieron todos los alumnos del grupo en una tabla. Ahora, en su cuaderno deberán utilizar esa información para presentarla en gráficas de barras o circulares, según sea conveniente para dar respuesta a las si-guientes preguntas.

a) ¿Cuántas horas permanece encendido el televisor durante el día?

b) ¿En qué tipo de gráfico es más conveniente presentar esta información?

c) ¿Qué opinan otros compañeros? Si representaron de manera diferente la informa-ción, anoten por qué.

3. Una forma de recolectar datos es apli-cando una encuesta.

a) Utilicen las siguientes preguntas pa-ra encuestar a un grupo de personas (pueden ser sus compañeros de gru-po, todos los estudiantes de su es-cuela o algunas de las personas de su comunidad).

b) Una vez que hayan recopilado los datos, cada equipo deberá presen-tar en una gráfica de barras o circu-lar los resultados de una de las pre-guntas de la encuesta. Si hay más de cuatro equipos en el grupo, no importa que se presenten más de dos gráficas de la misma pregunta. Compárenlas y determinen qué grá-fica es mejor y está más completa.

Para saber más

Consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Sobre información para conocer otras estadísticas de los jugadores de futbol, consulten: http://www.terceradivision.com.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

Queremos conocer tus intereses

Encuesta de entretenimientoContesten marcando una opción en cada pregunta.

1 ¿Cuál es el tipo de música que te gusta escuchar?a. gruperab. rockc. cumbiad. clásicae. balada

2 ¿Cuál es el tipo de programa que te gusta ver en la televisión?a. noticiasb. comediasc. caricaturasd. musicalese. concursos

3 ¿Cuál es el deporte que te gusta practicar?a. basquetbolb. futbolc. nataciónd. volibol

4 ¿Cuál es el tipo de película que te gusta ver?a. suspensob. terrorc. comediad. dramae. infantil

2

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que organicen los datos obtenidos en una tabla, en la que señalarán la frecuencia relativa y el porcentaje para facilitar la elaboración de la gráfica.

84

secuencia 24

84

En esta secuencia enumerarás los posibles resultados de una expe-riencia aleatoria y utilizarás la escala de la probabilidad entre 0 y 1expresada en forma de fracción, decimal y porcentaje. Además, esta-blecerás cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificarán su respuesta.

Probabilidad frecuencial Para empezarLa mayoría de las personas nos hemos enfrentado a situaciones en las que hay más de una alternativa y, sin tener preferencia por alguna, hemos dejado que la “suerte” lo decida. En matemáticas, decimos que es una situación de azar o aleatoria, y aunque no podemos asegurar cuál será su resultado, sí podemos determinar los posibles resultados.

Consideremos lo siguienteSi lanzas 10 veces una moneda al aire, ¿qué crees que suceda? ¿Caerán más águilas o más

soles?

Manos a la obrai. Cada integrante del equipo, por turno, lanza una moneda 10 veces al aire. Registren

en la siguiente tabla los resultados de los tres integrantes. Tachen a si cae águila y ssi cae sol.

sesión 1

JugadorNúmero de volado Total por

resultado1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°

Jugador 1A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

Jugador 2A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

Jugador 3A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

Primer juego

Nociones de probabilidad

Propósitos de la secuencia Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y

1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.

Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos

1Probabilidad frecuencial Obtener la probabilidad frecuencial expresada en forma de fracción, decimal y porcentaje.

Interactivos “Lanza monedas”

“La ruleta” Aula de medios

“Probabilidad frecuencial” (Hoja de cálculo)

2Probabilidad clásica Calcular la probabilidad clásica de eventos simples e interpretar la escala de la probabilidad.

Interactivo “Bolsa con canicas”

3Comparación de probabilidades I Explorar y analizar la relación entre la probabilidad frecuencial y la clásica.

Video ¿Qué es más probable?

4

Comparación de probabilidades II Calcular las probabilidades de diversos eventos y distinguir entre ellos cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Eje

Manejo de la información.

Tema

Análisis de la información.

Antecedentes

Durante la escuela primaria los alumnos han realizado experimentos aleatorios, definido el espacio muestral y registrado la frecuencia con la cual se presenta un resultado. Ahora aprenderán a obtener la probabilidad frecuencial y la clásica, y explorarán la relación entre ellas.

Propósito de la sesión. Obtener la probabilidad frecuencial expresada en forma de fracción, decimal y porcentaje.

Organización del grupo. La mayoría de las actividades las resolverán en parejas o en equipos de tres.

3

Propósito de la pregunta. En este punto se busca que los alumnos expresen sus ideas basándose en su experiencia, más adelante trabajarán situaciones que les permitirán conocer algunos aspectos de la probabilidad y el azar.

1

Sugerencia didáctica. En esta sesión, y en general en todas las que tratan temas de probabilidad frecuencial, es muy importante que los alumnos realicen todos los experimentos.

Propósito del interactivo. Desarrollar una noción de probabilidad frecuencial al enumerar posibles resultados de lanzar una moneda.

85

85

MATEMÁTICAS IContesten las siguientes preguntas

a) ¿Cuántas águilas cayeron por jugador?

b) ¿Cuántos soles por jugador?

c) Si vuelven a jugar, ¿creen que obtendrán los mismos resultados?

d) Realicen el juego dos veces más y marquen los resultados de cada torneo.

JugadorNúmero de volado Total por

resultado1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°

Jugador 1A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

Jugador 2A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

Jugador 3A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

JugadorNúmero de volado Total por

resultado1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°

Jugador 1A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

Jugador 2A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

Jugador 3A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

e) De los tres juegos que realizaron, ¿en cuál obtuvieron más águilas?

f) ¿En cuál obtuvieron más águilas los otros jugadores?

Segundo juego

Tercer juego

3

Propósito de las preguntas. Aunque es posible obtener los mismos resultados, es poco probable que suceda, sin embargo, una vez más la intención es que los alumnos expresen sus ideas sobre la probabilidad en situaciones aleatorias.

86

Sugerencia didáctica. Si lo considera útil, recuerde a los alumnos que:- La suma de las frecuencias debe

ser 90 (en este caso). - La suma de las frecuencias

relativas debe ser 1 (en cualquier caso).

- La suma de los porcentajes debe ser 100% (en cualquier caso).

Sugerencia didáctica. Es importante analizar con los alumnos la tabla que llenaron. Hágales notar que en una situación aleatoria la frecuencia relativa es la probabilidad frecuencial.

Propósito de la actividad. Que los alumnos se percaten de lo que sucede cuando se efectúa un experimento o juego de azar (como lanzar una moneda) cuando la cantidad de ensayos o registros (número de lanzamientos) es mayor que en un experimento anterior.

Posibles dificultades. Algunas de las estrategias erróneas más comunes y sistemáticas que presentan los alumnos surgen de situaciones como las siguientes:- Desconocer los efectos de

considerar pocos resultados sobre la precisión de las estimaciones. Por ejemplo, considerar suficientes diez lanzamientos.

- Confiar, sin fundamento, en una predicción basada en información no válida (supersticiones). Por ejemplo, creer que se le puede pasar “buena vibra” a la moneda para que caiga un cierto resultado.

- Creer que la aparición de una racha a favor de un resultado aumenta la probabilidad del contrario. Por ejemplo, creer que si la serie de lanzamientos de una moneda ha sido AAASSSSAAA, en el siguiente lanzamiento debe caer sol.

- Creer que SASASASASA es una serie de volados más probable que la anterior.

secuencia 24

86

h) Calculen la probabilidad frecuencial del evento “caer sol” que obtuvieron en sus primeros 10 lanzamientos.

P (caer sol en el grupo) =Número de veces que cae sol

=Número total de lazamientos 10

g) Consideren los resultados de los tres jugadores y completen la siguiente tabla.

Resultados en el equipo Frecuencia

Frecuenta relativaPorcentaje

Fracción Decimal

Total de lanzamientos 90 1 100%

Caer águila

Caer sol

Recuerda que:

Un experimento ofenómeno es aleato-rio si su ocurrenciapresenta variosresultados posibles yno se puede asegurarcuál de ellos seobtendrá.

Al cociente entre el número de veces que ocurre el evento y el número de veces que se realizó el experimento se le llama probabilidad frecuencial de un evento. Con los resul-tados obtenidos en tu equipo pueden calcular la probabilidad frecuencial de obtener águila o de obtener sol. Se calcula así:P (caer águila en el equipo) = Número de veces que cae águila

Número de lanzamientosP (caer águila en el equipo) se lee: probabilidad de caer águila en el equipo.

P (caer sol en el equipo) = Número de veces que cae sol Número de lanzamientos

ii. Ahora consideren los resultados de todo el grupo.

a) Calculen la probabilidad frecuencial del evento "caer águila" que se obtuvo en todo el grupo.

Resultadosen el grupo Frecuencia

Total delanzamientos

Caer águila

Caer sol

P (caer águila en el grupo) = Número de veces que cae águila =Número total de lanzamientos

87

Recuerde que. Si se repite muchas veces un experimento aleatorio en condiciones idénticas, la probabilidad frecuencial se va acercando a la clásica. En el caso de los volados, tenderá a wQ o 0.5 porque en una moneda que no esté “cargada” es igualmente probable que caiga sol o que caiga águila. Sin embargo, la probabilidad frecuencial del evento caer águila en el grupo no necesariamente será igual a wQ .

Respuestas. No necesariamente se obtendrá la misma probabilidad frecuencial, aunque es posible. Además, hay que considerar que se puede obtener la misma probabilidad frecuencial pero quizá la serie de lanzamientos tenga otro comportamiento, es decir, puede ser AAASSSSSAA o SASSSAASAA, por ejemplo.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien en sus cuadernos la información del recuadro.

87

MATEMÁTICAS Ib) Completen la siguiente tabla, escribiendo en forma de fracción, número decimal y

porcentaje la probabilidad frecuencial de los eventos “caer águila en el equipo” y "caer águila en el grupo". Comparen estas probabilidades.

EventoProbabilidad frecuencial

Fracción Decimal Porcentaje

Caer águila en el equipo

Caer águila en el grupo

¿Es mayor la del equipo? ¿Es menor? ¿Es igual?

c) ¿Creen que si repiten el experimento de lanzar 10 veces una moneda obtendrán

la misma probabilidad frecuencial? ¿Por qué?

A lo que llegamosLa probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva, por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen.

La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A), se obtiene dividiendo el número de veces que ocurre el evento entre el número total de veces que se realizó el experimento.

P (A) = Número de veces que ocurre el eventoNúmero total de veces que se realiza el experimento

Como el valor de la probabilidad es el de la frecuencia relativa, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que puede expresarse en forma de fracción, número decimal y porcentaje.

88

Respuestas. a) 300 volados.b) 120 veces (300 – 180).c) En el experimento realizado se

lanzaron 300 volados y cayó águila el 60% de las veces, por lo tanto, en 100 volados se esperaría que 60 fueran águila, pero no se puede saber con certeza porque es un experimento aleatorio.

Propósito del interactivo. Desarrollar una noción de probabilidad frecuencial al enumerar los posibles resultados de girar una ruleta.

Sugerencia didáctica. Si resulta difícil construir la ruleta,, pueden hacer el experimento con 6 papeles pintados con los colores de la misma o marcados con el nombre del color. Se ponen los papeles en una bolsa que no sea transparente. En vez de girar la ruleta, se saca un papel y cuando hayan visto el color lo regresan a la bolsa hasta completar 50 extracciones.

secuencia 24

88

Lo que aprendimos1. La siguiente tabla muestra los resultados que se obtuvieron en un grupo al lanzar

una moneda. Con estos datos, contesten las siguientes preguntas.

EventoProbabilidad frecuencial

Fracción Decimal Porcentaje

Caer águila en el grupo = 0.60 60 %

a) ¿En total, cuántos volados se realizaron en el grupo?

b) ¿En total, cuántas veces cayó sol?

c) De acuerdo con la probabilidad frecuencial del evento caer águila obtenida por el

grupo, si se realizan 100 volados, ¿en cuántos caerá águila?

Resultados en el equipo

Evento Conteo FrecuenciaProbabilidad frecuencial

Fracción Decimal Porcentaje

Cae el color azul

Cae el color morado

Cae el color verde

Total 50 100%

2. Elaboren una ruleta como la que se muestra en el dibujo. Pueden ayudarse con el procedimiento para trazar un hexágono de la segunda sesión de la secuencia 13 Polígonos regulares.

Cada integrante del equipo, por turnos, hace girar la ruleta. Para ello pueden desdoblar un clip y colocar un extremo en el centro de la ruleta. Anoten en la siguiente tabla en qué color se detiene. Giren la ruleta 50 veces y completen la siguiente tabla.

Integrar al portafolios. Una vez que los alumnos hayan hecho el experimento, pídales que le den una copia de la tabla. Cada equipo obtendrá frecuencias distintas dependiendo de los resultados del experimento, pero revise que hayan escrito correctamente la probabilidad frecuencial expresada como fracción, como decimal y como porcentaje. Si después de analizar las respuestas de los alumnos considera necesario hacer un repaso, resuelvan juntos el apartado Manos a la obra.

89

Propósito de la sesión. Calcular la probabilidad clásica de eventos simples e interpretar la escala de la probabilidad.

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas y de manera individual.

89

MATEMÁTICAS IPRobabilidad clásicaPara empezarEn la sesión 4 de la secuencia 8, Problemas de conteo, trabajaste con un diagrama de árbol para contar los resultados posibles al lanzar dos dados.

Consideremos lo siguienteEl siguiente diagrama de árbol muestra todos los resultados posibles que pueden obte-nerse al lanzar dos dados.

sesión 2

a) ¿Cuántos resultados diferentes en total puede haber al lanzar dos dados?

Dado B Dado A Dado B

123456

111111

1

Dado A

123456

222222

2

123456

123456

333333

3

123455

444444

4

123456

555555

5

666666

6

123456

123456

123456

123456

123456

123456

Resultados posibles

Respuesta. a) Son todos los resultados que

pueden verse en el diagrama, es decir, 36.

Esos 36 resultados constituyen el “espacio muestral”, o sea, el conjunto de todos los resultados posibles al realizar un experimento aleatorio.

90

Respuesta. b) Es el 7, porque puede obtenerse de

6 maneras distintas: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1).

c) 2 y 12, ya que cada 1 puede obtenerse de 1 sola manera: (1,1) y (6,6), respectivamente.

Propósito de la pregunta. Lo importante aquí es que los alumnos lean y analicen el diagrama, las probabilidades las calcularán después.

Respuesta. Una vez que hayan expresado sus opiniones, puede hacerles notar que un resultado mayor que 7 se obtiene de 15 distintas maneras, y que uno menor o igual que 7 se obtiene de 21 distintas maneras, por lo que no conviene apostar.Conviene apostar a obtener 7. No conviene apostar a obtener 2 o 12.

Respuestas. a) Faltan 13: (6,2), (6,3), (6,4), (6,5),

(6,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (4,4), (4,5), (4,6), (3,6).

b) Son 15. c) e Q y T d) Hay un solo resultado mediante el

cual se obtiene 12, (6,6).e) 1f) e Q y g) Son 6 resultados: (1,6), (2,5), (3,4),

(4,3), (5,2), (6,1).h) Son 6.i) e Y y

secuencia 24

90

b) Si se hace referencia al evento “la suma de los puntos obtenidos en el lanzamien-

to de dos dados”, ¿qué suma es más probable de obtener?

c) ¿Qué suma tiene menos probabilidades de salir?

d) Si en un juego con dos dados te ofrecen la siguiente apuesta: “Si obtienes de tus dados una suma mayor que 7, ganas; si no, pierdes”, ¿te arriesgarías a jugar?

¿Por qué? ¿A qué suma le apostarías para

tener más seguridad de ganar? ¿A qué suma no le apostarías?

Comparen sus respuestas.

Manos a la obrai. Dos resultados posibles para obtener una suma mayor que 7 son: (2, 6) y (3, 5).

a) Anoten los resultados favorables que faltan

b) ¿Cuántos resultados favorables son?

c) Busquen determinar qué fracción del total de resultados posibles representan.

d) ¿Cuáles son los resultados favorables del evento: “obtener una suma igual que 12al lanzar dos dados”?

e) ¿Cuántos resultados favorables son?

f) ¿Qué fracción representan del total de resultados posibles?

g) Marquen en el siguiente diagrama rectangular los resultados favorables del even-to: “obtener una suma igual que 7 al lanzar dos dados”.

Sumas que se obtienen al lanzar dos dados

6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6Caras del dado A

h) ¿Cuántos resultados favorables son?

i) ¿Qué fracción representan del total de resultados posibles?

Car

as d

el d

ado

B

91

91

MATEMÁTICAS IA lo que llegamosCuando se realiza un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados sencillos posibles recibe el nombre de espacio de eventos o espacio muestral.

Por ejemplo, en el caso de lanzar dos dados, uno azul y otro rojo se lanzan una vez y se anota el número de puntos que aparecen en cada uno. El espacio muestral son todos los resultados sencillos posibles que se presentan en forma de diagrama de árbol.

Si ahora se lanzan dos dados y se obtiene la suma de los puntos que aparecen en cada uno, el espacio muestral es el que se observa en el diagrama rectangular.

Evento(e)

Resultados(dado A, dado B)

Número de resultados favorablesal evento

Probabilidad clásica del eventoP (e)

La suma de las caras de dos dados al caer es mayor que 7

(2, 6), (3, 5) número de resultados favorables =número total de resultados posibles

La suma de las caras de dos dados al caer es igual que 12

número de resultados favorables =número total de resultados posibles

La suma de las caras de dos dados al caer es igual que 7

número de resultados favorables =número total de resultados posibles

La suma de las caras de dos dados al caer es menor que 12

número de resultados favorables =número total de resultados posibles

La suma de la cara de dos dados al caer es menor que 7

número de resultados favorables =número total de resultados posibles

j) Marquen en el mismo diagrama rectangular los resultados favorables del evento: “obtener una suma menor que 7”.

k) ¿Cuántos resultados favorables son?

A lo que llegamosSe llama probabilidad clásica de un evento al número P(e) que se obtiene por medio del cociente:

P (e) = Número de resultados favorables

Número total de resultados posibles

II. Completen la siguiente tabla

Respuestas.j) Son 15 resultados favorables: (1,5),

(1,4), (1,3), (1,2), (1,1), (2,4), (2,3), (2,2), (2,1), (3,3), (3,2), (3,1), (4,2), (4,1), (5,1).

k) e Q y T

Sugerencia didáctica. Si es posible, pida a los alumnos que también expresen la probabilidad con número decimal y mediante un porcentaje.

92

Integrar al portafolios. Revise las respuestas de los alumnos a los incisos del a) al f). Si nota dificultades, copie en el pizarrón la tabla del número II de esta sección y resuélvanla juntos.

Respuestas. a) Hay seis casos favorables para que

el evento “obtener una suma igual a 7” ocurra, mientras que sólo hay un caso favorable para “obtener una suma igual a 12”.

b) Son igualmente probables porque hay 15 posibilidades en cada caso.

c) Obtener una suma igual a 1 no está en el espacio muestral porque no hay casos favorables para tal evento, así que su probabilidad es e P y . La probabilidad de obtener

una suma igual a 6 es e T y .

d) La suma es igual a 13: e P y La suma es número par: e Q y

La suma es igual a 7: e Y y La suma es menor que 13: e E y Y e) 36

f) Cero.

secuencia 24

92

a) Consideren la probabilidad de los siguientes eventos:

¿Qué evento es más probable que ocurra al lanzar dos dados: obtener una suma

igual que 12 o una igual a 7?

b) ¿Qué evento es más probable que ocurra al lanzar dos dados: obtener una suma

mayor que 7 o una menor a 7?

c) Calculen las siguientes probabilidades:

P (la suma es igual que 1) =

P (la suma es igual que 6) =

¿A qué suma no le apostarían?

d) Completen la siguiente tabla calculando la probabilidad clásica de cada evento que se pide.

Evento La suma es igual que 13

La suma es un número par

La suma es igual que 7

La suma es menor que 13

Probabilidad clásica

número de resultados favorablesnúmero total de resultados posibles

e) ¿Cuántos resultados favorables existen al lanzar dos dados en los que la suma sea

menor que 13?

f) ¿Cuántos resultados favorables existen al lanzar dos dados en los que la suma sea

igual que 13?

A lo que llegamosPara obtener la probabilidad clásica de un evento no se requiere de la realización de experimentos, como en la probabilidad frecuencial, sino de conocer dos datos:

El de todos los resultados posibles que se pueden dar en una situa-ción de azar, y el de los resultados favorables de un evento de esa situación:

P (e)= Número de resultados favorables del evento

Número total de resultados posibles

Sugerencia didáctica. Es importante señalar la diferencia entre la probabilidad frecuencial y la clásica. Ambas se refieren a la probabilidad de que un evento ocurra en situaciones aleatorias, pero la frecuencial se obtiene a partir de los resultados de un experimento, y la clásica a partir del análisis de la situación sin realizar el experimento. Sin embargo, se espera que cuando un experimento se repita una gran cantidad de veces, el valor de la

probabilidad frecuencial de un evento se aproxime al valor de su probabilidad clásica. Por ejemplo, el valor de la probabilidad clásica de “obtener una suma igual a 7” es e Y y debido a que hay 6 de 36 formas de obtenerla. Si lanzamos muchas veces 2 dados y reunimos los resultados, el valor de probabilidad frecuencial de obtener una suma igual a 7 debe de aproximarse a e Y y . La notación utilizada es la misma en ambos casos: p(e).

93

Propósito del interactivo. Desarrollar una noción de probabilidad frecuencial al enumerar los posibles resultados de extraer canicas de una bolsa. Comparar las probabilidades clásicas con los datos experimentales.

Respuestas.

a) wQ

b) rW

c) rQ

Propósito de la sesión. Explorar y analizar la relación entre la probabilidad frecuencial y la clásica.

93

MATEMÁTICAS I

Lo que aprendimosEn una urna hay dos canicas blancas y dos negras. Extrae una canica de la urna, anota el color, y devuélvela a la urna; de nuevo extrae una canica y anota su color. De esta forma, dos extracciones sucesivas conducen a uno de estos cuatro resultados:

¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos?

a) Extraer dos canicas negras.

b) Extraer dos canicas de diferente color.

c) Extraer dos canicas blancas.

comParación de Probabilidades iPara empezar¿Qué es más probable?

La comparación de probabilidades permite determinar cuál es la mejor opción que se puede elegir, ya sea en un juego o en otro tipo de situaciones de azar.

Consideremos lo siguienteEn una caja hay 10 tarjetas numeradas del 1 al 10.

Si sacas una tarjeta al azar, ¿cuántos resultados posibles hay?

¿Qué probabilidad existe de obtener un número par?

Comparen sus respuestas.

sesión 3

A la probabilidad clásica se le llama también probabilidad teórica.

Cuando el número de resultados favorables de un evento es el mismo que los resultados posibles (espacio muestral), se trata de un evento seguro, y la probabilidad de ese even-to es igual a 1.

Cuando el número de resultados favorables de un evento es 0, es decir, no hay casos favorables, entonces se trata de un evento imposible y la probabilidad de ese evento es 0.

Si el valor de la probabilidad de un evento es un número muy cercano a 0, se dice que ese evento es poco probable, pero si el valor de la probabilidad de ese evento es un número muy cercano a 1, entonces el evento es muy probable.

Propósito del video. Identificar y visualizar situaciones en las que obtienen la probabilidad frecuencial y situaciones en las cuales obtienen la probabilidad clásica.

Propósito de las preguntas. La intención es que los alumnos se vayan familiarizando con el análisis de resultados posibles y con el cálculo de la probabilidad clásica y frecuencial.

94

secuencia 24

94

Recuerden que:

La probabilidad puede expresarse en

forma de fracción, decimal y porcentaje.

Manos a la obrai. Formen equipos de tres integrantes y coloquen tarjetas de papel numeradas del 1 al

10 en una caja o bolsa.

a) ¿Cuáles son las tarjetas que tienen un número par?

b) ¿Cuántas formas existen de obtener un número par?

c) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener un número par?

P (obtener un número par) = resultados favorables de obtener un número par

resultados posibles al extraer una tarjeta

ii. Ahora, cada integrante del equipo saca de la caja una tarjeta numerada y anota el resultado en la siguiente tabla. Luego regresa la tarjeta y repite el experimento otro integrante del equipo hasta que cada quien haya hecho 10 extracciones.

JugadorExtracciones Número de veces

que obtuvieron una tarjeta par 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°

Jugador 1

Jugador 2

Jugador 3

a) En total, ¿cuántas veces obtuvieron una tarjeta con un número par?

b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de este evento?

c) Comparen la probabilidad clásica de obtener un número par y la probabilidad

frecuencial que obtuvieron al realizar el experimento. ¿Son iguales?

¿Cuál es mayor?

Respuestas. a) 2, 4, 6, 8, 10.b) Hay 5 formas (sacando 2, 4, 6…).c) Es q T p .

Sugerencia didáctica. Recuerde que es indispensable que los alumnos realicen todos los experimentos para poder lograr los propósitos de la sesión.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos analicen las diferencias y coincidencias entre la probabilidad clásica y la frecuencial. En general, la probabilidad frecuencial y la clásica en este experimento no van a ser iguales (porque 10 extracciones son muy pocas para que la probabilidad frecuencial se acerque a la clásica). Cuando terminen de contestar las preguntas pídales que expliquen los resultados que obtuvieron y que expresen sus dudas (si las tienen), más adelante podrán aclararlas.

95

95

MATEMÁTICAS IIII. Reúnan los resultados que obtuvieron en su equipo con los de los demás equipos y

completen la tabla.

Equipo Número de veces que se obtuvo una tarjeta con un número par

Número total de extracciones

Total

a) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de obtener una tarjeta con un número par en

su equipo?

b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de obtener una tarjeta con un número par en

su grupo?

c) Ahora, comparen esta probabilidad con la probabilidad clásica de este evento. ¿Se aproxima la probabilidad frecuencial de este evento a la probabilidad clásica?

d) ¿Cuál de las dos probabilidades frecuenciales, la que obtuvo su equipo o la del

grupo, es más cercana a la de la probabilidad clásica?

IV. Consideren que la urna tiene 20 tarjetas numeradas del 1 al 20 y contesten las si-guientes preguntas.

a) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 0?

b) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 10?

c) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número par?

d) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 20?

Respuestas. a) Es 1, un evento seguro.

b) w Q p P = wQ c) w Q p P = wQ d) 0, es un resultado imposible.e) No, un resultado favorable

debe “caber” en el número de resultados posibles.

96

secuencia 24

96

e) ¿Se podría dar el caso de que el número de resultados favorables sea mayor que el

número de resultados posibles?

A lo que llegamosLa probabilidad clásica es diferente de la probabilidad frecuencial. Para obtener la probabilidad clásica se consideran las condiciones del experimento. Por ejemplo, en una urna hay veinte tarjetas numeradas del 1 al 20 y se quiere elegir una tarjeta con número impar, entonces la probabilidad clásica es ; y la probabilidad frecuencial se calcula a partir de los resultados que se obtienen al efectuar el experimento. En este caso, si se realizó el experimento 100 veces y 38 veces se sacó una tarjeta con número impar, la probabilidad frecuencial de este evento es:

P (sacar número impar) = = 0.38 = 38%Después de realizar muchos experimentos, la probabilidad frecuencial de un evento se parece a la probabilidad clásica.

Tanto la probabilidad clásica como la frecuencial se pueden expresar utilizando fracciones, decimales y porcentaje.

Lo que aprendimos 1. Indiquen en cada caso si se trata de probabilidad frecuencial o probabilidad clásica:

a) Una bolsa contiene 5 canicas rojas y 7 azules. La probabilidad de sacar una canica

roja es .

b) Se les hace una encuesta a 600 personas para conocer qué bebida prefieren tomar para acompañar su comida; se sabe que 450 prefieren refresco. Se determina que

la probabilidad del evento es .

c) En una feria hay una ruleta como la siguiente:

La probabilidad de caer en el área B es

2

Sugerencia didáctica. Lean esta información. Después revisen sus respuestas a los números II y III del apartado Manos a la obra y aclaren dudas.

Respuestas. a) Clásica, no se realiza el

experimento.b) Frecuencial, sí se lleva a cabo el

experimento.c) Clásica, no se llevó a cabo.

97

97

MATEMÁTICAS I2. En un restaurante hay una rockola que tiene 40 diferentes melodías, las cuales están

clasificadas y distribuidas equitativamente en cuatro diferentes tipos de música:

a) Grupera b) Rock c) Cumbia d) Balada

a) Calculen la probabilidad clásica de que sea seleccionada una melodía de rock.

P (rock) = opciones de elegir música rock

total de opciones de elegir una melodía

En la siguiente tabla se muestra la preferencia con la cual se han seleccionado las melodías a partir del tipo de música al que pertenece.

Tipo de música Grupera Rock Cumbia Balada

Núm. de veces que se tocó 15 24 11 30

Total 80

b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de seleccionar una melodía de música grupera?

P (grupera) = veces que se tocó música gruperanúmero total de melodías que se tocaron

c) Comparen la probabilidad clásica de que sea seleccionada una melodía que perte-nece al género de la música grupera y la probabilidad frecuencial del mismo evento.

¿Son iguales? ¿Cuál es mayor?

d) Calculen las probabilidades que se indican:

Tipo de música Probabilidad clásica Probabilidad frecuencial

Cumbia P (cumbia) = P (cumbia) =

Rock P (rock) = P (rock) =

Balada P (balada) = P (balada) =

Grupera P (grupera) = P (grupera) =

Propósito de la actividad. A diferencia de los anteriores, este experimento no es aleatorio porque no depende del azar sino de la preferencia de cada persona. Por ello, aunque muchas personas elijan en la rockola su música favorita, la probabilidad frecuencial no necesariamente tenderá a la clásica, que en este caso es r Q p P o rQ. .

En esta actividad la intención es que el alumno identifique situaciones relacionadas con la preferencia (de música, candidatos, deportes, etc.) y la probabilidad; es decir, introducir la probabilidad y la estadística de un modo experimental, además de confrontar creencias personales o de carácter determinista con la importancia y utilidad de la estadística para la toma de decisiones con una base racional y objetiva.

Respuestas. a) Como están distribuidas

equitativamente es r Q p P .

b) r Q p T

c) No son iguales. Es mayor la probabilidad clásica ( r Q p P > i Q p T ).

r Q pP iQ pQ

r Q pP iW pR

r Q pP i E pP

r Q pP i Q pT

98

secuencia 24

98

sesión 4 comParación de Probabilidades iiPara empezarCuando has participado en un juego de azar, ¿alguna vez te ha tocado elegir las reglas que rigen el juego? En esta sesión calcularás las probabilidades de diversos eventos y distinguirás cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Consideremos lo siguientePara realizar el siguiente juego se necesitan 4 bolsas no transparentes, 6 canicas rojas y 6 canicas verdes. Hay que distribuir las canicas en las cuatro bolsas como se indica en la figura.

El juego se realiza de la siguiente manera: cada integrante elige una de las cuatro bolsas y extrae, sin mirar, una canica; anota el color que sale. Después regresa la canica a la bolsa y repite hasta tener 20 extracciones. Gana quien haya sacado más veces una cani-ca roja de la bolsa que eligió. Antes de empezar a jugar contesten:

¿Qué creen que sea más probable, extraer una canica roja de la bolsa 1 o de la bolsa 3?

¿Qué bolsas elegirían?

¿Por qué?

Comparen sus respuestas.

Bolsa 1

Bolsa 2

Bolsa 3

Bolsa 4

Propósito de la sesión. Calcular las probabilidades de diversos eventos y distinguir entre ellos cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Organización del grupo. Se sugieren actividades individuales, en parejas y en equipos.

Sugerencia didáctica. Si no tienen a la mano canicas pueden sustituirlas por papeles de colores o blancos con el nombre del color escrito.

3

Propósito de las preguntas. Es muy importante que los alumnos contesten las preguntas antes de realizar el experimento. Se pretende que al responderlas hagan uso de lo que han aprendido sobre la probabilidad clásica, sin embargo, puede ser que en un primer momento no se den cuenta de que es igualmente probable obtener una canica roja en la bolsa 1 y en la 3.

Respuestas. En la bolsa 1 la probabilidad es wQ , y en la 3 es rW , es decir, de ambas es igualmente probable extraer una canica roja. Es mejor elegir la bolsa 2 porque ahí la probabilidad es eW y es mayor que en cualquiera de los otros casos.

99

99

MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Realicen el juego. Usen el siguiente casillero para anotar la letra r si sale roja y la v si

sale verde. Repitan el experimento 20 veces para llenar los casilleros. Recuerden, gana quien haya sacado más veces una canica roja.

Bolsa núm._____________Resultado en cada extracción

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª 20ª

a) Utilicen la siguiente tabla para registrar los resultados que obtuvieron al realizar este juego.

Resultados de 20 extracciones en la bolsa ____________

Color de la canica FrecuenciaNúmero de veces que sale una canica Probabilidad frecuencial

Roja

(r)P (r) = _____________________

Verde

(v)P (v) = _____________________

b) Analicen los resultados obtenidos por todos los integrantes de su equipo. ¿Quién

ganó?

c) ¿Qué número de bolsa utilizó?

d) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de sacar una canica roja en esa bolsa?

e) Consideren los resultados del equipo, ¿qué color de canica salió más veces?

II. Reúnan los resultados del grupo en la siguiente tabla y después marquen con “X” si es verdadero (V) o falso (F) en el cuadrito correspondiente.

100

secuencia 24

100

Total de canicas de color rojo

Equipo Bolsa 1 Bolsa 2 Bolsa 3 Bolsa 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Total de canicas de color rojo

(Frecuencia)

Pro

bab

ilid

adfr

ecu

enci

al d

e sa

car

un

a ca

nic

a ro

ja

Fracción

Decimal

%

a) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 2.

b) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 4.

c) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 4.

d) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 3.

e) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 3.

V F

Sugerencia didáctica. Para responder estos incisos los alumnos deben considerar los resultados de los experimentos que reunieron en la tabla anterior. Cuando hayan terminado, anote en el pizarrón los incisos y contéstenlos considerando ahora la probabilidad clásica. Comparen ambas respuestas y comenten sus diferencias y coincidencias (si las hubo).

Respuestas. Considerando la probabilidad clásica:

a) F, en la 2 la probabilidad es eW , mientras que en la 1 es wQ..

b) V, en la 1 la probabilidad es wQ y en la 4 es eQ .

c) V, porque eW > eQ .

d) F, son igualmente probables.

e) V, porque eW > wQ. .

101

101

MATEMÁTICAS IIII. Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad clásica de sacar una canica roja de cada bolsa?

Bolsa 1 P (sacar una canica roja) = número total de canicas rojas en la bolsa 1 =

número de canicas en la bolsa 1

Bolsa 2P (sacar una canica roja) =

número total de canicas rojas en la bolsa 2=

número de canicas en la bolsa 2

Bolsa 3P (sacar una canica roja) = número total de canicas rojas en la bolsa 3 =

número de canicas en la bolsa 3

Bolsa 4P (sacar una canica roja) = número total de canicas rojas en la bolsa 4 = número de canicas en la bolsa 4

b) De acuerdo con estos cálculos, para ganar el juego, ¿qué bolsa debes elegir?

c) ¿Por qué?

d) Pregúntale a alguno de tus compañeros qué bolsa eligió.

e) ¿En qué bolsas existe la misma probabilidad de sacar una canica roja?

f) ¿Por qué?

A lo que llegamosLa comparación de probabilidades permite determinar cuál es la mejor opción que se puede elegir, ya sea en un juego o en otro tipo de situaciones. Así, por ejemplo, en el juego anterior podemos determinar la probabilidad clásica de sacar una canica roja de cada bolsa y elegir la bolsa que más nos convenga.

La probabilidad clásica proporciona una información de lo que puede suceder, mientras que la probabilidad frecuencial indica lo que sucedió al realizar el juego.

Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Sobre información para conocer otros juegos de azar consulta:http://www.acanomas.com/Biblioteca.php [Fecha de consulta: 23 de agosto 2007].

Respuestas. La probabilidad clásica en cada bolsa es:

Bolsa 1 y bolsa 3: wQ.

Bolsa 2: eW.

Bolsa 4: eQ.

Sugerencia didáctica. Es posible que en la bolsa 3 algunos alumnos escriban rW . Señale que, como wQ y rW son equivalentes, la probabilidad en ambas bolsas es la misma.

Sugerencia didáctica. Cuando contesten estas preguntas, pida a los alumnos que revisen lo que respondieron en el apartado Consideremos lo siguiente y que corrijan si es necesario.

BLOQUE 4

104

Propósito de la sesión. Conocer e identificar los números con signo.

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas, con algunos momentos de intercambio grupal.

1

Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos empleen cualquier recurso que les parezca útil para comunicar las ubicaciones de los objetos. La dificultad radica en que hay objetos que están bajo el nivel del mar a la misma distancia de otros que están sobre el nivel del mar (por ejemplo, el buzo y la gaviota), por lo que escribir en el mensaje sólo el número no es suficiente para diferenciarlos. Los alumnos se verán en la necesidad de escribir alguna marca que logre diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y lo que está bajo el mismo. Acepte cualquier tipo de mensaje que cumpla con las condiciones planteadas (no usar palabras, dibujos ni flechas), incluso aquellos en los que aparecieran los signos + y –, pero no los exija.

Sugerencia didáctica. Oriente la discusión hacia la comparación de los recursos empleados para comunicar la ubicación de los objetos. Aunque varios tipos de mensaje hayan podido ser interpretados correctamente, pregunte al grupo cuál les parece más claro, cuál podría crear confusiones y por qué.

104

secuencia 25

En esta secuencia plantearás y resolverás problemas que impliquen la utilización de números con signo.

NivEL dEL marPara empezarExisten situaciones donde además de utilizar los números naturales se requieren otros números, por ejemplo: al calcular los gastos y las ganancias de una tienda, en un termó-metro ambiental, en la línea del tiempo, en metros sobre y bajo el nivel del mar, etcétera.

Consideremos lo siguientePara jugar necesitan organizarse en parejas:

• Todos observen con cuidado la siguiente ilustración.

• Cada pareja escoge cuatro objetos de los que ahí aparecen.

• Cada pareja envía un mensaje por escrito a otra pareja indicando la ubicación de los

cuatro objetos que eligieron. Pero hay una condición: en el mensaje NO SE VALE ES-

CRIBIR PALABRAS NI HACER DIBUJOS O FLECHAS.

• La pareja que recibe el mensaje debe interpretarlo para saber cuáles fueron los obje-

tos que sus compañeros eligieron. Cuando los hayan encontrado, los anotan en el

mensaje y lo regresan a la pareja que lo envió.

• Cuando terminen, revisen si la otra pareja interpretó correctamente. Si hubo equivo-

caciones, deben encontrar en dónde estuvo la falla y corregirla.

Anoten en el pizarrón las distintas maneras que utilizaron para identificar los objetos, decidan cuáles fueron las más adecuadas, o aquellas que les gustaron más, y escriban por qué.

sEsióN 1

Números con signo

Propósitos de la secuencia Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.

Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos Vínculos

1Nivel del mar Conocer e identificar los números con signo.

2Distancia y orden Obtener la distancia entre dos números con signo, ordenarlos y compararlos.

Video Temperaturas ambientales

Interactivo “Temperaturas”

Geografía de México y el

mundo Secuencia 4

3Valor absoluto y simétricos Ubicar números con signo en la recta numérica, obtener su valor absoluto e identificar sus simétricos.

Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Significado y uso de los números.

Antecedentes

En la escuela primaria los alumnos conocieron los números naturales, los fraccionarios y los decimales. En esta secuencia se introducen los números enteros, que por sus características permiten resolver problemas que no tendrían solución con los naturales.

105

105

MATEMÁTICAS I

80 m

600 m

2 m

700 m

50 m

2 m

80 m50 m

700 m

50 m2 m

80 m

600 m

2 m50 m

700 m

60 m

700 m

106

Propósito de la actividad. Los alumnos utilizarán signos no convencionales para diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y bajo éste.

secuencia 25

106

Manos a la obrai. En otra telesecundaria, una de las parejas elaboró un mensaje que fue correctamente

interpretado por otra pareja. Fíjense cómo hicieron:

Objetos que elegimos: Creemos que es el:

700 m Avión

600 m Nubes

0 m Barco

**2 m Pez amarillo

**50 m Buzo

a) Utilicen ese mismo sistema y completen la siguiente tabla.

Ubicación Dibujo

Gaviotas

80 m

Barco

2 m

Peces

**700 m

b) El barco está ubicado al nivel del mar. También hay objetos sobre el nivel del mar (como las nubes) y bajo el nivel del mar (como el submarino).

• ¿Cómo representó esta pareja a los objetos que están ubicados sobre el nivel

del mar?

• ¿Cómo representó esta pareja a los objetos que están ubicados bajo el nivel del

mar?

• ¿A cuántos metros ubicaron el barco?

Comparen estos mensajes con los mensajes que ustedes elaboraron. ¿Cuáles le parecen más claros y por qué?

Como vieron, hay distintas maneras de comunicar la ubicación de los objetos, sin embar-go, es posible que algunas personas no sepan qué es lo que se quiere decir en un mensaje. Por ello, en matemáticas se representa el nivel del mar con el cero, lo que está sobre el nivel del mar con signo positivo “+” y lo que está bajo el nivel del mar con signo negativo “– “.

Pareja que elaboró el mensaje.

Pareja que recibió el mensaje.

Respuestas. - Los que están sobre el nivel del

mar con una carita.- Los que están bajo el nivel del mar

con dos asteriscos.- El barco lo ubicó a 0 m, es decir, al

nivel del mar.

107

2

Propósito de la actividad. Ahora se pretende que los alumnos empleen los signos convencionales (+ y –) para diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y bajo éste.

Posibles dificultades. Anteriormente, los alumnos utilizaron los signos + y – para denotar una operación (la suma o la resta), y ahora adquieren otro significado que se añade al que ellos ya sabían. Cuando en esta secuencia se escribe +20 no significa que hay que hacer una suma, sino que el 20 es un número positivo (que está del lado derecho de la recta con respecto al 0, o en este ejemplo, que está sobre el nivel del mar). Comente con los alumnos esta cuestión.

Respuestas. Lancha 0 m. Delfín +5 m. Tiburón –5 m.

Propósito de la actividad. Los alumnos han trabajado hasta ahora con la recta numérica para ubicar números naturales, fracciones y decimales. En esta actividad, en la que la recta considera también los números negativos, se espera que utilicen lo que han aprendido con los naturales para ubicar estos nuevos números.

Sugerencia didáctica. Dibuje la recta en el pizarrón y pida a los alumnos que comenten cómo ubicaron los objetos. Haga notar que, a la derecha del cero están los números positivos, y que mientras más a la derecha se encuentre un número, será mayor. Los números negativos están a la izquierda del cero, y mientras más a la izquierda se encuentre un número, será menor. Por eso –22 < –5.

MATEMÁTICAS I

107

II. Completen la siguiente tabla usando los signos + y –, según corresponda:

Objeto Ubicación

Algas marinas a 20 m bajo el nivel del mar − 20 m

Una lancha sobre el nivel del mar

Un delfín que salta 5 m sobre el nivel del mar

Un tiburón que nada a 5 m bajo el nivel del mar

Una roca que sobresale 20 m sobre el nivel del mar + 20 m

III. En matemáticas se usa la recta numérica para ubicar a los números positivos, nega-tivos y al cero. Primero, determinen el lugar del cero (como lo hicieron en la secuen-cia 2), después los números con signo + se ubican a la derecha del cero y los números con signo - se ubican a la izquierda del cero.

Localicen en la siguiente recta numérica los objetos que se mencionan en la tabla del inciso c). Fíjense que cada división vale 5 unidades.

A lo que llegamosLos números que has utilizado en esta sesión se llaman: números con signo. Pueden ser positivos o negativos, y para diferenciarlos se representan de la siguiente manera:

Números positivos: se ubican a la derecha del cero en la recta numéri-ca y se escriben anteponiéndoles un signo +; por ejemplo, el 5 positi-vo se escribe +5. En el caso de los objetos de la ilustración, los números positivos se utilizan para designar a todo lo que se encuentra arriba del nivel del mar.

−10 m 0 +15 m

+1000 +1 200 +1 300

3

Sugerencia didáctica. Lean la información del recuadro en voz alta. Cuando terminen, pregunte a los alumnos si conocen algún otro caso en el que se utilicen los números con signo. Comente con los alumnos que el signo + se pone para resaltar que el número es positivo y diferenciarlo de uno negativo, pero que dependiendo del contexto, los números positivos también se escriben sin el signo.

108

Propósito de la sesión. Obtener la distancia entre 2 números con signo, ordenarlos y compararlos.

Organización del grupo. Al igual que en la sesión anterior, el trabajo es en parejas, con espacios para comentarios grupales.

secuencia 25

108

Números negativos: se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica y se escriben anteponiéndoles un signo −, por ejemplo, el 7 negativo se escribe −7. En el caso de los objetos de la ilustración, los números negativos se utilizan para designar a todo lo que se encuen-tra por debajo del nivel del mar.

El cero se escribe sin signo (no se le pone + ni –). En la ilustración, todo lo que se encuentra en el nivel del mar se dice que está a 0 metros.

distaNcia y OrdENPara empezarTemperaturas ambientales

Los termómetros ambientales, como el de la ilustración, miden tanto temperaturas sobre cero o temperaturas positivas, como temperaturas bajo cero o temperaturas negati-vas. Las temperaturas bajo cero se distinguen porque se escriben anteponiéndoles el signo “–“.

En la secuencia 4 La Tierra: un planeta con vida de tu libro de Geografía de México y del mundo, volumen I estudiaste las diversas características que definen el clima, como la variación de la temperatura. En el desierto, la variación de la temperatura determina las condiciones climáticas extremas que lo caracterizan: en un mismo día puede haber temperaturas máximas de 40 °C y temperaturas mínimas de 2 °C. En este caso hay una variación de 38 °C.

En contraste, las zonas tropicales tienen variaciones de temperatura muy pequeñas: en promedio, las temperaturas máximas pueden ser de 20 °C y las mínimas de 10 °C. La varia-ción de la temperatura es entonces de 10 °C, porque hay 10 grados entre 20 °C y 10 °C.

La variación de la temperatura es un factor que influye tanto en la conservación del equilibrio biológico como en la salud y el bienestar de los seres humanos. Grandes varia-ciones de temperatura pueden ocasionar la extinción de plantas y animales o la pérdida de las cosechas en el campo.

Consideremos lo siguienteEl 4 de noviembre del 2005, el Servicio Meteorológico Nacional publicó un aviso de hela-das que se esperaban en distintas ciudades para ese día.

sEsióN 2

Ciudad Estado Temperatura máxima (ºC) Temperatura mínima (ºC)

Las Vigas de Ramírez Puebla 26.5 1.0El Saladillo Zacatecas 22.0 -5.0Tepatitlán México 23.5 -4.0

Balcón del Diablo Puebla 26.5 2.5

Tabla 1

+1000 +1 200 +1 300−1 500 −1 200 −100−300−500

109

Propósito del interactivo. Introducir la idea de resta de números con signo, como la variación de la temperatura.

Posibles dificultades. En la comparación de temperaturas negativas y positivas los signos pueden ser motivo de confusión. - Podría ocurrir que los alumnos

dijeran que entre 22 °C y −5 °C hay una variación de 17 °C (porque 22 – 5 = 17).

- También es posible que algunos alumnos piensen que −3 °C es menor que −12 °C porque los comparan como si fueran números naturales (3 < 12).

Permítales utilizar los procedimientos que les parezcan convenientes para responder las preguntas y cerciórese de que más adelante expliquen lo que hicieron, pero si se equivocan no los corrija en este punto, más adelante tendrán oportunidad de rectificar sus errores.

Respuestas.a) La máxima es de 26.5, la mínima es

de 1. La variación es de 25.5 °C.b) La máxima es de 23.5 °C, la

mínima es de −4. La variación es de 27.5 °C.

c) La temperatura de Las Vigas de Ramírez (26.5 °C) es mayor que la de Tepatitlán (23.5 °C).

d) La temperatura de Tepatitlán es menor, porque −4 < 1 (hace más frío a −4 °C que a 1 °C).

MATEMÁTICAS I

109

Con estos datos, contesten las siguientes preguntas (si lo necesitan, se pueden auxiliar del termómetro de la derecha):

a) ¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en Las Vigas de Ramírez?

b) ¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en Tepatitlán?

c) ¿Cuál de las temperaturas máximas que se esperaban en Las Vigas de Ra-

mírez y Tepatitlán es mayor?

d) ¿Cuál de las temperaturas mínimas que se esperaban en Tepatitlán y Las

Vigas de Ramírez es menor?

Comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.

Manos a la obra I. En una escuela obtuvieron los siguientes resultados:

• En el equipo 1 dijeron que la variación que se esperaba en Tepatitlán es de 19.5 °C, porque 23.5 − 4 = 19.5.

• En el equipo 2 utilizaron el termómetro ambiental para localizar las tem-peraturas y dijeron que la variación es de 27.5 °C, porque es el número de grados que hay entre ambas temperaturas.

a) En el termómetro de la derecha ubiquen las temperaturas 23 °C y −4 °C.

b) Cuenten los grados que hay de −4 °C a 0 °C. Hay grados.

c) Cuenten los grados que hay de 0 °C a 23.5 °C. Hay grados.

d) ¿Cuántos grados hay de −4 ºC hasta 23.5 ºC?

e) ¿De cuánto es la variación de temperatura que se esperaba en Tepatitlán?

f) ¿Cuál de los dos equipos obtuvo la variación correcta?

II. Usando el mismo termómetro, contesten las siguientes preguntas:

a) La temperatura máxima de una ciudad es de 18 °C y la temperatura mí-

nima de −2 °C. ¿De cuánto es la variación de temperatura en esa ciudad?

b) La temperatura mínima de otra ciudad es de −8 °C. Si se sabe que la va-

riación de temperatura es de 12 °C, ¿cuál es la temperatura máxima de

dicha ciudad?

Propósito de las preguntas. Se pretende que los alumnos calculen la variación entre dos temperaturas, una positiva y una negativa, como el número de grados que hay que recorrer para llegar de una a la otra. Para corregir un error que muchos alumnos cometen (que consiste en restarle a una de las temperaturas la otra), se les pide que primero calculen cuántos grados hay desde una de las temperaturas hasta el cero, y del cero a la otra temperatura.

Respuestas. b) 4 °C.c) 23.5 °C.d) 27.5 °C.e) De 27.5 °C.f) El equipo 2.

Respuestas. a) 20 °C. De −2 a 0 hay 2 °C, y de 0 a

18 hay 18 °C. Se suma 2 + 18.b) 4 °C. Sabemos que la variación es

de 12 °C y que hay 8 grados de −8 a 0.

110

Posibles dificultades. En esta actividad las 2 temperaturas que se comparan son negativas, lo que puede hacer pensar a algunos alumnos que la diferencia entre ellas será también un número negativo (por ejemplo, que la variación entre la máxima y la mínima en Anchorage es de −7 °C). Comente con los alumnos que en estas actividades sólo se pregunta cuántos grados hay entre las 2 temperaturas, no se pregunta si la segunda temperatura subió o bajó con respecto a la primera.

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos se den cuenta de que para hallar la variación entre 2 temperaturas se deben contar todos los grados que hay entre ellas. Si las temperaturas que se comparan son una positiva y otra negativa, el conteo va a pasar por el cero.Si cree que los alumnos lo necesitan, ponga ejercicios similares, por ejemplo:Encontrar la variación de temperatura entre: 6 °C y −2 °C −12 °C y −4 °C −9 °C y 1 °C 28 °C y 0 °C 24 °C y 7 °CPídales que ubiquen las temperaturas en un termómetro ambiental o en una recta numérica para encontrar el segmento que representa la distancia entre ambas.

secuencia 25

110

iii. En otros países se han registrado las siguientes temperaturas:

Ciudad Estado Temperatura máxima (ºC)

Temperatura mínima (ºC)

Anchorage Alaska (Estados Unidos de América) −6.0 −13.0

Armstrong Ontario (Canadá) −1.0 −9.0

a) En el termómetro de la izquierda, localicen las temperaturas máxima y mínima de Anchorage.

b) ¿Cuántos grados hay de −6 °C a −13 °C?

c) ¿De cuántos grados es la variación de temperatura en Anchorage?

d) En el mismo termómetro, localicen las temperaturas máxima y mínima de Armstrong.

e) ¿Cuántos grados hay de −1 °C a −9 °C?

f) ¿De cuántos grados es la variación de temperatura en Armstrong?

A lo que llegamos• La variación de temperatura es el número de grados que hay entre

ambas temperaturas.

Por ejemplo, en el termómetro de la izquierda:

Máxima Mínima Diferencia

Ajocucar 29.0 −2.5 31.5

• La variación de temperatura también la podemos ver como la distancia que hay entre dos números en una recta numérica horizontal.

Por ejemplo: entre el −4 y el 8 hay una distancia de 12, como lo mues-tra la ilustración.

Es decir, la distancia entre dos números es la longitud del segmento que los une.

−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

12

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MATEMÁTICAS I

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IV. De las temperaturas mínimas de Tepatitlán y Las Vigas de Ramírez dos alumnos dicen lo siguiente:

• Dulce dice que Las Vigas de Ramírez tiene la menor temperatura, porque 1es menor que 4.

• Consuelo dice que Tepatitlán tiene la menor temperatura, porque −4 °C está abajo de 1°C.

a) ¿Quién creen que tiene la razón?

b) En el termómetro de la derecha ubiquen las temperaturas 12 °C y 2 °C.

c) ¿Cuál de las dos es menor?

La temperatura 2 °C está debajo de 12 °C y es la menor de ellas.

d) En el mismo termómetro, ubiquen las temperaturas mínimas de Las Vigas de Ramírez y Tepatitlán.

e) ¿Cuál de las dos temperaturas está debajo de la otra?

f) ¿Cuál de las dos es menor?

Comparen sus respuestas.

A lo que llegamos• Al comparar dos temperaturas en un termómetro, siempre es mayor aquella que está

más arriba.

Por ejemplo:

a) 22 °C es mayor que 3 °C. b) 2 °C es mayor que −10 °C. c) −5 °C es mayor que −35 °C.

• Al comparar dos temperaturas en la recta numérica, siempre es mayor aquella que está más a la derecha.

Por ejemplo:

a) +9 es mayor que +2. b) +5 es mayor que −10. c) −3 es mayor que −15.

−10 0 +9+5+2−15 −3

Respuestas.a) Consuelo tiene razón. Otra manera

de verlo es preguntarse a qué temperatura hace más frío: a 1 °C o a −4 °C.

c) 2 °Ce) −4 °C está por debajo.f) −4 °C es menor.

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Propósito de la pregunta. Ahora ya no se habla de comparar temperaturas sino números. Se pretende que el alumno pueda aplicar los conocimientos que adquirió con los termómetros y las rectas para comparar cualquier par de números con signo.

Integrar al portafolios. Que los alumnos le entreguen en una hoja aparte los resultados que obtuvieron en los números 1 y 2.

Respuestas.1.

a) 16b) 16c) 8d) 18

2.a) 6b) 8c) 4

3.a) Mayor que >b) Menor que <c) Mayor que >

secuencia 25

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Lo que aprendimos1. ¿Qué distancia hay entre los siguientes pares de números?

2. ¿Que distancias hay entre...

3. Escriban mayor que (>) o menor que (<) según corresponda. Ayúdense con la recta numérica.

VaLOr aBsOLUtO y simétricOsPara empezar

La distancia de un número al cero es la longitud del segmento que va del cero al número. A esta longitud se le llama valor absoluto, y se representa por medio de dos barras paralelas

Por ejemplo: Entre el –8 y el 0 hay un segmento de longitud 8.

Entre +9 y el 0 hay un segmento de longitud 9.

El valor absoluto de –8, se escribe –8 = 8. El valor absoluto de +9, se escribe +9 = 9

Consideremos lo siguienteEn la siguiente recta numérica se han ubicado algunos números.

a) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −6.5?

b) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que + ?

c) ¿Cuáles números tienen valor absoluto 5?

Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.

sEsióN 3

−10 0−16 −14 −12 −8 −6 −4 −2 +8+2 +4 +6 +10 +12 +14

a) −6 y +10 b) +10 y +26 c) −9 y −1 d) −15 y +3

a) −6 y 0? b) 0 y +8? c) −4 y 0?

a) +14 +6 b) −9 +5 c) −4 −15

+9−8 0

8 9

−5 0−8 −7 −6 −4 −3 −2 −1 +4+1 +2 +3 +5 +6 +7+6.5−6.5 − +

Propósito de la sesión. Ubicar números con signo en la recta numérica, obtener su valor absoluto e identificar sus simétricos.

Organización del grupo. Pida a los alumnos que trabajen en parejas.

Respuestas.a) Si el valor absoluto es la

distancia de un número al cero, entonces es el +6.5.

b) − wQ c) +5 y −5

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A lo que llegamos• El valor absoluto de números positivos y negativos siempre es un número positivo.

Por ejemplo: –12.5 = 12.5 y +12.5 = 12.5• Dos números que están a la misma distancia del cero

se llaman números simétricos entre sí.

Por ejemplo: +2 y –2 son números simétricos entre sí.

Manos a la obraI. Sobre el anterior inciso c):

• Pablo dice que el único número cuyo valor absoluto es 5 es el número +5• Delia dice que son dos números: el +5 y el −5

a) ¿Con quién de los dos están de acuerdo? ¿Por qué?

b) ¿Cuál es la distancia del −5 al cero?, ¿y del +5 al cero?

c) ¿Qué números tienen como valor absoluto 5?

II. Contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que +20?

b) ¿Qué valor absoluto tienen los números +13 y −13?

c) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −9.5?

Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. "Nú-meros enteros" en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.

Luz María Marván. "Números simétricos", "Números con signo", "¿Mayor o menor?" y “El valor absoluto” en Representación numérica. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.

III. Contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el número simétrico del +6?

b) ¿Cuál es el número simétrico del −35?

c) ¿Cuál es el número simétrico del −13.9?

d) ¿Cuál es el número simétrico del +26.1?

e) ¿El número + y el − , son simétricos?

f) ¿Cuál es el número simétrico del − ?

Comparen sus respuestas.

+20

2

−2

2

Sugerencia didáctica. Lean juntos esta información y comente a los alumnos que, como el valor absoluto es la distancia a la que está un número con respecto al cero, y no en qué dirección está, el valor absoluto nunca puede ser un número negativo. Pregunte a los alumnos: ¿Cuál es el valor absoluto del cero, es decir, a qué distancia está el cero del cero? La respuesta es “a cero unidades”, por lo tanto, su valor absoluto es cero.