1. UVOD

Potrebno je proračunati prednapregnuti stropni nosač industrijske hale. Zadatkom nisu definisani posebni uvjeti okoline tako da se smatra da je nosač u suhoj sredini bez agresivnih uticaja, iz čega slijedi da je klasa agresivnosti sredine je jedan. Utezanje užadi za prednaprezanje se vrši nakon očvršćavanja betona, tj. primjenjuje se prednaprezanje sa naknadnim spojem. Opterećenje je pretežno mirno. Sva horizontalna dejstva se prenose direktno na stubove, tako da se nosač proračunava samo na dejstvo vertikalnog opterećenja. Nosač se postavlja na odgovarajuća elastomer ležišta pri čemu je otpor trenja zanemarivo mali. Kompletan proračun se provodi prema EC2 propisima.Za dokaz graničnog stanja nosivosti prema EC2 koristit će se parcijalni koeficijenti sigurnosti kao i koeficijent kombinacije dejstava Ψ.

1.1. PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI

1.1.1. Dokaz sigurnosti za granično stanje nosivosti (uls)

Kombinacija za samo jedno promjenljivo dejstvo:

Računska vrijednost dejstva Sd Računska vrijednost otpornosti (uzrok naprezanja) presjeka Rd (naprezanja)

Gdje je : G – parcijalni koeficijent sigurnosti za stalna dejstva P – parcijalni koeficijent sigurnosti za djelovanje prednaprezanja Q = 1,5 - parcijalni koeficijent sigurnosti za djelovanje promjenjivih dejstava

c, s : parcijalni koeficijenti sigurnosti za materijale ( beton i čelik )

Vrijednosti ovih koeficijenata su date u literaturi i one iznose :

Tabela 1

G Q

Nepovoljno dejstvo 1,35 1,5Povoljno dejstvo 1,0 0

P = 1,00 – Za opterećenja usljed prednaprezanja.

S ( G,j · GK,j + P · PK + 1,5 · QK,1 ) R fck/c ; fyk/s ; 0,9fpk/s

Tabela 2

1.1.2. Granično stanje upotrebljivosti (sls)

Za kontrolu graničnog stanja upotrebljivosti potrebno je napraviti nekoliko kombinacija opterećenja, i to :

Rijetka kombinacija : S ( GK,j + PK + QK,1 ) - za jedno promjenjivo dejstvo Česta kombinacija : S ( GK,j + PK + 1,1 QK,1 + i>1 ( 1,i QK,i ) Kvazi-stalna komb.: S ( GK,j + PK + i1 ( 2,i QK,i )

Keficijenti kombinacija za granično stanje upotrebljivosti:1,1 = 0,70 2,1 = 0,50

2. MATERIJALI

2.1. BETON

Zadat je beton klase C 40/50. Osnovne karakteristike betona za ovu klasu (Tabela3; str.16; skripta „Prednapregnuti beton“, prof.dr.M. Zlatar) su sljedeće:

Tabela 3Klasa betona C40/50

Čvrstoća na pritisak [N/mm2]

fck,cyl 40fck,cube 50

Čvrstoća na zatezanje [N/mm2]

fctm 3,5fctk,0.05 2,5fctk,0.95 4,6

E – modul [N/mm2] Ecm 35000Granična

deformacijaεcu·10-3 -3,0εcu·10-3 -3,5

MATERIJAL Oznaka

Parcijalni koeficijenti za proračunsku situaciju

Stalna/Prolazna

Incidentna

Beton c 1,50 1,30

Čelik (obični i za prednaprezanje) s 1,15 1,00

2.2. BETONSKI ČELIK

Zadat je čelik S 500 sljedećih karakteristika:

- fyk = 500 N/mm2

- Es = 200000 N/mm2

2.3. ČELIK ZA PREDNAPREZANJE

Zadat je čelik St 1570/1770

Osnovne karakteristike:

- fyk = 1570 N/mm2 – karakt. vrijednost čvrstoće čelika za prednaprezanje pri tečenju;

- fpk = 1770 N/mm2 – karakt. vrijednost čvrstoće čelika za prednaprezanje na gr. kidanja;

- Ep = 195000 N/mm2 – modul elastičnosti; - fp0,1k = 1500 N/mm2 – karakt. vrijednost napona čelika za prednaprezanje pri graničnoj deformaciji 0,1%.

Natega: DIWYDAG 6803 (3 užeta)np = 3 užeta

poprečni presjek natege Ap = 450mm2

Presjek jednog užeta: uže ispleteno od sedam žica 0,62’’n = 7 žica

poprečni presjek užeta A = 150mm2

3. PRORAČUNSKI MODEL , DIMENZIJE I ZAŠTITNI SLOJEVI

3.1. RASPON – PROSTA GREDA

leff = 2200cm

ltot = leff + 2 x 25 = 2250 cm

3.2. MINIMALNI BROJ I MINIMALNI RAZMAK ARMATURE ZA PREDNAPREZANJE

3.2.1. Minimalni brojPrema EC2 za pojedini konstruktivni element od prednapregnutog betona, u prethodno napregnutoj zategnutoj zoni, mora se predvidjeti minimalan broj armature za prednaprezanje. Ovom mjerom obezbjeđuje se dovoljna pouzdanost od eventualnog otkazivanja odredenog broja žica tj. od trenutnog nenajavljenog loma.Minimalna armatura iznosi : 7 žica prečnika min ≥ 4 mm

3.2.2. Minimalni razmakSvijetli razmak između zaštitnih cijevi armature za prednaprezanje kod prednaprezanja sa utezanjem nakon očvršćavanja betona ne smije biti manji od prečnika zaštitne cijevi, niti manji od 55mm.

3.3. ZAŠTITNI SLOJ

3.3.1. Betonski čelik

Prema EC 2, prilikom određivanja debljine pokrovnog sloja sa stanovišta zaštite od korozije i sigurnog prenosa sile treba računati sa minimalnom debljinom Cmin kao i dodatnom veličinom ∆h koja treba da pokrije moguća odstupanja.

Debljina pokrovnog sloja betona se određuje:

a) Prema kriteriju zaštite armature korozije (prema vrsti okoline) minCw1 = 15 mm. Ova vrijednost se može umanjiti za elemente koji su izrađeni od betona kvalitetne klase jednake ili veće od C40/50 sto je u ovom slučaju ispunjeno, pa je Cw1 = 10 mm.

b) Prema kriteriju prenosa sila spoja (uz pretpostavku: maxdg < 32 mm i < c < 40 mm )- Za vilice Φ = 8,00 mm => minCw2 = Φw = 8,0 mm- Za podužne šipke Φ = 14,0 mm => minC1 = Φe = 14,0 mm

c) Nominalna – stvarna vrijednost zaštitnog (pokrovnog) sloja betona:

nomCw = minCw1 + h

h – veličina koja pokriva moguća odstupanja

h = 5 mm 10 mm => Odabrano: h = 10 mm

nomCw = 10 mm + 10 mm = 20 mm

Napomena: Za minCw1 uzima se veća vrijednost između Cw1 i Cw2 => usvojeno 10 mm.

nomCe = nomCw + Φw

nomCe = 20 mm + 8 mm = 28 mm

3.3.2. Čelik za prednaprezanje

a) Prema kriteriju zaštite od korozije ( prema uslovima sredine ): minCcp1 = 25 mm.Napomena: Za kvalitetne klase betona jednake ili veće od C40/50 može se izvrštiti smanjenje za 5 mm : minCp1 = 25,0 – 5,0 = 20 mm

b) Prema kriteriju prenosa sila spoja (maxdg < 32 mm ): minCp2 = φduct = 55 mm.Napomena: Za kvalitetne klase betona jednake ili veće od C40/50 može se izvrštiti smanjenje za 5 mm: minCp2 = φduct = 50 mm.

c) Nominalna stvarna vrijednost:nomCp = max (minCp1 ; minCp2) + h

nomCp = 50mm + 5mm = 55 mm

USVOJENO : C = 28 mm

3.4. KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA

Za proračun djelovanja prednaprezanja potrebno je izračunati karakteristke poprečnog presjeka. Pri tome u obzir su uzete slijedeće pretpostavke: - Poprečni presjek zaštitne cijevi arm. za prednaprezanje φduct =5,5cm;- Poprečni presjek armature za prednaprezanje Ap1 = Ap2 = 4,5 cm2;

- Odnos modula elastičnosti armature za prednaprezanje i betona:

- Odnos modula elastičnosti betonskog čelika i betona:

Slika 1 - Karakteristike bruto poprečnog presjeka

Slika 2 - Karakteristike netto presjeka

Proračun karakteristika idealiziranog presjeka:

Slika 3 - Idealizirani poprečni presjekE,S = 5,71E,P = 5,57

Površina kablova za prednaprezanje:Ap1 = 4,5 cm2 = Ap2 = 4,5 cm2

Površina armature (pretpostavljeno):As1 = 3,08 cm2 (2Φ14)As2 = 19,63 cm2 (4Φ25)As = As1 + As2 = 22,71cm2

Površina idealiziranog presjeka:Ai = Ac + (E,p – 1 ) AP + (E,s – 1 ) As ;Ai = 2180 + (5,57 – 1 ) 9,0 + (5,71– 1 ) 22,71= 2337,38cm2

yp1 = 9,0cmyp2 = 21,0cm

Udaljenost težišta betonskog dijela presjeka i armature za prednaprezanje: zcp = zc,dole - ycp = 63,91 – (21,0 + 9,0)/2 = 48,91cm

Udaljenost težišta betonskog dijela presjeka i obične armature: zcs,1 = zc,dole - ycs,dole = 63,91 – (3,7)/2 = 62,06 cmzcs,2 = zc,gore - ycs,gore = 46,1 – 7,2 = 38,9cm

Položaj težišta idealizirane površine poprečnog presjeka u odnosu na težište betonskog presjeka:

Težište idealiziranog presjeka:zi = zc - z = 63,91 – 0,0972 = 63,81cm

Udaljenost težišta idealiziranog presjeka i armature za prednaprezanje:zip = zcp - z = 48,91 – 0,0972= 48,81cm

Udaljenost težišta idealiziranog presjeka i obične armature:zis,1 = zcs,1 - z = 62,06 – 0,0972 = 61,96cmzis,2 = zcs,2 - z = 38,9 – 0,0972 = 38,80cm

Moment inercije idealiziranog presjeka:

U sljedećoj tabeli dat je prikaz geometrijskih karakteristika prednapregnutog krovnog nosača.

Tabela 4 - Geometrijske karakteristike prednapregnutog krovnog nosačaKARAKTERISTIČNE

VRIJEDNOSTI POPREČNOG PRESJEKA

Ac; Aci

(m2)Ic; Ici

(m4)zu

(m)zp1

(m)zp2

(m)

Ac,bruto 0,2180 0,02511 0,6391 0,5491 0,4291

Ac,netto 0,2131 0,02388 0,6503 0,5603 0,4403

Ac,ideal 0,2337 0,02844 0,6381 0,5481 0,4281

4. DEJSTVA

4.1. STALNA I PROMJENJIVA DEJSTVA

4.1.1. Karakteristične vrijednosti

Stalno opterećenje:

Vlastita težina nosača:

Težina pokrova:

Promjenljivo opterećenje:

4.1.2. Vrijednosti mjerodavne za dimenzioniranje

4.1.2.1. Granično stanje upotrebljivsti

a) Rijetka kombinacija- Potrebna za proračun napona usljed ukupnog opterećenja.

b) Česta kombinacija- Potrebna za dokaz širine naprslina.

c) Kvazi – stalna kombinacija- Potrebna je za dokaz napona u stanju eksploatacije kao i za proračun progiba.

4.1.2.2. Granično stanje nosivosti- Veličine dejstava za osnovnu kombinaciju opterećenja iznose:

4.2. DEJSTVA PREDNAPREZANJA4.2.1. Vođenje armature za prednaprezanje;

Karakteristične vrijednosti postupka prednaprezanja;

4.2.1.1. Vođenje armature za prednaprezanje

Odabrano je parabolično vođenje u 2 sloja, prema slici 2 i prema slijedećoj jednačini:

Slika 4 - Vođenje natega za prednaprezanje

4.2.1.2. Karakteristike postupka prednaprezanja

Koeficijent trenja μ = 0,18; Neželjeni uglovi odstupanja od predviđenih k = 0,005 m-1; Klizanje u ankernom tijelu Δlsl = 2,0 mm.

Napomena: Vrijednosti ovih koeficijenata daju se na osnovu dopuštenja za određeni postupak.

4.2.2. Dejstva prednaprezanja u graničnom stanju upotrebljivosti

4.2.2.1. Općenito

Sa izuzetkom: - graničnog stanja slike naprslina, odnosno dekompresije,- dokaza spojnice između montažnih elemenata,- dokaza od djelovanja zamora,

smije se djelovanje sile prednaprezanja u graničnom stanju upotrebljivosti odrediti kao srednja vrijednost Pm,t.

Nasuprot toga, naprijed izuzete dokaze treba provoditi sa tzv. gornjom, odnosno, donjom karakterističnom vrijednosti sile prednaprezanja:Pk,sup - gornja granična vrijednost,Pk,inf - donja granična vrijednost,a koje su u svakom slučaju funkcije srednje vrijednosti:

Srednja vrijednost sile prednaprezanja Pm,t u vremenu t i u presjeku x uzduž konstruktivnog elementa u slučaju prednaprezanja sa utezanjem nakon očvršćavanja betona proračunava se pomoću obrasca:

4.2.2.2. Sila prednaprezanja P0

Vrijednost sile na aktivnom kraju iznosi:

Napomena: Pod pretpostavkom da presa radi sa tačnošću u odnosu na krajnju silu prednaprezanja, smije se dopustiti veća sila u iznosu:

Sila prednaprezanja koja se unosi u beton neposredno nakon utezanja je manja od slijedeće dvije vrijednosti napona:

Razlika između napona i pri tome se može iskoristiti da se izravnaju gubici prednaprezanja usljed trenja i usljed klizanja ankernog tijela.

Najveća sila prednaprezanja u trenutku t = 0 koja kod prednaprezanja sa sprezanjem ostvarenim

naknadnim injektiranjem cementnog maltera djeluje neposredno nakon uklanjanja presa ne

smije biti veća od manje vrijednosti prema jednadžbi:

Sila prednaprezanja unosi u beton neposredno nakon utezanja, je manja od sljedeće dvije vrijednosti:

4.2.2.3. Gubici usljed trenja

Gubitak sile prednaprezanja usljed trenja kod elemenata sa naknadnim utezanjem prema EC2 procjenjuje se izrazom:

Suma uglova (i-označava broj linija vođenja armature i=1,2) izračunava se uz pretpostavku paraboličnog vođenja armature za prednaprezanje prema izrazu:

Tabela 5 - odnos DPm/P0 = e-m∙( θ +k∙x)

Elementza

prednaprezanje

e-m∙( θ +k∙x)

x = 0 x = 11,25 x = 22,5

Linija 1 1 0,984871 0,96997

Linija2 0,955797 0,977649 1

4.2.2.4. Gubici sile prednaprezanja usljed elastičnih deformacija nosača

Odabrano je da se element za prednaprezanje uteže sa dvije različite strane, tj. elemenat 1 u presjeku x = 0, a elemenat 2 u presjeku x = 22,5m, tako da se gubici sile prednaprezanja usljed elastičnih deformacija ostaju mali i u ovom slučaju se neće dalje razmatrati.

4.2.2.5. Gubici sile prednaprezanja usljed klizanja (popuštanja ankernih tijela)

Nakon popuštanja elemenata za prednaprezanje, odnosno nakon otpuštanja prese početni napon σpm0 na mjestu prednaprezanja se smanjuje za vrijednost ∆σpsl kao posljedica klizanja ∆lsl. Na kraju područja uticaja popuštanja ponovo imamo vrijednost napona prednaprezanja σpm0 (x). Da bi se odredila linija sile prednaprezanja po dužini nosača najprije treba izračunati gubitke ∆σpsl i dužinu popuštanja lsl uz pretpostavku da je ∆lsl = 3,0mm.

Slika 5 - Grafički prikaz uticaja prokliznuća klina

Dužina popuštanja lsl se dobije iz sljedećeg uslova:σpm0 · e-m∙( θ +k∙l

sl) = (σpm0 - ∆σpsl) · e+m∙( θ +k∙l

sl)

Za male eksponenete može se pisati da je:σpm0 [1 - m ∙ ( θ + k ∙ lsl)] = (σpm0 - ∆σpsl) [1 + m ∙ ( θ + k ∙ lsl)] (1)

S druge strane, iz uslova lineranog toka napona slijedi da je:

(2)

Izjednačavajući i uvrštavajući ∆σpsl iz jednačine (2) u jednačinu (1) dobije se da je lsl:

pri čemu je napon σpm0 nepoznat.

Daljnji proračun se u osnovi provodi pod pretpostavkom da je napon σpm0(x) na kraju područja popuštanja lsl dostigao izračunatu graničnu vrijednost, tj.:σpm0(lsl) = 1275MPa, pri čemu je σpm0 = 1275 · e+m∙( θ +k∙l

sl).

Pod navedenim pretpostavkama iz gornje jednačine dalje se iterativno izračunavaju vrijednosti σpm0, lsl, i ∆σpsl koje su za elemente za prednaprezanje 1 i 2 date u sljedećoj tabeli.

Tabela 6

Armatura za prednaprezanje

Ϭpm0

(N/mm2)∆Ϭpsl

(N/mm2)lsl

(m)NAPOMENA

1 1292,85 53,1 14,7 Utezanje u presjeku x=0

2 1322,1 65,0 12,0 Utezanje u presjeku x=22,5m

Tok sile prednaprezanja za obje linije armature za prednaprezanje dat je na slijedećoj skici:

Slika 6 - Tok sile prednaprezanja

4.2.2.6. Gubici ovisni o vremenu

a) Prema EC 2 vremenski gubici sile prednaprezanja od puzanja, skupljanja i relaksacije ∆Pt (t,x) približno se mogu izračunati prema:

Pt(t) = p,c+s+r · Ap,gdje je:

gdje su:

Vremenski gubici proračunat će se u poprečnom presjeku u polovini nosača u vremenu t = ∞.

b) Konačna mjera skupljanja εcs∞, koeficijent puzanja φ (∞, t0)

Konačne vrijednosti koeficijenta puzanja i konačna vrijednost mjere skupljanja su date u zavisnosti od tzv. efektivne debljine elementa deff a potrebno je voditi računa i o različitosti konzistencije svježeg betona. Za krutu konzistenciju potrebno je vrijednosti množiti sa 0,7 a za tečnu sa 1,2.

Potrebno je definisati efektivnu debljinu presjeka:

deff ≈ 150mm

U tabeli 5, str. 17 (skripta Prednapregnuti beton, Zlatar) date su konačne mjere skupljanja u funkciji efektivne debljine i položaja elementa.Iz tabele slijedi da je konačna mjera skupljanja εcs∞ = -0,6 · 10-3.U tabeli 4 date su i vrijednosti koeficijenta puzanja u funkciji efektivne debljine, položaja elementa i starosti betona u trenutku opterećenja.Za vrijednost efektivne debljine presjeka 150mm i za starost betona u vremenu nanošenja opterećenja od 28 dana i relativnu vlažnost 50 % (suhi uvjeti sredine) koeficijent puzanja ima vrijednost φ (∞, t0) = 2,5.

c) Promjena napona u armaturi za prednaprezanje uslijed relaksacije ∆σpr (pad napona pri konstantnim deformacijama u vremenu)

Može se odrediti prema: p = pgo - 0,3 · p,c+s+r (3)Najprije je potrebno izračunati vrijednost početnog napona u elementu za prednaprezanje uslijed prednaprezanja i stalnog opterećenja.Taj početni prosječni napon u elementu za prednaprezanje u polovini raspona iznosi: pmo = 0,5 · (1275 + 1239,75+ 12,0/14,7 · (1275 – 1239,75)) = 1271,70 N/mm2

Slika 7 – Geometrijske karakteristike betonskog presjeka

Ova vrijednost 1271,70N/mm2 ostaje, što je uslovljeno postupkom prednaprezanja kao jedan dio promjene napona usljed vlastite težine nosača.Za proračun gubitaka ovisnih o vremenu s toga se uzima da je pgo = pm0 = 1271,70N/mm2.Zbog pojednostavljenja a na strani sigurnosti drugi član se može zanemarti u jednačini (3), pa je p = pg0 = 1271,70N/mm2.Na slici 7 dat je dijagram iz kojeg se mogu izračunati gubici napona uslijed relaksacije čelika za prednaprezanje nakon 1000 sati.U funkciji odnosa p/fpk = 1271,70/1770 = 0,72 i za klasu relaksacije 2 koja se odnosi na užad iz tog dijagrama možemo interpolirajući odrediti gubitke napona uslijed relaksacije čelika.

Slika 8 - Gubici napona usljed relaksacije čelika za prednaprezanje nakon 1000h, kod 20°C (EC)

Konačna vrijednost se uzima aproksimativno tri puta veća nakon hiljadu sati relaksacije, pa su konačno gubici:∆pr = 3 · ∆pr,1000 =3 · 37 = 111N/mm2

d) Naprezanja cg i cpo u betonskom poprečnom presjeku

Momenat savijanja u polovini nosača uslijed stalnog opterećenja Gk,1, Gk,2:

Komentar: Iako se stalno opterećenje nanosi u različitom vremenskom periodu uzeće se srednja vrijednost napona u elementu za prednaprezanje za gornji momenat.

Srednja vrijednost napona zatezanja u betonu u sredini između armatura 1 i 2 iznosi:

; cg = 11,98N/mm2 (Napon zatezanja u betonu uslijed samostalnog opterećenja)

Početna vrijednost napona u betonu u visini elemenata za prednaprezanja (u sredini između njih) uslijed sile prednaprezanja iznosi:

Slijedi da je: cg + cpo = 11,98 – 17,375= -5,4 N/mm2

e) Gubitak napona p,c+s+r

Prosječna vrijednost zcp za obje armature za prednaprezanje: zcp = 0,6381 – 0,5 · (0,09 + 0,21) = 0,4881m.

Gubitak sile prednaprezanja u jednom kablu u trenutku t = ∞ iznosi:∆Pp,c+s+r = -249,7 · 4,5 · 102 = 112,4kN

Srednja vrijednost sile prednaprezanja kblova u sredini raspona u trenutku t = ∞ iznosi:Pm∞,1 = 1267,97 · 10-3 · 450 – 112,4 = 458,2kNPm∞,2 = 1274,5 · 10-3 · 450 – 112,4 = 461,13 kN

Sila prednaprezanja na lijevom osloncu u trenutku t = ∞ iznosi:Pm∞,1(x=0,0) = Pm0,1(x=0,0) + ∆Pp,c+s+r = 1239,75 · 10-3 · 450 – 112,4 = 445,49kNPm∞,2(x=0,0) = Pm0,2(x=22,5) + ∆Pp,c+s+r = 1257,1 · 10-3 · 450 – 112,4 = 453,29kN

Prema tome srednji napon u elementima za prednaprezanje u vremenu t = ∞ u presjeku u polovini nosača iznosi: pm∞ = pmo - ∆p,c+s+r = 1271,7 – 249,7 = 1022 N/mm2.

4.2.3. Dejstva usljed prednaprezanja u graničnom stanju nosivosti

Kod dokaza graničnog stanja nosivosti za savijanje sa normalnom silom dejstva uslijed prednaprezanja se po pravilu uzimaju preko deformacija, tj. na strani otpornosti presjeka Rd. Kod dokaza stanja granične nosivosti za poprečne sile se uzima povoljnije djelovanje nagete armature za prednaprezanje na strani dejstava Sd. Kod ovdje odabranog standardnog postupka sila prednaprezanja Pd pri tome djeluje povoljno na strani otpornosti presjeka Rd.

5. ODREĐIVANJE PRESJEČNIH VELIČINA

5.1. PRESJEČNE SILE USLJED STALNOG I PROMJENJIVOG OPTEREĆENJA

5.1.1. Maksimalni momenti u polju u graničnom stanju upotrebljivosti

Rijetka kombinacija:

Česta kombinacija:

Kvazistalna kombinacija:

5.1.2. Presječne sile u graničnom stanju nosivosti

Momenat u polju:

Poprečna sila:

5.2. PRESJEČNE SILE USLJED PREDNAPREZANJA

5.2.1. Granično stanje upotrebljivosti

Presječne veličine Np, Mp i Vp date su u Tabeli 6 za poprečne presjeke u sredini raspona kao i na osloncima i to za vremenske tačke t = 0 i t = ∞. Pri tome za obje armature za prednaprezanje uzet je jedan srednji napon prednaprezanja cpm za poprečen presjeke iznad oslonaca zbog pojednostavljenja uzete su karakteristike poprečnog presjeka za presjek u polju.

Nagib tangente po liniji armature za prednaprezanje u osi oslonca u presjeku ξ = 0 i ξ = 1 za liniju 1 kao i liniju 2 iznosi:

Linija 1:

Linija 2: pmo = 1271,7N/mm2, pm∞ = 1022N/mm2

Ap = 9,0cm2, zp1 = 0,5603m, zp2 = 0,4403m (polje).

Tabela 7

REDNI BROJ PRESJEK

PRESJEČNE SILE ZA VREMENSKU TAČKU

t = 0 t = ∞

Np [kN] Mp [kN] Vp [kN] Np [kN] Mp [kN] Vp [kN]

1 Oslonac lijevo 1117,87 245,93 54,59 893,14 196,49 43,62

2 Polje 1144,53 572,27 0 919,80 459,90 0

3 Oslonac desno 1125,98 247,72 54,99 901,25 198,28 44,02

5.2.2. Granično stanje nosivosti

Presječne sile usljed prednaprezanja u stanju granične nosivosti proračunavaju se uz pomoć vrijednosti iz Tabele 7 i to u onom karakterističnom presjeku gdje su za odgovarajući dokaz potrebni.

6. DIMENZIONIRANJE U STANJU GRANIČNE NOSIVOSTI

6.1. KARAKTERISTIKE MATERIJALA MJERODAVNE ZA DIMENZIONIRANJE

Beton C40/50: fck = 40N/mm2

fcd = 40/1,50 = 26,67N/mm2

Betonski čelik Bst 500: fyk = 500N/mm2

fyd = 500/1,15 = 434,78N/mm2

Čelik za prednaprezanje 1570/1770: fpk = 1770N/mm2

fpd = 0,9 · fpk/1,15 = 1385,22N/mm2

Parcijalni koeficijenti sigurnosti za dokaz nosivosti:- beton: γc = 1,50- čelik za armiranje i čelik za prednaprezanje: γs = 1,15

6.2. DIMENZIONIRANJE NA SAVIJANJE SA UZDUŽNOM SILOM

6.2.1. Poprečni presjek u polju u krajnjem stanju

Statička visina do zajdničkog težišta betonske armature i armature za prednaprezanje:

Uz pretpostavku ovakvog rasporeda armature statička visina je dm = m, pa je relativni momenat:

hF=17,5cmbF=40cm

za hF/d = 0,175/0,997 = 0,18za bF/bw = 40/16 = 2,5

Potrebna površina poprečnog presjeka:

Kao računska veličina može se uzeti da je:

,gdje je:εpm – srednja vrijednost deformacija armature za prednaprezanje usljed sile Pm,t,∆εp – promjena istezanja čelika usljed vanjskih dejstava,rinf – koeficijent za određivanje donje karakteristične vrijednosti prednaprezanja rinf = 0,9.Srednja vrijednost deformacije elemanata za prednaprezanje 1 i 2 u vremenu t = ∞ iznosi:

rinf · εpm = 0,9 · 4,78‰ = 4,3‰εpo,1k = fpo,1k /Ep = 1500/195000 = 7,69‰

ODABRANO:

6.2.2. Dokaz prethodno pritisnute zategnute zone

bw=16cm

1000ω = 121,6

2Φ14Bst 500SstvAs = 3,08cm2

Ovdje je potrebno dokazati da nije prekačena nosivost prethodno napregnute zategnute zone usljed djelovanja stalnog tereta Gk,1 i prednaprezanja.Karakteristične vrijednosti koeficijenata sigurnosti pri tome su:

- povoljno djelovanje vlastite težine γG = 1,0,- prednaprezanje γP = 1,0

Ovaj dokaz se daje u formi dimenzioniranja na savijanje sa normalnom silom za presjek u polju u vremenskoj tački t = 0.Gubitak sile predanprezanja usljed deformacija skraćenja betona je na strani sigurnosti i zanemaruje se.Presječne veličine usljed navedenih uticaja su:

Momenat savijanja usljed Gk,1:

Karakteristična vrijednost sile prednaprezanja:Pk = rsup · Pmo = 1,1 · 1144,53 = 1258,98kNMk = -1,1 · 572,27 = -629,87kNm

Presječne veličine mjerodavne za dimenzioniranje su:Nsd = -γp · Pk = -1,0 · 1258,98 = -1258,98kNMsd = Msd,G + γp · Mk = 329,73 - 1,0 · 629,87 = -300,14kNm

Rastojanje zs od sile Nsd do težišta gornjeg pojasa:zs = h – yp1,m – hF/2 = 1,1 – (0,09 + 0,21)/2 – 0,175/2 = 0,8625m

Statička visina:d = h – hF/2 = 1,1 – 0,175/2 = 1,013mMEds = -300,14 - (-1258,98 · 0,8625) = 785,73kNm

Relativni moment:

za hF/d = 0,175/1,013 = 0,173za bF/bw = 40/16 = 2,5 1000ω = 67,4

, pa možemo zaključiti sljedeće:

1. Pošto je relativni momenat μsd = 0,064 < μsd,lim = 0,40, nosivost prethodno napregnute zategnute zone nije dostignuta.

2. Za ovo granično stanje nije potrebna armatura u gornjoj zoni.

6.3. DIMENZIONIRANJE NA POPREČNE SILE

6.3.1. Karakteristične vrijednosti poprečne sile mjerodavne za dimenzioniranje

Karakteristična vrijednost poprečne sile za dimenziniranje Vsd uz uzimanje u obzir nagnutog vođenja kablova za prednaprezanje:

gdje su:Vsd – poprečna sila mjerodavna za dimenzioniranje,Vod – poprečna sila usljed stalnog opterećenja Gk,1, Gk,2, Gk,Q i pokretnog opterećenja Qk,Vpd – komponenta poprečne sile usljed nagiba elemenata za prednaprezanje, paralelna sa Vod.

Kod direktno oslonjenog nosača za ravnomjerno raspodjeljeno opterećenje mjerodavan presjek za određivanje veličine Vod, može se uzeti na rastojanju “d” od unutrašnjeg ruba oslonca. Ovo pravilo također vrijedi i kod direktno oslonjenog nosača opterećenog kombinacijom ravnomjerno podjeljenog opterećenja i koncentrične sile.

Slika 9 - Konstruktivni element sa nagnutim vođenjem kablova za prednaprezanje

Vsd = Vod – Vpd ,

Poprečna sila Vod od ravnomjerno raspodjeljenog opterećenja Gk,1, Gk,2, Qk na odstojanju “d” od unutrašnjeg ruba oslonca iznosi:

U odnosu na djelovanje nagetog elemenat za prednaprezanje treba razmotriti dva slučaja:1. Napon u elementu za prednaprezanje ne prekoračuje čvrstoću fp0,1k kao mjerodavna sila

prednaprezanja, kod uzimanja u obzir gubitaka prednaprezanja, srednja vrijednost sile Pm,t je pomnožena mjerodavnim koeficijentom sigurnosti γP.

2. Napon u elementima za prednaprezanje prekoračuje čvrstoću fp0,1k. U tom slučaju sila prednaprezanja se dobije iz fp0,1k, djeljenjem sa γS.

Srednji napon u elementima za prednaprezanje na krajnjim osloncima nakon uzimanja u obzir gubitaka usljed trenja i klizanja ankernih tijela iznosi:

- na lijevom osloncu:

- na desnom osloncu:

Napon prednaprezanja u vremenu t = ∞ je na strani sigurnosti (fp0,1k = 1500N/mm2).

Prema tome, u stanju granične nosivosti na poprečne sile u području oslonaca nije prekoračena karakteristična vrijednost čvrstoće pa je mjerodavan slučaj 1.

Nagib armature za prednaprezanje u presjeku na udaljenosti “d” od unutarnjeg ruba oslonca

iznosi računa se po formuli: , x = 0,25 + 0,1 + 1,75 = 2,1m

- linija 1: f1 = 15,25cm;

- linija 2: f2 = 47,72cm;

Poprečna sila koju preuzima presjek iznosi:- za proračun smičuće armature i za dokaz nosivosti pritisnutih dijagonala

Vsd = Vod - Vpd = 123,07 – 32,44 = 90,63kN

6.3.2. Proračun potrebne smičuće armature

VRd,3 = Vcd – Vwd ,gdje su:Vcd - dio poprečne sile koju preuzima betonski presjek = VRd,1

VRd,1 - nosivost na poprečne sile konstruktivnog elementa bez smičuće armatureVwd - dio poprečne sile koja otpada na smičuću armaturu

,gdje su:τRd - osnovna računska čvrstoća pri smicanju elemenata bez armature za smicanje, daje se u funkciji klase betonaτRd = 0,41 N/mm2 za kvalitetnu klasu betona C40/50k - koeficijent kojim se uzima u obzir debljina elementa, zavisi od visine presjeka i prekidanja (završavanja) podužne armature u oslonačkom područjuk = 1,6 – d [m] ≥ 1,0 d = 1,013m → k = 1,0d - statička visina presjeka (d = 1,013m)

ODABRANO:

6.3.3. Dokaz pritisnutih betonskih dijagonala

Uzimanjem u obzir dodatnog naprezanja u dijagonalama usljed podužnog pritiska treba provjeriti uslov:

7. DOKAZ GRANIČNOG STANJA UPOTREBLJIVOSTI

7.1. OGRANIČENJE NAPONA U STANJU UPOTREBLJIVOSTI

a) Pregled

Iako su u ovom primjeru provjeravani svi uslovi prema EC-2, ovdje će se dati pregled svih provedenih dokaza i to:- Ograničenje napona pritiska u betonu σc ≤ 0,45fck za kvazistalnu kombinaciju opterećenja;- Ograničenje dopuštenih napona u armaturi za prednaprezanje, σp≤ 0,75fpk za rijetku

kombinaciju opterećenja;- Dokaz napona pritiska u betonu prethodno napregnute zategnute zone za kombinaciju

stalnog opterećenja i prednaprezanja.

b) Dokaz napona pritiska u betonu σ c za kvazistalnu kombinaciju opterećenja

Dokaz napona pritiska u betonu u području sidrenja elemenata za prednaprezanje provodi se indirektno preko veličine aknernih ploča i bit će dat u odjeljku 8.2.1..

c) Dokaz napona u elementima za prednaprezanje za rijetku kombinaciju opterećenja

Dokaz se provodi da napon u elementu za prednaprezanje σp za rijetku kombinaciju opterećenja ne prekorači vrijednost 0,75fpk = 0,75 1770=1327,5 N/mm∙ 2.Napon u elementu za prednaprezanje u polovini raspona uzimajući u obzir gubitke usljed trenja i klizanja ankernog tijela iznosti pmo = 1271,70 N/mm2.Pod pretpostavkom da će se do preuzimanja ukupnog stalnog i promjenjivog opterećenja ostvariti svega 30% vremenskih gubitaka ova vrijednost se smanjuje na:pm1 = pmo - Pp,c+s+r = 1271,70 – 0,3 249,7 = 1196,79∙ N/mm2.

Porast napona u armaturi za prednaprezanje, odnosno napona s u betonskom čeliku prema literaturi se procjenjuje na vrijednost:

d) Dokaz napona pritiska u betonu prethodno napregnute zategnute zone za kombinacije stalnog opterećenja Gk1 + prednaprezanje

7.2. GRANIČNO STANJE SLIKE NAPRSLINA

7.2.1. Zahtjevi kod prednapregnutih nosača

Za podatke u ovom zadatku, klasa izloženosti 1 i prednaprezanje sa naknadnim spojem, širina naprslina se ograničava na vrijednost 0,2mm za čestu kombinaciju opterećenja.Pri tome se prednaprezanje računa sa donjom karakterističnom vrijednosti.Dalji dokaz će se provesti u odjeljku 7.2.3. indirektno određivanjem maksimalnih prečnika šipki betonske armature.

7.2.2. Minimalna armatura

U prednapregnutim betonskim elementima, minimalna armatura za ograničenje širine naprslina nije potrebna ako:

1. Poprečni presjek za rijetku kombinaciju opterećenja i mjerodavnu karakterističnu vrijednost prednaprezanja ostane pritisnut.

2. Kod pravougaonih poprečnih presjeka pod dejstvom mjerodavne karakteristične vrijednosti prednaprezanja visina zategnute zone pod pretpostavkom ispucalog poprečnog presjeka ne prekoračuje manju od veličina h/2 ili 0,5m. Ovo vrijedi i za rebro kod T – presjeka.

Napon na donjem rubu poprečnog presjeka za rijetku kombinaciju opterećenja i donju karakterističnu vrijednost prednaprezanja iznosi:

Drugi uvjet se, prema literaturi, može smatrati ispunjenim ako napon pritiska u betonu usljed prednaprezanja u težištu presjeka ispunjava slijedeće uslove:

7.2.3. Ograničenje naprslina bez direktnog proračuna za proračun potrebne armature

Dokaz će se dati indirektno odabirom graničnog prečnika šipke prema EC-2. Pri tome, prednaprezanje se posmatra kao vanjska sila. Promjena napona Δσp usljed vanjskog opterećenja postaje zanemarljivo mala i ne uzima se u obzir.

Naponi u čeliku σs za čestu kombinaciju opterećenja jednaki su:

a) Gornji rub presjeka za t = 0

b) Donji rub presjeka u t =

7.3. OGRANIČENJE PROGIBA

Prema EC 2 su formulisana prosta pravila kada nije neophodno eksplicitno proračunavanje progiba. Strožije provjere su potrebne za elemente koji se nalaze van takvih granica ili kada im odgovaraju drugačije granice ugiba od onih koje su sadržane od uproštenih metoda. Ovdje će se približno odrediti progibi prednapregnutog nosača.Mjerodavno je kvazi-stalno opterećenje:Gk1 + Gk2 + 0.5 · Qk = 5,45 + 4,0 + 0.5 · 4,0 = 11,45 KN/mZa ovu kombinaciju opterećenja nisu dostignute presječne sile koje izazivaju pojavu naprslina (odjeljak 7.1.b). Zbog toga se krovni nosač posmatra kao nosač bez naprslina, pa su kao mjerodavne karaktristike poprečnog presjeka one koje vrijede za stadij I: Ic = Ic,i = 0,02844m4.

Uticaj puzanja se uzima preko smanjenog modula elastičnosti:Ec,ef=Ecm/(1+ φ∞,to)=35000/(1+2,5)=10000 N/mm2

Uticaj skupljanja se zanemaruje za dokaz progiba.

Prednaprezanje se posmatra kao vanjsko dejstvo i obuhvatit će se preko skretnih sila u i, pri

čemu je: .Sa vrijednošću srednje sile Pm,t = 893,14 kN bit će:

- Za element za prednaprezanje 1:

- Za element za prednaprezanje 2:

Negativni momenti na krajnjim osloncima su na strani sigurnosti i ne uzimaju se u obzir.Računska vrijednost progiba u sredini raspona iznosi:

8. RASPORED ARMATURE, KONSTRUISANJE

8.1. BETONSKA ARMATURA

8.1.1. Osnovna mjera dužine sidrenja

8.1.2. Sidrenje na krajnjim osloncima

Sila zatezanja na krajnjem osloncu iznosi:

Potrebna dužina sidrenja na krajnjem osloncu iznosi :

8.1.3. Preklapanje armature

Armaturne šipke u donjoj zoni, zatim u rebru, kao i armaturne šipke u gornjoj zoni nastavljaju se preklapanjem. Potrebna dužina preklapanja iznosi:

Vrijednost dužine preklapanja armaturnih šipki različitih prečnika koji su korišteni u zadatku dati su u slijedećoj Tabeli 8:

Tabela 8 – Vrijednosti dužine preklapanja

REDNI BROJ

ARMATURA φ [mm]

lb [cm]

ls [cm]

ls,min [cm]

15φ 20,0

1. Armatura u donjoj zoni 14 40,6 69,2 24,36 21,0 20,0

2. Horizontalna arm. u rebru 8 33,08 42,66 19,85 12,0 20,0

3. Armatura u gornjoj zoni 25 103,38 165,1 62,03 37,5 20,0

Napomena: Mjerodavne vrijednosti dužine preklapanja su podvučene.

8.1.4. Minimalni i maksimalni procenat armiranja

a) Minimalna armatura za izbjegavanje otkazivanja usljed nenajavljenog loma

Minimalna betonska armatura u zategnutoj zoni za smanjenje opasnosti od nenajavljenog loma prema EC-2 iznosi:

b) Minimalna armatura za izbjegavanje otkazivanja u slučaju mogućeg nenajavljenog loma armature za prednaprezanje

Na osnovu novih saznanja predlaže se slijedeća vrijednost minimalne armature:

c) Maksimalna armaturaMaksimalna površina poprečnog presjeka armature iznosi:

d) Minimalni stepen armiranja vilicama:

8.1.5. Razmak vilica

8.2. ARMATURA ZA PREDNAPREZANJE

8.2.1. Ankerisanje elemenata za prednaprezanje

Prema literaturi za preuzimanje sila cijepanja iza ankerne ploče potrebna armatura se daje prospektom prema dopuštenju odabranog sistema. Iako se prema literaturi može koristiti čelik za prednaprezanje, odnosno metode za prednaprezanje za koje postoje odgovarajući atesti rečevantnih institucija, prema EC-2 se dopuštaju i pojedinačni slučajevi.

8.3. SPECIFIKACIJA ARMATURE

Pozicija PrečnikΦ(mm)

Masakg/m

DužinaL (m)

Broj Ukupna dužinaLuk (m)

Masa(kg)

1 14 1,242 5,95 4 23,8 29,56

2 14 1,242 12,0 2 48,0 59,62

3 8 0,405 6,45 10 64,5 26,12

4 8 0,405 10,6 5 53,0 21,47

5 25 3,951 6,95 8 54,0 219,68

6 25 3,951 12,0 4 48,0 189,65

7 8 0,405 2,31 132 304,92 123,49

8 8 0,405 1,16 132 153,12 62,01

Σ 731,60kg