pros okra tiko i

8/19/2019 Pros Okra Tiko i

1/50

Πέτρος Δαμιανός

ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ – ΠΡΟΣΩΚΡΑΤΙΚΟΙ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ........................................................................................................ 1

ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ – ΠΡΟΣΩΚΡΑΤΙΚΟΙ ....................................................................2

1.1 Θρησκευτική κοσμολογία ............................................................................... 2

1.2 Οι Προσωκρατικοί ............................................................................................. 3

1.2 Πυθαγόρειοι.......................................................................................................... 6

1.2.1 Ασύμμετροι αριθμοί ....................................................................................... 13

1.3 ΤΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΤΟΥ ΖΗΝΩΝΑ ........................................................................ 15

1.3.1 Το παράδοξο της διχοτομίας....................................................................... 17

1.3.2 Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας..............................................20

1.3.3 Το παράδοξο του βέλους .............................................................................. 22

1.3.4 Το παράδοξο του σταδίου ............................................................................ 24

Επίλογος .................................................................................................................... 27

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ....................................................................................................... 30

ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ........................................................................ 34


2/50


ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ –

ΠΡΟΣΩΚΡΑΤΙΚΟΙ

1.1 Θρησκευτική κοσμολογία

Κοσμολογία, δηλαδή άποψη για το πώς δημιουργήθηκε ο κόσμος, υπάρχει και

στους πιο παλαιούς πολιτισμούς. Όμως η απόστασή της από αυτό που σήμερα

ονομάζουμε « επιστήμη» είναι πολύ μεγάλη, αφού κατά βάση έχει θρησκευτική χροιά,

ακόμα και σε πολιτισμούς που είχαν αναπτύξει μια σχετική επιστημονική σκέψη.

Ψήγματα επιστημονικής σκέψης βρίσκουμε από τότε που έχουμε δείγματα

γραπτής ανθρώπινης σκέψης, δηλαδή από το 3500 π.Χ. στη Μεσοποταμία. Εκεί οι Σουμέριοι εφηύραν τον τροχό και χρησιμοποίησαν πρώτοι πλίνθους για την

κατασκευή μνημειακών κτιρίων, μεγάλων παλατιών και ιδιότυπων ναών, των

περίφημων ζιγκουράτ, σαν τον πύργο της Βαβέλ που αναφέρει η Παλαιά Διαθήκη.

Δύο από τα πιο σημαντικά επιτεύγματά τους ήταν η επινόηση της σφηνοειδούς

γραφής και ενός εξηκονταδικού θεσιακού συστήματος αρίθμησης. Από τους

Σουμέριους σώζονται πλίνθινες πινακίδες με σφηνοειδή γραφή στις οποίες

παρουσιάζονται κείμενα μαθηματικών και αστρονομίας. Σε αυτές βρίσκουμε επίσης

πίνακες πολλαπλασιασμού, αντίστροφων τετραγώνων, κύβων, τετραγωνικών και

κυβικών ριζών, δείγματα υπολογιστικής γεωμετρίας, με υπολογισμούς εμβαδών και

όγκων, κ.λπ. Ακόμα βρίσκουμε ονομασίες των πιο σημαντικών αστέρων, αριθμητικά

μοντέλα περιγραφής των θέσεων του ήλιου, της σελήνης, προβλέψεις εκλείψεων

κ.λπ.

Δείγματα αρχαίας επιστημονικής σκέψης συναντώνται και στους Αιγυπτίους,

οι οποίοι, κρίνοντας από παπύρους που έχουν βρεθεί, συμπεραίνουμε ότι από το 1850


3/50


– 1650 π.X. χρησιμοποιούν δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, μία πρωτόγονη

αστρονομία και στοιχειώδη γεωμετρία.

Σε όλους αυτούς τους αρχαιότατους πολιτισμούς οι γνώσεις που αναφέραμε

εμφάνιζαν τον ίδιο, ή σχεδόν τον ίδιο, βαθμό ανάπτυξης. Όμως, παρά τη σχετική

ανάπτυξη των προαναφερόμενων « επιστημών», η κοσμολογία σε όλους είναι

θρησκευτική. Δηλαδή, αυτοί που δημιουργούν τον κόσμο και επεμβαίνουν στη

λειτουργία του είναι διάφορες θεότητες. Το ίδιο συμβαίνει και στην αρχαία Ελλάδα

του 8 ου και του 7 ου π.Χ. αιώνα, όπου μελετώντας τους ποιητές Όμηρο ( που έζησε

τον 8 ο αιώνα στην Ιωνία, στα παράλια της Μικράς Ασίας, και έγραψε την Ιλιάδα και

την Οδύσσεια), και Ησίοδο ( που έζησε στη Βοιωτία τον 7 ο αιώνα και έγραψε τη

«Θεογονία») καταλαβαίνουμε ότι για τους Έλληνες αυτής της εποχής δημιουργοί και ρυθμιστές αυτού του κόσμου είναι οι θεοί. Ο θυμός και οι έρωτες του Δία ή του

Ποσειδώνα, γι’ αυτούς αποτελούσαν αιτίες της συμπεριφοράς της φύσης. Για

παράδειγμα, αιτία των σεισμών ήταν η οργή τους που οφειλόταν κάθε φορά σε

διαφορετική αιτία.

1.2Οι

Προσωκρατικοί

Για πρώτη φορά στον κόσμο, τον 6 ο προς 5 ο π.Χ. αι., παρακολουθούμε

Έλληνες να προσπαθούν να περιγράψουν τα φυσικά φαινόμενα χωρίς αναφορές σε

υπερφυσικά όντα και τη δημιουργία του κόσμου με τη λογική, μέσω μιας « πρώτης

αρχής». Τους Έλληνες « σοφούς» που κάνουν αυτή την προσπάθεια αποκαλούμε

σήμερα Προσωκρατικούς κοσμολόγους φιλοσόφους, επειδή έζησαν και διατύπωσαν

τις απόψεις τους τη χρονική περίοδο πριν από τη γέννηση του Σωκράτη και επειδή η

κοσμολογία τους ήταν μια πολύ πρώιμη « επιστημονική» προσπάθεια την οποία περιγράφει καλύτερα ο όρος « φιλοσοφία».

Οι Προσωκρατικοί συζήτησαν πρώτοι το πρόβλημα « φυσικός κόσμος». Για

πρώτη φορά αυτοί συνέθεσαν μια λογική, συστηματική εικόνα για το φυσικό κόσμο

και δημιούργησαν για να τον περιγράψουν έννοιες, που μέχρι σήμερα

χρησιμοποιούνται από τους φυσικούς επιστήμονες. Οι έννοιες « δύναμις», «μέγεθος»,

«κίνησις», η έννοια του « γίγνεσθαι», του « συνεχούς», του « ασυνεχούς», του

«χώρου», του « ατόμου», του « αριθμού» κ.λπ. δημιουργήθηκαν τότε i.


4/50


Ο Θαλής, Ίωνας κοσμολόγος φιλόσοφος, προερχόμενος από τη σχολή της

Μιλήτου, που έζησε μεταξύ 640 – 548 π.Χ., είναι ο πρώτος που εισάγει αυτή την

ορθολογική αντιμετώπιση της ερμηνείας του φυσικού κόσμου. Δηλαδή είναι ο

πρώτος που ερμηνεύει φυσικά φαινόμενα με τα ίδια χαρακτηριστικά, αποδίδοντάς τα

σε κοινές αιτίες που δεν είναι θεότητεςii. Για παράδειγμα, κοινές αιτίες των σεισμών

θεωρεί τις τρικυμίες της θάλασσας ( αφού γι’ αυτόν η Γη επιπλέει σαν ξύλο επάνω

στο νερό που την περιβάλλει) και όχι την κάθε φορά διαφορετική διάθεση του

Ποσειδώνα. Το ίδιο πιστεύει και για τις εκλείψεις, τον άνεμο κ.λπ.

Επεκτείνοντας το ίδιο σχήμα, της αναζήτησης κοινών αιτίων σε οτιδήποτε

αφορά τον αισθητό κόσμο, οι Προσωκρατικοί αποφαίνονται ότι η ποικιλία που

βλέπουν γύρω τους δεν αντιστοιχεί και σε μια ποικιλία πρώτων υλών, από τις οποίες είναι φτιαγμένος ο κόσμος. Αναζητούν κάποιο στοιχείο ως « πρώτη αρχή» και

προσπαθούν βάσει αυτού να περιγράψουν πώς είναι ο κόσμος. Αυτή η ζητούμενη

«ουσία» ή « στοιχείο» ή « αρχή» είναι για τους Προσωκρατικούς το υπόστρωμα, κατά

μία έννοια, το οποίο μένει σταθερό παρά την ποικιλόμορφη « γένεση» και « φθορά»

των γήινων αντικειμένων. Αυτή η « πρώτη αρχή» είναι και η πρώτη ύλη από την

οποία είναι φτιαγμένος ο κόσμος, δηλαδή η « αρχή» δεν εννοείται μόνο χρονικά αλλά

και υλικά. Αυτή η σύλληψη, αυτή η προσπάθεια αναγωγής των πολλών φαινομένων και της ποικιλίας των υλικών πραγμάτων σε ένα, αυτή η αφαίρεση στην οποία

προβαίνουν για να γνωρίσουν με τα « μάτια της λογικής» τον κόσμο, θεωρείται από

πολλούς ως μία πολύ μεγάλη συμβολή στην ιστορία της ανθρώπινης σκέψης.

Η « πρώτη αρχή», η « ουσία», το « στοιχείο» που θέτουν οι Προσωκρατικοί δεν

είναι το ίδιο πράγμα για όλους. Για τον Θαλή iii, η πρώτη αρχή στη δημιουργία του

κόσμου είναι το νερό1 και βάσει αυτού του κοινού χαρακτηριστικού όλων όσα

υπάρχουν στον κόσμο, προσπαθεί να ερμηνεύσει το σύνολο των φυσικών φαινομένων. Για τον Αναξίμανδροiv ( ο οποίος ήταν λίγο νεότερος από τον Θαλή,

αφού είχε γεννηθεί το 611 π.Χ., και ανήκε στην ίδια σχολή, αυτή της Μιλήτου),

πρώτη αρχή είναι το άπειρο ( όπως ήταν και το Χάος σύμφωνα με τον Ησίοδο). Για

τον Αναξαγόρα, που και αυτός ήταν Μιλήσιος, πρώτη αρχή είναι τα μικροσκοπικά

σπέρματα που κινεί ο νους. Σύμφωνα με τον Αναξιμένηv, ήταν ο « αέρας», που με

1 όπως ήταν και για τον Όμηρο, το νερό πηγή όλων των πραγμάτων


5/50


πύκνωση ή αραίωση γίνεται χώμα, νερό κ.λπ. Σύμφωνα με τον Λεύκιππο, ήταν τα

άτομα που συνθέτουν τον κόσμο. Ο Ξενοφάνης, το 500 π.Χ., θέτει ως πρώτη αρχή

τον Θεό, που είναι σφαιρικός2, οι Πυθαγόρειοι τους αριθμούς κ.λπ. Έτσι,

δημιουργούνται σχολές στις οποίες καλλιεργούν την κοσμολογική προσέγγιση που

τους άφησε ο « δάσκαλος», μαθητές και συνεχιστές του. Στην Ιωνία, στα παράλια της

Μικράς Ασίας, έχουμε δύο σχολέςvi, της Μιλήτου και της Εφέσουvii. Στην Κάτω

Ιταλία έχουμε τους Ελεάτες στην Ελέα και τους Πυθαγόρειους στον Κρότωνα κ.λπ.

Με τους Προσωκρατικούς, λοιπόν, για πρώτη φορά στην ιστορία της

ανθρώπινης σκέψης, έχουμε, όσον αφορά την ερμηνεία του κόσμου, μετατόπιση από

το « μύθο» στο « λόγο», δηλαδή εξοβελισμό του υπερφυσικού, των θρησκευτικών

προσεγγίσεων, από τις περιγραφές του κόσμου. Αυτός ο νέος τρόπος σκέψης αναπτύσσεται παράλληλα με μία μεγάλη εξέλιξη των μαθηματικών και

υποστηρίζεται από το δημόσιο διάλογο ο οποίος εξελίσσεται μέσα στις πόλεις- κράτη,

τα οποία εκείνη την εποχή ευημερούν χάρη στο εμπόριο που ασκούν μέσω της

θαλάσσιας οδού του Αιγαίου. Διαρθρώνεται επάνω στην πρακτική της δημόσιας

αντιπαράθεσης απόψεων και της ορθολογικής κριτικής, που ξεπηδά μέσα στις πόλεις-

κράτη από ένα συγκεκριμένο πλαίσιο διεκδικήσεων δικαιωμάτων του ανθρώπου-

πολίτη, και γι’ αυτό οδηγεί στη δημοκρατία, στηριζόμενος από αυτή. Είναι ο ίδιος που οδηγεί στο θέατρο, στον αθλητισμό, στη γλυπτική, στη ρητορική και σε όλα τα

υπόλοιπα επιτεύγματα των αρχαίων Ελλήνων αυτούς τους αιώνες.

Καθοριστικότατο ρόλο στην εξέλιξη των μαθηματικών, και κατ’ επέκταση

στην ανάπτυξη του νέου τρόπου σκέψης που υποστηρίζουν, φαίνεται πως έπαιξε η

πρώιμη ναυσιπλοΐα, η οποία δημιούργησε αυξημένες ανάγκες για γνώσεις

γεωμετρίας. Αποκορύφωμα της ανάπτυξης της μαθηματικής σκέψης υπήρξε η

ανακάλυψη της διαδικασίας της απόδειξης των γεωμετρικών προτάσεων, η οποία πρωτοεμφανίστηκε με τον Θαλή ( θα την αναλύσουμε στην επόμενη περίοδο).

Ως αντιπροσωπευτικό παράδειγμα της κοσμολογίας των Προσωκρατικών θα

παρουσιάσουμε, συνοπτικά, τη θεωρία των Πυθαγορείων. Ως αντιπροσωπευτικό

2 Ο μονοθεϊστής Ξενοφάνης πολέμησε την παραδοσιακή, πολυθεϊστική θρησκεία και αντικατέστησε τους πολλούς και απλοϊκούς στη σύλληψή τους θεούς από έναν, εισάγοντας ένα φιλοσοφικό και όχι

θρησκευτικό μονοθεϊσμό, ακριβώς όπως ο Θαλής ανακάλυψε πίσω από την ποικιλία των φυσικών φαινομένων τη μία « ουσία».


6/50


παράδειγμα της έκφρασης λόγου – αντιλόγου γι’ αυτή την εποχή θα παρουσιάσουμε

τις θέσεις των Ελεατών σε αντιπαράθεση με τις απόψεις των Πυθαγορείων. Από την

περιγραφή αυτής της αντιπαράθεσης σκιαγραφούνται η δύναμη και η ποιότητα που

αποκτά ο λόγος κατά την εν λόγω περίοδο. Όπως θα δούμε, ειδικά για τους

Πυθαγόρειους αυτός ο « λόγος» έχει μία ιδιαιτερότητα που θα τον κάνει να πάει πολύ

μακριά, εκφράζεται μέσα από την αριθμητική. Αυτό επιτρέπει, στον ίδιο να

εξακολουθεί να είναι ενταγμένος στις επιστημονικές σκέψεις μέχρι τις μέρες μας, και

σε εμάς να τον παρακολουθήσουμε μέχρι το τέλος αυτής της εργασίας.

1.2 Πυθαγόρειοι

Στους Πυθαγόρειουςviii, το πέρασμα από το μύθο στο λόγο, που κάνουν οι

Προσωκρατικοί, είναι πιο προφανές από κάθε άλλη σχολή. Σε αυτούς, η ενασχόληση

με τα μαθηματικά ταυτίζεται με την έρευνα για το τι είναι ο κόσμος. Συνεπώς,

καθίσταται σαφέστερο σε αυτούς, συγκριτικά με κάθε άλλη σχολή Προσωκρατικών,το πώς αυτή την περίοδο η πρώιμη επιστήμη ταυτίζεται με τη φιλοσοφία. Οι

Πυθαγόρειοι κατασκεύασαν και πίστεψαν σε μία κοσμογονία με αριθμητικό

χαρακτήρα. Τα δομικά υλικά του κόσμου είναι, σύμφωνα με την άποψή τους, οι

φυσικοί αριθμοί και γι’ αυτό έχει αριθμητικό χαρακτήρα και η κοσμογονία τους.

Για τους Πυθαγόρειους, το σύμπαν δημιουργήθηκε από τον αριθμό 1 ( ένα)

μετά από διαίρεσή του που πραγματοποιήθηκε κατόπιν εισπνοής απείρου. Το άπειρο

εισβάλλει στο αδιαφοροποίητο « είναι» και το διασπά, δημιουργώντας από τη μονάδα τη δυάδα. Έτσι, ο κόσμος δημιουργείται από το δίπολο πέρας – άπειρο. Αρχικά

υπήρχε μόνο αυτό το δίπολο και το « είναι» ήταν αδιαφοροποίητο, ενιαίο,

πεπερασμένο. Αυτό το « είναι» ήταν για τους Πυθαγόρειους ταυτόσημο με τον αριθμό

ένα. Αυτό που οριοθετεί το « είναι» είναι το « μη είναι», το οποίο ήταν γι’ αυτούς

συνδεδεμένο με το κενό. Έτσι, το πεπερασμένο αδιαφοροποίητο ον περιορίζεται

αρχικά μόνο από το κενό που εκτείνεται επ’ άπειρον. Από την εισπνοή απείρου

δημιουργείται από τη μονάδα η δυάδα, από τη δυάδα η τριάδα κ.λπ., με τέτοιο τρόπο


7/50


ώστε το πυθαγόρειο σύμπαν να αποτελεί ένα αντίγραφο αυτού που σήμερα θα λέγαμε

«σύνολο των φυσικών αριθμών».

Τα πάντα στον κόσμο δημιουργούνται με αυτό τον τρόπο, με αποτέλεσμα οι

Πυθαγόρειοι να παριστάνουν τους αριθμούς και τα γεωμετρικά σχήματα με ψηφίδες.

Ακόμα και στις κατασκευές και στις αποδείξεις τους δεν χρησιμοποιούσαν συνεχή

μεγέθη. Για παράδειγμα, κάθε πλευρά ενός συγκεκριμένου τριγώνου την παρίσταναν

με μικρούς λίθους ( χαλίκια). Παρίσταναν τους αριθμούς, όπως και τα σχήματα, με

ψηφίδες, βάσει της κοσμολογίας τους, όμως οι ψηφίδες που παρίσταναν τους

αριθμούς δημιουργούσαν και αυτές αντίστροφα σχήματα. Ο πυθαγόρειος αριθμός

είναι ένα σχήμα και εκφράζει τις σχέσεις μεταξύ του μέρους και του όλου στο

εσωτερικό μιας αρμονίας.

Το 1 παριστάνεται με μία ψηφίδα. Το 2 με δύο ψηφίδες και παριστάνει την

ευθεία. Το 3 με τρεις ψηφίδες και παριστάνει το επίπεδο. Το 4 με τέσσερις ψηφίδες,

όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

1 2 3 4

Έτσι, γεωμετρικοποιώντας τους αριθμούς, δηλαδή παρουσιάζοντας τους

αριθμούς ως σχήματα που αποτελούνται από ψηφίδες, έφταναν σε πολύ ενδιαφέροντα

συμπεράσματα, όπως, για παράδειγμα, ότι το άθροισμα των περιττών ισούται με τα

τετράγωνα της ακολουθίας των αριθμών3. Αυτό προκύπτει, όπως φαίνεται στο

παρακάτω σχήμα. Εάν στη μονάδα, δηλαδή στη μία ψηφίδα, προσθέσουμε άλλες

τρεις γύρω από αυτήν, το άθροισμα είναι 4, δηλαδή 2 2, αφού οι 4 ψηφίδες

σχηματίζουν πλέον ένα τετράγωνο.

1 1+3 = 4

3 Βάσει αυτής της αντίληψης για τους αριθμούς, στους Πυθαγόρειους ασκείται εποπτεία σε όλη την αριθμητική ( αυτή την εποπτεία, όπως θα δούμε στην πέμπτη περίοδο της παρούσας εργασίας, έρχεται

να νομιμοποιήσει ο Καντ, και στην έκτη περίοδο έρχεται να εξοβελίσει από τα μαθηματικά ο λογικός εμπειρισμός).


8/50


Εάν στο προηγούμενο τετράγωνο που είναι το 4 προσθέσουμε άλλες 5

ψηφίδες, προκύπτει ένα νέο τετράγωνο πλευράς τριών κουκίδων, δηλαδή προκύπτει

το 9, οπότε

1+3+5= 32.

Εάν στο νέο τετράγωνο, το οποίο παριστάνει τον αριθμό 9 αφού έχει κάθε

πλευρά ίση με 3 ψηφίδες, προσθέσουμε περιμετρικά 7 ψηφίδες, προκύπτει ένα

μεγαλύτερο τετράγωνο το οποίο αποτελείται από 16 ψηφίδες, δηλαδή 4 2. Έτσι έχουμε

ότι το άθροισμα των περιττών

1+3+5+7=42

Αυτό το γενικεύουμε επισημαίνοντας ότι το άθροισμα των περιττών ισούται

με τα τετράγωνα της ακολουθίας των αριθμών.

Έφταναν λοιπόν σε πολύ ενδιαφέροντα συμπεράσματα επειδή

χρησιμοποιούσαν τους αριθμούς ως σχήματαix. Αυτό όμως δεν το έκαναν εξαιτίας

μεθοδολογικής σκοπιμότητας αλλά επειδή προσέγγιζαν τους αριθμούς με την

πεποίθηση ότι αυτοί φτιάχνουν τα σχήματα του κόσμου, αυτοί οι ίδιοι συνιστούν τον

κόσμο4.

Με τα σχηματοποιημένα τετράγωνα των αριθμών ( π.χ . 32) σε εμβαδά

τετραγώνων προκύπτει και το πυθαγόρειο θεώρημα. Δηλαδή, με την κάθε πλευρά του

ορθογωνίου τριγώνου σχηματίζεται ένα τετράγωνο και το άθροισμα των εμβαδών

των δύο τετραγώνων που σχηματίζονται από τις κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου b 2+c2 ισούται με το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου η πλευρά έχει

4 Αυτή την εποπτεία των αριθμών τη στερούνται πλέον οι σύγχρονοι μαθητές, χωρίς όμως να παύουν οι ίδιοι αριθμοί να τους είναι πολύ χρήσιμοι με ποικίλους τρόπους. Το ενδιαφέρον είναι ότι αυτή η παρουσίαση των αριθμών δεν εξασφαλίζει απλώς μία εποπτεία, αλλά αποτελεί ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο διαχείρισής τους και υποστηρίζεται από τη φιλοσοφική άποψη ότι είναι οι αριθμοί που διαρθρώνουν τον κόσμο με αυτό τον τρόπο δεδομένου ότι είναι αυτοί που εμπεριέχουν μία αρμονία την οποία μπορεί να αντιληφθεί το ανθρώπινο είδος μέσα από την ενασχόλησή του με τα μαθηματικά.


9/50


μήκος ίσο με την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου a 2 (βλ. σχήμα). Άρα

a2+c2=a2.

Το ίδιο συμβαίνει και με την ταυτότητα που μας δίνει το ανάπτυγμα του

τετραγώνου αθροίσματος δύο αριθμών. Η εν λόγω ταυτότητα είναι γνωστή ως

(α+b)2=α2+2α b+b2 και, ως σχηματική αναπαράσταση των αριθμών που την

επαληθεύουν, έχει το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά α+b να ισούται με το

άθροισμα δύο μικρότερων τετραγώνων με πλευρά α και b, αντίστοιχα, και το

άθροισμα των εμβαδών δύο ορθογωνίων παραλληλογράμμων με πλευρές α και b,

όπως φαίνεται στο σχήμα.

a

b

a b

b

b

ab

c

Αυτά τα παραθέτουμε ως παραδείγματα για να δείξουμε ότι οι αριθμοί για

τους Πυθαγόρειους ήταν σχήματα, ήταν τα συστατικά του κόσμου, δεν παρίσταναν,

δεν περιέγραφαν απλώς τον κόσμο. Δεν παρίσταναν τους αριθμούς με σχήματα για να

έχουν εποπτεία τους ( βλ. Καντ στην 5 η περίοδο που παρουσιάζουμε) και να τους

διαχειρίζονται καλύτερα. Έδιναν στους αριθμούς σχήματα επειδή πίστευαν ότι με

αυτό τον τρόπο αυτοί συγκροτούν τον κόσμο, δεδομένου ότι οι αριθμοί είναι ο

κόσμος. Οι αριθμοί αποτελούν την ουσία, την ύλη και την αρχή της κίνησης των

όντων. Είναι πράγματα επειδή τα πράγματα είναι αριθμοί. Είναι η αρχή, η πηγή και η

ρίζα των πάντων. Οι Πυθαγόρειοι δεν παριστάνουν, απλώς, τον κόσμο με τους

αριθμούς, γι’ αυτούς ο κόσμος δημιουργείται με τους αριθμούς.

Οι αριθμοί παριστάνονται με ψηφίδες στους Πυθαγόρειους επειδή η ψηφίδα

αναπαριστά το « όλο» όταν υποδιαιρείται με την εισρόφηση κενού. Οι ψηφίδες είναι επ’ άπειρον τεμνόμενες ( με την εισρόφηση κενού), όπως ακριβώς το όλο και τα


10/50


τμήματα στα οποία αυτό τέμνεται, όπως ακριβώς και οι αριθμοί. Το ότι οι ψηφίδες

των Πυθαγορείων, που αναπαριστούν τους αριθμούς και τον κόσμο, δεν είναι όπως

τα άτομα του Λεύκιππου και του Δημόκριτου − μικρά και άτμητα − αλλά όπως οι

αριθμοί −

επ’ άπειρον τεμνόμενες −

, είναι αυτό που καθιστά θρησκευτική την αντίληψή τους για τον κόσμο. Αντίστροφα, το όριο του ατμήτου είναι που καθιστά

υλιστική την αντίληψη των ατομιστών για τον κόσμοx. Όταν τα στοιχεία του κόσμου

που ζούμε μπορούν να τέμνονται επ’ άπειρον, όπως ακριβώς και οι αριθμοί, αυτό το

άπειρα μικρό, το οποίο μπορεί ξανά και ξανά να τμηθεί, συμπίπτει με το θείο, το

οποίο συνυπάρχει με την ύλη στον κόσμο. Το θείο είναι το άπειρα μικρό, το άπειρα

λεπτό, «το πνευματικό», που με μια διαδικασία όμοια με αυτή της συγκρότησης των

αριθμών μπορεί να συνυπάρχει με την ύλη μέσα στον κόσμο. Έτσι, η κοσμολογία των

Πυθαγορείων δεν περιγράφει μόνο τον κόσμο αλλά εξηγεί και πώς το θείο ενυπάρχει

μέσα σε αυτόν, συμπλέκεται με αυτόν και τον καθορίζει. Με αυτό τον τρόπο οι

αριθμοί συνιστούν τον κόσμο και ταυτόχρονα μας φανερώνουν πώς συνδέεται ό,τι

διαχειριζόμαστε στην καθημερινή μας ζωή με το θείο.

Τον κόσμο τον βλέπουμε, τον αισθανόμαστε, τον διαχειριζόμαστε στην

καθημερινή μας ζωή, όμως το βαθύτερο « είναι» του μόνο λογικά μπορούμε να το

κατανοήσουμε, όπως και το θείο. Οι αριθμοί, για τους Πυθαγόρειους δεν είναι απλώς ένα νοητικό κατασκεύασμα, ένα μοντέλο χρήσιμο για να συλλάβουμε τον κόσμο,

είναι η ίδια η « εικόνα» του κόσμου με τη ματιά της λογικής. Όπως η εικόνα μιας

πέτρας μάς φανερώνει την πέτρα χωρίς να είναι απλώς ένα μοντέλο της πέτρας, αλλά

αναπαριστά το πώς δηλώνει την παρουσία της σε εμάς το αντικείμενο « πέτρα», έτσι

και οι αριθμοί είναι η « εικόνα» του κόσμου, δεν είναι εργαλείο κατανόησης του

κόσμου. Είναι η εικόνα του κόσμου και άρα ο ίδιος ο κόσμοςxi.

Η ευθεία για τους Πυθαγόρειους είναι ένα αντικείμενο του κόσμου που κάθε

σημείο του μπορεί να περιγραφεί και να ονομαστεί με έναν αριθμό, αφού ως

αντικείμενο του κόσμου και η ίδια αποτελείται από αριθμούς. Ονομάζοντας ένας

αριθμός κάθε σημείο μιας ευθείας, γίνεται προφανές πως αριθμοί και κόσμος

βρίσκονται σε απόλυτη σύμπτωση. Φαίνεται πώς και γιατί ο αριθμός είναι η ουσία

και η ύλη, αλλά ταυτόχρονα και το μέσον, με το οποίο μπορούν οι άνθρωποι λογικά


11/50


να συλλάβουν, να κατανοήσουν και να περιγράψουν τον κόσμο5. Με την ίδια λογική,

η φύση μπορεί να γίνει κατανοητή μόνο μέσω της αριθμητικής θεωρίας των

αναλογιών σε σχέση με τη γεωμετρική μελέτη των στερεών. Επίσης, οι Πυθαγόρειοι

ανακάλυψαν τα πέντε κυρτά κανονικά στερεά τα οποία ονόμασαν « κοσμικά στερεά»

και θεωρούσαν ότι το καθένα παρίστανε ένα από τα στοιχεία που αποτελούν τον

κόσμο. Το κανονικό οκτάεδρο τον αέρα, το κανονικό εξάεδρο ή κύβος τη Γη, το

κανονικό τετράεδρο τη φωτιά, και το κανονικό εικοσάεδρο το νερό. Αυτών των

τεσσάρων η συστατική μονάδα είναι το τρίγωνο ( ορθογώνιο και ισόπλευρο). Με το

πέμπτο κανονικό πολύεδρο, το δωδεκάεδρο, παρίσταναν τον υπόλοιπο κόσμο, το έξω

από τη Γη σύμπαν.

Αέρας Γη Σύμπαν φωτιά νερό

Το δωδεκάεδρο διαφέρει από τα τέσσερα άλλα

κανονικά στερεά, επειδή δεν σχηματίζεται από τρίγωνα αλλά από κανονικά πεντάγωνα, την κατασκευή των

οποίων γνώριζαν οι Πυθαγόρειοι. Η συνένωση των μη

διαδοχικών κορυφών του πενταγώνου δημιουργεί πέντε

ισοσκελή τρίγωνα σε σχήμα πεντάκτινου αστεριού, των οποίων οι πλευρές, καθώς

τέμνονται, σχηματίζουν ένα μικρό αντεστραμμένο πεντάγωνο και το « Πεντάλφα»,

που ήταν το σήμα της σχολής τους. Στο πεντάλφα, κάθε μία από τις πλευρές του

τέμνει τις άλλες δύο κατά χρυσή τομή (sectio aurea) ή κατά την proportion divina(Θεία Αναλογία). Αυτό το πέμπτο στοιχείο των Πυθαγορείων που συμβολίζεται με το

δωδεκάεδρο, θα δούμε ότι στη φυσική του Αριστοτέλη ονομάζεται αιθέρας και είναι

το υλικό που συνιστά ό,τι βρίσκεται στον ουρανό και τις θεότητες.

5 Στα επόμενα κεφάλαια θα δούμε πώς ο Γαλιλαίος, προσπαθώντας να περιγράψει τη φύση με μαθηματικά, συνδέει την πυθαγόρεια αντίληψη του κόσμου, που εδώ περιγράφουμε, με τη μηχανοκρατία του Μεσαίωνα. Επίσης θα δούμε πώς ο Κέπλερ, προσπαθώντας να περιγράψει τον κόσμο με τα πέντε κανονικά στερεά, φέρει μέσα στις φιλοσοφικές του ιδέες μία πυθαγόρεια

αριθμολογία η οποία έχει θρησκευτικές και μυθολογικές ρίζες. Τέλος, θα εντάξουμε στο σχήμα του λογικού εμπειρισμού για την επιστήμη όλη αυτή την άποψη των Πυθαγορείων για τον κόσμο.


12/50


Παρουσιάσαμε αυτά τα στοιχεία για τους Πυθαγόρειους όχι επειδή έχουμε

σκοπό να εμβαθύνουμε εδώ σε αυτά που δίδασκαν, αλλά με σκοπό να

χρησιμοποιήσουμε τη διδασκαλία τo υς ως παράδειγμα για να δείξουμε τι εννοούμε

όταν λέμε ότι με τους Προσωκρατικούς έχουμε « το πέρασμα από το μύθο στο

λόγο». Οι Πυθαγόρειοι, όπως και όλοι οι Προσωκρατικοί, κάνουν κοσμολογία,

δηλαδή προσπαθούν να περιγράψουν πώς δημιουργήθηκε και πώς είναι ο κόσμος,

χωρίς να εμπλέκουν στις περιγραφές τους θεούς ( χωρίς βέβαια αυτό να σημαίνει ότι

απορρίπτουν την ύπαρξή τους). Το ίδιο κάνουν οι Μιλήσιοι, οι Ίωνες και οι Ελεάτες

Προσωκρατικοί φιλόσοφοι. Η διαφορά των Πυθαγορείων από τους άλλους

Προσωκρατικούς είναι ότι ενώ όλοι οι άλλοι αναφέρονται στην ύλη για να

περιγράψουν τον κόσμο ( π.χ . στο νερό, στο άπειρο κ.λπ.) και στηρίζουν τις απόψεις

τους με λογικά επιχειρήματα που εκφράζονται με την καθημερινή γλώσσα, οι

Πυθαγόρειοι θεωρούν πραγματικό συστατικό του κόσμου τους αριθμούς και

χρησιμοποιούν ως γλώσσα περιγραφής του τη γλώσσα των μαθηματικών, η οποία

είναι πιο αυστηρή και πιο ακριβής από την καθημερινή γλώσσα.

Αφού λοιπόν για τους Πυθαγόρειους οι αριθμοί συνιστούν τον κόσμο, τα

μαθηματικά γίνονται η πιο αυστηρή έκφραση του λόγου στην προσπάθειά τους να

τον περιγράψουν. Οι Πυθαγόρειοι, λοιπόν, προβαίνουν σε μία κοσμολογία με την αυστηρότερη δυνατή έκφραση του λόγου που είναι τα μαθηματικά, και από αυτή την

άποψη μπορούν να συνοψίσουν με τον καλύτερο ίσως τρόπο αυτό που γίνεται τη

συγκεκριμένη περίοδο στην αρχαία Ελλάδα. Η ανακάλυψη του « λόγου» από τους

Προσωκρατικούς και η πίστη που έχουν σε αυτόν είναι η σημαντικότερη προσφορά

τους. Πρόκειται για το « λόγο» που τους επιτρέπει να διεισδύσουν στην « ουσία» των

πραγμάτων, να ξεφύγουν από την επιφανειακή γνώση του κόσμου και τις εύκολες,

θεοκρατικές εξηγήσεις των ποικίλων φυσικών φαινομένων6.

6 Σε όσους θεωρούν αυτό εύκολο και « φυσικό επόμενο», αντιπαραθέτουμε το ότι ποτέ δεν είχε γίνει κάτι τέτοιο μέχρι τότε σε κάποιον άλλο πολιτισμό, π.χ . στους Κινέζους. Ο άνθρωπος από πολύ παλιά

μπορούσε να επιβιώνει με επιτυχία και χωρίς να λύνει τα υπαρξιακά του προβλήματα με τη βοήθεια του λόγου.


13/50


1.2.1 Ασύμμετροι αριθμοί

Οι Πυθαγόρειοι, όταν ανακάλυψαν το πυθαγόρειο θεώρημα και άρχισαν να το

εφαρμόζουν στα διάφορα προβλήματα, βρέθηκαν αντιμέτωποι με μία δυσάρεστη

έκπληξη: σε ορισμένα ορθογώνια τρίγωνα, η υποτείνουσα δεν μπορεί να μετρηθεί

από έναν ακέραιο ή από έναν κλασματικό αριθμό. Αυτό ήταν ολέθριο για τη θεωρία

τους επειδή αντιλαμβάνονταν, όπως αναφέραμε, κάθε ποσότητα ως χωρική ή υλική,

σαν να προέκυψε από διαδοχικές κατατμήσεις του « ενός», του « όλου», με την

εισρόφηση κενού. Αυτή η διαδικασία θα έπρεπε να δημιουργεί μόνο κλασματικές ποσοτικές σχέσεις οι οποίες θα έπρεπε να μπορούν να περιγραφούν με κλασματικούς

αριθμούς. Αφού ο κόσμος αποτελείται από αριθμούς, δηλαδή από μετρήσιμες

υποδιαιρέσεις του όλου, δεν γίνεται κάποιο τμήμα του, χωρικό, χρονικό ή υλικό, να

μην μπορεί να ονομαστεί με έναν αριθμό. Μια απόσταση, π.χ ., 5.55 εκατοστά είναι

5 φορές ένα συγκεκριμένο μέγεθος ( το 1 εκ.) και 55 φορές το 1 κομμάτι από τα εκατό

μέρη του. Αυτή η απόσταση-μέτρο, το ένα εκατοστό, έχει προκύψει από

υποδιαιρέσεις του « όλου» κ.ο.κ.

Το πυθαγόρειο θεώρημα, λοιπόν, αποτέλεσε την αφορμή για να

ανακαλυφθούν οι ασύμμετροι αριθμοί. Ασύμμετρα είναι δύο ομοειδή μεγέθη όταν

μετρούμενα με την ίδια μονάδα, τα μέτρα τους δεν βρίσκονται σε ρητή σχέση. Για

παράδειγμα, δύο τέτοια μεγέθη είναι η πλευρά και οι διαγώνιοι του τετραγώνου,

αφού γι’ αυτές ισχύει δ/α= 2 , με δεδομένο ότι η τετραγωνική ρίζα του δύο δεν είναι

ένας κλασματικός αριθμόςxii. Τη διαγώνιο του τετραγώνου, όμως, μπορείς να τη

σχεδιάσεις, άρα είναι ένα αντικείμενο του κόσμου του οποίου το μήκος δεν μπορείς

να ονομάσεις του με έναν κλασματικό αριθμό. Αφού όμως κάθε τι στον κόσμο

αποτελείται, σύμφωνα με τους Πυθαγόρειους, από αριθμούς, τότε πώς γίνεται να μην

μπορεί να ονομαστεί με έναν αριθμό; Άρα ο κόσμος δεν αποτελείται από αριθμούς,

άρα όλη η κοσμολογία τους ήταν λάθος και κατ’ επέκταση ό,τι άλλο υποστήριζαν

βάσει αυτής της κοσμολογίας.

Και πράγματι, οι Πυθαγόρειοι χάνουν όλη την εξουσία τους όταν ανακαλύπτονται οι

άρρητοι αριθμοί ( )xiii . Η ορθότητα της φιλοσοφίας τους κρίνεται, τελικά, λογικά και


14/50


με μαθηματικούς όρους. Κλονίστηκε συθέμελα όλη η θρησκευτικο-πολιτική τους

πρόταση με την εμφάνιση των αρρήτων, επειδή δεν μπόρεσαν να αναθεωρήσουν την

οντολογία τους, που στηριζόταν στους αριθμούς. Μέσα από αυτό το ιστορικό

παράδειγμα της κρίσης στο θρησκευτικο-πολιτικό σύλλογο των Πυθαγορείων,

διαφαίνεται η δύναμη που είχε « ο λόγος» αυτή την περίοδο στην αρχαία Ελλάδα. Ο

«λόγος» είχε γίνει κάτι « ιερό», είχε αντικαταστήσει το βλέμμα του ανθρώπου προς το

θείο. Έτσι, όταν δεν άντεξε η πυθαγόρεια αριθμητική στον ορθό λόγο δεν μπορούσε

πια να στηριχθεί οποιαδήποτε άποψη υποστηριζόταν, μέσω αυτής, για τον κόσμο.

(Τον σκεπτικισμό για το « λόγο», που φέρουμε μέχρι σήμερα, εισάγουν οι σοφιστές

που θα παρουσιάσουμε στην επόμενη περίοδο « Γεωμετρία-Πλάτωνας».)

Η εύρεση των ασύμμετρων αριθμών ήταν το τελειωτικό χτύπημα στην πυθαγόρεια θεωρία. Πριν από αυτό είχαν δοθεί πολλά λογικά χτυπήματα στη θεωρία

τo υς. Τα σημαντικότερα από αυτά ήταν τα τέσσερα παράδοξα του Ζήνωνα. Σε αυτά

τα παράδοξα δίνουμε βαρύτητα στην περιγραφή που κάνουμε σε αυτή την εργασία,

επειδή δείχνουν τη σημασία που είχαν ο λόγος και ο αντίλογος αυτή την περίοδο.

Δείχνουν επίσης το υψηλό επίπεδο σκέψης των Προσωκρατικών, αφού τα παράδοξα

του Ζήνωνα αποτελούν ακόμα αντικείμενο συζητήσεων μεταξύ των σύγχρονων

μαθηματικών και φυσικών. Τα παράδοξα του Ζήνωνα συνδέουν την αρχαιότητα με τις προσπάθειες θεμελίωσης της αριθμητικής του 19 ου αιώνα ( που θα δούμε κατά

την 5 η εξεταζόμενη περίοδο) και με τη σύγχρονη φυσική των ημερών μας, αφού,

όπως θα δούμε, αναφέρονται ακόμα στις προσπάθειες ερμηνείας της κβαντικής

θεωρίας, στα πιο πρόσφατα συνέδρια που γίνονται γι’ αυτήxiv.


15/50


1.3 ΤΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΤΟΥ ΖΗΝΩΝΑ

Εκτός από τους Ελεάτες, τους « στασιώτας» όπως θα τους αποκαλέσει ο

Πλάτωνας ( Θεαίτητος, 181α), όλοι οι άλλοι Προσωκρατικοί ρητά ή υπόρρητα

αποδέχονται την κίνηση και την αλλαγή στο φυσικό κόσμο και θεωρούν ότι αυτές και

τον δημιουργούν και τον συντηρούν. Οι Ελεάτες αρνούνται την κίνηση από το

φυσικό κόσμο. Ο Ζήνων ο Ελεάτης (490 – 430 π.Χ.), με τα παράδοξά του

υπερασπιζόταν τη θέση του Παρμενίδη ( που έζησε από το 540 έως το 475 π.Χ.), ότι η

διαίρεση του όλου και η κίνηση μέσα σε αυτό είναι αδύνατες και ως εκ τούτου αποτελούν απλώς και μόνο μία ψευδαίσθηση.

Ολόκληρη η κοσμολογία των Ελεατών προκύπτει από μία και μόνη λογική

πρόταση που λέει « δεν γίνεται να υπάρχει κάτι ανύπαρκτο»xv. Εάν υπάρχει το

ανύπαρκτο, π.χ . ο κενός χώρος, η μη ύλη, τότε υπάρχει και κίνηση και μεταβολή και

αλλοίωση και ανομοιογένεια ( κ.λπ.) στον κόσμο. Εάν όμως δεν υπάρχει το

ανύπαρκτο, αυτό που υπάρχει είναι αναλλοίωτο, αμετάβλητο, αγέννητο, αδιαίρετο,

ακίνητο και άπειρο, όπως ισχυρίζονται οι Ελεάτες στην κοσμολογία τους. Αυτό για

τους Ελεάτες είναι το « όντως ον», η πραγματικότητα, που μπορεί να συλληφθεί μόνο

μέσα από τη λογική. Έτσι ο Παρμενίδης και οι μαθητές του, γίνονται οι πρώτοι στην

ιστορία της δυτικής φιλοσοφίας που κάνουν το διαχωρισμό μεταξύ φαινομένων και

πραγματικότηταςxvi. Η θέση του Παρμενίδη παρουσιάζεται συνοπτικά στους

επόμενους στίχους ( μετάφραση Θ. Βέικος, 1985, σελ. 104):

«Τίποτε δεν υπάρχει ούτε θα υπάρχει άλλο εκτός από το ον, γιατί

αυτό η μοίρα το ανάγκασε να υπάρχει ως ένα όλον και ακίνητο. Γι’

αυτό, όλα θα είναι απλά ονόματα, όσα οι θνητοί έταξαν πεπεισμένοι πως

είναι αληθινά, τη γένεση και τη φθορά, το είναι και το όχι είναι, αλλαγή

του τόπου και μεταλλαγή του φανερού χρώματος7».

7 ουδέν γαρ έστιν ή έσται άλλο πάρεξ του εόντος, επεί το γε Μοιρ επέδησεν ούλον ακίνητος τα’ εμέναι.

τω παντ’ όνομ’ έσται όσσα βροτοί κατέθεντο πεποιθότες είναι αληθή, γίγνεσθαι τε και όλλυσθαι, είναι τε και ουχί, και τόπον αλλάσσειν διά τε χρόα φανόν αμείβειν.


16/50


Ακόμα και μόνο από αυτό το κείμενο φαίνεται η μεγάλη διαφορά μεταξύ της

άποψης των Ελεατών και αυτής των Πυθαγορείων, όσον αφορά τον κόσμο. Στους

Πυθαγόρειους, το ον γίνεται πολλά κομμάτια, αυτό που υπάρχει, το ον, το ένα,

διαιρείται αφού εισπνεύσει το κενό. Άρα, η κοσμολογία των Πυθαγορείων για τους

Ελεάτες στηρίζεται σε εντελώς λανθασμένη βάση, γεγονός που αποδεικνύεται από τις

λογικές αντινομίες στις οποίες πέφτουν πολλά από τα συμπεράσματά της. Μερικές

από αυτές τις λογικές αντινομίες, στις οποίες πέφτουν όσοι υποστηρίζουν την ύπαρξη

του μη όντος και άρα την κατάτμηση του πραγματικού κόσμου, εκφράζονται με τα

παράδοξα του Ζήνωνα. Είναι η απόδοση ύπαρξης στο « μη ον» που δημιουργεί τη

διαίρεση και την ασυνέχεια, η οποία εκφράζεται με τους πυθαγόρειους αριθμούς, που

περιγράφοντας τον κόσμο μάς οδηγούν σε λογικές αντινομίες. Για τους Ελεάτες, το

πρόβλημα « συνέχεια ή ασυνέχεια» στερείται νοήματος γιατί αναφέρεται στον

ψεύτικο κόσμο της εμφάνισης και των φαινομένων και όχι στο « όντως ον»8 που

υποτίθεται ότι περιγράφουν οι αριθμοί.

Τα παράδοξα του Ζήνωναxvii λοιπόν προσπαθούν να δείξουν ότι το « ον» είναι

αδιαίρετο, ακίνητο, συμπαγές και αμετάβλητο και ότι η κίνηση και η κατάτμηση είναι

μόνο φαινόμενα του κόσμου που ζούμε και όχι της « πραγματικότητας»xviii. Τα

παράδοξα του Ζήνωνα

9

είναι λογικά επιχειρήματα που θέλουν να δείξουν με επιστημονικό τρόπο το λάθος όσων αποδέχονται την μεταβολή γενικότερα ( η οποία

αποτελεί το θεμέλιο λίθο στην κοσμολογία και των Ιώνων Προσωκρατικών που

εκφράζεται με το περίφημο « τα πάντα ρει» του Ηράκλειτου). Επικεντρώνονται όμως

εντονότερα εναντίον της πυθαγόρειας κοσμολογίας για να κλονίσουν τους

Πυθαγόρειους ως πολιτική και θρησκευτική οργάνωση με επιστημονικό τρόπο, με το

«λόγο». Αυτό γίνεται προφανές και από τη μεθοδολογία των παραδόξων του Ζήνωνα,

η οποία συνδέεται με την έννοια του αριθμητικού απείρου, και από τη γεωγραφική

8 Για τους Ελεάτες, το πρόβλημα « συνέχεια ή ασυνέχεια» είναι ένα ψευδο-πρόβλημα. Την ασυνέχεια υποστηρίζει η σχολή του Δημόκριτου του Αβδηρήτη (460 – 370 π.Χ.), η οποία βασίζεται στην περίφημη θεωρία των ατόμων « ατμήτων». Η πλατωνική σχολή δέχεται την ιδέα της άπειρης διαιρετότητας των μεγεθών.

9 Τα παράδοξα του Ζήνωνα εισάγουν έναν τρόπο διαλόγου στη φιλοσοφία και στην επιστήμη ο οποίος είναι σωστός και δημιουργικός μέχρι τις μέρες μας. Θα δούμε στα επόμενα κεφάλαια πώς τα παράδοξα του Ράσελ κλόνισαν όλη τη θεωρία του λογικισμού του Φρέγγε στις αρχές του 20 ού αιώνα, καθώς κα

πώς οι μαθηματικοί του 19 ου αι. χρησιμοποιούσαν τη μεθοδολογία των παραδόξων στις επιστημονικές αντιπαραθέσεις τους για τη θεμελίωση των μαθηματικών,.


17/50


θέση των δύο σχολών, οι οποίες βρίσκονται πολύ κοντά στην Κάτω Ιταλία και

ακμάζουν σχεδόν την ίδια χρονική περίοδο.

1.3.1 Το παράδοξο της διχοτομίας

Το πρώτο παράδοξο, το παράδοξο της διχοτομίας, ισχυρίζεται ότι εάν ένα

ευθύγραμμο τμήμα είναι απείρως διαιρετό, η κίνηση σε αυτό είναι αδύνατη. Το

παράδοξο της διχοτομίας λέει ότι για να διανύσει ένας δρομέας ένα Στάδιο πρέπει

πρώτα να περάσει από το μέσον του, αλλά πριν το κάνει αυτό, πρέπει να περάσει από

το μέσον του μέσου, και για να το κάνει αυτό πρέπει πρώτα να περάσει από το μέσον

του μέσου του μέσου κ.ο.κ. επ’ άπειρον. Από αυτό συνάγεται ότι η κίνηση δεν

αρχίζει ποτέxix (Eves, 1953).

Με άλλα λόγια, ο Ζήνωνας ισχυρίζεται ότι για να φτάσει ο δρομέας στο

σημείο προορισμού του, δηλαδή στο τέλος του ευθύγραμμου τμήματος, απαιτείται

άπειρος χρόνος. Κατά τον Γουίθρου (Whitrow, 1961), σύμφωνα με τον Ζήνωνα, ο

δρομέας ποτέ δεν φτάνει στον προορισμό του, επειδή ταυτίζεται η διάνυση, από το

δρομέα, των υποδιαστημάτων της απέραντης ακολουθίας, με την αρίθμηση, από το

δρομέα, όλων των υποδιαστημάτων που ανήκουν σε αυτή την ακολουθία. Δηλαδή

αφού ο δρομέας δεν θα μπορούσε ποτέ να αριθμήσει τα διαστήματα τα οποία πρέπει

να διανύσει, πώς θα μπορούσε να τα διανύσει κιόλας; Αφού λοιπόν, κατά τον

Γουίθρου, ο ολικός χρόνος που απαιτείται για την ένα προς ένα καταμέτρηση όλων

των χωρικών υποδιαστημάτων είναι άπειρος, είναι άπειρος και ο χρόνος που θα


18/50


χρειαστεί να διανυθούν τα παραπάνω διαστήματα, άρα, στην ουσία, ο δρομέας θα

παραμείνει ακίνητος και δεν θα μπορέσει ποτέ να κινηθείxx.

Αν αυτό το παράδοξο παρουσιαστεί χωρίς σύνδεση με τη διαμάχη

Πυθαγορείων – Ελεατών και με τις επιπτώσεις που είχε στο δυτικό πολιτισμό η

διαμάχη αυτή, δεν αναδεικνύεται η μεγάλη του αξία. Οι Πυθαγόρειοι υποστηρίζουν

την άπειρη διαιρετότητα του όντος, που είναι η διαιρετότητα των αριθμών, και την

περιγραφή του κόσμου με τους αριθμούς, άρα και της κίνησης, ως γεγονότος του

κόσμου. Οι Ελεάτες είδαμε ότι υποστηρίζουν πως το ον είναι αδιαίρετο, ακίνητο,

συμπαγές και αμετάβλητο. Το παραπάνω παράδοξο δείχνει ότι η άπειρη διαιρετότητα

και η κίνηση είναι στοιχεία ασυμβίβαστα. Η άπειρη διαιρετότητα είναι ιδιότητα των

αριθμών, επομένως δεν μπορεί να αρθεί από την οντολογία των Πυθαγορείων. Η κίνηση είναι φαινόμενο του κόσμου ( ο οποίος, κατά τους Πυθαγόρειους, αποτελείται

από αριθμούς) και άρα είναι φαινόμενο που οφείλουν να περιγράφουν οι αριθμοί.

Έτσι δεν μπορεί να αμφισβητηθεί από τους Πυθαγόρειους ούτε η ίδια η κίνηση, ούτε

η « υποχρέωση» των αριθμών να την περιγράφουν. Άρα η κοσμολογία τους, εξαιτίας

αυτού του παράδοξου πέφτει σε λογικές αντιφάσεις. Επομένως, με αυτό το παράδοξο

ο Ζήνωνας αμφισβητεί τη σύνδεση των αριθμών με τον κόσμο.

Το παράδοξο αυτό, εκτός του ότι επιδρά αρνητικά στην κοσμολογία των

Πυθαγορείων, υποστηρίζει και τις θέσεις των Ελεατών. Με αυτό το παράδοξο δεν

αποδεικνύεται η ακινησία που υποστηρίζουν οι Ελεάτες, καθίσταται όμως σαφές πως

η κίνηση είναι ένα φαινόμενο για εμάς τους ανθρώπους, είναι κάτι που φαίνεται και

δεν ισχύει στην πραγματικότητα, αφού απορρίπτεται από τη λογική, που είναι ο

μόνος τρόπος για να δούμε την πραγματικότητα. Έτσι λοιπόν, με τους Ελεάτες

διαμορφώνεται για πρώτη φορά ο Ορθολογισμός των αρχαίων Ελλήνων, η

φιλοσοφική θέση που απορρίπτει κάθε πίστη στις ανθρώπινες αισθήσεις και εμπιστεύεται μόνο τα λογικά συμπεράσματα, ο οποίος καθόρισε ( και ταλάνισε) το

δυτικό πολιτισμό για 2.000 χρόνια, δηλαδή από τους Προσωκρατικούς μέχρι την

επιστημονική επανάσταση ( που θα δούμε στην 3 η εξεταζόμενη περίοδο).


19/50


Η Ελεατική σχολή, λοιπόν, αποδίδει δύο επίπεδα στον κόσμο, το πραγματικό

και το φαινομενικό10, και θεωρεί ότι η λογική, ο λόγος, είναι το μόνο που μπορεί να

μας αποκαλύψει τον πραγματικό κόσμο, σε αντιδιαστολή με τον φαινόμενο. Αν

ταυτίσουμε αυτούς τους δύο κόσμους και προσπαθήσουμε το σύμπλεγμά τους να το

περιγράψουμε με τα μαθηματικά, υποπίπτουμε στις αντινομίες και τα παράδοξα, στα

οποία υπέπεσαν οι Πυθαγόρειοιxxi. Άρα, η πυθαγόρεια φιλοσοφία συνδέει την

αριθμητική με ένα ανύπαρκτο σύμπλεγμα αυτών των δύο κόσμων. Το παράδοξο της

διχοτομίας είναι μια προσπάθεια να διαλύσει αυτή τη σύνδεση, οριοθετώντας

ταυτόχρονα αυτούς τους δύο κόσμους.

Η πυθαγόρεια παράδοση που θέλει να περιγράψει τον κόσμο που ζούμε με

τους αριθμούς, θα αναβιώσει με τον Γαλιλαίο, κατά την επιστημονική επανάσταση,και θα ολοκληρωθεί με τον Νεύτωνα, ως επιστημονική μεθοδολογία που φτάνει μέχρι

τις μέρες μας. Επειδή επικράτησε η Ελεατική σχολή έναντι των Πυθαγορείων και

επειδή υπερίσχυσε, ως συνεχιστής της, ο Πλάτωνας με το μαθητή του, Αριστοτέλη,

για 2.000 χρόνια τα μαθηματικά δεν εφαρμόστηκαν επάνω στο γήινο κόσμο των

φαινομένων. Η επικράτηση της φιλοσοφικής θέσης των Ελεατών και του Πλάτωνα,

που υποστήριζε ότι η μαθηματική περιγραφή του γήινου κόσμου καταλήγει σε

αντινομίες, δεν επέτρεπε στην επιστήμη να εξελιχτεί, με τη μορφή που τη γνωρίζουμε σήμερα, επί 2.000 χρόνια, όπως θα δούμε αναλυτικότερα στη συνέχεια αυτής της

εργασίας.

Το επόμενο παράδοξο, το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας, θα δούμε

ότι ( με μία συγκεκριμένη ερμηνεία) πλήττει την εσωτερική λογική συνέπεια της

αριθμητικής11.

10 Η φιλοσοφία του Πλάτωνα θέτει, όπως και αυτή των Ελεατών, δύο κόσμους, τον κόσμο των ιδεών και το γήινο κόσμο, δηλαδή έναν κόσμο φαινομένων, του οποίου τις αλήθειες δεν μπορούμε να εμπιστευόμαστε γιατί είναι η σκιά της πραγματικότητας. Τον πραγματικό κόσμο μπορούμε να συλλάβουμε μόνο μέσω της λογικής, μέσω του « λόγου». Είναι ο κόσμος των ψυχών, των πνευμάτων και των θεοτήτων. Στην πυθαγόρεια παράδοση υπάρχει μόνο ένας κόσμος που συνίσταται από αριθμούς και άρα μπορεί να περιγραφεί με τους αριθμούς. Αυτή η πυθαγόρεια παράδοση θα δούμε ότι θα φτάσει μέχρι τον Γαλιλαίο και τον Νεύτωνα, που προσπαθούν με τα μαθηματικά να περιγράψουν το γήινο κόσμο των φαινομένων.

11 Αν και τα τέσσερα παράδοξα που θα παρουσιάσουμε είναι εφικτό να παρουσιαστούν και σαν να λένε το ίδιο πράγμα, εδώ θα τα παρουσιάσουμε σαν το καθένα να δείχνει κάτι παρεμφερές αλλά και


20/50


1.3.2 Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας

Βάσει αυτού του παράδοξου, «αν ο γρηγοροπόδαρος Αχιλλέας και μία χελώνα

που βρίσκεται πιο μπροστά από αυτόν ξεκινήσουν ταυτόχρονα να κινηθούν προς την

ίδια κατεύθυνση, ο ταχύτατος Αχιλλέας δεν φτάνει ποτέ την αργή χελώνα». Αυτό θα

συμβεί επειδή πρέπει ο γρήγορος Αχιλλέας να φτάσει πρώτα στο μέρος απ’ όπου

ξεκίνησε η χελώνα. Κατά το χρόνο αυτό όμως, η χελώνα θα μετακινηθεί σε ένα άλλο

σημείο, πιο μπροστά από αυτό που βρισκόταν πριν αρχίσει την κίνησή της. Ο

Αχιλλέας τότε θα πρέπει να πάει στο νέο σημείο όπου βρίσκεται η χελώνα, αλλά στο

χρόνο που θα χρειαστεί να το κάνει αυτό η χελώνα πάλι θα έχει μετακινηθεί πιο

μπροστά από το σημείο που βρισκόταν πριν ξεκινήσει η δεύτερη κίνηση του Αχιλλέα.

Έτσι, αφού ο Αχιλλέας θα πρέπει να πηγαίνει πάντα πρώτα στο σημείο από το οποίο

η χελώνα μόλις έφυγε, όσο γρηγορότερος και αν είναι από τη χελώνα δεν θα τη

φτάσει ποτέ, αφού πάντα, ώσπου να φτάσει εκεί που είναι η χελώνα, η τελευταία θα

έχει προχωρήσει πιο μπροστάxxii.

Πολλοί θεωρούν ότι αυτό το παράδοξο είναι ίδιο με το προηγούμενο, αυτό

της διχοτομίας

xxiii

. Άλλοι όμως ερμηνευτές του, όπως ο πασίγνωστος Ράσελ (Russel1965, 1938), θεωρούν ότι αυτό το παράδοξο θέλει να δείξει κάτι διαφορετικό.

Σύμφωνα με τον Ράσελ, ο Αχιλλέας, προκειμένου να φτάσει τη χελώνα, είναι

υποχρεωμένος να περάσει επάνω από άπειρα σημεία. Το ίδιο όμως άπειρα, ως προς

το πλήθος, είναι και τα σημεία από τα οποία θα πρέπει να περάσει η χελώνα μέχρι να

τη « φτάσει» ο Αχιλλέας. Το περίεργο είναι ότι ενώ κάθε σημείο, στο οποίο βρίσκεται

κάθε στιγμή ο Αχιλλέας, αντιστοιχεί σε κάποιο σημείο από αυτά που περνά η χελώνα,

τα σημεία από τα οποία περνά ο Αχιλλέας είναι περισσότερα από αυτά που περνά η

χελώνα, μέχρι να τη « φτάσει». Έτσι, έχουμε δύο απειροσύνολα, των οποίων τα

στοιχεία αντιστοιχίζονται ένα προς ένα και το ένα έχει μεγαλύτερο αριθμό μελών από

το άλλο.

Ενώ λοιπόν στο πρώτο παράδοξο, αυτό της διχοτομίας, βάλλεται η σχέση της

αριθμητικής με τον κόσμο ( αφού άπειρη διαιρετότητα, που είναι στοιχείο της

ταυτόχρονα καθοριστικά διαφορετικό, χωρίς να ξεφεύγουμε από τις ερμηνείες που έχουν δώσει γι’αυτά αξιόλογοι και διάσημοι μελετητές τους.


21/50


αριθμητικής, και κίνηση, που είναι στοιχείο του κόσμου, δεν ταυτίζονται,), στο

δεύτερο παράδοξο βάλλεται η λογική συγκρότηση της ίδιας της αριθμητικής, ως

σύστημα. Οι αριθμοί αποτελούνται από απειροσύνολα. Για παράδειγμα, μεταξύ του

1,55555 και του 1,55556 υπάρχουν άπειροι σε πλήθος αριθμοί. Όταν υπάρχει μία

τέτοιου τύπου αντινομία, σαν αυτή που περιέγραψε η ερμηνεία του Ράσελ, μεταξύ

όλων αυτών των απειροσυνόλων που αποτελούν τους αριθμούς, πώς μπορεί να

θεμελιώνεται η αριθμητική ως ένα λογικό σύστημα;

Η εσωτερική αυτή αντινομία του συστήματος της αριθμητικής, που θέτει το

συγκεκριμένο παράδοξο ( αν ερμηνευθεί όπως προτείνει ο Ράσελ), δεν αποτελεί για

τους μαθηματικούς ένα προσποιητό ή επιδερμικό πρόβλημα. Θα παρουσιάσουμε

αναλυτικότερα στην πέμπτη περίοδο, «Καντ- Μαθηματικά» (της παρούσας εργασίας)πως στην προσπάθεια θεμελίωσης της αριθμητικής το 19 ο αι. μ.Χ., η τιθάσευση του

απείρου είναι το βασικό μέλημα των μαθηματικών, πώς απαντά ο Κάντορ στο

συγκεκριμένο παράδοξο12, καθώς και την κριτική που δέχονται η απάντησή του και

το έργο του13.

Η ίδια λοιπόν η πυθαγόρεια αριθμητική και όχι μόνο η ταύτισή της με τον

κόσμο μένει μετέωρη εξαιτίας αυτού του παράδοξου. Το έδαφος

pros okra tiko i

Documents