proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/1.jpg)
Proseminář z matematiky pro fyzikyMgr. Jan Říha, Ph.D.e-mail: [email protected]://www.ictphysics.upol.cz/Proseminar/index.html
Katedra experimentální fyzikyPřírodovědecká fakulta UP Olomouc
![Page 2: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/2.jpg)
Podmínky zisku zápočtuneúčast nejvýše na třech semináříchpsát 3 písemné práce (asi dvacetiminutové, každá s maximálním ziskem 10 bodů)zisk nejméně 20 bodůkaždou písemku napsat alespoň na 3 bodyodevzdat vyřešené domácí úlohy
![Page 3: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/3.jpg)
Doporučená literaturaBRABEC J., HRŮZA B.: Matematická analýza II. SNTL, Praha, 1989. BRABEC J., MARTAN F., ROZENSKÝ Z.: Matematická analýza I. SNTL, Praha, 1989. JIRÁSEK F., ČIPERA S., VACEK M.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I., II. a III.. SNTL, Praha, 1989. LEA S. M.: Mathematics for Physicists. Brooks/Cole, 2004.KUČERA J., HORÁK Z.: Tenzory v elektrotechnice a ve fyzice. Nakladatelství ČSAV, Praha, 1963. KVASNICA J.: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, 1989. ČECHOVÁ M., MARKOVÁ L.: Proseminář z matematiky A, B. UP Olomouc, 1990. KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika I - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2004.KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika II - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2002. ZIMMERMAN, R. L., OLNES, F. I.: Mathematica for Physics. Addison-Wesley, 2002.WOLFRAM S.: The Mathematica Book. Wolfram Media, 2003. BAUMANN G.: Mathematica for Theoretical Physics. Springer-Verlag Heidelberg, 1993. DICK S., RIDDLE A., STEIN D.: Mathematica in the Laboratory. Cambridge University Press, 1997.
![Page 4: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/4.jpg)
( )( )fHN
fDM==
funkcehodnot Obor funkceobor Definiční
.RNRM
⊂⊂
množiny prvek jeden právěpřiřazen množiny prvku každému je něhož podle
předpis, rozumíme proměnné reálné jednéfunkcí Reálnou
TABULKOU GRAFEM FUNKČNÍM PŘEDPISEMexplicitně
parametrickyimplicitně
Možnosti zadání funkce
![Page 5: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/5.jpg)
Vlastnosti funkceOhraničená funkce (shora, zdola ohraničená)
Parita funkce( ) ( ) CxffDxRC ≤∈∀∈∃ :,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xfxffDxxf
xfxffDxxf−=−∈∀⇔
=−∈∀⇔::
nazývá se Funkce nazývá se Funkce
lichásudá
Periodická funkce( ) ( ) ( )xfpxffDRxpRp =+=∈∀≠∈∃ :;0,
Složená funkce( ) ( )
( ) ( )( )[ ]
( )( )xuzfy
xufyzfyzxu
baxxuzf
==
=
=∈=
∈∀
z ... funkce vnitřní ... funkce vnější
. nazývá se funkcepak ,definovaná funkce je kterém ve, funkcehodnotu
přiřadit lze Jestliže a funkcedány Jsou
funkcí složenouβα ,
,.
![Page 6: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/6.jpg)
Vlastnosti funkceProstá funkce
Inverzní funkce
( )( ) ( ) ( )212121 :, xfxfxxa,bxxfDa,bxf
≠⇒≠∈∀⇔∈ intervalu na nazývá se Funkce prostá
( ) ( )( ).
1
yfxxfyxf
== −
tvaru zapsat ve lze ji jestliže , funkci nazveme funkcik funkcí Inverzní
Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající
( )( ) ( ) ( )212121 :,
intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b
xf<⇒<∈∀⇔∈
rostoucí
( )( ) ( ) ( )212121 :,
intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b
xf>⇒<∈∀⇔∈
klesající
![Page 7: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/7.jpg)
Vlastnosti funkceFunkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající
( )( ) ( ) ( )212121 :,
intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b
xf≥⇒<∈∀⇔∈
nerostoucí
( )( ) ( ) ( )212121 :,
intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b
xf≤⇒<∈∀⇔∈
íneklesajíc
![Page 8: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/8.jpg)
Přehled elementárních funkcí
CELÉ LOMENÉ
RACIONÁLNÍ IRACIONÁLNÍ
ALGEBRAICKÉ
GONIOMETRICKÉ
CYKLOMETRICKÉ
EXPONENCIONÁLNÍ
LOGARITMICKÉ
HYPERBOLICKÉ
TRANSCENDENTNÍ
TYPY FUNKCÍ
![Page 9: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/9.jpg)
Celé racionální funkceLineární funkceKvadratická funkce
Kubická funkce atd.
( ) baxy +−= 2
![Page 10: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/10.jpg)
Lomené racionální funkce
bax
ky +−
=
![Page 11: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/11.jpg)
Iracionální funkce
3 xy =
![Page 12: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/12.jpg)
Goniometrické funkcexy sin=
![Page 13: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/13.jpg)
Goniometrické funkcexy cos=
![Page 14: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/14.jpg)
Goniometrické funkcex
xxy tg==
cossin
![Page 15: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/15.jpg)
Goniometrické funkcex
xxy cotg==
sincos
![Page 16: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/16.jpg)
Cyklometrické funkce( ) ( )
2,
2 ,1,1 ,arcsin ππ
−=−== fHfDxy
![Page 17: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/17.jpg)
Cyklometrické funkce( ) ( ) π,01,1 =−== fHfDxy , ,arccos
![Page 18: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/18.jpg)
Cyklometrické funkce( ) ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−===
2,
2ππfHRfDxy , ,arctg
![Page 19: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/19.jpg)
Cyklometrické funkce( ) ( ) ( )π,0=== fHRfDxy , ,arccotg
![Page 20: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/20.jpg)
Exponenciální funkce
1 ,0 , ≠>= aaay x
![Page 21: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/21.jpg)
Logaritmická funkce1 ,0 ,log ≠>= aaxy a
![Page 22: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/22.jpg)
Hyperbolické funkce
2eecosh ,
2eesinh
xxxx
xyxy−− +
==−
==
![Page 23: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/23.jpg)
Hyperbolické funkce
xx
xx
xx
xx
xxxy
xxxy −
−
−
−
−+
===+−
===eeee
sinhcoshcotgh ,
eeee
coshsinhtgh
![Page 24: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/24.jpg)
Úlohy1. Rozhodněte, zda jsou funkcemi relace:a) ( ){ }01;,1 =+−×∈= xyRRyxf ,
b) ( ){ }0,1;,2 ≥=+×∈= yyxRRyxf ,
c) ( ){ }0222;, 223 =+−−+×∈= yxyxRRyxf .
2. Určete definiční obory funkcí
a) xx
yf−
=1:1 ,
b) 6
34: 232 −
+−=x
xxyf ,
c) xyf 2cos:3 = ,d) ( )( )xyf lnlnln:4 = .
3. Sestrojte grafy funkcía) xxyg 232:1 +−= ,
b) 3:2 −= xyg ,
c) ( )23 sgn: xyg = ,
d) { }24 ,max: xxyg = .
e) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= π
34sin31 ttf ,
![Page 25: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/25.jpg)
Úlohy3. Sestrojte grafy funkcí
f) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= π
322sin22 ttf ,
g) ( ) 12
3cos21
3 −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
πttf ,
h) ( ) ( )ϕω += tAtf sin4 , +∈ RA ϕω ,, ,i) ( ) ( )ϕω += tAtf cos5 , +∈ RA ϕω ,, ,j) ( ) t
6 e−=tf ,k) ( ) -2t
7 e=tf ,l) ( ) 3e2 5-t
8 +=tf ,m) ( ) ϕω += tAtf e9 , +∈ RA ϕω ,, ,n) ( ) ( )ϕωγ += − tAtf t sine10 , +∈ RA γϕω ,,, .4. Rozhodněte, zda jsou si rovny funkce hgf ,, .
xxyf
+= 2
1: , 22
1:xx
yg+
= , xx
yh+
−=1
11: .
5. Rozhodněte, zda jsou sudé nebo liché funkce:a) 54: 24
1 +−= xxyf ,b) xxyf sin2tg:2 += ,c) 1:3 −= xyf ,
d) 1:4 −= xyf .
![Page 26: Proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf · Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060718/607e34677fac1e2bdb759a3c/html5/thumbnails/26.jpg)
Úlohy6. Zjistěte, zda jsou dané funkce periodické, a v kladném případě určete periodu:
a) 4
cos3
sin: xxyf ππ+= ,
b) xyg sin: = ,
c) 2sin: xyh = ,
d) 3
3tg-2
tg2: xxy =ϕ .
7. Dokažte, že funkce 1
2:+
=x
xyf je na intervalu ( )∞− ,1 rostoucí.
8. Rozhodněte, zda jsou omezené, shora omezené nebo zdola omezené funkce dané vzorci:a) ( )∞∞−∈++−= ,,472 2 xxxy ,b) 2,2,432 −∈+−= xxxy ,
c) ( )∞∞−∈+−
= ,,11
2
2
xxxy .
9. Dokažte, že k daným funkcím existují funkce inverzní a najděte je:a) 5,2,1: 2 ∈−= xxyf ,
b) { }3,3
2: −−∈+
= Rxx
xyg ,
c) ( 5,,2710: 2 ∞−∈−+−= xxxyϕ ,
d) )∞∈−+−= ,5,2710: 2 xxxyψ .