prosiding seminar nasional matematika dan terapannya · pdf fileyogyakarta paskalia ......
TRANSCRIPT
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016
p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392
GEOMETRI TRANSFORMASI DALAM MOTIF BATIK KAWUNG
YOGYAKARTA
Paskalia Pradanti
Universitas Sanata Dharma
Maria Rettian Anggita Sari
Universitas Sanata Dharma
ABSTRACT. Batik is one of Yogyakarta cultural element and one of known batik motif
in Yogyakarta named kawung. Ethnomathematics is a research field that studies the
relation between mathematics and culture. Mathematical aspects found in kawung motif
could be studied in the field of ethnomathematics and the mathematical aspect studied in
this research is transformation geometry. Making processes of kawung motif were
described in this paper using transformation geometry concepts. From this research
results, it could be showed that mathematics is found in Yogyakarta cultural element,
especially in the making of kawung batik motif.
Keywords: ethnomathematics, yogyakarta batik, kawung, transformation geometry
ABSTRAK. Salah satu unsur budaya yang berkembang di Yogyakarta adalah batik.
Motif batik yogyakarta yang banyak dikenal oleh masyarakat. Suatu bidang ilmu yang
mempelajari hubungan antara budaya dan matematika adalah etnomatematika. Melalui
etnomatematika dapat dikaji berbagai aspek matematis yang dapat ditemukan dalam
motif kawung, termasuk aspek goemetri transformasi. Proses penyusunan motif kawung
dijelaskan dalam makalah ini dengan menggunakan konsep goemetri transformasi. Dari
penelitian ini dapat ditunjukkan bahwa matematika ditemukan dalam unsur budaya
yogyakarta khususnya digunakan pada penyusunan motif batik kawung.
Kata Kunci: etnomatematika, batik yogyakarta, kawung, geometri transformasi
1. PENDAHULUAN
Yogyakarta memiliki berbagai macam budaya dengan berbagai konteks
atau unsur budaya, seperti bahasa, kebiasaan, mitos, serta simbol. Batik
merupakan salah satu unsur budaya yang berkembang di Yogyakarta. Batik
ditetapkan oleh UNESCO sebagai Masterpieces of the Oral and Intangibel
Heritage of Humanity pada tanggal 2 Oktober 2009 dan tanggal 2 Oktober
ditetapkan sebagai Hari Batik Nasional oleh Pemerintah Indonesia. Dengan
demikian, batik semakin dikenal oleh masyarakat Indonesia, termasuk
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung 358
Purwokerto, 3 Desember 2016
Yogyakarta. Berbagai motif batik yang berkembang di Yogyakarta juga semakin
dikenal oleh masyarakat Yogyakarta.
Motif batik dari berbagai daerah yang merupakan representasi dari
lingkungan dan filosofi kehidupan suatu daerah memiliki ciri khas masing-
masing. Motif batik yang berkembang di Yogyakarta memiliki ciri khas latar atau
warna dasar kain hitam dan putih dengan warna batik putih, biru tua kehitaman,
dan cokelat soga. Kawung merupakan salah satu motif batik yang berbentuk
geometris dan banyak dikenal oleh masyarakat Yogyakarta.
Istilah etnomatematika diperkenalkan oleh Ubiratan D’Ambrosio (1985:
45) yang menyatakan bahwa etnomatematika merupakan matematika yang
digunakan dalam kelompok-kelompok budaya yang dapat diidentifikasi.
Etnomatematika dapat dipahami sebagai suatu bidang ilmu yang mempelajari
hubungan antara matematika dan budaya. Melalui etnomatematika, dapat dikaji
berbagai aspek matematis yang terdapat dalam unsur penyusun motif kawung.
Bishop (1988) mengelompokkan aspek matematika berdasarkan enam aktivitas
matematika fundamental, yaitu menghitung (counting), menempatkan (locating),
mengukur (measuring), mendesain (designing), bermain (playing), menjelaskan
(explaining). Aspek matematis yang akan dikaji dalam artikel ini yaitu aspek
geometri transformasi yang digunakan dalam menyusun unsur penyusun motif
kawung.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
2.1 Motif Batik Kawung Yogyakarta
Motif kawung dipakai oleh raja dan keluarga dekatnya sebagai lambang
keadilan dan keperkasaan. Unsur motif kawung berupa empat bulatan dengan
sebuah titik pusat. Titik pusat pada unsur ini melambangkan seorang raja dan para
pembantu
yang mendampingi dilanbangkan oleh empat bulatan. Motif kawung khas
Yogyakarta dapat dilihat pada Gambar 1.
359 P. Pradanti dan M. R. A. Sari
Purwokerto, 3 Desember 2016
Gambar 1. Motif batik kawung Yogyakarta.
Unsur motif kawung yang berupa empat bulatan dapat didekati dengan
bangun datar elips. Satu unsur motif kawung dapat disusun dari satu elips yang
ditransformasikan berdasarkan konsep transformasi seperti translasi, refleksi, atau
rotasi. Proses penyusunan satu unsur motif kawung dapat dilakukan dengan
berbagai cara dan urutan transformasi tertentu. Transformasi yang digunakan pada
artikel ini yaitu rotasi dan refleksi. Cara penyusunan unsur motif kawung
dijelaskan pada bagian berikutnya.
2.2 Penyusunan Motif Batik Kawung Yogyakarta
Menurut Rosa dan Orey (2010) dalam Rosa dan Orey (2011),
ethnomodeling adalah pendekatan pedagogis yang menghubungkan aspek budaya
dari matematika dengan aspek akademis. Bassanezi (2002) dan D’Ambrosio
(2000) dalam Rosa dan Orey (2012: 12) menyatakan bahwa ethnomodeling
merupakan proses elaborasi masalah dan pertanyaan yang tumbuh dari situasi
nyata yang membentuk suatu gambaran atau makna dari versi matematika yang
teridealisasi. Penyelidikan-penyelidikan yang dilakukan dalam pemodelan
berguna dalam penerjemahan konteks-konteks etnomatematika (Bassanezi, 2002;
Biembengut, 2000; Ferreira, 2004; Rosa dan Orey, 2007; Rios, 2000 dalam Rosa
dan Orey, 2012:12). Ethnomodeling yang dilakukan pada artikel ini yaitu
penyusunan unsur motif kawung menggunakan konsep-konsep pada geometri
transformasi.
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung 360
Purwokerto, 3 Desember 2016
Transformasi yang digunakan untuk menyusun satu unsur motif kawung
dalam artikel ini adalah rotasi. Elips yang dirotasikan adalah elips yang
diperoleh dengan merotasikan elips terhadap pusat putaran dengan sudut
putar . Elips merupakan elips yang sumbu mayornya sejajar dengan sumbu-
. Persamaan elips yang yaitu
dengan syarat , , dan .
Berdasarkan persamaan elips dan syarat-syarat tersebut, diperoleh:
((
*
(
*
) ((
*
(
*
)
(
*
(
*
(
*
(
*
(
*
(
*
(
*
(
*
(
*
(
*
(1)
dengan (
)
(
)
.
Persamaan (1) dapat ditulis:
(
*
(
*
(
)
(
)
(
)
(
)
(2)
dengan
dan
.
Persamaan (2) merupakan persamaan elips dengan titik pusat (
),
panjang sumbu mayor , panjang sumbu minor , dan jarak fokus di mana
361 P. Pradanti dan M. R. A. Sari
Purwokerto, 3 Desember 2016
√ . Puncak elips terletak pada titik (
), (
),
(
), dan (
). Sedangkan koordinat fokus elips adalah
(
) dan (
).
Rotasi titik terhadap pusat putaran dan sudut putar
dilakukan dengan langkah sebagai berikut:
(
* (
) ( )
(
* (
√
√
√
√
)( )
(
* (
√
√
√
√
)
(
* (
√
√
√
√
)
dengan titik merupakan hasil rotasi titik .
Rotasi elips dapat dilakukan cukup dengan merotasikan titik puncak
terhadap pusat putaran dan sudut putar untuk
dan
.
Hasil rotasi titik puncak (
) yaitu
(
* (
√ (
*
√ (
*
)
Sedangkan hasil rotasi titik puncak (
) yaitu
(
* (
√ (
*
√ (
*
)
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung 362
Purwokerto, 3 Desember 2016
Hasil rotasi titik puncak (
) yaitu
(
* (
√ (
*
√
√ (
*
√
)
Sedangkan hasil rotasi titik puncak (
) yaitu
(
* (
√ (
*
√
√ (
*
√
)
Sehingga diperoleh elips yang melalui
,
,
, dan
.
Satu unsur motif kawung disusun dengan merotasikan titik puncak elips
terhadap pusat putaran secara berturut-turut dengan sudut putar
dan . Rotasi titik terhadap pusat putaran dan sudut putar
dilakukan dengan langkah sebagai berikut
(
* (
) (
*
(
* (
) (
*
(
* (
*
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√ (
)
)
yaitu
(
* (
√ (
*
√ (
*
)
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√ (
)
) yaitu
(
* (
√ (
*
√ (
*
)
363 P. Pradanti dan M. R. A. Sari
Purwokerto, 3 Desember 2016
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√
√ (
)
√
) yaitu
(
* (
√ (
*
√
√ (
*
√
)
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√
√ (
)
√
) yaitu
(
* (
√ (
*
√
√ (
*
√
)
Sehingga diperoleh elips yang melalui
,
,
, dan
.
Rotasi titik terhadap pusat putaran dan sudut putar
dilakukan dengan langkah sebagai berikut
(
* (
) (
*
(
* (
) (
*
(
* (
*
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√ (
)
)
yaitu
(
* (
√ (
*
√ (
*
)
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√ (
)
) yaitu
(
* (
√ (
*
√ (
*
)
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung 364
Purwokerto, 3 Desember 2016
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√
√ (
)
√
) yaitu
(
* (
√ (
*
√
√ (
*
√
)
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√
√ (
)
√
) yaitu
(
* (
√ (
*
√
√ (
*
√
)
Sehingga diperoleh yang melalui
,
,
, dan
.
Rotasi titik terhadap pusat putaran dan sudut putar
dilakukan dengan langkah sebagai berikut
(
* (
) (
*
(
* (
) (
*
(
* (
*
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√ (
)
)
yaitu
(
) (
√ (
*
√ (
*
)
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√ (
)
) yaitu
(
) (
√ (
*
√ (
*
)
365 P. Pradanti dan M. R. A. Sari
Purwokerto, 3 Desember 2016
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√
√ (
)
√
) yaitu
(
) (
√ (
*
√
√ (
*
√
)
Hasil rotasi titik puncak (
√ (
)
√
√ (
)
√
) yaitu
(
) (
√ (
*
√
√ (
*
√
)
Sehingga diperoleh persamaan elips yang melalui (
), (
),
(
), dan (
).
Jadi, diperoleh elips , , , dan sebagai penyusun satu unsur
motif kawung. Titik-titk puncak elips , , dan dapat ditentukan tanpa
harus melakukan rotasi secara berurutan mulai dari sudut putar , , dan
karena titik-titik puncak tersebut merupakan hasil rotasi titik puncak .
2.3 Contoh Penyusunan Motif Batik Kawung Yogyakarta
Pada contoh penyusunan satu unsur motif batik kawung digunakan
persamaan elips . Dari persamaan tersebut
diperoleh , , , , , , , ,
, , titik puncak , , ,dan .
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung 366
Purwokerto, 3 Desember 2016
Gambar 2. Sketsa elips
Rotasi titik puncak elips terhadap pusat putaran dan sudut putar
adalah sebagai berikut. Hasil rotasi titik puncak yaitu
(
* (
√
√
) (
√
√
)
Hasil rotasi titik puncak yaitu
(
* (
√
√
) (
√
√
)
Hasil rotasi titik puncak yaitu
(
* (
√ √
√ √
) (
√
√
)
Hasil rotasi titik puncak yaitu
(
* (
√ √
√ √
) (
√
√
)
Sehingga diperoleh elips yang melalui
,
,
, dan
.
367 P. Pradanti dan M. R. A. Sari
Purwokerto, 3 Desember 2016
Rotasi titik terhadap pusat putaran dan sudut putar
adalah sebagai berikut. Hasil rotasi titik puncak (
√
√ ) yaitu
(
* (
√
√
)
Hasil rotasi titik punca(
√
√ )k yaitu
(
* (
√
√
)
Hasil rotasi titik puncak (
√
√ ) yaitu
(
* (
√
√
)
Hasil rotasi titik puncak (
√
√ ) yaitu
(
* (
√
√
)
Sehingga diperoleh elips yang melalui
,
,
, dan
.
Rotasi titik terhadap pusat putaran dan sudut putar
adalah sebagai berikut. Hasil rotasi titik puncak (
√
√ ) yaitu
(
* (
√
√
)
Hasil rotasi titik puncak (
√
√ ) yaitu
(
* (
√
√
)
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung 368
Purwokerto, 3 Desember 2016
Hasil rotasi titik puncak (
√
√ ) yaitu
(
* (
√
√
)
Hasil rotasi titik puncak (
√
√ ) yaitu
(
* (
√
√
)
Sehingga diperoleh elips yang melalui
,
,
,
dan
.
Rotasi titik terhadap pusat putaran dan sudut putar
adalah sebagai berikut. Hasil rotasi titik puncak (
√
√ ) yaitu
(
) (
√
√
)(
*
Hasil rotasi titik puncak (
√
√ ) yaitu
(
) (
√
√
)
Hasil rotasi titik puncak (
√
√ ) yaitu
(
) (
√
√
)
Hasil rotasi titik puncak (
√
√ ) yaitu
(
) (
√
√
)
369 P. Pradanti dan M. R. A. Sari
Purwokerto, 3 Desember 2016
Sehingga diperoleh elips yang melalui (
), (
), (
),
dan (
).
Gambar 3. Sketsa hasil contoh penyusunan satu unsur motif batik kawung.
3. KESIMPULAN DAN SARAN
Bentuk unsur motif kawung Yogyakarta dapat didekati dengan bangun datar
elips. Elips yang digunakan untuk menyusun satu unsur elips merupakan elips horizontal.
Hasil rotasi elips tersebut terhadap suatu titik pusat dengan sudut putar kemudian
dirotasikan dengan sudut putar , , dan untuk menyusun unsur motif
kawung. Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa terdapat aspek matematis yang
digunakan dalam unsur budaya Yogyakarta yaitu motif batik kawung. Aspek matematis
yang digunakan termasuk dalam kategori aktivitas matematika fundamental mendesain
(designing).
Persamaan umum elips hasil rotasi belum dirumuskan dalam artikel ini. Oleh
karena itu, dapat dilakukan penelitian untuk menentukan persamaan umum elips yang
digunakan dalam menyusun motif batik kawung. Selain itu dapat pula dilakukan
penelitian tentang penyusunan unsur motif batik kawung atau motif lainnya
menggunakan jenis transformasi yang lain.
DAFTAR PUSTAKA
Bishop, Alan J., Mathematical Enculturation, Kluwer, 1988.
𝑆𝑖𝑣 𝑆
𝑆 𝑆
𝑃
Geometri Transformasi dalam Motif Batik Kawung 370
Purwokerto, 3 Desember 2016
D’Ambrosio, Ubiratan, Ethnomathematics and its Place in the History and
Pedagogy of Mathematics, For the Learning of Mathematics, 5(1) (1985),
44-48.
Martin, G. E., Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, Springer-
Verlag, New York, 1982
Rosa, M. dan Orey, D. C., Ethnomathematics: The Cultural Aspects of
Mathematics, Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 4(2) (2011), 32-
54.
_______________________________, An Ethnomathematical Study of the
Symmetrical Freedom Quilts, Symmetry: Culture and Science, 23(2) (2012),
191-220.
_______________________________, Ethnomathematics: Connecting Cultural
Aspects of Mathematics through Culturally Relevant Pedagogy, Proceedings
of the Eighth International Mathematics Education and Society Conference
Volume 3, Portland, Oregon, Amerika Serikat, 21-26 Juni 2015.
Susanta, Geometri Transformasi, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Gadjah Mada, 1990.
Kebermaknaan Batik Kraton Motif Batik Larangan, Nusantaraku, 27 Januari
2014, http://akucintanusantaraku.blogspot.co.id/2014/01/kebermaknaan-
batik-kraton-motif-batik.html, diakses pada 25 November 2016.