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Protostellar disks: gas/grain dynamics (Part I) AST 541 Konstan>n Bochkarev

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Protostellar  disks:  gas/grain  dynamics  (Part  I)  

AST  541  Konstan>n  Bochkarev  

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Outline  •  Mo>va>on  •  Mo>on  of  individual  par>cles  – Aerodynamic  drag  laws  – Radial  driI  – Ver>cal  seKling  

•  Modeling  of  coagula>on  and  seKling  •  Goldreich-­‐Ward  mechanism  – Classical  analysis  – Problems,  other  possibili>es  

•  Summary    

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Mo>va>on:  planet  forma>on  

Size  of  block   Forma0on  mechanism  Dust  (<  cm)  à    “Rocks”(meter)     Dusty  par>cles  collide  and  s>ck  

together  due  to  molecular  forces  “Rocks”(meter)  à  Planetesimals  (10  km)   ??????  Planetesimals  (10  km)  à  Planets  (>1000  km)  

Blocks  collide  and  merge  due  to  gravita>onal  aKrac>on  

PROFIT!  

As  we  know,  planets  form  from  dust  in  protoplanetary  disks.  It  requires    growth  in  size  by  many  orders  of  magnitude,  and  different  mechanisms    operate  in  different  size  regimes.  

Forma>on  of  planetesimals  is  not  straigh_orward.  To  understand  it,  we    need  to  carefully  consider  collec>ve  gravita>onal  effects  of  par>cles    and  interac>on  between  dust  and  gas.  

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Mo>va>on:  planet  forma>on  

(Chiang  &  Youdin  2010)  

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Mo>va>on:  disks  around  young  stars  

•  Thanks  to  recent  developments  in  infrared  astronomy,  we  can  now  directly  study  protoplanetary  disks  around  T  Tauri  stars,  Herbig  Ae/Be  stars  and  even  Brown  Dwarfs.  

•  The  task  of  the  theory  is  to  model  the  evolu>on  of  dust  and  gas  in  the  disk,  compute  spectra  and  compare  them  with  the  observa>ons.  

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Aerodynamic  drag  laws  Spherical  par>cle  of  radius  a,  moving  through  the  gas  with  velocity  v,    experiences  an  aerodynamic  drag  force:  

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Radial  driI:  basic  rela>ons  Due  to  pressure  gradient  azimuthal  velocity  of  gas  deviates    from  Keplerian  velocity.  This  difference  is  small  (typically  <1%),    but  important.  

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Radial  driI:  equa>ons  of  mo>on  

Let’s  define  fric>on  >me  scale  as  

Equa>ons  of  mo>on  for  the  dust  par>cle  are  

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Radial  driI:  final  result  AIer  some  approxima>ons  and  algebra,  we  obtain  the  formula    for  radial  driI:    

Two  limi>ng  cases:    1.  Small  par>cles    They  are  well  coupled  to  the  gas  and  moving  with  almost  gas  velocity.  But  they    don’t  experience  pressure  gradient  and  that’s  causes  radial  driI.    2.  Rocks  They  are  moving  with  almost  Keplerian  velocity  and    thus  experience  headwind  from  the  gas,  which  saps  their  angular  momentum.  

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Radial  driI:  conclusion  

Maximum  driI  is  obtained  for  grains  of  intermediate  size  

Assuming  h/r  =  0.05,  at  a  distance  1  AU  we  get  an  es>mate  for  the    driIing  >me  of  100  years.  

Radial  dri6  0me  for  meter-­‐scale  bodies  is  much  less  than  disk  life0me.  

Planetesimal  forma0on  must  be  a  rapid  process!  (Armitage  2007)  

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Ver>cal  seKling:  simple  es>mate  Consider  ver>cally  isothermal  thin  disk  with  surface  mass  density  Σ  and  scale  height  h.  The  density  profile  is        In  the  absence  of  turbulence  ver>cal  seKling  velocity  is  determined  from  the  balance  between  ver>cal  component  of  gravity  and  the  drag  force.  In  Epstein  regime  we  have                  For  example,  for  micron  sized  par>cles  at  z=h  at  1  AU  the  seKling  >me  scale  is  about  2×10^5  years,  which  is  order  of  magnitude  less  than  typical  disk  life>me.  For  sizes  <0.1  micron  these  >mescales  are  comparable.        

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Ver>cal  seKling:  turbulent  s>rring  

In  reality,  the  disk  is  turbulent,  and  turbulence  will  s>r  up  the  seKling  par>cles.  To  make  the  simplest  es>mate  of  this  effect,  let’s  assume  ver>cal  diffusion  coefficient  to  be  equal  to  turbulent  viscosity:      To  es>mate  the  resul>ng  thickness  of  the  disk,  let’s  equate  the  s>rring  >me  scale  with  the  seKling  >me  scale:        For  example,  for  the  disk  with  and  micron  sized  par>cles  we  have  z≈3h.  On  the  other  hand,  cm-­‐sized  par>cles  will  seKle  to  z≈h  even  if  the  disk  is  fully  turbulent.  

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Ver>cal  seKling:  coagula>on  

Coagula>on  of  par>cles  can  also  significantly  affect  the  ver>cal  seKling.  Consider  a  par>cle  moving  through  the  dust  background    and  accre>ng  all  encountered    par>cles  (“rain  drop  model”).  The  equa>ons  of  mo>on  are              Here  f  is  dust  to  gas  ra>o.  In  the  figure  are  results  for  the  0.01,  0.1  and  1  micron  par>cles.  Coagula>on  can  speed  up  the  seKling  by  two  orders  of  magnitude!  

(Armitage  2007)  

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Self-­‐consistent  modeling  of  coagula>on  (Dullemond,  Dominik  2005)  

To  model  the  coagula>on  and  seKling  processes  self-­‐consistently,  we  need  to  solve  the  coagula>on  equa>on  and  seKling/mixing  equa>on:                      Here  f(r,z,m,t)  is  the  distribu>on  func>on  of  dusty  par>cles,  σ(m’,m)  is  the    collisional  cross-­‐sec>on  of  par>cles  m  and  m’,  Δv(m’,m)  is  their  average    rela>ve  velocity,  D  is  the  turbulent  diffusion  coefficient.  

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Self-­‐consistent  modeling  of  coagula>on  (Dullemond,  Dominik  2005)  

Three  processes  leading  to  rela>ve  mo>on  were  taken  into  account:  Brownian  mo>on,  differen>al  seKling  and  turbulence.            The  expression  for  turbulent  velocity  is  complicated  and  I  don’t  show  it  here.    The  coagula>on  and  seKling  equa>ons  were  solved  simultaneously  using    operator  spliung  technique.  

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Self-­‐consistent  modeling  of  coagula>on  (Dullemond,  Dominik  2005)  

(Dullemond  &  Dominik  2005)  

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Self-­‐consistent  modeling  of  coagula>on  (Dullemond,  Dominik  2005)  

•  Model  S1:  Brownian  mo>on  only.  There  is  one  peak  in  the  distribu>on,  which  slowly  moves  toward  larger  sizes.  

•  Model  S2:  Brownian  +  dif.  seKling.  Ini>al  growth  is  due  to  Brownian  mo>on,  but      at  t  =  500  years  there  is  a  “rain  shower”  of  mm-­‐sizes  par>cles  because  of  “rain                                    drop  effect”.  

•   Model  S3:  Brownian  +  seKling  +  turbulent  mixing.  Rained  down  grains  can  be      s>rred  up  from  the  midplane  and  rain  down  again,  growing  in  size  even  more.  

•  Model  S4:  Brownian  +  seKling  +  mixing  +  coagula>on  by  turbulence.  Not  very      different  from  the  previous  case.  

•  Models  S5  and  S6:  playing  with  different  cross-­‐sec>ons.  

 Conclusion:  The  coagula>on  in  this  model  of  protoplanetary  disk  proceeds  too  fast,  the  >me  scale  is  two  to  three  magnitudes  too  short  to  be  consistent  with  observa>ons  of  T  Tauri  star  disks.  We  need  to  include  some  processes  in  the  model,  which  replenish  small  grains,  for  example  fragmenta>on  by  collisions.  

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Goldreich-­‐Ward  mechanism  

Possible  resolu>on  to  the  problem    of  planetesimal  forma>on  –  gravita>onal  fragmenta>on  of  a  dense  par>cle  sub-­‐disk  near  the  midplane  of  the  gas  disk  (Goldreich,  Ward  1973).  This  mechanism  can  help  grains  successfully  pass  the  dangerous  zone  of  intermediate  sizes  (0.1-­‐10  m).  However,  there  are  several  problems  with  this  idea  in  its  original  form,  which  we’ll  discuss  later.  

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GW  mechanism:  classical  analysis  

For  simplicity,  let’s  consider  rota>ng  thin  fluid  sheet,  with  constant  surface  density  and    angular  velocity.  Equa>ons  of  mo>on  (in  corota>ng  frame):  

Here  p  =  p(Σ)  is  ver>cally  integrated  pressure,  and  we  define  sound  speed  as  

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GW  mechanism:  classical  analysis  

AIer  introducing  linear  perturba>ons  and  decomposing  them  in  Fourier  modes,  we  obtain  the  dispersion  rela>on:  

The  disk  is  stable  if  

Differen>al  rota>on  and  global  effects  can  only  change  cri>cal  value  of  Q.  For  the  disk  of  solid  par>cles,  the  expression  contains  the  velocity  dispersion  σ  instead  of  speed  of  sound.  

(Armitage  2007)  

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GW  mechanism:  problems  Let’s  apply  this  stability  criterion  for  the    minimum  mass  Solar  Nebula  model  with                        at  1  AU.  We  obtain  for  the  dust  velocity  dispersion        This  leads  to  the  ra>o  of  the  scale  heights  for  the  dust  and  the  gas:        The  dusty  sub-­‐disk  must  be  extremely  thin!  But  as  we  learned  previously,  turbulence  will  likely  s>r  up  the  par>cles  from  the  midplane.  Even  if  the  gaseous  disk  is  non-­‐turbulent,  the  shear  between  solid  sub-­‐disk  and  the  gas  can  give  rise  to  Kelvin-­‐Helmholtz  instability.  

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Other  ways  to  gravita>onal  instability  

To  ini>ate  gravita>onal  collapse,  we  need  to  provide  high  local    concentra>on  of  dust.  This  can  obtained  by  different  ways.  Want  to  learn  more  about  turbulent  clumping  and  drag  instabili0es?    Listen  to  Chris!  

(Chiang  &  Youdin  2010)  

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Summary  •  Due  to  aerodynamic  drag  force,  solid  par>cles  in  protoplanetary  

disks  are  driIing  inward.  The  maximum  driI  speed  is  for  the  par>cles  of  intermediate  size  (0.1  –  10  m),  and  corresponds  to  falling  >me  of  100  years.  This  poses  a  problem  for  planetesimal  forma>on.  

•  Small  dusty  par>cles  in  the  disk  interact  with  gas,  collide  and  coagulate.  But  all  these  processes  are  not  enough  to  explain  the  observed  proper>es  of  disk  around  young  stars.  Some  mechanism  is  needed  to  recreate  small  grains,  e.g.  fragmenta>on  by  collisions.  

•  One  possible  method  to  form  planetesimals  –  gravita>onal  collapse  of  dense  solid  sub-­‐disk  (Goldreich-­‐Ward  mechanism).  But  it  is  problema>c  to  provide  sufficiently  thin  and  dense  dusty  sub-­‐disk.  However,  we  can  also  trigger  gravita>onal  collapse  by  local  clumping  of  dust.  

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References  

•  Armitage,  Philip  J.,  2007,  „Lecture  notes  on  the  forma>on  and  early  evolu>on  of  planetary  systems“,  eprint  arXiv:astro-­‐ph/0701485  

•  Chiang,  E  &  Youdin,  A.  N.,  2010,  Annual  Review  of  Earth  and  Planetary  Sciences,  vol.  38,  p.  493-­‐522  

•  Dullemond,  C.  P.,  &  Dominik,  C.  2005,  A&A,  434,  971  •  Goldreich,  P.,  &  Ward,  W.  R.  1973,  ApJ,  183,  1051  •  Weidenschilling,  S.  J.  1977,  MNRAS,  180,  57  


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