prova bb 3 resolvida matematica
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PROVA DE MATEMÁTICA E FINANCEIRA BANCO DO BRASIL 2007 - 3 A numeração segue a ordem do caderno YANQUE.
ENUNCIADO PRINCIPAL
Segurança: de que forma você cuida da segurança da informação de sua
empresa?
Resultado da enquete, com 500 votos
resposta
% de usuários
que deram essa
resposta
I. instalei antivírus, anti-spam e firewall e cuido da atualização todos os dias
41,6
II. passo e atualizo antivírus todos os dias
29
III. não tenho idéia de como é feita a segurança dos dados de minha empresa
13
IV. instalei antivírus, anti-spam e firewall, mas não cuido da atualização
10
V. passo e atualizo antivírus uma vez por mês
6,4
Pequenas empresas grandes negócios, nº 222, jul. 2007, p. 8 (com adaptação) Com relação às informações contidas no texto acima e supondo que as porcentagem das respostas de I a V sejam independentes da quantidade de entrevistados e que cada um deles deu exatamente uma das respostas acima, julgue os itens subseqüentes.
48.(CESPE) Se x é a quantidade de entrevistados e y é a quantidade dos que responderam ‘passo e atualizo antivírus uma
vez por mês”, então x35
32y = .
RESOLUÇÃO I) Tabela dada no enunciado
Segurança: de que forma você cuida da segurança da informação de sua
empresa?
Resultado da enquete, com 500 votos
resposta
% de usuários que deram
essa resposta
I. instalei antivírus, anti-spam e firewall e cuido da atualização todos os dias
41,6 208
II. passo e atualizo antivírus todos os dias
29 145
III. não tenho idéia de como é feita a segurança dos dados de minha empresa
13 65
IV. instalei antivírus, anti-spam e firewall, mas não cuido da atualização
10 50
V. passo e atualizo antivírus uma vez por mês
6,4 32
100 500 Pequenas empresas grandes negócios, nº
222, jul. 2007, p. 8 (com adaptação)
II) Veja o item “V” da tabela >
otaram.
y =
y é o percentual dos que votaram. > x é a quantidade de pessoas que v
100
6,4x y = ⇒
1000
64 x fatorando
o 64 e 1000, obtemos:
y =
⇒
52525252
222222
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅ x simplificando,
obtemos:
y =
⇒
x y =⇒ 35
32
555
222
⋅⋅
⋅⋅ x
III) Outro modo de resolução
> Basta dividir 35
32 =
125
8 = 0,064 = 6,4%
é o percentual dos que responderam “passo e atualizo antivírus uma vez por mês”, item V da tabela. IV) Afirmativa da CESPE
‘passo e atualizo
antivírus uma vez por mês”, então
> “...dos que responderam
x35
32y = .”
Afirmativa Correta
49.(CESPE) A média aritmética das m as
ESOLUÇÃO
quantidades de entrevistados que derarespostas II, III ou IV é superior a 87. R I) tabela dada no enunciado
Segurança: de que forma você cuida da segurança da informação de sua
empresa?
Resultado da enquete, com 500 votos
resposta
% de usuários que deram
e ssa resposta
I. instalei antivírus, e 41,6 208 anti-spam e firewall
cuido da atualização todos os dias II. passo e atualizo
as 29 antivírus todos os di
145
III. não tenho idéia de
dados 13 como é feita a segurança dos de minha empresa
65
IV. instalei antivírus,
10 anti-spam e firewall, mas não cuido da atualização
50
V. passo e atualizo r 6,4 32 antivírus uma vez po
mês 100 500
Pequenas empresas gr negó nº 222, jul. 2007, p. 8 (com adaptação)
andes cios,
II) Veja tabela acima, itens II, III e IV > Cálculo da média dos que responderam os itens II, III e IV, tomando a quantidade de pessoas. III) Cálculo
3
x(IV)x(III)x(II)x
++= ⇒
3
5065145x
++= ⇒
3
260x = ⇒
86,66x ≅
IV) Afirmativa da CESPE > ”... é superior a 87.” Afirmativa Errada
50.(CESPE) Na amostra de 500 entrevistados, escolhendo-se um deles ao acaso, a probabilidade de ele não ter dado a resposta I nem a II é superior a 0,3. RESOLUÇÃO I) Tabela dada no enunciado
Segurança: de que forma você cuida da segurança da informação de sua
empresa?
Resultado da enquete, com 500 votos
resposta
% de usuários que deram
essa resposta
I. instalei antivírus, anti-spam e firewall e cuido da atualização todos os dias
41,6 208
II. passo e atualizo antivírus todos os dias
29 145
III. não tenho idéia de como é feita a segurança dos dados de minha empresa
13 65
IV. instalei antivírus, anti-spam e firewall, mas não cuido da atualização
10 50
V. passo e atualizo antivírus uma vez por mês
6,4 32
100 500 Pequenas empresas grandes negócios, nº
222, jul. 2007, p. 8 (com adaptação)
II) Veja tabela acima > Como as respostas são independentes, a probabilidade de não ter dado as resposta I e II, é ter dado as outras respostas, ou seja, dado as respostas III, IV ou V. III) Cálculo
P(III ou IV ou V) = n(E)
n(III)+
n(E)
n(IV)+
n(E)
n(V) ⇒
P(III ou IV ou V) = 500
65+
500
50+
500
32 ⇒
P(III ou IV ou V) = 500
147 ⇒
P(III ou IV ou V) = 0,294 IV) Afirmativa da CESPE > “a probabilidade de ele não ter dado a resposta I nem a II é superior a 0,3.” Afirmativa Errada
51.(CESPE) Em uma amostra de 1.200 entrevistados, mais de 490 teriam dado a resposta I. RESOLUÇÃO I) Tabela dada no enunciado
Segurança: de que forma você cuida da segurança da informação de sua
empresa?
Resultado da enquete, com 1 200 votos
resposta
% de usuários que deram
essa resposta
I. instalei antivírus, anti-spam e firewall e cuido da atualização todos os dias
41,6 499,2
Pequenas empresas grandes negócios, nº
222, jul. 2007, p. 8 (com adaptação)
II) Veja tabela acima Calcula-se 41,6% de 1 200 >
III) Cálculo
1 200 x 41,6% = 1 200 x 100
41,6 = 12 x 41,6 =
499,2 IV) Afirmativa da CESPE > “Em uma amostra de 1.200 entrevistados, mais de 490 teriam dado a resposta I.” Afirmativa Correta
ENUNCIADO PRINCIPAL Um grupo de amigos saiu para assistir a um filme no cinema do bairro. Lá chegando, constataram que o preço das entradas para todos, refrigerantes e pipoca era de R$ 585,00. Esse valor deveria ser dividido inicialmente entre todos do grupo, mas, por delicadeza, os integrantes do grupo que moravam nesse bairro revolveram dividir entre eles o valor correspondente ao que cabia aos 4 integrantes que não moravam no bairro, o que acrescentou à despesa de cada um dos primeiros a quantia de R$ 20,00. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
52.(CESPE) No grupo de amigos havia menos de 8 moradores do bairro onde fica o cinema e a cada um deles coube uma despesa superior a R$ 70,00. RESOLUÇÃO I) Dados > Total das despesas R$ 585,00
>Divisão com todos do grupo: x
585.
>Divisão excluindo os 4 amigos do grupo:
4-x
585.
>Acréscimo “per capita” para a última divisão: R$ 20,00. II) Cálculo
x
585 + 20 =
4-x
585 o mínimo múltiplo comum
entre x e (x-4) é x(x-4)
4)-x(x
4)-20x(x4)-585(x +=
4)-x(x
585x multiplicando
a equação por x(x-4), obtemos: 585(x-4) + 20x(x-4) = 585x dividindo a equação por 5, obtemos: 117x – 468 + 4x2 – 16x = 117x 4x2 – 16x – 468 = 0 dividindo por 4 x2 – 4x – 117 = 0 resolvendo a equação do 2º grau (uma opção é usar a fórmula de Bháskara), obtemos as raízes: x1 = 13 elementos no grupo x2 = -9 não serve. Trata-se de quantidade negativa, não faz sentido. III) Conclusão O total de amigos no grupo é 13. O total de amigos do bairro 9 (13-4=9) O pagamento foi feito pelos amigos do bairro,
logo: 65,009
585=
IV) Afirmativa da CESPE > “…No grupo de amigos havia menos de 8 moradores do bairro onde fica o cinema e a cada um deles coube uma despesa superior a R$ 70,00.” Afirmativa Errada
53.(CESPE) Indicando por x a quantidade de pessoas do grupo de amigos e por y a quantia que cada um deles deveria inicialmente desembolsar, é correto afirmar que x e y são tais que x.y = 585 e 20x-4y = 80. RESOLUÇÃO I) Basta verificar pelo item 52 e 53 > Vimos nas questões 52 e 53, que a quantidade de amigos é 13 e que cada um pagaria R$ 45,00. Para a resolução desta questão, basta substituir esses valores em x e y nas equações dadas. Se a igualdade for verificada, então a afirmação está correta. II) Verificação > Em xy=585, substituindo x=13 e y=45 13.45 = 585 Ficou verificada > Em 20x-4y = 80.substituindo x=13 e y=45 20(13) – 4(45) = 80. 260 – 180 = 80 80 = 80 Ficou verificada III) Afirmativa da CESPE > “...é correto afirmar que x e y são tais que x.y = 585 e 20x-4y = 80.” Afirmativa Correta
ENUNCIADO PRINCIPAL Em cada um dos itens subseqüentes, é apresentada uma situação hipotética a respeito de matemática financeira, seguida de uma assertiva a ser julgada.
54.(CESPE) Uma letra de câmbio vence daqui a um ano, com valor nominal de R$ 15.000,00. A pessoa detentora desse título propõe a sua troca por outro, que vence daqui a 3 meses e tem valor nominal de R$ 12.000,00. Nessa situação, se a taxa de juros compostos corrente é de 3% ao mês e se 1,3 é tomado como valor aproximado para 1 ,039, então a troca será financeiramente vantajosa para o detentor do primeiro título. RESOLUÇÃO I) Gráfico representativo com data focal em 3
II) Dados N1 = 12 000 em n = 3 N2 = 15 000 em n = 12 A2 = x i = 3% am = 0,03 am Fator informado: 1 ,039 = 1,3 nd = 12 – 3 = 9 Data focal no mês 3. Procedimento: Desconto racional composto III) Cálculos N = A ( 1 + i ) nd 15 000 = A ( 1 + 3% ) 9 15 000 = A ( 1,03) 9 15 000 = A .1,3
1,3
00015A =
A = 11 538,46 IV) Conclusão
A troca é vantajosa para o detentor do título de R$ 15 000. Calculado pelo desconto racional composto com data focal no mês 3, o valor atual ficará em R$ 11 538,46. Esse valor vai ser trocado pelo novo título oferecido de R$ 12 000, perfazendo a vantagem de 461,54 (12 000 – 11 538,46 = 461,54). V) Afirmativa da CESPE > “...então a troca será financeiramente vantajosa para o detentor do primeiro título.” Afirmativa Correta
55.(CESPE) O capital de R$ 20.000,00 pode ser aplicado à taxa de 72% por um período de 3 anos ou à taxa de juros compostos de 20% ao ano, também por 3 anos. Nesse caso, para o investidor, a primeira forma de aplicação é financeiramente mais vantajosa que a segunda.
0
A
N2=15 000
N1 =12 000
3 12 n
i = 3% am
RESOLUÇÃO I) Dados C = 20 000 i a(3 anos) = 72% ao período de 3 anos i a(1 anos) = 20% ao período de 1 anos data focal 3 II) Há duas formas de cálculo III) 1ª forma 1) Pode-se verificar, fazendo apenas pela taxa acumulada 20% para 3 anos, veja. 1 + i a(3 anos) = (1 + i a(1 anos) )3 1 + i a(3 anos) = (1 + 20% )3 1 + i a(3 anos) = (1 + 0,20)3 1 + i a(3 anos) = (1,20)3 1 + i a(3 anos) = 1,728 i a(3 anos) = 1,728 - 1 i a(3 anos) = 0,728 i a(3 anos) = 72,8 % Comparando a taxa acumulada de 72,8 % obtida nos cálculos, conclui-se que a aplicação a 20% ao ano é mais vantajosa do que aplicar a 72% ao período de 3 anos.
IV) 2ª forma 2) Aplicando as taxa sobre o capital de R$ 20 000. 2.1. Para C = 20 000 i = 72% n = 1 ano M = C ( 1 + i ) n M = 20 000 ( 1 + 72% ) 1
M = 20 000 ( 1 + 0,72 ) 1
M = 20 000 ( 1,72 ) 1
M = 20 000 .1,72
M = 34 400
2.2. Para C = 20 000 i = 20% n = 3 anos M = 20 000 ( 1 + 20% ) 3
M = 20 000 ( 1 + 0,20 ) 3
M = 20 000 ( 1,20 ) 3
M = 20 000 .1,728
M = 34 560
Aplicado a taxa de 20% ao ano é mais vantajoso. V) Afirmativa da CESPE > “...para o investidor, a primeira forma de aplicação é financeiramente mais vantajosa que a segunda.” Afirmativa Errada
56.(CESPE) Marcela tomou R$ 32.000,00 emprestados a juros compostos mensais de 8%. Seis meses depois, ela pagou R$ 18.000,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou a dívida. Nessa situação, considerando-se 1 ,087= 1,7, é correto afirmar que, para liquidar a divida, Marcela pagou mais de R$ 34.000,00. RESOLUÇÃO I) Dados para 1ª etapa C = 32 000 i = 8% am n = 6 meses II) Cálculos para 1ª etapa M = C ( 1 + i ) n M = 32 000 ( 1 + 8% ) 6
M = 20 000 ( 1 + 0,08 ) 6
M = 20 000 ( 1,08 ) 6
III) Dados para 2ª etapa C = 20 000 ( 1,08 ) 6 – 18 000 i = 8% am n = 1 mês Fator informado: 1 ,087= 1,7 IV) Cálculos para 2ª etapa M = C ( 1 + i ) n M = (20 000 ( 1,08 ) 6 – 18 000) ( 1 + 8%)1 M = (20 000 ( 1,08 ) 6 – 18 000) (1,08)1 Multiplique os dois termos por 1,08. Assim procedendo, o primeiro termo ficará multiplicado por ( 1,08 ) 7, cujo fator é informado no enunciado. M = 20 000 ( 1,08 ) 7 – 18 000 (1,08)1 M = 20 000 .1,7 – 18 000 .1,08 M = 54 400 – 19 440 M = 34 960,00 V) Afirmativa da CESPE
“...Marcela pagou mais de R$ 34.000,00.” > Afirmativa Correta
57.(CESPE) Carlos deve a uma instituição financeira um título com valor de resgate de R$ 6.000,00 para vencimento daqui a 5 meses e outro, com valor de resgate de R$ 8.000,00, para vencimento daqui a 10 meses. Nessa situação, se a instituição financeira emprestou as quantias a Carlos à taxa de juros compostos de 2% ao mês, e se Carlos desejar resgatar esses dois títulos no dia de hoje, então ele terá de pagar um valor que, em reais, pode ser expresso
101,02
000651,020008 +⋅
Julgue os itens a seguir, a respeito de seqüências numéricas e sistemas lineares. RESOLUÇÃO
I) Gráfico do testes
II) Dados A1 N1 = 6 000 em n1 = 5 A2 N2 = 8 000 em n2 = 10 i = 2% am = 0,02 am Procedimento: Juros compostos Pagará a importância de: A1 + A2
Fórmula: N = A (1+i)n ⇒ ni)(1
NA
+=
III) Cálculo
A1 + A2 = 1n
i)(1
1N
+
+ 2n
i)(1
2N
+
=
= 52%)(1
0006
+ +
102%)(1
0008
+ =
= 5(1,02)
0006 +
10(1,02)
0008 =
calculando mmc entre 1,025 e 1,0210, obtemos para mmc 1,0210
=10(1,02)
00085(1,02)0006 +⋅
IV) Afirmativa da CESPE > “
pode ser expresso 101,02
000651,020008 +⋅
“ Afirmativa Errada
58.(CESPE) Considere a seguinte situação hipotética.
0
A2
N2=8 000
N1 =6 000
5 10 n
n2 = 10
Florêncio dividiu em três partes a quantia de R$ 10.000,00 e aplicou a primeira em um fundo de investimentos, a segunda em poupança e a terceira, na bolsa de valores. Ao final de um ano dessas aplicações, Florêncio notou que o fundo lhe rendeu, brutos, 8%, a poupança, líquidos, 6%, e a bolsa de valores, brutos, 10%, e esses valores somaram R$ 820,00. No fundo de investimentos, sobre os rendimentos, lhe foram cobrados 20% a título de impostos e taxas administrativas. Da mesma forma, na bolsa de valores ele teve uma despesa de 16% sobre os rendimentos. Na poupança, nada lhe foram cobrados. O total dessas despesas somou R$ 112,00.
n1 = 5 A1
Taxa de 2% am
Nessa situação, é correto afirmar que o que foi aplicado na bolsa de valores é igual ao que foi aplicado na poupança. RESOLUÇÃO I) Dados FI = Fundo de investimento CP = Caderneta de poupança BV = Bolsa de valores Investi- mento
Em: Capital taxa Juro
Impostode
renda FI x 8% J1 20% CP y 6% J2 0% BV z 10% J3 16%
Total 10 000 820 II) Equação do total investido x + y + z = 10 000 III) Equação dos juros J1 + J2 + J3 = 820 8%x + 6%y + 10%z = 820 0,08x + 0,06y + 0,10z = 820 multip. (100) 8x + 6y + 10z = 82 000 divida por 2 4x + 3y + 5z = 41 000 IV) Equação dos impostos
8%x(20%) + 10%z(16%) = 112 0,08.x.0,20 + 0,10.z.0,16 = 112 mult (10000) 8.x.20 + 10.z.16 = 1 120 000 divida por 2 4.x.20 + 5.z.16 = 560 000 divida por 4 20x + 20z = 140 000 divida por 20 x + z = 7 000 V) Sistema formado pelas equações x + y + z = 10 000 4x + 3y + 5z = 41 000 x + z = 7 000 VI) Cálculo Substituindo x + z = 7 000 em x + y + z = 10 000, obtemos: y + (x+ z) = 10 000 y + (7 000) = 10 000 y = 3 000 VII) Cálculo y = 3 000 Substituindo y = 3 000 em 4x + 3y + 5z = 41 000 4x + 3(3 000) + 5z = 41 000 4x + 5z = 41 000 – 9 000 4x + 5z = 32 000 VIII) Resolvendo o sistema 2x2 4x + 5z = 32 000 x + z = 7 000 ⇒ ( x = 7 000 – z) e substituindo em 4x + 5z = 32 000 obtemos: 4(7 000-z) + 5z = 32 000 ⇒ 28 000 – 4z + 5z = 32 000 ⇒ z = 4 000 Para z = 4 000 em x = 7 000 – z, obtemos: x= 7 000 – 4 000 x = 3 000 IX) resultados x = 3 000 aplicado - fundo de investimento y = 3 000 aplicado - caderneta de poupança z = 4 000 aplicado - bolsa de valores X) Afirmativa da CESPE > “...é correto afirmar que o que foi aplicado na bolsa de valores(z = 4 000) é igual ao que foi aplicado na poupança (y = 3 000).” Afirmativa Errada
ENUNCIADO PRINCIPAL
59.(CESPE) No corrente ano, foram realizados no Brasil os Jogos Pan-Americanos, evento que se repete a cada 4 anos. Considerando-se que essa periodicidade seja permanente e que nenhum fato impeça a realização desse evento em algum ano, é correto afirmar que o ano de 3018 é ano de Pan e que até lá, inclusive, esse evento será realizado mais de 250 vezes. RESOLUÇÃO I) Próximo ano do Pan O Pan foi realizado em 2007, o próximo será realizado em 2011, esse será o primeiro termo da seqüência. II) Seqüência Supondo que o ultimo termo da seqüência seja 3018, teremos: (2011, 2015, ..., 3018) A série se dá de 4 em 4 anos, caracterizando uma progressão aritmética “PA” de razão r = 4, a1 = 2011 e supondo o an = 3018. Aplicando os dados na fórmula do termo geral: an = a1 + ( n – 1 )r 3018 = 2011 + ( n – 1 ) 4 1007 = 4 ( n – 1 )
n – 1 = 4
1007
n – 1 = 251,75 n = 252,75 III) Conclusão
O Pan até 3018 será realizado 252 vezes. >> 3018 não será o ano do Pan. Considerado o último termo resultou em quantidades de realizações um número não inteiro. IV) Afirmativa da CESPE > “...é correto afirmar que o ano de 3018 é ano de Pan e que até lá, inclusive, esse evento será realizado mais de 250 vezes.” Afirmativa Errada
ENUNCIADO PRINCIPAL
60.(CESPE) Considere a seguinte situação hipotética. Fagundes saiu de casa com determinada quantia em reais e foi a quatro instituições financeiras diferentes procurar opções para investimentos. Em cada uma das instituições, ele investiu em poupança metade do que possuía e ainda fez um CDB no valor de R$ 2.000,00. Ao final, ele ainda possuía R$ 6.000,00. Nessa situação, é correto afirmar que Fagundes saiu de casa com mais de R$ 160.000,00. RESOLUÇÃO I) Dados > Saiu de casa com uma certa importância “x”. > Ainda sobrou R$ 6 000,00 II) Cálculos > 1ª instituição gastou metade do que tinha e ainda investiu R$ 2 000
2
x - 2 000
> 2ª instituição gastou metade do que sobrou e ainda investiu R$ 2 000
2
00022x−
- 2 000
> 3ª instituição gastou metade do que sobrou e ainda investiu R$ 2 000
2
00022
00022x
−−
- 2 000
> 4ª instituição gastou metade do que sobrou e ainda investiu R$ 2 000
2
00022
00022
00022x
−−
−
- 2 000
II) Sobrou R$ 6 000
2
00022
00022
00022x
−−
−
- 2 000 = 6 000
2
00022
00022x
−−
- 2 000 = 16 000
2
00022x−
- 2 000 = 36 000
2
x - 2 000 = 76 000
2
x = 78 000
x = 156 000 total de dinheiro que Fagundes saiu de casa III) Afirmativa da CESPE
“...Fagundes saiu de casa >com mais de R$ 160.000,00.” Afirmativa Errada OUTRA FORMA DE RESOLUÇÃO I) Outra maneira de resolver o teste Fazendo o caminho inverso, saindo da última instituição, depois para a terceira, para a segunda e finalmente para a primeira, recolhendo o dinheiro investido.
> 4ª instituição Partindo do que sobrou R$ 6 000, soma R$ 2 000 e dobra o resultado (6 000 + 2 000)2 = 16 000. > 3ª instituição Partindo do que totalizou na etapa anterior R$ 16 000, soma R$ 2 000 e dobra o resultado (16 000 + 2 000)2 = 36 000. > 2ª instituição Partindo do que totalizou na etapa anterior R$ 36 000, soma R$ 2 000 e dobra o resultado (36 000 + 2 000)2 = 76 000. > 1ª instituição Partindo do que totalizou na etapa anterior R$ 76 000, soma R$ 2 000 e dobra o resultado (76 000 + 2 000)2 = 156 000. > Fagundes saiu de casa com R$ 156 000 II) Afirmativa da CESPE
“...Fagundes saiu de casa >com mais de R$ 160.000,00.” Afirmativa Errada
FIM DE PROVA