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PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR– 2011 – 1a Fase

RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

Questão 01.

Considerando-se as funções f: R →→→→ R e g: R →→→→ R definidas por f(x) = x – 1 e

g(x) = log(x² + 1), é correto afirmar:

(01) A função f é bijetora, e sua inversa é a função h: R →→→→ R definida por h(x) = x + 1.

(02) O conjunto imagem da função g é o intervalo [0, +∞[.

(04) A função g é uma função par.

(08) Existe um número real x tal que f(g(x)) = g(f(x)).

(16) O ponto (0, 0) pertence ao gráfico da função g.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

A função f é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é igual ao seu contra-domínio R; a função f é

injetora, pois para todo x1 ≠ x2 , f(x1) ≠ f(x2 ), logo é verdadeiro que f é bijetora.

Determinando f – 1 , função inversa de f: substituindo as coordenadas do par (y, x) em f(x) = x – 1, tem-se

x = y – 1 ⇒ y = x + 1, logo a inversa de f é a função h: R →→→→ R definida por h(x) = x + 1.

(02) VERDADEIRA.

O conjunto imagem da função g, é o conjunto

formado por todos os valores reais de y que a

satisfazem e que constituem o domínio da sua

função inversa.

Substituindo as coordenadas do par (y, x) em g(x)

= log(x² + 1): x = log(y² + 1), ⇒

110y110y101y xx2x2 −=⇒−=⇒=+ cujo

domínio é a solução da inequação

0x10100110 0xx >⇒>⇒>− .

Conclusão: O conjunto imagem da função g, é

intervalo [0, +∞[.

(04) VERDADEIRA.

Uma função é par quando f(x) = f(– x). O gráfico acima confirma essa igualdade. Logo a função g é uma

função par.

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(08) FALSA.

f(g(x)) = log(x² + 1) – 1 e g(f(x)) = log[(x – 1)² + 1]

Fazendo f(g(x)) = g(f(x)) ⇒ log(x² + 1) – 1 = log[(x – 1)² + 1] ⇒

log(x² + 1) = log(x² – 2x + 2) + 1 ⇒ log(x² + 1) = log(x² – 2x + 2) + log 10 ⇒

log(x² + 1) = log[10(x² – 2x + 2)] ⇒ x² + 1 = 10(x² – 2x + 2) ⇒ 9x² – 20x + 19 =0 ⇒

∆ = 400 – 684 = – 284 ⇒ não existe um número real x tal que f(g(x)) = g(f(x)).

(16) VERDADEIRA.

Se o ponto (0, 0) pertence ao gráfico da função g, g(x) = log(x² + 1) ⇒

log(0 + 1) = 0 ⇒ log1 = 0.

Questão 02.

Um indivíduo aplicou um capital por três períodos consecutivos de um ano. No primeiro ano, ele investiu

em uma instituição financeira que remunerou seu capital a uma taxa anual de20%, obtendo um montante

de R$3 024,00. Em cada um dos anos seguintes, ele buscou a instituição financeira que oferecesse as

melhores condições para investir o montante obtido no ano anterior.

Com base nessas informações, pode-se afirmar:

(01) O capital aplicado inicialmente foi de R$2 520,00.

(02) Os montantes obtidos ao final de cada período de um ano formam uma progressão geométrica se, e

somente se, as taxas de juros anuais forem iguais.

(04) Se em comparação com o primeiro ano, a taxa anual de juros do segundo ano foi o dobro, então o

rendimento anual também dobrou.

(08) Se a taxa de juros anual dos dois últimos anos foi igual a 30%. O capital acumulado no terceiro ano

foi de R$5 110,56.

(16) Supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e o terceiro ano, foram, respectivamente, de

30% e 10%, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois últimos anos, a taxa de juros

anual fosse constante e igual a 20%.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

M = 1,20C = 3 024 ⇒ C = 252020,1

3024= ⇒O capital aplicado inicialmente foi de R$2520,00.

(02) VERDADEIRA.

Os montantes obtidos (3024, 3024x, 3024x²) ao final de cada período de um ano formam uma progressão

geométrica .

(04) FALSA.

Ano 1: rendimento anual = 0,20 × 2520 = 504.

Ano 2: rendimento anual = 0,40 × 3024 = 1209,60 ≠ 2 × 504.

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(08) VERDADEIRA.

C acumulado= 3024 × 1,30² = 5110,56 .

(16) FALSA.

Supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e o terceiro ano, foram, respectivamente, de 30%

e 10%, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois últimos anos, a taxa de juros anual

fosse constante e igual a 20%.

Opção I: 1,2 × 1,3 × 1,1 C = 1,716 C

Opção II: 1,2 × 1,2 × 1,2 C = 1, 728 C.

Os resultados seriam diferentes.

Questão 03.

O gráfico representa uma projeção do valor de mercado, v(t), de um imóvel, em função do tempo t.

contado a partir da data de conclusão de sua construção, considerada como a data inicial t = 0. O valor

v(t) é expresso em milhares de reais, e o tempo t, em anos.

Com base nesse gráfico, pode-se afirmar:

(01) Aos dez anos de construído, o imóvel terá valor máximo.

(02) No vigésimo quinto ano de construído, o imóvel terá um valor maior que o inicial.

(04) Em alguma data, o valor do imóvel corresponderá a 37,5% do seu valor inicial.

(08) Ao completar vinte anos de construído, o imóvel voltará a ter o mesmo valor inicial.

(16) Se v(t) = 100

)10t( 2

2200−

−

× , então, ao completar trinta anos de construído, o valor do imóvel será igual

a um oitavo do seu valor inicial.

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RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

Aos dez anos de construído, o imóvel terá atingido

o valor máximo de 200 mil reais.

(02) FALSA.

No vigésimo quinto ano de construído, o imóvel

terá atingido o valor a, em milhares de reais,

menor que 100.

(04) VERDADEIRA.

Na data ?, o valor do imóvel corresponderá a

37,5% do seu valor inicial, ou seja a 37,5 mil reais.

(08) VERDADEIRA.

Ao completar vinte anos de construído, o imóvel voltará a ter o mesmo valor inicial.

(16) VERDADEIRA.

Se v(t) = 100

)10t( 2

2200−

−

× ⇒ v(30) = ( )

8

100

16

200

2

120022002200

100

400

100

20

100

)1030( 22

==

×=×=×

−−

−

.

Questão 04.

No dia do aniversário de sua fundação, uma empresa premiou cinco clientes que aniversariavam nesse

mesmo dia, todos nascidos no século XX. Observou-se que as idades dos premiados, expressas em anos,

eram todas distintas e que a diferença entre duas idades consecutivas era a mesma.

Com base nessas informações, sobre as idades dos premiados na data da entrega do prêmio, realizada em

março de 1999, pode-se afirmar:

(01) Organizadas na ordem crescente ou decrescente, formam uma progressão aritmética.

(02) A média e a mediana são iguais.

(04) Se a diferença entre duas idades consecutivas é um número ímpar, então três das idades são números

pares.

(08) Se a diferença entre duas idades consecutivas é igual a 2, então o desvio padrão é igual a 22

(16) Se a idade de um dos premiados, na entrega do prêmio, é igual a oito vezes a dezena do ano de seu

nascimento, então essa dezena é um número primo.

(32) É possível que todas as idades sejam números primos menores que 21.

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RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

Como a diferença entre duas idades consecutivas era a mesma, e sendo essa diferença igual a r, e x a

idade mediana, essas idades poderão ser representadas por: x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r, que é uma

progressão aritmética de razão r.

(02) VERDADEIRA.

A média dessas idades é: ( ) ( ) ( ) ( )

x5

x5

5

r2xrxxrxr2x==

+++++−+−.

Considerando que as idades estão em ordem crescente, a idade mediana será a de posição 32

15=

+ ou

seja a idade x.

Logo a média e a mediana das idades são iguais.

(04) FALSA.

Sendo a diferença entre duas idades consecutivas um número ímpar, então essas idades serão sempre um

número par e um número ímpar, nessa ordem ou não.

Pode-se ter

Opção I PAR ÍMPAR PAR ÍMPAR PAR 3 pares

x – 2r ,x – r x x + r x + 2r

Opção 2 ÍMPAR PAR ÍMPAR PAR ÍMPAR 3 ímpares

(08) VERDADEIRA.

Se a diferença entre duas idades consecutivas é igual a 2, então podem ser representadas por:

x – 4, x – 2, x, x + 2, x + 4.

Do item anterior viu-se que a média xi = x. O desvio padrão é calculado pela fórmula:

( ) ( ) ( ) ( )228

5

40

5

42024

n

)xx( 22222i

===+++−+−

=⇒−

=∑

ρρ .

(16) VERDADEIRA.

Considere-se d, a dezena do ano de nascimento de um dos premiados. Na entrega do prêmio, a sua idade

é igual a oito vezes a dezena do ano de seu nascimento, logo a sua idade é 8d. Como o prêmio foi

entregue em 1999, pode-se escrever: 1999 – 8d = 1900 + d ⇒ 9d = 99 ⇒ d =11 que é um número primo.

(32) FALSA.

Os números primos menores que 21 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19.

Não há como selecionar entre eles cinco “consecutivos” com a mesma diferença:

2 + 1 = 3; 3 + 2 = 5; 5+ 2 = 7; 7 + 4 = 11; 11 + 2 = 13; 13 + 4 = 17 e 17 + 2 = 19.

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Questão 05

Segundo dados da Pesquisa Nacional de Amostra por Domicílio (PNDA), realizada anualmente pelo

IBGE, a população brasileira, no ano 2007, contava com, aproximadamente, 35 milhões de pessoas

matriculadas no ensino fundamental e, com 31 milhões de pessoas na faixa etária de 6 a 14 anos.

A Taxa de Escolarização Líquida do ensino fundamental (TEL) é o percentual da população na faixa

etária de 6 a 14 anos que está matriculada no ensino fundamental. De acordo com o PNAD, a TEL

relativa ao ano de 2007 foi 97%.

Em todos os anos pesquisados, uma parte da população brasileira matriculada no ensino fundamental

encontrava-se fora da faixa etária de 6 a 14 anos, que é considerada a faixa adequada para matrícula no

ensino fundamental. A Taxa de Escolarização Bruta (TEB) é a razão, expressa em termos percentuais,

entre a população no ensino fundamental e a população na faixa etária de 6 a 14 anos.

Com base nessas informações, em relação à população brasileira, é correto afirmar:

(01) Se no ano de 2014, a TEL for igual 100%, então, nesse ano, todas as pessoas da faixa etária de 6 a 14

anos estarão matriculadas no ensino fundamental.

(02) Se no ano de 2014, a TEL for igual 100%, então pode-se garantir que, nesse ano, a TEB também será

de 100%.

(04) Em 2007, 3% da população na faixa etária de 6 a 14 anos não estavam matriculados no ensino

fundamental.

(08) Em 2007, a TEB foi de, aproximadamente, 130%.

(16) Em 2007, aproximadamente, 4,9 milhões de pessoas matriculadas no ensino fundamental tinham

idade inferior a 6 anos ou superior a 14 anos.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

Como a (TEL) é o percentual da população na faixa etária de 6 a 14 anos que está matriculada no ensino

fundamental, se no ano de 2014, for igual 100%, então, nesse ano, todas as pessoas da faixa etária de 6 a

14 anos estarão matriculadas no ensino fundamental.

(02) FALSA.

Sendo a TEB, a razão, expressa em termos percentuais, entre a população no ensino fundamental e a

população na faixa etária de 6 a 14 anos, se no ano de 2014, a TEL for igual 100%, e como em todos os

anos pesquisados, uma parte da população brasileira matriculada no ensino fundamental encontrava-se

fora da faixa etária de 6 a 14 anos então pode-se garantir que, nesse ano, a TEB será maior que 100%.

(04) VERDADEIRA.

Em 2007, 3% da população na faixa etária de 6 a 14 anos não estavam matriculados no ensino

fundamental, pois a TEL foi de 97%.

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(08) FALSA.

113%1,131,129031

35

TEL

PNADTEB =≅===

(16) VERDADEIRA.

35 000 000 – 0,97 × 31 000 000 = 35 000 000 – 30 070 000 = 4 930 000.

Questão 06.

Considerando-se a matriz M =

+ b cos asen0asen

0a tga cos

b senb cos0

22

, em que a e b são números reais, é correto

afirmar:

(01) Existem a e b tais que M é a matriz nula de ordem 3.

(02) Se a = b = 0, então existe uma única matriz N tal que M + N é a matriz identidade de ordem 3.

(04) Se a = b, então M é uma matriz simétrica.

(08) Se a = b, então o produto de M pela matriz

asen

a cos

0

é a matriz

asen

aen s

1

.

(16) Se a = 0, P =

z

y

x

e C =

0

1

1

, então, para cada b, o sistema M.P = C tem solução única .

RESOLUÇÃO:

(01) FALSA.

Para que a matriz M =

+ b cos asen0asen

0a tga cos

b senb cos0

22

seja a matriz nula de ordem 3, todos os seus

termos terão que ser iguais a zero, e não existe nenhum valor de a, por exemplo, para o qual

cos a = sen a = 0.

(02) VERDADEIRA.

Se a = b = 0, M =

100

001

010

, e se M + N é a matriz identidade de ordem 3, N =

−

−

000

011

011

.

(04) VERDADEIRA.

Se a = b, então M =

=

+ 10asen

0a tga cos

a sena cos0

a cos asen0asen

0a tga cos

a sena cos0

22

que é uma matriz simétrica

pois todo i jj i m m = .

8

(08) VERDADEIRA.

Se a = b, então o produto de M pela matriz

10asen

0a tga cos

a sena cos0

asen

a cos

0

=

+

asen

aen s

asenacos 22

=

asen

aen s

1

.

(16) FALSA.

Se a = 0 ⇒

b cos00

001

b senb cos0

2

z

y

x

=

0

1

1

.

Esta equação terá solução única, para cada b, se det

b cos00

001

b senb cos0

2

≠ 0.

Sendo o detM = bcos

b cos00

001

b senb cos03

2

−= , detM ≠ 0 ⇒ bcos3− ≠ 0 ⇒ cosb ≠ 0 ⇒ b ≠ 2

kπ

π ± .

Logo, há valores de b para os quais a equação M.P = C não tem solução única.

Questão 07.

Com base nos conhecimentos de geometria plana e espacial, é correto afirmar;

(01) Se dois triângulos são semelhantes e possuem a mesma área, então eles são congruentes.

(02) Em um triângulo retângulo, se um dos ângulos agudos, mede o dobro do outro ângulo agudo, então

um dos catetos mede o dobro do outro.

(04) Se, em um plano, dois retângulos têm a mesma área, então é possível transformar um deles no outro

através da composição de uma rotação com uma translação.

(08) Sendo r e s retas concorrentes contidas, respectivamente, nos planos α e β, se α e βsão

perpendiculares, então r e s também o são.

(16) A razão entre os raios das esferas circunscrita e inscrita num mesmo cubo é igual a 3 .

(32) O segmento que une dois vértices de um mesmo prisma qualquer ou é uma aresta ou uma das faces.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

Se dois triângulos são semelhantes, vale a proporção: 2

2

1

2

1

L

L

S

S

= . Se além de semelhantes eles

possuem a mesma área, 212

1

2

2

1 LL1L

L

L

L1 =⇒=⇒

= , logo eles são congruentes.

(02) FALSA.

9

2x + x = 90° ⇒ x = 30°. Como sen30° = 2

1,

2

1

hipotenusa

30 a oposto cateto=

° ⇒ medida da hipotenusa é igual

ao dobro da medida do cateto oposto ao ângulo de 30°.

(04) FALSA.

Considere-se num plano,por exemplo, dois retângulos de área igual 20cm², um com dimensões

2cm × 10cm, e outro com dimensões 4cm × 5cm. Nunca será possível transformar um deles no outro

através da composição de uma rotação com uma translação.

(08) FALSA.

Na figura ao lado tem-se as retas r e s concorrentes, r ⊂ β e s ⊂ α,

mas r e s não são perpendiculares.

(16) VERDADEIRA.

HB , a diagonal do cubo, é o diâmetro da esfera circunscrita,

então 2R = 3a .

A medida de MN é igual à medida da aresta do cubo e igual

ao dobro do raio da esfera inscrita no cubo, logo 2r = a.

Assim: 3r

R

a

3a

r2

R2=⇒=

(32) FALSA.

O segmento que une dois vértices de um mesmo prisma qualquer ou é uma aresta ou uma das faces

quando o prisma for triangular.

Questão 08.

Considere-se uma barraca de camping que tem a forma de uma pirâmide retangular com arestas laterais

congruentes e altura igual a um metro.

Assim sendo, é correto afirmar:

(01) A projeção ortogonal do vértice da pirâmide coincide com o centro da base.

(02) Se a altura e as medidas dos lados da base da pirâmide forem aumentadas em 10%, então o volume

aumentará 33,1%.

(04) Se o piso da barraca tem área máxima entre as áreas de todos os retângulos com perímetro igual a 8

metros, então o piso tem a forma de um quadrado.

10

(08) Se a base da pirâmide tem a forma de um quadrado com lados medindo 2 metros, então o volume é

igual a 3

4metros cúbicos.

(16) Suponha-se que a barraca está montada sobre um terreno horizontal, e sua base é um quadrado com

lados medindo 2 metros. Se, em determinado instante, os raio solares formam um ângulo de 45° com o

solo, então algum ponto da barraca será projetado pelos raios solares num ponto do solo situado fora da

região coberta pelo piso da barraca.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

VH é a altura dos triângulos isósceles VAC e VBD, então H é o ponto médio das diagonais AC e BD ,

logo H, projeção ortogonal do vértice da pirâmide sobre a base é o centro dessa base.

(02) VERDADEIRA.

Vo = 3

bc; V1 = ooo V%1,33vV331,1

3

bc331,1

3

1,1c1,1b1,1+==

=

×× Se a altura e as medidas dos

(04) VERDADEIRA.

b + c = 8 ⇒ b = 8 – c ⇒ SPISO = c (8 – c) = –c² + 8c.

SPISO atinge valor máximo para c = 42

8=

−

− metros ⇒ b = (8 – 4) = 4 metros ⇒ c = b, então o piso tem a

forma de um quadrado.

(08) VERDADEIRA.

V = =×

3

1²2

3

4metros cúbicos.

(16) FALSA.

11

O triângulo VHM é isósceles, logo nenhum ponto da barraca será projetado pelos raios solares num ponto

do solo situado fora da região coberta pelo piso da barraca.

Questão 09.

Sabendo que os gráficos das funções quadráticas f(x) = x² − 4x + 3 e g(x) = − x² − bx + c se intersectam

em um ponto do eixo x e em um ponto do eixo y, determine o valor de b4c.

RESOLUÇÃO:

As raízes da função f(x) = x² − 4x + 3 são x = 1 e x = 3, então o gráfico de f intersecta o eixo y no ponto

(0,3) e o eixo x nos pontos (1, 0) e (3, 0).

Como o gráfico de g intersecta o gráfico de f em um ponto do eixo y, o seu termo independente c = 3,

logo g(x) = − x² − bx + 3.

Como o gráfico de g intersecta o gráfico de f também em um ponto do eixo x, esse ponto é (1, 0) ou (3, 0)

⇒ g(1) = 0 ou g(3) = 0 ⇒ − 1 − b + 3 = 0 ou − 9 − 3b + 3 = 0 ⇒ b = 2 ou b = −2.

Sendo c = 3 e (b = −2 ou b = 2), tem-se b4c = 16 × 3 = 48.

RESPOSTA: 48.

12

Questão 10.

Considere, no plano cartesiano, os pontos A(0, 2), B(−2, 4), C(0, 6), 'A (0, 0), 'B 0) ,26( e um ponto

'C de coordenadas positivas.

Sabendo que B''CA' BCA e 'C'Â'BBÂC == , determine o produto das coordenadas de 'C .

RESOLUÇÃO:

BC = 2222 22 =+ e AB = 2222 22 =+ .

Sendo AC = 4, o triângulo ABC é retângulo, pois, AC² = BC² +

AB².

A’Os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes pois,

B''CA' BCA e 'C'Â'BBÂC == e a razão de semelhança é 3,

pois B’ = 26 = 3 AB.

Assim o triângulo A’B’C’ também é retângulo e isósceles e

)26 ,26('C .

O produto das coordenadas de C’ é 72.

RESPOSTA: 72.