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BOCA DEL RIO, VER. JUNIO 2014

UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

PROYECTO DISEÑO DE CONTROLADORES

PRESENTA

MONSERRAT DE LOS ANGELES DE LA LLAVE VICENCIO

SANTAELLA GONZALEZ JORGE BERTIN VALDIVIA AGUILAR GABRIEL ROGELIO

CATEDRATICO

HERMIDA SABA GUILLERMO

EXPERIENCIA EDUCATIVA CONTROL CLASICO

EQUIPO 2

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NOMBRE DEL PROYECTO

“Desarrollo de Controladores en base a una función de transferencia (modelo

matemático) de una planta”

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se realizara el estudio, análisis y desarrollo de diferentes

métodos para encontrar y construir controladores con base al modelo

matemático que se tenga en una determinada planta. Con ello la aplicación de

los métodos de diseño de ellos como lo son el de ubicación de polos, curva de

reacción en lazo abierto y ganancia que son los que se estudiaran y

desarrollaran en este proyecto con el fin de aprender a utilizar dichos métodos

y también tener el conocimiento de las herramientas con las que se cuenta.

Para el desarrollo del controlador nos apoyaremos en la utilización del

software conocido como MATLAB que es una herramienta muy útil y una de

las mas conocidas para la elaboración de este tipo de sistemas con base a una

serie de información que cuenta dicho software que nos facilita los cálculos de

este tipo de problemas y además nos da la libertad de poder diseñar

gráficamente los diagramas de bloques mediante el programa auxiliar de

MATLAB que se llama “Simulink”, el cual nos permite visualizar de una manera

más sencilla como es que se lleva el proceso de control a través de los bloques.

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Contenido NOMBRE DEL PROYECTO .................................................................................................................... 2

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 2

EL PROBLEMA ...................................................................................................................................... 4

DESEMPEÑO DE LA PLANTA ................................................................................................................ 6

Ubicación de polos. ......................................................................................................................... 6

Obtención de los polos: ............................................................................................................... 6

Curva de reacción. .......................................................................................................................... 8

Obtención de la ganancia limite. .................................................................................................. 9

DISEÑO DE CONTROLADORES ........................................................................................................... 10

Diseño por método de curva de reacción. ................................................................................... 10

Obtención de los parámetros ....................................................................................................... 11

Parámetros del controlador final (PID) ..................................................................................... 13

CONCLUSIÓN ..................................................................................................................................... 16

REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 17

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EL PROBLEMA

Considere el problema de presión de gas que se muestra abajo. El objetivo de

este problema es entender (vía simulación) como los parámetros de afinación

para un controlador PID afectan la estabilidad y velocidad de respuesta para el

punto los cambios o perturbaciones.

La relación entre la posición de la válvula manipulada (U en variables

derivables) y la presión en el segundo tanque (y en variables derivables) es

(con unidades de tiempo de minutos)

Asuma que el comportamiento dinámico de la presión de transmisor de

medición es caracterizado por un retraso con una constante de 0.15 segundos

También asuma que el comportamiento dinámico del control de la válvula es

también caracterizado por un retraso con una constante de 0.10 segundos

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Donde C(s) es el punto de salida del controlador y que U(s) es la posición de la

válvula.

a) Construya el diagrama de bloques en lazo cerrado que represente al

sistema, incluya el bloque para el controlador del sistema.

b) Obtenga la respuesta del sistema en lazo abierto a una entrada escalón

unitario.

c) Usando la información basada en la curva de reacción (respuesta del

sistema en lazo abierto) diseñe un controlador PID si es posible, usando

la tabla de Zieglers y Nichols.

d) Usando la información basada en la ganancia y el periodo limite un

controlador PID usando la tabla de Zieglers y Nichols.

Diagrama de bloques en lazo cerrado que representa al sistema.

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DESEMPEÑO DE LA PLANTA

Ya que nuestro problema, nos proporciona la planta (función de transferencia)

procederemos a realizar los siguientes pasos que nos permitirán obtener datos

importantes que utilizaremos para el diseño del controlador. Ya que para

diseñar y elegir nuestro controlador es necesario ver el desempeño o el

comportamiento de nuestra planta (función de transferencia). Lo primero es

saber dónde se encuentran los polos de la planta y conocer su reacción al

aplicarle un escalón unitario a nuestra planta.

Ubicación de polos.

La función de trasferencia de la planta a controlar es:

𝐹𝑇 =89.5𝑠 + 5.633

𝑠2 + 4.744𝑠 + 1.4216

Obtención de los polos:

Para obtener los polos de nuestra planta nos apoyamos de MATLAB donde

incresamos la funcion de transferencia y despues le aplicamos la funcion

“pzmap” (pole-zero map) para que nos arrojara la ubicación de los polos de la

planta.

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Esta grafica se obtuvo de aplicarle a la función de transferencia (planta) la función “Pzmap” en

MATLAB.

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Curva de reacción.

𝐹𝑇 =89.5𝑠 + 5.633

𝑠2 + 4.744𝑠 + 1.4216

A la función de transferencia de le excitara con una señal de escalón para obtener su respuesta y en base a ella comenzar el diseño del controlador de manera adecuada y por medio del diseño de controladores por el método de los dos puntos que es el que se aplicara en este método.

En esta grafica se muestra la reacción de la Ft al excitarla con una señal de escalón.

NOTA: como la curva de reacción tiene esta respuesta y no una forma de

críticamente amortiguada, no es aplicable y se descarta.

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Obtención de la ganancia limite.

Para este se comienza con la función de transferencia ya definida y después de esto se comienza hacer los experimentos como lo es la excitación con un escalón como en los métodos anteriores para conocer cuál es su reacción.

La siguiente grafica fue obtenida mediante la función de transferencia en lazo cerrado y con ayuda de MATLAB, aplicando “rlocus” a la función de transferencia como se explicara en la parte del diseño del controlador.

Se debe obtener la ganancia límite, para comprobar que nuestro sistema es

estable. Para esto la ganancia debe encontrarse del lado del semi plano

izquierdo para que nuestro sistema sea estable

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DISEÑO DE CONTROLADORES

Diseño por método de curva de reacción.

Para este método el diseño del controlador se hace directamente en MATLAB

este se obtiene de forma inicial con la función de transferencia de la planta y

utilizando en nuestro caso el método de los 2 puntos, este trata de encontrar

las constates K, τ, y Td.

El primer paso es obtener la función de transferencia de lazo cerrado, con base al controlador (en este caso ideal) y la función de transferencia original.

Controlador: GPID=Kc (1+1/Tis+Tds)

Función de transferencia:

𝐹𝑇 =89.5𝑠 + 5.633

𝑠2 + 4.744𝑠 + 1.4216

Función de transferencia lazo cerrado:

89.5 s + 5.633

gla = -------------------------------------------------------------------------

0.015 s^4 + 0.3212 s^3 + 2.207 s^2 + 5.099 s + 1.422

Mediante MATLAB con la función “rlocus(gla)”, logramos encontrar los valores

de:

Ku=0.472

Wn=12.1

A partir de estos valores.

𝑇𝑢 =2𝜋

𝑊𝑛=

2𝜋

12.1= 0.51

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Obtención de los parámetros

Las constates Kc, Ti, y Td. Son encontrados con base a la tabla de Chau (2002)

la cual nos dice que:

Chau (2002) Sin sobrepaso

Controlador kc Ti Td

PID 0.2 Kc 0.5 Tu 0.333 Tu

Para que tome la forma 𝑃 +𝑇

𝑆+ 𝑇𝐷𝑠 del controlador es necesario hacer

lo siguiente:

GPID=Kc (1+1/Tis+Tds)

Por lo tanto

Kc= 0.2* Kc = 0.2 * (0.472) = 0.0944

Ti= 0.5 Tu = 0.5 * (0.51)= 0.255

𝐾𝑐

𝑇𝑖=

0.0944

0.255= 0.3701

Td= 0.333 * Tu = 0.333 * (0.51) = 0.1698

𝐾𝑐 ∗ 𝑇𝑑 = 0.0944 ∗ 0.1698

Este controlador lo elegimos debido que hicimos varias pruebas primero con

los controladores PID que nos garantizaban ¼ de decaimiento como lo son

Zieglers y Nichols (1942), Tinham (1989) con razón de decaimiento menor a un

¼ , Parr (1989) un amortiguamiento de 0.45. Después pasamos a los

parámetros para controladores que nos garantizaban una respuesta sin sobre

paso como son: Tyreus y Luyben (1992), Chau (2002) y por ultimo atkinson and

Davey (1958).

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Debido a la complejidad para controlar nuestra planta de todos los parámetros

anteriores que empleamos el que mejor respuesta tiene es el de Chau (2002)

sin sobrepaso.

Del cual obtuvimos la siguiente respuesta:

En el caso de que existieran perturbaciones en el sistema cambiara la gráfica

de reacción lo cual para mostrar esto tomaremos como ejemplo el método de

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dos puntos o de lazo abierto para ilustrar que pasaría si se tuvieran

perturbaciones.

Este es el diagrama de bloques con perturbación:

De la cual obtuvimos una respuesta de la siguiente manera:

Parámetros del controlador final (PID)

Con lo cual volvimos a probar los demás controladores, y al hacerlo del que

obteníamos el mejor resultado era el de Chau, ósea el mismo que elegimos

desde el principio. Después usamos una herramienta muy útil del Simulink con

uno de los controladores de la versión 2013.

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Esta Función de “Tune…” Sintonizar nos permite mejorar la respuesta del

controlador y gracias a este se modificaron los valores de los parámetros para

así obtener la mejor respuesta de nuestro controlador PID´s.

El diagrama de bloques final quedo de la siguiente manera:

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Del cual obtuvimos la siguiente respuesta:

Con lo cual podemos concluir que nuestro controlador PID es mejor

controlando a cero que controlando la perturbación debido a la respuesta de

la gráfica de la parte superior.

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CONCLUSIÓN

Al concluir este proyecto aprendimos los métodos más comunes para el

cálculo y diseño de controladores, así mismo aprendimos a utilizar MATLAB

para aplicarlo en el área de control, nos apoyamos de Simulink para la creación

de los diagramas de bloques lo cual nos permitió apreciar de una manera más

grafica la estructura de nuestro controlador y para graficar nuestras respuestas

de los diferentes controladores que usamos. Y de esta forma poder tomar la

elección del mejor controlador y con la herramienta del controlador PID´s de

“Tune” o sintonizar para poder mejorar significativamente el comportamiento

del controlador.

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REFERENCIAS

mecaelect.itap.edu.mx/i/pagina_nueva_4.htm

Libro de Ogata control moderno 4 edición

Archivos proporcionados por el catedrático.