proyecto - ecuaciones

DICIS

Ecuaciones Diferenciales

Integrantes del equipo:

Vilchis Mar Azale VannesaJesus Napoleon Orozco PerezJuan Jose Ledesma Martnez

Ortiz Aldaco KarimBarrientos Rivera Cristian Adair

Sanche Calderon Alejandro

Proyecto:

Vibraciones Mecanicas

26 de Noviembre del 2013

Proyecto Vibraciones Mecanicas Mayo-Agosto 2014

Introduccion

Como una pequena introduccion se mencianara el ambito en el que sera enfocado este proyecto.

El desarrollo de la Ciencia y Tecnologa actuales implican la generacion y aplicacion del conocimiento en muchas areasy consecuentemente el estudiante de Ingeniera debe estar al tanto de los mismos, sin embargo, debido a la actulizacionpoco frecuente de los programas y planes de estudio y por las limitaciones propias de cuatrimestres de apenas cuatromeses de actividades academicas y eso si no hay imprevistos (suspension de clases)durante dicho periodo, es difcil laactualizacion del estudiante en dichos conocimientos, ademas, dejar trabajos de investigacion no funcionan de la maneradeseada, ya que en muchas ocasiones se descargan de Internet y se imprimen sin leerlos siquiera, de ese modo, surge laidea de desarrollar un proyecto relacionado con alguna ingeniera, ya sea Mecanica, Electrica, Electronica, etc. En estecaso se desarrolla el tema de Vibraciones Mecanicas.

Este tema es un campo de invetigacion muy amplio y complicado para la Ingeniera Mecanica, para poder estudiareste fenomeno, se hace uso de las ecuaciones diferenciales.

an(x)dny

dxn+ an1(x)

dn1ydxn1

+ ...+ a2(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x) (1)

Como ya vimos durante el curso, estas nos representan un sistema sea cual sea donde hay ciertos cambios (debido africcion, cadas de voltaje, viscosidad, etc) que es representado por la parte izquierda de la ecuacion diferencial, y laparte derecha nos representa una fuente (lo que suministra al sistema ya sea voltaje, corriente, calor, una fuerza, etc.).Entonces al resolver esta ecuacion diferencial, obtendremos la funcion que representara el resultado de dicho proceso, enotras palabras nos proporcionara informacion sobre el comportamiento del sistema.

Como bien ya sabemos las ecuaciones diferenciales se usan en gran parte de la vida diaria solo que la mayora delas personas no se percata de esa situacion es por eso que nuestro proyecto tendra un enfoque basandose en situacionesconocidas.

Por esta razon, se utilizan para modelar un sistema en nuestro caso un sistema oscilatorio.Decidimos escoger el tema de vibraciones mecanicas utilizando un sistema masa-resorte sujeto las codiciones de cada

libre (segunda ley de Newton) y la ley de Hooke.

Importanacia del estudio de la vibracion

La mayora de las actividades humanas implican vibracion en una u otra forma. Por ejemplo, oimos porque nuestrostmpanos vibran y vemos porque las ondas luminosas vibran. La respiracion esta asociada con la vibracion de los pulmonesy el caminar implica el movimiento oscilatorio(periodico) de piernas y manos. El habla humana requiere el movimientooscilatorio de la laringe(y la lengua).

El desequilibrio puede deberse al diseno defectuoso o a una frabricacion deficiente. El desequilibrio en motore diesel,por ejemplo, puede provocar ondas terrestres suficientemente poderosas como para provocar molestias en areas urbanas.En turbinas, las vibraciones provocan fallas mecanicas espectaculares. Los ingenieros aun no han sido capaces de evitarlas fallas a consecuencia de las vibraciones de aspas y discos en turbinas.

En todas estas situaciones, el componente de la estructura o maquina sometida sometido a vibraciones puede fallardebido a fatiga del material producida por la variacion cclicade esfuerzo induciodo.

Siempre que la frecuencia natural de la vibracion de una maquina o de una estructura coincide con la frecuencia dela excitacion externa se presenta un fenomeno conocido como resonancia, el cual conduce a deflexiones y fallas excesivas.

Por ejemplo el puente Tacoma Narrows fue destruido por las vibraciones de resonancia los vortices generados por elviento que soplaba a traves del puente se produjeron a una frecuencia que coincidio con la frecuencia natural de oscilaciondel puente.

Orozco Perez Jesus Napoleon Grupo A 26 de Octubre de 2013 2


Figura 1: Se muestra el puente Tacoma Narrows durante la vibracion inducida por el viento. El puente se inauguro el 1de julio de 1940 y colapsoel 7 de noviembre del mismo ano.

Clasificacion de la vibracion

La vibracion se puede clasificar de varias maneras. Algunas de las clasificaciones importantes son las siguientes.

Vibracion libre

Si se deja que un sistema vibre por s mismo despues de una perturbacion inicial, la vibracion resultante se conocecomo vibracion libre. Ninguna fuerza externa actua en el sistema. La oscilacion de un pendulo simple es un ejemplo devibracion libre.

Vibracion forzadaSi un sistema se somete a una fuerza externa (a menudo, una fuerza repetitiva), la vibracion resultante se conoce comovibracion forzada.si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, ocurre una condicion cono-cida resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosamente grande. Las fallas de estructuras como edificios, puentes,turbinas y alas de avion se han asociado a la ocurrencia de resonancia.

Vibracion no amortiguada y amortiguadaSi no se pierde o disipa energa por friccion u otra resistencia durante la oscilacion, la vibracion se conoce como vibracionamortiguada. En muchos sistemas fsicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequena que puede ser ignorada en lamayora de las aplicaciones de ingeniera. Sin embargo, la consideracion del amortiguamiento se vuelve extremadamenteimportante al analizar sistemas vibratorios proximmos a la resonancia.

Vibracion lineal y no linealSi todos los componentes basicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguamiento, se comportan li-nealmente, la vibracion resultante se conoce como vibracion lineal . Pero si cualquiera de los componentes basicos secomporta de manera no lineal, la vibracion se conoce como vibracion no lineal . Las ecuaciones diferenciales que rigen elcomportamiento de sistemas vibratorios lineales o no lineales son asimismo lienales o no lineales. Si la vibracion es lienealel principio de superposicion es valido y las tecnicas matematicas de analisis estan bien desarrolladas. Para vibracionno lineal, el principio de superposicion no es valido y las tecnicas de analisis son menos conocidas. Como los sistemasvibratorios tienden a comportarse no linealmente con amplitud de oscilacion creciente, es deseable un conocimiento dela vibracion no lineal cuando se trate con sistemas vibratorios.

Vibracion determinstica y aleatoriaSi el valor o magnitud de la ezcitacion (fuerza o movimiento) que actua en un sistema vibratorio se conoce en cualquiertiempo dado, la excitacion se llama determinstica. La vibracion resultante se conoce como vibracion determinstica.En algunos casos la excitacion es no determinstica o aleatoria; el valor de la excitacion en un momento dado no se puedepronosticar. En estos casos, una recopliacion de registros de la excitacion puede presentar cierta regularidad estadstica.Es posible estimar promedios como los valores medidos o medios al cuadrado de la excitacion. Ejemplos de excitaciones


4aleatorias son la velocidad del viento, la aspereza del camino y el movimiento de tierra durante sismos.

Vibraciones mecanica

Empezmos por deducir la segunda ley Newton F = ma

Basandonos en que la cantida de movimieto (lineal o de impetu) de un cuerpo es el producto de su masa por suvelocidad p = mv, por lo tanto derivmos respecto del tiempo ambos lados de la igualdad:

d(p)dt =

ddt (mv)

Observamos que tenemos la derivada con respecto del tiempo de un movimiento y eso es la fuerza multiplicada poruna cosntante de proporcionalidad

d(p)dt = kF

Por lo tanto regresando a la ecuacion anterior se obtiene

ddt (mv) = kFProponemos que la constante k tenga el valor de 1, por lo que la ecuacion se reduce a:

ddt (mv) = F

5Acomdamos los valores para una mejor observacion

a

Serie de Fourier

Ya habiendo demostrado la Identidad de Euler podemos continuar con la explicacion del porque se demostro.

La serie de Fourier es una serie infinita que mientras mas se prolonga mas coincide con una funcion periodica ycontinua a trozos (que no es continua en toda la funcion solo por partes), esta serie es usada para analizar funcionesperiodicas a traves de la descomposicion de esa funcion en una serie infinita de funciones que involucren a senos y cosenospara producir funciones mas simples. Ahora s, manos a la obra


Empezaremos por definir una funcion cosenoidal y senoidal.

Senoidal: Se conoce como senoide u onda senoidal a la representacion de curva de la funcion seno. Tienen las carac-tersticas de ser continuas (no existe ningun valor de x que haga que seno no exista) y cclicas, es decir que su forma sevuelve a repetir, la funcion senoidal puede ser descrita como:

b sen(x+ y) = b sen( 2piT + y), dado a que en las grficas de las funciones seno-cosenodonde el periodo es de 2pi, b es laamplitud y obviamente T es el periodo.

Cosenoidal: Se obtiene de la misma manera que la senoidal, por lo tanto se concluye que

a cos(x+ y) = a cos( 2piT + y)

Se definieron las funciones cosenoidales y senoidales debido a que se usaran en el primer paso para la demostracionde la serie de Furier

Usando la funcion senoidal y cosenoidal desarrollada en series de taylor obtenemos:

n=1

an cos(2npi

Tt)

n=1

bn sin(2npi

Tt)

Supongase que se tiene una funcion f(t) la cual es periodica, donde ese periodo es T , entonces la serie de Fourierasociada a f(t) es:

f(t) =

n=1

an cos(2npi

Tt) +

n=1

bn sin(2npi

Tt)

Como la serie empieza desde a1 dado a que n = 1 hasta se aplica una correccion, este valor sera:

lmn=0

[a0cos(0) + b0 sen(0)] = a0, como es periodo de 2pi entonces tendra un valor dea02

Por lo tanto la funcion quedara como:

f(t) = a02 +

n=1

an cos(2npi

Tt) +

n=1

bn sin(2npi

Tt) ,resolviendo se obtiene, f(t) = a02 +

n=1

[an cos(2npi

Tt) + bn sin(

2npi

Tt)]

Donde a0, an y bn son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

a0 =2T

T2

T2f(t)dt, an =

2T

T2

T2f(t) cos(

2npi

Tt)dt, bn =

2T

T2

T2f(t) sen(

2npi

Tt)dt

Usaremos la identidad de Euler para simplificar toda la expresion al igual que los cocientes

Empezaremos por pasar a su forma exponencial seno y coseno, por lo tanto:

cos( 2npiT t) =e2nitpiT +e

2nitpiT

2

sen( 2npiT t) =e2nitpiT e 2nitpiT

2

Sustituyendo obtenemos:

an cos(2npiT t) + bn sen(

2npiT t) =

12 [an(e

2nitpiT + e

2nitpiT ) ibn(e 2nitpiT e 2nitpiT )] = 12 [(an ibn)e

2nitpiT + (an + ibn)e

2nitpiT ]



Por lo tanto si hacemos a b0 = 0, cn =12 (an ib(n)) y como bien hemos estudiado a lo largo del curso, podemos

obtener el conjugado de cn, por lo tanto cn =12 (an + ibn), con ello podemos expresar la serie como:

f(z) =

n=1

(cne2nitpiT + cne

2nitpiT ), al igual que cuando obtuvimos la serie sin simplificar necesitamos hacer una correc-

cion dado a que la serie no contempla a c0, por lo tanto al final se le suma c0, quedando como:

f(z) = c0+

n=1

(cne2nitpiT +cne

2nitpiT ), por ultimo pero no mas importante si definimos que cn = cn, la serie tomara la

forma exponencial mas simplificada:

f(z) =

n=

cne2nitpiT

Al igual que con la serie sin simplificar definiremos los cocientes complejos

cn =1T

TT2

f(t)e2nitpiT dt

Conculsion

Como se observo a lo largo de estas 2 demostraciones, todo lo hemos aprendido en clase han sido usadas para resolverproblemas que no solo van de los problemas de escritorio (por as decirlo) sino que a problemas fsicos y que suceden enla vida diaria, es por eso que los numeros complejos son verdaderamente utiles para facilitarte la vida.

Bibliografa

Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones[en lAnea]. [fecha de consulta: 27 de Noviembre del 2013].Disponible en:

http : //www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf

Series de Taylor y Series de Fourier[en lAnea]. [fecha de consulta: 27 de Noviembre del 2013].Disponible en:

http : //www.ugr.es/ acanada/docencia/matematicas/historia/TaylorF ourier.pdf

Funciones Sinusoidales Y funciones Cosenoidales[en lAnea]. [fecha de consulta: 27 de Noviembre del 2013].Disponible en:

http : //trabajodematematica10.blogspot.mx/

George B.Thomas,Jr . Calculo: varias variables. Editorial Pearson Educacion, 2006.

Pd: Todo a sido compilado en latex, salvo el recuadro que dice: pro-fesor J. Juan Rosales Garca, Universidad de Guanajuato, ya que fueanexado a latex como una imagen, debido a las dificultades del aco-

modo con el texto.


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