prozesskontrolle und prozessfähigkeit literatur ledolter, burrill, statistical quality control:...
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Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit
LiteraturLedolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability
24.10.2003 Prozesskontrolle 2
Prozesskontrolle Anwendung der Statistik zur Kontrolle
(Beobachtung und Regelung) des Prozesses in Gegenwart von Prozessvariabilität Änderungen des Mittelwertes (Niveau, Level) Änderungen der Prozessvariabilität
Ist der Prozess „in Kontrolle“ (stabil)?
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Zielsetzung der Prozesskontrolle
Rasch entdecken, wenn der Prozess „außer Kontrolle“
Qualitätsverbesserung
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Funnel-Experiment Lasse einen stabilen Prozess unverän-dert! Trichter- (funnel-) Experiment: Kugel rollt
durch Trichter; Ziel ist Nullpunkt, Kugel trifft im k-ten Versuch zk
Strategien: Trichter unverändert Verschiebe Trichter um –zk Verschiebe Trichter nach –zk (Verschiebe Trichter nach zk)
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Shewhart-Karte
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Kontrollkarten Zeitreihen-Darstellung von Prozess- oder
Produktcharakteristika Graphische Hilfe um festzustellen, ob
Prozess „in Kontrolle“ Variabilität durch common (usual) causes
vs. Variabilität durch special (assignable) causes
Alarm => Suche nach Ursachen Mittel, den Prozess (1) besser zu
verstehen und (2) zu verbessern
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Bedeutung der Kontrollkarten Anwendung heißt: Analyse des
Prozesses oder Produktes Produktentstehung ist wichtiger als
Produkt (Deming: „nur 6% der Fehler durch special causes“)
Einfache Technik
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Anwendung der KontrollkarteDas Beantworten der zu lösenden Fragen
gibt wichtige Einsichten: Was (welche Charakteristika) soll
kontrolliert werden? Welche Standards sind zu erfüllen? Welche Messungen? Welcher Messvorgang? Welche Verarbeitung der Messungen?
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Prozess- vs. Annahmekontrolle Prozesskontrolle (PK) reduziert Fehler
und Kosten, Annahmekontrolle (AK) kommt zu spät
PK gibt Hinweise auf Ursachen für Mängel, bei AK kaum rekonstruierbar
PK erlaubt Verbesserungen PK erlaubt Anpassen an Anforderungen PK erlaubt Robustifizierung
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Kontrollkarten bei DienstleistungenAnwendungen bei IBM Kingston Vorschlagswesen (Dauer bis zur
Reaktion auf Vorschlag) Medizinische Einstellungsuntersuchung
(Dauer) Auftragsabwicklung (Anzahl der Fehler) Etc.
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Typen von Kontrollkarten Mittelwerts-Karte ( Karte) s-Karte (Standardabweichung) R-Karte (range) c-Karte (counts) p-Karte (proportion)Für metrische Merkmale: Mittelwerts-, s-
und R-Karte: Mittelwert und Variabilität müssen kontrolliert werden!
x
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Aufbau einer Kontrollkarte Mittellinie (center line) untere Kontrollgrenze (lower control
limit, LCL) obere Kontrollgrenze (upper control
limit, UCL) Als Kontrollgrenzen sind 3-Grenzen
üblich (siehe unten)
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Verwendung einer Kontrollkarte1. In regelmäßigen Intervallen: Ziehen
einer Stichprobe (n=4 oder 5)2. Für k-te Stichprobe: MWk, sk, Rk
3. Eintragen in Kontrollkarten
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Beispiel: Mittelwerts-Karte nach zGWS gilt (näherungsweise): bei
stabilem Prozess liegen 99.73% der Mittelwerte im Intervall
Ersetzen von durch , durch gibt
nn 3,3
x3 3,s sLCL x UCL xn n
s
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Beispiel: Mittelwerts-Karte, Forts. Alternativ schreiben wir mit A3 (aus der
Tabelle)
Die Größen und werden in der Initialisierungsphase ermittelt
3 3,LCL x A s UCL x A s
x s
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s-Karte Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der
Standardabweichungen sk zwischen
B3 und B4 aus der Tabelle
3 4,LCL B s UCL B s
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R-Karte Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der
Spannweiten Rk zwischen
D3 und D4 aus der Tabelle ist der Mittelwert der Rk aus der
Initialisierungsphase R-Karte ist einfacher, s-Karte zeigt eher
Änderung an
3 4,LCL D R UCL D R
R
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Bewertung von Kontrollkarten Lauflänge (run length) RL: Zahl der
Stichprobenwerte, bis eine Kontrollgrenze überschritten wird (die Kontrollkarte einen Alarm gibt)
Wahrscheinlichkeitsverteilung von RL:P(RL=k) = (1-w)k-1w, k = 1, 2, ...
mitw = P(Stichprobenwert liegt außerhalb Kontrollgrenzen)
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ARL, mittlere Lauflänge ARL (average run length)
ARL = E(RL) = 1/w
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Beispiel: Mittelwerts-Karte Prozess in Kontrolle mit 0 und
w = 1 P(LCL UCL) = 0.0027
und ARL = 1/0.0027 = 370 Prozess außer Kontrolle: = 0 +
w = 1 P( 3 n Z 3 n)
x
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Praxis der Kontrollkarten Konstruktion:
Auswahl des Stichproben-Intervalls Auswahl des Stichproben-Umfanges Art der Stichprobe
Verwendung: Kleiner Stichproben-Umfang (4 oder 5): toleriert
kleine d Kosten für (1) einzelne Messung, (2) Unterbre-
chung des Prozesses, (3) nicht entdecktes out-of-control Produkt
Stichproben unter homogenen Bedingungen
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Kontrollkarten für Attribute p- und np-Karte: zur Kontrolle des
Anteils von defekten Stücken c-Karte: bei komplexen Produkte (zB
ganzer PKW): zur Kontrolle der Anzahl der Defekte (nonconformities) an einem geprüften Stück
u-Karte: wie c-Karte, aber auf Einheit bezogen; i-te Stichprobe umfasst ni Einheiten
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Variablen- vs. Attributkontrolle Variablenkontrolle:
berücksichtigt mehr Information reagiert „rechtzeitig“ kleinere Stichproben
Attributkontrolle auch auf metrisch-skalierte Variable anwendbar
(brauchbar ja/nein) einfacher mehrere Merkmale gemeinsam robuster
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Mittelwerts-Karte mit Warngrenzen Bedingungen für „außer Kontrolle“ eine Beobachtung außerhalb 3-Grenze mindestens zwei von drei Beobachtun-
gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 2-Grenze
mindestens vier von fünf Beobachtun-gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 1-Grenze
mindestens acht Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL
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Warngrenzen: weitere Bedingungen mindestens 15 Beobachtungen in
Reihe innerhalb 1-Grenze ("hugging")
mindestens 15 Beobachtungen in Reihe außerhalb C ("Misch"-Prozess)
lange Folge von hoch-tief Beobachtungen ("Sägezahn")
Zyklen, Trend
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Effekte der Warngrenzen Prozess außer Kontrolle wird rascher
entdeckt (ARL kleiner) Achtung! Auch ARL bei Prozess in
Kontrolle wird kleiner!
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Beispiel: Mittelwertskarte Entscheidung nach 1.:
ARL(0) = 370ARL() = 33.9
Entscheidung nach 1. bis 4.: ARL(0) = 100
ARL() = 9
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Prozessüberwachung Ermittlung von und nur mit
Beobachtungen aus Prozess in Kontrolle Kontrollgrenzen nachjustieren! Beispiel: Gewicht von Brotlaiben
Aus Beobachtungen 1 bis 25: = 100.92 kg, = 1.74 kg, LCL = 98.44, UCL = 103.41
Aus Beobachtungen 1 bis 20: = 100.17 kg, = 1.70 kg, LCL = 97.74, UCL = 102.60
x
x
x
s
s
s
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Spezielle Kontrollkarten Kontrollkarten für Einzelwerte
Gleitende Spannweiten (moving range, MR) Karte: MRi = |xi-xi-1|, i = 1, 2, ..., LCL = 0, UCL = 3.267 MR-bar
Karte für individuelle Beobachtungen, LCL = 3 (MR-bar/1.128), UCL = …
CUSUM-Karte EWMA-Karte (: Glättungsparameter)
EWMAi = xi + (-l) EWMAi-1
x
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EWMA- und CUSUM-Karten Vorteil: kleines ARL bei kleinen
Störungen Nachteil: komplizierter
24.10.2003 Prozesskontrolle 31
Neuere Entwicklungen Kontrollkarten für seriell korrelierte
Qualitäts-Charakteristika Kontrollkarten für multivariate Qualitäts-
Charakteristika Kosten-optimale Kontrollkarten
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Prozessfähigkeit Fähigkeit des (Produktions-) Prozesses,
die Anforderungen des Kunden zu erfüllen
Anforderungen des Kunden Zielwert (Tg, target value) Untere Spezifikationsgrenze (LSL, lower
specification limit) Obere Spezifikationsgrenze (USL, upper
specification limit)
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Prüfen der Prozessfähigkeit Graphische Darstellung des Prozesses
zB Histogramm: optischer Eindruck der Prozessfähigkeit des Anteils, der die Anforderungen nicht
erfüllt Fähigkeitsindizes Pre-control Karte
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Fähigkeitsindizessind Indexzahlen, die das Ausmaß
messen, in dem ein Prozess die Anforderungen des Kunden erfüllt.
Cp-Fähigkeitsindex Cpk- Fähigkeitsindex Cpm- Fähigkeitsindex CR- FähigkeitsindexEngl.: capability indices
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Cp-Fähigkeitsindex
Cp = (USL − LSL)/(6)
misst die zulässige Streuung des Prozesses als Anteil an der tatsächlichen Streuung
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Cp-Fähigkeitsindex: Beispiel Normalverteilte Qualitätsvariable wenn = Tg, enthält der ±3-Bereich
99.73% der Produkte Cp = 1 bedeutet: 0.27% sind defekt
wenn = Tg Achtung! Cp sagt nichts darüber aus,
wie groß der Anteil der defekten tatsächlich ist!
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Cp und Anteil der Defekten
Cp Bereich Def.ppm 1.00 ±3 2699.93 1.33 ±4 63.37 1.67 ±5 0.57 2.00 ±6 0.002
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Cp-Fähigkeitsindex: Forts. Viele Unternehmen verlangen ein Cp von
1.33! Schätzung von Cp: wird durch s ersetzt
Cp-hat = (USL − LSL)/(6s) Beispiel:
Cp-hat(Breite) = (4.03-3.97)/6(0.008) = 1.25; Cp-hat(Stärke) = (0.265-0.235)/6(0.00421) =
1.19.
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Cpk-Fähigkeitsindex
Cpk = Min {USL − , − LSL}/(3)
geschätzter Cpk: und werden durch x-bar und s ersetzt
Cpk-hat = Min {USL − x-bar, x-bar − LSL}/(3s)
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Cpk-Fähigkeitsindex: Beispiel
Cpk-hat(Breite) = Min{4.03-3.9947, 3.9947-3.97}/3(0.008) =Min {0.0353, 0.0247}/0.024 = 1.03
Cpk-hat(Stärke) = Min {0.265-0.24894, 0.24894-0.235}/3(0.00421) = 1.10.
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Cpm-Fähigkeitsindex
Cpm = (USL − LSL)/(6)
mit (*)2 = 2 + ( − Tg)2 Es gilt
Cpm = Cp /√[1 + ( − Tg)2/ 2] je größer | − Tg|, umso kleiner wird Cpm
gegenüber Cp
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Cpm-Fähigkeitsindex: Schätzung
Cpm-hat = (USL − LSL)/(6s)
mit (s*)2 = i (xi − Tg)2/(n − 1), oder
Cpm-hat = (USL − LSL)/{6√[s2 + (x-bar − Tg)2]}
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Cpm-Fähigkeitsindex: Beispiel
Cpm-hat(Breite) = (4.03−3.97)/ {6√[(0.008)2 + (3.9947−4.00)2]} = 1.04
Cpk-hat(Stärke) = (0.265−0.235)/ {6√[(0.00421)2 +(0.24894−0.25)2]} = 1.15.
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CR-Fähigkeitsindex, Target-Z Fähigkeitsverhältnis (capability ratio)
CR = 1/Cp
Anteil der zulässigen Streuung des Prozesses, den die tatsächliche Streuung ausnützt
Target-Z: Maß für Abweichung zwischen und Tg
Target-Z = (Tg − )/
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CR-Fähigkeitsindex, Target-Z CR und Target-Z gemeinsam erlauben
die Beurteilung der Prozessfähigkeit je kleiner CR und je kleiner |Target-Z|,
umso besser Beispiel: Procter & Gamble: CR < 0.75
(entspricht Cp > 1.33); |Target-Z| < 0.5 ( muss innerhalb von
/2 von Tg liegen)
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CR und Target-Z: Beispiel
CR-hat(Breite) = 0.8 Target-Z-hat(Breite) =
(4.00−3.9947)/(0.008) = 0.66 CR-hat(Stärke) = 0.84 Target-Z-hat(Stärke) =
(0.25−0.24894)/(0.00421) = 0.25
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Six Sigma Teil des TQM-Konzepts von Motorola Anforderungen:
so, dass LSL und USL mindestens 6 von Tg (USL−Tg, Tg−LSL ≥ 6)
höchstens 1.5 von Tg (| – Tg| < 1.5) Prozess mit normalverteilter Qualitäts-
variabler produziert maximal 3.4 defekte Stücke per Million!
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Six Sigma: Forts. Bei X ~ N(Tg + 1.5, 2)
P(defektes Stück)= 1 – P(Tg−6 X Tg+6)
= 1 – P(-7.5 X 4.5) 1 – (4.5) = 0.0000034
Beachte! Cp=2; Cpk = 1.5, wenn = Tg + 1.5
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Fähigkeitsindizes in der Praxis Gutes Instrument zur Dokumentation Wahl von LSL und USL entscheidend Normalverteilungsannahme Stabiler Prozess vs. fähiger Prozess Schätzung der Fähigkeitsindizes
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Normalverteilungsannahme Bei Nichtzutreffen irreführend! Beispiel
X ~ U(-1, 1), so dass = 0, = 0.577 seien LSL = -1.5, USL = 1.5 die Wahrscheinlichkeit für defekte Produktion ist
Null! Aber Cp = 3/(6*0.577) = 0.87!
Achtung! Bei light-tail Verteilungen ist der Prozess fähiger, als es Fähigkeitsindizes anzeigen; und umgekehrt.
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Schätzung der Fähigkeitsindizes einfache Stichprobe nicht ausreichend aus Prozesskontrolle:
(n) (A3) (s-bar)/3 oder (n) (A2) (R-bar)/3 als Schätzer für (besser als s-bar!)
x-barbar als Schätzer für Voraussetzung: stabiler Prozess!
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Konfidenzintervall für Cpk
Cpk {1 ± 2√[1/(9nCpk2)+1/(2(n-1))]}
n: Zahl der Beobachtungen zum Schätzen von Cpk
Voraussetzung: Normalverteilter Prozess
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Pre-Control Karte Kontrolle der Fähigkeit; analog zur
Mittelwertskarte CL: Tg PC-lines: Tg ± |USL- Tg|/2 schließen grüne
Zone ein Gelbe Zonen: PC-line bis LSL bzw. USL Rote Zonen: außerhalb LSL bis USL
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Pre-Control Karte: Verfahren Probelauf (PLauf):
5x in GrZ: Beginne Standardprüfung Wiederhole, wenn 1x in GeZ Justiere, wenn 2x in GeZ oder 1x in RZ
Standardprüfung: Ziehen von Paaren 2 in GrZ oder je 1x in GrZ und GeZ: OK 2 in gleicher GeZ: justiere Niveau, PLauf 2 in versch. GeZ: justiere Prozess, PLauf ≥1 in RZ: justiere Prozess, PLauf