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Prueba de Hipótesis para una media y

proporción

Sesión 13

Introducción

En la prueba de hipótesis se pone a prueba un reclamo hecho sobra la naturaleza de una población a base de la información de una muestra. El reclamo se llama hipótesis estadística.

La estadística inferencial es el proceso de usar la información de una muestra para describir el estado de una población. Sin embargo es frecuente que usemos la información de una muestra para probar un reclamo o conjetura sobre la población.

El reclamo o conjetura se refiere a

una hipótesis. El proceso que

corrobora si la información de una muestra sostiene o refuta el reclamo se

llama prueba de hipótesis.

1. Hipótesis Estadística

Por ejemplo, la premisa formulada por un productor de baterías para autos de que su batería dura en promedio 48 meses, es una hipótesis estadística porque el manufacturero no inspecciona la vida de cada batería que él produce.Si surgieran quejas de parte de los clientes, entonces se pone a prueba el reclamo del manufacturero. La hipótesis estadística sometida a prueba se llama la hipótesis nula, y se denota como H0.

Una hipótesis estadística es un reclamo hecho sobre la naturaleza de una población.

1.Hipótesis EstadísticaEs un supuesto acerca de la distribución de probabilidad de una o mas variables aleatorias. En la práctica, La distribución de la población es a menudo implícitamente supuesta, especificándose una hipótesis con el valor o los valores del parámetro o los parámetros que la definen.

Ejm1: El promedio poblacional de la altura de los peruanos es 1.70m, esto es: =1.70

Ejm3: La proporción de unidades defectuosas por cierto proceso es menor o igual a 8%.

p0.08

2. Prueba de HipótesisUn prueba de hipótesis estadística H, es una regla de decisión que permite rechazar o aceptar la hipótesis H en base a al información dada por la muestra aleatoria extraída de una población en estudio. La prueba de hipótesis se centra en alguna afirmación sobre algún parámetro de la población. Hipótesis Nula. Es la que se formula con la finalidad de rechazarla y se denota por H0. Se construye artificialmente para que el investigador evalúe su hipótesis de investigación. Plantea que no existe relación entre los dos fenómenos.Hipótesis Alterna. Simplemente señala la existencia de un hecho o de un evento, o la relación entre dos o más fenómenos. Se denota por H1.

El rechazo de H0 implicará la aceptación la aceptación de H1. Generalmente la hipótesis alternativa representa la suposición que el investigador quiere probar, siendo H0 formulada con el propósito expreso de ser rechazada.

3. Errores Tipo I y Tipo II

Tipo I: Es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, cuando Ho es cierta. Esta probabilidad es comúnmente denotada por la letra α, conocido también como el nivel de significancia.Tipo II: Es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando Ho es falsa. Esta probabilidad es comúnmente denotada por la letra β.

El procedimiento de decisión de aceptar o rechazar la hipotesis nula esta sujeta a dos tipos de error. Estos errores son debidos a fluctuaciones al azar en el muestreo.

4. Pasos de una Prueba de HipótesisUna Prueba de hipótesis se realiza mediante un procedimiento sistemático de cinco paso:

PASO 1: PLANTEAR LA HIPÓTESIS NULA Ho Y LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA H1.

La hipótesis nula (Ho): es una afirmación que no se rechaza a menos que los datos muestrales proporcionen evidencia convincente de que es falsa. Por lo general hay un "no" en la hipótesis nula que indica que "no hay cambio". El planteamiento de la hipótesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.

La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Es una afirmación que se acepta si los datos muestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa. Se le conoce también como la hipótesis de investigación. El planteamiento de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.

PASO 2: SELECCIONAR EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA.

El nivel de significancia es la Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega , también es denominada como error tipo I ó nivel de riesgo. En resumen, el estadístico controla el error tipo I y generalmente se toma el valor de como 0.05 ó si se quiere ser mas riguroso 0.01.

La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos regiones, una región de rechazo (conocida como región crítica) y una región de no rechazo (aceptación). Si la estadística de prueba cae dentro de la región de aceptación, no se puede rechazar la hipótesis nula.

PASO 3: CALCULO DEL VALOR ESTADÍSTICO DE PRUEBAValor determinado a partir de la información muestral, que se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis nula., existen muchos estadísticos de prueba para nuestro caso utilizaremos los estadísticos z y t. La elección de uno de estos depende de la cantidad de muestras que se toman, si las muestras de la prueba son iguales a 30 o mas se utiliza el estadístico z, en caso contrario se utiliza el estadístico t.

Tipos de PruebaA. Prueba bilateral o de dos extremos: la hipótesis planteada se formula con la igualdadEjemplo:H0 : µ = 200H1 : µ ≠ 200

B. Pruebas unilateral o de un extremo: la hipótesis planteada se formula con ≥ o ≤

Ho : µ ≥ 200 ó H0 : µ ≤ 200

H1 : µ < 200 ó H1 : µ > 200

PASO 4: FORMULAR LA REGLA DE DECISIÓNSe establece las condiciones específicas en la que se

rechaza la hipótesis nula y las condiciones en que no se rechaza la hipótesis nula. La región de rechazo define la ubicación de todos los valores que son tan grandes o tan pequeños, que la probabilidad de que se presenten bajo la suposición de que la hipótesis nula es verdadera, es muy remota

Valor critico: Es el punto de división entre la región en la que se rechaza la hipótesis nula y la región en la que no se rechaza la hipótesis nula.

PASO 5: TOMAR UNA DECISIÓNEn este último paso de la prueba de hipótesis, se calcula el estadístico de prueba, se compara con el valor crítico y se toma la decisión de rechazar o no la hipótesis nula. Tenga presente que en una prueba de hipótesis solo se puede tomar una de dos decisiones: aceptar o rechazar la hipótesis nula. Debe subrayarse que siempre existe la posibilidad del error tipo I y el error de tipo II

I. Prueba de Hipótesis de la Media con Varianza

ConocidaSea X1,…. Xn una m.a. tomada de una población N(,2), donde 2 es conocida. Existen tres tipos de contrastes:

0

1

0

0

::

HH

0

1

0

0

::

HH

0

1

0

0

::

HH

I. Bilateral II. Unilateral a la derecha III. Unilateral a la Izquierda

0c

Xn

Z

Estadístico de Prueba:

Reglas de decisión

0

1

0

0

::

HH

0

1

0

0

::

HH

0

1

0

0

::

HH

Si Se rechaza H0

2cZ Z

Si Se rechaza H0

cZ Z

Si Se rechaza H0

cZ Z

I. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA PROPORCION

Sea 1 2, , ........., nX X X una m. a. de tamaño n extraída de una población Bernoulli 1 ;B p de parámetro p .

Y sea la proporción muestral es 1 Número de éxitos en la muestraˆ

n

iiX

pn n

Donde éxito

fracaso

1, 0,iX

Entonces para 30n tenemos.

Hipótesis: : 0: 0

p

p

pp

0

1

HH ó

: 0: 0

p

p

pp

0

1

HH ó

: 0: 0

p

p

pp

0

1

HH

Estadístico de prueba: 0

0 0

ˆ

(1 )p p

Zp p

n

Tipos de Prueba para una Proporción:

Caso A: : 0: 0

p

p

pp

0

1

HH . Si 2Z Z , se rechaza 0H .

Caso B: : 0: 0

p

p

pp

0

1

HH . Si Z Z se rechaza 0H .

Caso C: : 0: 0

p

p

pp

0

1

HH . Si Z Z se rechaza 0H .

Donde:

2Z y Z son los valores tabulares de la Distribución Normal Estándar

a un nivel de significancia de dos colas y una cola respectivamente.

Reglas de Decisiones:

“La inteligencia consiste no solo en el conocimiento, sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica.”

 Aristóteles.