prueba de hipótesis sobre la diferencia entre medias
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8/17/2019 Prueba de Hipótesis Sobre La Diferencia Entre Medias
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PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA DIFERENCIA ENTRE MEDIAS: MUESTRASGRANDES
9.3.1 INTRODUCCIÓN
Supóngase que se tiene dos poblaciones independientes con medias desconocidas μ1 y μ2, y
varianas σ12 y σ22. Sean1 x y
2 xlas medias de las muestras de dos poblaciones. El tamaño de cada
una de estas muestras son n1 y n2 respectivamente.
Queremos observar si la dierencia entre las medias es signiicativa o no, es decir.
Hip!tesis
Cas" I Cas" II Cas" III
!o" μ1 # μ2 $ %
!1 " μ1 # μ2 & %
!o" μ1 # μ2 ' %
!1 " μ1 # μ2 ( %
!o" μ1 # μ2 ) %
!1 " μ1 # μ2 * %
9.3.2 SUPUESTOS
1. Las observaciones de las muestras son aleatorias
2. Las poblaciones son independientes
3. Los tamaños de las muestras son n 1≥ 30 y n2 ≥30
4. Las poblaciones son normales o cumplen las condiciones del teorema del límite central.
Estad#sti$" de pr%e&a
a+ arian-as conocidas σ12
y σ22 b+ arian-as desconocidas σ1
2 y σ2
2
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Z0,025=-1,96 Z0,025 =1,96Z= – 1,38
Zona de aceptaciónHo
Zona rechazo HoZona rechazo Ho
2
2
2
1
2
1
2121 +
nn
u x x z
σ σ
µ
+
−−−=
2
2
2
1
2
1
2121 +
n
s
n
s
u x xt z
+
−−−==
µ
E'er$i$i" () Se conocen los datos de dos muestras de dos poblaciones, que son los siguientes" /asmedias X 1 ' 0 X 2 ' 03 las varian-as S1
2 ' 224 S22 ' 156 las muestras n1 ' 2 n2 ' 45
Se pide contrastar estad7sticamente si e8iste dierencia entre las dos poblaciones, a un nivel de
signiicación del 9.94. /as dos poblaciones siguen una distribución :ormal :μ1,σ12+ y :μ2, σ2
2+
S"*%$i!n) Sabemos que las distribuciones de las dos poblaciones son :ormales, pero desconocemosel valor de su desviación, sólo conocemos el valor de la desviación t7pica de las muestras entonces
estimamos las desviaciones poblacionales con las de las muestras.
Hip!tesis:
!o" μ 1 ; μ 2 ' 9, es decir, μ 1 ' μ 2 no e8iste dierencia entre las poblaciones+
!1" μ 1 ; μ 2 ( 9, es decir, μ 1 (
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C"n$*%si!n) Aomo B ' # 1,>3+ queda en el Crea de aceptación de !o, luego aceptamos !o, es decir no e8iste dierencia entre las poblaciones
PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA DIFERENCIA ENTRE MEDIAS: MUESTRASPE+UE,AS
9.4.1 INTRODUCCIÓN
Estas pruebas se utili-an cuando el muestreo destruye a los elementos, cuando resulta muy costoso
o cuando solo se puede obtener unos cuantos valores Distóricos.
Sea u1 y u2, las medias de dos poblaciones normales o apro8imadamente normal Se quiere probar
la Dipótesis sobre la dierencia de medias bao el supuesto que !o es cierto es decir"
Hip!tesis
Cas" I Cas" II Cas" III
!o" μ1 # μ2 $ %o
!1 " μ1 # μ2 & %o
!o " μ1o # μ2 ' %o
!1 " μ1 # μ2 ( %o !o" μo # μ2 ) %o
!1" μ1 # μ2 * %o
9.4.2 SUPOSICIONES
1. Las oser!aciones de "as dos #$estras son independientes2. Las dos po"aciones son apro%i#ada#ente nor#a"es3. &" #enos $na #$estra es pe'$e(a n & 30
Pr%e&a Estad#sti$a).
Cas" (. Se $"n"$en las desviaciones estCndar de las poblaciones σ1 y σ2,.
2
2
2
1
2
1
21
nn
x x z o
σ σ +
∆−−=
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Cas" -) Se des$"n"$e σ1 y σ2 pero son iguales σ1'σ2'σ, se determina s la desviación estCndar combinada, en unción de s1 y S2.
21
21
11
nn s
x xt o
+∆−−=
Pr%e&a t $"n n(.n- / - 0rad"s de *i&ertad
Fonde s es un estimado conunto de σ desviación estCndar comGn para ambas poblaciones p""*edvarian$e++
2
+1+1
21
2
22
2
11
−+
−+−=
nn
sn sn s
Cas" 1) Se des$"n"$e σ1 y σ2 pero desiguales σ1(σ2 , se utili-a s1 y SDa, para esti2ar σ1 y σ2respectivamente en este caso el mHtodo apro8imado es la distribución t,
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
x xt o
+
∆−−=
/os grados de libertad gl+ se determina con la órmula siguiente.
2
11
11
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
−
++
+
+
=
n s
nn s
n
n
s
n
s
gl
9.4.3 EJERCICIOS RESUELTOS Se desconoce 1 y 2 pero son iguales 1= 2 = ,
E'er$i$i" () Aomo psicólogo de un Dospital para enermos mentales el lector obtiene caliicaciones para una prueba visual motora para cada uno de dos grupos de pacientes. /a caliicación media para
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)*0,1+23=-1,1 t*0,1+23 =1,1t= 1,193
Zona de aceptaciónHo
Zona rechazo HoZona rechazo Ho
el grupo I 19 pacientes+ es 39 con desviación estCndar 13, y la correspondiente al grupo J 14
pacientes+ es 09 con desviación estCndar 22. El lector cree tener suiciente ra-ones para considerar
las desviaciones estándar de población iguales, las poblaciones son normales. KFiieren
signiicativamente las caliicaciones con nivel de signiicación 19LM.
S"*%$i!n
Dat"s
nI ' 19 nJ ' 14
39= A x 09= B x sI ' 13sJ ' 22 α ' 9.19
Hip!tesis
!o" μI ; μJ ' 9 las caliicaciones no diieren+
!1" μI ; μJ ( 9 las caliicaciones si diieren+
16>,1
141
1914203.29
0939
11
=
+
−=
+
−=
B A
B A
nn s
x xt
s '
4203.2921419
22+11413+119
2
+1+1 2222
=−+
−+−=
−+−+−
B A
B B A A
nn
sn sn
De$isi!n: como se observa en la igura el t esta dentro del Crea de aceptación de !o., luego seacepta !o, es decir que las caliicaciones no diieren
/e ta"as t para dos co"as tene#os '$et * + n1n2-2 = t *0,1 + 1015-2 = t *0,1 + 23 = 1,1
-
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E'er$i$i" 3) Nn abricante de llantas para bicicleta airma que sus llantas duran mCs que los de lacompetencia, para ello se tomaron 4 llantas y la duración promedio ue de 59.999 Oilómetros y una
varian-a de 199. 5 llantas de la competencia arroo un tiempo promedio de duración de 43999
Oilómetros y una varian-a de 69. Si las poblaciones se consideran normales de varianzas
desconocidas diferentes Ktiene ra-ón el abricanteM Ntilice un nivel de conian-a del 66L.
S"*%$i!n:
Pabricante n1 ' 4 599991 = x 1 ' 199
Aompetencia n2 ' 5 439992 = x 2 ' 69
Ntili-amos la distribución
2
2
2
1
2
1
2121 +
nS
nS
x xt
+
−−−=
µ µ 2
11
11
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
−
++
+
+
=
nS
nnS
n
n
S
n
S
gl
Hip!tesis:
H0:21 µ µ =
(o duran m!s"
H1:21 µ µ >
(#uran m!s"
SegGn initab tenemos
T4"5Sa2p*e T5Test and CISample : ean StFev SE ean
1 4 59999.9 19.9 .4
2 5 43999.99 6.6 >.6
Fierence ' mu 1+ ; mu 2+
Estimate or dierence" 2999.99
66L loRer bound or dierence" 1632.35
;est o dierence ' 9 vs *+" ;alue ' >>3.91 T;alue ' 9.999 FP ' 3
Aomo T;alue ' 9,999 & 9,91 luego se recDa-a !o, es decir que si tiene ra-ón el abricante que susllantas duran mCs.