pruebas de acceso a la universidad para · a) [1 punto] 223 lim x 52 xx o f xx §· ¨¸ ©¹ b)...
TRANSCRIPT
PAU Septiembre 2014 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
1 de 10
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE
Septiembre 2014 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158
OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de
una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas. OPCIÓN A: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas. CUESTIÓN A.1:
a) [1,25 puntos] Compruebe que la matriz 1 1
2 3A
, es regular (o inversible) y calcule su
matriz inversa.
b) [1,25 puntos] Resuelva la ecuación matricial AXA = B, siendo A la matriz anterior y
5 2
3 1B
.
¡OJO!: El producto de matrices NO es conmutativo.
CUESTIÓN A.2: a) [1,5 puntos] Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a:
4:
3 8
10
x y
yr
z
6
s :7 4 5 6
x y z
a a
.
b) [1 punto] Para el valor del parámetro a = 4 determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas.
CUESTIÓN A.3: [2,5 puntos] Dada la función ( )f x ax b x , determine los valores de los
parámetros a y b sabiendo que f (x) cumple las siguientes propiedades: a) f (x) alcanza su máximo en el punto de abscisa x = 100; b) La gráfica de f (x) pasa por el punto (49,91).
CUESTIÓN A.4:
a) [2 puntos] Calcule la integral indefinida arctgx dx , donde arctgx denota la función arco-
tangente de x. b) [0,5 puntos] De todas las primitivas de la función f (x) = arctgx, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,3).
PAU Septiembre 2014 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
2 de 10
OPCIÓN B: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas. CUESTIÓN B.1:
a) [1,5 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:
2 0
0
ax z
ay z a
x y z
. b) [1 punto] Si es posible, resuélvalo para el valor de a = 0.
CUESTIÓN B.2: Considere la recta r y el plano π dados por las ecuaciones siguientes
2 4 1:
3 4 0
x y zr
y π : 7x−y = 8
a) [1,5 puntos] Compruebe que la recta r corta al plano π y calcule el ángulo que forman.
b) [1 punto] Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.
CUESTIÓN B.3: Calcule los siguientes límites:
a) [1 punto] 2 23
lim5 2x
x x
x x
b) [1,5 puntos]
21
ln 1lim
1x
x x x
x
CUESTIÓN B.4:
a) [1,5 puntos] Encuentre una primitiva de la función ( )lnx
f xx
b) [1 punto] Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x) y el eje de
abscisas entre 1
xe
y x e .
PAU Septiembre 2014 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
3 de 10
SOLUCIONES
OPCIÓN A
CUESTIÓN A.1
a)
La matriz 1 1
2 3A
es inversible si su determinante es no nulo.
Como 1 1
3 2 1 02 3
A
, la matriz es regular y podemos calcular su inversa.
Utilicemos la fórmula
1
tAdj AA
A
, empezamos calculando 1 2
1 3
tA
3 1
2 1
tAdj A
por lo que
1
3 1
3 12 1
2 11
tAdj AA
A
b)
1 1 1 1 1 1
3 1 5 2 3 1
2 1 3 1 2 1
AXA B A AXAA A BA X A
X
BA
Como
3 1 5 2 15 3 6 1 18 7
2 1 3 1 10 3 4 1 13 5
entonces
3 1 5 2 3 1 18 7 3 1 54 14 18 7 68 25
2 1 3 1 2 1 13 5 2 1 39 10 13 5 49 18X
La solución es 68 25
49 18X
CUESTIÓN A.2
a) Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a:
4:
3 8
10
x y
yr
z
6
s :7 4 5 6
x y z
a a
PAU Septiembre 2014 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
4 de 10
Comparemos los vectores directores de ambas rectas
1 3 0 3, 1,4 y 7, 4,5 6
0 4 1
r s
i j k
v v a a
Nos planteamos la posibilidad de que sean paralelas, para ello los vectores deben ser proporcionales:
7 4 57 3 12 5 3
7 4 5 6 3 1 3
7 5 6 463 1 428 15 18 46 15
3 4 15
aa a a
a a
aa a a
Al no coincidir los valores de a los vectores no pueden ser proporcionales y por tanto, las rectas no son
paralelas ni coincidentes para ningún valor de a.
Para ver la posibilidad de ser secantes o que se crucen, estudio el determinante determinado por los
vectores directores 3, 1,4 y 7, 4,5 6r sv v a a y el vector determinado por un punto de r y
otro de s:
¿ ? Lo obtengo directamente de la ecuación de la recta (0,0, 6)
¿ ? le doy a x un valor cualquiera, por ejemplo x = 2 y sustituyo en la primera ecuación
obteniendo y=2. Sustituyendo en la segunda 8
s s
r
P P
P
+ z = 10. El punto es 2,2,2rP
0,0, 6 2,2,2 2, 2, 8 r sP P
2 2 8
3 1 4 10 12 56 24 96 56 30 36 8 32
7 4 5 6
10 12 56 24 96 56 30 36 8 32 24 96
a a a a
a a
a a a a a
Lo igualamos a 0 a = 4
Distinguiremos dos casos distintos:
a ≠ 4 Entonces el determinante anterior es no nulo y por tanto los vectores
3, 1,4 , 7, 4,5 6 y 2, 2, 8r s r sv v a a P P son linealmente independientes (no son
coplanarios) y por lo tanto las rectas se cruzan .
a = 4
Entonces el determinante anterior vale cero y por tanto los vectores
3, 1,4 , 7, 4,5 6 y 2, 2, 8r s r sv v a a P P son linealmente dependientes (son
coplanarios) y por lo tanto las rectas se cortan.
b) Para el valor del parámetro a = 4 determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas. Para ello resolvemos el sistema planteado con las ecuaciones de ambas rectas:
: ::
Sustiyendo y=0 en las ecuaciones 7 76
s : 0
3 8 83 8
4 10 104 1
s : 0s :7 4 4 20 6
6 14 6 1
0
4
r rr
x xx y z
y y
z
x y xx y
y z zy z
z
PAU Septiembre 2014 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
5 de 10
Y volviendo a sustituir en las ecuaciones de la recta s:
8
8 7 7
s : 0 s : Coinciden los valores de y el punto es común a las rectas
10 6 14 16 8
14 7
el punto de corte es 8,0,10
y
CUESTIÓN A.3
Si la función es ( )f x ax b x determinemos su derivada ' (2
)b
f x ax
, dado que
presenta un máximo en x=100, entonces f’(x)=0
' 0 0 20 0 20202 100
(100)b b
f a a a b b a
Como además pasa por el punto (49, 91), se debe cumplir 49 91f , luego
20( )f x ax b x ax a x (49)91 ·49 20 49f a a
91 49 7·( 20 ) 91 91 1a a a a
Y el valor de b sería 20 20·( 1) 20b a
Comprobemos que esta es una solución correcta, para ello vamos a comprobar que en x=100 la
función ( 0) 2f x x x presenta un máximo.
1
220
' 1 1 10·2
( )f x xx
3 32 2
10'' ·x 5x
2(x)f
Luego 3
2'' 5(10 00) ·10f
toma valor negativo y la función presenta un máximo en el punto
de abcisa x=100
Los valores de las variables son a=-1 y b=20
CUESTIÓN A.4
a)
2 2
2
2 2
1 1· · ·
1 1
1 2 1· · · ln 1
1 2 1 2
Integrando por partes
arctgx dx u arctgx du dx udv u v vdu arctgx x x dxx x
dv dx v dx x
x xx arctgx dx x arctgx dx x arctgx x K
x x
b) Para que la primitiva 21
( ) · ln 12
F x x arctgx x K pase por el punto (0,3), se debe cumplir:
21 13 (0) 0· 0 ln 1 0 3 ln1 3
2 2F arctg K K K
PAU Septiembre 2014 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
6 de 10
La primitiva pedida es 21
( ) · ln 1 32
F x x arctgx x
PAU Septiembre 2014 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
7 de 10
OPCIÓN B
CUESTIÓN B.1
a) Triangulemos el sistema:
0 2 0
La matriz ampliada asociada al sistema 0 1
1 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1 0
Cambiamos fila 1 por fila 3 0 1 Fila 3- a·Fila 1 0 1
0 2 0
2 0
0
0 2 0
Fila 3
a
a a
a a a a
a a a
ax z
ay z a
x y z
1 1 1 0
- Fila 2 0 1
0 0 3
a a
a a
Si a=3 → 3-a=0 el Rango de la matriz de los coeficientes
1 1 1
0 3 1
0 0 0
es 2 y el rango de la matriz
ampliada
1 1 1 0
0 3 1 3 3
0 0 0 3
es
. Rango A≠Rango Ampliada. El sistema es incompatible
Si a=0→ El rango de la matriz de los coeficientes
1 1 1
0 0 1
0 0 3
es 2 y el rango de la matriz
ampliada es
1 1 1 0
0 0 1 0 2
0 0 3 0
es
. Rango A=Rango Ampliada=2<nº incógnitas=3. El sistema es
compatible indeterminado
Si a≠0 y a≠3→Rango de matriz coeficientes y Rango de la ampliada es 3=Nº incógnitas.
El sistema es compatible determinado
b) Para a=0 el sistema es compatible indeterminado.
0 0La solución es
2
x= ; y=
0 2 0
0 ;
0
z=00
0
ax z z
ay z az z
x yz
x y xx y
z y z
CUESTIÓN B.2
PAU Septiembre 2014 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
8 de 10
a)
2 32 4 1
: : 4 43 4 0
1
xx y z
r r y
z
Intentemos resolver el sistema formado por la recta y
el plano,
2 3
14 4 1
7 2 3 4 4 81 14 21 4 4 8
7 8
1 100 '4
10 25 0 25
2 1'2 0 '8 0 '8
El punto de corte es 4 4 4 1'6 2 '4 2 '4
1 1
x
zy z
z
x y
z
x x
y y
z z
El ángulo formado por recta y plano es el complementario del ángulo α formado por el vector
director de la recta (3,-4,0) y el vector normal del plano (7, -1, 0). A partir de la fórmula:
3, 4,0 · 7. 1,0 21 4 25 25 1cos
3, 4,0 · 7. 1,0 9 16· 49 1 5· 50 25· 2 2
45º
El ángulo formado entre r y π es 45º
b) La recta r está definida por el vector director 3, 4,0v y el punto P=(2, -4, -1). Si el plano
pedido es perpendicular a π debe contener a su vector normal (7, -1, 0).
La ecuación del plano pedido viene dado por la igualdad:
2 4 1
3 4 0 0 3 1 28 1 0 3 3 28 28 0
7 1 0
25 25 0
x y z
z z z z
z
La ecuación del plano es z+1=0
CUESTIÓN B.3
a)
2 2
2 2 22
3 2 3 2
3lim Indeterminación (Ambos del mismo grado)
5 2
3 2 3 2 55Sumamos las fracciones lim lim
5 2 5 2 5 2
2 3 6 5lim
5
x
x x
x
x x
x x
x x x x x xx x
x x x x x x
x x x x x
x x
3
lim2 x
x
2 32 3 6x x x
2
2
2
5
5 2
3 3 6lim 3
7 10x
x
x x
x x
x x
b)
PAU Septiembre 2014 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
9 de 10
21
1 1 1
ln 1 0lim Indeterminación, la resolvemos utilizando la regla de L'Hopital
01
1ln · 0 1
ln 1 0 1 ln 0= lim lim lim Indeterminación,
2· 1 2 2 2 2 0
la resolvemos utilizando, de nuevo,
x
x x x
x x x
x
x xx xx
x x x
1
la regla de L'Hopital
1
1= lim
2 2x
x
CUESTIÓN B.4
a)
2
Integración por partes
1 1 1 1· · ·
1 1ln
lnxdx lnx dx u lnx du dx lnx lnx lnx dx lnx lnx dx
x x x x x
dv dx v dx xx x
Hemos conseguido la igualdad:
2 1
·lnx
dx lnx lnx dxx x
Despejando obtenemos
2
2
2
2
lnxdx lnx
x
lnxlnxdx
x
La primitiva pedida es
2
2
lnxF x
b) Para calcular el área pedida debemos determinar si la función ( )lnx
f xx
corta al eje de abcisas
entre x=e y x=1/e.
Resolvamos la ecuación 0 0 1lnx
lnx xx
y se cumple que 1 1
1 2'7182'718
ee
Luego el área pedida se obtiene sumando el valor absoluto de dos integrales definidas:
PAU Septiembre 2014 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
10 de 10
1
1
1 1
2 2
2
2
1 1
22 2
2 2
1
1 ln 1
2 2 2
ln ln
0 1 1 1 10
21
2 2 2 2
e
e
e
e
lnx lnx
lnln e lne
x xAREA dx dx
x x
La gráfica de la función y el área pedida es aproximadamente como el dibujo inferior: