Průřezové a generační úmrtnostní tabulky

Modelování úmrtnosti Brassovou relační metodou

RNDr. Tomáš Fiala, CSc.

Katedra demografie

Fakulty informatiky a statistiky

VŠE Praha

fiala@vse.cz

Základní data o úmrtnosti(pro každé pohlaví zvlášť)

Za jednotlivé roky (t):•Počty zemřelých podle věku x (Mt,x)•Počty žijících podle věku x (St,x)

Výpočet specifických měr úmrtnosti

(ve jmenovateli je průměrný počet žijících)Na základě řady specifických měr úmrtnosti pro všechny jednotky věku lze spočítat úmrtnostní tabulky

xt

xtxt S

Mm

,

,,

Průřezové (transverzální) úmrtnostní tabulky

• Na základě specifických měr úmrtnosti v jednom roce

• Průřez úmrtnosti zhruba 110 generací narozených• Charakterizují úmrtnost v daném roce, nikoli

vymírání nějaké skupiny žijících osob• Charakteristiky délky života – pouze za

předpokladu, že by se úmrtnost neměnila v čase• Nutno správně interpretovat

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010kalendářní čas

věk

H

H

H

H

H

Generační (longitudinální) úmrtnostní tabulky

• Na základě specifických měr úmrtnosti osob narozených ve stejném roce

• Popisují úmrtnost těchto osob po celou dobu jejich života (zhruba 110 let)

• Charakteristiky délky života se týkají dané skupiny osob

Charakteristika generačních úmrtnostních tabulek

• Zpravidla nejsou k dispozici data za celou dobu života sledované generace (pouze neúplná řada specifických měr úmrtnosti)

• Neaktuální hodnoty

• Jsou vhodným doplňkem průřezových úmrtnostních tabulek

• Mohou vysvětlit generační zákonitosti úmrtnosti

• Vysoká úmrtnost v určitém věku může mít za následek snížení pozdější úmrtnosti téže generace (přirozený výběr, přežijí jen „silní“ jedinci) a naopak

• Příklad:

• V roce 1990 byla úmrtnost osob do 60 let nižší v ČR než v SR, pro starší osoby tomu bylo naopak

• Hypotéza:

• Jednou z příčin může být vysoká kojenecká a dětská úmrtnost na Slovensku na počátku minulého století

Modelování úmrtnosti Brassovou relační metodou

• Snaha nalézt funkci zachycující závislost míry úmrtnosti na věku

• Řada pokusů – zpravidla nepoužitelné pro předpověď budoucího vývoje

• Myšlenka Williama Brasse:• nemodelovat vlastní průběh intenzit úmrtnosti,

ale modelovat změny úmrtnosti, ke kterým dochází v čase

• On the scale of mortality In: Biological Aspects of Demography. Ed. W. Brass, Taylor and Francis, London 1971.

Východisko metody:křivky l(x) počtu dožívajících se přesného věku x, mají vždy podobný průběh, charakterem připomínající nepravidelně „stlačenou“ logistickou křivku

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100věk

l(x), ČR, 1991, ženy

logistická křivka

(Obrázek převzat z Koschin F., Vybrané demografické modely, VŠE Praha 1995, ISBN 80-7079-761-4)

Popis metody:

Uvažujme nějakou „standardní“ úmrtnost popsanou funkcí l*(x), (l*(0)=1)

po vhodné transformaci osy x bude logistická křivka křivkou počtu dožívajících

obecná rovnice logistické křivky:

hledáme takovou transformační funkci g*(x) aby,

transformační funkce má tedy tvar

zzf

e1

1)(*

)(

**

e1

1)(

xgxl

)(logit)(

)(1ln)( *

*

** xl

xl

xlxg

-6

-4

-2

0

2

4

6

0,0 0,5 1,0p

logit p

Klíčový předpoklad metody:(zjednodušení reality)

Odlišnost úmrtnosti l(t,x) od l*(x) se projeví pouze změnou posunutí a strmosti

příslušné logistické křivky na , tedy

eventuální další odchylky považujeme za náhodné chyby.

Dostáváme tedy řadu regresních rovnic

Neznámými parametry jsou nejen u(t) a v(t), ale i l*(x)t=1, 2, …, T x = 0, 1, …, ω-1

ztvtuztf

)()(e1

1),(

)(itlog)()( *

e1

1),(

xltvtuxtl

),()(*logit)()(),(logit xtxltvtuxtl

Nalezení odhadu parametrů modelu1. Položíme i = 0 a určíme počáteční odhad standardu

2. Řešíme T regresních rovnic pro parametry u(t) a v(t)  

3. Řešení označíme u(i)(t) a v(i)(t) a řešíme ω regr. rovnic pro parametry logit l*(x)

 4. Řešení označíme logit l(i+1)(x) a vypočteme

   5. Porovnáme rozdíly l(i)(x) a l(i+1)(x) pro všechna x , pokud jsou „velké“, položíme i = i +1 a

opakujeme kroky 2, 3, 4 a 5; jinak skončíme

6. Položíme l*(x) =  l(i+1)(x) u(t) =  u(i)(t) a v(t) =  v(i)(t).

)(*logit)()(),(logit )()( xltvtuxtl ii

T

t

xtlT

xl1

)0( ),(1

)(

)(logit)()(),(logit )( xltvtuxtl i

)(logit

)1()1(

e1

1)(

xl

iixl

Příklad: Úmrtnost žen v ČR v letech 1980-91

(Obrázek převzat z Koschin F., Vybrané demografické modely, VŠE Praha 1995, ISBN 80-7079-761-4)

Česká republika, 1991, ženyparametry Brassova relačního modelu

-0,12

-0,10

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

1980 1982 1984 1986 1988 1990

u(t)

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1,00

1,01

1,02

1,03

v(t)

u(t)

v(t)

Využití pro prognózu úmrtnosti:

Extrapolace hodnot u(t) a v(t) v čase umožňuje

modelovat vývoj úmrtnosti pomocí výše uvedené rovnice

Na rozdíl od jiných modelů zpravidla dostáváme

poměrně rozumné výsledky

)(itlog)()( *

e1

1),(

xltvtuxtl