prvočíslo a ulamova spirála...1 gymnázium a soŠ ihelní 410, frýdek – místek 73802...
TRANSCRIPT
1
Gymnázium a SOŠ Cihelní 410, Frýdek – Místek 73802
Prvočíslo a Ulamova spirála
(Seminární práce z Matematiky)
Monika Pistovčáková
Matematika
13. listopad 2016
2
1. Úvod………………………………………………………………………………………………………………………………3
2. Teoretická část……………………………………………………………………………………………………………….4
a. Co to je prvočíslo? ……………………………………………………………………………………………..4
b. Co to je Ulamova spirála? …………………………………………………………………………………..5
3. Praktická část………………………………………………………………………………………………………………….6
a. Jak spočítat prvočísla? …………………………………………………………………………………………6
b. Jak se vyráběl materiál k veřejné přednášce? -FOTO………………………………………7-10
4. Závěr……………………………………………………………………………………………………………………………..11
5. Seznam literatury…………………………………………………………………………………………………………..12
3
Úvod
Všude okolo se lidé setkávají s čísly. Buď záměrně, nebo čirou náhodou. Málokdo si však
uvědomí, jak jsou vlastně čísla kouzelná. Jsou novým světem a nejkrásnější na tom je, že
každé číslo představuje něco jiného a má jiný význam. Každý den čísla spadají do našeho
života a provází nás na každém kroku.
Pythagoras kdysi prohlásil, že prazáklad veškerého bytí a existence je číslo. Dle mého se
nemýlil. Bez čísel by totiž neexistovalo vůbec nic. Byl by zmatek a lidé by neměli nic z toho,
co mají dnes. Co myslíte, souhlasíte semnou? Mám pravdu, nebo jste proti mému názoru?
Na svoji seminární práci jsem si vybrala známou a velice důležitou skupinu. Jsou to prvočísla.
4
Teoretická část
A, Co to je prvočíslo?
Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými
přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy 1 není prvočíslo)
Přirozená čísla různá od jedné, která nejsou prvočísla, se nazývají složená čísla
První prvočísla jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
Prvočísel je nekonečně mnoho
Využití
o Velký praktický význam mají prvočísla v kryptografii, například v šifrovacích
systémech jako je RSA. o Pro vytvoření seznamu prvočísel existují různé algoritmy, např. Eratosthenovo
síto
Eratosthenovo síto je jednoduchý algoritmus pro nalezení
všech prvočísel menších než zadaná horní mez
Je pojmenován po řeckém matematikovi Eratosthenovi z Kyrény, který
žil v letech 276–194 př. n. l.
Testování prvočíselnosti
o Otestovat, zda je číslo prvočíslem, tedy testovat prvočíselnost je
možné asymptoticky v polynomiálním čase algoritmem AKS, nalezeným roku
2002 o Asymptoticky rekordní rychlost ovšem neznamená, že se jedná o algoritmus
prakticky nejvýhodnější o V praxi bývá častější použití některého z pravděpodobnostních algoritmů,
například Millerova-Rabinova algoritmu. Millerův-Rabinův test prvočíselnosti je jedním z testů prvočíselnosti,
tedy z algoritmů rozhodujících, zdali je dané číslo prvočíslo
Je podobný Fermatovu testu prvočíselnosti
Prvočísla menší než 1000
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311,
313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431,
433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557,
563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661,
673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809,
811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937,
941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
5
B, Co je to ulamova spirála?
Ulamova spirála, nebo také prvočíselná spirála, je obrázek, který vznikne seřazením
přirozených čísel do spirály a zvýrazněním prvočísel
Byla objevena matematikem Stanisławem Ulamem v roce 1963
Ulam si napsal přirozená čísla do obdélníkové sítě, jedničku doprostřed a další čísla
spirálovitě směrem ven
Když zakroužkujeme v této struktuře prvočísla, dostáváme
Ulam si všimnul, že prvočísla se vyskytují převážně na některých diagonálních
přímkách. Tento vzorek je viditelný i při velmi velkých měřítkách (objevují se pak i
vodorovné a svislé čáry).
6
Praktická část
A, Jak spočítat prvočísla?
Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné pouze jedničkou a sebou
samým, přičemž samotná jednička prvočíslo není
Nejmenší prvočíslo je dvojka – je dělitelná beze zbytku jedničkou a dvojkou. Je to
zároveň jediné prvočíslo, které je sudé. Všechna ostatní prvočísla jsou lichá, protože
jakékoliv jiné sudé číslo je dělitelné kromě jedničky a sebou samým ještě právě
dvojkou.
Posloupnost několika prvních prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137,
139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229,
233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…
Posloupnost bez prvočísel
o Lze nalézt libovolně dlouhou konečnou posloupnost po sobě jdoucích
přirozených čísel, mezi kterými se nevyskytuje ani jedno prvočíslo. Taková
posloupnost může mít tvar k!+2, k!+3,k!+k a obsahuje k-1 po sobě jdoucích
složených čísel (vykřičník je faktoriál).
o Například pro k = 6 dostaneme pět po sobě jdoucích složených čísel ve
tvaru:720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6
o Tato čísla jsou postupně dělitelná dvěma, třemi, čtyřmi, pěti a šesti, protože
číslo 6! = 720 je určitě dělitelné všemi těmito čísly, protože vzniklo jejich
součinem: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2.
o Pokud je číslo 720 dělitelné třemi, pak i číslo 720 + 3 musí být dělitelné třemi.
Podobně pro ostatní.
7
B, Jak se vyráběl materiál k veřejné přednášce? – FOTO
Mým cílem u vytváření projektu bylo především zaujmout. Proto jsem se rozhodla svůj
projekt něčím „okořenit“ a zaujmout nejen děti ale i rodiče. Hlavní změnou oproti jiným
projektům bylo, že děti budou provázeny tématem nejen mnou ale i velice známým
pohádkovým kamarádem Spongebobem. Zaujme hned na první pohled, proto jsem si téměř
100% jistá, že si z mého tématu děti odnesou nejen užitečné informace, ale taky zábavu.
1,
2,
8
3,
4,
9
5,
6,
10
7,
8,
11
Závěr
Tato práce slouží k poskytnutí bližších informací k danému tématu. Vybrala jsem si ji, protože
si myslím, že mnoho lidí (především dětí) neví a hlavně nemají zájem poznávat něco nové.
Prvočísla jsou důležitá a dle mého by měl mít každý alepoň základní informace o tomto
matematickém úseku. Přínos tedy bude nejen vzdělávací, ale také zábavný. Doufám, že
rozvine znalosti okolí stejně tak, jako mě.
12
Seznam literatury
Osamělost prvočísel- Paolo Giordano, 2009, Odeon
Posedlost prvočísly- John Derbyshire, 2007, Galileo
Zdroje:
http://www.matematika.cz/prvocisla
https://cs.wikipedia.org/wiki/Prvo%C4%8D%C3%ADslo
https://cs.wikipedia.org/wiki/Ulamova_spir%C3%A1la