Przegląd teorii Przegląd teorii elektromagnetyzmuelektromagnetyzmu

Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W1

2

W rozwiązywaniu problemów polowych stosuje się techniki:

•doświadczalne, •analityczne, •numeryczne.

Eksperymenty są drogie, zużywają czas, czasami są niebezpieczne i zwykle nie pozwalają elastycznie zmieniać parametrów.

Wszystkie problemy rozwiązywalne analitycznie zostały rozwiązane do lat 40-tych ubiegłego wieku. Metody numeryczne dają rozwiązanie z natury rzeczy przybliżone. Pomimo tego faktu, są obecnie najlepszym narzędziem rozwiązywania problemów elektromagnetycznych.

Podstawy

3

A. Metody analityczne (rozwiązanie dokładne)•rozdzielenia zmiennych•przedłużeń analitycznych•odwzorowań konforemnych•równań całkowych•metoda zakłóceń•odbić zwierciadlanych

B. Metody numeryczne (rozwiązanie przybliżone)

•różnic skończonych•residuów ważonych•metoda momentu•elementów skończonych•elementów brzegowych •sieci reluktancyjnych•macieży linii transmisyjnych i inne

Najczęściej stosowane metody:Najczęściej stosowane metody:

4

Nazewnictwo metodZastosowanie metod numerycznych do obliczania pól i ich dynamiczny rozwój datuje się od końca lat sześćdziesiątych. Jego przyczyną był rozwój maszyn liczących i ich coraz większa dostępność.Powstające wówczas różnorodne metody wzajemnie się inspirowały i niektóre z nich są częścią innych metod lub ich przypadkiem szczególnym. Istnieją również metody hybrydowe łączące w rozwiązywanym problemie elementy różnych metod. Stąd problemy z nazewnictwem i klasyfikacją metod. U różnych autorów te same metody mogą nosić inne nazwy. Niektóre metody stanowiące przypadek szczególny innej metody są traktowane jako metody oddzielne.

5

W 1864, James Clerk Maxwell (1831-1879), zaproponował jedną z najbardziej kunsztownych teorii w historii nauki. W sławnym memoriale do Towarzystwa Królewskiego przedstawił dziewięć równań reasumujących wszystkie znane prawa elektryczności i magnetyzmu.

Nie było to zwykłe skatalogowanie praw natury, ale kompletna teoria makroskopowego elektromagnetyzmu.

„Czy to Bóg napisał te linie . . . ?” L. Boltzmann

„Najważniejszy wynalazek od czasów Newtona ”A. Einstein

Elektromagnetyzm

6

Istnieje kilka rywalizujących form równań różniczkowych Maxwell’a różnych w sposobie, w jakim rozważane są materiały. Najstarszą i najszerzej używaną formą jest podana przez Minkowskiego w 1908 r. W formie Minkowskiego równania różniczkowe nie zawierają żadnej wzmianki o materiałach. Cała informacja o materiale znajduje się w równaniach „konstytutywnych”.

W Maxwell’owskiej makroskopowej teorii elektromagnetyzmu pole źródłowe składa się z wektorowego pola J(r,t) (gęstości prądu) i skalarnego pola ρ(r,t) (gęstości ładunku).

W formie Minkowskiego polem pośredniczącym jest pole elektromagnetyczne składające się z układu czterech wektorów E(r, t), D(r, t), B(r, t) i H(r, t).

forma Minkowskiego

7

W formie Maxwell–Minkowskiego równania pola to cztery równania różniczkowe:

i równanie ciągłości

Prawo Faraday’a

Prawo Ampere’aPrawo Gauss’a

Magnetyczne prawo Gauss’a

W jednostkach SI: E (V/m), B (T), H (A/m), D (C/m2)

forma Minkowskiego2

8

Forma Maxwell–Boffi Forma Maxwell–Boffi

L. Boffi, sformalizował równania dla środowisk ruchomych

P jest wektorem polaryzacji, a M jest wektorem magnetyzacji. Użycie P i M w miejsce D i H czasem jest nazywane zastosowaniem zasady Ampere’a i Lorentz’a.

Dla uproszczenia zapisu pominięto w równaniach zależności od r i t

Formy Chu i Amperiana zawieraja wyraźną informację o prędkości ruchomego środowiska i nieco inną niż w formie Boffi, fizyczną interpretację elektrycznych i magnetycznych właściwości środowiska.

9

Najbardziej ogólną formę relacji „konstytutywnych” między polami można w symbolicznej formie zapisać jako:

Relacje „konstytutywne” dla pól w próżni:

μ0 and 0 to odpowiednio przenikalność magnetyczna próżni i przenikalność dielektryczna, a c – prędkość światła.

Zależności te określają cechy materiałów:izotropowe, anizotropowe, biizotropowe i bianizotropowe

lub

konstytutywne

,- w ośrodkach izotropowych skalarne, w anizotropowych tensorowe

10

Do końca dziewiętnastego wieku, Hertz przemyślał równania wiążące pola elektryczne i magnetyczne i wyprowadził prawa teorii obwodów (prawa Ohm’a i Kirchoff’a) z wyrażeń pola. Jego eksperymenty z polami wysokiej częstotliwości zweryfikowały przewidywania Maxwell’a o istnieniu elektromagnetycznej propagacji fal o skończonej prędkości i pomogły utrwalić związek między elektromagnetyzmem i optyką.

Związek między teorią pola i teorią obwodów jest wykorzystywany w technikach numerycznych do rozwiązywania pewnych typów równań różniczkowych pojawiających się w problemach polowych wyrażalnych za pomocą równoważnych sieci elektrycznych.

Hertz

11

Są trzy zakresy częstotliwości dla których rozwija się techniki numeryczne rozwiązywania problemów polowych. W zależności od stosunku długości fali do wymiaru urządzenia rozróżnia się trzy różne techniki analityczne:

•Teorię obwodów ( >> l)•Teorię mikrofal ( l)•Optykę geometryczną (niezależną od częstotliwości) ( << l)

Podstawowe prawa teorii obwodów, które mogą być wyprowadzone z równań Maxwell’a przez zastosowanie przybliżenia, są obowiązujące kiedy ( >> l).

Teoria obwodów

12

Jakkolwiek trzeba odnotować, że teoria obwodów nie została opracowana przez przybliżenie równań Maxwell’a, ale była wyprowadzona niezależnie z odkrytych eksperymentalnie praw. Związek między teorią obwodów i równaniami Maxwell’a (teorią pola) jest ważny, bowiem poszerza zrozumienie podstaw elektromagnetyzmu. Wg Silvester’a i Ferrari obwody są abstrakcją matematyczną fizycznie realnych pól, jednakże elektrycy zazwyczaj rozumieją lepiej teorię obwodów niż teorię pola. Idea zastąpienia skomplikowanego systemu elektrycznego przez prosty równoważny obwód pochodzi od Kirchhoff’a i Helmholtz’a. W rezulacie prac Park’a, Kron’a i Schwinger’a zalety, możliwości i elastyczność równoważnego obwodu stały się oczywiste dla elektryków.

abstrakcja matematyczna

13

Twierdzenie Gauss‘a albo dywergencja

Twierdzenie Stokes‘a

Zanim przejdziemy do krótkiego przeglądu teorii elektromagnetyzmu przypomnijmy dwa ważne twierdzenia.

Twierdzenie Gauss‘a

Sl

dd SFlF

vS

dvd FSF

14

Teoria EM może być traktowana jako badanie pól wytwarzanych przez ładunki elektryczne w spoczynku bądź w ruchu. Pola elektrostatyczne są zazwyczaj wytwarzane przez statyczne ładunki elektryczne, podczas gdy pola magnetostatyczne są skutkiem ruchu ładunków elektrycznych ze stałą prędkością (prąd stały). Dynamiczne lub zmienne w czasie pola są zwykle skutkiem ruchu przyspieszonych ładunków lub zmiennych w czasie prądów. ElektrostatykaElektrostatykaDwa podstawowe prawa pól elektrostatycznych to wynikające bezpośrednio z prawa Coulomb’a, prawo Gauss’a

S

S dV,

pozaρgdy,0

wρgdyV

S

dSD

15

oraz prawo konserwatyzmu pola elektrostatycznego

0 lE dl

D - indukcja elektryczna (C/m2), ρv – objętościowa gęstość ładunku (C/m3),E – natężenie pola elektrycznego (V/m). Stosując do powyższych równań całkowych, twierdzenia

Gauss‘a i Stokes‘a otrzymuje się równania różniczkowe:

Vρdiv D 0E rot

VD 0 E lub

16

Wektory D i E są związane zależnością:ΕD

– przenikalność dielektryczna (F/m)

E można wyrazić przy pomocy potencjału elektrycznego V (V):

VgradE

lE dVl

VEczyli

lub

17

VV

Kombinacja uprzednich równań różniczkowych prowadzi do równania Poisson’a

02 V0 V

VV 2Jeżeli = const

Kiedy V = 0 równanie pola elektrostatycznego przechodzi w równanie Laplace’a

Jeżeli = const

18

Pole elektrostatyczne

19

MagnetostatykaMagnetostatykaPodstawowymi prawami pola magnetostatycznego są prawo Ampere’a (nazywane też prawem przepływu) związane z prawem Biot – Savart’a

S

el

dd sJlH

oraz prawo zachowania strumienia magnetycznego (nazwanego też magnetycznym prawem Gauss’a)

0S

dSB

S(V)

B

i1 i2

dS

H

dll

Sdl

dS

rotH = J

l

SdS

20

Gdzie: H – natężenie pola magnetycznego (A/m), Je – gęstość prądu (A/m2),B – indukcja magnetyczna (T lub Wb/m2).Twierdzenia Gauss‘a i Stokes‘a jak poprzednio pozwalają

przekształcić równania całkowe w równania różniczkowe:

eerot JHJH

00 BBdiv

Pola wektorowe B i H są związane przenikalnością magnetyczną ośrodka µ (H/m).

oraz

ΗΒ μ

21

EJ

Również wektor J związany jest z E konduktywnością (S/m)różniczkowa postać prawa Ohma

Potencjał wektorowy to wektor zdefiniowany następująco:

0 AAB divrot

JAJAAA

JAJBΗΒJH

μμdivgradrotrot

μrotrotμrotμrot

2

2

Równanie Poisson’a dla pól magnetostatycznych

02 AKiedy J = 0 równanie przechodzi w równanie Laplace’a

22

Pole magnetostatyczne

23

Pole stałe w czasie, ale występujące w obecności prądów, w ciałach nieruchomych, to pole elektroprzepływowe.

Pole elektroprzepł

ywowe

0000

J)E(EJDBEJH

divdivdivrotrot

obc

Z tożsamości różniczkowejJH divrotdiv 0

Równania div J = 0 i rot E = 0 są odpowiednikami I i II prawa Kirchoffa