Kiểm tra bài cũ:

1. Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M và nhận véctơ u làm vtcp?

2. Chứng tỏ rằng véctơ n vuông góc với véctơ u ?

3. Véctơ k.n có vuông góc với véctơ u không?

Cho điểm M(2;3) và hai véctơ u (-1;2) ; n (2;1).

2( )

3 2

x tt

y t

= −∈ = +¡

( ). 1 .2 2.1 0u n u n= − + = ⇔ ⊥r r r r

ĐS :

ĐS :

( ) ( ). . . .0 0ku n k u n k ku n= = = ⇔ ⊥r r r r r r

ĐS :

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

2. Phương trình tham số của đường thẳng

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

3. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng:

a. Định nghĩa:Véctơ n được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu n ≠ 0 và n vuông góc với véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

* Từ định nghĩa trên ta suy ra:

+ Một đường thẳng có vô số vtpt.

+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vtpt của nó.

+Nếu ∆ có vtpt n (a;b) thì nó luôn có một vtcp là u (b;-a) hoặc u (-b;a).+Nếu n là một vtpt của đường thẳng ∆ thì k.n (k≠0) cũng là vtpt của đường thẳng ∆.

∆n1

n2

b.Ví dụ 2:1. Cho đường thẳng có vtpt n (-2;3). Các véctơ nào sau đây là

vtcp của đường thẳng đó?

A. u (2;3) B. u (-2;3) u (3;2) D. u (3;-2)

D. u (0;-5) u (-3;0) C. u (0;-2)A. u (0;3)

3. Cho đường thẳng có vtpt n (3;0). Các véctơ nào sau đây

không là vtcp của đường thẳng đó?

C.

B.

2. Cho đường thẳng có vtcp u (1;-5). Các véctơ nào sau đây là vtpt của đường thẳng đó?

A. n (1;5) B. n (-1;5) n (5;1)C. n (-5;1) D.

c. Bài toán:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M0 (x0;y0) và một vtpt n (a;b). Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 và nhận n làm vtpt. ∆M0

x

y

O

nVới mỗi điểm M (x;y) ∈mp (Oxy).

Giải

⇔ ax + by – ax0 – by0 = 0

Đặt c = – ax0 – by0; pttt: ax + by + c = 0

Pt có dạng như trên với a, b không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

M

Ta có: M ∈ ∆ ⇔ M0M ⊥ n ⇔ M0M.. n = 0

Trong đó: M0M = (x-x0;y-y0);

⇒ M0M.n = 0 ⇔ a(x-x0) + b(y-y0) = 0

n = (a;b)

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng:

a. Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a, b không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét: i) Đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 thì ∆ có vtpt n = (a;b) và có vtcp là u = (b;-a) hoặc u = (-b;a).

∆6. Tìm tọa độ vtcp của đường thẳng có pt: 3x + 4y – 5 = 0b. Ví dụ 3: Lập pttq của đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A (2;3),

B (1;5).

ii) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) và có vtpt n(a;b) là : a(x-x0)+b(y-y0)=0

⇒ PTTQ của đường thẳng ∆ : 2(x-2)+1(y-3)=0⇔ 2x+y-7=0

Giải :Đường thẳng ∆ có vtcp AB=(-1;2) ⇒vtpt n=(2;1)

c/Các trường hợp đặc biệt:

Cho đường thẳng ∆ có pttq : ax + by + c = 0 (1)

* Nếu a = 0 phương trình (1) trở thành : by + c = 0 hay

Khi đó đường thẳng ∆ vuông góc với trục Oy tại điểm

b

cy −=

)b

c;0( −

O x

y

b

c− c

yb

= −

O x

y

a

c−

cx

a= −

* Nếu b = 0 phương trình (1) trở thành : ax + c = 0 hay

Khi đó đường thẳng ∆ vuông góc với trục Ox tại điểm

acx −=)0;a

c( − c

xa

= −

* Nếu c = 0 phương trình (1) trở thành : ax + by = 0. Khi đó đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O.

O x

y

0ax by+ =

* Nếu a, b, c đều khác 0 ta có thể đưa phương trình (1) về

dạng: (2) với 1b

y

a

x

00

=+ .b

cb;

a

ca 00 −=−=

Phương trình (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a0;0) và N(0;b0).

O x

y

a0

Mb0

N0 0

1x y

a b+ =

∆7/ Trong mặt phẳng Oxy, hãy vẽ các đường thẳng có phương trình sau đây:D1: x – 2y = 0; D2: x = 2; D3: y+1=0; D4: ;1

4

y

8

x =+

1

2O x

y

H.1

(D1)

2O x

y

H.2

(D2)

-1

O x

y

H.3

(D3)

4

8Ox

y

H.4

(D4)

Bài tập trắc nghiệm:

Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: -2x + 3y -1 = 0

1. Véctơ nào sau đây là vtcp của d:A. (3;2) B. (2;3) C. (-3;2) D. (2;-3)

2. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d:A. (3;0) B. (1;1) C. (-3;0) D. (0;-3)

3. Véctơ nào sau đây không phải là vtcp của d:

A. B. (3;2) C. (2;3) D. (-3;-2)2

1;3

÷

4. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng d:

A. 2x – y – 1 = 0 07y2

3x =+−B.

C. 2x + 3y + 4 = 0 D. 2x + y = 5

TÓM TẮT:

1. Véctơ n được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu n ≠ 0 và n vuông góc với véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

2. Phương trình ax + by + c = 0 với a, b không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

3. Đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 thì ∆ có vtpt n = (a;b) và có vtcp là u = (b;-a) hoặc u = (-b;a).

4. Phương trình đt đi qua điểm M(x0;y0) và có VTPT n(a;b) là:a(x-x0)+b(y-y0)=0

Các dạng pt đường thẳng :

( )( ) ( )

0

0

0 0

0 0

0 0

1) : 0

2) :

3) :

4) :

5) 0

PTTQ ax by c

x x atPTTS

y y bt

x x y yPTCT

a bPTHSG y y k x x

a x x b y y

+ + == +

= +− −=

− = −

− + − =

Cho đường thẳng ∆ : -2x+5y+1=0

1/ Lập ptts của đường thẳng ∆ .

3/ Lập ptđt đi qua điểm M (1;-3) và song song với ∆

2/ Lập ptđt đi qua điểm A (-2;5) và vuông góc với ∆

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Các bài tập 2, 3, 4 sgk trang 80

y

x

1V

O

y

x1

VO

5 - VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng:

y

x1

VO

2V

2V

2V

1 1 1 1

2 2 2 2

: 0

: 0

a x b y c

a x b y c

∆ + + =∆ + + = NNªu c¸c vÞ trÝ t¬ng ªu c¸c vÞ trÝ t¬ng

®èi cña hai ®êng ®èi cña hai ®êng th¼ng trªn? th¼ng trªn?

Ta gi¶i hÖ PT: Ta gi¶i hÖ PT: 1 1 1

2 2 2

0(*)

0

a x b y c

a x b y c

+ + = + + =

1. (*) cã 1 nghiÖm 2. (*) v« nghiÖm 3. (*) v« sè nghiÖm

. Mx0

y0

?..?!

Cho hai ®êng th¼ng:

?..?!Cã c¸ch nµo xÐt vÞ Cã c¸ch nµo xÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng hai ®êng th¼ng mµ kh«ng cÇn gi¶i mµ kh«ng cÇn gi¶i hÖ pt kh«ng? hÖ pt kh«ng? y

x

1V

O

y

x1

VO

5 - VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng:

y

x1

VO

2V

2V

2V

1 1 1 1

2 2 2 2

: 0

: 0

a x b y c

a x b y c

∆ + + =∆ + + =

Ta lËp tØ sè c¸c hÖ Ta lËp tØ sè c¸c hÖ sè t¬ng øng trong trsè t¬ng øng trong trêng hîp êng hîp

2 2 2, , 0a b c ≠

1. 2. 3.

. Mx0

y0

Cho hai ®êng th¼ng:

1 1

2 2

a b

a b≠ 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= ≠ 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= =

Ví dụ 4 :1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 , ∆2 trong các trường hợp sau :

1 2

1 2

1 2

) : 2 3 5 0 : 3 3 0

) : 3 2 0 : 2 6 3 0

) : 0,7 12 5 0 :1,4 24 10 0

µ

µ

µ

a x y v x y

b x y v x y

c x y v x y

∆ − + = ∆ + − =

∆ − + = ∆ − + + =

∆ + − = ∆ + − =

Ta thấy : 2 3

1 3

−≠ nên ∆1 cắt ∆2

Ta thấy : 1 3 2

2 6 3

−= ≠−

nên ∆1 // ∆2

Ta thấy : 0,7 12 5

1,4 24 10

−= =−

nên ∆1 trùng ∆2

Ví dụ 4 :

2. Đường thẳng nào sau đây song song với đt 4x-10y+1=0?

1) : 2 5 5 0a x y∆ − + =2) : 4 10 1 0b x y∆ − + − =

3) : 5 1 0c x y∆ − + = 4) :10 4 5 0d x y∆ + + =

3. Xét vị trí tương đối của đt ∆ : x-2y+1=0 với mỗi đt sau :

d1: -3x+6y-3=0

d2: y=-2x

d3: 2x+5=4y

ĐS : ∆ trùng d1, cắt d2, song song với d3

6. Góc giữa hai đường thẳng

Góc nào là góc giữa hai đường thẳng AC và BD?

Cho hcn ABCD cã t©m I vµ c¸c c¹nh AB=1,AD= 3. TÝnh sè ®o c¸c gãc ∠AID vµ ∠DIC

1

3

I

A B

CD

6. Góc giữa hai đường thẳng

a. Đn : Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó đgl số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay đơn giản là góc giữa a và b. Kí hiệu : (a;b)

Khi a//b hay a≡b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 0.

NX :

i) Góc giữa hai đt luôn không tù

ii) Góc giữa hai đt bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT của hai đt.

a

b

n2

n1

b. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

1 1 1 1

2 2 2 2

: 0

: 0

a x b y c

a x b y c

∆ + + =∆ + + =

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a a bbcos

a b a bϕ

+=

+ +

Cho hai ®êng th¼ng:∆1

∆2

n2

n1

Gọi φ=(∆1, ∆2), ta thấy :

( ) 1 2

1 2

1 2

.cos cos ,

.

n nn n

n nϕ = =

ur uurur uur

ur uur

Suy ra

1 2 1 2 1 20a a bb∆ ⊥ ∆ ⇔ + =Lưu ý : hay k1.k2=-1 với k1,k2 lll

hệ số góc của hai đt

Ví dụ 5 :

Tìm góc giữa hai đường thẳng sau :

1 2

4: : 2 3 1 0

4 3µ

x tv x y

y t

= −∆ ∆ + − = = − +

?..?!Ta có : n1=(3;1); n2=(2;3)

Giải :

( )1 2 2 2 2 2

3.2 1.3 9cos ,

10 33 1 2 3

+∆ ∆ = =

+ +

Khi đó :

Suy ra : (∆1, ∆2)≈5804’37”

Chúng ta đã hoàn thành xong Chúng ta đã hoàn thành xong 6 mục của bài6 mục của bài

M MM(x ; y )y

x

: 0∆ + + =ax by c

∆

=uuuuur

'M M

+ Xác định điểm M’

+ Tính đoạn M’M

Cách giải :

M '

Nêu cách tính độ dài đoạn vuông góc hạ từ M xuống ∆?

=' ( '; ')M x yGiả sử

− + −2 2( ') ( ')M Mx x y y

Có công thức nào mà không cần tìm tọa độ

của M’ không?

Cách làm này không phức tạp nhưng … dài. Liệu có công thức nào tính độ dài đoạn vuông góc đó đơn giản hơn không?

=r

vtpt ( ; )n a b

' . (1)M M k n=uuuuuur r

: 0ax by c∆ + + =

∆

M M M(x ;y )

M '(x '; y ')

nr

2 2' . . (2)M M k n k a b= = +r

y

x

'

'

− =⇒ − =

M

M

x x ka

y y kb

. ( ; )=rk n ka kb

' ( '; ')= − −uuuuuur

M MM M x x y y

'

'

= −⇒ = −

M

M

x x ka

y y kb

Chỉ cần biết k là tính

được M’M !

Dựa vào đâu để tính k?

' ( ) ( ) 0M MM a x ka b y kb c∈∆ ⇒ − + − + =+ +=

+2 2M Max by c

ka b

Suy ra:

A… Thay k vào (2) là ta có

được M’M

2 2'

+ +=

+M Max by c

M Ma b

Khoảng cách từ M đến ∆

+ +∆ =

+2 2( ; ) M Max by c

d Ma b

Công thức tính

khoảng cách từ M đến ∆

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ − −

+2 2

1.1 2.( 2) 7

1 2= =10

2 55

∆ =( ; )d M

+ +∆ =

+2 2( ; ) M Max by c

d Ma b

VD6. Cho đường thẳng ∆ có phương trình x + 2y - 7 = 0 và điểm M(1; -2). Tính d(M;∆) ?

Áp dụng:

Cho đt ∆: ax + by + c = 0 và điểm M(xM; yM).

Khoảng cách từ M đến ∆:

: 0ax by c∆ + + =

∆M M M(x ;y )y

x0

Áp dụng+ +

∆ =+2 2

( ; ) M Max by cd M

a b

VD7:Tính khoảng cách từ M(1;-2) đến = − +∆ =

1 2:

x t

y t

Có áp dụng được công thức tính khoảng cách

ngay không?

∆ qua điểm (-1; 0) và có 1 vtpt ( 1; -2). Pt ∆: (x+1) - 2y = 0 hay x - 2y +1 = 0

2 2

(1 1) 2.( 2) 6 6( ; )

5 51 ( 2)

+ − −∆ = = =

+ −d M

Tương tự: với N(-1; 1) và P(3; 2) thì:− + −

+ −2 2

( 1 1) 2.1

1 ( 2)∆ =( ; )d N

+ −=

+ −2 2

(3 1) 2.20

1 ( 2)

−= =

2 2

5 5?

∆ =( ; )d P ?

M

N

N’

N

M

∆ ∆

M’M’

? N’

M, N cùng phía

hay khác phía đối với ∆?

'M M kn=uuuuuur r

' 'N N k n=uuuuur r

? Có nhận xét gì về vị trí của M, N đối với ∆ khi:

+ k và k’ cùng dấu?

+ k và k’ khác dấu?

M, N cùng phía đối với ∆

2 2' N Nax by ck

a b

+ +=+

2 2M Max by c

ka b

+ +=+

M, N khác phía đối với ∆

•M, N cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0

•M, N khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0

Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng

+ +∆ =

+2 2( ; ) M Max by c

d Ma b

•Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng:

Cho đt ∆: ax + by + c = 0 và điểm M(xM; yM).•Khoảng cách từ M đến ∆ :

•M, N cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0

•M, N khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0

7.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ +∆ =

+2 2( ; ) M Max by c

d Ma b

Cho M(1;-2), N(-1; 1) và P(3; 2) và1 2

:= − +∆ =

x t

y t

+ − −∆ = = =

+ −2 2

(1 1) 2.( 2) 6 6( ; )

5 51 ( 2)d M

+ −∆ = =

+ −2 2

(3 1) 2.2( ; ) 0

1 ( 2)d P

•M, N cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0

•M, N khác phía đối với ∆

⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0

− + − −∆ = = =

+ −2 2

( 1 1) 2.1 2 2( ; )

5 51 ( 2)d N

Đường thẳng ∆ cắt cạnh

nào của tam giác MNP ?

y

x

-2 -1

2

1

-2

3

P

N

M

O 1

(x+1) - 2y = 0 hay x - 2y +1 = 0

∆1: a1x+b1y+c1=0

∆2: a2x+b2y+c2=0

Viết công thức tính khoảng cách từ M

đến ∆1, ∆2?

M(x; y)

1 1 11 2 2

1 1

( ; )+ +

∆ =+

a x b y cd M

a b

2 2 22 2 2

2 2

( ; )+ +

∆ =+

a x b y cd M

a b

2 1( , ) ( , )d M d M∆ = ∆ 1 1 1 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + +=

+ +⇔

1 1 1 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

0a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + +± =+ +

⇔

Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

Hãy so sánh khoảng cách từ điểm M đến 2 đt ∆1, ∆2 khi M nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi 2 đt trên?

+ +∆ =

+2 2( ; ) M Max by c

d Ma b

•Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng:

Cho đt ∆: ax + by + c = 0 và điểm M(xM; yM).•Khoảng cách từ M đến ∆:

•M, N cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0

•M, N khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0

•Pt 2 đường phân giác của góc tạo bởi 2 đt cắt nhau:

1 1 1 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

0+ + + +± =

+ +a x b y c a x b y c

a b a b

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Hướng dẫn học ở nhà.

1. Nắm chắc các nội dung của bài.

2. Hoàn thành các hoạt động và ví dụ của SGK

3. Bài tập về nhà:

Bài tập: 1 đến 9 - SGK trang 80-81

CHÚC CÁC EM HỌC TỐT