puncte directii plane cristalografice

MSE 280: Introduction to Engineering Materials ! !D.D. Johnson 2004, 2006-10!

Puncte, directii si plane cristalografice.

Aspecte abordate...

Cum sa definim punctele, directiile, planele, precum si densitatile liniare, planare, volumice

definirea termenilor de baza si exemplificarea acestora: Puncte (pozitii atomice) Vectori (defineste o directie particulara) Indicii Miller (definesc un plan particular)

relatia cu difractia


a!

b!

c!

Puncte, directii si plane raportati la vectorii celulei elementare

Toate celulele unitare periodice pot fi descrise prin intermediul acestor vectori daca si numai daca a, b, si c definesc axele unui sistem de coordonate 3D. sistemul de coordonate este intotdeauna spre dreapta! Dar, putem defini puncte, directii si plane folosind un triplet de numere in unitati de vectori ai celulei elementare a, b, si c. Pentru HCP avem nevoie de patru numere, dupa cum vom vedea.


Coordonatele punctului

Pentru a defini un punct al celulei elementare. Se exprima coordonatele uvw ca fractii ale vectorilor celulei elementare a, b, si c (axele x, y, si z nu trebuie sa fie ortogonale).

a!

b!

c!

origine

pt. coord.

x (a) y (b) z (c)

0 0 0

1 0 0

1 1 1

1/2 0 1/2

pt.


Directii cristalografice

Procedura: 1. Orice linie (directie vectoriala) este definita de 2 puncte.

Primul punct este, de obicei, originea (000).

2. Se determina lungimea proiectiei vectorului pe fiecare din cele 3 axe in unitati (sau fractii) de a, b, and c. X (a), Y(b), Z(c) 1 1 0

3. Se multiplica sau divid cu un factor pentru a reduce lungimea la cea mai mica valoare intreaga, u v w.

4. Se pune intre paranteze drepte: [u v w]: [110] directie.

a b

c

DIRECTIILE ajuta la definirea PLANELOR (Indicii Miller Indices sau plan normali).

!

[1 1 0]5. Se indica numerele negative cu o linie Se pronunta directia minus 1, minus 1, zero.

6. Familia directiilor [110] se noteaza cu .


Exercitiu 1: Care este directia cristalografica?

a b

c De-a lungul lui x: 1 a

De-a lungul lui y: 1 b

De-a lungul lui z: 1 c

[1 1 1] DIRECTIA =

Marimea de-a lungul lui X Y Z


Exercitiul 2:

(a) Care estepunctulreeleidat depunctul P?

(b) Care este directia cristalografica de la origine la P?

Directiei [132] din origine.

Exemplul 3: Carei directii ii corespunde punctul 264?

!

[1 12]

!

"112


Directiiechivalentede simetrie

Nota: pentru unelestructuricristaline,direciidiferite potfiechivalente. ex.Pentru cristale cubice, direciile sunt echivalente prin simetrie : [1 0 0], [ 0 0], [0 1 0], [0 0], [0 0 1], [0 0 ]

111

Familii de directii cristalografice ex.

Modul de reprezentare a famillilor de directii cristalografice.


Familii si simetrii: Simetria cubica

x

y

z

(100)

Rotire 90o dupa axa z

x

y

z

(010)

x

y

z

(001) Rotire 90o dupa axa y

Similar pentru alte directii echivalente

Operaiade simetrie poategeneratoate direciilen cadrulunei familii.


Desemnarea planelor retelei

De ce sunt importante planele retelei?

(A) Determina structura cristalina * Metodele dedifractiemsoardistanadintreplanurilede atomi paralele ale reelei. Aceast informaieesteutilizat pentru a determinaparametriireeleintr-un cristal.

*metodele dedifracie, de asemenea,msoarunghiurile dintreplanurilereelei. (B) Deformarea plastica * Deformareaplasticalametaleare loc prinalunecareaatomilorunii peste altii ncristal.. * Aceastalunecaretindes aparde preferinde-a lungulunor plane specifice alecristalului. (C) Proprietati de transport * nanumite materiale,structuraatomic,determinatransportulrapid de electronii/saucaldura nacestplan,irelativlentpe altplan. Exemplu: Grafitul: contuctia termica este mai mare pe planul sp2-bonded plane.

Exemplu : superconductori YBa2Cu3O7 : planele Cu-O conduc perechi de electroni (perechi de Cu) responsabile de supraconductibilitate, dar perpendicular sunt izolatori.

+ unele plane ale retelei contin numai Cu sau numai O


Cum indicam planurile retelei?

Exemplul 1

Planele interescteaza axele : axa a la r= 2 axa a la s= 4/3 axa a la t= 1/2

Cum indicam simbolic planele intr-o retea?

Posibilitatea #1: Punem valorile r, s, si t in parenteze (r s t) Avantaje:

r, s, si t specifica in mod unic planul din retea relativ la origine. Parentezele indica plane, spre deosebire de directii indicate prin [...]

Dezavantaje:

Ce se intampla daca planul este paralel cu --- nu intersecteaza una dintre axe? Vom fi obligati sa spunem ca intersecteaza acea axa la ! Aceasta indicare este greoaie si inconvenienta.


Cum indicam planurile retelei?

Planele interescteaza axele : axa a la r= 2 axa a la s= 4/3 axa a la t= 1/2

Cum indicam simbolic planele intr-o retea?

Posibilitatea #2: CEA ACCEPTATA

1. Luam reciprocile lui r, s, si t. Adica: 1/r = 1/2 , 1/s = 3/4 , and 1/r = 2

2. Gasim cel mai mic multiplu care converteste toate reciprocele in intregi. Cu CMM = 4, h = 4/r = 2 , k= 4/s = 3 , and l= 4/r = 8

3. Punem noua tripleta (h,k,l) in pareneze: (238) 4. Aceasta notatie se numeste Indice Miller. * Nota: Daca un plan nu intersecteaza axele (ex., la ), atunci vom obtine 0. * Nota: Vom avea plane paralele cu aceiasi indici Miller.


Exercitiu

Care este notatia acestui plan in notatia cu indici Miller?

Care este notatia fetei de sus a celulei folosind Indici Miller?


Familii de plane ale retelei

Indicii Miller (hkl) re refera de obicei la planul care se afla cel mai aproape de origine dar nu trece prin ea. Trebuie deci ca intotdeauna sa mutam originea sau planul paralel, altfel intregul indicelui Miller va fi 1/0, adica,! Cateodata (hkl) se foloseste pentru a face referire la oricare plan al familiei, sau la intreaga familie de plane.

Cel mai important, indicii Miller (hkl) reprezinta acelai vector ca planul normal!

Daca se cunoaste orice plan dintr-o retea, exista o infinitate de plane paralele (sau familie de plane) la distante egale unele de celelalte.

Unul dintre plane apartinand orcarei familii trece prin origine.


z

x

y

Priviti in aceasta directie (perpendiculara pe plan)

Plane cristalografice in CFC: (100)

d100 = aDistanta dintre planele (100)

Distanta pana la planul (200) d200 =a2


Plane cristalografice in CFC : (110)

d110 =a 22

Distanta dintre planele (110)


Plane cristalografice in CFC: (111)

z

x

y

d111 =a 33Distanta dintre planele (111)

Priviti in aceasta directie (perpendiculara pe plan)


Nota: la fel ca si directiile cristalografice, planele paralele intre ele sunt echivalente


Comparatie intre diverse plane cristalografice

-1

1

Pentru planul indexat Miller (220) avem plane la 1/2, 1/2, . Planele (110) nu sunt neaparat plane (220)!

Pentru cristale cubice: Indicii Miller reprezinta o metoda simpla de determinare a distantelor dintre plane.

d110 =a

12 +12 + 02=

a2 =

a 22

Distanta dintre planele (110)

Pentru orice vector, v

cos(vx)+cos(vy)+cos(vz)=1


Directii in cristale HC

1. Pentru a sublinia ca sunt egale, a si b se inlocuiesc cu a1 si a2. 2. Celula elementara este marcata cu albastru. 3. Se introduce a patra axa (a3) pentru demonstrarea simetriei.

Simetria dupa axa c face a3 echivalent cu a1 si a2. Aceasta adaugare a vectorului face ca a3 = ( a1 + a2).

4. Rezulta acest sistem de coordonate: [a1 a2 ( a1 + a2) c]


Directii in cristale HC: notare cu 4 indici

Exemplu Care este notatia cu 4 indici a vectorului D?

Proiectand vectorul pe planul bazei, rezulta priectia intre a1 si a2 (vectorul B). Vectorul B = (a1 + a2), deci directia este [110] in coordonate [a1 a2 c], unde intersectia cu c este 0. in notatia cu 4-indici deoarece a3 = ( a1 + a2), vectorul B este deoarece este de 3x in afara.

in notatia cu 4-indici c = [0001], care trebuie adaugat pentru a-l rezulta pe D (redus la numere intregi) D = [1123]

Exercitiu: Care este vectorul C?

Cel mai usor de memorat: Gasiti axele de coordonate care intersecteaza vectorul de interes, si urmariti de-a lungul acestor axe (dar impartiti a1, a2, a3 la 3 deoarece sunteti de 3 ori in afara!).

!

1

3[112 0]

a2 2a3

B intreg


Indici Miller pentru plane in sistemul HC

Cand observati [1100], veti sti ca este HC, si nu [110] cubic!

Notatia utilizand 4 indecsi este mai importanta pentru planele din HC pentru a distinge palne similare rotite cu 120o.

1. Gasiti intersectiile, r si s, ale planului cu oricare doua axe ale planului bazal (a1, a2, sau a3), precum si intersectia, t, cu axa c.

2. Determinati reciprocele 1/r, 1/s, si 1/t. 3. Convertiti reciprocele la cel mai mic intreg comun. 4. Obtineti h, k, i , l dupa relatia i = - (h+k), unde h este

asociat cu a1, k cu a2, i cu a3, si l cu c. 5. Puneti cei patru indici intre paranteze rotunde: (h k i

l) .

Cum descoperim Indicii Miller pentru HC:

r

s

t


Indici Miller pentru plane in sistemul HC

Care este indicele Miller al planului roz?

1. Planul intersecteaza a1, a3 si c la r=1, s=1 si t= .

1. Reciprocele sunt 1/r = 1, 1/s = 1, si1/t = 0.

2. Sunt deja cei mai mici intregi.

3. Putem deci scrie (h k i l) = (1 ? 1 0).

4. utilizand relatia i = - (h+k), k=2.

5. Indicele Miller este (1210)


Da, Da.se poate obtine fara a3!

1. Planul intersecteaza a1, a2 si c la r=1, s=1/2 si t= .

2. Reciprocele sunt 1/r = 1, 1/s = 2, si 1/t = 0.

3. Sunt deja cei mai mici intregi.

4. Putem scrie (h k i l) =

5. Utilizand relatia i = - (h+k), i=1.

6. Indicele Miller

!

(12 10)

!

(12 ?0)

Dar retineti ca notatia cu 4-indici este unica.considerand toate cele 4 intersectii: planul intersecteaza a1, a2, a3 si c la 1, 1/2, 1, si . Reciprocele sunt 1, 2, 1, si 0. Deci, exista un singur Indice Miller posibil

!

(12 10)


a1

a2

a3

Paralel cu a1, a2 si a3 deci, h = k = i = 0

Intersecteaza c la z = 1

Numiti acest plan

Planul Bazal in HC

)0001(=planul


z

a1

a2

a3

planul(1 1 0 0)

+1 in a1

-1 in a2

h = 1, l = 0 i = -(1+-1) = 0, k = -1,

Alt Plan in HC


Planul (1 1 1) in CFC z

x

y

z

a1

a2

a3

Planul (0 0 0 1) in HC E ACELASI LUCRU!*


SUMAR

Structura cristalina poate fi definita prin reteaua spatiala si atomi de baza (decoratii sau motive).

Doar 14 Retele Bravais sunt posibile. Ne referim in special la CFC, HC, si CVC, pentru ca sunt majoritare in tabelul periodic.

Acum putem identifica si determina: pozitiile atomice, planele atomice (Indicii Miller), impachetari de-a lungul directiilor (LD) si planelor (PD). Stim cum sa determinam structura matematic. Deci, cum o facem experimental? DIFRACTIE.

puncte directii plane cristalografice

Documents