Puterea unui număr natural

Profesor: Cristina Calacan

POVESTEA ȘAHULUI

�

Legenda Sahului

In vremeuri indepartate, in marea tara a Indiei traia un batran intelept, pe

nume Sissa. Regele acelei tari, era un om foarte rau, care purta mereu

razboaie de cucerire, isi tiraniza supusii si facea multe alte rele in asa fel incat

nu era deloc iubit de poporul sau. Batranul intelept - spre a usura soarta

supusilor regelui - s-a gandit sa nascoceasca un joc cat mai frumos si mai

interesant care sa-l cucereasca pe rajah (asa li se spunea regilor in India). Si

astfel a aparut sahul...

Dar povestea nu s-a terminat! Regele, cucerit de frumusetea jocului se

spune ca statea toata ziua si juca sah! Si binenteles el l-a chemat pe inteleptulspune ca statea toata ziua si juca sah! Si binenteles el l-a chemat pe inteleptul

Sissa si l-a intrebat cum ar putea sa-l rasplateasca. Batranul a refuzat dar,

rajahul a insistat atat de mult, ca pana la urma inteleptul s-a lasat induplecat.

Si a cerut un bob de grau pentru prima patratica, doua pentru a doua, patru

pentru a treia, opt pentru a patra si cand au calculat cate boabe ar trebui sa

dea in total, vistiernicii rajahului au vazut ca nici intr-o suta de ani in

hambarele intregii Indii nu poate fi adunat atata grau!

Aceasta frumoasa legenda spune multe despre inepuizabilul si inegalabilul

joc care se cheama SAH !

LEGENDA SAHULUILEGENDA SAHULUILEGENDA SAHULUILEGENDA SAHULUI

PUTEREA UNUI NUMĂR NATURAL

�

CONVENŢII

�

REGULI DE CALCUL ALE PUTERILOR

� Regulile de calcul cu puteri sunt următoarele:Regulile de calcul cu puteri sunt următoarele:Regulile de calcul cu puteri sunt următoarele:Regulile de calcul cu puteri sunt următoarele:

� aaaammmm · a· a· a· annnn = a= a= a= am+nm+nm+nm+n , a, a, a, a∈∈∈∈N, m,nN, m,nN, m,nN, m,n∈∈∈∈N;N;N;N;

� aaaammmm : a: a: a: annnn = a= a= a= am m m m ---- nnnn , a, a, a, a∈∈∈∈N, m,nN, m,nN, m,nN, m,n∈∈∈∈N, m N, m N, m N, m ≥≥≥≥ n;n;n;n;

(a(a(a(ammmm))))nnnn = a= a= a= am·nm·nm·nm·n , a, a, a, a∈∈∈∈N, m,nN, m,nN, m,nN, m,n∈∈∈∈N;N;N;N;� (a(a(a(ammmm))))nnnn = a= a= a= am·nm·nm·nm·n , a, a, a, a∈∈∈∈N, m,nN, m,nN, m,nN, m,n∈∈∈∈N;N;N;N;

� (a · b)(a · b)(a · b)(a · b)nnnn = a= a= a= annnn · b· b· b· bnnnn , a,b, a,b, a,b, a,b∈∈∈∈N, nN, nN, nN, n∈∈∈∈N;N;N;N;

� (a : b)(a : b)(a : b)(a : b)nnnn = a= a= a= annnn : b: b: b: bnnnn , a,b, a,b, a,b, a,b∈∈∈∈N, bN, bN, bN, b≠≠≠≠0, n0, n0, n0, n∈∈∈∈N;N;N;N;

ULTIMA CIFRĂ

� DeoareceDeoareceDeoareceDeoarece ultimaultimaultimaultima cifrăcifrăcifrăcifră a a a a unuiunuiunuiunui produsprodusprodusprodus de de de de numerenumerenumerenumere esteesteesteeste ultimaultimaultimaultima cifrăcifrăcifrăcifră a a a a produsuluiprodusuluiprodusuluiprodusului ultimelorultimelorultimelorultimelor douădouădouădouă cifrecifrecifrecifre ale ale ale ale numerelornumerelornumerelornumerelor date, date, date, date, avemavemavemavem::::

� NumereleNumereleNumereleNumerele care se care se care se care se terminăterminăterminătermină înînînîn cifrelecifrelecifrelecifrele 0, 1, 5 , 6 se 0, 1, 5 , 6 se 0, 1, 5 , 6 se 0, 1, 5 , 6 se vorvorvorvor terminaterminaterminatermina cu cu cu cu aceleaşiaceleaşiaceleaşiaceleaşi cifrecifrecifrecifre....

UltimaUltimaUltimaUltima cifrăcifrăcifrăcifră a a a a puterilorputerilorputerilorputerilor nenulenenulenenulenenule terminate terminate terminate terminate înînînîn 4 4 4 4 sausausausau 9 se 9 se 9 se 9 se repetărepetărepetărepetă din 2 din 2 din 2 din 2 înînînîn� UltimaUltimaUltimaUltima cifrăcifrăcifrăcifră a a a a puterilorputerilorputerilorputerilor nenulenenulenenulenenule terminate terminate terminate terminate înînînîn 4 4 4 4 sausausausau 9 se 9 se 9 se 9 se repetărepetărepetărepetă din 2 din 2 din 2 din 2 înînînîn2.2.2.2.

� UltimaUltimaUltimaUltima cifrăcifrăcifrăcifră a a a a puterilorputerilorputerilorputerilor nenulenenulenenulenenule ale ale ale ale numerelornumerelornumerelornumerelor terminate terminate terminate terminate înînînîn 2, 3, 7 2, 3, 7 2, 3, 7 2, 3, 7 sausausausau8 se 8 se 8 se 8 se repetărepetărepetărepetă din 4 din 4 din 4 din 4 înînînîn 4444

� Pentru Pentru Pentru Pentru a stabili ultima cifră a unei puteri a unui număr natural, a stabili ultima cifră a unei puteri a unui număr natural, a stabili ultima cifră a unei puteri a unui număr natural, a stabili ultima cifră a unei puteri a unui număr natural, analizăm analizăm analizăm analizăm toate cazurile posibile şi stabilim regulile corespunzătoare toate cazurile posibile şi stabilim regulile corespunzătoare toate cazurile posibile şi stabilim regulile corespunzătoare toate cazurile posibile şi stabilim regulile corespunzătoare

TABEL CU ULTIMA CIFRĂ A PUTERILOR UNUI NR

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Perioada

U(0n) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -

U(1n) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

U(2n) 1 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4U(2 ) 1 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4

U(3n) 1 3 9 7 1 3 7 9 1 3 4

U(4n) 1 4 6 4 6 4 6 4 6 4 2

U(5n) 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1

U(6n) 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1

U(7n) 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 4

U(8n) 1 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4

U(9n) 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 2

OBSERVAŢII

� ConstatămConstatămConstatămConstatăm căcăcăcă::::� Orice număr nenul la puterea 0 are ultima cifră 1 (de Orice număr nenul la puterea 0 are ultima cifră 1 (de Orice număr nenul la puterea 0 are ultima cifră 1 (de Orice număr nenul la puterea 0 are ultima cifră 1 (de

fapt, e chiar 1fapt, e chiar 1fapt, e chiar 1fapt, e chiar 1).).).).

� PuterilePuterilePuterilePuterile cu exponent cu exponent cu exponent cu exponent nenulnenulnenulnenul ale ale ale ale numerelornumerelornumerelornumerelor 1, 5, 6 1, 5, 6 1, 5, 6 1, 5, 6 şeşeşeşeterminăterminăterminătermină înînînîn 1, 5, 61, 5, 61, 5, 61, 5, 6....terminăterminăterminătermină înînînîn 1, 5, 61, 5, 61, 5, 61, 5, 6....

� PuterilePuterilePuterilePuterile pare, cu exponent pare, cu exponent pare, cu exponent pare, cu exponent nenulnenulnenulnenul, ale , ale , ale , ale numerelornumerelornumerelornumerelor 4 4 4 4 şişişişi 9 9 9 9 se se se se terminăterminăterminătermină înînînîn 6 6 6 6 şişişişi, , , , respectivrespectivrespectivrespectiv, 1, 1, 1, 1....

� Puterile impare ale numerelor 4 şi 9 se termină în 4 şi, Puterile impare ale numerelor 4 şi 9 se termină în 4 şi, Puterile impare ale numerelor 4 şi 9 se termină în 4 şi, Puterile impare ale numerelor 4 şi 9 se termină în 4 şi, respectiv 9.respectiv 9.respectiv 9.respectiv 9.

�

ALGORITM PENTRU AFLAREA ULTIMEI CIFRE:ALGORITM PENTRU AFLAREA ULTIMEI CIFRE:ALGORITM PENTRU AFLAREA ULTIMEI CIFRE:ALGORITM PENTRU AFLAREA ULTIMEI CIFRE:

� Se notează baza şi exponentul Se notează baza şi exponentul Se notează baza şi exponentul Se notează baza şi exponentul principalprincipalprincipalprincipal....� Se calculează pentru fiecare putere a bazei ultima Se calculează pentru fiecare putere a bazei ultima Se calculează pentru fiecare putere a bazei ultima Se calculează pentru fiecare putere a bazei ultima cifrăcifrăcifrăcifră....

� Se Se Se Se observăobservăobservăobservă perioadaperioadaperioadaperioada ((((nrnrnrnr de de de de paşipaşipaşipaşi de de de de cândcândcândcând începîncepîncepîncep săsăsăsă se se se se repeterepeterepeterepete))))....

� Se Se Se Se împarteîmparteîmparteîmparte exponentulexponentulexponentulexponentul principal la principal la principal la principal la perioadăperioadăperioadăperioadă

� Restul împărţirii ne indică puterea la care trebuie să ne Restul împărţirii ne indică puterea la care trebuie să ne Restul împărţirii ne indică puterea la care trebuie să ne Restul împărţirii ne indică puterea la care trebuie să ne uitămuitămuitămuităm....

� Dacă restul este 0, ne uităm de fiecare dată la ultima Dacă restul este 0, ne uităm de fiecare dată la ultima Dacă restul este 0, ne uităm de fiecare dată la ultima Dacă restul este 0, ne uităm de fiecare dată la ultima putere din ciclu.putere din ciclu.putere din ciclu.putere din ciclu.

PĂTRAT ȘI CUB PERFECT

2X3

X2

X

Un număr natural care poate fi scris ca puterea doua a

unui număr natural se numeşte pătrat perfect.

Un număr care poate fi scris ca puterea a treia a unui

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0

Un număr care poate fi scris ca puterea a treia a unui

număr natural se numeşte cub perfect.

OBSERVAŢII� Un număr care are ultima cifră 2, 3, 7, 8 nu poate fi Un număr care are ultima cifră 2, 3, 7, 8 nu poate fi Un număr care are ultima cifră 2, 3, 7, 8 nu poate fi Un număr care are ultima cifră 2, 3, 7, 8 nu poate fi

pătrat perfectpătrat perfectpătrat perfectpătrat perfect....

� Un Un Un Un numărnumărnumărnumăr poatepoatepoatepoate fi fi fi fi pătratpătratpătratpătrat perfectperfectperfectperfect dacădacădacădacă poatepoatepoatepoate fi fi fi fi scrisscrisscrisscris ca ca ca ca produsprodusprodusprodus de de de de douădouădouădouă pătratepătratepătratepătrate perfecteperfecteperfecteperfecte....

SpunemSpunemSpunemSpunem căcăcăcă un un un un numărnumărnumărnumăr nu este nu este nu este nu este pătratpătratpătratpătrat perfectperfectperfectperfect dacădacădacădacă poatepoatepoatepoate� SpunemSpunemSpunemSpunem căcăcăcă un un un un numărnumărnumărnumăr nu este nu este nu este nu este pătratpătratpătratpătrat perfectperfectperfectperfect dacădacădacădacă poatepoatepoatepoatefi fi fi fi cuprinscuprinscuprinscuprins întreîntreîntreîntre douădouădouădouă pătratepătratepătratepătrate perfecteperfecteperfecteperfecte a a a a douădouădouădouă numerenumerenumerenumereconsecutiveconsecutiveconsecutiveconsecutive....

� Exemplu:75 Exemplu:75 Exemplu:75 Exemplu:75 nunununu este este este este pătratpătratpătratpătrat perfectperfectperfectperfect deoarecedeoarecedeoarecedeoarece el este el este el este el este cuprinscuprinscuprinscuprins întreîntreîntreîntre 64 (64 (64 (64 (pătratulpătratulpătratulpătratul perfectperfectperfectperfect al lui 8) al lui 8) al lui 8) al lui 8) şişişişi 81 (81 (81 (81 (pătratulpătratulpătratulpătratulperfectperfectperfectperfect al lui 9).al lui 9).al lui 9).al lui 9).

FACTOR COMUN PENTRU PUTERI

�