qcd field teori

UKUROVA NVERSTES FEN BLMLER ENSTTS

DOKTORA TEZ Muhammet Serdar AVU DELEKTRK DURULMANIN KUSUR-DESTEKL KESRL STOKASTK ISING MODEL

FZK ANABLM DALI ADANA, 2010


DELEKTRK DURULMANIN KUSUR-DESTEKL KESRL STOKASTK

ISING MODEL

Muhammet Serdar AVU

DOKTORA TEZ

FZK ANABLM DALI Bu Tez ../../2010 Tarihinde Aadaki Jri yeleri Tarafndan Oybirlii/Oyokluu ile Kabul Edilmitir. .................... .. ................................ Prof.Dr.Sleyman BOZDEMR Prof. Dr. Metin ZDEMR Prof. Dr. Doan DNMEZ DANIMAN YE YE .................. ... Prof. Dr. Kerim KIYMA Yard. Do. Dr. Stk EKER YE YE Bu Tez Enstitmz Fizik Anabilim Dalnda hazrlanmtr. Kod No:

Prof. Dr. lhami YENGL Enstit Mdr

Bu alma . . Aratrma Projeleri Birimi Tarafndan Desteklenmitir. Proje No: FEF2009D3 Not: Bu tezde kullanlan zgn ve baka kaynaktan yaplan bildirilerin, izelge ve fotoraflarn

kaynak gsterilmeden kullanm, 5846 sayl Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hkmlere tabidir.

I

Z

DOKTORA TEZ

DELEKTRK DURULMANIN KUSUR-DESTEKL KESRL STOKASTK ISING MODEL

Muhammet Serdar AVU


FZK ANABLM DALI

Danman: Prof. Dr. Sleyman BOZDEMR Yl : 2010, Sayfa: 106 Jri :Prof. Dr. Sleyman BOZDEMR

Prof. Dr. Metin ZDEMR Prof. Dr. Doan DNMEZ Prof. Dr. Kerim KIYMA Yrd. Do. Dr. Stk EKER

Bu almada, mevcut dielektrik durulma modellerinden daha iyi sonular

veren kesirli bir dielektrik durulma modeli gelitirildi. Modelin gelitirilmesi srasnda, Glarumun kusur difzyon modeli ve Glauber'n stokastik Ising modeli, kesirli hesap teknii kullanlarak yeniden analiz edildi. Elde edilen sonular, klasik kusur difzyon ve stokastik Ising modellerinin sonularyla karlatrld ve kesirli yntemle elde edilen zmlerin dierlerine gre stnlkleri ortaya kondu. Daha sonra, kesirli hesap teknii kullanarak zmlerini yaptmz kusur difzyon ve stokastik Ising yaklam birletirilerek Kusur Destekli Kesirli Stokastik Ising Modeli adnda yeni bir birleik durulma modeli gelitirildi. Bu modelin sonular baz ampirik fonksiyonlarla temsil edilen dielektrik durulma verileriyle karlatrld. Birleik modelden elde edilen durulma fonksiyonunun Fourier dnmnn frekansa bal erilerinin KWW, Cole-Cole, Cole-Davidson ve Havriliak-Negami fonksiyonlarndan elde edilen erilerle tam bir uyum iinde olduu gsterildi. Elde edilen sonular, dielektrik durulmada gzlenen, yukarda bahsettiimiz evrensel non-Debye tipi davranlarn yeni bir molekler yorumuna yol amaktadr.

Anahtar Kelimeler: Kusur difzyon, Stokastik Ising modeli, Kesirli hesap, Dielektrik

durulma, Kesirli durulma

II

ABSTRACT

PhD THESIS

DEFECT-ASSISTED FRACTIONAL STOCHASTIC ISING MODEL OF DIELECTRIC RELAXATION

Muhammet Serdar AVU

UKUROVA UNIVERSITY

INSTITUTE OF BASIC AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF PYHSICS

Supervisor:Prof. Dr. Sleyman BOZDEMR Year : 2010, Pages: 106 Jury :Prof. Dr. Sleyman BOZDEMR

Prof. Dr. Metin ZDEMR Prof. Dr. Doan DNMEZ Prof. Dr. Kerim KIYMA Asst. Prof. Dr. Stk EKER

In this study, a fractional dielectric relaxation model giving better results than

the existing dielectric relaxation models is developed. During the development of the model, Glaubers stochastic Ising model and Glarums defect diffusion model are re-analyzed by using the fractional calculus technique. The results obtained are compared both with the results of the classical defect diffusion and stochastic Ising models, and a superiority of the fractional solutions according to these models is shown. Then, a new cooperative relaxation model, namely Defect Assisted Fractional Stochastic Ising Model, is developed by combining the defect diffusion and stochastic Ising approaches, which are solved by using the fractional calculus technique. The results of this model are compared with the dielectric relaxation data represented by some empirical functions. It is shown that frequency dependent plots of the Fourier transform of correlation function obtained from the cooperative model are fully compatible with the empirical KWW, Cole-Cole, Cole-Davidson and Havriliak-Negami functions. The results obtained leads to a new molecular interpretation of the universal non-Debye type behaviors mentioned above. Key Words: Defect Diffusion, Stochastic Ising model, Fractional calculus,

Dielectric relaxation, Fractional relaxation

III

TEEKKR

ncelikle, bu tezin ynetiminde, oluumunda ve ayn zamanda almalarm

srasnda karlatm sorunlarn zmnde btn olanaklar salayan ve her trl

desteini esirgemeyen tez danmanm Prof. Dr. Sleyman BOZDEMRe

teekkrlerimi sunarm.

Ayrca almalarmda tavsiyelerini, nerilerini ve yardmlarn eksik

etmeyen Prof. Dr. Metin ZDEMRe, Prof. Dr. Doan DNMEZe ve halen grev

yapmakta olduum Kastamonu niversitesindeki deerli yneticilere, bana her trl

kolayl salayan ve scak bir ortam yaratan tm Fizik Blm hocalarma teekkr

ederim.

IV

NDEKLER SAYFA

Z .............................................................................................................................I

ABSTRACT ............................................................................................................ II

TEEKKR ........................................................................................................... III

NDEKLER... .... IV

ZELGELER DZN ........................................................................................ VIII

EKLLER DZN ................................................................................................. X

SMGELER VE KISALTMALAR ...................................................................... XIV

1. GR ................................................................................................................... 1

1.1. Dielektriin Doas ve Temel Kavramlar3

1.1.1. Elektrik Dipol, Dipol Moment ve Kutuplanma........3

1.1. 2. Dielektrik Sabiti ve Kutuplanabilirlik......7

1.1. 3. Dielektrik Maddelerde Kutuplanma eitleri......................9

1.1. 3.1. Elektronik Kutuplanma....10

1.1. 3. 2. Atomik kutuplanma.....................10

1. 1.3. 3. yonik kutuplanma...11

1. 1.3. 4. Ynelme kutuplanmas....11

1. 1.3. 5. Arayzey kutuplanmas...14

1. 1.4. Dielektriklerde i alan problemi..15

1.1. 4. 1. Clausius-Mossotti denklemi.....18

1. 1.5. En Yakn ki Dipoln Etkileme Enerjisi ...20

1. 1.6. Zamana Bal Alanlarda Lineer Dielektrikler.22

1. 1.7. Frekansa Bal Kompleks Dielektrik Fonksiyonu..26

2. NCEK ALIMALAR..31

2. 1. Szigeti dielektrik teorisi..32

2. 2. Kusur Difzyon Modeli..34

2.3. Hiyerarik Kstlanm Dinamik Durulma Modeli.37

2. 4. Frster Direkt-Transfer Modeli..37

2. 5. Fraktal Durulma modeli..38

2. 6. Ising Modeline Dayanan almalar..39

V

2. 7. Szlme Modeli..40

2. 8. Kesirli Durulma Sreleri....40

2. 9. Deneysel Sonularn Yorumuna Dayanan Ampirik Fonksiyonlar..41

3. MATERYAL VE METOD. .......................................................................... . 47

3. 1. Kesirli (Fractional) Diferansiyel Hesap Teknii.47

3. 2. Mittag-Leffler Fonksiyonlar..48

3.3. Keyfi Dereceden Trev ve ntegraller (Diferintegraller).49

3. 3. 1. Grnwald-Letnikov tanm..49

3. 3. 2. Riemann-Liouville Tanm..49

3. 3. 3. Cauchy Diferintegral Tanm...50

3. 3. 4. Caputo Kesirli Trevi..50

3. 4. Kesirli Trev ve ntegrallerin zellikleri....51

3. 4. 1. Lineerlik.......51

3. 4. 2. Homojen Olma zellii...........51

3. 4. 3. Bir Serinin Diferintegrali.....51

3. 4. 4. Kesirli Trevlerin Leibniz Kural....52

3. 4. 5. Birleme zellii..........52

3. 4. 6. Bileik Fonksiyonlarn Kesirli Trevleri.....53

3. 4. 7. Bir Parametreye Bal Bir ntegralin Riemann-Liouville Kesirli Trevi..53

3. 4. 8. lek deiiklii..54

3. 5. Kesirli Diferansiyel Tekniinde Kullanlan Baz nemli Dnmler..55

3. 5. 1. Riemann-Liouville ve Grnwald-Letnikov Kesirli ntegrallerinin Laplace Dnm.........................................................55

3. 5. 2. Riemann-Liouville Kesirli Trevin Laplace Dnm....55

3. 5. 3. Caputo Trevinin Laplace Dnm.........55

3. 5. 4. Grnwald-Letnikov Kesirli Trevinin Laplace Dnm.....56

3. 5. 5. Kesirli ntegrallerin Fourier Dnm...........56

3. 5. 6. Kesirli Trevlerin Fourier Dnm..........56

4. BULGULAR VE TARTIMA .......................................................................... .59

4. 1. Kusur Difzyon Modelinden Elde Edilen Kesirli Dipol Korelasyon

Fonksiyonu.59

VI

4. 2. Ising Modelinden Elde Edilen Kesirli Dipol Korelasyon Fonksiyonu...64

4. 3. Birleik Model: Kusur Destekli Kesirli Stokastik Ising Modeli.............69

5. SONULAR VE NERLER ........................................................................... 87

KAYNAKLAR ....................................................................................................... 93

ZGEM ........................................................................................................... 99

EKLER ................................................................................................................. 100

Ek 1...100

Ek 2...103

Ek 3...105

VIII

ZELGELER DZN .......................................................................... SAYFA

izelge 1.1. Baz yaltkan maddelerin dielektrik sabitleri ve dielektrik

dayankllklar......7

X

EKLLER DZN SAYFA

ekil 1.1. Bir nokta yk sisteminin elektrik momenti4

ekil 1.2. Elektrik alan iine konulmu dielektrik maddede dipol

ynelmesi, yzeylerde kutuplanmann ve ierde i alann

oluumunun ematik gsterimi..................6

ekil 1.3. Elektrik alan iine konulmu kutuplu maddenin bir ift-kutbundaki

ynelme................12

ekil 1.4. Arayzey Uzay Yk kutuplanmas...........14

ekil 1.5. (a) arasnda dielektrik bir madde bulunan ykl bir kondansatr,

(b) Dielektrik ortamda kresel oyuk16

ekil 1.6. Aralarnda mesafesi bulunan iki dipol.21 ekil 1.7. Youn fazdaki polar bileikler iin frekansa bal dielektrik sabitinin

dalm ve kayp pikleri......25

ekil 2.1. Debye bants iin kayp erileri...42

ekil 2.2. Cole-Cole bantsnn nn farkl deerleri iin kayp erileri........43 ekil 2.3. Cole-Davidson bantsnn nn farkl deerleri iin kayp erileri....44 ekil 2.4. Havriliak ve Negami bantsnn ve nn farkl deerleri iin kayp erileri45

ekil 3.1. Bir parametreli Mittag-Leffler fonksiyonlar...48

ekil 4.1. nn farkl deerleri iin KWW tipi kesirli dipol korelasyon fonksiyonu erileri.....62

ekil 4.2. (4.6) kesirli dipol korelasyon fonksiyonunun 1 1.5 deerleri iin kayp erileri...62

ekil 4.3. (4.6) kesirli dipol korelasyon fonksiyonunun 0.5 < < 1 deerleri iin kayp erileri.....63

ekil 4.4. (4.6) kesirli dipol korelasyon fonksiyonunun = 0.6 deeri iin kayp erileri64

ekil 4.5. (4.6) kesirli dipol korelasyon fonksiyonunun = 0.65 deeri iin kayp erileri64

XI

ekil 4.6. (4.26) korelasyon fonksiyonunun = 0.4, 0.6, 0 .8 deerleri iin kayp erileri69

ekil 4.7. Kesirli kompleks dielektrik fonksiyonu , ( ) ve Debye denklemi kayp erileri72

ekil 4.8. Kesirli kompleks dielektrik fonksiyonu , ( ) ve Cole-Cole denklemi kayp erileri72

ekil 4.9. Kesirli kompleks dielektrik fonksiyonu , ( ) ve Cole-Davidson denklemi kayp erileri73

ekil 4.10. Kesirli kompleks dielektrik fonksiyonu , ( ) ve Cole-Davidson denklemi reel erileri...74

ekil 4.11. Kesirli kompleks dielektrik fonksiyonu , ( ) ve Cole-Davidson denklemi kayp erileri....74

ekil 4.12. Kesirli kompleks dielektrik fonksiyonu , ( ) ve Cole-Davidson denklemi reel erileri...75

ekil 4.13. Kesirli dielektrik fonksiyonu , ( ) ve Cole-Davidson denklemi kayp erileri....75

ekil 4.14. Kesirli dielektrik fonksiyonunu , ( ) nn = 0.505, = 0.98 deerleri iin reel ve sanal bileenleri erileri.....76

ekil 4.15. Kesirli kompleks dielektrik fonksiyonu , ( ) ve Havriliak-Negami denklemi kayp erileri....77

ekil 4.16. Havriliak-Negami ve kesirli kompleks dielektrik fonksiyonu , ( ) kayp erileri....78

ekil 4.17. , ( ) bantsnn = 0.7 sabit deerine karlk = 0.5, 0.4, 0.3 deerlerine gre kayp erileri.....79

ekil 4.18. , ( ) bantsnn = 0.7 sabit deerine karlk = 0.5, 0.4, 0.3 deerlerine gre reel erileri ...79

ekil 4.19. , ( ) bantsnn = 0.7 sabit deerine karlk = 0.5, 0.6, 0.7 deerlerine gre kayp erileri 80

ekil 4.20. , ( ) bantsnn = 0.7 sabit deerine karlk = 0.5, 0.6, 0.7 deerlerine gre reel erileri ...81

XII

ekil 4.21. , ( ) bantsnn farkl deerleri iin Debye tipi kayp erileri..82 ekil 4.22. , ( ) bantsnn farkl deerleri iin Debye tipi reel erileri.82 ekil 4.23. , ( ) bantsnn farkl deerleri iin Cole-Cole tipi kayp erileri..83

ekil 4.24. , ( ) bantsnn farkl deerleri iin Cole-Cole tipi reel erileri...83 ekil 4.25. , ( ) bantsnn farkl deerleri iin Cole-Davidson tipi

kayp erileri....84

ekil 4.26. , ( ) bantsnn farkl deerleri iin Cole-Davidson reel erileri..85

ekil 4.27. , ( ) bantsnn farkl deerleri iin Havriliak-Negami tipi kayp erileri....86

ekil 4.28. , ( ) bantsnn farkl deerleri iin Havriliak-Negami tipi reel erileri...86

XIV

SMGELER VE KISALTMALAR

: Kutuplanma vektr : Yerdeitirme vektr , : D elektrik alan : Bal dielektrik geirgenlii : Maddenin elektriksel geirgenlii (permitivite) : Boluun elektriksel geirgenlii : Bal dielektrik sabitinin gerel ksm : Bal dielektrik sabitinin sanal ksm : Yzey yk younluu : Maddenin elektrik duygunluu (dielektrik duygunluk) ( ) : Normalize edilmi kompleks dielektrik fonksiyonu ( ) : Normalize edilmi kompleks dielektrik fonksiyonunun reel ksm ( ) : Normalize edilmi kompleks dielektrik fonksiyonunun sanal ksm : Kesirli diferansiyel operatrn ss : Kesirli diferansiyel operatrn ss : Kesirli diferansiyel operatr : Kesirli diferansiyel operatr ( ) : Kinetik kesirli diferansiyel operatr

1. GR Muhammet Serdar AVU

1

1. GR

Elektrikle ilgili kavramlar, ki buna dielektrik de dahil, statik elektriklenmeyle

balayp milattan nce 600lere kadar uzanr. Bu tarihlerde Yunanl filozof Tales,

kehribarn bir beze srtldnde saman paralar gibi hafif nesneleri ektiini

kefetmitir. Baz maddelerin szn ettiimiz statik elektriklenme zelliine daha

iddetli bir derecede sahip olduu da bilinir. Eski Yunanda kehribarn elektrik adyla

anlmas dolaysyla elektrik kelimesi bilimsel bir terim olarak kullanlagelmitir

(Kao, 2004). Sonrasnda Fraday tarafndan orijinali Yunanca olan dia n ekiyle

balayan Dielektrik kelimesi tretilmitir. Dielektrik kelimesi elektrik alann ya da

elektrik aksn geiren fakat ykl paracklarn gemesine izin vermeyen maddeler

iin kullanlmtr. Bu, dielektriklerin, elektronlar da dahil herhangi bir ykl

paracn serbeste hareketine izin vermedii anlamna gelir. Yani normal

koullarda dielektrikler, elektrik akmn iletmezler. Bu durumda bir dielektrik madde

genel anlamda bir yaltkan olarak dnlebilir. Gezegenimizde doal ideal bir

dielektrik yoktur. Mkemmel bir vakum ideal bir dielektrik gibi dnlebilir fakat

byle bir vakum da henz elde edilememitir (Kao, 2004).

Tanm olarak, atomik yapsnda serbest yk bulundurmayan tm gaz, sv ve

kat maddeler dielektrik maddeler olarak adlandrlrlar. Baka bir ifadeyle bir

iletkende serbest ykler bulunabilirken, ki bu ykler madde iinde serbeste

dolaabilmektedir, makroskobik olarak ntr olan dielektriklerde tm ykler belirli

atom ya da molekllere baldr ve hareketleri molekl iinde snrl olmaktadr. Bu

mikroskobik yerdeitirmeler dielektrik maddelerin karakteristik davranlarn

belirlemektedir. Elektrik iletkenliine sahip olmayan bu malzemeler bir d alan

altnda ykl paracklarn yer deitirmesiyle elektrik yk merkezlerinin kaymas

sonucunda kutuplanabilirler.

Dielektrikler birer yaltkan olmalarna ramen yaltkanlar ile dielektrikler

zerine yaplan almalar birbirinden olduka farkllk gstermektedir. Elektriksel

yaltkanlk, yaltkanlar ve dielektrikler eklinde iki snfa ayrlmtr. Yaltkan olarak

nitelendirilen malzemeler 10 / dielektrik snrnn altnda uygulanan elektrik alannda hibir elektriksel iletkenlik gstermeyen, zellikle elektrik


2

mhendisliinde istenmeyen elektrik yklerinin akn nlemek iin kullanlan

dielektriklerdir. Yaltkanlarla ilgili olan almalarda yaltkanlarn i fiziksel

zellikleri pek dikkate alnmakszn makroskobik erevede yaltkan malzemelerin

mmkn olabilen en dk elektriksel iletkenlie ve yksek elektrik alan altnda

herhangi bir bozulmaya kar en yksek dirence sahip olmalarnn yan sra uzun

mr, dk maliyet, yksek scaklklara dayanabilme ve kimyasal yapsn koruma

gibi zelliklerinin de olmas istenir. Oysa, dielektrik ile ilgili olan almalar,

yaltkanlar da iine alan daha genel bir yapya sahip olup, doal ve uyarlm

elektrik kutuplanma, durulma sreleri ve malzemelerin elektrik ve optik

zelliklerinden sorumlu olan yk tayclarnn davranlarn ve zellikle zamanla

deien elektrik alan altnda dielektrik malzemenin kutuplanma ve durulma

srecinin mikroskobik mekanizmasnn anlalmas zerine kurulmutur (Jonsher,

1983). Bununla birlikte dielektrikle ilgili almalar 18. yy n ortalarna kadar pek

dikkat ekmemi olmasna karn dielektrik zelliklerin aratrlmasyla birlikte

maddenin yapsn anlamada nemli admlar atlmtr (Smyth, 1955).

Dielektrik materyallerde yk tayclarn, yapsal ve kimyasal kusurlarla ve

onlarn etkileimleriyle ya da dier uyarc kaynaklarla olan ilikileri nemli bir rol

oynamaktadr. Gnmz ileri teknoloji anda, zellikle elektronikteki ynelim baz

dielektrik materyallerden yaplan kat malzemelerin kullanlmas ynndedir. Kat

dielektrik maddeler elektrik mhendislii bata olmak zere ilgili bilim dallarnda

dier dielektriklere gre belki de en fazla kullanlandr. Kat dielektrikler dediimiz

porselen, cam, seramik ve ou plastiin yan sra hava, nitrojen ve slfr

hexafluoride de kullanmna ska rastlanlan gaz fazdaki dielektriklerdir (Kao,

2004).

Dielektrik lmler, yiyecek bilimi, kimya, biyoloji, tp, ila aratrmalar,

nano teknoloji, askeri savunma, elektronik, malzeme bilimi, tarm ve daha birok

alanda incelenen malzemelerin yapsal zelliklerinin anlalmasnda yaygn bir

ekilde kullanlmaktadr. Maddelerin dielektrik zellikleri nem oran, kimyasal

younluk, biyoktle, hacim younluu, kusurlar, kimyasal reaksiyonlar, mekanik

gerilme gibi birok fiziksel ve kimyasal zelliklerle yakndan ilikilidir. zellikle

madelerin molekler yaplarn belirlemede dielektrik lm yntemleri baar ile


3

kullanlmaktadr (Ufuktepe ve Bozdemir, 1997; William ve ark., 1967; Debye,

1945).

Dielektrik maddelerin zellikleri, fizikiler, kimyaclar, elektrik mhendisleri

ve biyologlar gibi farkl dallardan bilim insanlarnn ilgisini ekmitir. Bu ilgiler

farkl beklentilerde olmutur: rnein elektrik mhendisleri, dielektrik malzemenin

deien alan ve scaklk altnda ne kadar enerji kaybna neden olduuyla ilgili

aratrma yaparlarken, kimyaclar elde edilen bu bilgilerle molekllerin zellikleri ve

yaplar zerine temel aratrmalar yapabilmektedirler. Fizikilerin ise bu

maddelerdeki enerji kayplar ve dier ortaya kan gzlemlerin altnda yatan fiziksel

mekanizmalar aklamakla ilgili almalar yaptklarn gryoruz. Bu yararllk

zinciri daha da uzatlabilir. Bu nedenle ve daha birok farkl amalar dorultusunda

dielektriklerin deiik zelliklerinin aratrlmas ve ortaya kan deneysel verilerin

analizlerinin yaplabilmesi ve yorumlanabilmesi iin dielektrik kuramlarn

gelitirilmesi zorunlu bir hal almtr ve bu konu zerindeki gerek deneysel gerek

kuramsal almalar byk bir hzla devam etmektedir (Frhlich, 1958; Jonscher,

1983,1996 ).

1.1. Dielektriin Doas ve Temel Kavramlar

1. 1. 1. Elektrik Dipol, Dipol Moment ve Kutuplanma

Bir nokta yknn sabit bir noktaya gre elektrik momenti

= (1.1)

olarak tanmlanr. Burada , nokta ykne seilen bir noktadan uzanan yarap vektrdr. Bu durumda sabit bir noktaya gre yk sisteminin toplam elektrik momenti

= (1.2) olarak verilir.


4

Bir dielektrik malzeme iindeki atom veya molekllerin pozitif yk merkezleri

ile negatif yk merkezlerinin birbiriyle akk olmamas sonucu oluan dipol,

aralarnda uzakl olan, eit byklkte fakat zt iaretli iki noktasal ykn oluturduu sistem olarak tanmlanr ve sistemin net yknn sfr olmas

durumunda elektrik moment, orijinin seiminden bamszdr. Ayn byklkte zt

ykl iki parack iin net ykn sfr olduu durumda (1.2) denklemi, sistemin

toplam elektrik momenti iin

= (1.3)

eklinde yazlabilir.

ekil 1.1. Bir nokta yk sisteminin elektrik momenti

Burada ve orijinden pozitif ve negatif yk merkezlerine uzanan yarap vektrleridir. Bylece (1.3) denklemi daha basit bir biimde

= (1.4)

eklinde yazlabilir. Burada = olup , negatif yk merkezinden pozitif yk merkezine uzanan vektrdr. Buradan da anlalaca zere yklerin konumlar

birbirinden farkl ve net yk sfr olan bir yk sisteminin elektrik momenti dipol

moment olarak adlandrlr (Bttcher ve bordewijkc, 1978).

Yukarda verilen denklemler bir ideal dipol iin uygun fakat ideal olmayan

sistemleri betimlemesi asndan olduka basit kalmaktadr. Birok ntr molekl

ideal olmayan dipol momentlere sahiptir ve bu tr molekllerde pozitif ve negatif


5

yk dalmlarnn arlk merkezleri doal olarak akk deildir. Bilindii gibi bir

yk sistemi, bir d elektrik alana brakldnda da geici bir dipol moment oluur.

Alann etkisi altnda, yk sistemi ierisindeki pozitif ve negatif ykler birbirinden

ayrlr, yani sistem kutuplanr. Alann etkisi olduu srece kutuplu olan bu geici

diyebileceimiz dipoller genellikle ideal dipoller olarak ele alnabilir. Bununla

birlikte, molekler mesafelerde alan hesaplanrken srekli dipoller genellikle ideal

olarak ele alnmaz.

Molekler dipol momentlerin deerleri genelde Debye birimi ile ifade edilir. ile gsterilen Debye birimi, 10 elektrostatik birime (e.s.b) eittir. Simetrik olmayan molekllerde srekli dipol momentler 0,5 ile 5 arasnda deiir. Bu, beklenilen bir deer araldr nk temel yk , 4,4.10 esb dir ve molekllerdeki yk merkezleri arasndaki mesafe yaklak 10 10 civarndadr. Dipol moment, elektrik kutuplanma teorisinde ok nemli bir nicelik

kazandndan bu yana Debye birimi ile ifade edilir (Btcher, 1978).

Kutuplanm bir maddenin moleklleri, uyarlm dipollere sahip olur. Birim

hacimdeki dipolmomenti olarak tanmlanan kutuplanma,

( ) = lim = / (1.5)

bants ile ifade edilir. Burada = , hacmindeki dipollerin vektrel toplamdr. Molekler bir dielektrikte, rnein de, elektronlarn molekllere skca bal olmasndan dolay art ve eksi yklerin yk merkezlerinin bir d alan

etkisiyle birbirlerinden ayrlmalar sfr olmayan bir dipol momente sahip kutuplu bir

molekl ya da atom olumasna neden olur. Bu maddelerin dipolmomentleri 10 . basamandadr ve byle bir durumda dipole, uyarlm dipol denir. Kutuplanm atom veya molekllerden oluan dielektrik madde net bir dipol moment

kazand iin bu tr dielektriklere kutuplanm dielektrik denir. Byle durumlarda

dielektrik madde iinde net bir yk younluu oluur. Bylece iletkenin aksine, bir

dielektrik iinde sfrdan farkl bir elektrik alan ve yk younluu bulunabilir.


6

Dtan uygulanan elektrik alan etkisinde maddesel yk younluunun

deimesi ile meydana gelen kutuplanma, ayn zamanda madde ierisinde bir i

elektrik alann domasna da neden olur (ekil 1.2). Kutuplanma alanyla d elektrik

alann vektrel toplam madde iindeki net elektrik alann verecektir. Net alan,

kutuplanma alannn d alana zt ynl oluundan dolay, d alandan daha kktr.

letken cisimlerde bu iki alan ayn byklkte olduu iin net alan sfrdr ve bu

nedenle iletkenlerde net bir kutuplanmadan bahsedilemez.

ekil 1.2. Elektrik alan iine konulmu dielektrik maddede dipol ynelmesi, yzeylerde kutuplanmann ve ierde i alann oluumunun ematik gsterimi

Kutuplanma ilemi, bal elektronlar ierdiinden dielektrik zellikler atomik

ve molekler yapnn ayrntlarna baldr. Bu nedenle maddelerin dielektrik

zellikleri ok deiken ve davranlar da olduka farkl olabilmektedir. rnein

yaltkan maddeler ok byk iddette ( 10 / ) bir elektrik alan etkisinde kaldklarnda, elektrik alan ile hzlandrlan elektronlar molekl rg yapsna

iddetle arparak malzemede kalc bozulmalara ve iyonlamasna neden

olabilmektedir. Bu olaya dielektriin k denir. k olmakszn dielektriin

dayanabildii en byk elektrik alan iddetine malzemenin dielektrik dayankll

denir. izelge 1.1 de bilinen baz yaltkan maddelerin yaklak dielektrik

dayankll ve dielektrik sabitleri verilmitir.

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

iE


7

izelge 1.1. Baz yaltkan maddelerin dielektrik sabitleri ve dielektrik dayankllklar

Malzeme Dielektrik sabiti

( = / ) Dielektrik dayankllk ( / ) Hava

(atmosfer basncnda)

1.0

3.10 Maden ya 2.3 15.10

Kat 2.4 15.10 Polistren 2.6 20.10

Lastik 2.34.0 25.10 Cam 410 30.10 Mika 6.0 200.10

1. 1. 2. Dielektrik Sabiti ve Kutuplanabilirlik

Bir d elektrik alann dielektrik maddeler zerindeki etkileri dielektrik sabiti,

duygunluk, kutuplanabilirlik ve elektriksel kutuplanma gibi kavramlarla aklanr.

Dielektrik sabiti, bir malzemenin elektriksel adan ne kadar yaltkan olduunun bir

ltdr. Sabit bir potansiyel altnda yklenen bir kondansatrn levhalar arasna

bir dielektrik madde yerletirildiinde potansiyel farknn dt gzlenir nk

dielektrik maddenin kutuplanmas sonucunda oluan kutuplanma alan, uygulanan

d alana zt ynde olduu iin d alan zayflatacaktr. Boluktaki kondansatrn

alannn dielektrik ortamdaki llen i alana oran veya boluktaki potansiyel

farknn maddesel ortamn bulunduu haldeki potansiyel farkna oran o maddenin

dielektrik sabiti olarak adlandrlr. Bu tanm baka bir biimde, bolukta iki

elektriksel yk arasndaki elektrostatik kuvvetin ayn yklerin maddesel bir ortamda

iken aralarndaki elektrostatik kuvvete oran olarak da verilebilir.

Her ne kadar dielektrik ortamn kutuplanmas o ortama etki eden elektrik alan

nedeniyle gereklese de kutuplanmann derecesi sadece elektrik alan iddetine bal

deildir. Ortam oluturan molekllerin zellikleri de kutuplanmann derecesinde


8

olduka nemli bir etkendir. Eer ortam oluturan dielektrik madde izotropik ise

kutuplanmann derecesi kutuplanmaya neden olan d elektrik alanla orantl

olacaktr. Bu durumda kutuplanma

= (1.6) ile verilir. Burada dielektrik duygunluk olarak adlandrlr ve boyutsuz bir niceliktir. Makroskobik alan ile kutuplanmas arasndaki balant katsays ile salanr.

Elektrostatik bir ortam iin

= + (1.7) eitlii geerlidir. Burada ye elektrik teleme vektr veya elektrik ak younluu denir. nin kayna serbest yklerdir ve (1.6) denkleminin yardmyla

= (1.8) bants elde edilir. Burada = 1 + alnmtr. Burada boyutsuz bir niceliktir ve dielektrik katsays adn alr. Doal veya yapay pek ok madde homojen deildir

ve hatta izotropik olmayan dielektrik maddeler ounluktadr. Byle ortamlarda

dielektrik sabiti konumdan bamsz deildir. Pek ok kristalde , konumun fonksiyonu olmaktadr ve bu, kristalin farkl eksenleri boyunca llen deerlerlerinin birbirinden farkl olmas anlamna gelmektedir. Bu tr maddelere

genelde izotropik olmayan maddeler denir. (1.8) denkleminde = seildii taktirde yerdeitirme vektr ve elektrik alan arasndaki bant

= (1.9) ile verilir. Burada , dielektrik geirgenlik (permittivity) olarak adlandrlr. zotropik ya da kbik yapdaki bir ortamn bolua gre dielektrik sabiti ise makroskobik alan cinsinden

= = 1 + (1.10)


9

eklinde tanmlanr.

1. 1. 3. Dielektrik Maddelerde Kutuplanma eitleri

Dielektrikler, kutuplu (polar) ve kutuplu olmayan (apolar) olmak zere iki

gurupta toplanrlar. Bu iki snf maddede kutuplanma mekanizmalar birbirinden

farkllklar gsterir. Buradaki kutuplanabilme kavram, elektrik alan iine konulan

maddenin molekllerine ait elektrik dipol momentlerinin elektrik alanla ayn

dorultulu ynelmesini ifade etmektedir. Maddeyi oluturan molekller, dipol

momentleri olsun ya da olmasn, bir elektrik alan iine konulduklarnda byle bir

momente geici olarak sahip olabilirler ve bunlar ksmen de olsa alanla paralel

duruma geerler.

Molekllerinde ssal uyarlmadan dolay rastgele dalm pozitif ve negatif

yk merkezlerinin doal olarak akk olmad asimetrik bir durumun sonucu

olarak, zerinde herhangi bir d olan olmamas durumunda bile bir dipol momente

sahip olan maddelere polar dielektrik madde denir. Polar dielektrikler bir elektrik

alan iine konduu zaman dielektrik iindeki rastgele ynelmi dipol momentler

ynelimlerini d elektrik alanla ayn ynde yapmaya alrlar ve bylece net bir

kutuplanma meydana gelir. Yani, bir polar dielektrik madde bir d elektrik alan iine

konulduunda, bu polar dielektrik maddenin molekllerinde yklerin yer

deitirmesinin yan sra, ayrca dielektrik maddenin kutuplanmasna katkda

bulunan kalc dipol momentin ynlenmesinden kaynaklanan ek bir kutuplanma

mekanizmas da ortaya kmaktadr. , , , , , , vb. bu tr maddelere rnek olarak verilebilir.

Bir d elektrik alan olmad durumda negatif ve pozitif yk merkezleri hemen

hemen akk olan bir dielektrik maddede doal bir dipol momentten bahsedilmez

ve bu tr dielektriklere apolar dielektrikler denir. Soygazlar, apolar dielektrikler iin

iyi bir rnektir. Bu tr dielektrikler bir d elektrik alan iine konduu zaman alann

uygulad kuvvet etkisi ile pozitif ve negatif yk merkezleri bir miktar birbirinden

ayrlr ve bu ayrlma bir dipol moment oluturur. Kutuplanma, uygulanan bir d

alann etkisi sresince olmaktadr ve d alan kaldrlrsa artk kutuplanma da


10

gzlenmeyecektir. Ksaca, kutuplanmann d alanla doru orantl olduu

sylenebilir (Ufuktepe ve Bozdemir, 1997).

Dielektriklerde temel olarak elektronik, atomik, iyonik, ynelme ve arayzey

kutuplanmas olmak zere be eit kutuplanma meydana gelmekle birlikte polar ve

polar olmayan dielektriklerde kutuplanma mekanizmalar birbirinden farkllk

gstermektedir.

1. 1. 3. 1. Elektronik Kutuplanma

Optik kutuplanma olarak da isimlendirilen elektronik kutuplanma, bir d

elektrik alann, atom ya da molekllerin elektron bulutlarnn temelde simetrik olan

dalmlarn bozmas sonucu oluur (Kao, 2004). Klasik adan bakldnda bir

atomun merkezi elektrik adan ntr ntronlar ve pozitif ykl protonlardan oluur.

Elektronlar ise bu merkez etrafnda kapal yrngelerde hareket ederler. Herhangi bir

anda elektron ve ekirdek, negatif ykten pozitif yke ynelen bir dipol moment

meydana getirir. Bununla birlikte elektronun simetrik hareketi ile srekli deien

dipoln ekseni, dipol momentin zaman ortalamasnn sfr olmasna neden olur.

Toplam elektronik ykn ekirdek ile akk bir kresel dalma sahip olduu ve

yk younluunun merkezden radyal olarak azald dnlrse, bir atom, bir

elektrik alan ierisine yerletirildiinde ykl paracklara bir elektrik kuvveti etki

eder ve negatif yk bulutunun merkezi ekirdee gre bir miktar yer deitirir. Bu,

atom ierisinde bir net dipol momentin olumasna neden olur ve bu kutuplanma

elektronik kutuplanma olarak adlandrlr (Raju, 2003). Elektronlarn balanma

kuvvetlerine gre kutuplanmann derecesi de deiir ve elektronik kutuplanma

yaklak 1015-1016 Hz frekans aralnda gerekleir.

1. 1. 3. 2. Atomik Kutuplanma

Elektronik boyutta yerdeitirmenin sonucu olarak ortaya kan elektronik

kutuplanmann aksine atomik kutuplanma ok atomlu bir molekln bir d elektrik

alan altnda molekl oluturan atom merkezlerinin greceli olarak birbirlerine gre


11

ok kk miktarlarda yer deitirmesi neticesinde meydana gelir (Raju, 2003). Bu

aslnda normal rg titreimlerinin bozulmas, yani bir kristal rgdeki atomlarn

hareketidir ve bu nedenle atomik kutuplanmaya titreim kutuplanmas da denir (Kao,

2004). Btn molekllerde atomik kutuplanma olsa da atomik kutuplanma ifadesi

genelde greli olarak daha zayf bal molekller iin kullanlr. Bylesi

yerdeistirmeler dk frekanslarda elektronik kutuplanma iin olandan daha nemli

hale gelirler. Atomik kutuplanma yaklak 1013-1014 Hz aralnda

gereklemektedir.

1. 1. 3. 3. yonik Kutuplanma

yonik bir rg iinde pozitif iyonlar, uygulanan d alan ynnde yer

deitirirken negatif iyonlar ise alann zt ynnde yer deitirirler. Bu durumda tm

madde iinde ak bir kutuplanma meydana gelir.

yonlar elektronlara gre daha ar olduklarndan iyonik kutuplanma sresi

yaklak infra-red frekans blgesine denk gelen 10-12-10-13 s aralndadr. yonik

kutuplanma adndan da anlalaca zere genel olarak iyonik materyallerde oluur

(Bttcher ve Bordevijk, 1978).

1. 1. 3. 4. Ynelme Kutuplanmas

Ynelme kutuplanmas polar maddeler olarak adlandrlan, srekli dipol

momentlere sahip parack ya da molekllerden meydana gelen dielektriklerde

gzlenir (Kao, 2004). Materyal iindeki srekli dipol momentlere d elektrik alan bir

tork uygulayarak onlar kendisiyle ayn ynelime zorlar ve bunun sonucunda

ynelim kutuplanmas oluur (ekil 1.3). Bir molekln benzer olmayan elemanlar

arasndaki asimetrik yk dalm bir d alann yokluunda da var olan srekli dipol

momentlere sebep olur. Baz dielektriklerde drt kutuplu (kuardropol), sekiz kutuplu

(oktupol) ve bunun gibi ok kutuplar bulunabilmektedir fakat bunlarn kutuplanmaya

katks olduka azdr. Elektronik, atomik ve iyonik kutuplanmalarn ortak yn, her

bir kutuplanma srecinde yklerin dnmeyip, birbirlerinden uzaklamalardr.


12

Ynelme kutuplanmasnda ise kalc dipoller, d alan etkisiyle dnmeye zorlanrlar.

Ynelme kutuplanmas 103-109 Hz aralnda gzlenir (Ufuktepe ve Bozdemir,

1997).

ok atomlu baz molekllerde atomik ba ksmen iyoniktir. Her bir atom

pozitif veya negatif ykle yklenme eilimindedir. ok atomlu molekllerde birok

atomik ba, srekli dipol momentine sahip olabilir. Btn molekln dipol momenti,

her bir ban dipol momentlerinin toplamna eittir.

Kalc dipol momente sahip molekllere elektrik alan uygulandnda, normal

olarak tm molekllerin alan dorultusunda ynelmesi beklenir. Ancak, bu ynelme

molekllerin s enerjisi ve karlkl etkilemeleri nedeni ile doan potansiyel

enerjileri tarafndan engellenir.

statistik mekaniin yntemleri kullanlarak molekler dipol ynelmelerinin

mertebesi nicel olarak kartabilir. yle ki, scaklnda, birim hacim bana kutuplu molekllerin bir topluluu gz nne alnsn. Klasik olarak, her bir dipol,

alan dorultusu ile keyfi bir as yapacak biimde ynelecektir. Elektrik alan, ekil 1.3 de grld gibi, -eksenine paralel olarak uygulanm olsun. Her bir dipoln zerine etki eden alan iindeki enerjisi

= (1.11)

ile verilir.

ekil 1.3. Elektrik alan iine konulmu kutuplu maddenin bir ift-kutbundaki

ynelme

y

z

q qd


13

Kutuplanma, < > = < > olup, burada < > s ortalamal dipolmomentidir. Boltzmann dalm yasasna gre, kat as iinde kalan bir bgede bir molekln greceli bulunma olasl, / ile orantldr. O halde,

< >= (1.12)

olur. Burada, mutlak scaklk, = 1/ , = 1.38 10 / Boltzman sabiti ve = 2 dr. ntegrali tm kat alar zerinden aldmzda

< >= = ( ) (1.13)

bulunur. Burada = / ve ( ) Langevin fonksiyonudur. Deneysel olarak en nemli durum dir. 1 limitinde

( ) = + + + ( )

biiminde seriye alabilir. Buradan

< >= (1.14)

olur. Ynelme kutuplanmas, dierlerinden farkl olarak, scaklkla ters orantl

deiir ve bu nedenle yksek scaklklarda kaybolur. Manyetizmadaki benzeri

zelliklere sahip paramanyetik maddelerden esinlenerek, bunlara paraelektrik

maddeler denir. Ortamdaki elektronik kutuplanmay da hesaba katarsak, toplam

kutuplanma iin

= + = + (1.15)


14

yazabiliriz.

Baz dielektrik malzemelerin d bir alan yokluunda bile dipol momentlerinin

olduu, yani net dipol momentlerinin sfr olmad gzlenir. Byle malzemelere

elektret denir. Elektretler baz mum ya da plastiklerin stlp (yumuatlmalar) bir

elektrik alana konulmalar ile yaplabilir. Bu malzemelerdeki kutuplu molekller

uygulanan alanla dizilmeye ve normal scaklklarna dndrlmeleri ile yeni

konumlarnda dondurulmaya allr. Sonrasnda, d elektrik alan olmakszn bile

kalc kutuplanma varln srdrr. Elektretler ya da ferroelektrikler kalc

mknatslarn elektriksel edeerleridir.

1. 1. 3. 5. Arayzey kutuplanmas

Uzay-yk kutuplanmas olarak da bilinen ara yzey kutuplanmas genel olarak

elektriksel adan heterojen materyallerde gzlenir. Daha nce szn ettiimiz

kutuplanmalardan farkl olarak ara yzey kutuplanmas bir madde elemanndan daha

fazlas olduunda veya birbirine zt kimyasal diziler ieren bir maddede farkl

oluumlar olduunda ve bu heterojen sistemlerin ara yzeylerinde yk tayclar

engellendiinde meydana gelir (ekil 1.4).

ekil 1.4. Arayzey Uzay Yk kutuplanmas

Kutuplanma, hareketli ykl paracklarn bir d elektrik alan altnda ara

yzeylerde toplanmasyla meydana gelmektedir ve bu yzeyler, serbest yklerin bir

+

+++

++

++

+++

++

+++

+++

++

-

--------

----

----

---

-

E


15

kristalden dierine hareketini engelleyici rol oynarlar. Dier bir ifadeyle arayzey

kutuplanmas gerek tek bir kristaldeki kusurlar (boluklar, safszlklar, atlaklar, vs.)

zerinde serbest yklerin birikiminin bir sonucu olarak meydana gelmektedir. Bu

yk artnn neden olduu birikmeden dolay elektrik alann bozulmas maddenin

tm sasnn artmasna neden olur (Koal, 2001). rnein polikristal materyallerde

birleme yzeylerinde serbest ykler birikebilir ve bu birikmi yklerden doan

kutuplanma dier kutuplanmalara bir katk salar. Bu kutuplanma mekanizmas

dk ve orta dzeyde frekanslardaki dielektrik yaplarn tasarmnda byk rol

oynamaktadr. 30.480.52 )OTiPb(Zr , SrTiO3, La0.9Sr0.1Ga0.8Mg0.2O3 vb. maddeler 10-3-103

Hz aralnda grlen arayzey kutuplanmasna rnek olarak verilebilir.

1. 1. 4. Dielektriklerde i alan problemi

Molekllerin karakteristik zelliklerinin duygunlua nasl bal olduu,

ortamdaki molekller zerine etkiyen yerel alan ile, dtan uygulanan alan arasndaki

ilikiyle belirlenir. Bu, dielektrikte i alan problemi olarak bilinir ve dipoller

arasndaki etkilemelerin nemsenmedii ortamlar dnda henz doyurucu bir

zm yaplabilmi deildir.

izgisel ortamn duygunluu (1.6) denkleminde = bants ile tanmlanmt. Burada , ortamn ortalama makroskobik i alandr. 10 cm uzaysal boyutlarda dalm 10 mertebesinde molekler dipol ieren, molekl aralklarnn byk olduu youn ortamlarda, makroskobik alan ile herhangi bir

molekle veya molekl kmesine etkiyen alan arasnda nemli bir fark olmayabilir

fakat molekllerin birbirine ok yakn olduu 10 cm uzaysal boyutlarda 10 10 sayda molekln bulunduu ortamlarda, komu molekllerin kutuplanmasnn anlk deerlerinin sfrdan farkl olduu gz nne alnrsa, verilen herhangi bir

molekl zerine etkiyen alan, makroskobik alandan farkl olmaldr. alannn hesaplanmas iin yle bir sistem dnlebilir: Ykl bir

kondansatrn levhalar arasna yerletirilmi ve dzgn olarak kutuplanm

dielektrik ortamda yarap (ok kk) olan, iinde bir miktar dipol bulunan


16

kresel bir oyuk olsun (ekil 1.5). Oyuun merkezindeki dipola etki eden yerel veya

molekler alan

= + + + (1.16)

bants ile verilir. Burada ykl kondansatrn levhalarndaki serbest yklerin alan, kutuplanm dielektrik ortamn d yzeylerinde oluan bal yklerin alan, oyuk dndaki ortam temsil eden oyuk yzeyindeki bal yklerin alan ve ise oyuk iinde bulunan ift-kutuplarn alann temsil etmektedir.

ekil 1.5. (a) arasnda dielektrik bir madde bulunan ykl bir kondansatr,

(b) Dielektrik ortamda kresel oyuk

(1.16) ifadesinin sandaki ilk iki alann toplamna, ortamn makroskobik alan

diyelim ve ile gsterelim. Bylece

= + = (1.17)

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ - + -

+ - + -

+ - + -

+ - + -

+ - + -

-

Q-

-

-

-

-

+

Q+

+

+

+

+

fE

x

y

z

+

+

++

++

++

++

+

-

---

--

--

- -- -

---

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

r

pE

ps+ ps-

ps+ ps-

pE

q

P


17

yazabiliriz. Burada yzeye dik birim vektrdr. Dielektrik ortamn d yzeyleriyle kondansatr levhalar arasnda belli bir boluk bulunmasndan dolay burada = olup, sreklidir. Yani dielektrik ortam ile ayn

= = + (1.18)

eklindedir. (1.17) ve (1.18) ifadeleri (1.16) ifadesi ile birletirilirse

= + + (1.19)

elde edilir. Bu sonu, oyuun geometrisinden bamsz ve olduka geneldir. Lorentz

alan olarak da bilinen , kutuplanmasyla anlatlan bir ortalama yaklaklkta ie karan oyuun dndaki dipollerden gelen katkdr. Doru bir hesaplamann

yaplabilmesi iin, sz konusu dipole yakn olan molekllerin zel ekillenimlerini

ve konumlarn bilmemiz gerekir. Fakat bu her madde iin mmkn olmayabilir.

ekil 1.5b de grld gibi kresel oyuk yzeyinde oluan kutuplanma yklerinin

yzey yk younluu = . = dir. Kutuplanmann ynn ynnde gsterir ve kutupsal koordinatlar kullanrsak bu yklerin kre merkezinde

oluturduu elektrik alan iin

= = (1.20)

bulunur. Kre yarapn ok kk varsaydmz iin vektr kre iinde sabit olur. Oyuk iindeki yakn molekler dipollerin oluturduu alan saptamak, zel

geometrik yap dnda, ok zordur. Lorentz, basit bir kbik rgdeki ift-kutuplar

iin, her rg kesinde alannn sfr olduunu gstermitir. Bylece basit kbik rgler iin = 0 ise, tm ile geliigzel durumlar iin de = 0 olmas dnlebilir. Buna gre, cam gibi kristal yapsz (amorf) maddelerin, yakn

molekllerinden meydana gelen bir i alana sahip olmamalar beklenir.


18

1. 1. 4. 1. Clausius-Mossotti denklemi

Yukarda izlenen ynteme gre, dielektrik bir ortamda bulunan bir dipol

zerine etkiyen net yerel alan, ortamdaki makroskobik alan ile Lorentz alannn toplamna eit olmaktadr:

= + (1.21)

Etki ile kutuplanan bir molekler dipoln momenti alan ile orantl olup, = yazlr. orant katsaysna kutuplanabilirlik (polarizebility) denir ve maddenin molekler dzeyde kutuplanmasnn bir lsdr. Dipollerin

karlkl etkilemedii durumlarda kutuplanmas iin,

< >= < > = < > = < + > (1.22)

yazar ve ile nin ayn ynl vektrler olduunu gz nne alr ve iin daha nce bulduumuz = ( 1) eitliini (1.22) de yerine koyarsak

( 1) = + = = = (1.23)

bulunur. Bu ifade tek tip bir molekl iin, Clausius-Mosotti denklemi olarak bilinir

ve dielektrik sabitini veya makroskobik duygunluu, mikroskobik kutuplanabilirlik ya ve ift kutup younluu ye balamaktadr. Denklemin


19

geerlilii yaklak olarak gazlar ve svlara uygundur. Dipollerin karlkl

etkilemelerinin nemli rol oynad kat maddelerde geerlilii olduka zayftr.

Sadece polar maddeleri ele alrsak, orada ynelme kutuplanmas dierlerinden

farkl olarak scaklkla ters orantldr. Bu nedenle yksek scaklklarda kaybolur.

Manyetizmadaki benzeri zelliklere sahip paramanyetik maddelerden esinlenerek,

bunlara paraelektrik maddeler denir. Ortamdaki elektronik kutuplanmay da hesaba

katarsak, toplam kutuplanma iin

= + = + (1.24)

yazabiliriz.

Clausius-Mossitti denklemi, kutuplu molekllerin bulunduu bir ortamda

geerli olduunu varsayarsak ve elektronik kutuplanabilirlik yi ihmal edersek ynelme kutuplanabilirlii iin

= = (1.25)

elde edilir. Bunu (1.23) ifadesinde yerine yazarsak, duygunluk iin

= ya da ( ) = (1.26)

bulunur. Burada = /9 kritik scaklk denir. Bu, manyetizmada Curie-Weiss yasas olarak bilinir. Scaklk kritik scakla doru yaklatka duygunluk,

asimtotik olarak sonsuz olmaktadr. Bu zellik sadece Ferroelektrik maddelerde

gzlenmitir. Ferroelektrik maddeler, dtan bir elektrik alan uygulanmadan kalc

kutuplanmas olan maddelerdir. Baryum Titanat ( ) ferroelektrik maddelere iyi bir rnektir.

Dielektrik bir ortamda yerel elektrik alann Lorentz alan alnmas ve Clausius-

Mossitti denkleminin geerli kabul edilmesi halinde her maddenin duygunluunun


20

belli bir kritik scaklkta sonsuz olmas beklenir. Ferroelektrik maddeler dndaki

ortamlarda byle bir zellik gzlenmemitir. Bu tutarszl Onsager (1936) ilk kez

dielektrik ortamda bir dipol zerine etki eden yerel elektrik alann, = 0 Laplace denkleminin kresel koordinatlarda zmnden ve elektrostatiin snr-deer

problemlerini kullanarak gidermeyi baarmtr.

1. 1. 5. En Yakn ki Dipoln Etkileme Enerjisi

Birbirinden mesafede bulunan ve ile verilen iki dipol iin (ekil 1.6) etkileme enerjisi

, = . ( . )( . ) (1.27)

eklinde verilir. ve dipolleri arasndaki a olsun. Bu durumda iin , ve ifadeleri cinsinden

( ) = ( ) + (1.28)

yazlabilir. Bylece enerji ifadesi iin, dipoller aras mesafe ve alar cinsinden

, = { ( ) 2 } (1.29)

bants elde edilir. (1.29) bantsndan = yada = = iin ( ) enerjinin minimum deerine

, = 2 (1.30)

ulalr. = 0 ve = yada = , = 0 deerleri ile ( ) enerjinin


21

, = +2 (1.31)

ile verilen maksimum deerine ulalr.

ekil 1.6. Aralarnda mesafesi bulunan iki dipol

Dipollerin farkl zel ynelimleri iin de enerji ifadeleri yazmak mmkndr.

rnein dipol ynelimlerinin = ve = = /2 koullar ile anti paralel olduu ( ) durum iin

, = (1.32)

bants yada = 0 ve = = /2 koullar ile paralel olduu ( ) durum iin

, = (1.33) ifadesi elde edilir.

1q

2q

1f

2f

r

1

2

1m

2m


22

1. 1.6. Zamana Bal Alanlarda Lineer Dielektrikler

Statik durumlarda, yani zamandan bamsz elektrik alann neden olduu

kutuplanma elektrik alan iddetiyle orantl ve denge halindedir. Dinamik durumda

ise elektrik alan zamanla deimektedir ve kutuplanma da elektrik alan iddetiyle bir

denge iinde olmak zorunda deildir. Dinamik durumda, elektrik alan iddeti

zamanla deitii iin bu deien alann neden olduu kutuplanma da deiir.

Mikroskobik paracklar (molekller, iyonlar, atomlar ve elektronlar)

kutuplanmann belli bir deerine ulamak iin 10-6 s veya daha az olan karakteristik

bir zamana ihtiya duyarlar. ayet elektrik alan iddeti hissedilir bir ekilde

periyodik olarak deiirse madde iindeki mikroskobik paracklar bu deiime

uygun bir kutuplanma gerekletiremeyebilir. Yani elektrik alan iddetinin deiim

hzna yetiemeyen bir kutuplanma meydana gelir. Bu durumda kutuplanma, elektrik

alann deiimiyle ayn anda gerekleemez, yani bir gecikme gzlenir. Bu durum

mikroskobik paracklarn elektrik alan deiimine olan tepkisi bir zaman

gecikmesiyle olur eklinde ifade edilebilir.

Elektrik alan iddetinin zamanla deiimi mikroskobik paracklarn

kutuplanmasyla karslatrldnda yeterince yavasa bu durumda kutuplanmayla

elektrik alan iddeti bir uyum iinde olur. Bu duruma yar-statik durum denir ve ( ) ile orantl bir ( ) kutuplanmas grlr. Lineer ve izotropik bir dielektrik iin

( ) = ( ) (1.34)

ve

( ) = ( ) (1.35)

yazabiliriz. Statik durum iin geerli olan bantlar yar-statik durum iin de

geerlidir. zotropik bir ortam ile, kendi ierisinde lineer olan yani malzeme zerinde

herhangi bir noktann dier noktalardan bir farka sahip olmamas, bir baka deyile

malzeme zerinde yaplan bir lmn malzemenin ynnden veya herhangi bir


23

noktasndan bamsz olmasn kastediyoruz. Amorf katlar, kutuplanma teorisinde

izotropik bir ortam tekil ederler. Lineer kristal yapya sahip olmayan bu maddeler,

elektrik alann uygulanma ynnden bamsz olarak her noktasnda ynden

bamsz zde kutuplanmalar gsterirler.

Dinamik durum iin en kolay elektrik alann harmonik olarak ele alnmasdr.

Bu halde zamana bal elektrik alan

( ) = ( ) (1.36)

ile verilir. Burada genliktir ve da sinzoidal deiimin asal frekansdr. Eer sinzoidal elektik alann frekans ok yksek ise mikroskobik paracklar bu

deiime ayn anda (e zamanl olarak) bir tepki veremezler. Bu davran, yar-statik

durtumlar iin de geerlidir. Lineer, izotropik bir madde iin yer deitirme vektr , elektrik alanla faz farkyla bir tepki iindedir. Yani yer deitirmedeki gecikme faz farkyla olmaktadr. Bunu

( ) = ( ) (1.37)

eklinde ifade ederiz. Buradan

( ) = ( ) + ( ) (1.38)

elde edilir. (1.37) denklemi, frekansn yeterince kk olmas durumunda nn sfr olmas nedeniyle statik durumu karlar. Elektrik alann frekans deitii zaman faz fark da frekansa bal olarak deiecektir. Eer frekans yeterince dk ise sfr olacak ve durgun veya yar durgun artlara ulaacaktr. (1.38) denklemini

aadaki biimde yeniden yazarsak

= ( ) + ( ) (1.39) = ( ) + ( ) (1.40)


24

( ) = = ( / ) ( ) (1.41) ( ) = = ( / ) ( ) (1.42)

elde edilir. Bylece periyodik bir alan iin ile arasndaki iliki, genlik ve faz fark yerine )(we ve )(we gibi frekansa bal dielektrik geirgenliin reel ve sanal

bileenleri cinsinden yazlr. Bylece (1.38) denklemi daha basit bir biimde

( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) (1.43)

yazlabilir.

Frekansn sfr olmas durumunda (1.43) denklemi statik duruma indirgenir ve

burada (0) = statik durumdaki dielektrik sabitine karlk gelir. Buradan, ( ) nn sinzoidal bir alan etkisindeki bir malzemede genelletirilmi dielektrik sabiti

olduunu syleyebiliriz. Bylece ( ) , frekansa bal dielektrik sabiti olarak adlandrlr. ( ) yi belirleyen dier bir parametre ise ( ) dir. Bu parametre ( ) ye gre /2 lik faz farkna sahip olan ( ) nin dier bileeninin genliinin bir lsdr ve kayp faktr olarak adlandrlr. Frekansa bal olan dielektrik sabiti ( ) ve kayp faktr ( ) uygun deneylerle frekansn fonksiyonu olarak llebilirler. Dk frekanslarda ( ) ifadesi statik durumdaki a eittir, bu halde ( ) sfr olmaktadr. Frekans ykselirken belirli aralklarda ( ) azalrken ( ) ise artar. ile nn frekansa gre deiimleri arasnda ters bir iliki vardr.


25

ekil 1.7. Youn fazdaki polar bileikler iin frekansa bal dielektrik sabitinin dalm ve kayp pikleri

Daha nce de szn ettiimiz gibi, deneysel gerekler bize kutuplanmalarn

ara yzey, ynelim (oriantation), iyonik, atomik ve elektronik olmak zere be

ksmda gerekletiini gstermektedir. Kutuplanmalar molekllerin, iyonlarn,

atomlarn ve elektronlarn bir d elektrik alan etkisiyle hareketlerinden olumaktadr

ve bu be ksm kutuplanmann her biri farkl karakteristik zamanlara sahiptirler. Bu,

ekil 1.7 den kolayca grlmektedir. lk olarak 10 10 aralnda arayzey kutuplanmalar, 10 10 aralnda ynelme kutuplanmalar, 10 10 aralnda iyonik kutuplanma, 10 10 atomik ve yukar frekanslarda ise elektronik kutuplanma gzlenmektedir.

Bu kutuplanma sreleri her frekansta st ste binerek bir tepki oluturmazlar,

yani molekler dzeyde bir tepkiyle karlaldktan sonra elektrik alann frekans

daha da arttrlrsa elektrik alann bu artan frekansna kar molekller bir tepki

vermekte gecikirler. Frekans daha da arttnda molekller hi tepki veremez hale

gelirler. Molekler dzeyden atomik dzeye geildiinde yalnzca atomlar ve

elektronlar bu yksek frekansa bir cevap ya da bir tepki verebilirler. Atomik frekans

alnca atomlar da molekller gibi bu yksek frekansa tepki veremezler. D alann


26

frekans elektronun frekans yaknlarnda ise yalnzca elektronlardan kaynaklanan bir

tepki vardr.

Frekansa bal dielektrik sabiti ve kayp faktr, farkl frekans blgelerinde

farkl davranlar gstermektedir. Elektromanyetik spektrumun optik blgesinde

bunlarn davran krlma indisi ve sourma (absorpsiyon) lmleriyle belirlenir.

Krlma indisinin frekansa gre gsterdii deiime dalm (dispersion) ad verilir.

Optik blgede frekansla krlma indisindeki art normal dalm zellii gsterir.

Baz zel durumlarda bunun tam tersi olabilmektedir; frekansn artan deerlerine

karlk krlma indisinde bir azalma olur, ki buna anormal dalm denir. Yaplan

almalarda molekler hareketlerin elektrik alann gerisinde kald frekanslarda

tm polar bileiklerde bu durum gzlenmi ve aslnda bu dalmn normal olduu

anlalmtr.

Ynelme kutuplanmas iin dalm blgesinde frekansa bal dielektrik

sabitinin frekansa gre deiimini veren eri, atomik ve elektronik kutuplanma iin

olandan farkllk gsterir. nn atomik ve elektronik kutuplanma iin verdii maksimumlar dierinden daha keskindir. Bu, ynelim kutuplanmas ve uyarlm

kutuplanma veren molekler srelerin her dalm blgesinde farkl kaynakl olmas

sonucudur. Ynelme ve uyarlma ile oluan kutuplanmalarn dinamik

davranlarndaki farkllk durulma ve rezonans olaylaryla karakterize edilebilir

(Bttcher ve Bordewijk, 1978).

1. 1. 7. Frekansa Bal Kompleks Dielektrik Fonksiyonu

Deiken bir alan iindeki dielektrik iin ile arasndaki iliki frekansa baldr. Dielektrik ortam oluturan materyalin, molekler veya elektronik

titreimlerinin z frekanslarna yakn olan frekans deerlerinde, durgun veya yar

durgun durum iin geerli olan = bants artk geerli deildir. Yani elektrik alan ile kutuplanma ve arasnda bir faz gecikmesi olur. Her hangi bir anda ve nin deeri ayn andaki nin deeri ile belirlenemez. Sebep-sonu ilkesine gre anndaki uyarlma, zamanndan nceki in yapm olduu etki sonucunda ortaya kar. Yani artk bir sabit olmaktan karak frekansa bal olarak bir dalm


27

gsterir. Genel olarak dispersiyon ad verilen olayn meydana geldii yksek frekans

deerlerine sahip periyodik alanlar iin kompleks dielektrik katsays, lineer ve

izotropik dielektrikler iin ortamn zelliklerine ve frekansa bal olarak

( ) = ( ) (1.44)

ile verilir (Landau ve Lifshitz, 1960). Burada ( ) tepki fonksiyonu olarak bilinir. Ortamn zelliklerine ve zamana bal bir fonksiyondur ve birim elektriksel alan

bana kutuplanmadaki gecikmeyi verir. ( ) tepki fonksiyonu; ( ) = ( )/ eitlii ile ifade edilir. Burada ( ) durulma fonksiyonu olup tanm gerei = 0 annda sabit bir d alann kaldrlmasndan sonra sistemin birim hacimdeki toplam

elektrik dipol momentinin zamanla nasl bozunacan ifade eder ve ( ) = ( )/ (0) ile verilir. Buna gre harmonik bir alan iindeki sistemi karakterize eden kompleks dielektrik sabiti ( ) ile ( ) durulma fonksiyonu arasndaki bant

( ) = ( ) (1.45)

veya bu eitliin sa tarafnn ksmi integralinin alnmasyla

( ) = 1 ( ) (1.46)

eklinde integral denklemiyle verilir. Kompleks dielektrik sabiti ( ) , nn sonsuza yaklaan limit deerinde, ve nn sfra yaklaan limit deerinde de gibi bir deere eit olur. [ ( ) ]/( ) ifadesine normalize edilmi kompleks dielektrik duygunluk fonksiyonu denir ve genelde ( ) ile gsterilir. Normalize edilmi dielektrik fonksiyonu ( ) nn reel ksm ( ), sanal ksm ( ) olmak zere ( ) = ( ) ( ) ile verilir. (1.45) ve (1.46) eitliklerinden yararlanarak bir sistemin durulma fonksiyonu analitik olarak

verildiinde veya deneysel olarak lldnde onun normalize edilmi kompleks


28

dielektrik sabitinin reel ve sanal ksmlar bulunabilir. (1.46) denkleminin ters

Laplace dnm yaplarak da ( ) durulma fonksiyonu ( ) cinsinden ifade edilebilir

Dielektrik iinde depolanan enerji ile orantl, s eklinde aa kan enerji ise ( ) ile orantldr. Dielektrik iinde birim hacimde, birim zamanda aa kan enerji:

= / (1.47)

ile verilir. Burada kondansatr iindeki akmdr; = / , ise kondansatr levhalarndaki yzey yk younluudur. Ayrca = olduu iin akm;

= = ( ( ) + ( )) (1.48)

eklinde olur. Buradan birim hacimde birim zamanda aa kan enerji u ekilde

olur:

= [ ( ) + ( )] ( ) / (1.49) = = (1.50)

Normalize edilmi dielektrik duygunluk fonksiyonu ( ) = ( ) ( ) nun reel ve sanal bileenleri arsnda Kramers-Kronig dnmleri Landau ve

Lifshitz (1960) tarafndan ortaya konmu, daha sonra Stk Eker (1997) tarafndan

yksek lisans almas olarak dielektrikte bir takm uygulamalar yaplmtr:

( ) = ( ) (1.51) ( ) = ( ) (1.52)


29

Kramers-Kronig bantlar katlarn dielektrik davranlarnn yorumunda temel bir

neme sahiptir. Bant, lineer bir sistemde dielektrik fonksiyonunun sanal ksm

belli bir frekans aralnda biliniyorsa reel ksmn bulma olana verir ve bunun tersi

de mmkndr.


30

2. NCEK ALIMALAR Muhammet Serdar AVU

31

2. NCEK ALIMALAR

Bu blmde, dielektrik durulma mekanizmasn aklamak iin gelitirilmi ve

Debye teori, Hiyerarik Kstlanm Dinamik Durulma Modeli, Frster Direkt-

Transfer Modeli, Szigeti dielektrik teorisi, Szlme Modeli, Fraktal Durulma modeli,

Bariyer modelleri, Zincir-dinamik modeli, Kusur Difzyon Modeli, Stokastik Ising

Modeline dayal almalar ve Kesirli Durulma Sreleri olarak da bilinen

almalardan bazlarnn temel varsaymlar ve dielektrik durulma mekanizmasn

aklamadaki yaklamlar ksaca deerlendirilecektir.

Gnmze kadar yaplan almalar sonucunda evrensel durulma yasasnn

birbirinden farkl sistemlerde de ayn olduu gzlenmi ve kabul edilmitir.

Birbirinden farkl dipolar sistemlerde gzlenen kesirli-s yasas veya KWW

(Kohlrausch-Williams-Watts) yasasn elde eden ok sayda model almalar

yaplmtr. Zener (1937) tarafndan termodinamik s alan ile zorlayc (strain)

arasndaki karlkl etkilemeyi hesaba katarak, bir lineer kat iindeki zorlayc

alann (strain field) durulmasn aklamak iin ortaya konulan model, Debye (1945)

tarafndan genelletirilerek dielektrik durulmaya uygulanmtr (Meltzler ve Klafter,

2002). Debye, bir sv iindeki dipol momentlerin, ynlendirilmi sral bir dzenden

geliigzel bir dzene durulmalar srasnda sv paracklar ile rastgele arptn

varsaymtr. Balangta bir d alan etkisiyle ynlendirilmi, dipol momenti ( ) ve yarap olan kk kresel dipolar molekllerin d alan kaldrldktan sonra viskozitesi ve scakl olan bir sv iinde nasl durulacan ifade eden bu model, ele alnan difzyon denkleminin belli koullar altnda zmnden

( ) = / , = 4 / (2.1)

durulma fonksiyonu ortaya koymutur. Burada , karakteristik durulma zamandr. Daha sonralar dielektrik durulmann analiziyle ilgili yaplan deneysel almalar

dielektrik durulmann dinamik davrann belirleyen durulma fonksiyonlarnn klasik

Debye durulma fonksiyonuna uymadn ortaya koymutur (Williams ve Watt,

1970; Cole, 1989). Debye teorisi, DiMarzio ve Bishop (1974) tarafndan viskoelastik


32

malzemelere uygulanrken, Ivanov (1964) ve Anderson (1972) tarafndan da sonlu

atlamal durumlar iin gelitirilmitir.

Williams ve Watts (1970) cams ve polimerik malzemelerle yaplan deneysel

sonulara dayanarak, bu tr malzemelerin gsterdikleri davranlarn, kesirli-s

yasas veya KWW yasas olarak da bilinen ve Debye fonksiyonunun genelletirilmi

bir hali olan

( ) = ( / ) , 0 < 1 (2.2)

eklindeki ampirik bir durulma fonksiyonuyla ifade edilebileceini gstermilerdir.

Dielektrik durulma da dahil olmak zere birbirinden farkl birok fiziksel sistemlere

ait deneysel gzlemleri aklamak iin KWW fonksiyonu kullanlmaktadr.

Kohlrauschun ilk defa visko-elastiklii aklamak iin nermi olduu bu bant

Williams ve Watts (1970) tarafndan dielektrik durulmay aklamada kullanlmtr.

KWW durulma yasasn elde eden fiziksel modellerin dayand ortak zellik,

hiyerarik olarak kstlanm veya zorlanm dinamikleri temel almalardr. Jonscher

(1977) tarafndan KWW durulma fonksiyonunun uyduu deneysel gzlemlerin geni

bir derlemesi yaplmtr.

2. 1. Szigeti Dielektrik Teorisi

Szigeti (1949), 1949-1961 yllar arasnda kristallerin dielektrik davranlar

zerine bir dizi makale yaynlamtr. Szigetinin teorisi farkl yapdaki izotropik,

anizotropik, iyonik ve kovalent kristallere uygulanabilir bir niteliktedir ve bu teorisi

maddenin dielektrik, spektroskobik ve elastik zelliklerini birbirine balamaktadr.

Teorisi kovalent ve iyonik kristallere ve poliatomik cristallere ek olarak diatomik

kristallere de uygulama alan bulmutur. Etkin iyonik ykler kavram, teorinin

nemli ksmlarndan biri olarak ortaya kmaktadr.

Szigeti, teorisini dielektrik sabiti ve rg frekans arasnda bir iliki kurarak

gelitirmitir. Teorinin ana zellikleri aadaki gibidir:

(i) yonlar deforme olabilirler


33

(ii) Dielektrik iindeki kutuplanma iki ksma sahiptir: infrared kutuplanma ve

ultraviyole kutuplanma

(iii) Ultraviyole kutuplanma elektrik kutuplanmayla aynyken infrared

kutuplanma elektrik ve atomik kutuplanmadan olan katklara sahiptir.

(iv) Atomik ve elektronik kutuplanmalar bamsz deillerdir ve aralarnda bir

etkileim vardr. Bu etkilemeler ksa ve uzun-mesafeli (long-range)

etkiler asndan ikiye ayrlr.

(v) Toplam dipol moment iki ksma ayrlr: = + , burada ultraviyole frekansl elektronik salnmlarn frekansdr ve infared ksmdr. ksm = eklinde verilir ve burada normal koordinatlardr.

Szigeti yapt bu varsaymlar sonucunda

= + [( + 2)/3] [ ( ) / ] (2.3)

bantsn elde etmitir. (2.3) denklemindeki ilk terim ultraviyole kutuplanmann

katksn, ikinci terim ise infared kutuplanma nedeniyle olan katky temsil

etmektedir. Ayrca , elektronik ve atomik yerdeitirmelerin ksa-mesafeli etkileimlerini ifade eder ve = olarak tanmlanp etkin yktr.

Szigetinin kendisinin yan sra teori birok bilim adamlar tarafndan da

gelitirilmitir. Ksaca zetleyecek olursak Yamashita (1952), Yamashita ve

Kurosava (1955) teoriyi kuantum mekanik variation method kullanarak yeniden ele

almlardr. Daha sonrasnda Dick ve Overhauser (1958) daha fazla kutuplanma

mekanizmalarnn etkilerinin de hesaba katlmas gerektiini varsayp teoriye ksa-

mesafeli etkileim ve takas (exchange) yk kutuplanmas etkilerini de eklemiler.

Hanlon ve Lawson (1959) ise mekanik kutuplanma etkilerini hesaba katarken

Mitskevitch (1964) ise iyonik bozulmalar (distortion) zerinde dipol etkilemelerinin

etkileri olduu varsaymna dayanan gelitirmeler yapmtr (Sirdeshmukh ve ark.,

2007).


34

2. 2. Kusur Difzyon Modeli

Debye yapsnda olmayan durulma davrann aklayabilen birleik bir

durulma modeli, Glarum (1960) tarafndan kusur difzyon modeli ad altnda ortaya

konmutur. Model, bir kusurun, madde iinde difzyon hareketi yaparak, birbiriyle

etkilemeyen durulma merkezlerinden birine ulat zaman durulmaya sebep olduu

fikrine dayanr. Glarumun bir boyutta ortaya koyduu bu modelde sadece en yakn

kusurlarn durulma merkezine ular ulamaz anlk dnmeye veya yn deitirmeye

neden olmasyla durulmann meydana geldii varsaylm ve bu varsaym nda

elde edilen durulma fonksiyonunun Cole-Cole ve Cole-Davidson davran gsterdii

gzlenmitir.

Daha sonralar Hunt ve Powles (1966) kusur difzyon modelini boyuta

genelletirmiler fakat genelletirme sonucunda ulalan bulgularn bir boyutlu

analizden elde edilen sonularla ok byk farkllklar gstermedii ortaya kmtr.

Bununla birlikte Phillips ve ark. (1972) Glarumun almasn iki en yakn komu

kusuru gz nne alan bir modele geniletmilerdir. Bu genelletirmeler model

zerinde byk apl sonusal deiiklik ortaya koymamtr.

Daha sonra Bordewijk (1975) sadece en yakn komulukta bulunan kusuru

deil de tm kusurlar gz nne alarak kusur difzyon modelini gelitirmitir ve bir

boyutta 5.0=b olduu KWW durulma fonksiyonunu ve boyutta da Debye

fonksiyonunu elde etmitir.

Shlesinger ve Montroll (1984) rasgele srama hareketi yapan kusurlar iin

bekleme zamanlarnn bir hiyerarisini ileri srerek KWW fonksiyonunun nasl

10


35

tm zincirin durulmasna neden olduudur. Bozdemir bu modelinde kusur dalm

iin kesirli (fractional) Gama dalmn kullanarak KWW fonksiyonunu elde etmi

ve zelliklerini ayrntl bir ekilde incelemitir.

Herhangi bir durulma merkezine ulaan bir ilk kusurun durulmaya neden

olduu ngrsne dayanan Kusur difzyon modeli Her hangi bir durulma

merkezine bir kusur ulamad srece durulma meydana gelmez ve Sistem iinde

hareket eden kusurlar rastgele yrme hareketi yaparlar eklinde olan iki temel

varsaymn yansra Kusur, durulma merkezine ular ulamaz anlk olarak durulma

meydana gelir, Bir durulma merkezinin durumu dier merkezlerin bulunduu

durumdan bamszdr ve Bir kusurun hareketi difzyon denklemi ile

tanmlanrken durulma merkezi sabit olarak alnr eklindeki yardmc varsayma

dayanr.

Kusur difzyon modelinde, = 0 annda bir kusurun = noktasnda bulunduunu farz edilir ve en yakn kusurun 0 zaman aralnda = 0 noktasna ilk defa ulama olasl da ( ) ile verilir. Kusurun hareketini belirleyen ifade ise

( , ) = ( , ) (2.4)

eklindeki difzyon denklemi ile belirlenir ve bir kusurun durulma merkezine ulama

olasln, kusurun pozisyonuna ve difzyon katsaysna balar. Kusurun

balangtaki konumu (0,0) = 1 ve ( , 0) = 0, 0 eklindeki snr artlar ile verilir. Ayrca en yakn kusurun 0=x noktasna ilk ulaan kusur olduundan emin

olmak iin 0 gz nne alnmtr. Bunun yannda < 0 iin ( , ) = 0 olmas gerektiinden kusurun = 0 noktasna ulatktan sonra sistemden ayrld veya kaybolduu farz edilmitir. Bu snr artlarna gre difzyon denkleminin zm

( , ) = ( , ) (2.5) ( , ) = / ( ) / ( /4 ) (2.6)


36

ile verilir. Kusurlarn difzyon hareketi yapmasndan dolay sistem iinde kusurlarn

dalm geliigzel olup verilen bir durulma merkezine en yakn kusurun ile + arasnda bulunma olasl

( ) = ( / ) (2.7)

eklinde seilmi ve birim uzunluk bana den kusur says 1/2 olarak alnmtr. Buna gre ( ) olasl ( , ) nin tm olas deerleri zerinden ortalamas alndktan sonrada elde edilen ( , ) nin ye gre integralinin alnmasyla

( ) = ( ) ( , ) (2.8) ( ) = ( ) (2.9) ( ) = 1 ( / ) ( / ) / (2.10)

elde edilir. Bylece dipol korelasyon fonksiyonu iin

( ) = 1 ( ) (2.11) ( ) = ( / ) ( / ) / (2.12)

ifadesine ulalr. Burada durulma zaman = / ile verilir ve kusurun 2 kadar mesafeyi kat etmesi iin geen sre olarak tanmlanr. Elde dilen bu korelasyon

fonksiyonu frekans uzaynda Cole-Cole bantsnn = 1/2 zel durumunu vermektedir. Bu durulma mekanizmasnn dnda dipollerin kusurlarla ve

kendileriyle etkilemedikleri dikkate alnarak elde edilen Debye durulma fonksiyonu

ile yukarda verilen durulma fonksiyonunun arpm frekans uzaynda Cole-

Davidson davrann ( = 1/2) vermektedir.


37

2.3. Hiyerarik Kstlanm Dinamik Durulma Modeli

Palmer ve arkadalar (1984) durulma mekanizmasnn basamaklar halinde

meydana geldii, sistem zerindeki kstlayclar ve zorlayclardan dolay serbestlik

derecesi byk olan yerel yap durulmaya uramadan serbestlik derecesi kk

olannn durulmaya uramad, yani hiyerarik bir dzenin olduu hiyerarik

kstlanm dinamik bir durulma modeli nermilerdir. Sistemin her bir dzeyindeki

serbestlik derecesinin o seviyede bulunan tane Ising spininin oluturduu konfigrasyonla belirlendii modelin nerdii durulma fonksiyonu

( ) = ( / ) (2.13)

ile verilir. Burada = ve = / ile tanmldr. Fonksiyon parametrelerin uygun ekilde seimiyle, epeyce karmak hesaplamalardan sonra

( ) ( / ) (2.14)

eklindeki KWW durulma fonksiyonu elde edilmektedir (Palmer ve ark. 1984).

2. 4. Frster Direk-Transfer Modeli

Model, uyarlm seviyede olan bir donardan statik kusurlara dorudan enerji

transferi olduu varsaymna dayanmaktadr (Frster,1949; Blumen, 1981). Verilen

bir sistemdeki bir donordan konumunda bulunan bir duraan kusura dorudan bir enerji iletimi olduu ve bir anna kadar donorun uyarlm seviyede kalma olasln temsil eden

( ) = [ ( )] (2.15)


38

eklinde bir durulma fonksiyonu nerilmitir. Burada ( ) durulma hzdr ve durulma zaman ise ( ) = 1/ ( ) ile verilmitir. Baz yaklaklklarla birlikte durulma hznn ( ) = / eklindeki seimi iin durulma fonksiyonu

( ) = ( / ) / (2.16)

eklinde KWW formundaki durulma fonksiyonuna dnmektedir. Burada younluk fonksiyonu olup bir sabit, boyut ve ise durulma hzn karakterize eden bir steldir. Model paralel durulma mekanizmalar olduu varsaym iin de ayn

sonuca ulamaktadr (Klafter ve Shlesinger, 1986).

2. 5. Fraktal Durulma Modeli

Fraktal geometri, dzgn veya simetrik bir geometrik yapya sahip olmayan

cisimlerin ekillerini aklamak iin Mandelbrot (1983) tarafndan gelitirilmitir.

Fraktal yapda olan cisimleri karakterize eden nicel lm fraktal boyutlar ile ilgili

lmlerdir. fraktal boyutu leklendirmeye dayanan bir teknikle bulunur. Fraktal durulma modeli KWW tipindeki dielektrik durulma davrann

aklamak iin ileri srlmtr (Shelisinger ve Montroll, 1983; Dissado ve Hill,

1987; Niklasson, 1987). Fraktal durulma mekanizmalarnda, sreci oluturan olaylar

kendi-kendine benzer bir yolla meydana gelmektedir. Yani olaylar hiyerarik zaman

aralklarnda hiyerarik bir dzen iinde meydana gelmektedir. Gerek sistemlerdeki

sreleri modellemek iin stokastik fraktallara ihtiya duyulmutur (Mandelbrot,

1983). Dielektrik durulmann fiziksel mekanizmas fraktal zaman sreleri ve fraktal

uzay sreleriyle aklanmaya allmtr. Fraktal zaman srelerine dayanan

modeller dielektrik durulmann baz zelliklerini anlamak iin ileri srlmlerdir.

Byle bir srete ortalama olay says

( ) (2.17)


39

ifadesiyle verilir. Bylece fraktal zaman kavram bekleme-zamanlar dalm ile

ilikilendirilir. Materyal iindeki uzaysal dalmdaki dzensizlik fraktal yapyla

tanmlanr. Buna bir rnek; dielektrik durulmaya neden olan durumlarn (states)

szlme modeline gre oluum gsteren fraktal yapdr. scaklndaki kompleks bir sistemin KWW yapsnda bir durulma gstermesinin sistemdeki mmkn

girilebilir durumlarn konfigrasyon uzaynn fraktal morfolojisinin bir sonucu

olduu ileri srlmtr (Jund ve ark., 2001).

2. 6. Ising Modeline Dayanan almalar

Ising modeli, dielektrik durulmann anlalmas asndan neme sahip olan ve

yaygn olarak kullanlan modellerden biridir. Ising modelinin tek boyutta zamana

bal analitik zm Glauber (1963) tarafndan yaplm olmakla birlikte Anderson

(1970) ilk defa en yakn dipol etkilemelerini dikkate alan bir nmerik zm ile

dielektrik durulmaya uygulamtr.

Daha sonra Bozdemir (1981), Glaubern dinamik Ising modelini sonlu ve

sonsuz elemanl dipol zincirlerinin durulmasna uygulam ve ilk defa ilgili dipol

korelasyon fonksiyonlarnn ve kompleks dielektrik sabitinin analitik ifadelerini

tretmeyi baarmtr. Bozdemir, sonlu bir zincir veya sonsuz bir dipol zincirinin

iindeki tek bir dipoln durulma fonksiyonun Debye tipinde olmadn ortaya

koymutur. Bu davrann dipoller arasndaki en yakn etkilemelerin doal bir

sonucu olduunu ngren Bozdemir, modelin bir ok dielektrik maddede gzlenen

durulma verileriyle uyumlu olduunu gstermitir.

Daha sonrasnda Skinner (1983) ncekilerden farkl gei olaslklar seerek,

Anderson ve Bozdemirin yapt modelleri temel alan, tek boyutlu molekler zincir

iin bir korelasyon fonksiyonu tretmitir. Elde ettii sonu, 0.5 0.74 deerleri iin KWW durulma fonksiyona uygunluk gstermitir.

Uzun diyebileceimiz bir zaman aral sonrasnda Brey ve Prados (1996)

Bozdemirin elde ettii sonulara, dk scaklk limitinde geerli olan ve Cole-

Davidson ( = 0.5) tipinde dielektrik fonksiyonunu ortaya koyan bir yaklamla deiik bir yoldan ulamtr.


40

2. 7. Szlme Modeli

Bu model fiziksel problemlerin bilgisayar modellemelerinde, faz-geileri,

leklendirme bantlar, kritik-sler ve yeniden-normalizasyon gruplar gibi

kavramlar incelemede ve grafiksel analizlerinde kullanlan bir tekniktir.

boyutta oluturulan zayf iletken-yaltkan bileiklerin, iletken paracklarn

konsantrasyonunun bir fonksiyonu olarak frekansa bal kompleks dielektrik

fonksiyonu szlme modeli ile nmerik simlasyon teknii kullanlarak elde

edilebilmi (Calame, 2003) ve bu sistemlerin szlme eiinin altnda, dk

iletkenlik konsantrasyonu iin Debye tipinde bir davran sergilerken yksek

iletkenlik konsantrasyonunda ise Cole-Davidson tipinde davran gsterdii

gzlenmitir. Dielektrik karmlarn szlme modeli Tuncer ve ark. (2002)

tarafndan yaplm ve frekans blgesinde Debye tipinde olmayan davranlar elde

edilmi ve bu tr bir davrann szlme modelinin oluturduu fraktal geometriden

kaynakland ngrlmtr.

2. 8. Kesirli Durulma Sreleri

Kesirli hesap teknii kullanlarak, durulma srelerini aklamaya dayal

almalar zellikle son on yl kapsayan bir zaman aralnda arlk kazanmtr.

almalar genel olarak

( , ) = ( , ) (2.18)

ile verilen difzyon denklemi ve farkl difzyon tipi denklemlerin kesirli hesap

teknii ile zmlerine dayanmaktadr. Burada ( , ) olaslk younluk fonksiyonudur. Bu noktada geni bir yelpazede srdrlen dielektrikle ilgili kesirli

durulma yaklamlar ncelikli olarak Hilfer (2002), Uchaikin (2003), Reyes-Melo ve

ark. (2005), Coffey ve ark. (2004) ve Nigmatullin (2007) tarafndan yaplm ve bu


41

almalar frekans blgesinde Debye ve Cole-Cole tipi davranlar aklamada

olduka baarl olmulardr.

2. 9. Deneysel Sonularn Yorumuna Dayanan Ampirik Fonksiyonlar

Dielektrik durulma srelerini aklamak iin yaplan ilk fiziksel modellerden

biri Debye modelidir. Birbiriyle etkilemedii varsaylan dipollerden oluan

sistemlerde, dipollerin srtnmeli bir ortamda difzyon hareketini ele alarak, )(tf

durulma fonksiyonunun

( ) = ( / ) (2.19)

biiminde stel olmas gerektiini ortaya koymutur. Burada ya makroskobik durulma zaman denir. Bu modelden, denklem (1.46) yardmyla kompleks dielektrik

fonksiyonu iin

( ) = (2.20)

bants elde edilir. Debye bants iin kayp erisi ekil 2.1 de verilmitir. Debye

tipi durulmalar, net bir ekilde genelletirilemese de, daha ok -durulma da denen ve alak frekans blgesinde ya da yksek scaklk limitlerinde kat amorf

polimerlerde ska gzlenmelerinin yansara Alkyl halide svlarn poly(vinyl

bromide) in dioxane ve polyvinyle chloride in tetrahydrofurann su katkl (dilute)

zeltilerinde karmza kmaktadr. Bununla birlikte NH HSO gibi ferroelektriklerde de Debye benzeri eriler gzlenmitir (Bozdemir, 1978).


42

ekil 2.1. Debye bants iin kayp erisi. Yargenilik 1,14 ve erinin eimleri = 1 dir.

Fakat sonralar yaplan deneysel almalar, dielektrik durulmann dinamik

davrann belirleyen fonksiyonlarn klasik Debye durulma yasasna uymadn

gstermi ve dielektrik durulma iin sadece deneysel gzlemleri ifade eden

matematiksel fonksiyonlar olarak nitelendirilebilinen, fiziksel modellerden

kartlmayan, ampirik fonksiyonlar ileri srlmtr.

Zaman blgesinde ortaya konulan en nemli ampirik durulma fonksiyonlarndan biri daha nce de szn ettiimiz ve Kohlrausch (1854), Williams ve Watts (1970) tarafndan ortaya konulan

])/(exp[)( btf tt -= , 10


43

biiminde nerilmitir. nn farkl deerleri iin kayp erileri ekil 2.2 de verilmitir. ou polimer yaplarla birlikte ferroelektrik maddelerin 0.9 < < 1 aralnda Cole-Cole bantsna uygunluk gsterdii grlmtr. Durulma

zamannn dalmlarn hesaba katan baz neriler olsa da bu kk sapmalarn

nedenleri pek aklanabilmi deildir (Bozdemir, 1978).

ekil 2.2. Cole-Cole bantsnn nn farkl deerleri iin kayp erileri

Deneysel almalara daha uyumlu bir dier neri ise Davidson ve Cole (1950)

tarafndan

( ) = ( ) , 0 < < 1 (2.23)

biiminde nerilmitir. nn farkl deerleri iin kayp erileri ekil 2.3 de verilmitir. eitli Na O SiO camlar ve Cs O SiO ve Na O SiO bileikleri Cole-Davidson davrann sergileyen iyi birer rnektirler (Bozdemir, 1978).

ekil 2.3 den de aka grlebilecei gibi nn bire yaklaan deerleriyle birlikte Cole-Davidson denklemi Debye denklemine ve ekil 2.2 iin nn bire yaklaan deerleriyle Cole-Cole bantsnn Debye bantsna dnt

grlmektedir.

0.5

0.7

0.01 0.1 1 10 100 1000Log

0.010

0.100

0.050

0.020

0.200

0.030

0.300

0.015

0.150

0.070


44

ekil 2.3. Cole-Davidson bantsnn nn farkl deerleri iin kayp erileri

En son olarak Havriliak ve Negami (1966) tarafndan Cole-Cole ve Cole-

Davidson fonksiyonlarnn bir kombinasyonu da diyebileceimiz

( ) = [ ( ) ] , 0 < < 1 , 0 < < 1 (2.24)

bants ortaya konmutur. (2.24) ifadesi incelendiinde Havirliak-Negami

bantsnn = 1 deeri iin Cole-Cole, = 1 deeri iin Cole-Davidson ve = 1 , = 1 deerleri iin Debye bantsna dnt rahatlkla grlebilmektedir. (2.24) ile verilen Havirliak-Negami bantsnn ve nn farkl deerleri iin kayp erileri ekil 2.4 de verilmitir.

Tez almasnn buraya kadar olan ksmnda dielektrik durulmayla ilgili temel

kavramlar, gelimeleri ve dielektrik durulma mekanizmasn aklamaya ynelik

fiziksel kuramlarn temel zellikleri ve ulaabildikleri sonularla birlikte deneysel

verilere dayanlarak ortaya konulan ampirik fonksiyonlar ve bu fonksiyonlarn genel

zellikleri verilmitir.

0.4

0.8

0.01 0.1 1 10 100 1000Log

0.001

0.005

0.010

0.050

0.100

0.500


45

ekil 2.4. Havriliak ve Negami bantsnn ve nn farkl deerleri iin kayp

erileri

Mevcut kuramlarn dayand fiziksel mekanizmalarn ve kuramlarn

sonularnn, dielektrik durulmayla ilgili gzlemleri aklamada yeteri kadar tatmin

edici olamad grlmtr (Jonscher, 1983). Biz bu almamzda mevcut

kuramlardan ok daha iyi sonular veren ve fiziksel temelleri salam bir kesirli

(fractional) dielektrik durulma modeli gelitirmi bulunuyoruz. Modelin

gelitirilmesi srasnda, Glarumun kusur difzyon modeli ve Glauber'n stokastik

Ising modeli, kesirli hesap teknii kullanlarak yeniden analiz edildi. Elde edilen

sonular, klasik kusur difzyon ve stokastik Ising modelinin sonularyla

karlatrld ve kesirli zmlerin dierlerine gre stn

qcd field teori

Documents