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Kapitel 4
QM in 3 Dimensionen
4.1 Schrodinger Gleichung in 3 Dimensionen
Schrodinger Gl.:
ih∂Ψ
∂t= HΨ
Hamilton-Operator bekommen wir aus der klassischen Energie:
1
2mv2 + V =
1
2m(p2x + p2y + p2z) + V
durch die standarte Substituition
px → −ih ∂∂x
py → −ih ∂∂y
pz → −ih ∂∂z
oder~p→ −ih∇
Wir bekommen
ih∂Ψ
∂t= − h2
2m∇2Ψ+ VΨ
mit Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten
∇2 =∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2
Die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Elementarvolumen zu finden ist|Ψ(~r, t)|2dV , wobei dV = dx dy dz, mit der Normierungsbedingung:
∫
V|Ψ(~r, t)|2dV = 1
53
(Wir integrieren uber den ganzen Raum.)Fur zeitunabhangiges Potential benutzen wir den Ansatz Ψ(~r, t) = ψ(~r)φ(t),genauso wie in einer Dimension. Wir bekommen ein vollstandiges System vonstationaren Zustanden
Ψn(~r, t) = ψn(~r)e−iEnt/h,
wobei die raumliche Wellenfunktion ψ die Losung der zeitunabh. Schr. Gl. ist:
− h2
2m∇2ψ + V ψ = Eψ
Die allgemeine Losung der zeitabh. Schr. Gl
Ψ(~r, t) =∑
cnψn(~r)e−iEnt/h
Konstanten cn bekommen wir, wie ublich, aus der Anfangsbedingung Ψ(~r, 0).
4.1.1 Bsp.: ein Teilchen im Quader
Potential:
V (x, y, z) =
{
0, 0 < x < a , 0 < y < a , 0 < z < a∞, sonst
Schr. Gl. im Quader:
− h2
2m
(
∂2ψ
∂x2+∂2ψ
∂y2+∂2ψ
∂z2
)
= Eψ
Ansatz: ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). Einsetzen, und mit XY Z dividieren:
1
X
d2X
dx2+
1
Y
d2Y
dy2+
1
Z
d2Z
dz2= −2m
h2E
Alle drei Summanden links sollen konstant sein. Wir notieren diese Konstanten mit−k2x,−k2y ,−k2z . Dann
d2X
dx2= −k2xX ,
d2Y
dy2= −k2yY ,
d2Z
dz2= −k2zZ
und
E =h2
2m(k2x + k2y + k2z)
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Losungen:
X(x) = Ax sin(kxx) +Bx cos(kxx) Y (y) = Ay sin(kyy) +By cos(kyy)
Z(z) = Az sin(kzz) +Bz cos(kzz)
Randbedingungen:
X(0) = X(a) = 0 =⇒ Bx = 0 , sin(kxa) = 0 =⇒ kx =nxπ
a, nx = 1, 2, . . ..
Normierung genauso wie fur den unendlich hohen Potentialtopf: Ax =√
2/a.Ahnlich fur X,Y . Letzendlich:
ψ(x, y, z) =
(
2
a
)3/2
sin
(
nxπ
ax
)
sin
(
nyπ
ay
)
sin
(
nzπ
az
)
E =h2
2m
π2
a2(n2x + n2y + n2z)
In 1D war es
En =h2
2m
π2
a2n2
Finden wir Energiewerte und Entartung.
55
56
Uberprufen Orthonormierung. Wir benutzen∫ a
0sin
(
πx
an
)
sin
(
πx
an′)
=a
2δnn′
⟨
ψijk|ψi′j′k′⟩
=
∫ a
0
∫ a
0
∫ a
0ψijkψi′j′k′dxdydz
=
(
2
a
)3 ∫ a
0sin
(
πx
ai
)
sin
(
πx
ai′)
dx
∫ a
0(·)dy
∫ a
0(·)dz = δii′δjj′δkk′
4.2 Zentralpotential
Typisches Problem: Zentralkraft. Das Potential ist V (~r) = V (r) =⇒ wirbenutzen die Kugelkoordinaten. Laplace-Operator
∇2 =1
r2∂
∂r
(
r2∂
∂r
)
+1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ∂
∂θ
)
+1
r2 sin2 θ
(
∂2
∂φ2
)
Ansatz: ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ). Wir bekommen
− h2
2m∇2ψ + V ψ = Eψ
− h2
2m
[
Y
r2d
dr
(
r2dR
dr
)
+R
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ∂Y
∂θ
)
+R
r2 sin2 θ
∂2Y
∂φ2
]
+ V RY = ERY
Dividieren mit RY , multiplizieren mit −2mr2/h2:{
1
R
d
dr
(
r2dR
dr
)
− 2mr2
h2[V (r)− E]
}
+1
Y
{
1
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ∂Y
∂θ
)
+1
sin2 θ
∂2Y
∂φ2
}
= 0
Erste {. . .} ist nur von r abhangig, zweite {. . .}/Y nur von θ, φ, also beide Gliedersollen konstant sein. Wir notieren diese Separationskonstante mit l(l+1); hier kannl eine beliebige komplexe Zahl sein, aber spater wird gezeigt, dass l ganzzahlig ist.l: die Nebenquantenzahl oder Drehimpulsquantenzahl.Die Gleichung fur R
1
R
d
dr
(
r2dR
dr
)
− 2mr2
h2[V (r)− E] = l(l + 1)
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soll man fur jede Potentialfunktion V (r) losen. Die Winkelgleichung
1
Y
{
1
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ∂Y
∂θ
)
+1
sin2 θ
∂2Y
∂φ2
}
= −l(l + 1)
ist vom Potential unabhangig.
4.2.1 Winkelgleichung
Winkelgleichung ist mit dem Ansatz Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) losbar. Zuerst schreibenwir die Gleichung um (multiplizieren mit Y sin2 θ):
sin θ∂
∂θ
(
sin θ∂Y
∂θ
)
+∂2Y
∂φ2= −l(l + 1) sin2 θY
Einsetzen Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ), dann mit ΘΦ dividieren:
{
1
Θ
[
sin θd
dθ
(
sin θdΘ
dθ
)]
+ l(l + 1) sin2 θ
}
+1
Φ
d2Φ
dφ2= 0
Dann erscheint noch eine Separationskonstante, die wir mit m2 notieren. Wirbekommen
1
Θ
[
sin θd
dθ
(
sin θdΘ
dθ
)]
+ l(l + 1) sin2 θ = m2
1
Φ
d2Φ
dφ2= −m2
m heisst die magnetische Quantenzahl.Fur Φ bekommt man eine sehr einfache Losung
Φ(φ) = eimφ
Aus der Periodizitatsbedingung
Φ(φ+ 2π) = Φ(φ) =⇒ e2πmi = 1 =⇒ m = 0,±1,±2, . . .
Die Losung fur Θ kann man durch die Legendre-Funktionen undLegendre-Polynomen darstellen; die ist nur fur ganzzahlige positive l und|m| ≤ l normierbar.Normierung:
∫
|ψ|2r2 sin θ dr dθ dφ =
∫
|R(r)|2r2 dr∫ ∫
|Y |2 sin θdθ dφ = 1
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Es ist bequem, die Funktionen separat zu normieren:
∫ ∞
0|R(r)|2r2 dr = 1
∫ π
0
∫ 2π
0|Y |2 sin θdθ dφ = 1
Die normierte Winkelwellenfunktionen heissen Kugelflachenfunktionen:
Y ml (θ, φ) = ǫ
√
2l + 1
4π
(l − |m|)!(l + |m|)!P
ml (cos θ)eimφ
mit ǫ = (−1m) fur m ≥ 0 und ǫ = 1 fur m < 0. Pml sind Legendre-Funktionen. Die
Funktionen Y ml sind orthogonal:
∫ π
0
∫ 2π
0[Y m
l ]∗Y m′
l′ sin θdθ dφ = δll′δmm′
59
60
4.2.2 Radialgleichung
Winkelfunktionen Y ml sind fur alle Zentralpotentiale gleich, nur R(r) ist von V (r)
abhangig. Die Gleichung ist
d
dr
(
r2dR
dr
)
− 2mr2
h2[V (r)−E]R = l(l + 1)R
Substitution:u(r) = rR(r)
Dann
R = u/r ,dR
dr= [
du
drr − u]/r2 ,
d
dr
(
r2dR
dr
)
= rd2u
dr2
rd2u
dr2− 2mr2
h2[V − E]
u
r= l(l + 1)
u
r
d2u
dr2− 2m
h2[V −E]u = l(l + 1)
u
r2
− h2
2m
d2u
dr2+
[
V +h2
2m
l(l + 1)
r2
]
u = Eu
Wir vergleichen mit der zeitunabh. Schr. Gl. in einer Dimension:
− h2
2m
d2ψ
dx2+ V ψ = Eψ
Die Gleichungen sind identisch, wenn wir das effektive Potential einfuhren:
Veff = V +h2l(l + 1)
2mr2
Zentrifugalterm, wie im Kepler-Problem: Veff = V + L2z
2mr2 . Vergleich zeigt, dassl-Zahl den Drehimpuls beschreiben soll.Normierungbedingung ist jetzt
∫ ∞
0|R(r)|2r2 dr =
∫ ∞
0|u|2 dr = 1
61
4.3 Bsp.: ein Teilchen in der Kugel
Sei das Potential V = 0 fur r < a und V = ∞ sonst. Fur r > a ist die Wellenfktgleich Null. Fur r < a:
− h2
2m
d2u
dr2+h2
2m
l(l + 1)
r2u = Eu
d2u
dr2− l(l + 1)
r2u = −2mE
h2u
d2u
dr2=
[
l(l + 1)
r2− k2
]
u
mit
k =
√2mE
hE =
k2h2
2m
Randbediengung: u(a) = 0.Fur l = 0:
d2u
dr2= −k2u =⇒ u(r) = A sin(kr) +B cos(kr)
R(r) = u(r)/r = Asin(kr)
r+B
cos(kr)
r
Wir verlangen, dass R(r) begrenzt ist. Dann soll B = 0, sonst limr→0R(r) = ∞.Randbediengung gibt: sin(ka) = 0 =⇒ ka = nπ , n = 1, 2, . . .. DieEnergie ist:
En0 =k2h2
2m=
π2h2
2ma2n2 , n = 1, 2, . . .
(Genau wie im unendl. hoh. Potentialtopf in einer Dimension.) Normierung:
A =√
2/a
Mit Y 00 = 1/
√4π
ψn00 = Rn0(r)Y00 (θ, φ) =
1√2πa
sin(nπr/a)
r=
1√2πa
nπ/a sin(nπr/a)
nπr/a=
n√π
a√2aJ0(
nπr
a) ,
wobei J0(x) = sin(x)/x ist die Bessel-Fkt nullter Ordnung. Allgemeine Lsg furl > 0 bekommnt man durch Bessel- und Neumann-Fkt.
62
4.4 Wasserstoffatom
Schwerer Proton (in Koordinatenursprung) und Elektron. Coulombsches Potential:
V (r) = − e2
4πε0
1
r
Die radiale Gleichung lautet:
− h2
2m
d2u
dr2+
[
− e2
4πε0
1
r+h2l(l + 1)
2mr2
]
u = Eu
Die Aufgabe ist die Gleichung zu losen und die erlaubte Werte der Energie zubestimmen. Man kann zeigen, dass die normierbare Losungen nur fur
En =E1
n2mit E1 = − me4
32h2π2ε20= −13.6 eV
existieren, mitn = 1, 2, . . .
undl = 0, 1, 2, . . . , n− 1, m = −l,−l + 1, . . . , l − 1, l
Hier n ist die Hauptquantenzahl. Das ist die beruhmte Bohr-Formel.Bindungsenergie ist 13.6 eV.
E1 = − h2
2ma20= −13.6 ,
wobei a0 =4πε0h
2
me2 der Bohr-Radius ist.Die Wellenfunktionen haben 3 Indexen: ψnlm = Rnl(r)Y
ml (θ, φ), wobei
n = 1, 2, 3, . . . l = 0, 1, . . . , n− 1 m = −l,−l + 1, . . . , 0, 1 . . . l
Z.B., der Grundzustand ist:
ψ100 =1
√
πa30
e−r/a0
Funktionen sind orthonormiert:∫
ψ∗nlmψn′l′m′r2 sin θdθdφ = δnn′δll′δmm′
63
Entartung: fur jeden Wert von l gibt es 2l + 1 moglichen Werten von m. Dann
d(n) =n−1∑
l=0
(2l + 1) = n2
Andere Notation: Zustand des Elektron im Wasserstoffatom:
|ψ〉 = |n, l,m〉
Weiter sehen wir, dass eigentlich sollen wir schreiben:
|ψ〉 = |n, l,m, s〉
Hier die Quantenzahl s entspricht Spin.
Bohr-Radius klassisch, grobe Schatzung. Aus der Unscharferelation: p ≈ h/a0.Dann
T =p2
2m=
h2
2ma20
V (a0) = − 1
4πε0
e2
a
Minimiert man die Gesamtenergie T (a) + V (a), erhalt man
a0 =4πε0h
2
me2
4.4.1 Spektrum des Wasserstoffatoms
Wenn das Wasserstoffatom im Zustand |n, l,m〉 ist, dann soll es auch so bleiben,weil der Zustand stationar ist. Eine Storung (Kollisonen mit anderen Atomen,Photonen, etc) kann aber das System in einen anderen Zustand bringen.Energiedifferenz:
Eγ = Ei − Ef = E1
(
1
n2i− 1
n2f
)
= hω = hν
Eγ > 0: Emission eines Photons; Eγ < 0: Absorption eines Photons.ν = c/λ =⇒
1
λ=
E1
2πhc
(
1
n2i− 1
n2f
)
= R
(
1
n2i− 1
n2f
)
64
Hier R ist die Rydberg-Konstante.Ubergange zum Grundzustand, d.h. nf = 1: Lyman-Serie, ultraviolett.Ubergange zum ersten angeregten Zustand, d.h. nf = 2: Balmer-Serie, sichtbar.Ubergange zum zweiten angeregten Zustand, d.h. nf = 3: Paschen-Serie, infrarot.
4.5 Drehimpuls
Klassisch:~L = ~r × ~p
oderLx = ypz − zpy Ly = zpx − xpz Lz = xpy − ypx
Quantenmechanisch: den Operator des Drehimpulses bekommen wir durch diestandarte Substitution:
px → −ih ∂∂x
py → −ih ∂∂y
pz → −ih ∂∂z
4.5.1 Kanonische Vertauschrelationen
In 3 Dimensionen (Ubung) gelten kanonische Vertauschrelationen (in 1D:[x, p] = ih):
[ri, pj] = ihδij [ri, rj ] = [pi, pj ] = 0
Wir berechnen (alle Operatoren sind distributiv!)
[Lx, Ly] = [ypz − zpy, zpx − xpz] =
[ypz, zpx]− [ypz, xpz]− [zpy, zpx] + [zpy, xpz]
In [ypz, xpz] und [zpy, zpx] alle Operatoren kommutieren =⇒
[ypz, xpz] = 0 [zpy, zpx] = 0
[ypz, zpx] = ypzzpx − zpxypz = ypxpzz − ypxzpz = ypx[pz, z]
[zpy, xpz] = xpy[z, pz ]
[Lx, Ly] = [ypz, zpx] + [zpy, xpz] = xpy[z, pz]− ypx[z, pz ] = ih(xpy − ypx) = ihLz
Mit x→ y, y → z, und z → x:
[Lx, Ly] = ihLz [Ly, Lz] = ihLx [Lz, Lx] = ihLy
65
Verallgemeinerte Unscharferelation:
σ2Lxσ2Ly
≥(
1
2i〈ihLz〉
)2
=h2
4〈Lz〉2
=⇒ Zwei Komponenten des Drehimpulses sind nicht vertraglich!Anderseits, der Operator
L2 = L2x + L2
y + L2z
kommutiert mit Lx. Wir berechnen:
[L2, Lx] = [L2x, Lx] + [L2
y, Lx] + [L2z, Lx] = [L2
y, Lx] + [L2z, Lx]
(Alle Kommutatoren kommutieren mit sich selbst.) Weiter benutzen wir:
[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B
[L2, Lx] = Ly[Ly, Lx] + [Ly, Lx]Ly + Lz[Lz, Lx] + [Lz, Lx]Lz
[L2, Lx] = Ly(−ihLz) + (−ihLz)Ly + Lz(ihLy) + (ihLy)Lz = 0
Also,[L2, Lx] = 0 [L2, Ly] = 0 [L2, Lz] = 0
4.5.2 Eigenwerte des Drehimpulsoperators
L2 und Lz sind vertragliche Observablen =⇒ wir suchen nach gemeinsameEigenzustande:
L2f = λf und Lzf = µf
Wir benutzen Kletteroperatoren:
L± = Lx ± iLy
Kommutator mit Lz:
[Lz, L±] = [Lz, Lx]± i[Lz, Ly] = ihLy ± i(−ihLx) = ±h(Lx ± iLy)
[Lz, L±] = ±hL±
Offensichtlich:[L2, L±] = 0
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N.R. fur weitere Nutzung:
L±L∓ = (Lx ± iLy)(Lx ∓ iLy) = L2x + L2
y ∓ i(LxLy − LyLx) = L2 − L2z ∓ i(ihLz)
OderL2 = L±L∓ + L2
z ∓ hLz
Aussage: Wenn f die Eigenfunktion von L2 und von Lz ist, dann L±f ist es auch.Beweis:
[L2, L±] = 0 =⇒ L2(L±f) = L±(L2f) = L±(λf) = λ(L±f)
L2(L±f) = λ(L±f) =⇒ L±f ist Eigenfunktion von L2
mit dem selben Eigenwert λ. Weiter,
Lz(L±f) = (LzL± − L±Lz)f + L±Lzf = ±hL±f + L±(µf)
Lz(L±f) = (µ ± h)(L±f) =⇒ L±f ist Eigenfunktion von Lz
mit dem neuen Eigenwert µ± h.Also, fur vorgegebene λ gibt es eine “Treppe” von Zustanden mit Eigenwertenµ± h, µ± 2h, . . .. Aber Eigenwert von Lz (sprich Messwert der z-Komponente desDrehimpulses) kann nich grosser als L sein =⇒ es gibt das hochste Niveau(Funktion ft) sodass
L+ft = 0
Den entsprechenden Eigenwert notieren wir mit lh (wir sehen bald, dass l dieNebenquantenzahl ist). Genauso, es gibt das niedrigste Niveau (Funktion fb) sodass
L−fb = 0
Den entsprechenden Eigenwert notieren wir mit lh.Wir benutzen jetzt die NR oben:
L2 = L−L+ + L2z + hLz =⇒
L2ft = λft = (L−L+ + L2z + hLz)ft = 0 + h2l2ft + h2lft = h2l(l + 1)ft
=⇒ λ = h2l(l + 1)
AhnlichL2 = L+L− + L2
z − hLz =⇒
67
L2fb = λfb = (L+L− + L2z − hLz)fb = 0 + h2 l2fb − h2 lfb = h2 l(l − 1)fb
=⇒ λ = h2l(l − 1)
Also,l(l + 1) = l(l − 1)
Eine Losung ist l = l + 1, aber das wahre bedeuten, dass fb Niveau hoher als ftNiveau ist! Andere Losung ist
l = −lWir wissen auch, dass die Eigenwerte von Lz sich stufenweise andern, mit demSchritt h. Dann
−lh+Nh = lh ,
wobei N eine ganze Zahl ist. Dann l = N/2 ist ganzzahlig oder halb-ganzzahlig:
l = 0, 1/2, 1, 3/2, . . .
und Eigenwerte von Lz sind mh, mit
m = −l,−l+ 1, . . . , l − 1, l
(Wir sehen bald dass m die magnetische Quantenzahl ist).Jeden Zustand beschreiben wir mit l,m, d.h. mit der Eigenfunktion fml :
L2fml = h2l(l + 1)fml Lzfml = hmfml
D.h. Betrag des Drehimpulses ist h√
l(l + 1), z-Komponente ist mh.Bemerkung 1:
√
l(l + 1) > l =⇒ z-Komponente ist immer kleiner als Betrag
des Drehimpulses. Also, es kann nicht sein, dass ~L ↑↑ ~ez: das waehre bedeuten,dass alle drei Komponenten exakt bekannt sind, und das ist wegen derverallgemeinerten Unscharferelation
σ2Lxσ2Ly
≥(
1
2i〈ihLz〉
)2
=h2
4〈Lz〉2
nicht moglich. Das Teilchen kann nicht einen definierten Drehimpuls haben.Bemerkung 2: Man kann zeigen, dass fml = Y m
l (θ, φ). Kugelflachenfunktionen sindEigenfunktionen von L2 und Lz.Bemerkung 3: Algebraische Methode (Kletteroperatoren) erlaubt, dass l (unddeswegen auch m) ganzzahlig oder auch half-ganzzahlig sein kann. Mit demSeparationsansatz haben wir aber bekommen, dass l ganzzahlig sein soll.Widerspruch?
68
4.6 Spin
Klassisch: Drehimpuls~L = ~r × ~p
(Rotations des Schwerpunktes) und Drehimpuls
~S = I~ω
(Rotation um den Schwerpunkt). Letzendlich, ~S ist die Summe von ~L von allenPunkten, also klassisch gibt es eigentlich keine Unterscheidung zwischen ~S und ~L.In der Quantenmechanik hat solche Unterscheidung eine fundamentale Bedeutung.In QM unterscheiden wir
1. Bahndrehimpuls ~L, z.B. wegen Rotation des Elektrons um Proton.
2. Interner Drehimpuls ~S, kann nicht durch eine Funktion vonRaumkoordinaten geschrieben werden.
Algebraische Theorie is zur Theorie des Drehimpulses ahnlich. Es gelten diekanonische Vertauschrelationen: (wir nehmen die als Postulate)
[Sx, Sy] = ihSz [Sy, Sz] = ihSx [Sz, Sx] = ihSy
Eigenwertgleichungen:
S2 |s m〉 = h2s(s+ 1) |s m〉 Sz |s m〉 = hm |s m〉
Eigenzustande sind keine Funktionen, deswegen benutzen wir die ket-Notation.Jetzt gibt es auch keine Grunde, die halb-geradzahlige Werte auszuschliessen:
s = 0, 1/2, 1, 3/2, . . . m = −s,−s+ 1, . . . , s − 1, s
Jedes Teilchen hat ein specifisches und konstantes wert von s: wir nennen denWert Spin des Teilchens: π-Mesonen haben Spin 0, Elektronen, Protonen undNeutronen haben Spin 1/2, Photonen haben Spin 1, u.s.w.
4.6.1 Spin 1/2
Das ist der wichtigster Fall. Es gibt nur zwei Eigenzustande:
1.∣
∣
∣
12 ,
12
⟩
, oder Spin aufwarts, oder ↑
69
2.∣
∣
∣
12 ,−1
2
⟩
, oder Spin abwarts, oder ↓
Zweizustandssystem: Eigenvektoren
χ+ =
(
10
)
χ− =
(
01
)
Der allgemeine Zustand wird durch die 1× 2 Matrix (Spinor) dargestellt:
χ = aχ+ + bχ− =
(
ab
)
Die entsprechenden Operatoren sind 2× 2 Matrizen. Die Eigenwertgleichungen furs = 1/2 lauten:
S2χ+ =3
4h2χ+ S2χ− =
3
4h2χ−
und S2 ist noch unbekannt:
S2 =
(
c de f
)
Die erste Eigenwertgleichung ist dann:(
c de f
)(
10
)
=3
4h2(
10
)
oder(
ce
)
=
(
3h2/40
)
Die zweite Eigenwertgleichung:(
c de f
)(
01
)
=3
4h2(
01
)
oder(
df
)
=
(
0
3h2/4
)
Also, c = f = 3h2/4, e = d = 0 und
S2 =3
4h2(
1 00 1
)
70
Genauso, die Gleichungen
Szχ+ =h
2χ+ Szχ− = − h
2χ−
liefern
Sz =h
2
(
1 00 −1
)
Mit Hilfe von Kletteroperatoren findet man
Sx =h
2
(
0 11 0
)
Sy =h
2
(
0 −ii 0
)
Zu merken: Si, S2 sind hermitesch. Man schreibt Si =
h2σi, wo σi die
Pauli-Matrizen sind:
σx =
(
0 11 0
)
σy =
(
0 −ii 0
)
σz =
(
1 00 −1
)
Eigenvektoren und Eigenwerte von Sz: χ+ mit h/2 und χ− mit −h/2. Wir messenSz eines Teilchen im Zustand χ = aχ+ + bχ−. Mogliche Ergebnisse: Sz = h/2 mitder W’keit |a|2 und Sz = −h/2 mit der W’keit |b|2.Jetzt messen wir Sx. Eigenvektoren (normierte) und Eigenwerte von Sx:
χ(x)+ =
(
1/√2
1/√2
)
mit λ = h/2
χ(x)− =
(
1/√2
−1/√2
)
mit λ = −h/2
Wir nehmen diese Vektoren als neue Basis.
χ(x)+ + χ
(x)− =
( √20
)
=√2χ+
χ(x)+ − χ
(x)− =
(
0√2
)
=√2χ−
χ = aχ+ + bχ− = a(χ(x)+ + χ
(x)− )/
√2 + b(χ
(x)+ − χ
(x)− )/
√2
71
χ =a+ b√
2χ(x)+ +
a− b√2χ(x)−
W’keit, bei der Messung h/2 zu bekommen, ist |a+ b|2/2. W’keit, bei der Messung−h/2 zu bekommen, ist |a− b|2/2.Bsp. Sei ein Teilchen (Spin 1/2) im Zustand:
χ =1√6
(
1 + i2
)
Wie gross ist die W’keit h/2 oder −h/2 bei der Messing von Sx und Sz zubekommen?Hier a = (1 + i)/
√6 und b = 2/
√6. Dann fur Sz: die W’keit ±h/2 zu Messen ist
bzw. |a|2 = 1/3 und |b|2 = 2/3. Erwartungswert
h/2 · 1/3 + (−h/2) · 2/3 = −h/6
Oder direkt:
〈Sz〉 = 〈χ|Sz|χ〉 = χ†Szχ =
(
(1− i)√6
2√6
)
(
h/2 00 −h/2
)( (1+i)√62√6
)
= − h6
〈Sx〉 = 〈χ|Sx|χ〉 = χ†Sxχ =
(
(1− i)√6
2√6
)
(
0 h/2h/2 0
)( (1+i)√62√6
)
=h
3
Nochmal zur statistischen Interpretation. Sei Zustand des Teilchens χ+. Dannz-Messung gibt immer h/2. Aber x-Messung ist unscharf: die gibt ±h/2 mit W’kei1/2. Das bedeutet: der Zustand ist genau bekannt, aber das Teilchen hat keinbestimmten Wert der x-Komponente des Spins.
72
4.7 Addition von Drehimpulsen
Sei es 2 Teilchen mit Spin 1/2. Eg gibt dann 4 Varianten:
↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓
Total Spin? Zustand ist χ1χ2. Wir schreiben:
Sz = S(1)z + S(2)
z ,
wobei S(1,2)z wirkt auf χ1,2. Dann
Szχ1χ2 = (S(1)z + S(2)
z )χ1χ2 = (S(1)z χ1)χ2 + χ1(S
(2)z χ2) = (hm1χ1)χ2 + χ1(hm2χ2)
Szχ1χ2 = h(m1 +m2)χ1χ2
Die vier Varianten geben dann m = 1, m = 0, m = 0, m = −1. Also, es gbt einen“extra” Zustand mit m = 0. (m soll mit Schritt 1 anedrn). Die Losung: wirkonstruiren Zustand
|1 0〉 =1√2(↑↓ + ↓↑)
Das kann man so begrunden. Kletteroperator
S± = Sx ± iSy =h
2
(
0 11 0
)
± ih
2
(
0 −ii 0
)
S−(↑↑) = (S(1)− ↑) ↑ + ↑ (S
(2)− ↑)
S+ = h
(
0 10 0
)
S− = h
(
0 01 0
)
Das gibt:S± = (h ↓) ↑ + ↑ (h ↓) = h(↓↑ + ↑↓)
Zwei andere Zustande:|1 1〉 =↑↑ |1 − 1〉 =↓↓
Das ist triplet-Konfiguration.Singlet-Konfiguration:
|0 0〉 =1√2(↑↓ − ↓↑)
Wenn wir S± verwenden, dann bekommen wir 0, also l = 0.Allgemein: wenn zwei Spins s1, s2 gibt (oder Drehimpulsen), dann die Summe ist
s = s1 + s2, s1 + s2 − 1, s1 + s2 − 2, . . . , |s1 − s2|
73
4.8 Teilchen im Magnetfeld
Das magnetische Moment (auch magnetisches Dipolmoment) einer Stromverteilung(klassisch)
~µ =1
2
∫
~r ×~jdV
Oder~µ = γ~S
Hier γ ist gyromagnetisches Verhaltnis. Magnetisches Dipol im Feld ~B: es entstehtein Drehmoment, so dass Dipol in die Richtung des Feldes gedreht wird, so dassfreies Dipol wird ~µ ↑↑ ~B (wie Kompasszeiger). Die Energie
H = −~µ~B = −γ ~B~S
Bsp. Larmor-Precession
Wir betrachten das Teilchen mit Spin 1/2 im Ruhe, im Magnetfeld ~B = B0~k. Dann
Hamiltonian (klassisch) istH = −γB0Sz
QM: Hamiltonian ist jetzt eine Matrix:
H = −γB0h
2σz = −γB0h
2
(
1 00 −1
)
H hat die selbe Eigenvektoren wie σz:
1. χ+ mit E+ = −(γB0h)/2
2. χ− mit E− = +(γB0h)/2
(Energie ist kleiner wenn Dipol parallel zum Feld ist.)Hamiltonian ist zeitunabhangig =⇒ Die Losung der zeitabhangigen Schr. Gl.:
ih∂χ
∂t= Hχ
stellen wir durch die stationaren Zustande dar:
χ(t) = aχ+e−iE+t/h + bχ−e
−iE−t/h =
(
aeiγB0t/2
be−iγB0t/2
)
74
Konstanten bekommen wir aus der Anfangsbedingung:
χ(0) =
(
ab
)
Normierung: |a|2 + |b|2 = 1. Wir notieren: a = cos(α/2), b = sin(α/2). Dann:
χ(t) = cos(α/2)χ+e−iE+t/h + sin(α/2)χ−e
−iE−t/h =
(
cos(α/2)eiγB0t/2
sin(α/2)e−iγB0t/2
)
Erwartungswerte:
〈Sx〉 = χ(t)†Sxχ(t) =h
2sinα cos(γB0t)
〈Sy〉 = χ(t)†Syχ(t) = − h2sinα sin(γB0t)
〈Sz〉 = χ(t)†Szχ(t) =h
2cosα
Precession: Bewegung auf der Kegeloberflache; Halbwinkel des Kegels ist α,Larmor Frequenz ist ω = γB0.Bsp. Stern-Gerlach-Versuch.Falls das Feld nicht homogen ist, dann wirkt auch die Kraft:
~F = ∇(~µ ~B)
Wegen Precession, die Kraft in x oder y Richtung wird rausgemittelt. Die Kraft indie z-Richtung ist von der Richtung des Spins abhangig =⇒ Spaltung desAtomstrahles in zwei Strahlen.
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