quadratic equations

29
Persamaan Kuadratik BAB 1 PERSAMAAN KUADRATIK NAMA: KELAS: 1

Upload: selvarani-nasaratnam

Post on 26-Sep-2015

279 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

additional mathematics

TRANSCRIPT

BAB 1 PERSAMAAN KUADRATIK

NAMA:KELAS:

BAB 2: PERSAMAAN KUADRATIK

1.1 Mengenalpasti persamaan kuadratik dan menulisnya dalam bentuk am

Bentuk Am

ax2 bx + c = 0 , dimana a , b dan c adalah pemalar , a 0

Ciri-ciri1. Persamaan mempunyai satu pembolehubah sahaja2. Kuasa tertinggi pembolehubah adalah 2

Contoh1. 2x 2 + 3x 1 = 0 ialah persamaan quadratik2. 4x 2 9 = 0 ialah persamaan kuadratik3. 8x 3 4x2 = 0 bukan persamaan kuadratik

Aktiviti 1

1. Tentukan samada persamaan berikut merupakan persamaan kuadratik atau tidakPersamaanJawapan

(a) x 2 x = 0Yes

(b) 2x 2 y = 0

(c) 3x + 2 = 0

(d) 2m 2 7m 3 = 0

(e) k 2 4k = 0

(f) y 2 2 = 0

2. Tuliskan semula persamaan kuadratik dibawa dan nyatakan nilai pemalar a,b dan c.

Persamaan KuadratikNilai a , b dan c

(a) 1 + 2x = x(x + 3)1 + 2x = x2 + 3x x2 + x 1 = 0a = 1b = 1c = -1

(b) m 2 = 21 4m

Persamaan Kuadratik

20

(c) (y + 6)(y 2) = - 7

(d) x 2 = 7 x 32

(e) (x + 1) 2 = 16

1.2 Punca persamaan kuadratik

Nota1. Punca sesuatu persamaan kuadratik merupakann nilai pembolehubah yang menyempurnakan persamaan itu2. Sesuatu persamaan kuadratik mempunyai paling banyak dua punca sahaja

Latihan

1. Tentukan nilai pembolehubah x yang menrupakan punca bagi persamaan kuadratik dibawah(a) x 2 x 2 = 0 ; x = - 1 , 1 , 2 (b) 2x 2 + 7x + 3 = 0 ; x = - 3, - 1 , 1 , 3

22. Tentukan dengan menggunakan kaedah pemerinyuan nilai pembolehubah x yang merupakan punca persamaan kuadratik dibawah

(a) (x + 3)(x 2) = 0 ; x = 3 , 2 , - 3 (b) x(x + 4) = 0 ; x = 4 , 0 , - 4

3. If x = 2 is the root of the quadratic equation x 2 3kx -10 = 0 , find the value of k .

2 PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRATIK

2.1 Penyelesaian persamaan kuadratik

A. Pemfaktoran

Jika sebuah persamaan kuadratik dapat difaktorkan sebagai hasil darab dua factor (x p)(x q) = 0 , Maka x p = 0 atau x q = 0 x = p atau x = q p dan q merupakan punca persamaan kuadratik itu .

Nota1. Jika p q persamaan itu mempunyai dua punca berbeza2. Jika p = q persamaan itu mempunyai dua punca yang sama3. Persamaan kuadratik mesti ditulis dalam bentuk am sebelum pemfaktoran

Aktiviti 2Selesaikan persamaan kuadratik dibawah dengan kaedah pemfaktoran .1. x 2 7x 8 = 0( x 8 ) ( x + 1 ) = 0x 8 = 0 atau x + 1 = 0x = 8 atau x = -12. x 2 4x + 4 = 0

3. x 2 8x = 04. 4x 2 9 = 0

5. 6x 2 + 13x 5 = 06. (3x + 1)(x - 1) = 7

7. 40 3x x5 2x8. (x + 1)(x 5) = 16x2 4x 5 = 16x2 4x 21 = 0( x 7 ) ( x 3 ) = 0x = 7 or x = 3

9. t t 16 9t

10. (2p + 1)(p + 1) = 0

Latihan 1Selesaiakn persamaan berikut dengan menggunakan kaedah pemfaktoran.1. x 2 5x 6 = 0 [6,-1] 9. x 2 9x + 20 = 0 [5,4]2. m 2 + 5m 24 = 0 [-8,3] 10. 4x 2 13x + 3 = 0 [ 1 ],3

43. y 2 + 10y + 24 = 0 [-6,-4] 11. 2x 2 3 = 5x [ 1 ,3 ]24. 2x 2 + 3x 5 = 0 [1,

5 ] 12. 6x 2 11x = 7 [ 1 , 7 ]2 2 35. 16x 2 6x 7 = 0 [ 7,

8

1 ] 13. (2x 3) 2 = 49 [ 5,-2]2,

6. 2a 2 + 4a = 0 [0.-2] 14. (3m + 1)(m 1) = 7 [

2, 4 ]37. 100 9n 2 = 0 [ 10

10 ] 15. 10x 2 + 4 = 13x [ 1 4 ], 3 3 2 58. (2x + 1)(x + 3 ) = 0 [ 1 ,3 ] 16. x(x + 4) = 21 [ -7,3]2

B. Penyempurnaan kuasa dua

Nota1. Ungkapan x 2 2x + 1 boleh ditulis dalam bentuk (x 1) 2Ini disebut kuasa dua sempurna

Contoh

Selesaikan persamaan dibawah(a) (x + 1) 2 = 9 (b) x 2 = 49x + 1 = 3x + 1 = 3 , x + 1 = -3x = 2 , x = - 4 (c) (x + 2) 2 = 36

2. Dari contoh diperhatikan bahawa jika ungkapan disebelah kiri persamaan kuadratik merupakan kuasadua sempurna maka nilai punca dapat dicari dengan mencari punca kuasadua 3. Untuk menjadikan ungkapan kuadratik dalam bentuk x2 + hx kepada persamaan kuasadua sempurna kita menambahkan ungkapan ( h )22

kepada persamaan

h h 22

Ini akan menjadikan x 2

hx x 2

hx

x 2

2

4. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua ax 2 + hx + k = 0 , ikut langkah dibawah

Langkah 1 : Tulis semula persamaan dalam bentuk ax 2 + hx = - kLangkah 2 : Jika pekali x2 is 1 , jadikan pekali x2 dengan membahagi persamaan dengan nilai pekali x2 itu.Langkah 3 : Tambah ( h )2 .disebelah kiri dan kanan 2Langkah 4 : Tulis persmaan disebelah kiri sebagai kuasa dua sempurnaLangkah 5 : Selesaikan persamaan itu

Example1. x2 + 6x 9 = 0 2. 2x2 5x 8 = 0x2 + 6x = 9 6 22

x2 + 6x + 6

= 9 + 2 ( x + 3 )2 = 18x + 3 = 18x + 3 = 4.243

2 x = 4.243 3 , x = -4.243 3x = 1.243 , x = -7.243

Latihan 2Solve the following equations by completing the square. (Give your answers correct to four significant figures)

1.x 2 8x + 14 = 0[5.41 , 2.59]

2.2x 2 7x 1 = 0[3.64 , -0.14]

3.x 2 + 5x + 1 = 0[-0.209,-4.79]

4. x 2 3x + 5 = 0[-4.19,1.19]

5.x 2 = 5(x + 4)[7.62 , -2.62]

6.-4x 2 12x + 3 = 0[-3.23,0.232]

7.2x 2 3x 4 = 0[2.35,-0.85]

C. Rumus kuadratik

Persmaan kuadratik ax 2 + bx + c boleh diselesaikan dengan menggunakan rumus

x = b

b2 4ac2a

, dimana a 0

Contoh

2x 2 7x 3 = 0

a = 2 , b = -7 , c = -3

(7) x

(7) 2 4(2)(3)2(2)x 7 734

7 8.54404

x = 3.886 , -0.386

Latihan 3

Dengan menggunakan rumus kuadratik sel;esaikan persmaan kuadratik dibawa. Berikan jawapan anda dalam 3 tempat perpuluhan1. x 2 3x 5 = 0 [4.193 , -1.193]2. 9x 2 = 24x 16 [1.333 ]3. 2x 2 + 5x 1 = 0 [0.186 , -2.686]4. 3x 2 + 14x 9 = 0 [2.899 , -6.899]5. 7 + 5x x 2 = 0 [0.768 , -0.434]6. m 2 = 20 4m [0.573 , -5.239]7. k 1 k 23

[-1.140 , 6.140]8. x(x + 4) = 3 [0.646 , -4.646]

2.2 Pembentukan persamaan kuadratik dengan punca-punca

A. Jika punca sebuah persamaan kuadratik ialah x = p and x = qMaka persamaan kuadratik itu ialah (x p)(x q) = 0x 2 px qx + pq = 0x 2 (p + q)x + pq = 0

Perhatikan bahawa p + q = hasil tambah punca-punca ( SOR )dan pq = hasil darab punca-punca ( POR )

Maka satu persamaan kuadratik dengan dua punca dapat dibentuk dengan menggunakan :-

x 2 (SOR)x + (POR) = 0

ContohBentukan persamaan kuadratik dengan punca-punca berikut :1. x = 1 , x = 2

Method 1 Method 2(x 1)(x 2) = 0 SOR = 1 + 2 = 3 x2 - 2x x + 2 = 0 POR = 1 x 2 = 2 x2 - 3x + 2 = 0 x2 3x +2 = 0

2. x = - 2 , x = 3

Exercise 4

Form the quadratic equations with the given roots.

1. x = 3 , x = 2 [x2 - 5x + 6 = 0]

2. x = - 6 ,

1[3x2 +17x - 6 = 0 ]33. x = - 4 , x = - 6 [x2 + 10x + 24 = 0]4. x = -3 , x = 45

[5x2 + 11x - 12=0 ]5. x = -7 , 3 [x2 + 4x - 21 = 0]

6. x = 5 only [x2 - 10x + 25 = 0]

7. x = 0 , x = 13

[3x2 - x = 0]8. x 1 , x 1

[6x2 - 5x + 1 = 0]2 3

B. Untuk mencari hasildarab dan hasil tambah punca-punca dari persamaan kuadratik dalam bentuk am :

ax 2 + bx + c = 0

bandingkan dengan persamaan x 2 (SOR)x + (POR) = 0

maka , SOR =

baPOR = c a

Jika dan merupakan punca persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0,

Activity 31. Jika dan merupakan punca-punca bagi persamaan kuadratik berikut ,cari nilai SOR dan POR

Persamaan kuadratik

a. x 2 12x + 4 = 0124

b. x 2 = 4x + 8

c. 3 2x 2 = 10x

d. 3x 2 + 8x = 10

e. 2x 2 + 3x + 4 = 0

C. Menyelesaikan masalah melibatkan SOR and POR Aktiviti 41. Diberi merupakan punca bagi persamaan kuadratik 2x 2 + 3x + 4 = 0 . Bentukan satu persamaan yang mempunyai punca 2 dan 2.

2x 2 + 3x + 4 = 0 Punca barux 2 3 x 2 02

SOR = 2 2

= 2 (

) = 2

= -33

2 = 32

POR = 2 ( 2 ) 4 = 4(2) = 8 = 2 x 2 (SOR)x + (POR) = 0x 2 (-3)x + 8 = 0x 2 + 3x + 8 = 0

2. Jika dan merupakan punca bagi persamaan 2x 2 5x 1 = 0 , bentukkan satu persamaan kuadratik yang mempunyai punca 3 dan 3.

3. Diberi dan merupakan punca bagi persamaan kuadratik 2x 2 3x + 4 = 0 .

Bentukan satu persamaan kuadratik dengan punca-punca

1 and

1 .

4. Diberi m dan n merupakan punca bagi persamaan kuadratik 2x2 3x 5 = 0 , bentukan satu persamaan kuadratik yang mempunyai punca

Latihan 5

1.Jika dan merupakan punca bagi persamaan kuadratik 2x2 + 3x + 1 = 0, bentukan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca berikuta. 2 dan 2 [x2 + 3x + 2 = 0]

b. 2 + 3 dan 2 + 3 [x2 - 3x + 2 = 0 ]c. dan2

[8x2 + 6x + 1 = 0 ]2d. 2 - 1 dan 2 - 1 [x2 - 6x - 5 = 0]

2. Jika dan merupakan punca bagi persamaan 2x 2 5x 6 = 0 , bentukan persamaan yang mempunyai punca-punca

dan2

. [ 4x 2 5x 3 0 ]2

2. Diberi dan merupakan punca bagi persamaan 3x 2 = 4 9x , bentuk satu

Persamaan dengan 2

and

2 . [ 9x 2 105x 16 0 ]

4. Diberi m dan n merupakan punca bagi x 2 + 10x 2 = 0 , bentuk persamaan dengan punca;(a) 2m + 1 dan 2n + 1 [ x 2 18x 27 0 ](b) 3m

dan 3n

[ 2x 2 30x 9 0 ]

5. Diberit dan 3 merupakan punca bagi persamaan x 2 + 2bx + 3a = 0 , buktikan 4a = b 2 .

6. Diberikan bahawa satu punca persamaan kuadratik x 2 5kx + k = 0 ialah 4 kali ganda punca yang satu lagi .Cari nilai k . [ k 1 ]4

7. Satu dari punca persamaan kuadratik 2x2 + 6x = 2k 1 merupakan 2 kali ganda punca yang lagi satu dimana k ialah pemalar. Cari punca-punca ini dan nilai k.[-1, -2 ; k = 3 ]2

3. DISRIMINANTS OF A QUADRATIC EQUATION

3.1 Menentukan jenis punca sesuatu persamaan kuadratik

Bagi persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 , nilai b2 4ac akan menentukan jenis punca-punca

b2 4ac dikenali sebagai discriminant

NilaiJenis punca

b2 4ac > 0Dua punca yang berlainan

b2 4ac = 0Dua punca yang sama

b2 4ac < 0Tiada punca nyata

ContohTentukan jenis punca bagi setiap persamaan kuadratik dibawah . (a) 2x2 7x + 9 = 0 (b) 2x2 3x 9 = 0a = 2 , b = -7 , c = 9b2 4ac = (-7)2 4(2)(9)= 49 72= -23< 0 tiada punca

Latihan 6

Hitungkan nilai discriminant dan tentukan jenis punca bagi setiap persamaan kuadratik dibawah:

1. x2 8x + 14 = 05. x(3x 5) = 2x- 5

2. 2x2 7x 1 = 06. 5(5 4x) = 4x2

3. 4 + x2 = 4x7. x2 = 2 4x

4. (x 2)2 = 38. 2x2 + 3x = 0

3.2 Menyelesaikan masaalah melibatkan discriminant

Activiti 5

1. Persamaan kuadratik 2kx2 + 4x 3 = 0 mempunyai dua punca yang sama , cari nilai k .

2. Persamaan kuadratik x2 + 2kx + (k + 1)2 = 0 mempunyai punca nyata , cari julat bagi nilai k

3. Tunjukkan persamaan kuadratik x2 + m + 1 = 8x mempunyai dua punca yang berbeza jika m < 15 .

4. Garis lurus y = tx 2 merupakan tangen bagi graf lengkung y = 2x2 + 4x , cari nilai t (t > 0) .

5. Diberi persamaan kuadratik p(x2 + 9) = - 5qx mempunyai dua punca yang sama , cari nisbah p : q . Seterusnya selesaikan persamaan kuadratik itu .

6. Tunjukkan persamaan kuadratik x2 + kx = 9 3k mempunyai punca nyata bagi semua nilai k.

Latihan 7

1. Cari nilai yang mungkin untuk m jika persamaan kuadratik (4 2m)x2 2m = 1 3mx mempunyai dua punca yang sama .2. Persmaaan kuadratik = 0 mempunyai dua punca yang berbeza , cari julat bagi nilai k .

3. Diberi persmaan kuadratik (p + 1)x2 2x + 5 = 0 tiada punca nyata cari julat bagi nilai p .

4. Cari julat bagi nilai k jika persamaan kuadratik x2 + 1 = k 4x mempunyai punca yang nyata .

5. Persmaan kuadratik 2x(x 3) = k 2x mempunyai dua punca yang berbeza. Cari julat bagi nilai k.

6. Persamaan kuadratik (m 2)x 2 + 2x + 3 = 0 mempunyai dua punca yang berbeza. FCari julat bagi nilai m.

7. Persamaan kuadratik 4x(x + 1) = 4x 5mx 1 mempunyai dua punca yang sama. Cari nilai-nilai yang mungkin untuk m.

8. Garis lurus y = 2x 1 tidak memotong lengkung y = 2x 2 + 3x + p.Cari julat bagi nilai p.

9. Garis lurus y = 6x + m tidak menyentuh lengkung y = 5 + 4x x 2 . Cari julat bagi niali-nilai m.10 Garis lurus y = 2x + c memotong lengkung y = x2 x + 1 pada dua titik yang berlainan, cari julat bagi nilai c.

11. Cari julat bagi nilai-nilai m jika garis lurus y = mx + 1 tidak menyentuh lengkungy2 = 4x .

12. Tunjukkan persamaan quadratik kx2 + 2(x + 1) = k mempunyai punca nyata bagi semua nilai k

Answers for Exercise 7

1. m 4 , 47

2. k < 3 3. p > 454. k 3

5. k > -2 6. m < 73

7. m = 4

or m = 4 8. p > 35 5 8

9. m > 6 10. . c > 54

11. m > 1

Enrichment Exercise Quadratic Equations

1. The quadratic equation kx2 + 4x + 3= 0 has two different roots, find the range of values of k .

2. Find the possible values of k if the quadratic equation x2 + (2 + k)x + 2(2 + k) = 0 has two equal roots.

3. Show that the quadratic equation x2 + (2k 1)x + k2 = 0 has real roots if k 1 .4

4. Find the possible values of k if the straight line y = 2x + k is a tangent to the curvey = x2 + x + 1 .

5. Given that and are the roots of the quadratic equation 2x2 8x + 1 = 0 . Formthe quadratic equation with roots

2

and 2 .

6. Solve each of the following quadratic equation :- a. 6x2 + 5x 4 = 0b. y(y + 1) = 10c. 2x(x + 5) = 7x + 2 d. 16x2 + 8x + 1 = 0

7. The roots of the equation 2ax2 + x + 3b = 0 are

3 and 4 . Find the value of a and b.2 3

8. If and are the roots of quadratic equation 2x2 3x 6 = 0 , form the quadraticequation with roots and .3 39. Given 12

and 5 are the roots of the quadratic equation . Write the quadratic equationin the form of ax2 + bx + c = 0 .

10. Given that m + 2 and n 1 are the roots of the equation x2 + 5x = - 4 . Find the possible values of m and n .

11. Given that 2 and m are the roots of the equation (2x 1)(x + 3) = k(x 1) such thatk is a constant . Find the value of m and k .

12. Given one of the root of the equation 2x2 + 6x = 2k 1 is twice the other root, such that k is a constant . Find the value of the roots and the value of k .

13. One of the root of the quadratic equation h + 2x x2 = 0 is - 1 . Find the value of h.

14. Form the quadratic equation which has the roots -3 and

1 . Give your answer in the2form ax2 + bx + c = 0 , where a , b and c are constants. (SPM 2004)

15. Solve the quadratic equation x(2x - 5) = 2x 1 . Give your answer correct to three decimal places .(SPM 2005)

16. The straight line y = 5x 1 does not intersect the curve y = 2x2 + x + p . Find the range of the values of p .(SPM 2005)

17. A quadratic equation x2 + px + 9 = 2x has two equal roots. Find the possible values of p.(SPM 2006)

Answers on Enrichment Exercises

41. k 1

17. p = -8 , 4