quadros, representações redundantes elamic/hilton/disciplinas/sparsesp/06_frames... · (diminui...
TRANSCRIPT
Introdução● Na aula anterior: DWT → bases ortogonais/biortogonais de suporte
compacto.
– Ortogonalidade → máxima compactação, sem redundância.
– Suporte compacto → atuação localizada.
– Análise multiresolução → processamento do “todo” ou das partes.
● Somente vantagens? Algum problema?
– Representações “rígidas” → decomposição e reconstrução únicas.
– Variantes à translação!
● Nesta aula, estenderemos o conceito a representações mais flexíveis:
– Quadros justos (“tight frames”) → representações sobrecompletas, infinitas formas de reconstrução, representações canônicas.
– Ladrilhamento tempo-frequência adaptativo → pacotes de wavelets.
– Transformada de wavelets estacionária.
– Wavelets direcionais, Ridgelets, Curvelets, Contourlets.
Pacotes de wavelets
● STFT → ladrilhamento constante → resolução tempo-frequência constante.
● WT → ladrilhamento variável com área constante → resolução tempo frequência variável, mas fixa!
Pacotes de wavelets● Pacotes de wavelets (WP) → generalização da DWT:
– Ladrilhamento mais flexível → definido pelo usuário.
– Gera um “frame” justo → representação redundante → infinitas reconstruções.
– Proporciona algoritmos adaptativos!
Ladrilhamento da DWT Ex.: um dos possíveis ladrilhamentos de WP
Pacotes de wavelets
● WPs baseiam-se no mesmo algoritmo da DWT → decomposição piramidal.
– Mas tanto as aproximações quanto os detalhes são decompostos em cada nível!
DWT decomposition bank Wavelet packets decomposition bank
*Obs.: a reconstrução canônica de WP é similar à reconstrução da DWT.
Decomposição por pacotes de wavelets
Decomposição da DWT Decomposição por WP
Decomposição final: vetor 1xN
Decomposição final: matriz MxN.Qualquer combinação de caixas destamatriz permite reconstruir o sinal!
Adaptativo!
Funções de pacotes de wavelets
● Funções (átomos) de WP são obtidos das wavelets ortogonais ou biortogonais.
● Ex.: átomos de WP de Daubechies 3.
Ladrilhamento do plano tempo-escala
Vão se tornando maislargos no tempo(diminui resolução temporal)
Vão se tornando mais estreitos na frequência(aumenta resolução em frequência).
Cada nível corresponde a um ladrilhamento comretângulos de mesmotamanho
Ladrilhamento do plano tempo-escala● Vários ladrilhamentos podem ser utilizados:
– Dependendo de quais “pacotes” o usuário mantém.
– Desde que o plano seja completamente coberto.
● Exemplos:
Pacotes originais da DWT Ladrilhamento tempo-frequência
Ladrilhamento do plano tempo-escala
Outros pacotes: Ladrilhamento correspondente:
Obs.: como seriaa reconstruçãocanônica?
Notar que:
O eixo do tempo deve ser completamente coberto.
Não pode haver sobreposição no tempo.
Pode haver sobreposição na frequência.
Raciocínio: quais frequências são melhores em cada intervalo?
Bases de pacotes de wavelets● Bases de pacotes de wavelets → seleção dos
“melhores” pacotes (ladrilhamento) com base em algum critério (“best basis”).
● Uma forma (largamente usada) → entropia de Shannon [1].
S ( p)=−∑i
pi log p i
onde p é uma função densidade de probabilidade (PDF) normalizada (energia do pacote).– Maior entropia → informação mais espalhada.
– Baixa entropia → informação concentrada em poucos coeficientes.
● Portanto → encontre o conjunto de pacotes que resulte na menor entropia → representação mais esparsa.
[1] R. R. Coifman and M. V. Wickerhauser, “Entropy-based algorithms for best basis selection,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 38, no. 2, pp. 713–718, 1992.
Bases de pacotes de wavelets
● Seleção de bases de WP com entropia.
– Analise a matriz de WP de baixo para cima.
– Compare a entropia de um par de “pacotes-filhos” com a entropia do “pacote-pai”.
– Se a entropia dos filhos for maior → descarte os filhos.
– Se a entropia dos filhos for menor → mantenha os filhos, atribua a sua entropia ao pai.
– Suba para o nível superior e repita até o 1o nível.
● Lembre-se → esta é apenas uma das formas de se selecionar os pacotes:
– Pode-se usas outros critérios → “matching pursuit”, “basis pursuit”, etc...
Árvores de pacotes de wavelets
● Árvores admissíveis → árvores em que em cada nó há somente zero ou duas filhas.
2N /2⩽B J⩽25N /8
● Qualquer árvore admissível gera uma base ortogonal para o espaço original.
● Uma decomposição por WP completa, até o J = log2 N, possui BJ árvores admissíveis, portanto BJ bases ortogonais, onde
Considerações:● A WP sofre os mesmos efeitos de bordas da DWT.
– Lembre-se: periodization, zero padding, smoothing window, etc...
– O tipo de tratamento afeta o número de coeficientes em cada nível → BE CAREFUL!
● Para sinais de comprimento N = 2M e tratamento por periodização:
– O máximo número de níveis é J = log2 N.
– A decomposição completa gera N log2 N coeficientes.
2D wavelet packets
● Caso mais simples → wavelets ortogonais, mesma escala ao longo de x1 e x2.
● Lembrando: 2D-DWT.
1 – Horizontal2 – Vertical3 – Diagonal
● No caso da 2D-WP → cada submatriz de aproximações e detalhes é completamente decomposta.
● Conhecido como “Wavelet Packets Quad-trees”.
Wavelet packets quad-trees
● Quad-trees admissíveis → quad-trees cujos nós têm zero ou quatro filhas.
● Qualquer quad-tree admissível corresponde a uma base ortogonal para sinais 2D.
● Uma decomposição por WP-2D com N1 = N2 = 2N até o nível máximo J = log2 N gera BJ árvores admissíveis, onde
2N4 ⩽BJ⩽2
4948N4
Bancos de filtros para 2D Wavelet packets
● Bancos de filtros de 2D-WP são iguais a 2D DWT.
– A única diferença tanto aproximações quanto detalhes são decompostos.
Decomposition Reconstruction
Ex.: compressão de imagens com WP
Original image Reconstruction with 10% largest best basis coefficients
Reconstruction with 10% largest DWT coefficients
A transformada de wavelets estacionária (SWT)
● Transformadas de wavelets ortogonais e biortogonais têm êxito em algumas aplicações.
– Ex.: padrão de compressão de imagens JPEG 2000 com wavelets biortogonais.
● Para outras aplicações podem não ser tão boas.
– Eliminação de ruídos.
– Desconvolução e deblurring.
– Extração de características.
● Geralmente →signais corrompidos por interferências → informação distorcida ou incompleta.
A transformada de wavelets estacionária
● Ortogonal ou biortogonal → variantes à translação → dizimação por 2 em cada nível de decomposição.
● Para um sinal de comprimento N → N decomposições diferentes (uma para cada rotação).
● Perda de dados dependendo do processamento realizado.
● “Pseudo-Gibbs” próximo às descontinuidades do sinal.
A transformada de wavelets estacionária● Possíveis soluções:
– Trabalhe com transformada de wavelet contínua.
● Altamente redundante, computacionalmente custosa, problemas com reconstruções aproximadas, etc...
– Retire a dizimação→ transformada de wavelet ESTACIONÁRIA*.
*A SWT também é conhecida como “translation-invariant wavelet transform” (TI-WT), “undecimated wavelet transform” (UWT), “ε-decimated WT” e algorithme à trous.[1] G. P. Nason and B. W. Silverman, “The stationary wavelet transform and some statistical applications,” in Lecture notes in statistics 103 - waveelets and statistics, A. Antoniadis and G. Oppenheim, Eds. New York: Springer-Verlag, 1995, pp. 281–300.[2] R. R. Coifman and D. L. Donoho, “Translation-Invariant De-Noising,” in Lecture notes in statistics 103 - wavelets and statistics, A. Antoniadis and G. Oppenheim, Eds. Springer-Verlag, 1995, pp. 125–150.
am+1, n=1
√2∑k
l k−2nam,k
dm+1,n=1
√2∑k
hk −2nam, k
DWT decomposition UWT decomposition
am+1, n=1
√2∑k
l k−nam,k
dm+1,n=1
√2∑k
hk −nam, k
Decomposição por SWT
● Decomposição em cada subnível é realizada separando-se coeficientes indexados por pares e ímpares.
– Cada subvetor é decomposto separadamente.
Note that:c0
c1→[c1e , c1
o]
c2→[c2,1 , c2,2]→[[c2,1e , c2,1
o] , [c2,2
e , c2,2o
] ]
c3→[c3,1, c3,2 , c3,3 , c3,4 ]→
⋮→[[c3,1
e , c3,1o
] , [c3,2e ,c 3,2
o]] ,
[[c3,3e , c3,3
o] , [c3,4
e , c3,4o
]]
N samples
N samples
N samples
Obs.: “filtro” de separação (não é dizimação).
Reconstrução da SWT
● Reconstrução canônica → recombinação das partes pares e ímpares seguida do filtro de reconstrução.
Realizações eficientes
● Algorithme à trous.
– Insira 2j – 1 zeros entre cada coeficiente dos filtros ou
– Amostre o nível anterior com passos de 2j e deslocamentos simples.
Realizações eficientes
● WT invariante à translação (TI-WT).
– Sinais de comprimento finito N → faça deslocamentos circulares em cada nível de decomposição.
– Execute o algoritmo piramidal em cada versão deslocada.
– Recombine os coeficientes de forma a obter a SWT.
● Sinal de comprimento N → matriz com N x N coeficientes.
● A matriz contém as DWTs de todas as versões circulares do sinal.
● Reconstrução canônica → média de cada 2 aproximações.
● Sinais 2D → mesmo procedimento.
Ex.: denoising de imagens por SWT e DWT
Original image Corrupted image
Denoised by SWT Denoised by DWT