Qualimetrics:PLS, NN a regresní modely

v řízení kvality

REQUEST 2006

Karel Kupka, TriloByte, Pardubice, Czech RepublicCentrum pro jakost a spolehlivost CQRCentrum pro jakost a spolehlivost CQR

Grant 1M MŠMT: 1M06047

Příklad datových bází a možnosti modelování vztahů s vyznačenými toky informací

Metody kvalimetrie, možnosti PLSData vystupující v technologiích jakosti mají téměř vždy vícerozměrný

charakter, protože představují několik hodnot měřených současně nebo na jednom produktu. Metody analyzující taková data jako celek se proto nazývají vícerozměrné. Vycházejí z datových tabulek, které jsou obvykle k dispozici v excelu, nebo databázi. Tyto tabulky obsahují například vlastnosti vstupních surovin a okolností, naměřené, nebo nastavené hodnoty sledovaných veličin v různých fázích výrobního nebo obchodního procesu. Některé veličiny představují parametry jakosti. Nejjednodušší představa zahrnuje tabulky

(a) Vstupních dat (suroviny, zdroje, dodavatelé, vstupní přejímky),

(b) Procesních dat (výrobní podmínky, procesní parametry, mezioperační kontroly),

(c) Výstupních dat (specifikace, parametry kvality produktu, hodnocení odběratele).

X = TP + EY = UQ + F

Metody PLS jsou založené na syntéze principu příbuzném metodě hlavních komponent (PCA) a vícenásobné lineární regrese. Tato matematická metoda je využívána v ekonometrii, chemometrii, biometrii a v poslední době se objevují aplikace v kvalimetrii. Cílem metody je odhalit vztahy mezi vícerozměrnými daty v databázích a využít této znalosti k přibližnému výpočtu hodnot jedné skupiny veličin z druhé.

Metodika a metody PLS

Podstata Metody PLSTabulku naměřených hodnot p veličin (sloupců) s n řádky označme jako matici X(n x p), a odpovídající tabulku se stejným počtem řádků n ale s q veličinami označme Y(n x q), Abychom extrahovali maximum informace z p- a q- rozměrných matic do prostoru s nižší dimenzí k, rozložíme X a Y na ortogonální matice T (n x k) a U (n x k), s koeficienty P a Q

T (n x k), U (n x k), k min(p, q). Zajištění maximální relevance X-komponent pro Y, tyto transformace maximalizují kovariance mezi T a U. Dimenzionalita T a U je typicky menší než X a Y a sloupce T a U jsou ortogonální. To zlepší stabilitu modelu. Šum a irelevantní informace se koncentruje v „popelnicích“ E a F. Je-li k = p, pak E = 0.

Dekompozice U = TB (B je čtvercová diagonální matice) poskytuje nástroj pro predikci Y z X:

Y = TBQ

T se konstruuje z nových dat X. Protože T = XP–, Y = XP–BQ, a tedy P–BQ reprezentuje originální (obecně vychýlené a zkrácené – tedy stabilnější) regresní parametry modelu Y = XA.

X = TP + EY = TR + F

U = TBBQ = R

Kombinací tohoto a předchozích vztahů je zřejmý vztah (vnitřní lineární vazba mezi X a Y.

T = XP-

= +X TP

E

= +Y UQ

F

X YPREDIKCE

Na rozdíl od klasické lineární regrese jsou v PLS X a Y rovnocenné, tedy zaměnitelné – je jedno, kterou matici označíme X a kterou Y. Proto lze predikovat Y z X stejně jako X z Y.

Je tedy PLS rovněž často používaným nástrojem pro lineární vícerozměrnou kalibraci.

X

Y

Vícerozměrná kalibrace

Látka 1 Látka 2 Látka 3 Látka 4

Koncentrace 1

Koncentrace 2

Koncentrace 3

Koncentrace 4

… … … …

0.394 0.383 0.351 0.337

… … … …

Chemické složení (koncentrace, pH) Spektrum (absorbance)

E = X; F = Y

Krok 1. w ~ ETu (odhad X vah)

Krok 2. t ~ Ew (odhad X skórů)

Krok 3. q ~ FTt (odhad Y vah)

Krok 4. u = Fq (odhad Y skórů)

E = E – tT p; F = F – tT b q (oprava E,F)

Zkrácený postup iterativního výpočtu PLS

Některé aplikace billineárních modelů

Technologie: Procesní parametry Fyzikální vlastnostiTechnologie: Procesní parametry Fyzikální vlastnostiProces/chemické složení Sensoric/Quality parametryVstupní faktory Výstupní kval/kvant -itativní vlastnostiProcesní podmínky Výstupní kval/kvant -itativní vlastnosti

Toxicology: Composition/Structure ToxicityHealth: Chemical Structure BioeffectsPollution: Composition Origin/SourcePollution: Composition Human health effectsEnvironment: Environmental factors Species diversity

Aplikace:Vlastnosti hliníkové slitiny

Chemické složení Fyzikální vlastnosti

X Y

Aplikace:Vlastnosti piva

Bi-Plot v PLSDekompozice TP a UQ se dají využít pro konstrukci společného grafuskórů a zátěží Bi-Plot, který umožní omezené posouzení data proměnných pro X i Y.

„Predikce prediktorů“Požadované vlastnosti, X

Predikované složení, Y

Y = TBQT = XP-

Neuronové sítě

Aplikace NN jako statistického predikčního modelu

Inspirace neuronové sítě

• Jádro• Dendrity-

dostředivé výběžky

• Axon-neurit• Synaptické

přípojky pro předání vzruchu

EM fotografie neuronu

Model neuronu a aktivační funkce

j

ijiji xwTy )*((*

( ) 1 pro x 0(x) 0 pro x < 0x

Nejjednodušší aktivační funkce

Rosemblatt 1962 – učící algoritmus PERCEPTRON složený z modelů neuronuve dvou vrstvách (vstupní a výstupní). Vstupní vrstva dostává data z okolí a výstupnívrstva posílá informace ze sítě ven.Každý vstupní neuron je přímo spojen se všemivýstupními (vstupy a výstupy jsou binární –1,1). Perceptron dokáže řešit úlohulineárně oddělitelné klasifikace.

Pro lineárně neoddělitelné klasifikace pomocí perceptronů nefunguje

Některé další typy aktivační funkce

Logistická aktivační funkce 1

1 exp( )n

Jednovrstvá neuronová síť

Vstupní veličina xi je po normalizaci vážena vahou wji a v neuronu transformována aktivační funkcí σj+1, i (z) = 1/(1 + e – z), kde z je lineární kombinace vstupních veličin, zi = a0 + Σaijzi-1,j. Váhy wji představují vazbu mezi vstupní hodnotou a neuronem.

z = xi.wij

σj+1, i (z) = 1/(1 + e – z)

zi = a0 + Σaij zi-1,j

Vícevrstvé neuronové sítě

Mc Clelland a Rumelhart 1986 trénování vícevrstvých ANN pomocí Backpropagation-BP (zpětné šíření). Možno řešit problémy lineárně neoddělitelné klasifikace.

Postup použití NN

Volba vhodné struktury sítě (architektura)

Trénování sítě na změřených datech (učení)

Predikce pomocí NN

Návrh a trénování NN Počet skrytých vrstev- pro většinu problémů stačí jedna- zvětšování počtu vede k výraznému nárůstu počítačové náročnosti Počet neuronů ve skryté vrstvě- rámcové pravidlo, že postačuje přirozený logaritmus počtu vstupů Architektura- nejběžnější je plně propojená dopředná síť, logistická AF Velikost trénovací množiny- postačující pro zobecnění a zaplnění prostoru dat- při menším počtu dojde ke kopírování všech informací (interpolace)- Možnost použití crossvalidace Počet vstupů- odstranění parasitních proměnných je nezbytné Standardizace vstupů- standardizace zlepšuji rychlost učení

Optimalizace NNMinimalizace součtu čtverců odchylek

ppp fyK 2)( )exp(1

1

pjpj h

a

Vstup do výstupní vrstvy (uvažuje se pouze jeden výstup) je vážený součet všech aktivačních funkcí ve tvaru

M

jpjjp aWg

1

*

)exp(11

pp g

f

Predikce

Cílem je nalézt váhy wji j = 1,…M, i = 1,…m, a Wj j = 1…M. Jde tedy o celkem M*(m+1) parametrů. To je vzhledem ke tvaru kritéria K řešitelné pomocí derivačních algoritmů nelineární regrese.Pokud označíme aktivační funkci symbolem F(.), lze kriteriální podmínku K pro určení vah vyjádřit ve tvaru

m

ipiji

M

jj

n

pp xwFWFyK

1

2

11

))]*(*([

Pro řešení optimalizační úlohy pro Wij lze použít jednoduchou iterativní metoduzaloženou na výpočtu gradientu, kdy pro přírůstek platí

j

p

p

p

pj

jj W

ggf

fKW resp.

WKW

****

jtj

tj WWW 1

Postup při optimalizaci metodou BP

Aplikace NN pro predikci optických vlastností pigmentu

Ln2 Zr(2-x) Mx O7

Ln = lanthanoids M = Cr or V x = 0.05 to 0.2 T = 1400 or 1500˚C

L*a*b*dE*

}barevné koordináty

Aplikace NN pro modelování kvality piva (1)

Plzeňský pivovar

X ... Chemie + technologie

Y ... Subjektivní vlastnosti

Predikční schopnostmodelu X -> Y

X ... Chemie + technologie

Y ... Subjektivní vlastnosti

Aplikace NN pro modelování kvality piva (2)

Predikční schopnostmodelu Y -> X

X ... Chemie + technologie

Y ... Subjektivní vlastnosti

Aplikace NN pro modelování kvality piva (3)

NN pro modelování a předpovědi časových řad JE Du, JE TeChemické a fyzikální parametry v primárním a sekundárním okruhu jaderné

elektrárny Dukovany.

Model NN-TS zde predikoval podstatně lépe než klasické modely časové řady AR, resp. ARIMA.

Včasná předpověd budoucích výchylek a nestabilit.

Model NN-TS jako inteligentní regulační diagram.