H. PACL : Quantenmechanische Behandlung optischer Schwebungen l 4 i

Quantenmechanische Behandlung optischer Schwebungen bei normalem Licht

T'on HARRY PAUL

Inhaltsiibersicht Der kiirzlich von G L ~ U B E R entwickelte quantenmechanische Formalismus zur Beschrei-

bung des von optischen Licht'quellen ausgestrahlten Lichtes wird auf zwei opt'ische Schwe- bungsexperiment'e angewandt. Es handelt sich dabei um die Beobachtung optischer Schwe- bungsfrequenzen im Photostrom, menn das auf die Photokathode fallende Licht a ) aus zwei inkoharenten Lichtstrahlen verschiedener Frequenz besteht (das FORRESTER-Experiment. zum Nachweis optischer Schwebungen zwischen unabhangig erzeugten Lichtstrahlen) und b) sich aus zwei koharenten Teilstrahlen zusammensetzt, deren Weguntersch ied vie1 grolJer ist als die durch die nstiirliche Linienbreite definierte Koharenzlange (die von GIVEKS vor- geschlagene Abanderung des ALFORD-CTOLD-EXperimentes). Wird im Fa.11 b) eine Schwe- bungskomponente des Photostroms niit einer im Vergleich zur natiirlichen Linienbreite des Lichtes groRen Genauigkcit ausgesiebt, dann ist das Auftreten einer Interferenzstruktur (bedingt durch elektrische Int'erferenzen im Schwingkreis) in der Intensit'at dieser Schme- bungskomponente zu ermarten (Maxima und Minima in Abhangigkeit vom Wegunt'erschietl der TeiMrahlen). - Die erhaltenen Retiultat,e stehen im I4Gnklang mit den bereits vorliegen- den Ergebnissen klassischer Kechnnngen.

1. Einleitung Kiirzlich wurde von G L A U B E R ~ ) ~ ) ein sehr interessanter quantenmeehani-

scher Formalismus zur Beschreibung des Strahlungsfeldes optischer Lichtquel- len entwickelt, der sich durch eine enge Korrespondenz zu den Rechenverfahreii der klassischen Optik auszeichnet. Diese Korrespondenz hat ihre Ursache darin. daIj nicht, TT ie in der Quantenelektrodynamik sonst ublich. die Zustande scharfer Energie - oder. was damit gleichbedeutend ist, scharfer Photonenzahl -- als Basis im Zustandsraum benutzt xverden, sondern vielmehr die koharenten Zu- stande des elektromagnetischen Feldes, die das qnantenmechanische Aquivalent der klassischen Wellen definierter Amplitude und Phase darstellen. Fur die koharenten Zustande, die zu eiiier einzigen Eigenschn ingung des elektrornagne- tischen Feldes gehoren. gilt eine Darstellung der Form l) 3,

K. J. GL-IUBER, Quantum Theory of Coherence (Proc. Third Internat. Conference on

z\ R. ,T. GLAUBER. Phvsic. Rev. 131. 27766 (1963) Siehe anch E. C. G. SUDARSHAS, Quantum Electronics, Paris 19G3) sowie Physic. Rev. 130, 2529 (1963).

Physic. Rev. L. 10, 2 i i (1963). 3, H. Parr~, IT. BRUXNER 11. G. RICHTER, Ann. Physik 11, 326 (19G3).

10*

148

Hier bezeichnet \vie gewohnlich die Wellenfunktion fur den Zustand des Strahlungsfeldes, bei dem n Lichtquanten der Sorte A vorhanden sind. an ist eine beliebige komplexe Zahl /an 1 exp {- i FA}, deren (negative) Phase direkt mit der Phase des durch GI. (1) beschriebenen elektromagnetischen Feldes iden- tifiziert werden kann und deren Amplitude 1 an I proportional zur Amplitude der elektrischen Feldstarke (genau gesprochen, des Erwartungswertes der elektri- schen Feldstarke) ist. Die Zustande (1) sind (fur verschiedene Werte an) i. a. nicht orthogonal zueinander, trotzdem bilden sie ein vollstandiges System von Basisfunktionen, nach denen jede beliebige Zustandsfunktion yn, die eine Anre- gung der Eigenschwingung A beschreibt, eindeutig entwickelt werden kann2)

Annalen der Physik. 7. Folge. Band 34. 1964

yn = S f ( 6 n ) Jan) d2an, (2)

wobei unter d2an das Produkt d(Re an) . d ( Im an) zu verstehen ist. Eine beliebige Zustandsfimktion y des Strahlungsfeldes erlaubt eine Ent -

wicklung nach den Produkten lJ 1 a>,) (A durchlaufe alle moglichen Eigenschwin- gungen t ies Feldes) in der Gestalt

y = JfC.1, 6 2 , a3, . * .) q 1.2) q d2an,

Y = Sf({an}) I{.nl> d 2 (.A}

( 3 )

(3’) wofiir wir kurz

schreiben wollen. Nun ist das elektromagiietische Feld, das von einer normalen optischenLicht-

quelle ausgestrahlt wird, sicher nicht durch einen reinen Zustand der Art ( 3 ) zu beschreiben, sondern durch ein statistisches Gemisch solcher Zustande, d. h. durch eine Dichtematrix. Die grundlegende Annahme von GLAUBER~) besteht darin, da13 - fur den Fall optischer Lichtquellen -- die Dichtematrix Q des Strahlungsfeldes als diagonal in der a-Darstellung (i. e. in bezug auf die von den Zustandsvektoren 1 {an}) = IT I an) gebildete Basis) anzusetzen ist

n

g = J P({an}) i {a;.)) <{w} I d2 {an}. (4)

Dabei ist zu beachten, da13 die Funktion P((012)) nicht fur alle Wertekombina- tionen {an} positiv zu sein braucht, sondern auch negative Werte annehmen kann. (Der Grund hierfiir liegt in der Nichtorthogonalitat der Basisfunktionen I {mi.}) . ) P ( {an}) kann daher nur mit Vorsicht als Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretiert werden.

I m Falle stationarer Felder hangt P({an)) nur von den Betragen iai,i ab2), d. h. alle Werte der Phase pln kommen, bei festem Wert der Amplitude lan 1 be- trachtet, mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor. Fur thermische Lichtquellen (und in guter Naherung wahrscheinlich auch fur alle anderen iiblichen inkoharenten Lichtquellen) ist P ({an}) einfach ein Produkt von GAuss-Verteilungen 2 ,

mit ( n J , ) als mittlerer Zahl der Photonen der Sorte 1,. I m folgenden sol1 der geschilderte Formalismus auf die Behandlung optischer

Schwebungen angewentlet werden, 72 ie sie mit normalen Lichtquellen - bei photoelektrischer Messung der Lichtintensitat - beobachtet merden konnen. Es

H. PAUL: Quantenmechanische Behandlung optisclier Schwebungen 149

werden die beiden Falle untersucht nerden, daB das auf die Photokathode fal- lende Licht a ) aus zwei inkoharenten Lichtstrahlen unterschiedlicher Frequenz besteht (das Experiment von FORRESTER u. a.4)) und b) sich aus zwei koharen- ten Teilstrahlen zusammensetzt. deren Wegunterschied vie1 groBer ist als die durch die natiirliche Linienbreite definierte Koharenzlange (die von GIVENS j) und MASDEL~) diskutierte dbanderung des dLFoRD-GOLD-E~perimentes~)). I m Fall b) treten zusatzlich elektrische Interferenzen in dem Schwingkreis auf, der die Schn ebungsfrequenz aus dem Photostrom aussiebt.

Das wesentlich Neue dieser beiden Experimente. von denen dar zneitc bis jetzt noch nicht durchgefdhrt wurde, gegenuber den normalen optischen Inter- ferenzexperimenten besteht darin, daB nicht die gesamte Intensitat des inter- ferierenden Lichtes gemessen wird, sondern (auf dem Wege uber den Photo- strom, aus dem eine bestimmte Frequenz - die Schuebungsfrequenz - ausge- siebt wird) lediglich eine FOURIER- Komponente der Intensitat, die mit einer im Mikro- oder Rundfunknellcnbereich liegenden Frequenz sehuingt. Der Wert dieser FOURIER-Komponente sehnankt zwar statistiseh - auf Grund der sta- tistisch willkurlichen Verteilung der Phasen der Partialn ellen -, fur die Messung wesentlich ist aber ihr quadratischer Mittelv ert4). der in den nachsten Abschnit- t en berechnet nwden soll.

Wir betrachten zxei inkoharente Lichtstrahlen mit den mittleren Freqnen- Zen v, und v2 und Frequenzbreiten, die blein gegen die Differenzfrequenz Ivl -v2 I seien. Die Schwebungsfrequenzen, die Interferenzen zwischen den Partialwellen des einen Strahls und den Partialwellen des anderen Strahls entsprechen, sind dann groRer als die Schn-ebungsfrequenzen, die von der Interferenz der Partial- wellen ein und desselben Lichtstrahls miteinander herriihren. und die Schv c- bungen zwischen den beiden Lichtstrahlen konnen daher fur sich beobachtet werden. (Die Differenzfrequenz 1 if1 - v2 1 darf andererseits nicht zu groB sein - sie muB mindestens im Mikronellenbereich liegen -. damit diese Frequenz im Photostrom, der ja proportional zum Mittelwert der Intensitat uber eine groRe Zahl von Liehtperioden ist, uberhaupt vorkommt.)

Da die beiden Lichtstrahlen unabhangig voneinander erzeugt sein sollen, zer- fallt ihre Dichtematrix auf jeden Fall in ein Produkt von zwei Diehtematrizen, die sich auf die beiden Teilstrahlen jeveils beziehen. d. h. in der a-Darstellung haben a i r

wobei eine Eigenschn ingung I,,, die im Strahl 1 vertreten ist. nicht gleichzeitig im Strahl 2 vorkommen kann und umgekehrt, d. h. es ist A, =# &. Da n-ir in der HEISEr;BE~~-I)arstellung rechnen \rollen, ist P ((a?}) zeitunabhangig zu denken.

Der Operator fur die Gesamtintensitat des elektromagnetischen Feldes ist bekanntlich gegebcn dureh

P ({BE.)) = pi ( {&A,] ) P2 ( (ai.,] 1 1 (';I

I ( r , t ) = E-(r, t ) E+(r, t ) . ( 7 )

4 ) A. T. FORRESTER. K. A. GL~DMUSDSES 11. P. 0. JOHXSOX. Physic. Rev. 99. 1691

5 , &I. P. GIVEYS, J. Opt. Soc. Amer. 51, 1030 (1961). 6 ) L. ~ I A X D E L , J. Opt. Soc. Amer. 32, 1335 (1962). 7 ) 77'. P. ALFORD 11. A. GOLD, Amer. J. Phys. '16, 481 (1958).

(1955).

150 Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964

Hierbei bezeichnen Qf und Q- die Anteile des Operators der elektrischen Feld- starke, die der Vernichtung bzw. Erzeugung von Photonen entsprechen

(- i c VZjh wa 01 (r) exp {- i wA t } ist das normierte*) klassische Vektorpoten- tial der Eigenschwingung A, und a t , a2 sind der Erzeugungs- bzw. Vernichtungs- operator fur ein Photon der Sorte A in der Normierung [an, an'.] = &A,.)

G1. ( 7 ) lautet daher, ausfuhrlich geschrieben,

I (r, t ) = 2 bf (r) On (r) ei(wJ.'-mA)t at, an. ( 9)

Uns interessiert der Anteil I,(r, t ) dieser Summe, der mit einer Schwebungs- frequenz w / 2 n w lv, - v, I schwingt. Die Unscharfe A m von w sei so klein, da13 I w keine ,,Selbstinterferenzen" der einzelnen Strahlen enthalte. Schreiben wir kurz Iwn, - 1 w an Stelle von w - Aw/2 I 1 w r - wn I I u) + Aw/2, so lautet der quantenmechanische Ausdruck fur I , gemaB G1. (9) offenbar

AY

I , (1, t ) = S 03 (r) ~ n ( r ) ei(wnt--wn)t a,$ an. (10) ar mit jwy-w~1=:w

Wir bestimmen den Erwartungswert dieses Ausdrucks. Dazu ist es notig, die Erwartungswerte (a$, an) zu berechnen. Zunachst ist klar, daB nichtangeregte Eigenschwingungen A bzw. A' keinen Beitrag liefern, d. h. es kommen nach un- seren Voraussetzungen nur die Moglichkeiten A = A,, A' = A, und 1 = A,, A' = A, in Betracht. GemaB G1. (6) gilt dann

und da die koharenten Zustande ]an) gerade Rechts- bzw. Links-Eigenzustande des Operators al bzw. a$ sindl),)

(an' ad = (a$> (an), (11)

konnen die Erwartungswerte (an), ( a t ) einfach geschrieben werden als -

<aA> = J a1 P ({an} 1 d2 {an} = a?. - p 3 )

( a t ) = J P ( {an}) d 2 {an} af , d. h. sie konnen als Mittelwerte der komplexen Amplituden ah bzw. a; der Par- tialwelle 1 interpretiert werden. Im Falle stationarer Felder hangt P ({aA}) nur von Ian 1 ab (s. o.), daher verschwinden die genannten Mittelwerte und damit auch ( I w ) .

Dieses Ergebnis bedeutet jedoch nicht, daB gar kein Schwebungsanteil der betrachteten Art in der Gesamtintensitat vorhanden ist, sondern nur, daB die Amplitude der Schwebung statistisch schwankt. Der quadratische Mittelwert der Amplitude ist namlich von Null verschieden, wie wir sogleich zeigen werden.

Siehe W. HEITLER, The Quantum Theory of Radiation, 3rd Ed., Oxford University Press 1954.

H. P S U L : Quantenmechanische Behandlung optischer Schwebungen 151.

Aus G1. (10) ergibt sich zunachst fur das Quadrat von I , ,

It, (r, t ) = ,V (D;, (r) . DA (r)) (0;. (r) . D, (r)) ei(wx--wi.+ w/z*--odt a$ a; a3. a,*. (14) AA,,,'

mit I w j : - w ~ , I = o

undlw ,--w I1 !J

(Genaa gesprochen ha,ndelt es sich hier nicht urn das formale Quadrat des Ope- rators ( lo ) , sondern um das entsprechende ,,Normalprodukt" s ) , das deswegen gewahlt werden muR, damit, der Vakuum-Erwartungswert von I: verschwindct.) Fur den Erwartungswert von I:, folgt daraus, da megen der vorausgesetzten Stationaritat des Strahlungsfeldes der Erwartungswert <a$ at. a8 a,) nur fiir den Fall p = I,' und (gleichzeitig) p' = A von Null verschieden ist und nur solche Kombinationen A A' einen Beitrag liefern, bei denen 2 und 3,' verschiedenen St'rahlen angehoren,

(1 5) ~~~~~ ~~~

{I%> = g j D;, (r) . Di. (r) 12 I a;.' 12 1 a;. 12,

mit 1 w ~ , - r n ~ j = w ~~ ~~

mobei la?. j 2 den Mittelwert _____

]&A j 2 J I &A l 2 P({a?.}) d2{a;.} (16) bezeichnet. Schreiben wir s ta t t A ausfuhrlicher fs (Wellenzahlvektor und Polari- sation), so ergibt sich, wenn wir lineare Polarisation der Eigenschwingungen vor- aussetzen und annehmen, daIj sich die f-Richtungen der a'ngeregten Eigen- schwingungen nicht wesent'lich unt)erscheiden,

(17 ) ~~ ~

< I 3 = 2 ,r 1 k s (r) 12 I bf,s (r) 12 1 @t,s 12 j w,s 12. flf.s iiiit IWI,W~ 1 % ~

(Der Index 1 beziehe sich auf den St'rahl 1, entsprechend der Index 2 auf den Strahl 2 . )

Zu einer physikalischen Interpret'ation der Terme I bfIs 12 lafl8 l 2 bzw. I ~ f , ~ l 2 IcxfZs j 2 gelangt man leicht dadurch, daR man den Erwartungswert der Gesamtintensitat fur einen Stra,hl allein bildet. Nach G1. (9) lautet dieser Erwar- tungswert fur den Stra,hl 1

~~

~

~-

<I (r, t )> l = -2 j DGs, (r) 12 I W,s, l 2 > (18) f,&

___

d. h. I bfIs, i 2 I ~ ( f , ~ , ] ~ hat die physikalische Bedeutung der Intensitat Ifls1, mit' der die Eigenschwingung f, s1 im Strahl 1 angeregt ist. (Fur laufende ebene Wellcn D ~ , ~ , (r) = tjfIs, (0) exp {if, r} ist. I DQ, (r) l 2 und damit auch If,s, offenbar von r unab- hangig.)

Wir konnen somit s ta t t GI. (17) endgiiltig schreiben

<I%> = 2 fs. I f , s I f 1 6 . (19) rnit I w~,w~,J = o

Diese Gleichung beschreibt die Schwebungen in der Intensitat des Licht.es, die in einem Raumpunkt r stattfinden, und gibt somit den prinzipiellen Interferenz- effekt wieder. I n praxi wird jedoch nicht der Schwebungsanteil I , (r, t ) in einem

7 Siehe z. B. G. KALLEN, Quantenelektrodynamik in 6. F L ~ G G E , Handbuch d. Physik V/ l , Springer-Verlag 1958.

152 Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 19G4

Punkt r gemessen, sondern das Integral J w ( t ) dieses Ausdrucks uber eine Fla- che P. namlich uber die Oberflache der Photokathode. (Der Ubergang von I W ( r , t ) zu J w ( t ) entspricht dem Ubergang von der lokalen Dichte des Photo- stroms zum gesamten Photostrom.) Fur ausgedehnte FlLchen ist der Mittelwert von J t , wie wir im Anhang zeigen werden, nicht einfach das F2-fache des Mittel- wertes von I:, sondern - in Abhangigkeit von der Geometrie der Versuchs- anordnung -- sehr viel kleiner (s. G1. (A 6)). Hauptsachlich dieser Umstancl war es, der die tatsachliche Beobachtung der Schwebungen so ungeheuer erschwerte4).

3. Scheinbare optische Interferenzen bei sehr groBem Wegunterschied Ein Lichtstrahl werde durch einen halbdurchlassigen Spiegel in zwei koha-

rente Teilstrahlen aufgespalten, die wiederum auf der Kathode eines Photo- multipliers vereinigt werden mogen. (Wir denken zunachst an die Einstrahlung einer einzigen Spektrallinie, obwohl diese Einschrankung, wie spater deutlich werden wird, im realen Experiment nicht notnendig ist.) Soweit gesehen handelt es sich um ein typisches Interferenzexperiment der klassischen Optik. Das we- sentlich Neue besteht darin, daB der Wegunterschied zwischen den beiden Teil- strahlen sehr vie1 (sagen wir hundertmal) groBer als die Koharenzlange c/dv ( d v naturliche Linienbreite) gem ahlt u erden SOIL Die bei optischen Experimen- ten ublicherweise beobachtete Gesamtintensitat des Lichtes (auf der Photo- kathode) zeigt dann keine Abhangigkeit vom Gangunterschied mehr. Dasselbe gilt jedoch nicht fur den Anteil der Intensitat, der mit einer bestimmten Schwe- bungsfrequenz o/2n (entstanden durch Interferenz von Partialwellen verschie- dener Frequenz miteinander) schwingt. I n diesem Fall ist zu ermarten, dal3 - in Abhangigkeit vom Wegunterschied - in regelmaDiger Folge Inteiisitatsmaxima und -minima auftreten5) 6). Die Srhwebungsfrequenz im Photostrom ist dabei mit einer Unscharfe zu messen, die sehr Wein gegen die naturliche Linienbreite ist. Das 1aBt sich aber fur Schwebungsfreqiienzen aus dem Rundfunkn-ellen- bereich unschwer durchfuhren.

Wir betonen, daB es sich bei dem geschilderten Effekt qicht um Interferenzen im eigentlichen optischen Sinn handelt. Solche Interferenzen finden ja (bei Licht aus normalen Lichtquellen) stets in der Weise s ta t t , daB das Wellenpaket eines Photons durch eine geeignete Apparatur, beispielsweise einen halbdurchlassigen Spiegel, in zwei (oder mehr) Teile aufgespalten wird, die sich spater in irgend- einem Raumgebiet iiberlagern und so AnlaB zu einem Interferenzmuster geben. Bei der oben betrachteten Versuchsanordnung sind aber die entsprechenden Teil- wellenzuge ein und desselben Photons, deren Lange ja gleich der Koharenzlange ist, raumlich SO weit getrennt, dal3 eine optische Interferenz unmoglich ist. Die eigentliche Interferenz vollzieht sich im elektrischen Schwingkreis, M o die von einem ersten Lichtimpuls herruhrende Erregung auch dann noch vorhanden ist, wenn ein sehr viel spater eiritreffender zweiter Impuls eine zusatzliche Erregung verursacht.

Die bisherige theoretische Untersuchung der , ,scheinbaren optischen Inter- ferenzen" erfolgte im Rahmen der klassischen Optik; im folgenden soll eine quantenmechanische Behandlung gegeben werden.

Wir charakterisieren den Teilstrahl, der den kurzeren Weg zurucklegt, durch eine Dichtematrix der Form (4) , wobei P ({a).}) - der vorausgesetzten Stationa- ri tat des Feldes entsprechend - wicdcr nur von den Betragen l x) 1 abhangen soll.

H. PAUL : Quantenmechanische Behandlung optischer Schwebungen 153

Die Wirkung der Spiegelapparatur kann dann klassisch bekanntlich so beschrie- ben werden, da13 auf der Photokathode eine Superposition der Feldstarken &lass (r, t ) und (&lass (2, t - z) des eben genannten Teilstrahls erzeugt wird, wobei c z den Wegunterschied zwischen den beiden Teilstrahlen bedeute. In der quan- tenmechanischen Beschreibung des Strahlungsfeldes wird daher der Operator fur die Intensitat auf der Photokathode die Gestalt

(20)

besitZenlo). Fur den Anteil I, der Intensitat, der mit einer Schwebungsfrequenz aus dem Interval1 w - - A m ) / 2n. . ( w + T ~ w ) J / 2 n schwingt, ergibt sich - unter Beachtung der Gln. (8) und Verwendung der gleichen Bezeichnungsweise wie in Abschnitt 2 - der Operator

I (r, t ) = [@--(r, t ) + &(r, t - z)] [E+(r, t ) + E+(r, t - z)]

1 1 ( 2

I, = LA & on*. (r) . bA(r) [I + e--iwA,r] [I + e i w A r ] ei(or--wn)t a$ U A . (21) mit l o y - - w l l = w

Ganz ahnlich wie in Abschnitt 2 sieht man, daB der Erwartungswert ( I w ) ver- schwindet und der quadratische Mittelwert (I:) durch

(I:) = $ / b P ( r ) . bA(r) j 2 I(1 + e--iwA,r ) (1 + e i w l t ) 12 jalt 12 IaAP (22)

gegeben ist.

VoraussetzungsgemaB soll der Wegunterschied c z zwischen den Teilstrahlen wesentlich groBer als die (durch die naturliche Linienbreite definierte) Koharenz- lange sein; das .bedeutet, die Exponentialfunktionen exp {& i co~ z) und exp {A i w r T} oszillieren bei der Summation in GI. (22) sehr stark, so da13 aus der genannten Gleichung

( 2 3 ) (I:) = 2 & lo$ (r) . bn(r) 12 [2 + c o s ( w , - r m ) z ] lCxL'j2 1011,p a2

mit Iwr-021 -0

wird. Weiterhin soll die Schwebungsfreqnenz mit einer solchen Genauigkeit ge- messen werden, daB die Ungleichung

A ~ . z < l (24)

gilt; dann kann cos (wc)~, - w l ) z durch cos w z ersetzt werden. SchlieBlich neh- men wir noch an, daB die Funktion P ({ad) in ein Produkt PA (.A) aerfallt (was nach GLAUBER~) fur normale Lichtquellen zu erwarten ist, s. GI. (5)), und fiihren wie in Abschnitt 2 explizit die Polarisation der Eigenschwingungen ein.

10) Eine genauere Begrundung dieser Behauptung macht eine quantenmechanische Be- handlung der (teilweisen) Reflexion an einem Spiegel notwendig, auf die in einer spateren Arbeit naher eingegangen werden SOU. 10b Ann. Physik. 7. Folge. Bd. 14

154 Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964

Aus Gl. (23) erhalten wir so {I;,) = 2 ( 2 + cos w t) +. I*rs I fs , (25) ff s

init I ~ y - q = w

woraus die periodische Abhangigkeit des quadratischen Mittelwertes der Inten - sitat vom Wegunterschied der Teilstrahlen unmittelbar ersichtlich ist. Wir bc- merken noch, daB bei der Herleitung der Formel (25) keine Einschrankung uber die Frequenzbreite des einfallenden Strahles gemacht zu werden brauchte, im bes. kann der Strahl ai ls vielen Spektrallinien (am weiBem Licht) bestehen, worauf G1vENS5) bereits aufmerksam gemacht hat.

Was schliefllich die tatsachliche Beobachtung der Schwebungskomponenten der Intensitat (ausgedruckt durch die Gln. (19) bzm-. (25)) angeht, so geschieht sie, wie bereits crwahnt, durch Messung des Photostromes. Das ist deshalb mog- lich, weil- fur ein kleines Frequenzintervall - der Photostrom als proportional zur Intensitat des Lichtes (genauer. zum zeitlichen Mittelwert der Intensitat iiber eine groBe Anzahl von Lichtperioden) angesehen werden kann (s. dazu Ref. 4)5)6) und die in Ref. 6, zitierte Literatur). Dabei ist allerdings zu beachten. daR der Photostrom einen betrachtlichen Rauschanteil enthalt, so daB das we- sentliche experimentelle Problem bei der Beobachtung der oben geschilderteii optischen Schwebungen darin besteht, ein giinstiges Signal-Rausch-Verhaltnis zu erreichen. Fiir das FORRESTER-Experiment wurde das Problem durch Inten- sitatsmodulation der interferierenden Strahlen (bei gleichbleibender Gesamt - intensitat der auf die Photokathode treffenden Strahlung !) ge10st4) ; fur den Fall des in diesem Abschnitt diskutierten Experimentes wurde eine theoretische Be- handlung des Rauschproblems von M A X D E L ~ ) gegeben. die den zu erwartenden Effekt (wegen der zu kleinen verfiigbaren Intensitaten) als schwer beobachtbar erscheinen IaRt.

Anhang Der EinfluB der Geometrie beim FoRREsTER-Experiment

Bei klassischer Beschreibung des Strahlungsfeldes hat man zu beachten, daS die Phase der Schwebungskomponente der Intensitat - und damit auch der Schwebungskomponente des (lokalen) Photostroms - nicht uber die ganze Flache P der Photokathode als konstant angesehen werden darf, sondern nur jeweils iiber einen sehr kleinen Koharenzbereich von der GroSe A2/Q ( A Wellen- lange des verwendeten Lichtes und Q raumlicher Offnungswinkel des Kegels K , der von den auf einen Punkt der Photokathode auftreffenden Lichtstrahlen ge- bildet wird4). Die Werte der Phase in den einzelnen Koharenzgebieten miissen als statistisch verteilt angnommen werden; das fiihrt dazu. daB die uber die FlBche der Photokathode integrierte Schwebungskomponente der Intensitat - und damit die Schwebungskomponente des Gesamtphotostroms - (genau ge- sprochen, die Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrats der genannten GroBen) nicht linear mit der Zahl Z = FS/L2 der Kohiirenzgebiete auf der Photokathode anwachst, sondern nur mit der Wurzel aus dieser Zahl. Dieses von FORRESTER4) angegebene Resultat sol1 im folgenden auf quantenmechanischem Wege hergc- leitet werden.

Fur die Messung interessiert nicht der Schwebungsanteil I , (I, t ) der Inten- sitat in einem Punkt, sondern das Integral J m ( t ) dieses Ausdrucks iiber die Flache P der Photokathode. GemaB GI. (10) ergibt sich fiir laufende ebene Wel-

H. PAUL: Quantenmechanische Behandlung optischer Schwebungen 155

len, wenn nir die Flache F der Einfa'chheit halber als Recliteck -a/2 _< 2 5 a /2 , - bi? F, y < b/Z in der 2-y-Ebene wahlen, J , ( t ) - als Operat'or aufgefafit - zu

J , ( t ) = J I m (r, t ) df F

2 sin P k J , +) 8 sin (dk, $) (A 1) = b$ (0) b. (0) ~ ~ ~~~ - &w2.-wE.)t a$ aI

2;: .:I k , 4 k , mit Iw;:-w~+ F W

niit' Akz = k; -- k;, und .4ku = k i - k$ . (Is: sei die s-Koniponente des Vektors 11 usf.j

Wir ma'chen nun - in cbereinst'immung mit dem u-irklichen Experiment4) - - folgende Bnnahmen :

a) Die beiden Lichtstrahlen sollen die gleiche Frequenzbreite und Intensit'at besitzen und (in derselben Richtung) linear polarisiert sein. Wir konnen daher im folgendeii den auf die Polarisation bezuglichen Index (s) unterdrucken.

b) Die Intensitat I f l , mit der die Eigenschwingung f, (in dem' Bereich, in dem Ifl iiberhaupt von Null verschieden ist) im Strahl 1 angeregt ist, soll nur von I €, I abhangen. Das gleiche soll fur den Strahl 2 gelten.

c) Die Schwebungsfrequenz soll nicht genauer als notig gemessen werden, d. h. ihre Unscharfe sei so grofi, dafi die Interferenzen einer Partialwelle des einen Strahls mit a l l e n Partialwellen des andereii Strahls beobachtet werden.

Wir verzichteii auf eine genaue Berechnung des uns interessierenden Erwar- tungswertes von JL und begniigen uns mit einer Abschatzung, indem wir nahe- rungsn-eise setzen

?sin@kJ+) i" fur lAk , [ a < j z

dsinjdk,;) b fur ldk,/ b < i z

. ~- ~-

(A 2 ) 4 Ic, o sonst

Ll k , -q 0 sonst.

Damit, (und unt'er Beachtung der Vora'ussetzung c)) wird a'us GI. (A 1)

J , ( t ) = F 2 t$ (0) bf, (0) ei(mf,-wf,)l a: all + Herm. Konj. (A 3 )

Das Ausrufezeichen sol1 hierbei ausdriicken, dafi -- bei einem vorgegebenen Wert. von f, etn-a - nur uber solche Werte von f, zu summieren ist: die den Un- gleichungen

fly*( 1)

(A 4) z !Akzi 5%- lilk,I 5:

geniigen. Weiin wir annehmen, daS die Richtungen der auf die Pliot'okathode a,uftreffenden Lichtstrahlen nicht allzusehr von der Normalenrichtung abwei- chen, konnen wir (unter Beriicksichtigung des Umstandes, daIJ der relative Langenunterschied der Vektoren f, iind f, sehr gering ist' : 1 f, I rn 1 f2 ~ w k ) die Bedingung (-4 4) naherungsweise so formulieren : Bei vorgegebenem Vektor fl sind alle diejeiiigen Vektoren f2 zugelassen, deren Richtung in einem Rauniwin- Belbereich 6R = 4$/F k2 = P/E' um die Richtung von fl liegt.

156 Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964

Aus Gl. (A 3) berechnet sich - in ganz derselben Weise wie in Abschnitt 2 - der quadratische Mittelwert von J , zu

( J i ) = 2P2 2 Iz.If,. (A 5 ) tlfd!) Nun tragen zur Schwehung in einem Punkt P der Photokathode offenbar nur solche Lichtquanten bei, die - von irgendeinem ,,Punkt" der Lichtquelle weg- fliegend - P tatsachlich erreichen, d. h. deren Richtungen dem Kegel K mit dem Offnungswinkel 9 angehoren. Die durch das Ausrufezeichen angedeutete Beschrankung der f2-Summation liefert daher - unter Beriicksichtigung der Voraussetzung b) - einfach den Verkleinerungsfaktor aQjsr! gegeniiber der nicht- eingeschrankten (richtungsmaBig iiber K erstreckten) Summe uber fz :

(wobei das letzte Gleichheitszeichen gem613 G1. (19) gilt).

bungsanteils !) a.uf der Photokathode gleich Andererseits ist dcr Erwartungswert der Gesamtintensitat (nicht des Schwe-

( J ) = F (2 1% + 2 If.) > (A 7) fl f z

wie aus G1. (18) folgt. Statt G1. (A 6) konnen wir daher - unter Beriicksichtigung der Voraussetzung a) - schreiben

(J:) = - 1 - SQ ( J ) 2 = - -- ( J ) 2 2 n 2 FQ

Diese Formel entspricht genau der FoRREsTERschen Gleichung (3) (s. Ref. 4)).

Sie la5t sich, wenn wir mit (j) = ( J ) / Z die Gesamtintensitat in einem Koharenz- bereich bezeichnen, umformen in

( J t ) = I 2 Z (J')~, (A 9)

d. h. 1/(J"o> wachst, wie eingangs behauptet wurde, mit der Wurzel aus der Zahl der Koharenzbereiche an.

Den Herren Prof. Dr. G. RICHTER und Dr. W. BRUNNER danke ich sehr herz- lich fur klarende Diskussionen.

Be r l in - Adlershof , Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin, In- stitut fur spezielle Probleme der theoretischen Physik.

Bei der Redaktion eingegangen am 21. Dezember 1963.