quantenphysik aus klassischen wahrscheinlichkeiten
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Quantenphysik ausQuantenphysik ausklassischen klassischen
WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
Unterschiede zwischenUnterschiede zwischenQuantenphysik und Quantenphysik und
klassischen klassischen WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
Quanten – TeilchenQuanten – Teilchenundund
klassische Teilchenklassische Teilchen
Quanten–Teilchen Quanten–Teilchen klassische Teilchenklassische Teilchen
Teilchen-Welle DualitätTeilchen-Welle Dualität UnschärfeUnschärfe keine Trajektorienkeine Trajektorien
Interferenz bei Interferenz bei DoppelspaltDoppelspalt
TunnelnTunneln
Quanten - Quanten - WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Schrödinger-GleichungSchrödinger-Gleichung
TeilchenTeilchen scharfer Ort und Impulsscharfer Ort und Impuls klassische Trajektorienklassische Trajektorien
nur durch einen Spaltnur durch einen Spalt maximale Energie maximale Energie
beschränkt Bewegungbeschränkt Bewegung
klassische klassische Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit w(x,p)w(x,p)
Liouville-Gleichung für Liouville-Gleichung für ww
( entspricht Newton ( entspricht Newton Gl. Gl.
für Trajektorien )für Trajektorien )
Doppelspalt - ExperimentDoppelspalt - Experiment
Quanten - KonzepteQuanten - Konzepte
Wahrscheinlickeits - AmplitudeWahrscheinlickeits - Amplitude VerschränkungVerschränkung InterferenzInterferenz Superposition von ZuständenSuperposition von Zuständen Fermionen und BosonenFermionen und Bosonen unitäre Zeitentwicklungunitäre Zeitentwicklung ÜbergangsamplitudeÜbergangsamplitude nicht-kommutierende Operatorennicht-kommutierende Operatoren Verletzung der Bell’schen UngleichungVerletzung der Bell’schen Ungleichung
Quantenphysik kann Quantenphysik kann durchdurch
klassische klassische Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden ! beschrieben werden !
ZwitterZwitter
gleicher Formalismus für gleicher Formalismus für Quantenteilchen und klassische TeilchenQuantenteilchen und klassische Teilchen
unterschiedliche Zeitentwicklung der unterschiedliche Zeitentwicklung der WahrscheinlichkeitsverteilungWahrscheinlichkeitsverteilung
Zwitter : Zwitter :
zwischen Quanten und klassischen zwischen Quanten und klassischen Teilchen –Teilchen –
kontinuierliche Interpolation der kontinuierliche Interpolation der Zeitentwicklungs - GleichungZeitentwicklungs - Gleichung
Quantenteilchen undQuantenteilchen undklassischen klassischen
WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
Quanten–Teilchen klassische Quanten–Teilchen klassische TeilchenTeilchen
Teilchen-Welle Teilchen-Welle DualitätDualität
UnschärfeUnschärfe keine Trajektorienkeine Trajektorien
Interferenz bei Interferenz bei DoppelspaltDoppelspalt
TunnelnTunneln
Quanten - Quanten - WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Schrödinger-Schrödinger-GleichungGleichung
TeilchenTeilchen scharfer Ort und scharfer Ort und
ImpulsImpuls klassische klassische
TrajektorienTrajektorien
nur durch einen Spaltnur durch einen Spalt maximale Energie maximale Energie
beschränkt Bewegungbeschränkt Bewegung
klassische klassische WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Liouville-GleichungLiouville-Gleichung
Quanten–Teilchen Quanten–Teilchen klassische Teilchenklassische Teilchen
Teilchen-Welle Teilchen-Welle DualitätDualität
UnschärfeUnschärfe keine Trajektorienkeine Trajektorien
Interferenz bei Interferenz bei DoppelspaltDoppelspalt
TunnelnTunneln
Quanten - Quanten - WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Schrödinger-Schrödinger-GleichungGleichung
Teilchen Teilchen – Welle – Welle DualitätDualität
scharfer Ort und scharfer Ort und ImpulsImpuls
klassische Trajektorienklassische Trajektorien
nur durch einen Spaltnur durch einen Spalt maximale Energie maximale Energie
beschränkt Bewegungbeschränkt Bewegung
klassische klassische WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Liouville-GleichungLiouville-Gleichung
Quanten–Teilchen Quanten–Teilchen klassische Teilchenklassische Teilchen
Teilchen-Welle Teilchen-Welle DualitätDualität
UnschärfeUnschärfe keine Trajektorienkeine Trajektorien
Interferenz bei Interferenz bei DoppelspaltDoppelspalt
TunnelnTunneln
Quanten - Quanten - WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Schrödinger-Schrödinger-GleichungGleichung
Teilchen Teilchen – Welle – Welle DualitätDualität
scharfer Ort und Impulsscharfer Ort und Impuls klassische Trajektorienklassische Trajektorien
nur durch einen Spalt nur durch einen Spalt ?? maximale Energie maximale Energie
beschränkt Bewegung beschränkt Bewegung ??
klassische klassische WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
modifizierte modifizierte EvolutionsgleichungEvolutionsgleichung
Quanten–Teilchen Quanten–Teilchen klassische Teilchenklassische Teilchen
Teilchen-Welle DualitätTeilchen-Welle Dualität UnschärfeUnschärfe keine Trajektorienkeine Trajektorien
Interferenz bei DoppelspaltInterferenz bei Doppelspalt TunnelnTunneln
Quanten - Quanten - WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Schrödinger-GleichungSchrödinger-Gleichung
Teilchen Teilchen – Welle – Welle DualitätDualität
scharfer Ort und Impulsscharfer Ort und Impuls klassische Trajektorienklassische Trajektorien
nur durch einen Spalt nur durch einen Spalt ?? maximale Energie maximale Energie
beschränkt Bewegung beschränkt Bewegung ??
klassische klassische WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
modifizierte modifizierte EvolutionsgleichungEvolutionsgleichung
Einschränkung der möglichen InformationEinschränkung der möglichen Information unvollständige Statistikunvollständige Statistik
klassische klassische Wahrscheinlichkeiten – Wahrscheinlichkeiten – keine deterministische keine deterministische
klassische Theorieklassische Theorie
Physik beschreibt nur Physik beschreibt nur WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
Gott würfeltGott würfelt
Physik beschreibt nur Physik beschreibt nur WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
Gott würfeltGott würfelt Gott würfelt nichtGott würfelt nicht
Physik beschreibt nur Physik beschreibt nur WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
Gott Gott würfelt würfelt
Gott würfelt nichtGott würfelt nicht
Mensch kann nur Mensch kann nur Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten erkennenerkennen
Probabilistische PhysikProbabilistische Physik
Es gibt Es gibt eineeine Realität Realität Diese kann nur durch Diese kann nur durch
Wahrscheinlichkeiten beschrieben Wahrscheinlichkeiten beschrieben werdenwerden
ein Tröpfchen Wasser …ein Tröpfchen Wasser … 10102020 Teilchen Teilchen elektromagnetisches Feldelektromagnetisches Feld exponentielles Anwachsen der Entfernung exponentielles Anwachsen der Entfernung
zwischen zwei benachbarten Trajektorienzwischen zwei benachbarten Trajektorien
Gesetze basieren auf Gesetze basieren auf WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
Determinismus als Spezialfall :Determinismus als Spezialfall :
Wahrscheinlichkeit für Ereignis = Wahrscheinlichkeit für Ereignis = 11
Gesetz der großen ZahlGesetz der großen Zahl eindeutiger Grundzustand …eindeutiger Grundzustand …
bedingte bedingte WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Sequenzen von Ereignissen Sequenzen von Ereignissen ( Messungen ) werden durch ( Messungen ) werden durch
bedingtebedingte Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten beschriebenbeschrieben
sowohl in klassischer Statistik sowohl in klassischer Statistik als auch in Quantenstatistikals auch in Quantenstatistik
w(tw(t11))
nicht besonders geeignet nicht besonders geeignet für Aussage , ob hier und jetztfür Aussage , ob hier und jetztein Geldstück herunterfälltein Geldstück herunterfällt
::
Schrödingers Schrödingers KatzeKatze
bedingte Wahrscheinlichkeit :bedingte Wahrscheinlichkeit :wenn Kern zerfallenwenn Kern zerfallenKatze tot mit w = 1 Katze tot mit w = 1 (Reduktion der Wellenfunktion)(Reduktion der Wellenfunktion)
Teilchen – Welle DualitätTeilchen – Welle Dualität
Quanten–Teilchen Quanten–Teilchen klassische Teilchenklassische Teilchen
Teilchen-Welle Teilchen-Welle DualitätDualität
UnschärfeUnschärfe keine Trajektorienkeine Trajektorien
Interferenz bei Interferenz bei DoppelspaltDoppelspalt
TunnelnTunneln
Quanten - Quanten - WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Schrödinger-Schrödinger-GleichungGleichung
Teilchen Teilchen – Welle – Welle DualitätDualität
scharfer Ort und scharfer Ort und ImpulsImpuls
klassische Trajektorienklassische Trajektorien
nur durch einen Spaltnur durch einen Spalt maximale Energie maximale Energie
beschränkt Bewegungbeschränkt Bewegung
klassische klassische WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Liouville-GleichungLiouville-Gleichung
WahrscheinlichkeitsverteiluWahrscheinlichkeitsverteilung für ng für
klassisches Teilchenklassisches Teilchen
klassische Wahrscheinlichkeits –klassische Wahrscheinlichkeits –verteilung im Phasenraumverteilung im Phasenraum
Wellenfunktion für Wellenfunktion für klassisches Teilchenklassisches Teilchen
klassische Wahrscheinlichkeits –klassische Wahrscheinlichkeits –verteilung im Phasenraumverteilung im Phasenraum
Wellenfunktion für Wellenfunktion für klassisches Teilchenklassisches Teilchen
( hängt von Ort( hängt von Ort und Impuls ab )und Impuls ab )
Quantengesetze für Quantengesetze für ObservableObservable
Liouville - GleichungLiouville - Gleichung
beschreibt Zeitentwicklung der beschreibt Zeitentwicklung der klassischen Wahrscheinlichkeitsverteilungklassischen Wahrscheinlichkeitsverteilungfür Teilchen in Potenzial V(x)für Teilchen in Potenzial V(x)
Zeitentwicklung derZeitentwicklung derklassischen Wellenfunktionklassischen Wellenfunktion
WellengleichungWellengleichung
modifizierte Schrödinger - Gleichungmodifizierte Schrödinger - Gleichung
Teilchen – Welle DualitätTeilchen – Welle Dualität
Welleneigenschaften der Teilchen :Welleneigenschaften der Teilchen :
kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungkontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung
Quanten - Quanten - ZeitentwicklungZeitentwicklung
Quanten–Teilchen Quanten–Teilchen klassische Teilchenklassische Teilchen
Teilchen-Welle Teilchen-Welle DualitätDualität
UnschärfeUnschärfe keine Trajektorienkeine Trajektorien
Interferenz bei Interferenz bei DoppelspaltDoppelspalt
TunnelnTunneln
Quanten - Quanten - WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Schrödinger-Schrödinger-GleichungGleichung
Teilchen Teilchen – Welle – Welle DualitätDualität
scharfer Ort und scharfer Ort und ImpulsImpuls
klassische Trajektorienklassische Trajektorien
nur durch einen Spaltnur durch einen Spalt maximale Energie maximale Energie
beschränkt Bewegungbeschränkt Bewegung
klassische klassische WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Liouville-GleichungLiouville-Gleichung
Quanten–Teilchen Quanten–Teilchen klassische Teilchenklassische Teilchen
Teilchen-Welle Teilchen-Welle DualitätDualität
UnschärfeUnschärfe keine Trajektorienkeine Trajektorien
Interferenz bei Interferenz bei DoppelspaltDoppelspalt
TunnelnTunneln
Quanten - Quanten - WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
Schrödinger-Schrödinger-GleichungGleichung
Teilchen Teilchen – Welle – Welle DualitätDualität
scharfer Ort und Impulsscharfer Ort und Impuls klassische Trajektorienklassische Trajektorien
nur durch einen Spalt nur durch einen Spalt ?? maximale Energie maximale Energie
beschränkt Bewegung beschränkt Bewegung ??
klassische klassische WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit
modifizierte modifizierte EvolutionsgleichungEvolutionsgleichung
Modifikation der EvolutionModifikation der Evolutionfür klassische für klassische
WahrscheinlichkeitsverteiluWahrscheinlichkeitsverteilungng
modifizierte Evolution modifizierte Evolution klassischer klassischer
WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
K ist reeller Operator , K ist reeller Operator ,
… … nicht kompatiblel mit nicht kompatiblel mit klassischen Trajektorienklassischen Trajektorien… … ergibt Schrödinger – Gleichung ergibt Schrödinger – Gleichung der Quantenmechanikder Quantenmechanik
Quanten – ObservablenQuanten – Observablenund und
klassische Observablenklassische Observablen
Quanten - ObservablenQuanten - Observablen
Observablen für Observablen für klassischen klassischen Ort und ImpulsOrt und Impuls
Observablen für Observablen für Quanten - Quanten - Ort und ImpulsOrt und Impuls
… … kommutieren nichtkommutieren nicht
Unschärfe Unschärfe
Quanten – Observablen enthaltenQuanten – Observablen enthalten statistischen Anteilstatistischen Anteil ( ähnlich Entropie , Temperatur )( ähnlich Entropie , Temperatur )
QuantenteilchenQuantenteilchen
mit Evolutionsgleichungmit Evolutionsgleichung
Quanten – Observablen erfüllen Quanten – Observablen erfüllen alle Vorhersagen der alle Vorhersagen der Quantenmechanik für Quantenmechanik für Teilchen in Potenzial VTeilchen in Potenzial V
Doppelspalt - ExperimentDoppelspalt - Experiment
Quantenformalismus aus Quantenformalismus aus
klassischen klassischen WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
reiner Zustandreiner Zustand
wird beschrieben durchwird beschrieben durchquantenmechanische Wellenfunktionquantenmechanische Wellenfunktion
realisiert fürrealisiert fürklassische Wahrschein-klassische Wahrschein-lichkeiten der Formlichkeiten der Form
Zeitentwicklung beschrieben durchZeitentwicklung beschrieben durch Schrödinger – GleichungSchrödinger – Gleichung
Dichte – Matrix und Dichte – Matrix und Wigner-transformWigner-transform
Wigner – transformierte DichtematrixWigner – transformierte Dichtematrixin der Quantenmechanikin der Quantenmechanik
erlaubt einfache Berechnung erlaubt einfache Berechnung der Erwartungswerte quanten-der Erwartungswerte quanten-mechanischer Observablenmechanischer Observablen
kann aus Wellenfunktion für klassisches Teilchenkann aus Wellenfunktion für klassisches Teilchenkonstruiert werden !konstruiert werden !
Quanten – Observablen Quanten – Observablen und und
klassische Observablenklassische Observablen
ZwitterZwitter
Unterschied zwischen Quanten – Unterschied zwischen Quanten – Teilchen und klassischen Teilchen Teilchen und klassischen Teilchen nur durch unterschiedliche nur durch unterschiedliche ZeitentwicklungZeitentwicklung
kontinuierlikontinuierliche che InterpolatioInterpolationn
CLCL
QMQM
Quantenteilchen undQuantenteilchen undklassische Statistikklassische Statistik
Gemeinsame Konzepte und Gemeinsame Konzepte und gemeinsamer Formalismus für Quanten- gemeinsamer Formalismus für Quanten- und klassische Teilchen : klassische und klassische Teilchen : klassische Wahrscheinlichkeitverteilung , Wahrscheinlichkeitverteilung , WellenfunktionWellenfunktion
Unterschiedliche Zeitentwicklung , Unterschiedliche Zeitentwicklung , unterschiedliche Hamilton- Operatorenunterschiedliche Hamilton- Operatoren
Kontinuierliche Interpolation zwischen Kontinuierliche Interpolation zwischen Quanten- und klassischen Teilchen Quanten- und klassischen Teilchen möglich - Zwittermöglich - Zwitter
Quantenmechanik aus Quantenmechanik aus klassischen klassischen
WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeitenklassische Wahrscheinlichkeitsverteilung kann klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung kann
explizit angegeben werden für :explizit angegeben werden für :
quantenmechanisches Zwei-Zustands-quantenmechanisches Zwei-Zustands-System Quantencomputer : Hadamard System Quantencomputer : Hadamard gategate
Vier-Zustands-System ( CNOT gate )Vier-Zustands-System ( CNOT gate ) verschränkte Quantenzuständeverschränkte Quantenzustände InterferenzInterferenz
Bell’sche UngleichungenBell’sche Ungleichungen
werden verletzt durch werden verletzt durch bedingtebedingte Korrelationen Korrelationen
Bedingte Korrelationen für zwei EreignisseBedingte Korrelationen für zwei Ereignisse
oder Messungen reflektieren bedingte oder Messungen reflektieren bedingte WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
Unterschied zu klassischen Korrelationen Unterschied zu klassischen Korrelationen
( Klassische Korrelationen werden implizit zur ( Klassische Korrelationen werden implizit zur Herleitung der Bell’schen Ungleichungen Herleitung der Bell’schen Ungleichungen verwandt. )verwandt. )
Bedingte Dreipunkt- Korrelation nicht kommutativBedingte Dreipunkt- Korrelation nicht kommutativ
RealitätRealität
KorrelationenKorrelationen sind physikalische Realität , nicht sind physikalische Realität , nicht nur Erwartungswerte oder Messwerte einzelner nur Erwartungswerte oder Messwerte einzelner ObservablenObservablen
Korrelationen können Korrelationen können nicht-lokal nicht-lokal sein ( auch in klassischer Statistik ) ; sein ( auch in klassischer Statistik ) ; kausale Prozesse zur Herstellung kausale Prozesse zur Herstellung nicht-lokaler Korrelationen nicht-lokaler Korrelationen erforderlicherforderlich
Korrelierte Untersysteme sind nicht separabel in Korrelierte Untersysteme sind nicht separabel in unabhängige Teilsysteme – unabhängige Teilsysteme – Ganzes mehr als Ganzes mehr als Summe der TeileSumme der Teile
EPR - ParadoxonEPR - Paradoxon
Korrelation zwischen zwei Spins wird Korrelation zwischen zwei Spins wird bei Teilchenzerfall hergestelltbei Teilchenzerfall hergestellt
Kein Widerspruch zu Kausalität oder Kein Widerspruch zu Kausalität oder Realismus wenn Korrelationen als Teil der Realismus wenn Korrelationen als Teil der Realität verstanden werdenRealität verstanden werden
hat mal nicht Recht )hat mal nicht Recht )((
Untersystem und Untersystem und Umgebung:Umgebung:
unvollständige Statistikunvollständige Statistik
typische Quantensysteme sind typische Quantensysteme sind UntersystemeUntersysteme
von klassischen Ensembles mit unendlich vielenvon klassischen Ensembles mit unendlich vielen
Freiheitsgraden ( Umgebung )Freiheitsgraden ( Umgebung )
probabilistischeprobabilistische Observablen für Untersysteme : Observablen für Untersysteme :
Wahrscheinlichkeitsverteilung für Messwerte Wahrscheinlichkeitsverteilung für Messwerte
in Quantenzustandin Quantenzustand
Was ist ein Atom ?Was ist ein Atom ?
Quantenmechanik : isoliertes ObjektQuantenmechanik : isoliertes Objekt
Quantenfeldtheorie : Anregung eines Quantenfeldtheorie : Anregung eines komplizierten Vakuumskomplizierten Vakuums
Klassische Statistik : Untersystem Klassische Statistik : Untersystem eines Ensembles mit unendlich eines Ensembles mit unendlich vielen Freiheitsgradenvielen Freiheitsgraden
Essenz des Quanten - Essenz des Quanten - FormalismusFormalismus
Beschreibung geeigneter Beschreibung geeigneter Untersysteme von klassicchen Untersysteme von klassicchen statistischen Ensemblesstatistischen Ensembles
1) Äquivalenz - Klassen vn probabilistischen 1) Äquivalenz - Klassen vn probabilistischen ObservablenObservablen
2) Unvollständige Statistik2) Unvollständige Statistik 3) Korrelation zwischen Messungen oder 3) Korrelation zwischen Messungen oder
Ereignissen basieren auf bedingten Ereignissen basieren auf bedingten WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
4) Unitäre Zeitentwicklung für isolierte 4) Unitäre Zeitentwicklung für isolierte UntersystemeUntersysteme
ZusammenfassungZusammenfassung
Quantenstatistik entsteht aus klassischer Quantenstatistik entsteht aus klassischer StatistikStatistik
Quantenzustand, Superposition , Interferenz , Quantenzustand, Superposition , Interferenz , Verschränkung , Wahrscheinlichkeits-Verschränkung , Wahrscheinlichkeits-AmplitudeAmplitude
Unitäre Zeitentwicklung in der Unitäre Zeitentwicklung in der Quantenmechanik beschreibbar durch Quantenmechanik beschreibbar durch Zeitentwicklung klassischer Zeitentwicklung klassischer WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten
Bedingte Korrelationen für Messungen sowohl Bedingte Korrelationen für Messungen sowohl in Quantensystem als auch klassischer Statistikin Quantensystem als auch klassischer Statistik
Quantenteilchen undQuantenteilchen undklassische Statistikklassische Statistik
Gemeinsame Konzepte und Gemeinsame Konzepte und gemeinsamer Formalismus für Quanten- gemeinsamer Formalismus für Quanten- und klassische Teilchen : klassische und klassische Teilchen : klassische Wahrscheinlichkeitverteilung , Wahrscheinlichkeitverteilung , WellenfunktionWellenfunktion
Unterschiedliche Zeitentwicklung , Unterschiedliche Zeitentwicklung , unterschiedliche Hamilton- Operatorenunterschiedliche Hamilton- Operatoren
Kontinuierliche Interpolation zwischen Kontinuierliche Interpolation zwischen Quanten- und klassischen Teilchen Quanten- und klassischen Teilchen möglich - Zwittermöglich - Zwitter
EndeEnde
conditional correlationsconditional correlations
conditional probabilityconditional probability
probability to find value +1 for probability to find value +1 for product product
of measurements of A and Bof measurements of A and B
… … can be expressed in can be expressed in terms of expectation valueterms of expectation valueof A in eigenstate of Bof A in eigenstate of B
probability to find A=1 probability to find A=1 after measurement of B=1after measurement of B=1
measurement correlationmeasurement correlation
After measurement A=+1 the system After measurement A=+1 the system must be in eigenstate with this eigenvalue.must be in eigenstate with this eigenvalue.Otherwise repetition of measurement couldOtherwise repetition of measurement couldgive a different result !give a different result !
measurement changes statemeasurement changes statein all statistical systems !in all statistical systems !
quantum and classicalquantum and classical
eliminates possibilities that eliminates possibilities that are not realizedare not realized
physics makes statements physics makes statements about possibleabout possible
sequences of events sequences of events and their probabilitiesand their probabilities
M = 2 :M = 2 :
unique eigenstates for unique eigenstates for M=2M=2
eigenstates with A = 1eigenstates with A = 1
measurement preserves pure states if projectionmeasurement preserves pure states if projection
measurement correlation measurement correlation equals quantum correlationequals quantum correlation
probability to probability to measure measure A=1 and B=1 :A=1 and B=1 :
probability that A and B have probability that A and B have both the value +1 in classical both the value +1 in classical
ensembleensemble
not a property not a property of the subsystemof the subsystem
probability to measure A and B both +1probability to measure A and B both +1
can be computed from the subsystemcan be computed from the subsystem
sequence of three sequence of three measurements measurements
and quantum commutatorand quantum commutator
two measurements commute , not threetwo measurements commute , not three