M I T I ndependent I nvestment M anagement P r ofesionals,

istr azivanja i analiza podataka s financijskog tr zista

Aleja B laza Jur isica 37V, 10 040 Dubr ava, Zagr eb, R. H r vatska

mr .sc. T omislav P etr ov

P r ipr ema za polaganje ispita kor isnog za

obavljanje poslova upr avljanja tr zisnim

r izicima por tfelja vr ijednosnih papir a

(r azina diplomskog − 1. dio − r adna ver zija)

Zagr eb, sr panj 2007.

1 Anomalije hr vatskog tr zista kapitala: zbog cega hr vatsko tr ziste

kapitala nije efikasno?

D u ˇ z n o s t r e g u la t o r a t r ˇ z is t a ka p it a la je r u ko vo d it i s e n a ˇ c e lim a t r a n s p a r e n t n o s t i, iz g r a d n je p o vje r e n ja m e d u

s u d io n ic im a fi n a n c ijs ko g t r ˇ z is t a i iz vje ˇ s ´ c iva n ja p o t r o ˇ s a ˇ c a , t e o s ig u r a t i b r z i e ko n o m ic a n p r is t u p s vim vr s t a m a

in fo r m a c ija ko je m o g u b it i o d in t e r e s a ko r is n ic im a fi n a n c ijs kih u s lu g a , in ve s t it o r im a i o s t a lo j ja vn o s t i. S t r u ˇ c n im

je z iko m , d u ˇ z n o s t r e g u la t o r a je u ˇ c in it i t r ˇ z is t e ka p it a la e fi ka s n im . E fikasno trziste kapitala je t r ˇ z is t e ka p it a la

n a ko je m c ije n e s vih vr ije d n o s n ih p a p ir a b r z o i p o s ve o d r a ˇ z a va ju s ve r a s p o lo ˇ z ive in fo r m a c ije o vr ije d n o s n o m

p a p ir u . N a e fi ka s n o m t r ˇ z is t u iz m e d u u la g a ˇ c a n e p o s t o ji ja z u p r is t u p u in fo r m a c ija m a i n it ko n e m o ˇ z e o s t va r it i

a b n o r m a la n r iz iko m p r ila g o d e n i p r in o s . N a e fi ka s n o m t r ˇ z is t u ka p it a la n ije m o g u ´ c e r a z liko va t i p r o fi t a b iln u o d

n e p r o fi t a b iln e in ve s t ic ije u z p o z n a t e s ve t r e n u t n o r a s p o lo ˇ z ive in fo r m a c ije . ˇS t o je t r ˇ z is t e e fi ka s n ije , t o je m a n ja

vje r o ja t n o s t d a g a vje ˇ s t u p r a vit e lj p o r t fe lje m m o ˇ z e p o b ije d it i i m a n ja je d o d a n a vr ije d n o s t ko ju p r o s je ˇ c a n

a n a lit ic a r vr ije d n o s n ih p a p ir a m o ˇ z e p r o iz ve s t i. R a c io n a la n in ve s t it o r ko r is t i s ve r a s p o lo ˇ z ive in fo r m a c ije d o

ko jih m o ˇ z e d o ´ c i. N e o vis n o o o b liku in fo r m a c ije , in fo r m a c ija je klju ˇ c o d r e d iva n ja c ije n a d io n ic a i s r e d is n je

p it a n je ve z a n o u z p o ja m e fi ka s n o g t r ˇ z is t a ka p it a la . Tr ˇ z is t e ka p it a la je e fi ka s n o a ko :

1 . In fo r m a c ije s u b e s p la t n e i t r e n u t n o d o s t u p n e s vim u la g a ˇ c im a n a t r ˇ z is t e ka p it a la , a o b ja vljiva n je s va ke

d vije in fo r m a c ije je n e z a vis n o .

2 . V e lik b r o j r a c io n a ln ih u la g a ˇ c a ko ji t e ˇ z e m a ks im iz ir a t i d o b it a kt ivn o vr e d n u ju d io n ic e i t r g u ju is t im a , t e

u n jih o vu c ije n u t r e n u t n o u g r a d u ju s va ku n o vu in fo r m a c iju . On i p r ih va ´ c a ju c ije n e d io n ic a je r n it ko o d

n jih n e m o ˇ z e z n a ˇ c a jn o u t je c a t i n a n jih o vu c ije n u .

J e li hrvatsko trziste kapitala efikasno? N ije . In fo r m a c ije s u jo ˇ s u vije k o s ku d n e , ve ´ c in a d o s t u p n ih in fo r m a c ija

n ije p o u z d a n a , p o s t o ji vr e m e n s ki ja z o d t r e n u t ka o b ja ve s ir o vih p o d a t a ka d o o b ja ve iz n jih iz vu ˇ c e n e in fo r m a c ije ,

a r e g u la t o r s e r a d ije b a vi d e fi n ir a n je m a kt ivn o s t i ko je s e s m a t r a ju m a n ip u lir a n je m t r ˇ z is t e m i o b m a n ju ju ´ c ih

s ig n a la u m je s t o p o ve ´ c a va n je m e fi ka s n o s t i t r ˇ z is t a ka p it a la i e d u c ir a n je m n je g o vih s u d io n ika . P r o b le m n e d o vo ljn e

t r a n s p a r e n t n o s t i t r ˇ z is t a ka p it a la i n e d o vo ljn e kva lit e t e in ve s t it o r im a d o s t u p n ih in fo r m a c ija o d s t r a n e r e g u la t o r a

je o z b ilja n . Za t o je d o b r o d a p o s t o je ˇ s ir o ko j ja vn o s t i d o s t u p n i In t e r n e t p o r t a li ko ji b r z o n u d e in fo r m a c ije

o kr e t a n jim a e ko n o m ije , fi n a n c ijs kih t r ˇ z is t a i u n u t a r p o je d in ih p o d u z e ´ c a . Ta kvi p o r t a li s va ka ko p o m a ˇ z u

p o ve ´ c a va n ju e fi ka s n o s t i t r ˇ z is t a ka p it a la . Hipoteza efikasnog trzista je fo r m u la c ija e fi ka s n o s t i t r ˇ z is t a u s m is lu

o d r a ˇ z a va ju li c ije n e vr ije d n o s n ih p a p ir a r a s p o lo ˇ z ive in fo r m a c ije , a ko ju je m o g u ´ c e s t a t is t ic ki t e s t ir a t i.

1 . Tr ˇ z is t e je e fi ka s n o u s la b o m s m is lu a ko p o d a c i o p o vije s n im c ije n a m a i ko lic in a m a n e u t je ˇ c u n a b u d u ´ c e

c ije n e vr ije d n o s n ih p a p ir a . D r u g im r ije ˇ c im a , t r e n u t n e c ije n e o d r a ˇ z a va ju s ve p r ija ˇ s n je in fo r m a c ije s a

2

t r ˇ z is t a ka p it a la . S t a t is t ic ki s e t e s t ir a p r o vje r o m ˇ c in e li p r o m je n e c ije n a s lu ˇ c a jn u ˇ s e t n ju ili t e s t ir a n je m

ka ko p r o m je n e c ije n a ko r e lir a ju .

2 . Tr ˇ z is t e je e fi ka s n o u p o lu ja ko m s m is lu a ko t r e n u t n e c ije n e o d r a ˇ z a va ju s ve t r e n u t n o r a s p o lo ˇ z ive in fo r m a -

c ije . N a t a kvo m t r ˇ z is t u u la g a ˇ c i n e m o g u o ˇ c e kiva t i d a ´ c e s vo jim r e a kc ija m a n a n o ve in fo r m a c ije o s t va r it i

iz n a d p r o s je ˇ c a n r iz iko m p r ila g o d e n i p r in o s .

3 . Tr ˇ z is t e je e fi ka s n o u ja ko m s m is lu a ko u la g a ˇ c i t ije ko m r a z u m n o g vr e m e n s ko g p e r io d a n e m o g u o s t va -

r it i a b n o r m a ln o vis o ku s t o p u p r in o s a s u p e r io r n o ko r is t e ´ c i in fo r m a c ije . D r u g im r ije ˇ c im a , ko r is t e n je m

p o vla ˇ s t e n ih in fo r m a c ija s e n e m o ˇ z e z a r a d it i. N e p o t r e b n o je r e ´ c i d a je t r ˇ z is t e e fi ka s n o u ja ko m s m is lu

u t o p ija .

Anomalija je iz u z e t a k o d n e ko g p r ih va ´ c e n o g p r a vila . U n a ˇ s e m s lu ˇ c a ju , a n o m a lije t r ˇ z is t a ka p it a la p r e d s t a vlja ju

r a z lo g e o d s t u p a n ja o d e fi ka s n o g t r ˇ z is t a .

1.1 P r ekomjer ne r eakcije

H ip o t e z a p r e ko m je r n ih r e a kc ija t vr d i d a sudionici trzista kapitala pretjerano reagiraju na neocekivane

i dramaticne nove dogadaje. P r e m a t o j h ip o t e z i ´ c e n o vi p o r t fe lj s a s t a vlje n o d d io n ic a n a jve ´ c ih g u b it n ika

p o b ije d it i t r ˇ z is t e . D r u g im r ije ˇ c im a , p o z n a va n je p r in o s a u p r o ˇ s lo s t i z n a ˇ c a jn o p o m a ˇ z e p r e d vid je t i b u d u ´ c i p r in o s .

Ova h ip o t e z a vr ije d i n a s vim t r ˇ z is t im a u n a s t a ja n ju n a ko jim a s u ve ´ c in a s u d io n ika ˇ s p e ku la n t i, a n e ˇ s ko lo va n i

in s t it u c io n a ln i u la g a ˇ c i. Ca k je i u S A D -u d o ka z a n o [4 3 ], [6 3 ] d a s t r a t e g ija ” s a s t a vi p o r t fe lj o d 3 5 n a jve ´ c ih

g u b it n ika ” u n a r e d n e t r i g o d in e p o b je d u je t r ˇ z is t e z a p r e ko 2 0 p o s t o . Zb o g m o g u ´ c e p r e ko m je r n e r e a kc ije s vo jih

u d je lic a r a u p r a vit e lji fo n d o va u H r va t s ko j n e s m iju d o p u s t it i d a n a t r ˇ z is t u d o d e d o ja ˇ c e ko r e kc ije . R a c io n a ln o m

u la g a ˇ c u p r e c ije n je n o t r ˇ z is t e ka p it a la ili t r ˇ z is t e ka p it a la ko je je p r e b r z o r a s lo n e b i s m je lo b it i a t r a kt ivn o z a

u la g a n je . N a ˇ z a lo s t , ve ´ c in a u la g a ˇ c a n a h r va t s ko m t r ˇ z is t u ka p it a la u la ˇ z e u d io n ic e je r n jih o ve c ije n e r a s t u , a

r a s t u je r s va ko d n e vn o p r is t iz u n o vi u lo z i.

1.2 Dioba poduzeca

P r a vilo je d a dioba poduzeca ne bi smjela imati utjecaj na agregiranu vrijednost novih dionica je r s e

n jo m e n e d o d a je n o va vr ije d n o s t . N a ko n ˇ s t o je 3 0 .0 9 .2 0 0 6 . g o d in e A t la s t u r is t ic ka a g e n c ija d .d . ( A TL S -R -A )

r a z d vo je n a n a A t la s t u r is t ic ku a g e n c iju d .d . ( A TL S -R -A ) i A t la s n e kr e t n in e d .d . ( A TL N -R -A ) , z a d n ja c ije n a

s t a r e d io n ic e A TL S -R -A je 0 3 .1 0 .2 0 0 6 . g o d in e iz n o s ila 1 3 5 ,0 0 ku n a . N e ko liko d a n a n a ko n p o ˇ c e t ka t r g o va n ja

d io n ic o m A TL N -R -A , 0 2 .0 3 .2 0 0 7 . g o d in e , t r ˇ z is t e je fo r m ir a lo c ije n u n o ve d io n ic e A TL S -R -A u iz n o s u o d

7 9 ,9 8 ku n a i c ije n u n o ve d io n ic e A TL N -R -A u iz n o s u o d 2 2 0 ,5 0 ku n a . D a kle , ig n o r ir a ju ´ c i r a s t t r ˇ z is t a ko ji

3

s e u m e d u vr e m e n u d o g o d io , a g r e g ir a n e r a z d vo je n e d io n ic e s u z a je d n o vr ije d ile 1 2 2 ,5 8 p o s t o vis e n e g o s t a r a

d io n ic a .

1.3 Reakcija tr zista na ekonomske novosti

Mn o g e z n a n s t ve n e s t u d ije [1 2 2 ] s u p o t vr d ile d a razvijena trzista kapitala u toku jednog sata reagiraju na

ekonomske novosti p o p u t p r o m je n e p o n u d e n o vc a , p r o m je n e o ˇ c e kiva n e s t o p e in fl a c ije , p r o m je n e o ˇ c e kiva n ih

ka m a t n ih s t o p a s r e d is n je b a n ke , p r o m je n e p r a vila o d s t r a n e r e g u la t o r a t r ˇ z is t a ili o b ja vu kva r t a ln ih fi n a n -

c ijs kih iz vje ˇ s ´ c a d io n ic kih d r u ˇ s t a va . Is t r a ˇ z iva ˇ c e s u z a n im a li o d g o vo r i n a p it a n ja je s u li r e z u lt a t i u fi n a n c ijs kim

iz vje ˇ s ´ c im a iz n e n a d e n je i ko liko s e b r z o iz n e n a d u ju ´ c i r e z u lt a t i o d r a ˇ z a va ju p u t e m p r o m je n e c ije n e d io n ic e ? Od -

lu ka o o p o r e z iva n ju kr e d it n ih p la s m a n a b a n a ka ( a ko n jih o va s t o p a r a s t a b u d e ve ´ c a o d 1 2 p o s t o ) kr o z o b ve z n i

u p is b la g a jn ic kih z a p is a H N B -a je d o n e s e n a kr a je m 2 0 0 6 . g o d in e . Od 3 1 .1 2 .2 0 0 6 . d o 1 5 .0 6 .2 0 0 7 . g o d in e

c ije n a d io n ic e V A B A d .d . b a n ka V a r a ˇ z d in p o r a s la je z a 1 2 6 , 0 3 p o s t o , H r va t s ka p o ˇ s t a n s ka b a n ka d .d . z a

1 1 8 , 9 2 p o s t o , P r ivr e d n a b a n ka Za g r e b d .d . z a 7 6 , 4 7 p o s t o , E r s t e & S t e ie r m a r kis h e b a n k d .d . z a 7 2 , 7 3 p o s t o

i Za g r e b a ˇ c ka b a n ka d .d . z a 6 8 , 2 0 p o s t o .

1.4 I nicijalna javna ponuda (I P O)

Mn o g e z n a n s t ve n e s t u d ije [1 1 8 ] s u p o t vr d ile d a ulagaci sa strategijom kupnje svake dionice koja na trziste

kapitala izlazi putem inicijalne javne ponude mogu ostvariti abnormalno visok prinos u odnosu na ocekivani

prinos trzista. U la g a ˇ c i ko ji s u ku p ili d io n ic e IN A - In d u s t r ija n a ft e d .d . p u t e m in ic ija ln e ja vn e p o n u d e s u d o

1 5 .0 5 .2 0 0 7 . g o d in e o s t va r ili p r in o s o d 1 0 2 , 3 7 p o s t o .

1.5 T r govanje zaposlenika poduzeca dionicama istog

S va ki z a p o s le n ik n e ko g ja vn o g d io n ic ko g d r u ˇ s t va z a ko je g s e m o ˇ z e o ˇ c e kiva t i d a r a s p o la ˇ z e d r a g o c je n im

p o vla ˇ s t e n im in fo r m a c ija m a o t o m d r u ˇ s t vu , a ko ji je u je d n o i d io n ic a r t o g d r u ˇ s t va , d u ˇ z a n je ja vn o o b ja vljiva t i

s vo je t r a n s a kc ije ( ku p n ju ili p r o d a ju ) t o m d io n ic o m . R e g u la t o r je t u d u ˇ z n o s t n a m e t n u o ka ko b i s e b a r e m

d je lo m ic n o o n e m o g u ´ c ilo vla s n ic im a p o vla ˇ s t e n ih in fo r m a c ija d a o s t va r e d o b it p r ije n e g o p o vla ˇ s t e n a in fo r m a c ija

p o s t a n e ja vn o d o s t u p n a . Mn o g o b r o jn e z n a n s t ve n e s t u d ije p r o ve d e n e u S A D -u [1 3 9 ] s u p o t vr d ile ko liko s u

t a kve t r a n s a kc ije in fo r m a t ivn e : dionice poduzeca ciji zaposlenici ih kupuju dugorocno ostvaruju abnormalno

visok prinos nasuprot dionica poduzeca ciji zaposlenici ih prodaju. V r ije d i li is t a t e o r ija n a h r va t s ko m t r ˇ z is t u

ka p it a la ?

4

P r imjer 1. VI RO-R-A Tijekom dva dana od trenutka objavljivanja (13.06.2007. godine) na Internet strani-

cama Zagrebacke burze da su clanovi nadzornog odbora secerane VIR O iz Virovitice M arinko Zadro i D razen

R obic otpustili svaki po 7 . 5 0 0 dionica (svaki po 0 , 5 4 0 9 posto temeljnog kapitala drustva), dionici VIR O-R -A je

cijena narasla za 2 , 6 9 posto. P rije toga (31.05.2007. godine) je VIR O Tvornica secera d.d. otpustila 1 0 .0 0 0

vlastitih dionica, a M arinko Zadro i D razen R obic su (24.05.2007. godine) otpustili svaki po 2 3 .0 0 0 dionice

(svaki po 1 , 6 5 8 6 posto temeljnog kapitala drustva). Istovremeno se spekulira o skorom udruzivanju hrvatskih

secerana. Naravno, mozda je u ovom primjeru rijec o slucajno izabranoj iznimci od pravila koja vrijede na

gotovo efikasnim trzistima kapitala. Ili se ipak trebamo sloziti sa kolegom M iodragom Sajatovicem koji je u

svojim E konomalijama jos 19.04.2007. godine napisao: ”J os malo pa ce i vijest da je Uprava Vira ugovorila

prodaju 1 5 0 kilograma secera novootvorenom ducancicu u cetvrti biti povod za navalu kupaca dionica.” Autor

ovog primjera nije vlasnik dionica VIR O-R -A. Cilj primjera je prezentacija anomalije domaceg trzista kapitala,

primjer je dan u cilju obrazovanja i u dobroj vjeri, te ne predstavlja nagovor na kupnju ili prodaju u primjeru

spominjane dionice.

2 B lack-Litter man model za alokaciju por tfelja

Sazetak

Markowitzeva teorija optimizacije portfelja je danas sastavni dio svakog udzbenika iz upravljanja

portfeljem. Unatoc tome, prakticari ignoriraju njeno koristenje pri konstruiranju portfelja jer se teorija

pokazala nedovoljno realisticnom. Cilj ovoga rada je prezentirati Black-Litterman model koji je omogucio

portfolio managerima da u modele matematicke optimizacije ugrade po volji mnogo vlastitih prosudbi

o ocekivanim prinosima na imovinu. Ugradivanje vlastitih prosudbi omogucava portfolio managerima

takticko odstupanje od odabrane strateske alokacije portfelja, poput Markowitzevog trzisnog portfelja ili

nekog indeksa trzista kapitala. Novi je model nakon cetrdeset godina uskrsnuo Markowitzevu teoriju jer

se pokazao vrlo korisnim za prakticare. Trzisni portfelj izveden Black–Litterman modelom prebroduje

poznate probleme vezane uz trzisni portfelj izveden Markowitz-Roy modelom: optimalni portfelj je di-

verzificiraniji i znatno manje osjetljiv na promjenu informacija sa trzista kapitala.

J E L odrednica po E conL it-u: C6 1 ( Op t im iz a t io n Te c h n iqu e s )

G1 1 ( P o r t fo lio Ch o ic e )

K ljucne rijeci: E fi ka s n a g r a n ic a , o p t im a ln a a lo ka c ija p o r t fe lja .

5

2.1 Uvod

K o d u p r a vlja n ja in ve s t ic ijs kim fo n d o m , klju ˇ c n o je pouzdano prognozati prinos na imovinu. Za p r o g n o -

z u p r in o s a n a im o vin u , B la c k– L it t e r m a n m o d e l1 ko m b in ir a n a ˇ c in r a z m is lja n ja u g r a d e n u iz vo d e n je t r ˇ z is n o g

p o r t fe lja Ma r ko wit z -R o y m o d e la 2 s a s u b je kt ivn im m is lje n jim a ( e n g . vie ws ) p o r t fo lio m a n a g e r a . Fo r m a liz a m

B la c k– L it t e r m a n m o d e la d o z vo lja va p o r t fo lio m a n a g e r u d a u m o d e l u g r a d i s vo ja apsolutna misljenja ( o r a z in i

p r in o s a n a im o vin u ) i s vo ja relativna misljenja ( o o ˇ c e kiva n jim a ko ja ´ c e im o vin a d o n ije t i vis i p r in o s ) z a o d a b r a n i

p o r t fe lj im o vin e n e ko m z a t o m je r o d a vn o m m e t o d o m 3. Za s va ko m is lje n je , p o r t fo lio m a n a g e r iz r a ˇ z a va s vo ju

p r o s u d b u o in t e r va lu p o u z d a n o s t i p r o c je n je n e r a z in e p r in o s a . B la c k– L it t e r m a n m o d e l ko n z is t e n t n o r a s p r ˇ s u je

s u b je kt ivn e in fo r m a c ije p o r t fo lio m a n a g e r a d u ˇ z s vih im o vin a u p o r t fe lju . R e vid ir a n i p r in o s i B la c k– L it t e r m a n

m o d e lo m s e z a t im ko r is t e ka o ko n z is t e n t n i in p u t i n e ke s t a n d a r d n e p r o c e d u r e z a t r a ˇ z e n je o p t im a ln o g p o r t fe lja

u p r o s t o r u o ˇ c e kiva n o g p r in o s a i va r ija n c e p o r t fe lja , u z d o p u ˇ s t a n je u g r a d iva n ja d o d a t n ih o g r a n ic e n ja , p o vo lji

p o r t fo lio m a n a g e r a .

Trzisni portfelj izveden B lack–L itterman modelom prebroduje poznate probleme vezane uz trzisni port-

felj izveden M arkowitz-R oy modelom, p o p u t e ks t r e m n ih t e ˇ z in a d o d ije lje n ih p o je d in im im o vin a m a u p o r t fe lju

( n e d o vo ljn a d ive r z ifi c ir a n o s t p o r t fe lja ) 4, n e r e a lis t ic n e o s je t ljivo s t i u d je la im o vin a u t r ˇ z is n o m p o r t fe lju n a p r o -

m je n u u la z n ih in p u t a 5, n e p o s t o ja n je p r o c e d u r e z a ko n z is t e n t n o a g r e g ir a n je m a lih o p t im a ln ih p o r t fe lja ( o d

o ko 1 0 0 d io n ic a , ko liko d a n a ˇ s n je p r o c e d u r e m a t e m a t ic ke o p t im iz a c ije m o g u iz ve s t i) u r e a lis t ic a n p o r t fe lj6, t e

1Black–Litterman model se prvi puta pojavio u znanstvenoj literaturi iz podrucja financije – upravljanje portfeljem u radovima

[25] i [26].2Povijest teorije portfelja zapocinje 1952. godine kada su Markowitz [156] i Roy [182] neovisno jedan od drugoga objavili

modele koji su upotrebljivi kao numericka podrska optimizaciji portfelja.3Za pracenje trzista kapitala i odabir grupe pozeljnih dionica, radovi [175] i [178], te knjiga [104] sugeriraju analizu omedivanja

podataka. Radovi [11], [103], [160], [165] i [204] sugeriraju da se metodologija treba koristiti za prepoznavanje investicijskih

fondova koji formiraju granicu poslovne izvrsnosti, te za objasnjavanje razloga losijeg poslovnog ucinka ostalih investicijskih

fondova. Metodologiji predvidamo sve vecu popularnost medu prakticarima jer se zbog svoje racunalne jednostavnosti moze

koristiti za svakodnevnu usporedbu 8 000 otvorenih investicijskih fondova. Detaljna prezentacija metodologije se na hrvatskom

jeziku moze pronaci u radu [176]. Ako je problem globalne alokacije imovine problem odabir portfelja lokalnih investicijskih

fondova, kao alternativu za odabir pozeljnih fondova se moze koristiti UTADIS metoda [173], a za slaganje portfelja odabranih

fondova ciljno programiranje.4Rad [101] je prvi koji je objasnio da Markowitz-Roy model kao rezultat pruza dobro diverzificiran portfelj jedino ukoliko

prinosi dionica u portfelju slabo koreliraju. Na zalost, u praksi likvidne dionice na razvijenim trzistima kapitala imaju koeficijent

korelacije blizu jedan. Napomenimo da je autorovo iskustvo da se ovaj problem ne moze na kvalitetan nacin otkloniti ugradivanjem

ogranicenja poluneprekinutih varijabli [20] u Markowitz-Roy model i koristenjem heuristika [41] za njegovo rjesavanje. Portfolio

managerima koji ugradivanjem mnogobrojnih dodatnih ogranicenja u Markowitz-Roy model izvode za njih ”prihvatljive rezultate”

[17] sugeriramo da ne gube vrijeme na optimalizaciju [119] nego da ”iz rukava” izvuku portfelj koji smatraju prihvatljivim.5Analiza osjetljivosti je napravljena u radovima [21], [44], [54], [164], a vizualno je objasnjena u radu [174]6Diverzifikacija je kljuc uspjesnog upravljanja rizikom portfelja. Ona omogucuje portfolio managerima da znacajno smanje

6

n e ko r is t e n je in t e r va la p o u z d a n o s t i p r o c je n je n ih o ˇ c e kiva n ih p r in o s a ka o in p u t a z a iz vo d e n je t r ˇ z is n o g p o r t fe lja 7.

Ia ko B la c k– L it t e r m a n m o d e l p r e b r o d u je n a ve d e n e p r o b le m e , n e ki p r o b le m i p o p u t p r e t p o s t a vke d a in ve s t it o r

n a m je r a va ku p it i i d r ˇ z a t i p o r t fe lj d io n ic a u s a m o je d n o m vr e m e n s ko m p e r io d u s u n a s lje d e n i. N a im e , p r e t p o -

s t a vka je u ko n t r a d ikc iji s a dinamickom prirodom upravljanja portfeljem8, a u t je c a j m n o g ih va r ija b li, ka o ˇ s t o

s u n p r . transakcijski troskovi9 je z a n e m a r e n . Ta ko d e r s e m o ˇ z e r a s p r a vlja t i i o t o m e je li varijanca portfelja

zaista mjera rizika10. U va ˇ z a va ju ´ c i kr it iku , m n o g i d a n a ˇ s n ji m o d e li z a a lo ka c iju p o r t fe lja p o ku ˇ s a va ju r a z liko va t i

p o t e n c ija l iz n a d p r o s je ˇ c n e z a r a d e o d rizika velikog gubitka iz o s t a vlja ju ´ c i p r e t p o s t a vku s im e t r ic n o s t i d is t r ib u -

c ije p r in o s a 11. P o s lje d n ja kr it ika ko ju n e s m ije m o iz o s t a vit i je d a B lack–L itterman model prilikom izvodenja

trzisnog portfelja ne vodi racuna o momentima viseg reda12. U n a t o ˇ c s vim kr it ika m a , B la c k– L it t e r m a n m o d e l

ip a k p r u ˇ z a ka ko – t a ko z a d o vo lja va ju ´ c i in ic ija ln i p o r t fe lj ( p r ije o z b iljn ije g p r o c je n jiva n ja b o n it e t a s va ko g p o -

je d in o g p o d u z e ´ c a ko je u va ˇ z a va r iz ik n e likvid n o s t i i n e s o lve n t n o s t i p o d u z e ´ c a , r iz ik in d u s t r ije ko jo j p o d u z e ´ c e

p r ip a d a , p o lit ic ki r iz ik z e m lje u ko jo j p o d u z e ´ c e p o s lu je i r iz ik p r o m je n e t e ˇ c a ja ku n e p r e m a va lu t i u ko jo j je

iz r a ˇ z e n a vr ije d n o s t d io n ic e s a d r ˇ z a n e u p o r t fe lju ) n a g lo b a ln o m t r ˇ z is t u ka p it a la . ˇS t o vis e , slaganje portfelja na

globalnom trzistu kapitala bez koristenja optimizacijskih modela je danas nezanislivo.

P redmet ovog istrazivanja je B la c k– L it t e r m a n m o d e l ka o o r u d e p o r t fo lio m a n a g e r a z a g lo b a ln u a lo ka c iju

rizicnost portfelja bez da ucine stetu znacajnim smanjivanjem ocekivanog prinosa. Naravno, vec je preko 40 godina poznato da

postoji komponenta ukupnog rizika nazvana sistemski rizik [188] koja se ne moze otkloniti diverzifikacijom. Ranije su studije,

poput studije [194] zasnovane na simulacijama, sugerirale da je portfelj u kojem je sadrzano samo 20 dionica dovoljno dobro

diverzificiran. Na zalost, stvarnost se ne moze opisati generatorom slucajnih brojeva, kako to neki matematicari pokusavaju.

Nedavne studije sugeriraju da je na globalnom trzistu kapitala dobro diverzificiran portfelj onaj koji sadrzi [131], [154], [174]

oko 1 000 dionica, iako se institucionalni investitori zadovoljavaju diverzifikacijom od 300 dionica. Primjer znacajnog smanjenja

vrijednosti naizgled dobro odabranih portfelja su financijske krize [132], [186] poput krize od 2000. do 2002. godine.7Kako intervale pouzdanosti ugraditi u ocekivani prinos – vrijednost rizika optimizaciju prvi puta je sugerirano u radu [26], a

detaljno je objasnjeno u radu [119]. Ovaj pristup zagovaramo u ovom radu kao najprikladniji za hrvatske investitore.8Kako se dinamicko i neprekinuto programiranje moze koristiti u optimizaciji portfelja je sugerirano u radovima [10], [113],

[142], [144] i [151]. Istaknimo da je autorovo misljenje da ce ovaj pristup, zbog svoje racunalne slozenosti, biti upotrebljiv tek za

nekoliko desetljeca.9Kako se u modele optimizacije ugraduje pretpostavka postojanja transakcijskih troskova je sugerirano u radovima [10], [53],

[106] i [141].10Prva ozbiljna kritika varijance kao mjere rizika je napravljena u radu [129].11Pristup koji je prakricarima trenutno najatraktivniji je koristenje srednje apsolutne devijacije kao mjere rizika [40], [88], [134],

[192]. Kako pristup kao analiticko orude koristi linearno programiranje, modelima je moguce svakodnevno sloziti portfelj velicine

nekoliko tisuca dionica. Kao koristan benchmark pokazali su se i modeli izgradeni na minimax i maximin pravilu odlucivanja [34],

[65], [98] i [208]. Posljednja mjera rizika koju moramo izdvojiti je LPM mjera uvedena u radu [16] i jos uvijek veoma aktualna

[100]. LPM mjeri rizik da ce prinos ostvaren u sljedecem razdoblju biti nizi od zeljenog. Zbog toga je autor ovoga rada izdvaja kao

privlacnu za uvrstavanje u neki prisup visekriterijske optimizacije [1], [73], stohastickog programiranja [97], [206] ili neuronskih

mreza [89], [170].12Za alternativne pristupe koji koriste momente viseg reda treba vidjeti radove [48], [58], [103], [110], [126] i [133].

7

p o r t fe lja . P r e d m e t z a s lu ˇ z u je is t r a ˇ z iva n je je r , p r e m a in fo r m a c ija m a ko jim a r a s p o la ˇ z e m o , n it i je d n o d r u ˇ s t vo z a

u p r a vlja n je vr ije d n o s n im p a p ir im a i n it i je d a n o d je l z a in ve s t ic ijs ko b a n ka r s t vo u R e p u b lic i H r va t s ko j n e ko r is t e

s lic n u t e h n o lo g iju . R ad je namijenjen prakticarima: p r ije s ve g a u p r a vit e ljim a p o r t fe lja n a g lo b a ln o m t r ˇ z is t u

ka p it a la , fi n a n c ijs kim in ˇ z e n je r im a ko ji t r e b a ju im p le m e n t ir a t i B la c k– L it t e r m a n m o d e l, fi n a n c ijs kim s a vje t n i-

c im a , r e g u la t o r im a fi n a n c ijs kih t r ˇ z is t a i s vim z a p o s le n ic im a r iz n ic e , o d je la z a u p r a vlja n je r iz ic im a i o d je la

z a in ve s t ic ijs ko b a n ka r s t vo . K a ko je r a d n a m ije n je n p r a kt ic a r im a , a u t o r je s vje s n o o d b a c io m a t e m a t ic ku

p r e c iz n o s t u iz la g a n ju t e o r ije iz ko je je B la c k– L it t e r m a n m o d e l iz ve d e n . N a g la s a k r a d a je n a p r a kt ic n o j

p r o c e d u r i i u p u ´ c iva n ju m a t e m a t ic ki z a h t je vn ijih ˇ c it a t e lja n a z a n jih p o g o d n u z n a n s t ve n u lit e r a t u r u . Cilj

rada je n a ˇ s t o je d n o s t a vn iji n a ˇ c in o b ja s n it i t e o r ijs ku p o z a d in u B la c k– L it t e r m a n m o d e la , a n je g o vu p r a kt ic n u

im p le m e n t a c iju o s t a vlja m o z a s lje d e ´ c a is t r a ˇ z iva n ja .

R a d je s t r u kt u r ir a n ka ko s lije d i. U d r u g o m o d je ljku s e u vo d i n o t a c ija ko ja ´ c e s e u n a s t a vku r a d a ko r is t it i.

U t r e ´ c e m o d je ljku s u o b ja ˇ s n je n i p o jm o vi o ˇ c e kiva n a vr ije d n o s t i va r ija n c a je d n o s t a vn o g p r in o s a p o r t fe lja . U

ˇ c e t vr t o m o d je ljku je iz lo ˇ z e n Ma r ko wit z -R o y m o d e l, a u p e t o m o d je ljku B la c k– L it t e r m a n m o d e l z a a lo ka c iju

p o r t fe lja . U ˇ s e s t o m o d je ljku r a s p r a vlja m o o o d a b ir u in p u t a z a B la c k– L it t e r m a n m o d e l. U s e d m o m o d je ljku

p r o ve li s m o z a klju ˇ c n a r a z m a t r a n ja .

2.2 N otacija

S a Mmn o z n a ˇ c im o ve kt o r s ki p r o s t o r s vih m a t r ic a s a m r e d a ka i n s t u p a c a , t e s a Mn o z n a ˇ c im o lin e a r n u

a lg e b r u s vih m a t r ic a s a n r e d a ka i n s t u p a c a . V e kt o r s ki p r o s t o r Mn1 p o is t o vje ´ c u je m o s a ve kt o r s kim p r o s t o r o m

Rn.

N e p r e kid n u s lu ˇ c a jn u va r ija b lu X ko ja im a normalnu distribuciju s o ˇ c e kiva n je m µ i va r ija n c o m σ2 ´ c e m o

o z n a ˇ c a va t i s a X ∼ N ( µ, σ2 ) . N e p r e kid a n s lu ˇ c a ja n ve kt o r X ko ji im a n-dimenzionalnu normalnu distribuciju

s o ˇ c e kiva n je m µ i va r ija n c o m Σ ´ c e m o o z n a ˇ c a va t i s a X ∼ Nn ( µ, Σ) .

Ocekivanje slucajne matrice z ∈ Mmn je m a t r ic a o ˇ c e kiva n ih vr ije d n o s t i s va ke n je z in e ko m p o n e n t e i

o z n a ˇ c a va m o ju s a E ( z ) ∈Mmn. K ovarijacionu matricu slucajnog vektora z ∈ Rn o z n a ˇ c a va m o s a Cov ( z ) ∈Mn

ili V ( z ) ∈Mn, a d e fi n ir a m o ju s a

V ( z ) = E ( zz⊤ ) −E ( z ) [E ( z ) ]⊤ . ( 1 )

N a p o m e n im o d a z a s va ki s lu ˇ c a ja n ve kt o r z ∈ Rn, i n e – s lu ˇ c a jn e m a t r ic e H ∈ Mmn i L ∈Mm1 vr ije d i

E ( Hz + L) = HE ( z ) + L i V ( Hz + L) = HV ( z ) H⊤ . ( 2 )

8

2.3 Var ijanca jednostavnog pr inosa por tfelja

Ostvareni prinosi s u ex post p r in o s i, d a kle , p r in o s i ko ji s u ili o s t va r e n i ili ko ji s u m o g li b it i o s t va r e n i.

In ve s t it o r i ih t r e b a ju r a d i in fo r m a c ije o u ˇ c in ku n jih o vo g p o r t fe lja , t e ka o p o m o ´ c p r i iz vo d e n ju o ˇ c e kiva n ja

o b u d u ´ c im p r in o s im a . Ocekivani prinosi s u p r o c ije n je n i p r in o s i n a im o vin u ko je in ve s t it o r i o ˇ c e ku ju d a ´ c e

z a r a d it i t ije ko m n e ko g p e r io d a u b u d u ´ c n o s t i. U z n jih je ve z a n a nesigurnost ko ja s e m o ˇ z e ili s e n e m o r a p o ja vi-

t i. Ia ko n e p o s t o ji g a r a n c ija d a ´ c e b u d u ´ c n o s t b it i z r c a ln a s lika p r o ˇ s lo s t i, p o z n a va n je i r a z u m ije va n je p o vije s n ih

ve z a iz m e d u p r in o s a i r iz ika je z a in ve s t it o r e p r vi i n u ˇ z a n ko r a k u p r o c e s u d o n o ˇ s e n ja o d lu ka o in ve s t ir a n ju u

b u d u ´ c n o s t i. Os im t o g a , vr lo ˇ c e s t o n e p o s t o ji r a c io n a la n r a z lo g z a p r e t p o s t a vku d a ´ c e s e r e la t ivn a ve z a iz m e d u

p r in o s a i r iz ika z n a ˇ c a jn o r a z liko va t i u b u d u ´ c n o s t i. S a d a o b ja s n im o ka ko s e o ˇ c e kiva n i p r in o s i p r o c je n ju ju iz

p o vije s n ih p o d a t a ka o o s t va r e n im p r in o s im a .

N e ka je Pi,t c ije n a i−t e d io n ic e u vr e m e n s ko m p e r io d u t. J ednostavan (linearan) prinos i−t e dionice

iz m e d u vr e m e n s kih p e r io d a t− 1 i t d e fi n ir a m o s a

ri,t =Pi,t

Pi,t−1− 1 . ( 3 )

N a p o m e n im o d a u o vo j d e fi n ic iji ig n o r ir a m o m o g u ´ c u is p la t u d ivid e n d e .

S a ni o z n a ˇ c im o b r o j d io n ic a i− t e d io n ic e ko ji in ve s t ic ijs ki fo n d p o s je d u je u s vo m p o r t fe lju ko ji s e s a s t o ji

o d k d io n ic a . Vrijednost portfelja ko je g in ve s t ic ijs ki fo n d p o s je d u je u vr e m e n s ko m p e r io d u t t a d a iz n o s i

k∑

i=1

niPi,t . ( 4 )

J ednostavan prinos portfelja s e d e fi n ir a s a

rt =

k∑

i=1

niPi,t

k∑

j=1

njPj,t−1

− 1 . ( 5 )

R a s p is iva n je m s e la g a n o p o ka ˇ z e 13 d a vr ije d i

rt =k∑

i=1

wi,tri,t , ( 6 )

g d je s u

wi,t =niPi,t−1

k∑

j=1

njPj,t−1

≥ 0 ( 7 )

13Algebarsku vjezbu prepustamo citatelju.

9

tezine dionica ( z b r o j t e ˇ z in a s vih k d io n ic a iz n o s i 1 ) ko je p r e d s t a vlja ju p o s t o t a k vr ije d n o s t i p o r t fe lja ko ji

in ve s t ic ijs ki fo n d d r ˇ z i u i-t o j d io n ic i u vr e m e n s ko m p e r io d u t− 1 . Je d n a d ˇ z b a ( 6 ) g o vo r i d a je je d n o s t a va n p r in o sp o r t fe lja ko n ve ks n a ko m b in a c ija p r in o s a s va ke d io n ic e . Ova j r e z u lt a t je ve o m a ko r is t a n je r n a m p o z n a va n je

t e ˇ z in a d io n ic a wi,t u vr e m e n s ko m p e r io d u t− 1 o m o g u ´ c u je iz r a ˇ c u n a va n je 14 ocekivane vrijednosti jednostavnog

prinosa portfelja

E ( rt ) =k∑

i=1

wi,tE ( ri,t ) , ( 8 )

i varijance jednostavnog prinosa portfelja

V ( rt ) =k∑

i=1

k∑

j=1

wi,tCov ( ri,t; rj,t ) wj,t . ( 9 )

Iz iz r a z a ( 9 ) vid im o d a je va r ija n c a p o r t fe lja m a n ja ˇ s t o s u m a n ji ko e fi c ije n t i ko r e la c ije iz m e d u p r in o s a vr ije d -

n o s n ic a s a d r ˇ z a n ih u p o r t fe lju . K a d a je b r o j vr ije d n o s n ic a u p o r t fe lju d o vo ljn o ve lik, va r ija n c a je d n o s t a vn o g

p r in o s a p o r t fe lja je r e la t ivn o s t a b iln a t ije ko m vr e m e n a . S t o g a s e p o vije s n i p r in o s i m o g u is ko r is t it i z a p r o c -

je n u p r in o s a u b u d u ´ c n o s t i s vr lo vis o ko m p o u z d a n o s t i. To s lije d i iz zakona velikih brojeva p r e m a ko je m je

o ˇ c e kiva n je u z o r ka b liz e o ˇ c e kiva n ju p o p u la c ije ˇ s t o je u z o r a k ve ´ c i. S m a n jiva n je r iz ika d ive r z ifi ka c ijo m s e ˇ c e s t o

n a z iva princip osiguranja, n a z va n p r e m a id e ji o s ig u r a va ju ´ c e g d r u ˇ s t va d a s m a n ju je r iz ik iz d a ju ´ c i ˇ s t o vis e p o lic a

n e z a vis n im iz vo r im a r iz ika . D iverzifikacija je klju ˇ c u p r a vlja n ja r iz iko m p o r t fe lja je r o m o g u ´ c u je in ve s t it o r u

z n a ˇ c a jn o s m a n je n je r iz ika b e z z n a ˇ c a jn o g u t je c a ja n a s m a n je n je p r in o s a .

In ve s t it o r i ku p u ju vr ije d n o s n ic e p o p o z n a t im ku p o vn im c ije n a m a o ˇ c e ku ju ´ c i n e ki p r in o s o d n jih o vo g

d r ˇ z a n ja u b u d u ´ c n o s t i, p r in o s ko ji n e m o g u z n a t i s a s ig u r n o ˇ s ´ c u . Od lu ka m a o in ve s t ir a n ju p r e t h o d i a n a liz a

ko ja s a d r ˇ z a va p r o c je n jiva n je t r a d e -o ffa iz m e d u o ˇ c e kiva n o g p r in o s a i r iz ika , t j. razina ravnodusnosti iz ve d e n ih

iz subjektivnih preferencija investitora ko je u t vr d u ju ko liko je je d in ic a r iz ika in ve s t it o r s p r e m a n p r e u z e t i n a

s e b e n e b i li o s t va r io ku n u vis e . In ve s t it o r i u vije k m o r a ju b it i s vje s n i r iz ika ko je g s u p r e t p o s t a vili i u vije k

m o r a ju b it i s p r e m n i s n o s it i p o s lje d ic e d o n e s e n ih o d lu ka . Zb o g t o g a im je o d p o s e b n e va ˇ z n o s t i in fo r m a c ija

ko liko s t va r n i p r in o s p o r t fe lja m o ˇ z e b it i m a n ji o d o ˇ c e kiva n o g p r in o s a , ili jo ˇ s p r e c iz n ije , koja je vjerojatnost da

ce se ostvariti prinos portfelja nizi od unaprijed zacrtanog. Ta vje r o ja t n o s t s e n a z iva rizik portfelja. P r o c ije n it i

r iz ik p o r t fe lja je t e ˇ s ko je r je o n m n o g o vis e o d z b r o ja p r o c je n a r iz ika ve z a n ih u z d io n ic e s a d r ˇ z a n e u p o r t fe lju , a

s a m o n a n jih u t je ˇ c u r a z lic it i fa kt o r i ve z a n i u z g lo b a ln o t r ˇ z is t e ka p it a la i u z t r ˇ z is n i ka m a t n ja k, p o lit ic ki p r o c e s i

u z e m lja m a u ko jim a p o d u z e ´ c e p o s lu je , o s c ila c ije t e ˇ c a ja , n e o ˇ c e kiva n a in fl a c ija , p o s lo vn i r iz ik g r u p e d je la t n o s t i

ko jo m s e p o d u z e ´ c e b a vi, likvid n o s t i fi n a n c ijs ka p o lu g a p o d u z e ´ c a , t e m n o g i d r u g i fa kt o r i. U o vo m r a d u ´ c e m o

p r e t p o s t a vit i d a je standardna devijacija jednostavnog prinosa portfelja, ko ja s e d e fi n ir a ka o d r u g i ko r ije n iz

va r ija n c e je d n o s t a vn o g p r in o s a p o r t fe lja , d o b r o d e fi n ir a n a s ve o b u h va t n a m je r a r iz ika . On a m je r i o ˇ c e kiva n o

14Algebarsku vjezbu primjene formule (2) na izraz (6) prepustamo citatelju.

1 0

o d s t u p a n je o d o ˇ c e kiva n e vr ije d n o s t i je d n o s t a vn o g p r in o s a p o r t fe lja . N a jva ˇ z n ija kr it ika s t a n d a r d n e d e vija c ije

ka o m je r e r iz ika je d a o n a n e r a z liku je p o ˇ z e ljn o g o r n je o d d o n je g o d s t u p a n ja , t j. s t va r n o g a r iz ika .

2.4 M ar kowitz-Roy model alokacije imovine

U o vo m r a d u ko r is t im o n a z iv Ma r ko wit z -R o y m o d e l z a m o d e l ko ji ´ c e m o iz lo ˇ z it i u o vo m o d je ljku 15.

P r e t p o s t a vim o d a investitor namjerava kupiti i drzati portfelj dionica u jednom vremenskom periodu.

Ova p r e t p o s t a vka je t e m e ljn o o g r a n ic e n je ko je iz ve d e n u o p t im a ln u a lo ka c iju im o vin e ˇ c in i n e p r im je n jivo m z a

in ve s t ic ijs ke fo n d o ve . U n a t o ˇ c t o m e , iz ve d e n a o p t im a ln a a lo ka c ija im o vin e s lu ˇ z i ka o ko r is t a n b e n c h m a r k u

s lo ˇ z e n ijim d in a m ic kim m o d e lim a ko ji d o z vo lja va ju p o r t fo lio m a n a g e r u d a u n jih u g r a d i s vo je s u b je kt ivn e

p r o s u d b e .

N e ka je R s lu ˇ c a ja n ve kt o r p r in o s a 16 o d a b r a n o g s ku p a k likvid n ih d io n ic a u d a n o m vr e m e n s ko m p e r io d u .

P r e t p o s t a vim o d a in ve s t it o r p o z n a je ve kt o r µR = E ( R ) i r e g u la r n u m a t r ic u Σ = V ( R ) . P r e t p o s t a vim o i d a

p o s t o ji b e z r iz ic n i p o r t fe lj s a p o z n a t im p r in o s o m rf u vr e m e n s ko m p e r io d u u ko je m in ve s t it o r n a m je r a va d r ˇ z a t i

p o r t fe lj17 t e d a in ve s t it o r n a m je r a va d r ˇ z a t i ko m b in a c iju b e z r iz ic n o g i d io n ic ko g p o r t fe lja .

Oz n a ˇ c im o s a w ∈ Rk ve kt o r r e la t ivn ih u d je la s vih d io n ic a u p o r t fe lju . Ta d a je ( 1 −w⊤ 1 ) u d io in ve s t ir a n

u b e z r iz ic n i p o r t fe lj, a p r in o s p o r t fe lja iz n o s i

R Π = ( 1 − w⊤ 1 ) rf + w⊤R . ( 1 0 )

Iz iz r a z a ( 1 0 ) ko r is t e n je m fo r m u le ( 2 ) s lije d e fo r m u le z a o ˇ c e kiva n i p r in o s p o r t fe lja

E ( RΠ ) = ( 1 − w⊤ 1 ) rf + w⊤µR ( 1 1 )

15Ovaj rad Markowitz-Roy modelom ne naziva model uveden u radu [156] na kojem je utemeljena moderna teorija portfelja

(MPT od eng. Modern Portfolio Theory) za koju je autor dobio Nobelovu nagradu za ekonomiju, nego njeno prosirenje teorijom

trzista kapitala (CMT od eng. Capital Market Theory) za koju je autor [188] dobio Nobelovu nagradu za ekonomiju. Model je

izlozen na najjednostavniji nacin za koji autor smatra da ce biti kvalitetna priprema za razumijevanje njegovog poopcenja: Black-

Litterman modela. Detaljnije razmatranje modela procjenjivanja kapitalne imovine uz graficke ilustracije izvedene iz empirijskih

podataka sa Zagrebacke burze i detaljno objasnjenje zasto model ne pruza zadovoljavajuce rezultate, moze se pronaci u radu

[174].16Napomenimo da se autor ovog rada [174] uvjerio da je distribucija prinosa stvarnih dionica i portfelja dionica rijetko kada

normalna. Od novijih radova, rad [124] je dokazao da su povijesni prinosi na S&P 500 indeks log-normalno distribuirani, te

da se vjerojatnost ostvarivanja prinosa znacajno viseg od prinosa na burzovni indeks smanjuje tijekom vremena, a da je rizik

posjedovanja portfelja dionica veci sto je duzi vremenski razmak izmedu dva susjedna opazanja prinosa. Poruka rada je da

je vjerojatnost ostvarivanja iznadprosjecnih prinosa mala, a k tome treba istaknuti da ocekivani prinos izveden iz povijesnih

podataka nije zagarantiran.17Pretpostavka je da je ocekivana premija rizika na trzisni portfelj µR − rf pozitivna vrijednost. Inace bi svaki racionalan

investitor svoj portfelj drzao u bezrizicnom. Naravno, dogadaj da bezrizicni portfelj ima visi godisnji prinos od trzisnog portfelja

u stvarnosti nije rijedak.

1 1

i va r ija n c u p o r t fe lja

V ( RΠ ) = w⊤Σw . ( 1 2 )

P roblem portfolio managera je o d a b r a t i ve kt o r w t a ko d a z a ˇ z e lje n u o ˇ c e kiva n u vr ije d n o s t c p r in o s a p o r t fe lja ,

va r ija n c a p o r t fe lja b u d e m in im a ln a . Fo r m a ln o z a p is a n o ,

m inw

w⊤Σw : ( 1 − w⊤ 1 ) rf + w⊤µR = c

. ( 1 3 )

P r im ije t im o d a je w⊤ 1 = 1 a kko in ve s t ir a m o je d in o u p o r t fe lj d io n ic a . D a b is m o r ije ˇ s ili p r o b le m ( 1 3 ) p r o m o t -

r im o n je m u p r id r u ˇ z e n u L a g r a n g e o vu fu n kc iju :

L ( λ,w ) = w⊤Σw − 2 λ ( rf − c+ w⊤ ( µR − 1 rf ) ) . ( 1 4 )

Iz n u ˇ z n o g u vje t a o p t im a ln o s t i p r vo g r e d a s lije d i18 d a λ, u t e o r iji p o r t fe lja p o z n a t ka o parametar averzije prema

riziku, iz n o s i

λ =c− rfq

, g d je je q = ( µR − 1 rf ) ⊤ ( Σ) −1 ( µR − 1 rf ) , ( 1 5 )

d o k ve kt o r r e la t ivn ih t e ˇ z in a d io n ic a u p o r t fe lju iz n o s i

w = λ ( Σ) −1 ( µR − 1 rf ) . ( 1 6 )

U o ˇ c im o d a je ve kt o r r e la t ivn ih t e ˇ z in a d io n ic a u p o r t fe lju je d n o z n a ˇ c n o o d r e d e n iz r a z o m ( 1 6 ) i n e z a vis i o

ˇ z e lje n o j r a z in i o ˇ c e kiva n o g p r in o s a .

P r e t p o s t a vim o d a ˇ z e lim o o d a b r a t i c t a ko d a p r ip a d a ju ´ c i p o r t fe lj w n e s a d r ˇ z i in ve s t ic iju u b e z r iz ic n e

vr ije d n o s n ic e , t j. d a vr ije d i 1 ⊤w = 1 . P o r t fe lj d io n ic a w je u t e o r iji p o r t fe lja p o z n a t p o d n a z ivo m trzisni

portfelj. R je ˇ s a va n je m s u s t a va ( 1 5 ) , ( 1 6 ) i 1 ⊤w = 1 iz vo d im o 19 d a je t r ˇ z is n i p o r t fe lj je d n o z n a ˇ c n o o d r e d e n i

iz n o s i

w =( Σ) −1 ( µR − 1 rf )1 ⊤ ( Σ) −1 ( µR − 1 rf )

. ( 1 7 )

Is t a kn im o d a o ˇ z e lje n o j r a z in i o ˇ c e kiva n o g p r in o s a z a vis i je d in o a lo ka c ija iz m e d u in ve s t ir a n ja u b e z r iz ic n e

vr ije d n o s n ic e i t r ˇ z is n i p o r t fe lj, ˇ s t o s lije d i iz a lt e r n a t ivn o g z a p is a p r in o s a b ilo ko je g e fi ka s n o g p o r t fe lja ( 1 0 ) :

R Π = ( 1 − γ ) rf + γw⊤R , ( 1 8 )

ko je g s m o iz ve li s t a vlja ju ´ c i

γ = w⊤ 1 = 1 ⊤w =c− rfq

1 ⊤ ( Σ) −1 ( µR − 1 rf ) . ( 1 9 )

18Algebarsku vjezbu racunanja parcijalne derivacije po λ i parcijalnog gradijenta po w, te rjesavanje pripadnog homogenog

sustava prepustamo citatelju.19Opisanu algebarsku vjezbu prepustamo citatelju. Da rijesavanjem navedenog sustava mozemo izvesti trzisni portfelj, dokazano

je u radu [199]. Naime, teorem odvajanja iz rada [199] govori da je odluka o investiranju (koji portfelj rizicne imovine drzati)

odvojena od financijske odluke (kako alocirati kapital raspoloziv za investiranje izmedu bezrizicne i rizicne imovine).

1 2

Za kr a j iz la g a n ja , u vr ˇ s t a va n je m iz r a z a ( 1 6 ) u iz r a z ( 1 2 ) , a z a t im ko r is t e n je m iz r a z a ( 1 5 ) s lije d i20 iz r a z

V ( RΠ ) =( c− rf )

2

q. ( 2 0 )

P r e u r e d iva n je m iz r a z a ( 2 0 ) s lije d i iz r a zc− rf√V ( RΠ )

=√q . ( 2 1 )

Iz r a z ( 2 1 ) n a z iva m o Sharpeov pokazatelj 21, a p r e d s t a vlja n a g ib lin ije ko ja p o ve z u je t o ˇ c ku b e z r iz ic n o g p o r t fe lja

i t o ˇ c ku t r ˇ z is n o g p o r t fe lja u p r o s t o r u s t a n d a r d n e d e vija c ije p o r t fe lja√V ( RΠ ) i o ˇ c e kiva n o g p r in o s a p o r t fe lja

E ( RΠ ) . U t e o r iji p o r t fe lja n a z iva m o ju linija trzista kapitala, a o p is u je t r a d e -o ff iz m e d u r iz ika i p r in o s a

fi n a n c ijs ko g t r ˇ z is t a u r a vn o t e ˇ z i.

S va ko p r o c je n jiva n je ve kt o r a p r in o s a d io n ic a z a s n o va n o n a p o vije s n im p o d a c im a je o s u d e n o n a n e u s p ije h

u s t va r n o m s vije t u z a b ilo ko je z a m is live o ko ln o s t i. To je p o n a jvis e z b o g ˇ c in je n ic e d a za svaku procjenu

postoji standardna greska. N a s t a b iln im t r ˇ z is t im a ka p it a la je z a vr e m e n s ku s e r iju o d 6 0 vje r o d o s t o jn ih i

h o m o g e n ih m je s e ˇ c n ih p r in o s a 9 5 % -t n i in t e r va l p o u z d a n o s t i [5 6 ] r a s p o n a ±2 0 % . Ia ko je 9 5 % -t n i in t e r va l p o -u z d a n o s t i in d e ks a Za g r e b a ˇ c ke b u r z e CR OB E X r a s p o n a m a n je g o d ± 1 5 % , ve ´ c in a d io n ic a im a ju is t i ve ´ c i o d± 2 5 % . To je je d a n o d r a z lo g a z b o g ko je g mnoge metode optimizacije portfelja na Zagrebackoj burzi22 kao

rezultat daju nerazumne alokacije. N a d a lje , p r a ks a je p o ka z a la d a s e t r ˇ z is n i p o r t fe lj Ma r ko wit z e vo g m o d e la

z n a ˇ c a jn o m ije n ja ka ko t ije ko m vr e m e n a p o m ic e m o vr e m e n s ki p r o z o r r a s p o n a 6 0 m je s e c i. P r i t o m e s e n e

m ije n ja s a m o u d io d io n ic a u t r ˇ z is n o m p o r t fe lju , n e g o s u n e ke d io n ic e ko je s u u t r ˇ z is n o m p o r t fe lju s u d je lo va le

s a p r e ko 2 0 % z a d r u g i vr e m e n s ki p r o z o r u p o t p u n o s t i iz b a ˇ c e n e iz t r ˇ z is n o g p o r t fe lja . Ta kva p r o m je n a a lo ka c ije

p o r t fe lja je z a p r a ks u n e p r ih va t ljivo e ks t r e m n a . S t va r n a a lo ka c ija p o r t fe lja n a t r ˇ z is t im a ka p it a la ( r e la t ivn a

t r ˇ z is n a ka p it a liz a c ija ) s e t ije ko m vr e m e n a n ika d a n e m ije n ja t o liko e ks t r e m n o .

N a kr a ju o vo g o d je ljka , s a ˇ z m im o o s n o vn a r a z m a t r a n ja ve z a n a u z Ma r ko wit z -R o y m o d e l. E fikasna granica

trzista kapitala u Ma r ko wit z -R o y m o d e lu je iz ve d e n a m in im iz ir a n je m va r ija n c e p o r t fe lja ( z a ko ju je Ma r ko wit z

s u g e r ir a o d a je m je r a r iz ika ) z a ˇ z e lje n u r a z in u p r in o s a . P o ˇ c in je z a p o r t fe lj ko ji im a m in im a ln u va r ija n c u , a

z a vr ˇ s a va z a p o r t fe lj ko ji im a m a ks im a la n p r in o s ( t a j p o r t fe lj ˇ c in i d io n ic a s a n a jvis im p r in o s o m ) . E fi ka s n a

g r a n ic a t r ˇ z is t a ka p it a la p o ve z u je r a z in e o ˇ c e kiva n o g p r in o s a i r iz ika p o r t fe lja . E fikasan skup mogucih portfelja

p r e d s t a vlja in ve s t it o r o ve m o g u ´ c n o s t i iz ko jih in ve s t it o r b ir a o p t im a la n n a o s n o vu s vo jih p r e fe r e n c ija , t a m o g d je

kr ivu lja n a jvis e o s t va r ive r a z in e in ve s t it o r o ve r a vn o d u ˇ s n o s t i d o d ir u je e fi ka s n u g r a n ic u t r ˇ z is t a ka p it a la . U ko liko

p o s t o ji bezrizican portfelj, e fi ka s n a g r a n ic a je t a n g e n t a n a e fi ka s n u g r a n ic u t r ˇ z is t a ka p it a la p o vu ˇ c e n a iz t o ˇ c ke

b e z r iz ic n o g p o r t fe lja . N a z iva m o ju linija trzista kapitala. To ˇ c ka d o d ir a lin ije t r ˇ z is t a ka p it a la i e fi ka s n e g r a n ic e

20Opisanu algebarsku vjezbu prepustamo citatelju.21Sharpeov pokazatelj je prvi puta predlozen u radu [189], a temelji se na ranijim autorovim radovima [187] i [188]. Naziva se

jos pokazatelj nagrade na varijabilnost (od eng. Reward-to-variability ratio).22Poput trzisnog portfelja Markowitzevog modela izvedenog u radu [174].

1 3

t r ˇ z is t a ka p it a la s e n a z iva tocka trzisnog portfelja. N ju model za procjenjivanje kapitalne imovine s u g e r ir a ka o

ko n a ˇ c a n p o r t fe lj s a s t a vlje n o d r iz ic n ih vr ije d n o s n ic a . Za r a z u m ije va n je r e z u lt a t a iz ve d e n o g Ma r ko wit z -R o y

m o d e lo m je p o t r e b n o r a z u m je t i p r e t p o s t a vke n a ko jim a s e z a s n iva , ko je s u u je d n o i n je g o va o g r a n ic e n ja :

1 . In ve s t it o r o ve p r e fe r e n c ije s e iz vo d e n a b a z i d va kr it e r ija : o ˇ c e kiva n o g p r in o s a p o r t fe lja i r iz ika m je r e n o g

s t a n d a r d n o m d e vija c ijo m p o r t fe lja .

2 . V r e m e n s ki h o r iz o n t in ve s t ir a n ja je je d a n vr e m e n s ki p e r io d .

3 . In ve s t it o r i m o g u u n e o g r a n ic e n o m iz n o s u p o s u d iva t i n o va c p o s t o p i p r in o s a b e z r iz ic n o g p o r t fe lja 23.

4 . S vi in ve s t it o r i im a ju h o m o g e n a o ˇ c e kiva n ja i r a s p o la ˇ z u is t im in fo r m a c ija m a z a g e n e r ir a n je t r ˇ z is n o g p o r t -

fe lja 24.

5 . S ve p o z ic ije u t r ˇ z is n o m p o r t fe lju s u s a vr ˇ s e n o likvid n e , n e p o s t o je t r a n s a kc ijs ki t r o ˇ s ko vi, n e p o s t o ji n it i

p o r e z n a d o h o d a k n it i in fl a c ija n it i r iz ik p r o m je n e t e ˇ c a ja 25.

6 . S vi in ve s t it o r i s u p r ih va t it e lji t r ˇ z is n ih c ije n a i n it i je d a n n e m o ˇ z e u t je c a t i n a t r ˇ z is n u c ije n u vr ije d n o s n ic a 26.

N a ve d e n e p r e t p o s t a vke ve ´ c n a p r vi p o g le d d je lu ju n e r e a lis t ic n o . P r e t p o s t a vka d a s vi in ve s t it o r i r a s p o la ˇ z u is t im

in fo r m a c ija m a z a g e n e r ir a n je t r ˇ z is n o g p o r t fe lja o t klo n je n a je u B la c k-L it t e r m a n m o d e lu ko je g a ´ c e m o iz lo ˇ z it i u

s lje d e ´ c e m o d je jku . N a p o m e n im o d a d a n a ˇ s n ja z n a n o s t n ije u s p je la ko n s t r u ir a t i o p e r a t ivn o u p o t r e b ljiv m o d e l

ko jim b i s e is t o vr e m e n o u klo n ila s va o g r a n ic e n ja , a li p o s t o je m o d e li ko jim a s u o t klo n je n a s va p o je d in a ˇ c n a

o g r a n ic e n ja . B la c k-L it t e r m a n m o d e l s m o o d a b r a li je r je je d n o s t a va n i in t u it ivn o p r ih va t ljiv.

2.5 B lack-Litter man model alokacije por tfelja

S va ki m o d e l z a p r o c je n jiva n je o ˇ c e kiva n e vr ije d n o s t i ka p it a ln e im o vin e im a d va lic a . K a o p r vo , o ˇ c e kiva n u

vr ije d n o s t je t e ˇ s ko p o u z d a n o p r o c ije n it i. K a o d r u g o , ˇ c a k i ka d a je o ˇ c e kiva n a vr ije d n o s t p o z n a t a , vrlo je tesko

procijeniti prosjecan prinos portfelja koji portfolio manager namjerava drzati nekoliko godina. V e z a n o u z

23Naravno, u stvarnosti je potreba za odrzavanjem tekuce likvidnosti vrlo znacajna u procesu odlucivanja portfolio managera.

Portfolio manager u stvarnosti mora voditi racuna o vjerojatnosti uz koju moze u kratkom roku prodati svaku cesticu portfelja

bez da ta cestica znacajno izgubi na vrijednosti. U stvarnosti je odluka o tome koliku vrijednost imovine drzati u ekvivalentu

novca od presudne vaznosti.24Ovu pretpostavku cemo odbaciti vec u sljedecem odjeljku. Svaki portfolio manager koji kvalitetno radi svoj posao raspolaze

sa informacijama koje nisu javno dostupne.25Mogli bismo sastaviti poduzu listu ovakvih ogranicenja. Okolnosti na trzistu se mijenjaju sa politickim promjenama, mijenjaju

se zakoni i propisi regulatorne agencije, itd.26Ova pretpostavka je realisticna za hrvatskog investitora na globalnom trzistu kapitala. Hrvatski investitori koncentrirani

iskljucivo na hrvatsko trziste kapitala mogu znacajno utjecati na trzisnu cijenu vrijednosnica sa kojima trguju.

1 4

d r u g i p r o b le m , m o d e li m a t e m a t ic ke o p t im iz a c ije s u d a n a s jo ˇ s u vije k b e s p o m o ´ c n i. V e z a n o u z p r vi p r o b le m je

s u g e r ir a n o m n o ˇ s t vo r je ˇ s e n ja t ije ko m z a d n jih d va d e s e t lje ´ c a . N a jc e ˇ s ´ c e p r im je n jiva n a s u g e s t ija o d s t r a n e p o r t -

fo lio m a n a g e r a u n o vije je vr ije m e B lack-L itterman model27 a lo ka c ije p o r t fe lja , d e t a ljn o r a z r a d e n u n o vijim

u d ˇ z b e n ic im a 28 ve z a n im u z a lo ka c iju p o r t fe lja i u p r a vlja n je r iz ic im a in ve s t ir a n ja . Mo d e l s e t e m e lji n a e m p ir -

ijs ko m o p a ˇ z a n ju d a s e p r o ˇ s lo s t n e m o ˇ z e kva lit e t n o e ks t r a p o lir a t i u b u d u ´ c n o s t b e z m o d ifi ka c ija z a s n o va n ih

n a s u b je kt ivn im p r o s u d b a m a . B la c k-L it t e r m a n ko r e kc ije o ˇ c e kiva n o g p r in o s a s u d iz a jn ir a n e u p r a vo t a ko d a

p o ku ˇ s a ju s m a n jit i s lu ˇ c a jn u p o g r e ˇ s ku u s lije d e ks t r a p o la c ije p r o ˇ s lo s t i u b u d u ´ c n o s t .

B la c k-L it t e r m a n m o d e l je n a m ije n je n z a g lo b a ln u a lo ka c iju p o r t fe lja . N a im e , n e d a vn e e m p ir ijs ke s t u d ije

s u p o t vr d ile 29 d a medunarodno diverzificirani portfelji imaju nizu volatilnost od portfelja kojeg sacinjavaju dion-

ice koje kotiraju na samo jednom trzistu kapitala. Me d u n a r o d n a a lo ka c ija p o r t fe lja je h r va t s kim in ve s t it o r im a

o s o b it o a t r a kt ivn a u p e r io d im a ka d a s e o ˇ c e ku je s la b lje n je ku n e . Glo b a ln a a lo ka c ija p o r t fe lja B la c k-L it t e r m a n

m o d e lo m s e o b ic n o p r o vo d i u t r i fa z e :

1 . Od r e d iva n je p o s t o t ka p o r t fe lja in ve s t ir a n o g u n e ku z e m lju . Ova j ko r a k s e n a z iva alokacija imovine po

zemljama ili takticka alokacija. Ta kt ic ka a lo ka c ija im o vin e je ve z a n a u z p o ve ´ c a va n je iz lo ˇ z e n o s t i n a t r ˇ z is t u

ka p it a la z a ko je g s e o ˇ c e ku je r a s t i s m a n jiva n je iz lo ˇ z e n o s t i n a t r ˇ z is t u ka p it a la z a ko je g s e o ˇ c e ku je p a d .

2 . Od r e d iva n je p o s t o t ka p o r t fe lja u ko n kr e t n o j z e m lji ko ji ´ c e b it i in ve s t ir a n u t r e z o r s ke z a p is e , u o b ve z n ic e ,

u d io n ic e p o d u z e ´ c a s a vis o ko m t r ˇ z is n o m ka p it a liz a c ijo m , u d io n ic e p o d u z e ´ c a s a n is ko m t r ˇ z is n o m ka -

p it a liz a c ijo m , t e u d e r iva t ivn u im o vin u . Ova j ko r a k s e n a z iva alokacija imovine u konkretnoj zemlji

ili strateska alokacija. S t r a t e ˇ s ko m a lo ka c ijo m im o vin e s e o d r e d u je d u g o r o ˇ c n a p r e fe r ir a n a ko m b in a c ija

r a z lic it ih vr s t a im o vin e u p o r t fe lju .

3 . Od r e d iva n je p o s t o t ka p o r t fe lja ko ji t r e b a b it i in ve s t ir a n u s va ku p o je d in u vr ije d n o s n ic u u n u t a r s va ke

kla s e im o vin e . Ova j ko r a k s e n a z iva optimizacija portfelja konkretne klase vrijednosnica.

B la c k-L it t e r m a n m o d e l p o la z i o d t r ˇ z is n o g p o r t fe lja Ma r ko wit z -R o y m o d e la i p o m o ´ c u n je g a r a ˇ c u n a ve kt o r

o ˇ c e kiva n ih p r in o s a . D o k Ma r ko wit z -R o y m o d e l ko r is t i in fo r m a c ije s a t r ˇ z is t a ka p it a la u c ilju r a ˇ c u n a n ja t r ˇ z is n o g

p o r t fe lja , B lack-L itterman model kao temeljnu ideju ima povezati ocekivane vrijednosti prinosa dionica izve-

dene iz informacija sa trzista kapitala sa daljim informacijama ( p o m o g u ´ c n o s t i, t e in fo r m a c ije s a d r ˇ z a va ju d o -

d a t n a o g r a n ic e n ja ) u c ilju iz vo d e n ja s t r a t e ˇ s ke a lo ka c ije p o r t fe lja ko ja s e m o ˇ z e z n a ˇ c a jn o r a z liko va t i o d t r ˇ z is n o g

p o r t fe lja iz ve d e n o g Ma r ko wit z -R o y m o d e lo m . P r e t p o s t a vku m o ˇ z e m o p r ih va t it i ka o s u vis lu je r portfolio man-

27Za detaljnu prezentaciju modela pogledati znanstvene i strucne radove [19], [22], [25], [26], [46], [59], [70], [114], [121], [128],

[131], [150], [162] i [184].28Pogledati, na primjer, udzbenike [109], [149], [163], [180] i [210].29Pogledati, na primjer, rad [193].

1 5

ageri uvijek raspolazu sa vlastitim nesluzbenim informacijama ko je je ko r is n o s p o jit i s a s lu ˇ z b e n im in fo r m a c i-

ja m a s a t r ˇ z is t a ka p it a la . U B la c k-L it t e r m a n m o d e lu s u u z in fo r m a c ije s a t r ˇ z is t a ka p it a la iz r a ˇ z e n e i vla s t it e

in fo r m a c ije p o r t fo lio m a n a g e r a . Ob a d vije vr s t e in fo r m a c ija s u iz r a ˇ z e n e u o b liku h ip o t e z a n o r m a ln e d is t r ib u c ije

s lu ˇ c a jn ih ve kt o r a ve z a n ih u z o ˇ c e kiva n i p r in o s .

Informacije sa trzista kapitala s u iz r a ˇ z e n e h ip o t e z o m n o r m a ln e d is t r ib u c ije ve kt o r a o ˇ c e kiva n ih p r in o s a

µR ∈ Rk z a ko je g B la c k-L it t e r m a n m o d e l ( z a r a z liku o d Ma r ko wit z -R o y m o d e la ) p r e t p o s t a vlja d a je s lu ˇ c a ja n

ve kt o r je d n a ko ka o ˇ s t o je i s lu ˇ c a ja n ve kt o r R ∈ Rk ko ji o p is u je p r in o s e k o d a b r a n ih likvid n ih d io n ic a u ko je

p o r t fo lio m a n a g e r n a m je r a va in ve s t ir a t i:

µR ∼ Nk ( µmkt, τΣ) , ( 2 2 )

g d je je s ka la r τ < 1 , Σ = V ( R ) ∈Mk m a t r ic a ko va r ija n c i s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a R, a µmkt ∈ Rk ve kt o r o ˇ c e kiva n ih

p r in o s a ve kt o r a µR ko je g iz r a ˇ z a va m o iz t r ˇ z is n o g p o r t fe lja ( 1 7 ) Ma r ko wit z -R o y m o d e la . N a im e , a ko t r ˇ z is n i

p o r t fe lj30 z a p is e m o u o b liku

wmkt = λ ( Σ) −1 ( µmkt − 1 rf ) , ( 2 3 )

iz iz r a z a ( 2 3 ) iz vo d im o iz r a z 31

µmkt = λ−1Σwmkt + 1 rf . ( 2 4 )

Vlastite informacije portfolio managera s u iz r a ˇ z e n e kr o z s ku p n je g o vih m is lje n ja o q p o r fe lja . N a im e ,

p o r t fo lio m a n a g e r o d r e d u je q o ˇ c e kiva n ih vr ije d n o s t i i va r ija n c i s ku p a o d q lin e a r n ih ko m b in a c ija o d µR. Fo r -

m a ln o , a ko je P ∈ Mqk m a t r ic a t e ˇ z in a q p o r t fe lja o ko jim a p o r t fo lio m a n a g e r iz r a ˇ z a va s vo je m is lje n je , t a d a

s u vla s t it e in fo r m a c ije p o r t fo lio m a n a g e r a iz r a ˇ z e n e h ip o t e z o m

PµR ∼ Nq ( V, Γ ) , ( 2 5 )

g d je je V ∈ Rq ve kt o r o ˇ c e kiva n ih vr ije d n o s t i p o r t fe lja o ko jim a p o r t fo lio m a n a g e r iz r a ˇ z a va s vo je m is lje n je , a

Γ ∈Mq d ija g o n a ln a m a t r ic a ko va r ija n c i. Fo r m a ln o o g r a n ic e n je s p e c ifi ka c ije m is lje n ja je q ≤ k.

S a d a iz lo ˇ z im o m o d e l o p t im iz a c ije p o r t fe lja ko jim ´ c e m o iz in fo r m a c ija s a t r ˇ z is t a ka p it a la i vla s t it ih in fo -

r m a c ija p o r t fo lio m a n a g e r a iz ve s t i ve kt o r µBL o ˇ c e kiva n ih p r in o s a :

m inµ

( µ− µmkt )

⊤ ( τΣ) −1 ( µ− µmkt ) + ( Pµ− V ) ⊤ ( Γ ) −1 ( Pµ− V ). ( 2 6 )

30Naziv trzisni portfelj opcenito koristimo za vektor relativnih tezina (zbroj svih tezina iznosi 1) procijenjene trzisne kapi-

talizacije nekom za to pogodnom znanstveno priznatom metodom. U slucaju nedostatka kreativnosti portfolio managera, kao

benchmark je korisno uzeti trzisni portfelj Markowitz-Roy modela ili trenutni portfelj investicijskog fonda.31Istaknimo da se zbog jednostavnosti racunalne procedure koju zahtijeva izraz (24) u programskom paketu Mathematica

lakocom moze izracunati vektor ocekivanih prinosa vektora µR i za portfelj od preko 1 000 dionica.

1 6

Ia ko d a n a s 32 p o s t o je iz p e r s p e kt ive B a ye s o ve s t a t is t ike ko r e kt n iji n a ˇ c in i z a iz vo d e n je ve kt o r a µBL, m i

´ c e m o s e p o s lu ˇ z it i n a jje d n o s t a vn ijim : iz n u ˇ z n o g u vje t a p r o b le m a kla s ic n e o p t im iz a c ije b e z o g r a n ic e n ja s li-

je d i33 s la vlje n a B lack–L itterman formula ko ja n a m d a je vr ije d n o s t ve kt o r a o ˇ c e kiva n ih p r in o s a ko ja o p t im a ln o

s je d in ju je in fo r m a c ije s a t r ˇ z is t a ka p it a la i s u b je kt ivn e p r o s u d b e p o r t fo lio m a n a g e r a :

µBL = [( τΣ)−1 + P⊤ ( Γ ) −1P ]−1 · [( τΣ) −1µmkt + P⊤ ( Γ ) −1V ] . ( 2 7 )

Fo r m u la ( 2 7 ) iz r a ˇ z a va µBL ka o p o n d e r ir a n i p r o s je k ve kt o r a r a vn o t e ˇ z n ih p r in o s a n a t r ˇ z is t u ka p it a la µmkt i

o ˇ c e kiva n ih p r in o s a p o r t fe lja V iz m is lje n ja p o r t fo lio m a n a g e r a , a d o d a t n o s e m o ˇ z e p r e u r e d it i34 u iz r a z

µBL = µmkt +K ( V − Pµmkt ) , ( 2 8 )

g d je je

K = ( τΣ) P⊤ ( PΣP⊤ + Γ ) −1 . ( 2 9 )

Iz r a z ( 2 8 ) g o vo r i d a je o ˇ c e kiva n i p r in o s t r ˇ z is n o g p o r t fe lja iz ve d e n o g iz in fo r m a c ija s a t r ˇ z is t a ka p it a la i iz vla s t i-

t ih in fo r m a c ija p o r t fo lio m a n a g e r a ko r ig ir a n i o ˇ c e kiva n i p r in o s t r ˇ z is n o g p o r t fe lja iz ve d e n o g je d in o iz in fo r m a c ija

s a t r ˇ z is t a ka p it a la . Iz iz r a z a ( 2 8 ) t a ko d e r vid im o d a e fe kt m is lje n ja p o r t fo lio m a n a g e r a z a vis i o r a z lic i iz m e d u

o ˇ c e kiva n ih p r in o s a p o r t fe lja V iz m is lje n ja p o r t fo lio m a n a g e r a i p r o c je n e o ˇ c e kiva n ih vr ije d n o s t i Pµmkt iz in fo r -

m a c ija s a t r ˇ z is t a ka p it a la . Zb o g t o g a je t ije ko m p r o c e s a s p e c ifi c ir a n ja m is lje n ja u vije k n e o p h o d n o u s p o r e d iva t i

ve kt o r e V i Pµmkt.

U vr ˇ s t a va n je m iz r a z a ( 2 8 ) u u o b ic a je n i iz r a z z a ve kt o r u d je la d io n ic a u t r ˇ z is n o m p o r t fe lju iz vo d im o 35

fo r m u lu z a ve kt o r o p t im a ln ih u d je la d io n ic a u t r ˇ z is n o m p o r t fe lju p r e m a B la c k– L it t e r m a n m o d e lu :

wBL =wmkt + ( Σ)

−1K ( V − Pµmkt )

1 + 1 ⊤ ( Σ) −1K ( V − Pµmkt ). ( 3 0 )

N a ko n ˇ s t o s m o o b ja s n ili in t u ic iju a lg e b a r s ko g iz vo d a iz r a z a ( 3 0 ) , z a b a vim o s e iz b o r o m n je g o vih in p u t a je r

n jih o v iz b o r z n a ˇ c a jn o u t je ˇ c e n a ko n a ˇ c n u a lo ka c iju p o r t fe lja .

2.6 I nputi B lack-Litter man modela

Tr ˇ z is n i p o r t fe lj b i id e a ln o t r e b a o b it i iz ve d e n ko r is t e n je m svih dionica sa kojima se trguje na svim

trzistima kapitala. Iz o s t a vlja n je ili a g r e g ir a n je im o vin e u p o r t fe lju u z r o ku je kr ivu p r o c je n u wmkt. N a ˇ z a lo s t ,

32Za alternativne izvode pogledati predavanja [56].33Algebarsku vjezbu racunanja gradijenta funkcije (26), te rjesavanje pripadnog homogenog sustava gradijent je nul-vektor,

prepustamo citatelju. Formalan Bayesijanski dokaz se moze pronaci u radu [94].34Mucno algebarsko raspisivanje zasnovano na lemi inverza matrice [56] ponovo prepustamo matematicki zahtjevnijem citatelju.35Algebarsku vjezbu ponovo prepustamo citatelju.

1 7

d a n a s r a ˇ c u n a ln e p r o c e d u r e jo ˇ s u vije k n is u d o r a s le r a d u s a p o r t fe ljim a o d 1 0 0 0 d io n ic a 36. Tr e n u t n a p r a ks a 37 ko -

r is t i B la c k-L it t e r m a n m o d e l z a analizu odabranog podskupa dionica u velikom portfelju ili za stratesku alokaciju

duz razlicitih klasa agregiranih imovina. N a im e , n e d a vn a e m p ir ijs ka is t r a ˇ z iva n ja 38 s u p o ka z a la d a s u fa kt o r i

in d u s t r ije ko jo j p o d u z e ´ c e p r ip a d a i z e m lje u ko jo j p o s lu je z n a ˇ c a jn e o d r e d n ic e c ije n e vla s n ic ko g ka p it a la t o g

p o d u z e ´ c a .

Is t a kn im o d a o ˇ c e kiva n i p r in o s ( 2 4 ) iz ve d e n iz in fo r m a c ija s a t r ˇ z is t a ka p it a la i ve kt o r o p t im a ln ih u d je la

d io n ic a u t r ˇ z is n o m p o r t fe lju p r e m a B la c k– L it t e r m a n m o d e lu ( 3 0 ) z n a ˇ c a jn o z a vis e o iz b o r u a p r o ks im a c ije

t r ˇ z is n o g p o r t fe lja Ma r ko wit z -R o y m o d e la wmkt. U p r a vo je u iz b o r u m e t o d e z a r a ˇ c u n a n je wmkt r a z lo g ˇ c e s t o g

d o b iva n ja ” bezveznih ” rezultata39 u s lu ˇ c a ju p o r t fe lja ko ji s e d je lo m ic n o p r e kla p a ju , t e kada dionice u portfelju

izrazito koreliraju40. Ta ko d e r , CAP M procedura pruza rezultate koji su nestabilni za dionice koje slabo koreliraju

sa trzisnim portfeljem41, z a r a z liku o d B la c k-L it t e r m a n o ve p r o c e d u r e . U t o m s lu ˇ c a ju , m o g u ´ c a a lt e r n a t iva

CA P M-u s u m u lt ifa kt o r s ki m o d e li z a s n o va n i n a a r b it r a ˇ z n o j t e o r iji A P T42 ili n a s t a t is t ic kim fa kt o r im a a n a liz e

g la vn ih ko m p o n e n a t a P CA 43.

U Ma r ko wit z -R o y m o d e lu p r o n a ˇ s li s m o t r ˇ z is n i p o r t fe lj z a d a n o g s ku p a d io n ic a , e fi ka s a n p r e m a kr it e r ijim a

m a ks im a ln o g p r in o s a i m in im a ln e va r ija n c e . Is t a kn im o d a p o d p o r fe lj t r ˇ z is n o g p o r t fe lja ( p o d s ku p a n je g o vo g

s ku p a d io n ic a ) n e m o r a n u ˇ z n o b it i e fi ka s a n . To je r a z lo g z b o g ko je g koristenje podportfelja dovodi do pristranih

36Napomenimo da je rad [174] pokazao da programski paket Mathematica moze brzo i ucinkovito izracunati µmkt i wmkt za

sve dionice sa kojima se trgovalo na malim trzistima kapitala na kojima je likvidno manje od 100 dionica, poput Hrvatskog.37Pozivamo se na predavanja [56].38Pogledati radove [36] i [198].39Za alokaciju portfelja Markowitz-Roy modelom na Milanskoj burzi treba pogledati predavanja [56], a na Zagrebackoj burzi

pogledati predavanja [174].40Podsjetimo se da je temeljna jednadzba CAPM modela

E(ri)− rf = λβi ,

gdje je ri prinos i−te dionice,βi =

Cov(rm − rf , ri − rf )

V ar(rm − rf ),

rm je prinos trzisnog portfelja i λ = E(rm − rf ) premija rizika na trzisni portfelj [35] izrazena u jedinicama prinosa trzisnog

portfelja iznad prinosa bezrizicnog portfelja. CAPM model sugerira odabir trzisnog portfelja, izracun βi koeficijenata za one

dionice koje implicira alokacija nase imovine, te odabir vrijednosti za λ. Ovdje je neophodno istaci da prema empirijskom

istrazivanju [85] beta koeficijent ne objasnjava prinose na trzistu SAD-a, te da su trzisna kapitalizacija i odnos knjigovodstvene

i trzisne vrijednosti mnogo bitnije karakteristike. Nakon toga je uslijedila studija [135] koja je koristenjem godisnjih umjesto

mjesecnih prinosa pronasla da je beta koeficijent znacajna karakteristika. Kasnije je prihvaceno da duzi vremenski period znaci

vecu vaznost beta koeficijenta. Beta je mrtav! Zivio beta!41Za diskusiju i empirijsku ilustraciju pogledati predavanja [56] i [174]42APT dolazi od eng. Arbitrage Pricing Theory. APT je uvedena u radu [181].43PCA dolazi od eng. Principal Component Analysis. Za prihvacene faktore rizika citatelju sugeriramo da pogleda radove [45],

[61], [84], [147], [172] i [198].

1 8

procjena trzisnog portfelja.

Ma t r ic a ko va r ija n c i p r in o s a d io n ic a Σ s e o p ´ c e n it o p r o c je n ju je 44 iz r a s p o lo ˇ z ivo g u z o r ka p o d a t a ka . K a d a s u

p o d a c i o p r in o s im a n o r m a ln o d is t r ib u ir a n i i n e p o s t o ji u vje t n a h e t e r o s ke d a s t ic n o s t vr e m e n s kih s e r ija p o d a t a ka ,

p r o c je n jiva n je m a t r ic e Σ je la g a n z a d a t a k. Ta d a s e m o ˇ z e ko r is t it i n a ivn i p r o g n o s t ic ki m o d e l, t j. n a jb o lji

lin e a r n i n e p r is t r a n i o c je n jiva ˇ c ko ji ko r is t i n a jm a n je 3 6 , a p o m o g u ´ c n o s t i b a r e m 6 0 m je s e ˇ c n ih p r in o s a 45. B o lje

r e z u lt a t e d a je je d n o s t a va n e ks p o n e n c ija ln o p o n d e r ir a n m o d e l p o m a kn u t ih p r o s je ka z a ko r e la c iju 46

σ12,t = ( 1 − λ ) r1,t−1r2,t−1 + λσ12,t−1 . ( 3 1 )

s a konstantom izgladivanja λ ∈< 0 .8 , 0 .9 5 >, p r i ˇ c e m u je σ12,t o c je n jiva ˇ c ko r e la c ije u p e r io d u t, a ri,t p r in o s

d io n ic e i u p e r io d u t. Ovd je je n e o p h o d n o n a p o m e n u t i d a s e ve ´ c u s a s t a vlja n ju p o r t fe lja o d d vije d io n ic e

p o ja vlju je problem precjenjivanja utjecaja kovarijance: a ko je ko e fi c ije n t ko r e la c ije t ih d va ju d io n ic a b liz u 1 ,

Ma r ko wit z -R o y m o d e l n e d a je p r e d n o s t d ive r z ifi ka c iji n e g o ´ c e g o t o vo c ije li t r ˇ z is n i p o r t fe lj p r id r u ˇ z it i d io n ic i

s a vis im o ˇ c e kiva n im p r in o s o m . A ko o d a b r a n a s t a t is t ic ka m e t o d a p r e c je n ju je ko va r ija n c u , ko n c e n t r ir a n je m

p o r t fe lja u d io n ic u s a vis im o ˇ c e kiva n im p r in o s o m ˇ c in im o gresku odbacivanja sigurnosti koju nam daje diverzi-

fikacija. Za t o p r e d la ˇ z e m o ko r is t e n je ko r e kc ije o c je n je n e m a t r ic e ko r e la c ija Ω r e fe r e n t n o m m a t r ic o m ko r e la c ija

Θ z a ko ju m o ˇ z e m o u z e t i m a t r ic u ko jo j s u n a d ija g o n a li je d in ic e , a n a n e d ija g o n a ln im p o z ic ija m a p r o s je k s vih

o c je n je n ih ko r e la c ija . Za ko r ig ir a n u m a t r ic u ko r e la c ija s e u p r a ks i47 u o b ic a je n o u z im a iz r a z

αΩ+ ( 1 − α) Θ , g d je je α ∈< 0 .8 , 0 .9 > . ( 3 2 )

S a s t a vlja n je m m a t r ic e ko r e la c ija ( 3 2 ) s a o c je n a m a va r ija n c i48 iz vo d im o matricu kovarijanci koja je manje

ekstremna od inicijalno ocjenjene.

Za konstruiranje velikih matrica kovarijanci, u ko liko r a s p o la ˇ z e m o s a d o vo ljn o in fo r m a c ija z a iz vo d e n je

t e ˇ z in a fa kt o r a u r e p r e z e n t a c iji g la vn ih ko m p o n e n a t a , volatilnosti i korelacije je pozeljno izvesti koristenjem

44Vidi radove [39] i [150]45Na zalost, rad [174] je sugerirao da taj ocjenjivac na Zagrebackoj burzi nije dovoljno precizan jer se njime ignoriraju mnogi

faktori koji znacajno utjecu na ocekivani prinos. Takoder je iz prakse poznato da je buducnost vrlo cesto suprotnost proslosti.

Na primjer, vrijednost S&P indeksa je tijekom 5 godina, sa 459.27 na kraju 1994. godine narasla na 1469.25 na kraju 1999.

godine. Dakle, vrijednost indeksa je porasla za 60 mjeseci porasla za 219.91%, u prosjeku 26.18% godisnje, a najbolji linearni

nepristrani ocjenjivac bi sugerirao ocekivani godisnji prinos 28.43%. Dogodilo se suprotno. Vrijednost S&P indeksa je pala na

879.82% na kraju 2002. godine, na 59.88% vrijednosti na kraju 1999. godine. Periode visokog prinosa na trzistima kapitala u

praksi najcesce slijede periodi niskog ili cak negativnog prinosa. Problem za znanstvena istrazivanja je moze li se takav period

predvidjeti znanstvenim metodama?46Eng. kratica je EWMA, od Exponentially Weighted Moving Averages.47Prema predavanjima [56].48Ocijeniti volatilnost je problem koji zahtijeva posebno razmatranje. Vise o tom problemu se moze procitati u nekom udzbeniku

vezanom uz analizu vremenskih serija, poput [191] ili [202].

1 9

ortogonalnih metoda. A n a liz o m g la vn ih ko m p o n e n a t a t r a n s fo r m ir a m o s lu ˇ c a ja n ve kt o r n o r m a liz ir a n ih p r i-

n o s a d io n ic a rt s a ko r e lir a n im ko m p o n e n t a m a u s lu ˇ c a ja n ve kt o r g la vn ih ko m p o n e n a t a ft s a n e ko r e lir a n im

ko m p o n e n t a m a , t j. ko je m u je m a t r ic a ko va r ija n c i d ija g o n a ln a m a t r ic a V ( ft ) = Λ . K o r is t e n je m s p e kt r a ln e

d e ko m p o z ic ije s e m o ˇ z e p o ka z a t i49 d a je m a t r ic a W ∈Mk t e ˇ z in a u fa kt o r s ko m m o d e lu

rt = ftW⊤ ( 3 3 )

m a t r ic a ˇ c iji s u s t u p c i o r t o n o r m ir a n i s vo js t ve n i ve kt o r i m a t r ic e ko va r ija n c i

V ( rt ) =WV ( ft ) W⊤ . ( 3 4 )

U s lu ˇ c a ju multikolinearnosti s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a ft, t j. ka d a je V ( ft ) g o t o vo s in g u la r n a , ka o a p r o ks im a c iju

m o ˇ z e m o ko r is t it i m g la vn ih ko m p o n e n a t a p r id r u ˇ z e n ih n a jve ´ c im s vo js t ve n im vr ije d n o s t im a . Ce s t o je m m n o g o

m a n ji o d b r o ja d io n ic a k. D o k je z a d ir e kt n u p r o c je n u V ( rt ) p o t r e b n o p r o c ije n it i k ( k + 1 ) / 2 p a r a m e t a r a ,

ko r is t e n je fa kt o r s ko g m o d e la z a h t ije va s a m o mk +m ( m+ 1 ) / 2 p r o c je n a p a r a m e t a r a , t j. z a h t ije va ju s e s a m o

W i Λ . N a p o m e n im o d a je ko r is t e n je m u lt iva r ia t n ih GA R CH m o d e la z a g e n e r ir a n je m a t r ic e ko va r ija n c i

e ks t r e m n o t e ˇ s ko z a vis e o d n e ko liko d im e n z ija 50.

R a n ije iz ve d e n parametar averzije prema riziku ( 1 5 ) s e z a p r in o s t r ˇ z is n o g p o r t fe lja rm m o ˇ z e iz r a z it i51 u

o b liku

λ−1 =E ( rm ) − rfV ar ( rm )

. ( 3 5 )

Iz iz r a z a ( 3 5 ) vid im o d a je p a r a m e t a r a ve r z ije p r e m a r iz iku z a h t ije va n a p r e m ija r iz ika p o je d in ic i va r ija n c e .

Zb o g t o g a s e u p r a ks i z a p r o c je n u λ ko r is t i iz r a z ( 3 5 ) p r i ˇ c e m u premiju rizika portfolio manager odreduje a

priori, a varijanca u nazivniku se procjenjuje iz vrlo duge vremenske serije52.

V e z a n o u z o d a b ir p a r a m e t r a τ ∈ R im a m o vr lo m a lo z a r e ´ c i. On je ve z a n u z o d a b ir e le m e n a t a o d Γ je r

s e B la c k– L it t e r m a n fo r m u la n e m ije n ja a ko i τ i Γ p r o p o r c io n a ln o p o ve ´ c a m o . U p r a ks i53 je n a jc e ˇ s ´ c e ko r is t e n a

vr ije d n o s t 1 / 3 , a li t o n a m n e z n a ˇ c i g o t o vo n is t a . S lo b o d a ko ju B la c k– L it t e r m a n m o d e l o s t a vlja p o r t fo lio

m a n a g e r u z a p o d e ˇ s a va n je p a r a m e t r a τ je vje r o ja t n o n je g o v klju ˇ c n i n e d o s t a t a k.

Ovim s m o z a vr ˇ s ili p r ika z o d a b ir a in p u t a B la c k– L it t e r m a n m o d e la ko ji s u iz ve d e n i iz in fo r m a c ija s a

t r ˇ z is t a ka p it a la . Iz la g a n je z a vr ˇ s im o p r ika z o m o d a b ir a in p u t a ve z a n ih u z m is lje n ja p o r t fo lio m a n a g e r a . P r i

49Za dokaz pogledati predavanja [56].50Ideja koristenja analize glavnih komponenata u multivariatnim GARCH modelima seze do rada [67], a da snaga ortogonalnog

GARCH modela lezi u reduciranom prostoru glavnih komponenata, objasnjeno je u radu [5]. Vise o ortogonalnom GARCH

modelu moze se procitati u radu [33] ili u knjizi [4] (pp. 210-220).51Algebarsku vjezbu prepustamo citatelju. Izvod se moze pronaci u radu [21].52Citiramo knjigu [105].53Ponovo se pozivamo na predavanja [56].

2 0

t o m e necemo ulaziti u to kako misljenja nastaju, nego cemo se ograniciti samo na to kako ih izraziti54. A ko

p o r t fo lio m a n a g e r n e m a vla s t it ih m is lje n ja , u vije k s e m o ˇ z e o g r a n ic it i n a t r ˇ z is n i p o r t fe lj iz ve d e n iz in fo r m a c ija

s a t r ˇ z is t a ka p it a la .

P o d s je t im o s e d a je m is lje n je s p e c ifi ka c ija o ˇ c e kiva n o g p r in o s a i va r ija n c e n e ko g ko n kr e t n o g p o r t fe lja .

Apsolutno misljenje je m is lje n je o p o r t fe lju ka d a je n je g o va n e t o p o z ic ija d u g a ili kr a t ka , a relativno misljenje

je m is lje n je o p o r t fe lju ˇ c iji je z b r o j t e ˇ z in a n u la 55. Te ˇ z in e p o r t fe lja o ko jim a p o r t fo lio m a n a g e r iz r a ˇ z a va s vo je

m is lje n je s u z a p is a n e u r e t c im a m a t r ic e P : s va ki r e d a k s a d r ˇ z i t e ˇ z in e r a z lic it ih p o r t fe lja , a s va ki s t u p a c t e ˇ z in e

p r id r u ˇ z e n e is t o j a kt ivi ( d io n ic i) u r a z lic it im p o r t fe ljim a . R a n ije s m o u ve li o z n a ke V = E ( PµR ) i Γ = V ( PµR ) ,

p r i ˇ c e m u s m o p r e t p o s t a vili d a je Γ d ija g o n a ln a m a t r ic a , t j. d a s u m is lje n ja p o r t fo lio m a n a g e r a n e ko r e lir a n a .

Ta ko d e r , is t a kn u li s m o d a je t ije ko m p r o c e s a s p e c ifi c ir a n ja m is lje n ja u vije k n e o p h o d n o u s p o r e d iva t i ve kt o r e

V i Pµmkt. Je d a n o d m o g u ´ c ih n a ˇ c in a z a s p e c ifi c ir a n je m is lje n ja je iz vo d e n je 9 5 % −t n o g in t e r va la p o u z d a n o s t i< Aj , Bj > z a s va ki r e d a k j o d PµR, t e p o s t a vlja n je o ˇ c e kiva n e vr ije d n o s t i p r id r u ˇ z e n e j−t o m m is lje n ju n a

vj = ( Aj+Bj ) /2 i s t a n d a r d n e d e vija c ije n a√γj = ( vj−Aj ) /2 . Jo ˇ s je d n o m is t a kn im o d a iz r a ˇ z a va n je m is lje n ja

p o r t fo lio m a n a g e r a kr o z P , V i Γ p r e s u d n o u t je ˇ c e n a t r ˇ z is n i p o r t fe lj B la c k– L it t e r m a n m o d e la .

2.7 Zakljucak

Te m e ljn i p r in c ip Ma r ko wit z e ve MV ( o d e n g . Me a n -V a r ia n c e ) o p t im iz a c ije je diverzifikacija: r iz ik p o r t -

fe lja s e m o ˇ z e s m a n jit i ko m b in ir a n je m im o vin a ˇ c iji s e p r in o s i kr e ´ c u u r a z lic it im s m je r o vim a p r i o d r e d e n o m

s t a n ju n a t r ˇ z is t u . Ma r ko wit z je o t kr io d a in ve s t it o r i m o g u is t o vr e m e n o p o ve ´ c a t i p r in o s i s m a n jit i vo la t iln o s t

p o r t fe lja ko jim u p r a vlja ju . N a ˇ z a lo s t , p r iliko m ko r is t e n ja Ma r ko wit z -R o y m o d e la u p r a ks i, ve ´ c in a d io n ic a b iva

iz b a ˇ c e n a iz t r ˇ z is n o g p o r t fe lja ko je g s u g e r ir a m o d e l. R a z lo g t o m e je ˇ s t o , a ko p o r t fo lio m a n a g e r in ve s t ir a u d vije

kla s e im o vin e s a is t o m vo la t iln o s t i, MV o p t im iz a c ija a lo c ir a c ije li p o r t fe lj u o n u kla s u im o vin e s a n e z n a t n o

vis im o ˇ c e kiva n im p r in o s o m . B lack-L itterman model je o m o g u ´ c io p o r t fo lio m a n a g e r u d a u Ma r ko wit z -R o y

m o d e l u g r a d i vla s t it a m is lje n ja o s u b je kt ivn o o d a b r a n im p o r t fe ljim a . Zb o g t o g a portfolio manageru sugerira

prihvatljiv trzisni portfelj, uvijek diverzificiraniji od trzisnog portfelja kojeg sugerira M arkowitz-R oy model.

D a n a s s e B la c k-L it t e r m a n m o d e l ko r is t i in t e g r ir a n u a r h it e kt u r u n e u r o n s kih m r e ˇ z a [2 0 9 ], [2 1 0 ] i p r o c e -

d u r e B a ye s o ve s t a t is t ike [1 1 0 ]. K o r is t i g a ve ´ c in a o d je la z a in ve s t ic ijs ko b a n ka r s t vo ve ´ c ih b a n a ka u t e h n o lo ˇ s ki

r a z vije n im z e m lja m a s vije t a [5 6 ]. Is t a kn im o d a ve ´ c in a b a n a ka i in ve s t ic ijs kih fo n d o va z a B la c k-L it t e r m a n

54Kao i rad [94], moramo konstatirati da je proces nastajanja misljenja portfolio managera vjestina, ne znanost. Iako je u

portfolio managementu vjestina presudna, znanstveni pristup zasigurno pomaze u izostravanju intuicije.55Modeliranje intervala pouzdanosti je detaljno objasnjeno u radu [119]. Primjer apsolutnog misljenja je: ocekivani prinos

dionice PLVA-R-A ce sljedeceg mjeseca iznositi 4% ± 2%, uz pouzdanost 75%. Primjer relativnog misljenja je: ocekivani prinos

dionice PLVA-R-A ce sljedeceg mjeseca biti veci od prinosa dionice PODR-R-A za 3%± 1%, uz pouzdanost 60%.

2 1

m o d e l ko r is t i vla s t it i s o ft wa r e . U ko m e r c ija ln im m a t e m a t ic ko – s t a t is t ic kim p r o g r a m s kim p a ke t im a ˇ s ir o ko g

s p e kt r a n a m je n e , p o p u t p a ke t a M athematica, B la c k-L it t e r m a n m o d e l s e is p r o g r a m ir a la ko ´ c o m . Is t a kn im o

d a je p r o g r a m s ki p a ke t M athematica d o z vo lja va ko n ve r t ir a n je p o d a t a ka iz B loomberg b a z e u M athematica-u

ko r is t e n je m D ataB ase Access K it t e h n o lo g ije , a a lt e r n a t ivn o s e M athematica K ernel m o ˇ z e ko r is t it i d ir e kt n o iz

Oracle-a r je ˇ s e n je m n a z va n im M athIlda. K o r is t e n je m M athematica L ink for E xcel p a ke t a s e is p is r e z u lt a t a m o ˇ z e

p r e u s m je r it i u E xcel ili s e is p is r e z u lt a t a s e m o ˇ z e p r e u s m je r it i n a in t e r n e t p o m o ´ c u p a ke t a webM athematica. Za

3 D -viz u a liz a c iju s u g e r ir a m o ko r is t e n je M athGL 3d p a ke t a , a a lg o r it a m s ka p o d r ˇ s ka p o t r e b n a z a im p le m e n t a c iju

B la c k-L it t e r m a n m o d e la je s a d r ˇ z a n a u M athematica Operations R esearch Add-on p a ke t u , M athematica F inance

E ssentials p a ke t u , M athematica Time Series p a ke t u i M athematica Neural Networks p a ke t u . K a o d o d a t a k

B la c k-L it t e r m a n m o d e lu o d je lim a z a in ve s t ic ijs ko b a n ka r s t vo s u g e r ir a m o ko r is t e n je p a ke t a M athematica Un-

R isk i M athematica D erivatives E xpert. Ma lim b a n ka m a i in ve s t ic ijs kim fo n d o vim a o r ije n t ir a n im n a d o m a ´ c e

t r ˇ z is t e ka p it a la o d ko m e r c ija ln ih s o ft wa r e a z a a lo ka c iju im o vin e s p e c ija liz ir a n ih z a B la c k-L it t e r m a n m o d e l

s u g e r ir a m o [1 2 0 ] Zephyr Allocation Advisor, ia ko je o g r a n ic e n z a r a d s a s a m o 2 4 9 d io n ic a u p o r t fe lju , o d n o s n o

s a s a m o 7 3 d io n ic e u ko liko ko r is n ik o d a b e r e p r o c je n u p r in o s a n a im o vin u ko r is t e n je m GA R CH m e t o d e . N a

ˇ z a lo s t , ia ko s e B la c k-L it t e r m a n m o d e l u t e h n o lo ˇ s ki r a z vije n im z e m lja m a s vije t a p o la ko z a m je n ju je s a d r ˇ z a jn ijim

d in a m ic kim m o d e lim a ko ji u klju ˇ c u ju t r a n s a kc ijs ke t r o ˇ s ko ve i o s t a le va r ija b le ko je p o r t fo lio m a n a g e r i s m a t r a ju

b it n im , u L ije p o j n a ˇ s o j je ko r is t e n je m o d e la z a s n o va n ih n a m a t e m a t ic ko j o p t im iz a c iji, s lic n ih o p is a n o m u

o vo m r a d u , jo ˇ s u vije k z n a n s t ve n a fa n t a s t ika . Stoga se nadamo da ce ovaj, popularno napisan rad, pridonijeti

razvijanju interesa za koristenjem slicnih optimizacijskih modela za alokaciju portfelja od strane investicijskih

fondova.

3 E kvilibr ij na tr zistima kapitala ilustr ir an na pr imjer u Zagr ebacke

bur ze

Sazetak

Tijekom perioda izmedu 1945. i 1991. godine, u Hrvatskoj, kao i u drugim zemljama administrativne

ekonomije, ekonomski rizik i opcenito ekonomska optimalizacija su bili podcijenjeni. Nakon ozivljavanja

burze 1991. godine, proucavati ekonomski rizik i optimalizaciju i pokazati studentima kako analizirati

stvarne podatke koristenjem matematicke optimalizacije, postalo je od velike vaznosti.

Napisan je Mathematica program za rjesavanje Markowitzevog modela optimalizacije portfelja, za

iscrtavanje njegove efikasne granice i linije trzista kapitala kao i udjela svake dionice u trzisnom portfelju

kao funkcije stope prinosa. Program za prognoziranje stope prinosa koristenjem visestruke regresije je

takoder napravljen. Mathematica financijski paket nije koristen.

2 2

Zasto se gnjaviti koristenjem programskog paketa Mathematica kada imamo na raspolaganju radne

tablice poput Excela? Razlog je taj sto Mathematica raspolaze snaznijim i svestranijim matematickim

alatom, sposobnim da rijesi velike probleme optimalizacije koristenjem samo osobnog racunala.

K ljucne rijeci: Ma r ko wit z e v m o d e l o p t im a liz a c ije p o r t fe lja , Mo d e l p r o c je n jiva n ja ka p it a ln e im o vin e ,

a n a liz a vis e s t r u ke r e g r e s ije

3.1 Uvod

R a z lic it e t e h n ike m o d e lir a n ja m o g u p o m o ´ c i m e n a d ˇ z e r im a d a s t e kn u ili p o b o ljs a ju u vid u p r o b le m e

o d lu ˇ c iva n ja s a ko jim a s e s u o ˇ c a va ju . N a g la s im o d a m o d e li s a m o p r e d la ˇ z u o d lu ke , d o n o s e ih m e n a d ˇ z e r i. Ia ko

m o d e lir a n je m o ˇ z e b it i o d p o m o ´ c i ja s n ije m s a g le d a va n ju p r o b le m a , s a m o d o n o ˇ s e n je o d lu ka ´ c e u vije k o s t a t i

t e ˇ z a k z a d a t a k. Te h n ika a n a liz e o d lu ka o in ve s t ir a n ju o b ja ˇ s n je n a u o vo m t e ks t u m o ˇ z e p o m o ´ c i m e n a d ˇ z e r im a d a

d o n e s u d o b r e o d lu ke , a li n e m o ˇ z e ja m ˇ c it i d a ´ c e r e z u lt a t i t ih o d lu ka u vije k d o ve s t i d o d o b r ih is h o d a . U n a t o ˇ c

t o m e , ko r is t e n je b ilo ko je g s t r u kt u r ir a n o g p r is t u p a p r i d o n o ˇ s e n ju o d lu ka iz o ˇ s t r a va in t u ic iju o p r o b le m im a

o d lu ˇ c iva n ja o in ve s t ir a n ju s a ko jim a s e s u o ˇ c a va m o . K a o r e z u lt a t , r a z u m n o je o ˇ c e kiva t i d a ´ c e s e d o b r i is h o d i

o d lu ka ˇ c e ˇ s ´ c e p o ja vljiva t i ka d a ko r is t im o s t r u kt u r ir a n i p r is t u p .

Od lu ke o in ve s t ir a n ju s u t e ˇ s ke n a jvis e z b o g t o g a ˇ s t o in ve s t it o r i m o r a ju r a z m a t r a t i m n o g o r a z lic it ih

m o g u ´ c n o s t i p r e m a m n o g o kr it e r ija , p r i ˇ c e m u je n e ke kr it e r ije iz u z e t n o t e ˇ s ko kva lit e t n o kva n t ifi c ir a t i. Je d a n

m e d u t a kvim kr it e r ijim a je r iz ik. ” R e vo lu c io n a r n a id e ja [1 8 ] ko ja d e fi n ir a g r a n ic u iz m e d u p r o ˇ s lo s t i i m o d e r n ih

vr e m e n a je m is t e r ij r iz ika : s h va ´ c a n je d a je b u d u ´ c n o s t vis e o d h ir o va b o g o va i d a lju d i n is u p a s ivn i p r e m a

p r ir o d i. D o k lju d i n is u o t kr ili ka ko p r ije ´ c i t u g r a n ic u , b u d u ´ c n o s t je b ila o g le d a lo p r o ˇ s lo s t i ili m r a ˇ c n o p o d r u ˇ c je

p r o r o ˇ c a n s t a va i vr a ˇ c e va ko ji s u im a li m o n o p o l n a d z n a n je m p r e d vi d a n ja b u d u ´ c ih d o g a d a ja .”

P o ku ˇ s a va ju ´ c i kva n t ifi c ir a t i r iz ik, z n a n s t ve n ic i s u s t o lje ´ c im a r a z vija li r a z lic it e t e o r ije . Ia ko s u p r e d lo ˇ z ili

r a z lic it e n a ˇ c in e m je r e n ja r iz ika , n it i je d n a z a s a d a p r e d lo ˇ z e n a m je r a n ije p o n ije la s t a t u s n a jb o lje . Za t o je

d a n a s r iz ik p o s t a o p r e d m e t o m in t e r d is c ip lin a r n ih is t r a ˇ z iva n ja . R a z lo g z a t o le ˇ z i u ko m p lic ir a n im ve z a m a

e ko n o m s kih va r ija b li, ve z a m a ko jim a n it i je d a n z a s a d a p r e d lo ˇ z e n i m o d e l n ije d o r a s t a o . K a d a g o vo r im o o

e ko n o m s ko m r iz iku , m o r a m o is t a kn u t i d a je o n is t o vr e m e n o i s u b je kt ivn a i o b je kt ivn a ka t e g o r ija . N je g o va

o b je kt ivn o s t p r o iz la z i iz a p r io r n e n e p r e d vid ivo s t i kr e t a n ja c ije le m o d e r n e e ko n o m ije , a s u b je kt ivn o s t z b o g

p o s t o ja n ja in ve s t it o r a s a r a z lic it im s klo n o s t im a p r e m a r iz iku .

U o vo m r a d u ´ c e m o p r ika z a t i kla s ic n e b ikr it e r ijs ke m o d e le ( t r a d e – o ff iz m e d u r iz ika i p r in o s a ) o p t im a l-

iz a c ije p o r t fe lja i ilu s t r ir a t i ka ko m o d e li fu n kc io n ir a ju n a Za g r e b a ˇ c ko j b u r z i. U d r u g o m o d je ljku o b ja s n ili s m o

Ma r ko wit z e v Me a n – V a r ia n c e m o d e l o p t im a liz a c ije p o r t fe lja . U t r e ´ c e m o d je ljku o b ja s n ili s m o ka ko s e m o d e l

p r o c je n jiva n ja ka p it a ln e im o vin e i b e t a – ko e fi c ije n t m o g u ko r is t it i z a o d a b ir e fi ka s n o g p o r t fe lja . U ˇ c e t vr t o m

2 3

o d je ljku o p is a li s m o ka ko iz lo ˇ z e n a t e o r ija fu n kc io n ir a n a p r im je r u Za g r e b a ˇ c ke b u r z e . U p e t o m o d je ljku s u

p r o ve d e n a z a klju ˇ c n a r a z m a t r a n ja .

3.2 Jedna var ijacija M ar kowitzevog modela

3.2.1 M otivacija

Ze lja s vih in ve s t it o r a je vis o ka r a z in a p r in o s a u lo ˇ z e n ih s r e d s t a va u z is t o vr e m e n u n is ku r a z in u r iz ika o d

z n a ˇ c a jn o g g u b it ka u lo ˇ z e n e vr ije d n o s t i. N a ˇ z a lo s t , vis o ka r a z in a m o g u ´ c ih p r in o s a u lo ˇ z e n ih s r e d s t a va o b ic n o je

p r a ´ c e n a vis o ko m r a z in o m r iz ika m o g u ´ c e g g u b it ka . D a kle , p r i d o n o ˇ s e n ju o d lu ka o in ve s t ic ija m a , in ve s t it o r m o r a

iz vr ˇ s it i p r o c je n u i n a p r a vit i ko m p r o m is iz m e d u r iz ika i s t o p e p r in o s a u lo ˇ z e n ih s r e d s t a va ka ko b i p r e p o z n a o ko ja

o d lu ka n a jvis e z a d o vo lja va r a vn o t e ˇ z u iz m e d u t a d va kr it e r ija . A li ˇ s t o je m je r a r iz ika ? L a g a n o je z a p a z it i d a

d o k n a t r ˇ z is t u ka p it a la c ije n a n e kih vr s t a a kt ive r a s t e , ko d d r u g ih p a d a . Te n d e n c ija kr e t a n ja c ije n e ili p r in o s a

d va ju vr s t a a kt ive u is t o m ili s u p r o t n o m s m je r u m je r i s e ko va r ija n c o m . Za t o je lo g ic n o u g r a d it i ko va r ija n c e

s va ke d vije vr s t e a kt ive u p o r t fe lju u m je r u r iz ika p o r t fe lja . D a kle , ka ko b is m o s m a n jili r iz ik, p r iliko m o d a b ir a

p o r t fe lja im a s m is la u n je g a u klju ˇ c it i vr s t e a kt iva ˇ c ija s e c ije n a ili o d in ve s t ir a n ja u n jih o ˇ c e kiva n i p r in o s

ˇ c e s t o kr e ´ c e u s u p r o t n o m s m je r u . S a d a m o ˇ z e m o o p is a t i Ma r ko wit z e v M– V m o d e l ( o d e n g le s ko g n a z iva Me a n –

V a r ia n c e ) o p t im a liz a c ije p o r t fe lja .

3.2.2 N otacija

P r e t p o s t a vim o d a r a z m a t r a m o u klju ˇ c iva n je n vr s t a a kt ive ( d io n ic a ili vr ije d n o s n ih p a p ir a ) u p o r t fe lj.

N e ka va r ija b la o d lu ke xj ( j = 1 , 2 , . . . , n) b u d e vr ije d n o s n i u d io a kt ive j u p o r t fe lju . N e ka µj i σjj r e d o m

b u d u ( p r o c je n je n o ) o ˇ c e kiva n je i va r ija n c a s t o p e p r in o s a o d ka m a t a i r a s t a ka p it a la a kt ive j, g d je σjj m je r i r iz ik

u la g a n ja u t u a kt ivu . Za i ∈ 1 , 2 , . . . , n \ j n e ka σij b u d e ko va r ija n c a p r in o s a iz m e d u a kt ive i i a kt ive j.

3.2.3 P ojam pr inosa na investir ano

P r o c e s in ve s t ir a n ja u p r ikla d n i p o r t fe lj d io n ic a je p r o c e s t r a ˇ z e n ja z a in ve s t it o r a p r ikla d n e r a vn o t e ˇ z e

iz m e d u s ig u r n o s t i, likvid n o s t i i d o b r o g p r in o s a n a in ve s t ir a n o ( ko ji u klju ˇ c u je p r o m je n u t r ˇ z is n e vr ije d n o s t i

p o r t fe lja u ko ji in ve s t ir a m o , ka m a t e i d ivid e n d e ) . P o d p o jm o m dohodak od investiranja p o d r a z u m je va m o d o -

h o d a k z a r a d e n o d a kt ive u ko ju s m o in ve s t ir a li, a prinos na investirano je d o h o d a k o d in ve s t ir a n ja z a je d n o s a

p r o m je n o m vr ije d n o s t i a kt ive ( b e z o b z ir a d a li t a p r o m je n a o d r a ˇ z a va p o ve ´ c a n je ili s m a n je n je n je n e vr ije d n o s t i) .

P r in o s n a in ve s t ir a n o s e , r a d i je d n o s t a vn o s t i, r a ˇ c u n a fo r m u lo m

HPR =K r a jn ja c ije n a d io n ic e − P o ˇ c e t n a c ije n a d io n ic e + D ivid e n d e

P o ˇ c e t n a c ije n a d io n ic e, ( 3 6 )

2 4

g d je o z n a ka H P R s t o ji o d e n g . kr a t ic e z a h o ld in g – p e r io d r e t u r n .

3.2.4 N aivni model pr ipr eme podataka za M –V model

U s lu ˇ c a ju in ve s t ir a n ja z a d u ˇ z i vr e m e n s ki p e r io d , n p r . o d n e ko liko g o d in a , ka d a h e t e r o s ke d a s t ic n o s t

vr e m e n s kih s e r ija n e d o la z i d o iz r a ˇ z a ja , z a o ˇ c e kiva n u vr ije d n o s t p r in o s a a kt ive j, u o b ic a je n o s e u z im a n je n

n a jb o lji lin e a r n i n e p r is t r a n i o c je n jiva ˇ c , t .j. p r o s ije ˇ c n a vr ije d n o s t u z o r ka p r ija ˇ s n jih p r in o s a u p r e t h o d n ih T

vr e m e n s kih r a z d o b lja [1 5 9 ]

µj =1

T

T∑

t=1

Rjt , ( 3 7 )

g d je je Rjt p r in o s o d je d in ic e a kt ive j u p e r io d u t, a z a vr ije d n o s t o ˇ c e kiva n e ko va r ija n c e u z im a s e n je n n a jb o lji

lin e a r n i n e p r is t r a n i o c je n jiva ˇ c

σij =1

T − 1T∑

t=1

( Rit − µi ) ( Rjt − µj ) . ( 3 8 )

K o r is t e n je n a jb o ljih lin e a r n ih n e p r is t r a n ih o c je n jiva ˇ c a z a o ˇ c e kiva n u vr ije d n o s t p r in o s a i z a vr ije d n o s t o ˇ c e kiva n e

ko va r ija n c e je o ˇ c it o n a jje d n o s t a vn iji p r is t u p , n a ˇ z a lo s t n e i d o vo ljn o p r e c iz a n . Ta j m o d e l u lit e r a t u r i s e n a z iva

n a ivn im m o d e lo m p r ip r e m e p o d a t a ka z a M– V m o d e l, a z a vr e m e n s ki p r o z o r ( p e r io d n a o s n o vu ko je g vr ˇ s im o

p r o c je n u ) n a jc e ˇ s ´ c e s e u z im a T = 6 0 . Jo ˇ s je d a n p u t is t a kn im o d a s e u o vo m m o d e lu p r e t p o s t a vlja d a je s t o p a

p r in o s a u b u d u ´ c n o s t i iz ve d e n a ka o p r o s je ˇ c n a vr ije d n o s t p r e t h o d n ih p r in o s a , t e d a s e ig n o r ir a ju m n o g i fa kt o r i

ko ji z n a ˇ c a jn o u t je ˇ c u n a o ˇ c e kiva n i p r in o s .

3.2.5 M –V model

Oc e kiva n a vr ije d n o s t p r in o s a p o r t fe lja je M ( x) , a o ˇ c e kiva n a vr ije d n o s t r iz ika p o r t fe lja V ( x) , g d je je

M ( x) =n∑

j=1

µjxj = µx i V ( x ) =n∑

i=1

n∑

j=1

xiσijxj = x⊤Ax , ( 3 9 )

p r i ˇ c e m u je A = ( σij ) ∈ Mn, µ = ( µj ) ∈ M1n i x = ( xj ) ∈Mn1. Oc e kiva n a vr ije d n o s t r iz ika p o r t fe lja V ( x)

ˇ c e s t o s e u s it u a c iji ka d a s u va r ija b le o d lu ke xj ( j = 1 , 2 , . . . , n ) u d je li a kt ive j u p o r t fe lju n a z iva varijanca

portfelja, je r u s it u a c iji ka d a je p o r t fe lj s a s t a vlje n o d s a m o je d n e a kt ive fu n kc ija V ( x) p o p r im a vr ije d n o s t

va r ija n c e t e a kt ive . N o vit e t p r o fe s o r a Ma r ko wit z a [1 5 6 ] ko r is t e n z a r a z m a t r a n je o d n o s a iz m e d u p r in o s a i r iz ika

je d a u fu n kc iji c ilja ko ju ˇ z e lim o m a ks im a liz ir a t i p r o m a t r a m o n jih o vu lin e a r n u ko m b in a c iju

f ( x ) = tM ( x) − V ( x ) ( 4 0 )

g d je je p a r a m e t a r t in ve s t it o r o v faktor tolerantnosti, z a p r a vo m je r a ko liko in ve s t it o r ˇ z e li im a t i je d in ic a p r in o s a

p o je d in ic i r iz ika . Od a b ir ve like vr ije d n o s t i z a t p o vla ˇ c i d a r iz ik t r e b a g o t o vo u p o t p u n o s t i ig n o r ir a t i, d o k

2 5

o d a b ir vr lo m a le p o z it ivn e vr ije d n o s t i z a t s t a vlja ve liku t e ˇ z in u n a m in im a liz ir a n je r iz ika . Za n im ljivo je jo ˇ s

je d n o o b ja ˇ s n je n je o p is a n e fu n kc ije c ilja . S va ki je in ve s t it o r vo lja n p r e u z e t i o d r e d e n i r iz ik ka ko b i z a r a d io ku n u

vis e . U ko liko ˇ z e li o s t va r it i ve ´ c i p r in o s , in ve s t it o r m o r a p r e u z e t i n a s e b e ve ´ c i r iz ik m o g u ´ c e g n e u s p je h a . D r u g im

r ije ˇ c im a , s va ki in ve s t it o r r a s p o la ˇ z e funkcijom korisnosti novca, ko ja t o ˇ c n o u t vr d u je ko liko je r iz ika in ve s t it o r

s p r e m a n p r e u z e t i ka ko b i o s t va r io o d r e d e n i p r in o s . A ko p r e t p o s t a vim o d a s e in ve s t it o r o va ko r is n o s t n o vc a

m o ˇ z e o p is a t i fu n kc ijo m u( x ) = 1 − e−kx, p r i ˇ c e m u je k parametar averzije investitora prema riziku, a s lu ˇ c a jn i

ve kt o r p r in o s a n a r a z m a t r a n e a kt ive n o r m a ln o d is t r ib u ir a n s a o ˇ c e kiva n je m µ i ko va r ija c io n o m m a t r ic o m A,

o n d a s e m o ˇ z e p o ka z a t i [3 1 ] d a s e o ˇ c e kiva n a ko r is n o s t n o vc a m je r i u p r a vo n a ˇ s o m fu n kc ijo m f ( x) . Ovim s m o

o b ja s n ili fu n kc iju c ilja m a t e m a t ic ko g p r o g r a m a ko je g ˇ z e lim o ko n s t r u ir a t i. Je d in a n je g o va o g r a n ic e n ja ko ja

´ c e m o r a d i je d n o s t a vn o s t i m o d e la p r e t p o s t a vit i s u x ≥ 0 i ex = 1 , p r i ˇ c e m u je e ∈ M1n ve kt o r ko je m s va ka

ko m p o n e n t a iz n o s i 1 . P o t p u n m o d e l n e lin e a r n o g p r o g r a m ir a n ja z a n a ˇ s p r o b le m in ve s t ir a n ja m o ˇ z e m o z a p is a t i

ka o

m a xf ( x)

∣∣∣ ex = 1 , x ≥ 0. ( 4 1 )

3.2.6 P r ocedur a za konstr uir anje efikasne gr anice

K a ko s e M ( x) i V ( x) n e m je r e z a je d n ic ko m m je r n o m je d in ic o m , r e la t ivn o je t e ˇ s ko o d a b r a t i p r ikla d n u

vr ije d n o s t z a t. Zb o g t o g a , r a d ije n e g o d a o d a b e r e m o n e ki ko n s t a n t n i t, ko r is t im o p a r a m e t a r s ki p r is t u p

n e lin e a r n o m p r o g r a m ir a n ju , g e n e r ir a ju ´ c i o p t im a ln o r je ˇ s e n je x = x ( t) ∈ Mn1 ka o fu n kc iju o d t ( r je ˇ s a va n je m

n e lin e a r n o g p r o g r a m a ( 1 7 4 ) z a n iz vr ije d n o s t i p a r a m e t r a t) . S lje d e ´ c i ko r a k je is p it a t i vr ije d n o s t i o d M ( x( t) )

i V ( x ( t) ) z a s va o p t im a ln a r je ˇ s e n ja x ( t) z a o d a b r a n e vr ije d n o s t i o d t i t a d a m e d u n jim a n e ko m p r o c e d u r o m

o d a b r a t i r je ˇ s e n je z a ko je n a m s e ˇ c in i d a d a je n a jb o lji o d n o s iz m e d u p r o m a t r a n ih d va ju ve lic in a . Ova p r o c e d u r a

g e n e r ir a n e d o m in ir a n a r je ˇ s e n ja u p r o s t o r u kr it e r ija ( M ( x ( t) ) , V ( x ( t) ) ) z a e fi ka s n a r je ˇ s e n ja u p r o s t o r u va r ija b li

x ( t ) . D a s e p o d s je t im o , z a s va ki m o g u ´ c i p o r t fe lj x ( t) ( z a d a n o t) ka ˇ z e m o d a je efiksan a ko n e p o s t o ji d r u g i

m o g u ´ c i p o r t fe lj ko ji je b a r e m t o liko d o b a r p o je d n o j m je r i ( M ili V ) i is t o vr e m e n o s t r o g o b o lji p o d r u g o j m je r i

( m a n je V ili ve ´ c e M ) . D a kle , e fi ka s a n p o r t fe lj p r e d s t a vlja ko m b in a c iju a kt iva ko ja in ve s t it o r u o m o g u ´ c a va

s t je c a n je n a jve ´ c e g m o g u ´ c e g p r in o s a u z b ilo ko ju r a z in u r iz ika , o d n o s n o n a jn iz e g r iz ika u z b ilo ko ji o ˇ c e kiva n i

p r in o s . D a n a s je u o b ic a je n o d a s e e fi ka s n a g r a n ic a ilu s t r ir a u p r o s t o r u ( σ, r ) , g d je je σ ( x( t ) ) =√V ( x( t) )

” s t a n d a r d n a d e vija c ija ” o p t im a ln o g p o r t fe lja x ( t) z a d a n o t, a s a r ( x( t) ) s m o s a m o o z n a ˇ c ili M ( x( t) ) .

3.2.7 P ojednostavljenje modela

U p r a ks i s e in ve s t it o r i s u s r e ´ c u s m n o g im p o t e ˇ s ko ´ c a m a u p r a kt ic n o j p r im je n i Ma r ko wit z e ve t e o r ije . S vi

u la z n i p a r a m e t r i Ma r ko wit z e vo g m o d e la o p t im a liz a c ije p o r t fe lja m o r a ju s e p r o c ije n it i, ˇ s t o n e iz b je ˇ z n o u n o s i

2 6

p o g r e ˇ s ke u r a ˇ c u n . S a m o z a p r o c je n u m a t r ic e ko va r ija n c i p o t r e b n o je n( n+ 1 ) / 2 p o je d in a ˇ c n ih p r o c je n a ko va r -

ija n c i ( ko r is t im o n je n u s im e t r ic n o s t ) , ˇ s t o ve ´ c u s lu ˇ c a ju n = 2 0 0 p o s t a je 2 0 1 0 0 p o je d in a ˇ c n ih p r o c je n a . U s lije d

t o g a , z a ve lika t r ˇ z is t a ka p it a la Ma r ko wit z e v m o d e l p o s t a je o p e r a t ivn o n e u p o t r e b ljiv, ka ko z b o g ve liko g u t r o ˇ s ka

vr e m e n a , t a ko i z b o g g r e ˇ s a ka o p t im a ln o g p o r t fe lja ( r je ˇ s e n ja ) , ko ji p o ve ´ c a va n je m b r o ja a kt iva s ve vis e o d s t u p a

o d r e a ln o s t i. Za t o s m o u o vo m r a d u s u p s t it u ir a li m o d e l ( 1 7 4 ) s a je d n o s t a vn ijim m o d e lo m m in im a liz a c ije r iz ika

p o r t fe lja u z u t vr d e n u r a z in u p r in o s a p o r t fe lja r∗ ko ji z a d o vo lja va in ve s t it o r a . P r ip a d n i m o d e l je

m inV ( x) : M ( x ) = r∗, ex = 1 , x ≥ 0

. ( 4 2 )

3.2.8 Rjesavanje pr oblema kvadr atnog pr ogr amir anja

K a d a je fu n kc ija c ilja kva d r a t n a fu n kc ija , a s va o g r a n ic e n ja s u lin e a r n e fu n kc ije va r ija b li o p t im iz a c ije ,

p r o b le m ( MP ) n a z iva m o p r o b le m o m kva d r a t n o g p r o g r a m ir a n ja i z a n je g a u vo d im o o z n a ku p r o b le m ( QP ) .

P r o b le m ( QP ) u s t a n d a r d n o m o b liku g la s i

m in

c⊤x+

1

2x⊤Qx

∣∣∣ Ax = b, x ≥ 0, ( 4 3 )

g d je je x ∈ Mn1 ve kt o r va r ija b li o p t im iz a c ije , A ∈ Mmn m a t r ic a ko e fi c ije n a t a u o g r a n ic e n jim a , b ∈ Mm1

ve kt o r d e s n ih s t r a n a u o g r a n ic e n jim a , c ∈Mn1 ve kt o r ko ji s a d r ˇ z i ko e fi c ije n t e u z lin e a r n e ˇ c la n o ve u fu n kc iji c ilja ,

a Q ∈ Mn m a t r ic a ko ja n a g la vn o j d ija g o n a li s a d r ˇ z i d va p u t a ko e fi c ije n t e u z kva d r a t n e ˇ c la n o ve u fu n kc iji

c ilja , a n a o s t a lim p o z ic ija m a ko e fi c ije n t e u z ˇ c la n o ve u fu n kc iji c ilja o b lika xixj. N e ke o d m e t o d a ko jim a

s e p r o b le m kva d r a t n o g p r o g r a m ir a n ja m o ˇ z e r ije ˇ s it i s u p r im a ln a m e t o d a a fi n o g s ka lir a n ja , p r im a ln o – d u a ln a

m e t o d a i m e t o d a a kt ivn ih s ku p o va .

3.3 M odel pr ocjenjivanja kapitalne imovine

N a ˇ z a lo s t , Ma r ko wit z e v m o d e l [1 5 6 ] z a s n o va n je n a p r e t p o s t a vc i d a s u p r o c je n e u la z n ih p a r a m e t a r a m o d e la

( ve kt o r a µ i m a t r ic e A) p o u z d a n e . N o d a li je t a p r o c je n a p o u z d a n a i d a li je t a j m o d e l d o vo lja n d a p r u ˇ z i

d o vo lja n u vid u p o n a ˇ s a n je t r ˇ z is t a ka p it a la u s t va r n o s t i? Go t o vo s ig u r n o n ije d o vo lja n d a o p is e ˇ s t o s e d o g a d a

ka d a c ije lo t r ˇ z is t e u d e u ko n ju kt u r n i c iklu s r e c e s ije ko ja u z r o ku je p a d c ije n a d io n ic a . Za t o je Ma r ko wit z e vo m

m o d e lu d o d a n model procjenjivanja kapitalne imovine [1 8 8 ] ( e n g l. Ca p it a l a s s e t p r ic in g m o d e l – CA P M) ,

m o d e l ko ji je r a z vio p r o fe s o r W .F. S h a r p e n a t e m e lju p r e t p o s t a vki p o t p u n o e fi ka s n o g t r ˇ z is t a i suvremene

teorije portfelja p r o fe s o r a H . Ma r ko wit z a . P r e t p o s t a vim o d a s va ki in ve s t it o r m o ˇ z e in ve s t ir a t i i u b e z r iz ic n i

p o r t fe lj, t e d a je s a vr ˇ s e n o r a c io n a la n u s m is lu d a ´ c e in ve s t ir a t i u z a n je g a n a t r ˇ z is t u ka p it a la n a jb o lji e fi ka s a n

p o r t fe lj. U la g a n jim a b e z r iz ika t r e t ir a ju s e d r ˇ z a vn i vr ije d n o s n i p a p ir i ( b la g a jn ic ki z a p is i c e n t r a ln e b a n ke

ili t r e z o r s ki z a p is i m in is t a r s t va fi n a n c ija ) . Trzisni portfelj ˇ c in i s ku p s vih in ve s t ic ija n a t r ˇ z is t u ka p it a la u

2 7

p r o p o r c iji u ko jo j vr ije d n o s n o s u d je lu ju n a t r ˇ z is t u . Tr ˇ z is n i p o r t fe lj je p o r t fe lj r iz ic n e a kt ive ˇ c ija ko m b in a c ija

s a b e z r iz ic n im p o r t fe lje m d a je ve ´ c i p r in o s u z m a n ji r iz ik n e g o ko m b in a c ija b e z r iz ic n o g p o r t fe lja s a b ilo ko jim

d r u g im n e d o m in ir a n im r iz ic n im p o r t fe ljo m . Ge o m e t r ijs ki, t o je n e d o m in ir a n a t o ˇ c ka ( σ ( x) , r ( x ) ) , t j. t o ˇ c ka

s a e fi ka s n e g r a n ic e u p r o s t o r u kr it e r ija , z a ko ju je o m je rr ( x) − rRFP

σ ( x )m a ks im a la n , ka o ˇ s t o je t o ilu s t r ir a n o

n a s lic i 1 . U fi n a n c ijs ko j t e o r iji, u o b ic a je n o je p r ika z a t i iz ve d e n u e fi ka s n u g r a n ic u u p r o s t o r u kr it e r ija , t j. u

( σ ( x) , r ( x) ) p r o s t o r u . RFP = ( 0 , rRFP ) p r e d s t a vlja t o ˇ c ku b e z r iz ic n o g p o r t fe lja ( e n g . R is k Fr e e P o r t fo lio ) , a

MP = ( σ ( xMP ) , r ( xMP ) ) p r e d s t a vlja t o ˇ c ku t r ˇ z is n o g p o r t fe lja xMP ( e n g . Ma r ke t P o r t fo lio ) u p r o s t o r u kr it e r ija .

L in ija ko ja s p a ja t o ˇ c ke RFP i MP n a z iva s e linija trzista kapitala ( kr a t ic a CML , o d e n g . Ca p it a l Ma r ke t

L in e ) .

S lika 1 . Ilu s t r a c ija CA P M t e o r ije z a Za g r e b a ˇ c ku b u r z u

P r o c je n a ka p it a ln e im o vin e , ko jo m s e o z n a ˇ c a va ju s ve u t r ˇ z ive d u g o r o ˇ c n e in ve s t ic ije , z a s n iva s e n a je d -

n a d ˇ z b i p o ko jo j je o ˇ c e kiva n i p r in o s n e ke in ve s t ic ije ( d io n ic e ili d r u g ih vr ije d n o s n ih p a p ir a ) fu n kc ija s t o p e

p r in o s a n a u la g a n ja b e z r iz ika , s is t e m s ko g in ve s t ic ijs ko g r iz ika t a kve in ve s t ic ije i o ˇ c e kiva n e p r e m ije r iz ika n a

t r ˇ z is n i p o r t fe lj. Sistemski rizik investicije je o n a j d io u ku p n o g r iz ika ko ji s e n e m o ˇ z e iz b je ´ c i d ive r s ifi ka c ijo m

je r o vis i o kr e t a n jim a c je lo ku p n o g a t r ˇ z is t a ( z a t o s e jo ˇ s n a z iva i t r ˇ z is n i r iz ik) , a m je r i s e beta–koeficijentom.

Tr ˇ z is n i r iz ik p r o iz la z i iz e ks t e r n ih o ko ln o s t i n a ko je p o d u z e ´ c e n e m o ˇ z e d je lo va t i ( c iklic ka kr e t a n ja p r ivr e d e ,

in fl a c ija , p o lit ika ka m a t n ih s t o p a , t e r o r is t ic ki n a p a d n a S A D ) . S ve s u t vr t ke p o d u t je c a je m t ih fa kt o r a , t a ko

d a s e o va j r iz ik n e m o ˇ z e iz b je ´ c i d ive r s ifi c ir a n je m , p a s e m o ˇ z e n a z va t i nediversificiranim rizikom.

S a ˇ z m im o s a d a p r e t p o s t a vke CA P M m o d e la [1 8 8 ]. N a t r ˇ z is t u im a m n o g o in ve s t it o r a ko ji r a s p o la ˇ z u

z a n e m a r ivim p r o r a ˇ c u n o m z a in ve s t ir a n je u s m is lu d a s u s vi p r ih va t io c i t r ˇ z is n ih c ije n a ( n e m o g u u t je c a t i n a

n jih ) , s vi p r a ve p la n in ve s t ir a n ja z a is t i vr e m e n s ki p e r io d , in ve s t ir a n je m o ˇ z e b it i je d in o u fi n a n c ijs ku a kt ivu

ko jo m s e ja vn o t r g u je , p o s t o ji m o g u ´ c n o s t in ve s t ir a n ja u b e z r iz ic n u a kt ivu , in ve s t it o r i n e p la ´ c a ju n it i p o r e z e

n it i t r a n s a kc ijs ke t r o ˇ s ko ve t r g o vin e d io n ic a m a i s vi in ve s t it o r i ko r is t e M– V m o d e l z a o d a b ir p o r t fe lja , ko r is t e ´ c i

is t e p r o c je n e u la z n ih p a r a m e t a r a .

2 8

Ilu s t r ir a jm o s a d a iz vo d b e t a – ko e fi c ije n t a ka o m je r e s is t e m a t s ko g r iz ika in ve s t ir a n ja u a kt ivu k [6 2 ], [1 8 8 ].

A ko in ve s t ir a m o u d io z a in ve s t ir a n je r a s p o lo ˇ z ivo g p r o r a ˇ c u n a w u a kt ivu k i u d io ( 1 − w ) u t r ˇ z is n i p o r t fe lj,

o n d a n o vi p o r t fe lj im a o ˇ c e kiva n i p r in o s

r ( w ) = wrk + ( 1 − w ) rMP , ( 4 4 )

a va r ija n c a o ˇ c e kiva n o g p r in o s a je

σ2 ( w ) = w2σ2k + ( 1 − w ) 2σ2

MP + 2 w ( 1 − w ) Cov ( rk, rMP ) . ( 4 5 )

U z p r e t p o s t a vku d a je lin ija t r ˇ z is t a ka p it a la t a n g e n t a n a e fi ka s n u g r a n ic u ,

rMP − rRFP

σMP

=dr

dσ( MP ) = lim

w→0

dr ( w )

dσ ( w )= lim

w→0

drdw( w )

dσdw( w )

=σMP ( rk − rMP )

Cov ( rk, rMP ) − σ2MP

,

o d n o s n orMP − rRFP

σMP=

rk−rMP

σMP

βk − 1, g d je je βk =

Cov ( rk, rMP )

σ2MP

m je r a s is t e m s ko g r iz ika ko ju n a z iva m o b e t a -

ko e fi c ije n t . L a g a n o iz vo d im o je d n a d ˇ z b u

rk − rRFP = βk ( rMP − rRFP ) . ( 4 6 )

D a kle , r a z lika s t o p e p r in o s a in ve s t ir a n ja u a kt ivu k i s t o p e p r in o s a n a u la g a n ja b e z r iz ika ( p r e m ija r iz ika

in ve s t ir a n ja u a kt ivu k ) je u m n o ˇ z a k s is t e m s ko g r iz ika in ve s t ic ije u a kt ivu k i o ˇ c e kiva n e p r e m ije r iz ika n a

t r ˇ z is n i p o r t fe lj ( e n g . m a r ke t r is k p r e m iu m ) , t j. r a z like s t o p e p r in o s a o d in ve s t ir a n ja u t r ˇ z is n i p o r t fe lj i s t o p e

p r in o s a n a u la g a n ja b e z r iz ika . Jo ˇ s je d a n p u t is t a kn im o d a ´ c e r a c io n a la n in ve s t it o r p r e m a CA P M m o d e lu u vije k

in ve s t ir a t i u ko m b in a c iju b e z r iz ic n o g i t r ˇ z is n o g p o r t fe lja .

3.4 I mplementacija CAP M teor ije u paketu M athematica

U o vo m o d je ljku ´ c e m o ilu s t r ir a t i ka ko s e p r o g r a m s ki p a ke t M athematica m o ˇ z e is ko r is t it i z a im p le -

m e n t a c iju r a n ije o p is a n e t e o r ije . M athematica Fin a n c e E s s e n t ia ls A p p lic a t io n P a c k n ije ko r is t e n je r p r e la z i

o kvir e p o t r e b e ilustracije opisane teorije studentima, ia ko z a r a z vo j ko m e r c ija ln e a p lika c ije a u t o r p r e p o r u ˇ c a

u p r a vo n je g o vu n a d o g r a d n ju . S vi u la z n i p o d a c i z a Ma r ko wit z e v m o d e l n a la z e s e u m a t r ic i R = [Rjt] ∈ MnT ,

g d je je Rjt p r in o s d io n ic e j u vr e m e n s ko m p e r io d u t. Me d u d io n ic a m a s a ko jim a s e t r g o va lo n a Za g r e b a ˇ c ko j

b u r z i o d a b r a li s m o n = 1 2 likvid n ih d io n ic a s a s t r o g o p o z it ivn im p r o s je ˇ c n im p r in o s o m , u T = 4 8 m je s e c i.

K r it e r ij o d a b ir a p o d s ku p a d io n ic a b io je d a s u u p r o m e t u Za g r e b a ˇ c ke b u r z e u 2 0 0 3 . g o d in i s u d je lo va le s a

p r e ko 1 0 m ilio n a ku n a , t e d a s e s a n jim a t r g o va lo u ˇ c e s t a lo . Mje s e ˇ c n i p o d a c i s u p r o m a t r a n i o d s ije ˇ c n ja 2 0 0 0 .

g o d in e d o p r o s in c a 2 0 0 3 . g o d in e , a iz ve d e n i s u iz m je s e ˇ c n ih b u r z o vn ih iz vje ˇ s ´ c a d o s t u p n ih n a www.zse.hr ka ko

je d e t a ljn o o p is a n o u [3 1 ]. K a ko s e p o d a c i o p r in o s im a u p r a vilu kn jiz e u E xc e l r a d n o j t a b lic i, d a b is m o

2 9

iz b je g li p r e p is iva n je p o d a t a ka , m o ˇ z e m o ko r is t it i t r i n a ˇ c in a iz m je n e p o d a t a ka iz m e d u M athematica– e i E xc e l–

a : ko r is t e n je c lip b o a r d a , ko r is t e n je R eadE xcel fu n kc ije i ko r is t e n je M ultiL ink ko n p o n e n t e . D e t a lji s e m o g u

p r o n a ´ c i u H e lp u , A d d – o n s , M athematica L in k fo r E xc e l. S a d a s e iz u la z n ih p o d a t a ka m o g u iz r a ˇ c u n a t i ve kt o r

p r o s je ˇ c n ih p r in o s a µ i m a t r ic a ko va r ija n c i A, a p r ip a d n i M athematica p r o g r a m m o ˇ z e s e p r o n a ´ c i u [2 3 ]. N a ko n

ˇ s t o s m o p r ip r e m ili p o d a t ke z a h t je va n e u Ma r ko wit z e vo m m o d e lu , u c ilju ko n s t r u ir a n ja e fi ka s n e g r a n ic e , m o d e l

( 1 7 7 ) je p o t r e b n o r ije ˇ s it i va r ir a ju ´ c i u la z n i p o d a t a k r∗ o m in im a ln o m z a h t je va n o m p r in o s u . Mi s m o o d a b r a li

d a r∗ ˇ c in e a r it m e t ic ki n iz s a d ife r e n c ijo m 0 .0 2 5 . P r ip a d n i p r o b le m kva d r a t n o g p r o g r a m ir a n ja s m o p o t r e b a n

b r o j p u t a r ije ˇ s ili P r im a l– D u a l m e t o d o m . P r ip a d n i M athematica p r o g r a m z a t u m e t o d u d o s t u p a n je u [2 3 ].

N a p o m e n im o d a je p r ip a d n u p r o c e d u r u p o t r e b n o p r ila g o d it i o d s t r a n jiva n je m o g r a n ic e n ja d a je m a ks im a la n

d o p u ˇ s t e n b r o j it e r a c ija 2 0 ( z a r je ˇ s a va n je ve likih p r o b le m a , p o t r e b n o je vis e o d 2 0 it e r a c ija z a p o s t iz a n je ˇ z e lje n e

t o ˇ c n o s t i, n p r . 1 0 −6 ) , a p o ˇ z e ljn o je , u c ilju s m a n je n ja vr e m e n a p o t r e b n o g z a r je ˇ s a va n je , iz p r o c e d u r e o d s t r a n it i

is p is m e d u r e z u lt a t a ko ji s e d o b iju r je ˇ s a va n je m p r o b le m a . V r ije m e p o t r e b n o z a r je ˇ s a va n je n a ve d e n o g p r o g r a m a

n a n o t e b o o k-u P e n t iu m IV , s a 2 5 6 MB R A M– a je s ve g a n e ko liko s e ku n d i, d o k je z a r je ˇ s a va n je is t o g p r o g r a m a

z a o ko 5 0 d io n ic a p o t r e b n o o ko s a t vr e m e n a . N a ko n ˇ s t o s e p r o g r a m r ije ˇ s i z a ve liki b r o j d io n ic a , p o ˇ z e ljn o je z a -

p a m t it i n je g o vo r je ˇ s e n je ka ko g a n e b is m o p r ije s va ko g ko r is t e n ja n je g o vih r e z u lt a t a m o r a li p o n o vn o r je ˇ s a va t i.

N a ko n r je ˇ s a va n ja , la g a n o je is c r t a t i r je ˇ s e n je . K a o d o d a t a k je n a p is a n a p r o c e d u r a ko ja z a ˇ z e lje n u d io n ic u

( p o t r e b n o je je d in o u p is a t i n je n o im e ) is c r t a va n je n u d io u o p t im a ln o m p o r t fe lju ka o fu n kc iju ˇ z e lje n o g p r in o s a .

N a s lic i 2 . ilu s t r ir a n je r a d p r o c e d u r e .

S lika 2 . U d io d io n ic e P B Z u o p t im a ln o m p o r t fe lju ka o fu n kc ija p r in o s a

R a d i viz u a ln o la ks e u s p o r e d b e d io n ic a , u p a ke t u M athematica je d n o s t a vn o je s p o jit i n e ko liko o va kvih

s lika u je d n u . K a o d o d a t n a g e n e r a liz a c ija , n a p is a n a je p r o c e d u r a ko ja is c r t a va u d io u o p t im a ln o m p o r t fe lju

ka o fu n kc iju p r in o s a z a s ve d io n ic e ko je n a in t e r va lu ˇ z e lje n o g p r in o s a iz m e d u z a d a n ih g r a n ic a z a b a r e m je d n u

r a z in u p r in o s a u o p t im a ln o m p o r t fe lju s u d je lu ju s a u d je lo m ve ´ c im o d z a d a n o g . N a o s n o vu n a p is a n ih p r o c e d u r a ,

in ve s t ic ijs ko m m e n a d ˇ z e r u je , p r e ko viz u a liz a c ije r je ˇ s e n ja Ma r ko wit z e vo g m o d e la , o m o g u ´ c e n o d a r a z vija s vo ju

3 0

in t u ic iju o t o m e u ko je d io n ic e in ve s t ir a t i. N a r a vn o , m o d e le ko ji p r e d la ˇ z u o p t im a la n p o r t fe lj je d in o n a o s n o vu

p o d a t a ka o p r ija ˇ s n jim p r in o s im a u vije k m o r a m o u z e t i s a ve liko m d o z o m r e z e r ve , a in t e r p r e t a c ija r e z u lt a t a

m o d e la b e z p o z n a va n ja u z r o ˇ c n o – p o s lje d ic n ih ve z a n a s a m o j b u r z i m o ˇ z e d o ve s t i d o kr ivih p r o s u d b i. Za t o s e z a

a n a liz u t r e b a ko r is t it i vis e m e t o d o lo g ija ko je , s va ka iz s vo je p e r s p e kt ive , p r u ˇ z a ju p a r c ija ln u s liku p r o b le m a ,

a n a in ve s t ic ijs ko m m e n a d ˇ z e r u je d a iz t ih s lika s lo ˇ z i m o z a ik i is ko r is t i g a z a u s p je ˇ s n o in ve s t ir a n je . Ta ko

je n a p is a n a p r o c e d u r a ko ja z a s va ku d io n ic u is c r t a va n je n p r in o s ka o fu n kc iju vr e m e n a , p r ip a d n i r e g r e s ijs ki

p r a va c t e g r a n ic e p o u z d a n o s t i. N a s lic i 3 . ilu s t r ir a n je r a d p r o c e d u r e n a p r im je r u d io n ic e P B Z. N a ˇ z a lo s t , s a m

t r e n d n ije d o vo lja n z a p r o c je n u p r in o s a d io n ic e .

S lika 3 . P r in o s d io n ic e P B Z ka o fu n kc ija vr e m e n a

Za p r o c je n u s is t e m s ko g r iz ika is ko r is t e n a je a n a liz a je d n o s t a vn e lin e a r n e r e g r e s ije . U o b ic a je n e m p ir ijs ki

o c je n jiva ˇ c B e t a – ko e fi c ije n t a je b a z ir a n n a t e o r ijs ki iz ve d e n o j je d n a d ˇ z b i ( 4 6 ) i p r o c je n ju je s e z a d io n ic u k

m e t o d o m n a jm a n jih kva d r a t a iz je d n a d ˇ z b e

rk,t − rRFP,t = αk + βk ( rMP,t − rRFP,t ) + εk,t t = 1 , . . . , T , ( 4 7 )

g d je je εk,t n o r m a ln o d is t r ib u ir a n a s lu ˇ c a jn a p o g r e ˇ s ka z a d io n ic u k u vr e m e n u t. P r o c je n a b e t a ko e fi c ije n t a z a

d io n ic u P OD R -R -A je ilu s t r ir a n a s liko m 4 . B e t a – ko e fi c ije n t p r e d s t a vlja n a g ib p r o c je n je n o g p r a vc a . Te o r ijs ki

je o d s je ˇ c a k n a o s i o r d in a t a αk = 0 , a li t u p r e t p o s t a vku t e k t r e b a t e s t ir a t i. Mo g u li in ve s t it o r i vje r o va t i

B e t a – ko e fi c ije n t im a n a Za g r e b a ˇ c ko j b u r z i, d is ku t ir a n o je p r ilic n o d e t a ljn o u r a d u [9 3 ].

3 1

Za p r in o s b e z r iz ic n o g p o r t fe lja m o ˇ z e s e u z e t i n p r . ka m a t n a s t o p a n a d r a g o vo ljn o u p is a n e b la g a jn ic ke

z a p is e H N B -a s r o ko m d o s p ije ´ c a o d 6 3 d a n a . P o d a c i s u d o s t u p n i n a a d r e s i www.hnb.hr. Is p is s vih p o t r e b n ih

s t a t is t ika i iz r a ˇ c u n p r ila g o d e n o g Me r r ill L yn c h B e t a – ko e fi c ije n t a p r e u z e t je iz [2 7 ], g d je je p r o c e d u r a d e t a ljn o

o p is a n a .

S lika 4 . E m p ir ijs ka p r o c je n a b e t a ko e fi c ije n t a

V e z a p r ila g o d e n o g Me r r ill L yn c h B e t a – ko e fi c ije n t a i p r in o s a je z a p r o m a t r a n e d io n ic e n a Za g r e b a ˇ c ko j

b u r z i ilu s t r ir a n a je n a s lic i 5 .

S lika 5 . P r ila g o d e n i Me r r ill L yn c h B e t a – ko e fi c ije n t

K a o d o d a t n o , is t a t e o r ija im p le m e n t ir a n a je z a p o u z d a n iju p r o c je n u p r in o s a [8 4 ] m o d e lim a vis e s t r u ke

r e g r e s ije .

3.5 Zakljucna r azmatr anja

N u m e r ic ki je d n o s t a vn a Ma r ko wit z e va t e o r ija o p t im a liz a c ije p o r t fe lja je , u s p r ko s s vo jo j z n a ˇ c a jn o j u lo z i

u fi n a n c ijs ko j t e o r iji, p o d vr g n u t a kr it ic i. N a jz n a ˇ c a jn ija kr it ika p r o iz la z i iz n je n e ko n z is t e n t n o s t i s a p r is t u p o m

3 2

kva d r a t n e fu n kc ije ko r is n o s t i u s lu ˇ c a ju n o r m a ln o d is t r ib u ir a n ih p r in o s a . N a ˇ z a lo s t , o o b je p r e t p o s t a vke m o ˇ z e s e

r a s p r a vlja t i [1 2 9 ]. D a n a ˇ s n ji m o d e li p o ku ˇ s a va ju r a z liko va t i p o t e n c ija l iz n a d p r o s je ˇ c n e z a r a d e o d r iz ika ve liko g

g u b it ka iz o s t a vlja ju ´ c i p r e t p o s t a vku s im e t r ic n o s t i d is t r ib u c ije p r in o s a . Ta ko d e r , p r e t p o s t a vka ko n s t a n t n o s t i

m a t r ic e ko va r ija n c i t ije ko m vr e m e n a je u ko n t r a d ikc iji s a d in a m ic ko m p r ir o d o m u p r a vlja n ja p o r t fe lje m , a u t -

je c a j m n o g ih va r ija b li, ka o ˇ s t o s u n p r . t r a n s a kc ijs ki t r o ˇ s ko vi, je z a n e m a r e n . U s p r ko s o vo j kr it ic i, Ma r ko wit z e v

m o d e l ip a k p r u ˇ z a ka ko – t a ko z a d o vo lja va ju ´ c i in ic ija ln i u vid ( p r ije o z b iljn ije a n a liz e ) u p o n a ˇ s a n je p r o m a t r a n e

b u r z e .

U p r o s in c u 2 0 0 3 . g o d in e , CR OB E X je b io s a s t a vlje n o d d io n ic a CR OS , IS TT, K OE I, K R A S , P L A G,

P L V A , P OD R i R IV P . A ko s e u z t e d io n ic e ka o ka n d id a t i z a d io n ic e ko je ´ c e ˇ c in it i in ve s t it o r o v p o r t fe lj p r o -

m a t r a ju i d io n ic e E L K A , JN A F, P B Z i ZA B A , CA P M t e o r ija ka o r e z u lt a t d a je t r ˇ z is n i p o r t fe lj ko ji ˇ c in e

CR OS ( 1 0 .2 2 % ) , E L K A ( 8 .5 0 % ) , IS TT( 1 6 .7 8 % ) , JN A F( 2 .5 5 % ) , K R A S ( 1 8 .2 9 % ) , P B Z( 3 3 .6 4 % ) , P L A G( 7 .7 9 % )

i P L V A ( 2 .2 3 % ) . Oc it o je d a r je ˇ s e n je n ije o p e r a t ivn o u p o t r e b ljivo .

V r lo d e t a ljn a kr it ika fi n a n c ijs ke t e o r ije p r e z e n t ir a n e u o vo m t e ks t u , n a p r a vlje n a je u n je g o vo j p r o ˇ s ir e n o j

ve r z iji. Ta m o je p r e d lo ˇ z e n o ka ko s e u M– V m o d e l m o g u u g r a d it i o g r a n ic e n ja ko ja g a m o g u u ˇ c in it i b a r e m m a lo

r e a lis t ic n ijim . Za in t e r e s ir a n i z a p r o ˇ s ir e n u ve r z iju m o g u s e o b r a t it i a u t o r u .

N a kr a ju , o b ja s n im o r a z lo g e z a ˇ s t o s m o s e o p r e d ije lili z a im p le m e n t a c iju u p r a vo u p r o g r a m s ko m p a ke t u

M athematica. Za ˇ s t o s e g n ja vit i ko r is t e n je m p r o g r a m s ko g p a ke t a M athematica ka d a im a m o n a r a s p o la g a n ju

r a d n e t a b lic e p o p u t E xc e la ? R a z lo g je t a j ˇ s t o M athematica r a s p o la ˇ z e s n a ˇ z n ijim i s ve s t r a n ijim m a t e m a t ic kim

a la t o m , s p o s o b n im d a r ije ˇ s i ve like p r o b le m e o p t im a liz a c ije ko r is t e n je m s a m o o s o b n o g r a ˇ c u n a la .

4 I nvestir anje u Real E state I nvestment T r usts (RE I T s) koji se

u H r vatskoj nazivaju zatvor eni investicijski fondovi s javnom

ponudom za ulaganje u nekr etnine

4.1 Zasto su nastali RE I T fondovi?

R E IT fo n d o vi n a s t a li s u u U S p r ije g o t o vo p o la s t o lje ´ c a s c ilje m o m o g u ´ c a va n ja p r is t u p a m a lim u la g a ˇ c im a

u la g a n jim a u ve like p r o je kt e ve z a n e u z n e kr e t n in e ko je d o n o s e d o h o d a k. Ma li u la g a ˇ c i t a j p r is t u p o s t va r u ju

ku p n jo m d io n ic a R E IT fo n d o va , a ko ja p r e d s t a vlja u la g a n je u d ive r s ifi c ir a n i p o r t fe lj n e kr e t n in a ko jim a u p r a -

vlja ju p r o fe s io n a lc i. F inanciranjem izgradnje nekretnina od strane R E IT fondova se cesto otvaraju nova radna

mjesta. N e ka r a d n a m je s t a o t va r a ju s e iz r a vn o , p o p u t r a d n ih m je s t a u p r a vit e lja n e kr e t n in o m i z a ˇ s t it a r a ,

z a p o s le n ika ko ji ´ c e r a d it i u n e kr e t n in i ko ja m o ˇ z e b it i p r o iz vo d n o p o s t r o je n je , h o t e l, r e h a b ilit a c ijs ki c e n t a r ,

3 3

u d o m it e ljs ka u s t a n o va ili b ilo ko ja d r u g a n e kr e t n in a ko ja d o n o s i d o h o d a k. N e ka r a d n a m je s t a o t va r a ju s e

in d ir e kt n o , p o p u t z a p o ˇ s lja va n ja g r a d e vin s kih r a d n ika u g r a d e vin s ko m p o d u z e ´ c u ko je iz vo d i o p e r a t ivn e p o s lo ve

iz g r a d n je n e kr e t n in a R E IT fo n d a i p r o je kt a n a t a . U z n e kr e t n in e R E IT fo n d a n a s t a ju m n o g o b r o jn i ko o p e r a n t i

ko ji m u p r u ˇ z a ju r a z n e s p e c ija liz ir a n e u s lu g e ve z a n e u z o d r ˇ z a va n je n e kr e t n in a i s lic n o . Zb o g ko r is t i ko ju t a kvi

fo n d o vi d o n o s e e ko n o m iji, U S vla d a je d o n ije la z a ko n e p r e m a ko jim a n e p o s t o ji o p o r e z iva n je R E IT fo n d o va

n a r a z in i p o d u z e ´ c a .

P r e m a U S z a ko n u , R E IT je o p o r e z ivo d io n ic ko d r u ˇ s t vo ko je im a s vo ju u p r a vu , n a jm a n je s t o d io n ic a r a p r i

ˇ c e m u p e t n a jve ´ c ih n e r a s p o la ˇ z u s a vis e o d p o lo vin e u p is a n ih d io n ic a R E IT fo n d a , ko je in ve s t ir a n a jm a n je 7 5

p o s t o u ku p n e im o vin e u n e kr e t n in e , o s t va r u je n a jm a n je 7 5 p o s t o b r u t o d o h o t ka o d u p r a vlja n ja n e kr e t n in a m a ,

a ko d io n ic e o p o r e z ivih R E IT p o d r u ˇ z n ic a ˇ c in e n a jvis e 2 0 p o s t o n jih o ve im o vin e , t e a ko is p la ´ c u ju n a jm a n je 9 0

p o s t o o p o r e z ivo g d o h o t ka p u t e m d ivid e n d i s vo jim d io n ic a r im a . Zb o g t o g a s e R E IT fo n d o vi u b r a ja ju u d io n ic ka

d r u ˇ s t va ko ja is p la ´ c u ju n a jvis u d ivid e n d u . D ivid e n d a R E IT fo n d a n a s t a je iz r e la t ivn o s t a b iln ih i p r e d vid ljivih

n o vc a n ih t o ko va , p r ije s ve g a iz r e n t e ko ju p la ´ c a ju z a ku p n ic i n e kr e t n in a ko jim a u p r a vlja R E IT fo n d . K a ko

r e n t e r a s t u u p e r io d im a p o ve ´ c a n e in fl a c ije , r e a ln e d ivid e n d e s u d o b r o z a ˇ s t ic e n e .

U p r a va R E IT fo n d a o d lu ˇ c u je o n je g o vim in ve s t ic ija m a i im e n u je u p r a vit e lje n e kr e t n in a m a , a o d g o vo r n a

je p r ije s ve g a s vo jim d io n ic a r im a . Ce s t o s u ˇ c la n o vi u p r a ve i u p r a vit e lji n e kr e t n in a m a i s a m i d io n ic a r i R E IT

fo n d a , p a s e n jih o v in t e r e s u p r a vilu p o d u d a r a s a in t e r e s o m o s t a lih d io n ic a r a . N a p o m e n im o d a su mnogi R E IT

fondovi cijim se dionicama trguje na javnim trzistima kapitala nastali udruzivanjem privatnih poduzetnika u

poslovima s nekretninama.

Cilj u p r a vlja n ja n e kr e t n in a m a i o d r ˇ z a va n ja n e kr e t n in a je p o d iz a n je vr ije d n o s t i is t ih u z is t o vr e m e n o u b i-

r a n je o b r o ka d e fi n ir a n ih u g o vo r im a o d u g o r o ˇ c n o m o p e r a t ivn o m le a s in g u n e kr e t n in a , o z a ku p u ili n a jm u n e kr e -

t n in a . R E IT fo n d o vi z a p o ˇ s lja va n ju vla s t it e fi n a n c ijs ke p la n e r e ( CFP =Ce r t ifi e d Fin a n c ia l P la n n e r ) , fi n a n c ijs ke

s a vje t n ike ( Ch FC=Ch a r t e r e d Fin a n c ia l Co n s u lt a n t ) i fi n a n c ijs ke a n a lit ic a r e ( CFA =Ch a r t e r e d Fin a n c ia l A n a -

lys t ) , im a ju vla s t it u p r a vn u s lu ˇ z b u i TR S -o ve ( vla s t it e m a js t o r e = n iz e t r o ˇ s ko ve p o p r a va ka z g r a d a i d e ˇ z u r s t va

z a h it n e in t e r ve n c ije , vla s t it e d o m a r s ke s lu ˇ z b e i s lu ˇ z b e z a ˇ c is ´ c e n je ) . K o r is t e n je m e ko n o m ic n o s t i ve lic in e im a ju

m o g u ´ c n o s t p o vo ljn ije g o s ig u r a va n ja z g r a d a ko d o s ig u r a va ju ´ c e g d r u ˇ s t va , p o vo ljn iju n a b a vu p o t r o ˇ s n o g m a t e r i-

ja la i p o vo ljn iju E K S ko d z a d u ˇ z iva n ja ko d p o s lo vn ih b a n a ka . K t o m e m o g u ko r is t it i fi n a n c ijs ku p o lu g u i n e

p la ´ c a ju p o r e z e p o p u t o s t a lih p o d u z e ´ c a .

R E IT fondovi su most izmedu trzista kapitala i trzista nekretnina. Zb o g t o g a s e B u g a r s ka vla d a , z a

r a z liku o d H r va t s ke vla d e , n ije b r in u la o t o m e ˇ s t o R E IT fo n d o vi n e p la ´ c a ju p o r e z p o p u t o b ic n ih p o d u z e ´ c a ,

ve ´ c je p r ih va t ila U S i Fr a n c u s ko z a ko n o d a vs t vo ko je p o t ic e t o liko p o t r e b n e in ve s t ic ije u s e kt o r e n e kr e t n in a

s t a m b e n e , t u r is t ic ke i in d u s t r ijs ke n a m je n e p u t e m iz d a va n ja i ku p n je d io n ic a R E IT fo n d o va . Za H r va t s ku

b i t r e b a o b it i s t r a t e ˇ s ki in t e r e s o kr u p n ja va n je p o ljo p r ivr e d n ih z e m ljis t a i iz g r a d n ja in d u s t r ijs kih p a r ko va s r e d -

3 4

s t vim a ko ja ´ c e p r iku p it i in ve s t ic ijs ki fo n d o vi s ja vn o m p o n u d o m z a u la g a n je u n e kr e t n in e . A d u g o r o ˇ c n im

p r iva t n im in ve s t it o r im a je n e p la ´ c a n je p o r e z a m n o g o ja ˇ c i m o t iv z a u la g a n je o d je d n o kr a t n e d o d je le p o t ic a jn ih

s r e d s t a va ko ja s u p r iku p lje n a p o r e z im a .

4.2 Zasto investir ati u dionice RE I T fondova?

Tr ˇ z is t e ka p it a la p r im a r n o p o s t o ji ka ko b i s e n a o r g a n iz ir a n o m m je s t u s ku p io n o va c z a p o s lo va n je p o -

d u z e ´ c a , a t e k o n d a z a in ve s t it o r e ko ji ˇ s p e ku lir a ju d a ´ c e b it i n a g r a d e n i je r s u u o ˇ c ili d io n ic u ” ˇ c ija ´ c e c ije n a

r a s t i” . S t o g a , ka d a s e u la z i u ku p n ju d io n ic e ko ju n e p o d r ˇ z a va ju p o ka z a t e lji p o s lo va n ja , ve ´ c s e d io n ic o m t r g u je

is klju ˇ c ivo n a t e m e lju z a ko n a p o n u d e i p o t r a ˇ z n je , va ˇ z n o je b it i s vje s t a n r iz ika ko ji s e p r i t o m e ku p u je . Zb o g

n a ve d e n ih r a z lo g a je z a ” ˇ s p e ku la n t e ” ku p n ja d io n ic a R E IT fo n d o va n e a t r a kt ivn a , p o g o t o vo a ko R E IT fo n d

ko t ir a n a b r z o r a s t u ´ c e m t r ˇ z is t u ka p it a la ka kvo je h r va t s ko . S d r u g e s t r a n e , dugorocni ulagaci koji su nekoliko

godina spremni pricekati vrlo sigurne i visoke dividende uz umjerenu i stabilnu aprecijaciju kapitala, R E IT

fondove smatraju najpozeljnijom investicijom. Za t o s u d a n a s , u z u la g a ˇ c e ˇ c iji je p o s a o d ir e kt n o ve z a n u z fi n a n -

c ir a n je o d s t r a n e R E IT fo n d a i d e s e t ke t is u ´ c a m a lih u la g a ˇ c a , najznacajniji dionicari R E IT fondova mirovinski

fondovi i osiguravajuca drustva. Ma li u la g a ˇ c i i m n o g i in s t it u c io n a ln i in ve s t it o r i s e o d lu ˇ c u ju n a in d ir e kt n o

vla s n is t vo R E IT d io n ic a u la g a n je m u o t vo r e n i in ve s t ic ijs ki fo n d s p e c ija liz ir a n z a u la g a n je u R E IT fo n d o ve

ili u la g a n je m u n e ki R E IT E TF. Is t a kn im o d a se ulaganje u R E IT E TF prema kriteriju likvidnosti gotovo

moze smatrati ekvivalentom novca, a ka ko vr lo s la b o ko r e lir a s a in d e ks im a t r ˇ z is t a ka p it a la , in s t it u c io n a ln im

in ve s t it o r im a z n a ˇ c a jn o p o m a ˇ z e iz g r a d it i d o b r o d ive r s ifi c ir a n i p o r t fe lj.

K o liko d u g o u la g a ˇ c i u d io n ic e R E IT fo n d a t r e b a ju p r ic e ka t i p r vu z n a ˇ c a jn iju is p la t u d ivid e n d e ? U

z e m lja m a s a s r e d e n o m b ir o kr a c ijo m n a iz d a va n je g r a d e vin s ke d o z vo le s e ˇ c e ka s a m o n e ko liko d a n a , d o k je u

z e m lja m a n e e fi ka s n e d r ˇ z a vn e a d m in is t r a c ije z a g r a d e vin s ku d o z vo lu p o t r e b n o ˇ c e ka t i i d u ˇ z e o d g o d in e . Od g o vo r

o ˇ c it o o vis i o s r e d e n o s t i t r ˇ z is t a n e kr e t n in a .

D ionice R E IT fondova sluze za ogradivanje od rizika inflacije. D u g o r o ˇ c n o g e n e r ir a ju p o u z d a n p r o s je ˇ c a n

g o d is n ji p r in o s o d 1 2 d o 1 3 p o s t o . V je r o ja t n o je d a ´ c e vr ije d n o s t d o b r o o d r ˇ z a va n ih n e kr e t n in a r a s t i t ije ko m

vr e m e n a . D io n ic e R E IT fo n d o va d o p r in o s e s t a b iln o s t i b ilo ko je g p o r t fe lja je r s u m a n je vo la t iln e o d d r u g ih

d io n ic a , a is t o vr e m e n o im a ju s vo js t vo n is ke ko r e la c ije s a o s t a lim kla s a m a im o vin e . Iz r a vn o u la g a n je u n e kr e t -

n in e n ije likvid n o , a u la g a n je u d io n ic e R E IT fo n d o va je s t e je r R E IT fo n d o vi im a ju p r ih va ´ c e n u fe r vr ije d n o s t i

t r ˇ z is t e n a ko je m s e n jih o ve d io n ic e t r e n u t n o m o g u p r o d a t i u z n e z n a t a n d is ko n t n jih o ve fe r vr ije d n o s t i, ia ko s e

ˇ c e ˇ s ´ c e p r o d a ju u z p r e m iju . R E IT fo n d o vi s vu g d je u s vije t u , a p o g o t o vo u H r va t s ko j, im a ju o b ilje p r o s t o r a z a

r a s t . V e lic in a R E IT in d u s t r ije s e t r e b a m je r it i s a t r ˇ z is n o m ka p it a liz a c ijo m ( b r o j e m it ir a n ih d io n ic a p o m n o ˇ z e n

s a t r ˇ z is n o m c ije n o m d io n ic e ) . V e ´ c in a p o je d in a c a n e m a vr e m e n a ili is ku s t va u p o s lo vim a s n e kr e t n in a m a d a

b u d e n jih o v d ir e kt a n vla s n ik. P r o d a va n je s a m o je d n e n e kr e t n in e m o ˇ z e o d u z e t i m n o g o vr e m e n a i t im e s t vo r it i

3 5

vis o k t r o ˇ s a k. In ve s t ir a n je u d io n ic e R E IT fo n d o va n u d i ˇ s ir o ku d ive r s ifi ka c iju vla s n is t va n e kr e t n in a , likvid n o s t

i p r o fe s io n a ln o u p r a vlja n je n e kr e t n in a m a . K a d a s e o d lu ˇ c it e z a ku p n ju d io n ic e R E IT fo n d a , ku p u je t e p o s a o ko -

jim s e a kt ivn o u p r a vlja . Cilj u p r a vit e lja p o r t fe lje m ko ji ko r is t e ” g r o wt h ” ili ” va lu e ” s t r a t e g iju o d a b ir a d io n ic a

je o s t va r it i p r e m iju p r in o s a u o d n o s u n a p o g o d n o ko n s t r u ir a n ” b e n c h m a r k” . D a b i p r e m iju p r in o s a z a is t a m o g li

o s t va r it i, n u ˇ z n o je d a s e o d a b r a n i p o r t fe lj m o r a r a z liko va t i o d ” b e n c h m a r k” p o r t fe lja . P r o c e s o d a b ir a vr ije d -

n o s n ic a i p r o c e s d o d je ljiva n ja t e ˇ z in a s va ko j vr ije d n o s n ic i s u iz vo r i p r ilika ko je m o g u d o ve s t i d o b o lje g u ˇ c in ka

o d u ˇ c in ka ” b e n c h m a r k” p o r t fe lja . R E IT fo n d o vi s e ka o kla s a im o vin e p o n a ˇ s a ju p r ilic n o n e z a vis n o o d t r ˇ z is t a

d io n ic a i o b ve z n ic a , p o ve ´ c a va ju ´ c i n jih o vu ko r is n o s t z a d ive r s ifi ka c iju p o r t fe lja , t e p o b o ljs a va ju ´ c i p r in o s / r iz ik

p r o fi l p o r t fe lja . In ve s t ir a n je u R E IT fo n d o ve o m o g u ´ c a va s u d je lo va n je n a t r ˇ z is t u ko m e r c ija ln ih n e kr e t n in a b e z

u z t o p o ve z a n ih p r o b le m a n e likvid n o s t i, b r ig e o ko o d r ˇ z a va n ja n e kr e t n in a , t e n e d o s t a t ka d ive r s ifi ka c ije ko ja

o b ic n o p r a t i n jih o vo iz r a vn o vla s n is t vo . P e t je klju ˇ c n ih z a b lu d a ve z a n o u z R E IT fo n d o ve :

1 . R E ITs s u p a ke t i n e kr e t n in a .

2 . N e kr e t n in e s u in ve s t ic ija vis o ko g r iz ika .

3 . U la g a n je u n e kr e t n in e je u s u ˇ s t in i o g r a d a o d in fl a c ije .

4 . Za h t je vn o t r ˇ z is t e n e kr e t n in a je lo ˇ s a vije s t z a in ve s t it o r e u R E IT fo n d o ve .

5 . D io n ic e R E IT fo n d a s lu ˇ z e z a t r g o va n je .

Od lu ka ” ka ko r a z d ije lit i ko la ˇ c ” ko ju d o n o s e u p r a vit e lji im o vin o m i o b ve z a m a fi n a n c ijs kih in s t it u c ija o vis i o

n jih o vim o d g o vo r im a n a s lje d e ´ c a i jo ˇ s m n o g a d r u g a p it a n ja :

1 . K o liko s i a g r e s iva n in ve s t it o r ?

2 . K o liko s e u g o d n o o s je ´ c a ˇ s a ko s i iz lo ˇ z e n vo la t iln o s t i t r ˇ z is t a ?

3 . K o liko t e p o g a d a g u b it a k vr ije d n o s t i d io n ic a ko je s i o d a b r a o ?

4 . K o liku g o d is n ju n a kn a d u z a u p r a vlja n je t r e b a ˇ s u z e t i iz im o vin e fo n d a d a b i is p la t io p la ´ c e i d o p r in o s e

s vo jim z a p o s le n ic im a ?

5 . K o liko t i je va ˇ z a n s t a b ila n d o h o d a k o d d ivid e n d i?

Ako je investitor konzervativan i trazi stabilan prinos uz nizak rizik volatilnosti, a lo ka c ija iz m e d u 2 0 % i 2 5 %

p o r t fe lja u R E IT fo n d o ve m u z a s ig u r n o o d g o va r a . D o d a m o li d ive r s ifi c ir a n o m p o r t fe lju R E IT fo n d o ve ka o

n o vu kla s u im o vin e s a u d je lo m o d 2 0 % , ka ko s u p r im ije t ile u s vije t u vo d e ´ c e ko n z u lt a n t s ke ku ´ c e z a g lo b a ln u

3 6

a lo ka c iju im o vin e Ibbotson Associates i B ernstein Global F inancial W ealth M anagement, m o ˇ z e m o p o ve ´ c a t i

p r o s je ˇ c a n g o d is n ji p r in o s z a 0 .7 % u z is t o vr e m e n o s m a n je n je r iz ika vo la t iln o s t i z a p r ib liz n o is t i iz n o s .

S lje d e ´ c i ko r a k u p r o vo d e n ju s t r a t e g ije in ve s t ir a n ja ” o d vr h a p r e m a d n u ” je d o d je ljiva n je t e ˇ z in a s e kt o r im a

u R E IT p o r t fe lju . Os im a ko in ve s t it o r i n e vje r u ju d a m o g u o d r e d it i s e kt o r e ko ji m o g u z n a ˇ c a jn o n a d m a ˇ s it i

o s t a le t ije ko m n e ko liko s lje d e ´ c ih g o d in a , t e ˇ z in e u p o r t fe lju ko je s u p r ib liz n o je d n a ke t e ˇ z in a m a u o d g o va r a ju ´ c e

ko n s t r u ir a n o m in d e ks u R E IT fo n d o va z a s ig u r n o im a n a jvis e s m is la . A ko R E IT fo n d o vi s p e c ija liz ir a n i z a

g r a d n ju ve likih t r g o va ˇ c kih c e n t a r a ˇ c in e 1 0 % t r ˇ z is n e ka p it a liz a c ije s vih R E IT fo n d o va , in ve s t it o r ko ji n e m a

d o vo ljn o vr e m e n a z a d u b lju a n a liz u ih t r e b a u vr s t it i u s vo j R E IT p o r t fe lj u iz n o s u o ko 1 0 % .

Investiranje u dionice R E IT fondova je dugorocna strategija, a o ˇ c e kiva n i p r ih o d i s e kt o r a s e m o g u n a g lo i

b e z ika kvo g s ig n a la u p o z o r e n ja p r o m ije n it i. Zb o g s vo jih s vo js t a va dionice R E IT fondova su osobito privlacne

za ulaganje mirovinskim fondovima. N a p o m e n im o d a b i a lo ka c ija 2 0 % im o vin e m ir o vin s kih fo n d o va u d io n ic e

R E IT fo n d o va r e z u lt ir a la o g r o m n o m p o t r a ˇ z n jo m z a d io n ic a m a R E IT fo n d o va . Ta d a b i t r ˇ z is n a ka p it a liz a c ija

R E IT fo n d o va m o g la d r a m a t ic n o n a r a s t i, a R E IT fo n d o vi b i m o g li s t je c a t i n e kr e t n in e p o d is ko n t n im c ije n a m a .

V r lo je vje r o ja t n o d a ´ c e t ije ko m vr e m e n a s ve vis e in s t it u c io n a ln ih in ve s t it o r a u s vo je p o r t fe lje u vr ˇ s t a va t i ve ´ c i

p o s t o t a k d io n ic a R E IT fondova kao posebne klase imovine. Mn o g o je r a z lo g a z b o g ko jih b i m ir o vin s ki fo n d o vi

p r ije t r e b a li u s vo m p o r t fe lju d r ˇ z a t i d io n ic e R E IT fo n d o va u m je s t o d r ˇ z a n ja n e kr e t n in a . ” V e ´ c in a m ir o vin s kih

fo n d o va vid i d io n ic e R E IT fo n d o va ka o t r a jn i d io s vo je im o vin e je r s u t e d io n ic e is t o vr e m e n o i d io n ic e i

n e kr e t n in e ” je c it a t iz z n a n s t ve n o g ˇ c a s o p is a Jo u r n a l o f P o r t fo lio Ma n a g e m e n t iz 2 0 0 3 . g o d in e . Investiranjem

u dionice R E IT fondova je omoguceno koristenje financijske poluge pri investiranju u nekretnine, ˇ s t o U S

z a ko n i n e d o z vo lja va ju ko d iz r a vn o g in ve s t ir a n ja u n e kr e t n in e . Za kr a j, R E IT fo n d o vi z b o g s vo je ve lic in e

im a ju s p o s o b n o s t o ku p it i r a z lic it e n e kr e t n in e lo c ir a n e u o d r e d e n o j z e m ljo p is n o j r e g iji, ˇ s t o im m o ˇ z e p o ve ´ c a t i

o p e r a t ivn u e fi ka s n o s t i p r e g o va r a ˇ c ku s n a g u s a p r im a t e ljim a le a s in g a , t e t im e o s t va r it i vis i p r in o s o d in ve s t ir a n ja

u n e kr e t n in e .

In ve s t ir a n je u U S R E IT fo n d o ve je t ije ko m z a d n ja d va d e s e t lje ´ c a p r u ˇ z ilo iz r a z it u n a g r a d u in ve s t it o r im a

o r ije n t ir a n im p r e m a vis o kim p r in o s im a . S u d e ´ c i p r e m a iz o b ilju n o vih r a s p o lo ˇ z ivih p r ilika s u d io n ic im a R E IT

in d u s t r ije , n a jb o lje t e k d o la z i. U H r va t s ko j je p r ilika z a R E IT fo n d o ve jo ˇ s b o lja . Oc e kiva n a g o d is n ja s t o p a

r a s t a t r ˇ z is n e ka p it a liz a c ije je m in im a ln o 2 5 % . R azvoj R E IT fondova nista ne moze zaustaviti osim lose politike

regulatora.

Od g o vo r n a p it a n je z a ˇ s t o fi n a n c ijs ke in s t it u c ije u H r va t s ko j n e d r ˇ z e ve ´ c i p o s t o t a k s vo je g p o r t fe lja u

z a t vo r e n im in ve s t ic ijs kim fo n d o vim a s ja vn o m p o n u d o m z a u la g a n je u n e kr e t n in e n ije ve z a n u z s vo js t va p r in o s a

i r iz ika o d u la g a n ja u n e kr e t n in e u H r va t s ko j. V e z a n je u z z a ko n o d a vs t vo ko je ih r e g u lir a , n e d o s t a ja n je

d u b in e t r ˇ z is t a u s m is lu t r g o va n ja d io n ic a m a z a t vo r e n ih in ve s t ic ijs kih fo n d o va s ja vn o m p o n u d o m z a u la g a n je

u n e kr e t n in e , t e n e d o s t a t ko m in ve s t ic ijs kih p r o je ka t a u ko jim a b i z a t vo r e n i in ve s t ic ijs ki fo n d o vi s ja vn o m

3 7

p o n u d o m z a u la g a n je u n e kr e t n in e t r e b a li s u d je lo va t i. P it a n je ko je z a s lu ˇ z u je p o s e b n u r a s p r a vu je : ” Je li

n e d o s t a t a k kva lit e t n ih in ve s t ic ijs kih p r o je ka t a ve z a n ih u z n e kr e t n in e u z r o k ili p o s lje d ic a n e d o s t a t ka kr u p n o g

fi n a n c ir a n ja iz fo n d o va z a u la g a n je u n e kr e t n in e ?” . U o ˇ c im o li s a m o t o d a n o va s r e d s t va s t a ln o p r is t iz u n a

d o m a ´ c e t r ˇ z is t e ka p it a la , t e d a t r e n u t n o b r z i r a s t c ije n a d io n ic a n e m o ˇ z e jo ˇ s d u g o t r a ja t i, z a o ˇ c e kiva t i je d a

´ c e s e s ve ve ´ c i b r o j d u g o r o ˇ c n ih u la g a ˇ c a o d lu ˇ c iva t i u lo ˇ z it i s vo ja s r e d s t va u z a t vo r e n e in ve s t ic ijs ke fo n d o ve s

ja vn o m p o n u d o m z a u la g a n je u n e kr e t n in e . K a d a s vim a p o s t a n e ja s n o d a t a kvi fo n d o vi p o s t o je , t e ka d a

n e s t a n e r iz ik n e m o g u ´ c n o s t i fi n a n c ir a n ja p r o je ka t a ve z a n ih u z n e kr e t n in e , ve liki p r o je kt i ve z a n i u z n e kr e t n in e

vis e n e ´ c e n e d o s t a ja t i. Ia ko je u s t r a t e ˇ s ko m o kvir u z a r a z vo j o d 2 0 0 6 . d o 2 0 1 3 . g o d in e n a p is a n o : ” P o t r e b n o

je in fo r m a t ivn o m ka m p a n jo m iz g r a d iva t i s vije s t vla s n ika n e kr e t n in a o p o t e n c ija lu r a s t a c ije n a n e kr e t n in a u

p o je d in im d ije lo vim a H r va t s ke i m o g u ´ c im p r iva t n im ko r is t im a ko je s e m o g u p o ja vit i z b o g ka s n ije p r o d a je ili

d a va n ja n e kr e t n in a u z a ku p u m je s t o p r o d a je .” , p r o vo d e n je s t r a t e g ije n a o p e r a t ivn o j r a z in i je iz o s t a lo .

4.3 Vr ste RE I T fondova

E quity R E IT fond je p o d u z e ´ c e s a ˇ c ijo m s e d io n ic o m t r g u je n a o r g a n iz ir a n im t r ˇ z is t im a ka p it a la , a ko je

ka o t e m e ljn i p o s a o ku p u je , u p r a vlja , r e n o vir a , o d r ˇ z a va , t e p o vr e m e n o p r o d a je n e kr e t n in e . E qu it y R E IT p o U S

z a ko n u d ivid e n d e is p la ´ c e n e d io n ic a r im a o d u z im a o d d o h o t ka p r ije o p o r e z iva n ja ( n e p la ´ c a p o r e z n a d o b it n a

is t i n a ˇ c in ka o o s t a la p o d u z e ´ c a ) , a s vo jim in ve s t it o r im a p u t e m d ivid e n d e m o r a is p la t it i n a jm a n je 9 0 D io n ic a r i

z a t o m o r a ju p la t it i p o r e z n a d o h o d a k o d d ivid e n d e . Iz b je g a va n je d vo s t r u ko g p la ´ c a n ja p o r e z a je je d n a o d

klju ˇ c n ih p r e d n o s t i E qu it y R E IT fo n d a . D a n a s s u E qu it y R E IT fo n d o vi p o d u z e ´ c a ko ja r a z vija ju n e kr e t n in e ,

d a ju n e kr e t n in e u o p e r a t ivn i le a s in g i p r u ˇ z a ju r a z lic it e u s lu g e p r im a t e ljim a le a s in g a . K lju ˇ c n a r a z lika iz m e d u

E qu it y R E IT fo n d a i o s t a lih p o d u z e ´ c a ko ja s e b a ve p o s lo vim a ve z a n im u z n e kr e t n in e je u t o m e ˇ s t o R E IT

fo n d m o r a s t e ´ c i i r a z vija t i s vo je n e kr e t n in e ka ko b i n jim a u p r a vlja o ka o d ije lo m s vo g p o r t fe lja , p r ije n e g o

ˇ s t o b i ih p r o d a o . Hipotekarni R E IT fondovi u s vo m p o r t fe lju s a d r ˇ z i z a jm o ve vla s n ic im a n e kr e t n in a ko je s u

z a lo ˇ z e n e ka o ko la t e r a li i o b ve z n ic e ko je ka o ko la t e r a l t a ko d e r s a d r ˇ z e n e kr e t n in u . H ip o t e ka r n i R E IT fo n d o vi

u p r a vlja ju ka m a t n im r iz iko m n e s a m o ko r is t e n je m h ip o t e ka ka o z a lo g a , n e g o i ko r is t e n je m d in a m ic kih t e h n ika

o g r a d iva n ja o d r iz ika , t e z b o g t o g a m o r a ju b it i p o d s t a ln im n a d z o r o m . Hibridni R E IT fond je is t o vr e m e n o i

vla s n ik n e kr e t n in a i iz d a je z a jm o ve ko ji ka o ko la t e r a l s a d r ˇ z e n e kr e t n in u .

R E IT fo n d o vi s e m o g u p o d ije lit i n a o n e s a p r iva t n o m p o n u d o m i o n e s a ja vn o m p o n u d o m . D io n ic a m a

R E IT fo n d o va s a p r iva t n o m p o n u d o m s e n e t r g u je n a ja vn o o r g a n iz ir a n im t r ˇ z is t im a ka p it a la . D io n ic e R E IT

fo n d o va s a p r iva t n o m p o n u d o m s e u o b ic a je n o p r o d a ju u z ve liku n a g r a d u ko ja s e p la ´ c a p r o d a va t e lju ( n a jc e ˇ s ´ c e

iz n o s i o ko 1 2 % ) . D a n a s je ko d U S ko m is ije z a vr ije d n o s n e p a p ir e r e g is t r ir a n o o ko 1 9 0 R E IT fo n d o va ˇ c ijim

d io n ic a m a s e t r g u je n a t r ˇ z is t im a ka p it a la , 2 0 R E IT fo n d o va ˇ c ijim d io n ic a m a s e n e t r g u je , a p r ib liz n o 8 0 0 R E IT

fo n d o va n ije r e g is t r ir a n o .

3 8

Tr a d ic io n a ln i R E IT fo n d o vi s u n a jc e ˇ s ´ c e iz r a vn i vla s n ic i n e kr e t n in a ko jim a u p r a vlja ju , ia ko je R E IT

fo n d o vim a d o z vo lje n o i d a b u d u vla s n ic i u d je la u o p e r a t ivn o m p a r t n e r s t vu . U z t r a d ic io n a ln u , p o s t o je jo ˇ s i

U P R E IT i D o wn R E IT s t r u kt u r e . S vr h a UP R E IT s t r u kt u r e ( e n g . U m b r e lla P a r t n e r s h ip R E IT) je o m o g u ´ c it i

p o d u z e ´ c im a ko ja u p r a vlja ju n e kr e t n in a m a i ko ja o d a vn o p o s t o je d a n e kr e t n in e ko je ve ´ c p o s je d u ju u klju ˇ c e

p o d ” kis o b r a n ” R E IT fo n d a b e z d a ih m o r a ju p r o d a t i R E IT fo n d u . P o s t o je ´ c i p a r t n e r i u p o s lo va n ju n e kr e t n i-

n a m a p o s t a ju p a r t n e r i s a R E IT fo n d o m u n o vo m operativnom partnerstvu u ko je m p a r t n e r i d o p r in o s e s vo jim

n e kr e t n in a m a , a R E IT fo n d n o vc e m . R E IT fo n d je ˇ c e s t o ve ´ c in s ki vla s n ik u d je la u je d in ic a m a o p e r a t ivn o g p a r t -

n e r s t va . N a ko n n e ko g vr e m e n a ( ˇ c e s t o n a ko n g o d in u d a n a ) , p a r t n e r i m o g u z a m ije n it i u d je le u o p e r a t ivn o m

p a r t n e r s t vu z a d io n ic e R E IT fo n d a . D ownR E IT s t r u kt u r a je n a s t a la n a ko n ˇ s t o s u R E IT fo n d o vi p o s t a li ja vn a

p o d u z e ´ c a i n a liku je n a U P R E IT s t r u kt u r u . On i n e u klju ˇ c u ju ˇ c la n o ve u p r a ve R E IT fo n d a m e d u p a r t n e r im a

u vla s n ic ko j s t r u kt u r i t a ko d a is t i u p r a vlja ju n e kr e t n in a m a o d ko jih n e m a ju iz r a vn u ko r is t . P o s t a t i d ije lo m

U P R E IT ili D o wn R E IT s t r u kt u r e d a je p o d u z e ´ c u ko je s e b a vi u p r a vlja n je m n e kr e t n in a m a z n a ˇ c a jn u p r e d n o s t

p r iliko m a kviz ic ija n o vih n e kr e t n in a o d p r o d a va t e lja ko ji m o ˇ z e o d g o d it i p la ´ c a n je p o r e z a n a d o h o d a k o d ka p i-

t a la p r ih va ´ c a n je m u vje t a p r o p is a n o g je d in ic i o p e r a t ivn o g p a r t n e r s t va s R E IT fo n d o m n a ve d e n ih u U S z a ko n u

o R E IT fo n d o vim a .

4.4 Zasto bi poduzeca koja se bave upr avljanjem nekr etninama tr ebala izaci

na tr ziste kapitala kao RE I T fondovi?

R a z lo z i u klju ˇ c u ju :

1 . L a ks i p r is t u p p o t r e b n o m ka p it a lu

2 . L ikvid n o s t im o vin e i la ks e p la n ir a n je p r o je ka t a ve z a n ih u z r a z vija n je n e kr e t n in a

3 . P r e d n o s t i ve z a n e u z p la ´ c a n je p o r e z a

4 . S p o s o b n o s t ja ˇ c a n ja i m o t ivir a n ja o r g a n iz a c ije

Cin je n ic a d a u U S R E IT fo n d o vi n e p la ´ c a ju p o r e z e n a r a z in i p o d u z e ´ c a je t e m e ljn i ˇ c im b e n ik ko ji ´ c e u s ko r o j

b u d u ´ c n o s t i m o t ivir a t i p o d u z e ´ c a ko ja s e b a ve u p r a vlja n je m n e kr e t n in a m a d a s e p r iklju ˇ c e t r e n d u iz la s ka n a

t r ˇ z is t e ka p it a la u o r g a n iz a c ijs ko j s t r u kt u r i R E IT fo n d o va . R azlog neoporezivanja R E IT poduzeca je potaknuti

male ulagace da se svojim kapitalom ukljuce u financiranje velikih dugorocnih projekata razvijanja infrastruk-

ture nekretnina od kojih ce drzava imati indirektnu korist putem otvaranja novih radnih mjesta vezanih uz

nekretnine. A lt e r n a t iva p o t ic a jim a p u t e m n e o p o r e z iva n ja R E IT fo n d o va je p o t ic a j ka ka v u H r va t s ko j p r u ˇ z a

Za ko n o p o t ic a n ju u la g a n ja : ” V e likim p r o je kt o m u la g a n ja ( p r o je kt o m u la g a n ja o d z n a ˇ c a jn o g a g o s p o d a r s ko g

3 9

in t e r e s a ) s m a t r a ju s e iz g r a d n ja n o ve t vo r n ic e ili in d u s t r ijs ko g p o s t r o je n ja , p o kr e t a n je n o ve g o s p o d a r s ke d je la t -

n o s t i, ka o i r a z vo j n o vih t e h n o lo g ija , t e ko jim a vr ije d n o s t u la g a n ja u d u g o t r a jn u im o vin u n o s it e lja p o t ic a jn ih

m je r a iz n o s i n a jm a n je 1 5 m iliju n a e u r a u z u vje t o t va r a n ja n a jm a n je 1 0 0 n o vih r a d n ih m je s t a p o ve z a n ih s

u la g a n je m . Za ve like p r o je kt e u la g a n ja u ˇ z u p a n ija m a u ko jim a ko d D r ˇ z a vn o g z a vo d a z a s t a t is t iku r e g is t r ir a n a

s t o p a n e z a p o s le n o s t i iz n o s i p r e ko 2 0 % , n o s it e lju p o t ic a jn ih m je r a o d o b r it ´ c e s e b e s p o vr a t n a n o vc a n a p o t p o r a

u iz n o s u d o 5 % s t va r n ih o p r a vd a n ih t r o ˇ s ko va u la g a n ja u d u g o t r a jn u im o vin u u u ku p n o m m a ks im a ln o m iz n o s u

m iliju n e u r a .”

U s p je ˇ s n e i r a s t u ´ c e o r g a n iz a c ije ko je s e b a ve u p r a vlja n je m n e kr e t n in a m a s t a ln o t r e b a ju n o vi ka p it a l z a

g r a d n ju n o vih n e kr e t n in a ili ku p n ju n e kr e t n in a ko je R E IT fo n d im a n a m je r u p o b o ljs a t i ili n a d o g r a d it i. R E IT

fondovi cesto ulaze u rizicne poslovne projekte u partnerstvu sa poduzetnicima ili financijskim institucijama.

Mo g u p r o d a t i n e kr e t n in e r a z vije n e u r iz ic n im p a r t n e r s t vim a i o s t va r e n i p r ih o d is ko r is t it i z a u la g a n je u n o ve

p r o je kt e ko ji s e ˇ c in e b o ljo m p r iliko m z a o s t va r iva n je vis e d o b it i, u z is t o vr e m e n i n a s t a va k u p r a vlja n ja n e kr e -

t n in a m a i z a d r ˇ z a va n je o d n o s a s a klije n t im a . P r is t u p t r ˇ z is t u ka p it a la o m o g u ´ c a va u p r a va m a R E IT fo n d o va

fl e ks ib iln o s t i p r is t u p fi n a n c ijs kim r e s u r s im a p o r a z u m n o j c ije n i. Tim p r is t u p o m u p r a vit e lji R E IT fo n d o va

n is u n a m ilo s t i z a jm o d a vc im a i im a ju m o g u ´ c n o s t d u g o r o ˇ c n o g p la n ir a n ja .

Iz d a va n je r e d o vn ih ( o b ic n ih ) d io n ic a , ia ko s ku p o , o m o g u ´ c a va n a jt r a jn iji t ip fi n a n c ir a n ja je r n e p o s t o -

ji o b a ve z a is p la ´ c iva n ja d u g a . Iz d a va n je r e d o vn ih ( o b ic n ih ) d io n ic a d o z vo lja va R E IT fo n d o vim a fi n a n c ijs ku

p o lu g u t o g d o d a t n o g ka p it a la s t va r a n je m d o d a t n ih o b ve z a . D r u g a m o g u ´ c n o s t je iz d a va n je p o vla ˇ s t e n ih ( p r e -

fe r e n c ija ln ih ) d io n ic a . Ta je m o g u ´ c n o s t o t vo r e n a je d in o z a R E IT fo n d o ve s a ja vn o m p o n u d o m . R E IT fo n d

m o ˇ z e p r iku p it i ka p it a l p u t e m t r ˇ z is t a ka p it a la iz d a va n je m i ja vn o m p r o d a jo m ko m e r c ija ln ih z a p is a , z a d u ˇ z n ic a i

o b ve z n ic a . P r iku p lje n i ka p it a l o m o g u ´ c a va R E IT fo n d u r a s p r ˇ s iva n je fi n a n c ijs ke p o lu g e z a r a z liku o d o s la n ja n ja

n a b a n ke i o s t a le z a jm o d a vc e , t e vis e fl e ks ib iln o s t i u p r o vo d e n ju o d a b r a n e s t r a t e g ije u p r a vlja n ja im o vin o m .

4.5 Danasnji RE I T fondovi

R E IT privatna partnerstva s u u U S p o s t o ja la d o 1 9 8 6 . g o d in e i s lu ˇ z ila s u ka o p o r e z n a u t o ˇ c is t a . Za n im ljiv

je p r im je r p r iva t n o p a r t n e r s t vo s a p o d u z e ´ c e m s p e c ija liz ir a n im z a le a s in g n e kr e t n in a , ˇ s t o je d a n a s u H r va t s ko j

m o g u ´ c a o p c ija z a u p r a vlja n je n e kr e t n in a m a ( ˇ c la n a k 6 . Za ko n a o le a s in g u , N N . B r . 1 3 5 / 0 6 ) . U t a kvo m

p a r t n e r s t vu likvid n o s t R E IT fo n d o va m o ˇ z e o vis it i o fi n a n c ijs ko j s o lve n t n o s t i p o d u z e ´ c a s p e c ija liz ir a n o g z a

le a s in g n e kr e t n in a , p a je u U S t a kvo p a r t n e r s t vo d a vn a p r o ˇ s lo s t .

D anasnji R E IT fondovi nisu porezna utocista. P o r e z n a d ivid e n d u ko ju is p la ´ c u ju r e d o vn e d io n ic e ko je

n is u R E IT d io n ic e u U S n e m o ˇ z e p r ije ´ c i 1 5 % . D ivid e n d a R E IT fo n d o va s e is p la ´ c u je iz p r ila g o d e n o g ka p it a la

o d o p e r a c ija , a s t o p a p o r e z a n a d ivid e n d u je je d n a ka s t o p i p o r e z a n a o s t a li d o h o d a k. D io d ivid e n d e s e

4 0

m o ˇ z e t r e t ir a t i ka o dugorocna dobit od kapitala ( m o ˇ z e s e o p o r e z iva t i p o s t o p i 3 0 % , n e p o 1 5 % ) , a o s t a t a k

d ivid e n d e ( 2 5 − 3 0 % ) s e m o ˇ z e t r e t ir a t i ka o prinos na investirani kapital i n a n je g a d io n ic a r i n e m o r a ju p la ´ c a t i

p o r e z . N e p o s t o ji o p ´ c e p r ih va ´ c e n i d o g o vo r o t o m e ka ko iz r a ˇ c u n a t i troskove dionickog kapitala R E IT fondova.

R a ˇ c u n a n je t r o ˇ s ko va d io n ic ko g ka p it a la z n a ˇ c a jn o o vis i o s t u p n ju d o ko je g R E IT fo n d o vi ko r is t e fi n a n c ijs ku

p o lu g u . D r ˇ z a n je ko e fi c ije n t a vla s t it o g fi n a n c ir a n ja n a n is ko j r a z in i z a s ig u r n o p o m a ˇ z e s m a n jit i u ku p n e t r o ˇ s ko ve

d io n ic ko g ka p it a la . K va lit e t n o p r o vo d e n je s t r a t e g ije r iz ic n o g p a r t n e r s t va t a ko d e r m o ˇ z e p o m o ´ c i s m a n je n ju

t r o ˇ s ko va d io n ic ko g ka p it a la .

D anasnji R E IT fondovi razvijaju nekretnine. D a n a ˇ s n ji R E IT fo n d o vi s u p o s a o ko jim s e in t e n z ivn o u p -

r a vlja i n e o s la n ja ju s e n a p r iva t n a p a r t n e r s t va ia ko im je t a o p c ija i d a lje d o z vo lje n a . R E IT poduzecima

je dozvoljeno pruzati usluge leasinga. Upravo je efikasan leasing kljuc uspjesnosti R E IT poduzeca. D ir e kt n o

vla s n is t vo n e kr e t n in a p r u ˇ z a p r iliku ko r is t e n ja z n a ˇ c a jn e fi n a n c ijs ke p o lu g e ( p o n e ka d i 8 0 % ) . Fo ku s d a n a ˇ s n jih

R E IT fo n d o va je s n a ˇ z a n t e ku ´ c i d o h o d a k i a p r e c ija c ija ka p it a la . D a n a ˇ s n ji R E IT fo n d o vi o s t va r u ju r a s t

p o ve ´ c a va ju ´ c i o p e r a t ivn i d o h o d a k o d n e kr e t n in a ko je p o s je d u ju i p r iku p lja ju ´ c i ka p it a l p o t r e b a n z a r a z vija n je

n o vih n e kr e t n in a . M ogucnost razvijanja nekretnina je kljucna prednost R E IT fondova na mnogim trzistima

nekretnina. Te m e lje m ˇ c la n ka 2 . s t a vka 1 . P r a viln ika ko jim s e u r e d u ju u la g a n ja z a t vo r e n ih in ve s t ic ijs kih

fo n d o va s ja vn o m p o n u d o m ( z a u la g a n je ) u n e kr e t n in e ( N N . B r . 1 3 1 / 0 6 ) m o g u ´ c n o s t r a z vija n ja n e kr e t n in a je

ZIF-o vim a s ja vn o m p o n u d o m z a u la g a n je u n e kr e t n in e je o g r a n ic e n a .

D anasnji R E IT fondovi su vrlo specijalizirana poduzeca ˇ c iji z a p o s le n ic i, m e d u m n o g im d r u g im s t va r im a ,

r a z u m iju lo ka ln o t r ˇ z is t e , r a z u m iju r e g u la t ivu , p r a t e t r e n d o ve p o n u d e i p o t r a ˇ z n je z a z a ku p o m i n a jm o m s t a n o va ,

t e z n a ju p r o c ije n it i vr ije d n o s t z e m ljis t a i z g r a d a . D a n a ˇ s n ji t r e n d u z e m lja m a s a u r e d e n im t r ˇ z is t e m n e kr e t n in a je

d a z b o g ve ´ c e fi n a n c ijs ke p o lu g e i u ˇ s t e d a p r iliko m p la ´ c a n ja p o r e z a m n o g a p o d u z e ´ c a p r e p u ˇ s t a ju s vo je n e kr e t n in e

in ve s t ic ijs ko m fo n d u s ja vn o m p o n u d o m z a u la g a n je u n e kr e t n in e ili p o d u z e ´ c u s p e c ija liz ir a n o m z a u p r a vlja n je

n e kr e t n in a m a . Za t im t a ka v fo n d ili p o d u z e ´ c e p u t e m le a s in g a iz n a jm lju je p r o s t o r m a t ic n o m p o d u z e ´ c u . Tr e b a ju

li p o d u z e ´ c a p r o d a t i s vo je n e kr e t n in e u R E IT fo n d u ko ji ´ c e im t e n e kr e t n in e iz n a jm ljiva t i n a z a d p u t e m le a s in g a ?

P r e d n o s t je u ˇ s t e d a p r iliko m p la ´ c a n ja p o r e z a , a li p o d u z e ´ c a t im e g u b e ko n t r o lu n a d s vo jim lo ka c ija m a . R E IT

ko ji je d n o m p o d u z e ´ c u d a je u le a s in g s vu s vo ju im o vin u ´ c e vr lo vje r o ja t n o n a ic i n a o t p o r ko d in ve s t it o r a ko ji

ˇ z e le d a R E IT fo n d u ko ji n a m je r a va ju u lo ˇ z it i b u d e d ive r s ifi c ir a n d a va n je m n e kr e t n in a u le a s in g vis e r a z lic it ih

p o d u z e ´ c a .

Stopa kapitalizacije s e o d n o s i n a p r in o s n e o vis a n o d fi n a n c ijs ke p o lu g e , a ko ji o ˇ c e ku je ku p a c ko m e r c ija ln ih

n e kr e t n in a . S t o p a ka p it a liz a c ije je iz r a ˇ z e n a ka o p r in o s o d o ˇ c e kiva n ih t o ko va n o vc a p r ije d e p r e c ija c ije . R E IT

specijaliziran za gradnju i davanje u leasing apartmana u U S o s t va r u je s t o p u ka p it a liz a c ije o d 5 % d o 7 % . Za

in ve s t it o r e u t a kve R E IT fo n d o ve je klju ˇ c n i e le m e n t lo ka c ija n jih o vih n e kr e t n in a .

P r im je r R E IT fonda nekretnina velikih trgovinskih centara je S im o n P r o p e r t y Gr o u p R E IT ko ji s e b a vi

4 1

p o s lo vim a le a s in g a n e kr e t n in a ve likim d is ko n t n im t r g o vin s kim la n c im a ka o ˇ s t o s u W a ll-Ma r t i Ta r g e t . L e a s in g

kio s ka u n u t a r ve liko g t r g o vin s ko g c e n t r a je n a jva ˇ z n iji iz vo r p r ih o d a R E IT fo n d a s p e c ija liz ir a n o g z a u p r a vlja n je

n e kr e t n in a m a ve likih t r g o vin s kih c e n t a r a . Cije n e le a s in g a t a kvih p r o s t o r a n e p r e s t a n o r a s t u . U ko liko n e ko

p o d u z e ´ c e ˇ z e li im a t i t r g o vin u u n u t a r ve liko g t r g o vin s ko g c e n t r a , p r o s t o r m o r a u z e t i n a d u g o r o ˇ c n i le a s in g .

D u g o r o ˇ c n i le a s in g R E IT fo n d u ka o vla s n iku n e kr e t n in a g e n e r ir a s t a b ila n i p r e d vid ljiv t o k n o vc a . Tr g o vin e

ko je n is u u s t a n ju p o s lo va t i p r o fi t a b iln o la ko s e z a m ije n e s a t r g o vin a m a ko je im a ju b o lju id e ju ka ko p r o fi t a b iln o

is ko r is t it i p r o s t o r . U U S s u R E IT fo n d o vi vla s n ic i 8 5 % o d 4 0 0 n a jve ´ c ih t r g o vin s kih c e n t a r a .

Za ko n o m o d e r n iz a c iji U S R E ITs iz 1 9 9 9 . g o d in e je o m o g u ´ c io s va ko m R E IT fo n d u d a o s n u je oporezivu

podruznicu u s vo m vla s n is t vu ( e n g . Ta xa b le R E IT S u b s id a r y - TR S ) . P r e m a U S z a ko n u , n a jvis e 2 0 % u ku p n e

im o vin e R E IT fo n d a m o ˇ z e s a d r ˇ z a va t i vr ije d n o s n e p a p ir e n je g o ve o p o r e z ive p o d r u ˇ z n ic e . TR S m o ˇ z e p r u ˇ z a t i

o b ilje u s lu g a p r im a t e ljim a le a s in g a ka d a je d a va t e lj le a s in g a R E IT fo n d . Ob je kt le a s in g a m o ˇ z e b it i a p a r t m a n ,

ku ´ c a , h o t e l, p o s lo vn i p r o s t o r , s kla d is t e , z g r a d a in d u s t r ijs ko g p o s t r o je n ja , o b it e ljs ka t r g o vin a , t r g o va ˇ c ki c e n t a r ,

s t a r a ˇ c ki d o m , d o m z d r a vlja , b o ln ic a ili r e h a b ilit a c ijs ki c e n t a r . N e ki R E IT fo n d o vi s u s p e c ija liz ir a n i is klju ˇ c ivo

z a iz g r a d n ju i d a va n je n e kr e t n in a u o p e r a t ivn i le a s in g d r ˇ z a vn im in s t it u c ija m a . TR S se moze ukljuciti u rizicna

partnerstva sa drugim poduzecima kako bi zajednicki pruzali dodatne usluge.

4.6 Rizici RE I T fondova

D o b r o d ive r s ifi c ir a n e n e kr e t n in e m o g u r a s p r ˇ s it i r iz ike . K a ko z e m ljo p is n a d ive r s ifi ka c ija n e kr e t n in a s m a -

n ju je r iz ik R E IT fo n d o va , o n a t r e b a b it i m a n t r a s va ko g in ve s t it o r a . A ko n e ki p r im a t e lji n e kr e t n in a u le a s in g

p o s lu ju lo ˇ s e , d r u g i ´ c e p o s lo va t i s a s vim d o b r o . Tr o m je s e ˇ c n a fi n a n c ijs ka iz vje ˇ s ´ c a R E IT fo n d o va s e m o g u p r e -

c iz n o p r o g n o z ir a t i je r s u p r ih o d i o d r e n t e ili le a s in g a , t e o p e r a t ivn i t r o ˇ s ko vi g o t o vo p o z n a t i. P r im je r i R E IT

fo n d o va s u R E IT ve likih t r g o vin s kih c e n t a r a , R E IT m a lih t r g o vin a iz s u s je d s t va , R E IT a p a r t m a n a , R E IT

p o s lo vn ih z g r a d a , R E IT h o t e la , R E IT n e kr e t n in a z d r a vs t ve n ih u s t a n o va , R E IT n o vo iz g r a d e n ih ku ´ c a , R E IT

in d u s t r ijs kih p o s t r o je n ja i jo ˇ s m n o g i d r u g i. U U S je z a R E IT fo n d o ve va ˇ z n o d a s e s p e c ija liz ir a ju u je d n o m t ip u

n e kr e t n in a . P r i t o m e s va ki t ip n e kr e t n in a im a s vo je r iz ike . R iz ic i s p e c ifi ˇ c n i z a s e kt o r e n e kr e t n in a s u p o ve z a n i

s a ko n ku r e n c ijo m , d e m o g r a fs kim kr e t a n jim a , ka m a t n im s t o p a m a i in fl a c ijo m .

R E IT fondovi imaju visoku financijsku polugu. Fin a n c ijs ka p o lu g a ko d p o s lo va n ja s a n e kr e t n in a m a s e n i

p o ˇ c e m u n e r a z liku je o d fi n a n c ijs ke p o lu g e ko d b ilo ko je d r u g e in ve s t ic ije . V e ´ c a fi n a n c ijs ka p o lu g a is t o vr e m e n o

p o ve ´ c a va i r iz ike i n a g r a d e ve z a n e u z u p r a vlja n je n e kr e t n in a m a . Zb o g t o g a je p r iliko m o d a b ir a R E IT fo n d a

p r e s u d n a kva lit e t a n je g o ve u p r a ve . U p r a va t r e b a b it i s p o s o b n a z a a kviz ic iju i vla s n is t vo o d a b r a t i n e kr e t n in e

ko jim a ´ c e vr ije d n o s t s vr e m e n o m r a s t i.

R iz ic i in ve s t ir a n ja u R E IT fo n d o ve s e m o g u kla s ifi c ir a t i u d vije vr lo ˇ s ir o ke ka t e g o r ije : opcenite rizike

4 2

ko ji m o g u u t je c a t i n a s ve R E IT fo n d o ve i specificne rizike ko ji m o g u u t je c a t i s a m o n a p o je d in e R E IT fo n d o ve .

S vi R E IT fo n d o vi s u o ˇ c a va ju s e s a d va r iz ika : r iz iko m vis ka p o n u d e r a s p o lo ˇ z ivo g p r o s t o r a n a m ije n je n o g z a

d a va n je u le a s in g i r iz iko m r a s t u ´ c ih ka m a t n ih s t o p a . R a s t u ´ c e r e n t e i c ije n e n e kr e t n in a n a p o s lje t ku r e z u lt ir a ju

z n a ˇ c a jn im p o ve ´ c a n je m n o vih r a z vo jn ih a kt ivn o s t i. U z vis a k p o n u d e n a t r ˇ z is t u n e kr e t n in a , p r im a t e lji le a s in g a

n e kr e t n in a m o g u o d vla s n ika n e kr e t n in a iz n u d it i ve o m a p o g o d n e u vje t e le a s in g a . R a s t u ´ c e ka m a t n e s t o p e

p o ve ´ c a va ju t r o ˇ s ko ve p o s u d iva n ja n o vc a , ˇ s t o m o ˇ z e s m a n jit i d o b it ko ju R E IT o s t va r u je . R a s t u ´ c e ka m a t n e s t o p e

u s p o r a va ju r e a ln i r a s t e ko n o m ije , ˇ c im e p o s r e d n o s m a n ju ju p o t r a ˇ z n ju z a le a s in g o m n e kr e t n in a . S o b z ir o m d a

e ko n o m ija u r e c e s iji n a jc e ˇ s ´ c e r e z u lt ir a s m a n je n je m p o t r a ˇ z n je z a le a s in g o m n e kr e t n in a , vis a k p o n u d e ku p lje n ih

ili n o vo iz g r a d e n ih n e kr e t n in a p o n e ka d z n a b it i ve lik i d u g o t r a ja n p r o b le m R E IT fo n d o vim a . In ve s t it o r i m o r a ju

z n a t i r a z lu ˇ c it i iz m e d u b la g o g i p r ivr e m e n o g vis ka p o n u d e n e kr e t n in a o d m n o g o o z b iljn ije g d u g o t r a jn o g vis ka

p o n u d e n e kr e t n in a . U d r u g o m s e s lu ˇ c a ju c ije n e R E IT d io n ic a m o g u z n a ˇ c a jn o s m a n jit i i n e ko liko g o d in a o s t a t i

s la b o t r a ˇ z e n e .

D o k je u ˇ c e s t vo va n je m ir o vin s kih fo n d o va i in ve s t ic ijs kih b a n a ka n u ˇ z n o ka ko b i s e R E IT fo n d o vim a p o -

m o g lo d a p r iku p e d o d a t n i ka p it a l s a ko jim m o g u o s t va r it i vis o ku s t o p u r a s t a , is t a p o d u z e ´ c a p o n e ka d m o g u

b it i iz vo r i b r ig e z a u p r a vit e lje R E IT fo n d o va . Ca k i ka d a je o ˇ c it o d a s e t r ˇ z is t e n e kr e t n in a n a la z i u s t a n ju

vis ka p o n u d e n a d p o t r a ˇ z n jo m , g r a d n ja n o vih n e kr e t n in a ´ c e s e n a s t a vit i. Iz vo d a ˇ c i r a d o va ´ c e g r a d it i s ve d o k

d o b iva ju n u ˇ z n o fi n a n c ir a n je . Mir o vin s ki fo n d o vi s u vr lo o p r e z n i p r iliko m d a va n ja z a jm o va z a p r o je kt e g r a d n je

n e kr e t n in a ko je n is u u n a p r ije d d a n e u le a s in g . In ve s t ic ijs ke b a n ke ˇ c e s t o o g r a n ic a va ju z a jm o ve z a g r a d n ju

n e kr e t n in a n a s a m o 6 0 d o 7 0 % t r o ˇ s ko va p r o je kt a . Za h t ije va ju o d R E IT fo n d a z n a ˇ c a jn o u ˇ c e ˇ s ´ c e u t e m e ljn o m

ka p it a lu p r o je kt a .

Cijene R E IT dionica su veoma osjetljive na kamatnu stopu ( ka m a t n i r iz ik s e u r a ˇ c u n a va u n jih o vu c ije n u ) .

V is e ka m a t n e s t o p e p o ve ´ c a va ju t r o ˇ s ko ve p o s u d iva n ja n o vc a . Tim e r a z vo j n o vih p r o je ka t a ˇ c in e s ku p ljim , u

n e kim s lu ˇ c a je vim a p r e s ku p im . A ko in ve s t it o r i z a p a ˇ z a ju d a ´ c e r a s t u ´ c e ka m a t n e s t o p e n e g a t ivn o u t je c a t i n a

d o b it R E IT p o d u z e ´ c a , c ije n a R E IT d io n ic e ´ c e s e kr e t a t i o b r n u t o p r o p o r c io n a ln o ka m a t n o j s t o p i. R a s t ´ c e ka d a

s e ka m a t n a s t o p a s m a n ju je i s m a n jiva t ´ c e s e ka d a ka m a t n a s t o p a r a s t e . V is o ka ka m a t n a s t o p a n ije d o b r a n i

z a je d a n p o s a o , je r u p ija ku p o vn u m o ´ c p o t r o ˇ s a ˇ c a i n a p o s lje t ku m o ˇ z e d o ve s t i d o r e c e s ije . Tije ko m r e c e s ije s e

c ije n a r e n t e i le a s in g a n e m o ˇ z e p o vis it i b e z u g r o ˇ z a va n ja s t o p e z a u z e ´ c a p o s t o je ´ c ih n e kr e t n in a ko je s u p r e d vi d e n e

d a s lu ˇ z e ka o o b je kt i le a s in g a . V is o ke ka m a t n e s t o p e s u p o s e b n o ˇ s t e t n e z a R E IT fo n d o ve s p e c ija liz ir a n e z a

a p a r t m a n e . R E IT fo n d o vi s p e c ija liz ir a n i z a s e kt o r e ko ji im o m o g u ´ c u ju d a u ˇ z iva ju z a ˇ s t it u d u g o t r a jn ih le a s in g

u g o vo r a n e ´ c e u s vo jim n o vc a n im t o ko vim a o s je t it i u t je c a j e ko n o m ije u r e c e s iji d o k g o d s u r a t e ko je p r im a ju

s t a b iln e .

N e ki s u R E IT fo n d o vi, z b o g p o n o vn o g is ko r is t a va n ja s vo je im o vin e i s t r a t e g ije u la s ka u r iz ic n e p r o je kt e

z a je d n ic ki s a s vo jim p a r t n e r im a , s t va r n o s p o s o b n i s m a n jit i s vo ju o vis n o s t o p o n u d i s vje ˇ z e g ka p it a la . On i

4 3

p o ka z u ju d a vla s n is t vo n e kr e t n in a u z kva lit e t n o u p r a vlja n je n e kr e t n in a m a m o ˇ z e d o ve s t i d o iz vr s n ih p r in o s a

ˇ c a k i b e z ko r is t e n ja p r e t je r a n e fi n a n c ijs ke p o lu g e . S la b a b ila n c a s t a n ja m o ˇ z e o z b iljn o o g r a n ic it i s p o s o b n o s t

R E IT fo n d a d a s e p r o ˇ s ir i p u t e m n o vih a kviz ic ija ili r a z vija n je m n o vih n e kr e t n in a . P r e t je r a n a fi n a n c ijs ka p o lu g a

z n a ˇ c a jn o p o ve ´ c a va e fe kt e s m a n je n ja n e t o o p e r a t ivn o g d o h o t ka , b e z o b z ir a ko ji je r a z lo g t o g s m a n je n ja . Zb o g

s la b e b ila n c e s t a n ja fi n a n c ir a n je R E IT fo n d a d o ka p it a liz a c ijo m z a p o s t o je ´ c e vla s n ike m o ˇ z e b it i p r e s ku p o ( n o vi

in ve s t it o r i ´ c e im a t i n a jve ´ c u p r e g o va r a ˇ c ku m o ´ c ) .

Ma la ve lic in a R E IT fo n d o va m o ˇ z e b it i n jih o v z n a ˇ c a ja n n e d o s t a t a k n a s u r o vo m n a t je c a t e ljs ko m t r ˇ z is t u .

R E IT fo n d o vi s a m a lo m t r ˇ z is n o m ka p it a liz a c ijo m ˇ c e s t o n is u u m o g u ´ c n o s t i is p o s lo va t i p o kr o vit e ljs t vo n u ˇ z n o

z a p r iku p lja n je ka p it a la . Zb o g o g r a n ic e n ih fi n a n c ijs kih r e s u r s a ko jim a r a s p o la ˇ z u , R E IT fo n d o vi s a m a lo m

t r ˇ z is n o m ka p it a liz a c ijo m s e n a jc e ˇ s ´ c e n is u u s t a n ju r a z vit i u r a ˇ s ir e n u o r g a n iz a c iju . Zn a n s t ve n a is t r a ˇ z iva n ja s u

p o ka z a la d a ko d R E IT fo n d o va p o s t o ji iz r a ˇ z e n a ko m p o n e n t a e ko n o m ic n o s t i ve lic in e ko ja u z r o ku je d a s u ve ´ c i

R E IT fo n d o vi u p r a vilu e fi ka s n iji. Ob ja ˇ s n je n je ve ´ c e e fi ka s n o s t i ve likih R E IT fo n d o va m o ˇ z e s e p r o n a ´ c i u ve ´ c o j

p r e g o va r a ˇ c ko j m o ´ c i s a s vo jim d o b a vlja ˇ c im a i p r im a t e ljim a le a s in g a .

R E IT fo n d o vi ko ji im a ju s p o s o b n o s t r a z vija n ja n e kr e t n in a s u u m o g u ´ c n o s t i p o ve ´ c a t i s vo ju n e t o im o vin u

m n o g o b r ˇ z e o d o n ih ko ji n e m a ju t u m o g u ´ c n o s t , t e t im e u p o g o d n o m t r e n u t ku s t e ´ c i ko m p a r a t ivn u p r e d n o s t .

R iz ic i R E IT fo n d o va s e m o g u z n a ˇ c a jn o u m a n jit i u n u t a r r a s p o n a d je lo va n ja n jih o ve u p r a ve . V a n js ki iz vo d a ˇ c i

r a d o va m o g u u z r o ko va t i p r e lije va n je t r o ˇ s ko va ko d n o ve g r a d n je , a p o s t o je i o p e r a t ivn i r iz ic i p r iliko m s va ko g

d a va n ja n e kr e t n in a u le a s in g . Tije ko m p r o c e s a r a z vija n ja n e kr e t n in a p r is u t n a s u t r i klju ˇ c n a p o d r u ˇ c ja r iz ika :

1 . R iz ik iz g r a d n je ( iz vo d a ˇ c u r a d o va n e d o s t a je is ku s t vo )

2 . R iz ik p r im a t e lja le a s in g a ( p r o jic ir a n i iz n o s r e n t e i o ˇ c e kiva n a s t o p a p r in o s a o d n e kr e t n in a d a n ih u le a s in g

n e m o r a ju o d g o va r a t i t r e n u t n im u vje t im a n a t r ˇ z is t u )

3 . R iz ik fi n a n c ir a n ja ( fi n a n c ir a n je p r o je kt a iz g r a d n je n e kr e t n in a fi n a n c ijs ko m p o lu g o m n ije o p c ija s ve d o k

p r o je kt n ije g o t o vo z a vr ˇ s e n ili d o k n e kr e t n in a n ije iz d a n a u le a s in g )

4.7 Kada se odluciti za investir anje u RE I T fondove i kako odabr ati RE I T

fond?

D io n ic e R E IT fo n d a s u o s o b it o p r ivla ˇ c n e ka d a ih n it ko n e ˇ z e li p o s je d o va t i. P r in o s n a N A R E IT in d e ks

je 1 9 9 6 . g o d in e iz n o s io 3 5 .3 % , 1 9 9 7 . g o d in e je iz n o s io 2 0 . 3 % , d o k je 1 9 9 8 . g o d in e iz n o s io −1 7 .5 % . In ve s t it o r im o g u p r o ´ c i vr lo d o b r o ku p u ju ´ c i s la b o t r a ˇ z e n e R E IT d io n ic e n a d a ju ´ c i s e d o la s ku vr e m e n a p r o m je n e t r e n d o va .

N a r a vn o , m o r a ju b it i s vje s n i r iz ika . V e o m a je t e ˇ s ko p r o c ije n it i p r a vi t r e n u t a k z a ku p n ju ( ka d a je c ije n a d io n ic e

d o s e g la d n o ) . K ako investitori mogu investirati u R E IT fondove?

4 4

1 . In ve s t it o r i m o g u n a p r a vit i is t r a ˇ z iva n je R E IT fo n d o va . P o s lo vn i p r o je kt i R E IT fo n d o va s e n e m ije n ja ju

b r z o .

2 . In ve s t it o r i s e m o g u ko n z u lt ir a t i s a b r o ke r im a , fi n a n c ijs kim p la n e r im a i in ve s t ic ijs kim s a vje t n ic im a .

3 . In ve s t it o r i m o g u ku p it i u d je le o t vo r e n o g in ve s t ic ijs ko g fo n d a s p e c ija liz ir a n o g z a u la g a n je u R E IT fo n d o ve ,

p o p u t V a n g u a r d R E IT in d e ks n o g fo n d a . Ova kvo u la g a n je o m o g u ´ c a va b e z u lo ˇ z e n o g t r u d a iz vr s t a n n a ˇ c in

z a d o b iva n je z a d o vo lja va ju ´ c e d ive r s ifi ka c ije u R E IT fo n d o ve .

4 . In ve s t it o r i m o g u ku p it i d io n ic e R E IT E xc h a n g e Tr a d e d Fu n d ( E TF) . K u p n ja t a kve d io n ic e p r e d s t a vlja

in d ir e kt n o vla s n is t vo ku p n jo m ko ˇ s a r e R E IT d io n ic a u d r u ˇ z e n ih p o d p o kr o vit e ljs t vo m o r g a n iz a c ije s p o n -

z o r a . R E IT E TF d io n ic a m a s e n a o r g a n iz ir a n im t r ˇ z is t im a ka p it a la t r g u je ka o d a je r ije ˇ c o je d n o j d io n ic i.

P o s t o je 4 R E IT E TF fo n d a : iS h a r e s Co h e n & S t e e r s R e a lt y Ma jo r s In d e x Fu n d , iS h a r e s D o w Jo n e s U .S .

R e a l E s t a t e In d e x Fu n d , s t r e e t TR A CK S W ils h ir e R E IT In d e x Fu n d i V a n g u a r d R E IT V IP E R S .

K valiteta uprave je najvaznija osobina blue-chip R E IT fonda, R E IT fo n d a n a jvis e r a z in e fi n a n c ijs ke

s t a b iln o s t i. D r u g a o s o b in a p o va ˇ z n o s t i je la ko ´ c a p r is t u p a ka p it a lu . R E IT fo n d o vi s a n is kim u d je lo m vla s t it o g

ka p it a la u u ku p n o j im o vin i u p r a vilu im a ju ve ´ c i p o t e n c ija l r a s t a i b o lju p e r c e p c iju s ig u r n o s t i, t e z b o g t o g a i

vis u c ije n u d io n ic a . R E IT fo n d m o ˇ z e o kr u p n ja va t i iz n u t r a , r a s t o m o p e r a t ivn o g d o h o t ka . Ta ka v je r a s t p o d

ko n t r o lo m u p r a vit e lja fo n d o va . On i s e m o g u o d lu ˇ c it i z a n a d o g r a d n ju p o s t o je ´ c ih ka p a c it e t a , p o ve ´ c a va n je r e n t e

ili p o s t o t ka iz n a jm lje n ih n e kr e t n in a , t e s m a n jiva n je t r o ˇ s ko va . A lt e r n a t ivn o R E IT fo n d o vi m o g u o kr u p n ja va t i

iz va n a . Ta ka v s e r a s t t e m e lji n a a kviz ic ija m a n o vih n e kr e t n in a , n o vim p r o je kt im a r a z vija n ja n e kr e t n in a ,

r iz ic n im p r o je kt im a u ko je u la z e z a je d n o s a s vo jim p a r t n e r im a , t e d o d a t n im t o ko vim a p r ih o d a . In t e r n a s t o p a

r a s t a je s t a b iln ija i p o u z d a n ija .

P o s t o ji n e ko liko s t r a t e g ija in ve s t ir a n ja u R E IT fo n d o ve . Je d n a je kupi i drzi strategija investiranja

ko ja p r e t p o s t a vlja d a s e n e kr e t n in e p r o d a ju je d in o ka d a je R E IT fo n d u n e o p h o d a n n o va c . D ruga strategija

investiranja zasniva se na trgovanju: in t e lig e n t a n in ve s t it o r m o ˇ z e p o b ije d it i t r ˇ z is t e p r o n ic ljivim o d a b ir o m

d io n ic a ili p a m e t n im o d a b ir o m t r e n u t ka z a in ve s t ir a n je . N e t o im o vin a R E IT fo n d a je vr lo va ˇ z n a t ije ko m

p r o c e s a vr e d n o va n ja R E IT d io n ic e , a li in ve s t it o r m o r a vo d it i r a ˇ c u n a d a n e t o im o vin a ig n o r ir a vr ije d n o s t

p o d u z e t n ic ke a kt ivn o s t i R E IT fo n d a . U n e ko m t r e n u t ku p r e m ija ili d is ko n t ( u o d n o s u n a n e t o im o vin u R E IT

fo n d a ) p o ko jim a s e R E IT d io n ic a m o ˇ z e p r o d a t i m o ˇ z e b it i z n a ˇ c a jn a , ˇ c e s t o ve ´ c a o d 2 0 % . Cijena dionice R E IT

fonda prije svega ovisi o ponudi nekretnina i potraznji za njima. N a p r im je r , ka d a s e u r e d s ki p r o s t o r i iz g r a d u ju

b r ˇ z e n e g o ˇ s t o ih t r ˇ z is t e m o ˇ z e a p s o r b ir a t i, r e n t e s e s m a n ju ju je d n a ko ka o ˇ s t o s e s m a n ju je i vr ije d n o s t n e kr e t n in a .

S d r u g e s t r a n e , r a s t b r o ja z a p o s le n ih i p o ve ´ c a n a p o t r o ˇ s n ja s t a n o vn is t va u b r z o r a s t u ´ c im e ko n o m ija m a u t je ˇ c u

n a p o ve ´ c a n je p o t r a ˇ z n je z a z a ku p o m n e kr e t n in a , ˇ s t o u z n jih o vu fi ks n u p o n u d u ˇ c e s t o d o vo d i d o e ks p lo z ivn o g

r a s t a c ije n a . P r i p r a ´ c e n ju p o n u d e n e kr e t n in a i p o t r a ˇ z n je z a n jim a , n e kr e t n in e je n u ˇ z n o p o d ije lit i p r e m a vr s t i,

4 5

n a m je n i i lo ka c iji. L okacija na kojoj je nekretnina izgradena presudno utjece na njenu cijenu. Zb o g t o g a s e

a n a liz a R E IT fo n d o va r a z liku je o d a n a liz e o s t a lih d io n ic a . In ve s t it o r i u r e d o vn e ( o b ic n e ) d io n ic e d io n ic kih

d r u ˇ s t a va ka o klju ˇ c n u m je r u p r o fi t a b iln o s t i p o d u z e ´ c a ko r is t e n e t o d o h o d a k, d o k je z a a n a liz u p r o fi t a b iln o s t i

R E IT fo n d o va u o b ic a je n o ko r is t it i s lje d e ´ c e d vije m je r e :

1 . K apital od operacija ( e n g . Fu n d s Fr o m Op e r a t io n s o r FFO) = n e t o d o h o d a k - d o b it o d p r o d a je n e kr e t -

n in a + d e p r e c ija c ija + a m o r t iz a c ija + n a kn a d n a p r ila g o d b a z a n e u t vr d e n a p a r t n e r s t va i vr ije d n o s t

r iz ic n ih p r o je ka t a u ko je s u R E IT fo n d o vi u ˇ s li u p a r t n e r s t vu . K a p it a l o d o p e r a c ija s e n e s m ije g le d a t i

s t a t ic n o , a n a u p r a vi je d a p r o n a d e n a ˇ c in n a ko ji ´ c e g a p o ve ´ c a t i.

2 . P rilagodeni kapital od operacija ( e n g . A d ju s t e d FFO o r A FFO) = K a p it a l o d o p e r a c ija p r ila g o d e n z a

t r o ˇ s ko ve ko ji z a vr ije m e ka p it a liz a c ije n e p o ve ´ c a va ju vr ije d n o s t n e kr e t n in a , p a s e p r ila g o d a va e lim in i-

r a n je m p r a vo c r t n ih r e n t i. P r ila g o d e n i ka p it a l o d o p e r a c ija je n a jp r e c iz n iji p o ka z a t e lj z a o d r e d iva n je

s lo b o d n ih t o ko va n o vc a R E IT fo n d a . P r e c iz n o , p r ila g o d e n i ka p it a l o d o p e r a c ija = K a p it a l o d o p e r a c ija

- vis e kr a t n i t r o ˇ s ko vi ka p it a la , p r i ˇ c e m u je vis e kr a t n i t r o ˇ s a k ka p it a la = p o ve ´ c a n je vr ije d n o s t i n e kr e t n in a

u s lije d s vr e m e n a n a vr ije m e n u ˇ z n ih z a m je n a t e p ih a , t a p e t a , z a vje s a i s lic n o .

Za o d a b ir R E IT d io n ic a ko r is t e s e p o ka z a t e lji omjer cijene i kapitala od operacija, t e omjer cijene i

prilagodenog kapitala od operacija. Ti p o ka z a t e lji s e ko r is t e z a r e la t ivn u u s p o r e d b u R E IT fo n d o va u o d n o s u

n a r e fe r e n t n u g r u p u R E IT fo n d o va ( s a ko jo m p r o m a t r a n i R E IT fo n d im a e ko n o m s ko g s m is la u s p o r e d iva t i) u

d a n o m vr e m e n s ko m t r e n u t ku . B lu e -c h ip R E IT d io n ic a b i t r e b a la im a t i vis u vr ije d n o s t n a ve d e n ih p o ka z a t e lja

o d p r o s je ˇ c n ih R E IT d io n ic a . P o ka z a t e lj o m je r a c ije n e i ka p it a la o d o p e r a c ija n e vo d i r a ˇ c u n a o t o m e je li u

b ila n c i s t a n ja p o s t o ji p r e t je r a n a fi n a n c ijs ka p o lu g a . ˇS t o je ve ´ c a fi n a n c ijs ka p o lu g a , t r e b a la b i b it i ve ´ c a d is ko n t n a

s t o p a u m o d e lu d is ko n t ir a n ja t o ko va n o vc a . S d r u g e s t r a n e , p o ka z a t e lj o m je r a c ije n e i p r ila g o d e n o g ka p it a la o d

o p e r a c ija o vis i o o ˇ c e kiva n o m b u d u ´ c e m r a s t u , z a p a ˇ z e n o m r iz iku , ka m a t n o j s t o p i i o s t a lim va ˇ z n im e le m e n t im a .

P o b liz o m u s p o r e d b o m p o ka z a t e lja o m je r c ije n e i ka p it a la o d o p e r a c ija i o m je r c ije n e i p r ila g o d e n o g ka p it a la o d

o p e r a c ija s a r e d o vit o m d ivid e n d o m ko ju is p la ´ c u je R E IT, a n a lit ic a r i ˇ c e s t o m o g u z n a t i ka d a je r e a ln o o ˇ c e kiva t i

n iz u d ivid e n d u i d je lo va t i u s kla d u s a s vo jim o p a ˇ z a n je m .

In ve s t it o r i u R E IT d io n ic e p r e fe r ir a ju d u g o t r a jn o z a d u ˇ z iva n je kr a t ko t r a jn o m , t e z a d u ˇ z iva n je s a u n a p r i-

je d d o g o vo r e n o m ka m a t n o m s t o p o m o d z a d u ˇ z iva n ja u z p r o m je n jivu ka m a t n u s t o p u . A n a liz a d a t u m a is t e ka

u g o vo r a o le a s in g u i a n a liz a p o s t o je ´ c ih e fe kt ivn ih ka m a t n ih s t o p a n a ve d e n ih u u g o vo r im a o le a s in g u n e kr e t n i-

n a , t e n jih o va u s p o r e d b a s a ka m a t n im s t o p a m a ko ju z a r a ˇ c u n a va ju u s p o r e d ivi R E IT fo n d o vi z n a b it i ve o m a

ko r is n a z a d o n o ˇ s e n je o d lu ke o in ve s t ir a n ju . Ta kva a n a liz a s e ˇ c e s t o n a z iva a n a liz a r a s t a g u b it a ka o d le a s in g a

z b o g u n a p r ije d u g r a d e n ih r e n t i ( a ko je e fe kt ivn a ka m a t n a s t o p a n a ve d e n a u u g o vo r u n iz a o d t r ˇ z is n e e fe kt ivn e

4 6

ka m a t n e s t o p e ) ili a n a liz a s ko t r lja n ih n a ja m n in a ( z a e fe kt ivn u ka m a t n u s t o p u n a ve d e n u u u g o vo r u vis u o d

t r ˇ z is n e e fe kt ivn e ka m a t n e s t o p e ) .

P r i a n a liz i R E IT fo n d o va s e ko r is t e n e t o o p e r a t ivn i d o h o d a k i in t e r n a s t o p a p r in o s a . Neto operativni

dohodak s e ko r is t i ka o m je r a n e t o t o ko va n o vc a ko ji g e n e r ir a n e kr e t n in a ko ja d o n o s i d o h o d a k. In ve s t it o r i m o g u

o ˇ c e kiva t i d a ´ c e n e t o o p e r a t ivn i d o h o d a k r a s t i u s p o r e d n o s a s t o p o m in fl a c ije . Interna stopa prinosa p o m a ˇ z e

in ve s t it o r u u n e kr e t n in e d a iz r a ˇ c u n a stopu prinosa na investirani kapital ( e n g . R e t u r n On In ve s t m e n t , R OI) i

povrat od investiranog kapitala ( e n g . R e t u r n Of In ve s t m e n t , R OC) , t j. r a z liku iz m e d u n e t o n o vc a n ih t o ko va i

n e t o d o h o t ka . P o d s je t im o s e d a n o vc a n i t o ko vi n e m je r e d o h o d a k. Za m je r e n je b ila n ˇ c n e s n a g e R E IT fo n d o va

i u t vr d iva n je ko r is t i li R E IT fo n d p r e t je r a n u ili p r e m a lu fi n a n c ijs ku p o lu g u , ko r is t e s e d va p o ka z a t e lja :

1 . Od n o s o b ve z a i t r ˇ z is n e ka p it a liz a c ije = Od n o s u ku p n ih o b ve z a s a z b r o je m ka p it a la r e d o vn ih ( o b ic n ih )

d io n ic a , ka p it a la p o vla ˇ s t e n ih ( p r e fe r e n c ija ln ih ) d io n ic a i u ku p n ih o b ve z a .

2 . E B ITD A ( d o b it p r ije p la ´ c e n ih ka m a t a i p o r e z a , t e o b r a ˇ c u n a t e d e p r e c ija c ije i a m o r t iz a c ije )

4.8 Upr avljanje por tfeljem RE I T fonda

K ako ugraditi rastuci kapital od operacija u ugovore o leasingu? V e ´ c in a R E IT fo n d o va u ˇ z iva ju z a ˇ s t it u

u g o vo r a o d u g o r o ˇ c n o m le a s in g u . S t r u kt u r a ve ´ c in e u g o vo r a o le a s in g u je t a kva d a R E IT fo n d o vi s a p r im a t e ljim a

le a s in g a d ije le r a s t p r ih o d a iz n a d o d r e d e n e m in im a ln e r a z in e . Iz n e n a d n e r e n t e n e p o s t o je u u g o vo r im a o

le a s in g u . U u g o vo r e o le a s in g u n e kr e t n in a s e u g r a d u je p e r io d ic n o p o ve ´ c a va n je r e n t e . V e liki R E IT fo n d o vi s u

s p o s o b n i ( n a t e m e lju n jih o ve ve lic in e i r e p u t a c ije ) u g o vo r it i u vje t e le a s in g a ka kve m a li R E IT fo n d o vi n is u u

s t a n ju .

Sto ako upravitelji R E IT fondova zele prosiriti posao? R E IT fo n d z a d r ˇ z a va vr lo m a lo ka p it a la d a b i

iz t e o s n o ve m o g a o p r o ˇ s ir it i s vo j p o s a o . Zb o g t o g a c ije n a d io n ic e R E IT fo n d a r a s t e z n a t n o s p o r ije o d c ije n e

o s t a lih d io n ic a . In ve s t it o r u d io n ic u R E IT fo n d a o s t va r u je vis o k u ku p a n p r in o s is p la t o m vis o ke d ivid e n d e .

E ks p a n z ija R E IT fo n d a s e m o ˇ z e o s t va r it i iz d a va n je m n o vih d io n ic a ( r e d o vn ih ili p o vla ˇ s t e n ih ) , iz d a va n je m

ko r p o r a t ivn ih o b ve z n ic a i o s t a lih z a d u ˇ z n ic a , iz d a va n je m d io n ic a ko jim a s e n e t r g u je n a b u r z a m a ( e n g . p r iva t e

e qu it y p la c e m e n t s ) , u la s ko m u p r iva t n a p a r t n e r s t va ili z a m je n o m n o vih d io n ic a ili u d je la u p a r t n e r s t vu z a

n o ve n e kr e t n in e .

K oji cimbenici doprinose ostvarivanju dobiti R E IT fonda? P o ve ´ c a n je d o b it i R E IT fo n d m o ˇ z e o s t va -

r it i p o ve ´ c a n je m p r ih o d a , s m a n je n je m t r o ˇ s ko va ili kr o z ku p o p r o d a ju n e kr e t n in a . P r ih o d e m o ˇ z e p o ve ´ c a t i

p o ve ´ c a n je m c ije n e n a ja m n in a i z a ku p n in a ili p o ve ´ c a n je m is ko r is t e n o s t i ka p a c it e t a n e kr e t n in a u s vo m p o r t -

fe lju . R a s t e ko n o m ije d o vo d i d o r a s t a p o t r a ˇ z n je z a n e kr e t n in a m a , ˇ s t o u z n jih o vu fi ks n u p o n u d u ˇ c e s t o d o vo d i

4 7

d o e ks p lo z ivn o g r a s t a c ije n a n e kr e t n in a , ka o i r a s t a c ije n a n a jm a i z a ku p a , p a t a ko i p r ih o d a R E IT fo n d a .

U n e d o s t a t ku kva lit e t n ih lo ka c ija z a g r a d n ju n e kr e t n in a , u p r a vit e lji R E IT fo n d o va ˇ c e s t o s kla p a ju u g o vo r e u

ko jim a s e o b a ve z u ju s a n ir a t i ili r e n o vir a t i p o s t o je ´ c u n e kr e t n in u u z a m je n u z a m o g u ´ c n o s t n je n e n a d o g r a d n je ,

p r i ˇ c e m u ´ c e R E IT fo n d b it i vla s n ik n a d o g r a d e n o g p r o s t o r a .

R E IT fondovi su najcesce vrlo razliciti jedan od drugoga. U ˇ c in a k R E IT fo n d o va m o ˇ z e s e z n a ˇ c a jn o p r o m i-

je n it i iz m e d u d va kva r t a ln a iz vje ˇ s ´ c a , a jo ˇ s ve ´ c a r a z lika m o ˇ z e b it i iz m e d u R E IT fo n d o va u r a z lic it im s e kt o r im a .

N e ki s e kt o r i s u b it n o r iz ic n iji o d o s t a lih . R iz ic i s e z n a ˇ c a jn o r a z liku ju i iz m e d u p o d u z e ´ c a u n u t a r s e kt o r a R E IT

fo n d o va . N e ke b ila n c e s t a n ja s u je d n o s t a vn o r iz ic n ije o d d r u g ih - p r e m a vis o ko j fi n a n c ijs ko j p o lu z i, z n a ˇ c a jn o m

d u g u s a va r ija b iln o m s t o p o m o t p la t e ili z n a ˇ c a jn o m d u g u s a s ko r im r o ko m d o s p ije ´ c a . P it a n je likvid n o s t i R E IT

d io n ic a m o ˇ z e p o s t a t i z n a ˇ c a jn o u ko liko R E IT fo n d o s t va r i s la b iji p o s lo vn i r e z u lt a t o d o ˇ c e kiva n o g .

Mo g u ´ c i c ilje vi u p r a vlja n ja p o r t fe lje m R E IT fo n d o va m o g u b it i p o b ije d it i ” b e n c h m a r k” u z u p r a vlja n je

r iz ic im a , s m a n jit i r iz ik vo la t iln o s t i, m a ks im a liz ir a t i d o b it n a ko n o p o r e z iva n ja , in ve s t ir a t i u p o t r a z i z a vis o kim

p r in o s o m ili z a in ve s t ir a n je ko r is t it i n e ku s t r a t e g iju o s o b n e va ˇ z n o s t i.

4.9 P ozeljnost ulaganja u zatvor ene investicijske fondove s javnom ponudom

za ulaganje u nekr etnine?

Tr ˇ z is n a ka p it a liz a c ija g lo b a ln e R E IT in d u s t r ije ( R E IT fo n d o vi s u p o s e b n a kla s a im o vin e ) je 3 1 .3 .2 0 0 6 .

g o d in e d o s e g la 6 4 6 . 8 8 8 m ilio n a U S D . R E IT fo n d o vi s u ve o m a a t r a kt ivn i z a in ve s t ir a n je je r n u d e n e z n a t n o n iz i

p r in o s o d d io n ic a ( z n a ˇ c a jn o vis i o d o b ve z n ic a ) , t e im a ju vr lo p o ˇ z e ljn e ka r a kt e r is t ike ko je d o p r in o s e s m a n je n ju

r iz ic n o s t i p o r t fe lja s va ko g fo n d a ko ji u R E IT fo n d o ve u la ˇ z e . P r e c iz n ije , R E IT fo n d o vi im a ju z n a ˇ c a jn o n iz u

s t a n d a r d n u d e vija c iju o d d io n ic a , t e ve o m a n iz a k ko e fi c ije n t lin e a r n e ko r e la c ije s a o s t a lim kla s a m a im o vin e .

Iz m e d u 1 .1 .1 9 8 5 . i 3 1 .1 2 .2 0 0 4 . g o d in e je p r o s je ˇ c a n g o d is n ji p r in o s n a N A R E IT in d e ks iz n o s io 1 2 .7 % , n je -

g o v ko e fi c ije n t lin e a r n e ko r e la c ije s a S &P in d e ks o m d io n ic a s a m a lo m ka p it a liz a c ijo m je iz n o s io 0 .2 3 , n je g o v

ko e fi c ije n t lin e a r n e ko r e la c ije s a S &P in d e ks o m d io n ic a s a ve liko m ka p it a liz a c ijo m je iz n o s io 0 .2 7 , d o k je n je -

g o v ko e fi c ije n t lin e a r n e ko r e la c ije s a in d e ks o m U S d r ˇ z a vn ih o b ve z n ic a iz n o s io − 0 . 2 1 u z s ve n e g a t ivn iji t r e n d .Is t a kn im o d a je 2 .1 0 .2 0 0 6 . g o d in e ˇ c a k 1 1 R E IT d io n ic a b ilo u vr ˇ s t e n o u S &P 5 0 0 in d e ks , 1 2 u S &P 4 0 0 Mid

Ca p in d e ks i 1 5 u S &P 6 0 0 S m a ll Ca p in d e ks . P r o s je ˇ c a n g o d is n ji p r in o s je n a d a n 3 1 .1 2 .2 0 0 5 . g o d in e u n a z a d

p r e t h o d n e t r i g o d in e iz n o s io 2 6 .4 7 % n a U S R E ITS , a ˇ c a k 3 8 .7 5 % n a Glo b a l R E IT D e ve lo p e r s . Cije n a R E IT

d io n ic a je u in ve r z n o m o d n o s u s a p r o m je n o m t r ˇ z is n o g ka m a t n ja ka . R iz ik likvid n o s t i u la g a n ja u R E IT d io n ic u

je z a n e m a r iv, a g lo b a ln a a lo ka c ija R E IT p o r t fe lja p o ˇ z e ljn a . N a ve d e n e t vr d n je m o g u s e p r o vje r it i u r a d o vim a

[3 0 ], [4 2 ], [4 7 ], [8 3 ], [9 9 ], [1 0 8 ], [1 1 1 ], [1 4 5 ], [1 5 2 ] i [2 0 7 ].

N a p r vi p o g le d z b u n ju je ˇ c in je n ic a d a s e c ije n a R E IT d io n ic a o d n o s i o b r n u t o p r o p o r c io n a ln o i p r e m a c ije n i

4 8

o b ve z n ic a i p r e m a t r ˇ z is n o m ka m a t n ja ku je r je p o z n a t o d a s e c ije n a o b ve z n ic a o b r n u t o p r o p o r c io n a ln o o d n o s i

p r e m a t r ˇ z is n o m ka m a t n ja ku . D a b is m o t a j ” lo g ic ki” p a r a d o ks o b ja s n ili, p o g le d a jm o s t r u kt u r u p r ih o d a R E IT

fo n d o va . P o z it ivn i u t je c a j s t o p e in fl a c ije i t r ˇ z is n o g ka m a t n ja ka n a p r ih o d o d le a s in g a ( r e n t e ) d o la z i z b o g

p o ve ´ c a n e p r o d a je p r im a t e lja le a s in g a ( z a ku p n ika ) . P r e c iz n ije , ko e fi c ije n t e la s t ic n o s t i n o m in a ln e e fe kt ivn e

ka m a t n e s t o p e u u g o vo r im a o le a s in g u p r e m a t r ˇ z is n o m ka m a t n ja ku je ve ´ c i o d je d a n . N a d a lje , a ko je p o t r a ˇ z n ja

z a s t a n o vim a ve ´ c a o d p o n u d e , c ije n a n a ja m n in a je vis a , a t im e i n e t o o p e r a t ivn a d o b it R E IT fo n d a . L o g ic ki

m o d e l o p is a n n a p o ˇ c e t ku o vo g o d lo m ka je ig n o r ir a o t r ˇ z is n e z a ko n e p o n u d e i p o t r a ˇ z n je , a u p r a vo je r a z u m ije va n je

t r ˇ z is t a o d s t r a n e R E IT u p r a ve klju ˇ c n jih o vo g u s p je h a .

U z n a n s t ve n im r a d o vim a [6 ], [7 ], [8 ], [5 5 ], [6 9 ], [1 3 0 ] i [1 4 3 ] s u u t vr d e n i z n a n s t ve n i kr it e r iji z a o d a b ir

R E IT fo n d o va n a b a z i o p e r a t ivn e X -e fi ka s n o s t i i P r ic e / N A V o m je r a . K a o m e t o d o lo g ija z a o d a b ir je ko r is t e n a

a n a liz a e fi ka s n ih g r a n ic a . Za s a z n a t i vis e o ko r is t e n im m e t o d o lo g ija m a i r a z lo z im a z a ˇ s t o n e fu n kc io n ir a ju n a

t r ˇ z is t u ka p it a la L ije p e N a ˇ s e , ˇ c it a t e lj s e m o ˇ z e o b r a t it i a u t o r u o vo g a t e ks t a . Op is a n a m e t o d o lo g ija la ko s e ko -

r is t i z a u t vr d iva n je ˇ c in je n ic e d a R E IT fo n d o vi L ije p e N a ˇ s e z n a ˇ c a jn o z a o s t a ju z a R E IT fo n d o vim a U S e fi ka s n e

g r a n ic e R E IT fo n d o va , t e d a je je d a n o d klju ˇ c n ih r a z lo g a t o m e n e m o g u ´ c n o s t is ko r is t a va n ja e ko n o m ic n o s t i

ve lic in e . Za R E IT fondove, veci fond znaci bolji. V e ´ c i R E IT fo n d o vi m o g u p o ve ´ c a t i p r o fi t a b iln o s t r e d u kc ijo m

t r o ˇ s ko va ( p r o s je ˇ c n i t r o ˇ s ko vi s u o p a d a ju ´ c a fu n kc ija t r ˇ z is n e ka p it a liz a c ije R E IT fo n d a ) , im a ju ja ˇ c u p r e g o va r a ˇ c ku

m o ´ c p r e m a s vo jim d o b a vlja ˇ c im a , iz vo d a ˇ c im a r a d o va i o s t a lim p o s lo vn im p a r t n e r im a , n u d e vis e u s lu g a s vo -

jim klije n t im a i ve lic in o m s m a n ju ju t r o ˇ s a k ka p it a la . N a d a lje , m n o g i in ve s t it o r i s u s p r e m n i p la t it i p r e m iju z a

p o ve ´ c a n u likvid n o s t R E IT d io n ic a . P r o b le m ve lic in e s e m o ˇ z e la ko r ije ˇ s it i u la s ko m ka p it a la b a n a ka , in ve s t ic i-

js kih i m ir o vin s kih fo n d o va u R E IT-e . U o vo m t e ks t u p o s t a vlja s e p it a n je sto je kocnica razvoja R E IT fondova

u L ijepoj Nasoj ?

Te m e lje m ˇ c la n ka 8 0 . s t a vka 3 . Za ko n a o in ve s t ic ijs kim fo n d o vim a ( N N . B r . 1 5 0 / 0 5 ) , z a t vo r e n i in ve s t i-

c ijs ki fo n d s ja vn o m p o n u d o m z a u la g a n je u n e kr e t n in e smije stjecati s t a m b e n e i p o s lo vn e z g r a d e , z e m ljis t a

n a ko jim a s e g r a d i, n e iz g r a d e n a z e m ljis t a n a ko jim a je d o z vo lje n a g r a d n ja s t a m b e n ih ili p o s lo vn ih z g r a d a , t e

p o ljo p r ivr e d n a z e m ljis t a .

Te m e lje m ˇ c la n ka 2 . s t a vka 1 . P r a viln ika ko jim s e u r e d u ju u la g a n ja z a t vo r e n ih in ve s t ic ijs kih fo n d o va s

ja vn o m p o n u d o m ( z a u la g a n je ) u n e kr e t n in e ( N N . B r . 1 3 1 / 0 6 ) , z a t vo r e n i in ve s t ic ijs ki fo n d s ja vn o m p o n u d o m

z a u la g a n je u n e kr e t n in e nije i ne moze biti investitor, iz vo d a ˇ c n it i d r u g i s u d io n ik u g r a d n ji u smislu Zakona

o gradnji ( N N . B r . 1 7 5 / 0 3 i 1 0 0 / 0 4 ) . Te m e lje m ˇ c la n ka 6 . s t a va ka 1 . i 2 . Za ko n a o le a s in g u ( N N . B r . 1 3 5 / 0 6 ) ,

p o s lo ve o p e r a t ivn o g le a s in g a m o ˇ z e o b a vlja t i s a m o L e a s in g d r u ˇ s t vo , d o k p o s lo ve fi n a n c ijs ko g le a s in g a m o ˇ z e

o b a vlja t i i b a n ka .

Iz p r ilo ˇ z e n o g s lije d i d a z a t vo r e n i in ve s t ic ijs ki fo n d s ja vn o m p o n u d o m z a u la g a n je u n e kr e t n in e ne smije

u lo ˇ z it i u s t a m b e n u z g r a d u ko ju je s t e ka o ( n e b i li s a n ir a o kr o v ko ji p r o kis n ja va ?) , n it i ju s m ije d a t i u le a s in g .

4 9

Za t vo r e n i in ve s t ic ijs ki fo n d s ja vn o m p o n u d o m z a u la g a n je u n e kr e t n in e s m ije s t e ´ c i n e iz g r a d e n o z e m ljis t e n a

ko je m je d o z vo lje n a g r a d n ja , a li n e s m ije u t o z e m ljis t e in ve s t ir a t i u s m is lu Za ko n a o g r a d n ji ( ˇ s t o u o p ´ c e z n a ˇ c i

s t e ´ c i i b it i in ve s t it o r ?) . Tim e s u fo n d o vi z a u la g a n je u n e kr e t n in e s ve d e n i n a fo n d o ve z a p r e p r o d a ju n e kr e t n in a ?

K t o m e jo ˇ s m o r a ju p la ´ c a t i s ku p u A g e n c iju ko jo j s u m je s e ˇ c n o d u ˇ z n i d o s t a vlja t i b r u t o b ila n c u z a s va ki d .o .o .

ko je g s a d r ˇ z a va ju u p o r t fe lju . Tko bi pametan osnovao takav fond ili ulozio u takav?

P odsjetimo se gesla vecine R E IT fondova u civiliziranim zemljama: Gdje je J UCE R bilo mocvarno

zemljiste, D ANAS investiramo u gradnju trgovackog centra, a SUTR A cemo prostor davati u operativni leasing.

5 Vr ijednost pod r izikom

5.1 Uvod

R a z lic it e t e h n ike m o d e lir a n ja m o g u p o m o ´ c i m e n a d ˇ z e r im a d a s t e kn u ili p o b o ljs a ju u vid u p r o b le m e

o d lu ˇ c iva n ja s a ko jim a s e s u o ˇ c a va ju . N a g la s im o d a m o d e li s a m o p r e d la ˇ z u o d lu ke , d o n o s e ih m e n a d ˇ z e r i. Ia ko

m o d e lir a n je m o ˇ z e b it i o d p o m o ´ c i ja s n ije m s a g le d a va n ju p r o b le m a , s a m o d o n o ˇ s e n je o d lu ka ´ c e u vije k o s t a t i

t e ˇ z a k z a d a t a k. Te h n ika a n a liz e o d lu ka o in ve s t ir a n ju o b ja ˇ s n je n a u o vo m t e ks t u m o ˇ z e p o m o ´ c i m e n a d ˇ z e r im a d a

d o n e s u d o b r e o d lu ke , a li n e m o ˇ z e ja m ˇ c it i d a ´ c e r e z u lt a t i t ih o d lu ka u vije k d o ve s t i d o d o b r ih is h o d a . U n a t o ˇ c

t o m e , ko r is t e n je b ilo ko je g s t r u kt u r ir a n o g p r is t u p a p r i d o n o ˇ s e n ju o d lu ka iz o ˇ s t r a va in t u ic iju o p r o b le m im a

o d lu ˇ c iva n ja o in ve s t ir a n ju s a ko jim a s e s u o ˇ c a va m o . K a o r e z u lt a t , r a z u m n o je o ˇ c e kiva t i d a ´ c e s e d o b r i is h o d i

o d lu ka ˇ c e ˇ s ´ c e p o ja vljiva t i ka d a ko r is t im o s t r u kt u r ir a n i p r is t u p .

Od lu ke o in ve s t ir a n ju s u t e ˇ s ke n a jvis e z b o g t o g a ˇ s t o in ve s t it o r i m o r a ju r a z m a t r a t i m n o g o r a z lic it ih

m o g u ´ c n o s t i p r e m a m n o g o kr it e r ija , p r i ˇ c e m u je n e ke kr it e r ije iz u z e t n o t e ˇ s ko kva lit e t n o kva n t ifi c ir a t i. Je d a n

m e d u t a kvim kr it e r ijim a je r iz ik. ” R e vo lu c io n a r n a id e ja [1 8 ] ko ja d e fi n ir a g r a n ic u iz m e d u p r o ˇ s lo s t i i m o d e r n ih

vr e m e n a je m is t e r ij r iz ika : s h va ´ c a n je d a je b u d u ´ c n o s t vis e o d h ir o va b o g o va i d a lju d i n is u p a s ivn i p r e m a

p r ir o d i. D o k lju d i n is u o t kr ili ka ko p r ije ´ c i t u g r a n ic u , b u d u ´ c n o s t je b ila o g le d a lo p r o ˇ s lo s t i ili m r a ˇ c n o p o d r u ˇ c je

p r o r o ˇ c a n s t a va i vr a ˇ c e va ko ji s u im a li m o n o p o l n a d z n a n je m p r e d vi d a n ja b u d u ´ c ih d o g a d a ja .”

P o ku ˇ s a va ju ´ c i kva n t ifi c ir a t i r iz ik, z n a n s t ve n ic i s u s t o lje ´ c im a r a z vija li r a z lic it e t e o r ije . Ia ko s u p r e d lo ˇ z ili

r a z lic it e n a ˇ c in e m je r e n ja r iz ika , n it i je d n a z a s a d a p r e d lo ˇ z e n a m je r a n ije p o n ije la s t a t u s n a jb o lje . Zato je

danas rizik postao predmetom interdisciplinarnih istrazivanja. R a z lo g z a t o le ˇ z i u ko m p lic ir a n im ve z a m a

e ko n o m s kih va r ija b li, ve z a m a ko jim a n it i je d a n z a s a d a p r e d lo ˇ z e n i m o d e l n ije d o r a s t a o . K a d a g o vo r im o o

e ko n o m s ko m r iz iku , m o r a m o is t a kn u t i d a je o n is t o vr e m e n o i s u b je kt ivn a i o b je kt ivn a ka t e g o r ija . N je g o va

o b je kt ivn o s t p r o iz la z i iz a p r io r n e n e p r e d vid ivo s t i kr e t a n ja c ije le m o d e r n e e ko n o m ije , a s u b je kt ivn o s t z b o g

p o s t o ja n ja in ve s t it o r a s a r a z lic it im s klo n o s t im a p r e m a r iz iku . Mje r e n je vr ije d n o s t i p o d r iz iko m z b o g t o g a z a

5 0

s o b o m p o vla ˇ c i m n o g a fi lo z o fs ka p it a n ja . A ko je r iz ik s u b je kt iva n , ˇ s t o z a m je r u r iz ika z n a ˇ c e r ije ˇ c i ” p r a va ” ili

” kr iva ” , ” d o b r a ” ili ” lo ˇ s a ” , ” p r e c iz n a ” ili ” n e p r e c iz n a ” ? Zb o g t o g a je n e o p h o d n o u p o z o r it i ko r is n ike m je r e

r iz ika n a n je n a n e s u m n jiva o g r a n ic e n ja . Is t ic u ˇ c i t o is ka z u je m o o ˇ c it o : s va o r u d a im a ju o g r a n ic e n ja . Gu b it a k

vr ije d n o s t i p o r t fe lja je ja s n a in d ika c ija r iz ika . P ovecanje vrijednosti portfelja ne indicira odsutnost rizika!

N e ki a u t o r i ko r is t e iz r a z ” m je r a r iz ika ” z a b ilo ko ju vje r o ja t n o s n u m je r u fi n a n c ijs ko g r iz ika , b ilo d a je

r ije ˇ c o kr e d it n o m ili o p e r a t ivn o m r iz iku . U o vo m r a d u vrijednost pod rizikom ( V a R ) s e o d n o s i n a m je r u t r ˇ z is n o g

r iz ika . N a z iv vr ije d n o s t p o d r iz iko m ( e n g . V a lu e -a t -R is k) p r vi p u t a je ko r is t e n 1 9 9 3 . g o d in e u iz vje ˇ s t a ju g r u p e

t r id e s e t o r ic e [9 5 ]. U r a n ijo j lit e t a t u r i s u s e z a vr ije d n o s t p o d r iz iko m ko r is t ili a lt e r n a t ivn i n a z ivi dolari pod

rizikom ” d o lla r s -a t -r is k” [1 5 5 ] i kapital pod rizikom ” c a p it a l-a t -r is k” [2 0 5 ].

R ad je namijenjen prakticarima ko ji t r e b a ju im p le m e n t ir a t i in fo r m a t ic ki s u s t a v z a m je r e n je vr ije d -

n o s t i p o d r iz iko m , d a kle , fi n a n c ijs kim in ˇ z e n je r im a , s a vje t n ic im a , r e g u la t o r im a fi n a n c ijs kih t r ˇ z is t a i s vim z a -

p o s le n ic im a o d je la z a R is k Ma n a g e m e n t . K a ko je r a d n a m ije n je n p r a kt ic a r im a , a u t o r je s vje s n o o d b a c io

m a t e m a t ic ku p r e c iz n o s t u iz la g a n ju t e o r ije m je r e n ja vr ije d n o s t i p o d r iz iko m . N a g la s a k r a d a je n a p r a kt ic n o j

p r o c e d u r i i u p u ´ c iva n ju m a t e m a t ic ki z a h t je vn ijih ˇ c it a t e lja n a z a n jih p o g o d n u z n a n s t ve n u lit e r a t u r u .

5.2 N otacija

S lu ˇ c a jn e va r ija b le o z n a ˇ c ili s m o ve likim it a lic s lo vim a : Q, R, S, X i Y . S lu ˇ c a jn e ve kt o r e , s lu ˇ c a jn e m a t r ic e i

s t o h a s t ic ke p r o c e s e o z n a ˇ c ili s m o ve likim m a s n im s lo vim a : Q, R, S, X i Y. V a r ija b le ko je n is u s lu ˇ c a jn e o z n a ˇ c ili

s m o m a lim it a lic s lo vim a : q, r, s, x i y. V e kt o r e ko ji n is u s lu ˇ c a jn i o z n a ˇ c ili s m o m a lim m a s n im s lo vim a : q, r ,

s, x i y.

N e p r e kid n u s lu ˇ c a jn u va r ija b lu X ko ja im a normalnu distribuciju s o ˇ c e kiva n je m µ i va r ija n c o m σ2 ´ c e m o

o z n a ˇ c a va t i s a X ∼ N ( µ, σ2 ) . X ∼ N ( 0 , 1 ) n a z iva m o s t a n d a r d n a n o r m a ln a s lu ˇ c a jn a va r ija b la . N e p r e kid n u

s lu ˇ c a jn u va r ija b lu X ko ja im a hi-kvadrat distribuciju s ν s t u p n je va s lo b o d e i p a r a m e t r o m n e c e n t r a ln o s t i δ2 ´ c e m o

o z n a ˇ c a va t i s a X ∼ χ2 ( ν, δ2 ) . N e p r e kid a n s lu ˇ c a ja n ve kt o r X ko ji im a n-dimenzionalnu normalnu distribuciju

s o ˇ c e kiva n je m µ i va r ija n c o m Σ ´ c e m o o z n a ˇ c a va t i s a X ∼ Nn ( µ, Σ) .

5.3 P ovijest teor ije por tfelja

P o vije s t t e o r ije p o r t fe lja z a p o ˇ c in je 1 9 5 2 . g o d in e ka d a s u Ma r ko wit z [1 5 6 ] i R o y [1 8 2 ] n e o vis n o je d a n

o d d r u g o g a o b ja vili m je r e r iz ika ko je s u u p o t r e b ljive ka o n u m e r ic ka p o d r ˇ s ka o p t im iz a c iji p o r t fe lja . P o s lije s u

u s lije d ili r a d o vi To b in a [1 9 9 ], Tr e yn o r a [2 0 1 ], S h a r p e a [1 8 7 ], [1 8 8 ], L in t n e r a [1 4 8 ] i Mo s s in a [1 6 7 ] iz ko jih je

p r o iz a ˇ s la d a n a ˇ s n ja t e o r ija o p t im iz a c ije p o r t fe lja . P r e g le d ve lika n a t e o r ije o p t im iz a c ije p o r t fe lja z a vr ˇ s a va m o s a

r a d o m L ie t a e r a [1 4 6 ] ko ji o p is u je p r a kt ic n o u p o t r e b ljivu V a R m je r u d e viz n o g r iz ika ( e n g . fo r e ig n e xc h a n g e

5 1

r is k) u ko jo j je p o p r vi p u t a ko r is t e n a Mo n t e Ca r lo m e t o d a . V is e in fo r m a c ija o p o vije s t i p o ˇ c e t a ka t e o r ije

p o r t fe lja m o ˇ z e s e p r o n a ´ c i u r a d u [1 5 7 ], a o p o vije s t i R is kMe t r ic s u s lu g e u r a d u [1 0 7 ]. S u vr e m e n i kla s ik o

u p r a vlja n ju fi n a n c ijs kim r iz ic im a je [9 5 ]. K n jig a p r e m a ko jo j je n a p r a vlje n o va j r a d je [1 1 7 ], a a lt e r n a t ivn i

p r is t u p r a ˇ c u n a n ju V a R -a o b r a d e n je u kn jig a m a [6 8 ] i [1 5 8 ].

5.4 Osnovni pojmovi vezani uz vr ijednost r izika

M jera rizika je o p e r a c ija ko ja d o d ije lju je vr ije d n o s t r iz iku . Ia ko je fi n a n c ijs ka t e o r ija r a z vila m n o g o

r a z lic it ih m je r a r iz ika , s ve m je r e t e m e lje s e n a z a je d n ic ko m s t a n d a r d u . Zb o g t o g a ´ c e m o u n a s t a vku t e ks t a

u t vr d it i klju ˇ c n e ko m p o n e n t e o d ko jih s e s va ka V a R m je r a s a s t o ji. M etrika rizika je in t e r p r e t a c ija m je r e r iz ika .

Me t r ika r iz ika s e p o ja vlju je u je d n o m o d t r i o b lika : o n o m ko ji kva n t ifi c ir a iz lo ˇ z e n o s t , o n o m ko ji kva n t ifi c ir a

n e s ig u r n o s t i o n o m ko ji kva n t ifi c ir a ko m b in a c iju iz lo ˇ z e n o s t i i n e s ig u r n o s t i.

Trzisni rizik o p is u je iz lo ˇ z e n o s t n e s ig u r n o j t r ˇ z is n o j vr ije d n o s t i p o r t fe lja . P oslovni rizik o p is u je iz lo ˇ z e n o s t

n e s ig u r n o j e ko n o m s ko j vr ije d n o s t i ko ju n e m o ˇ z e m o ve z a t i u z t r ˇ z is t e . VaR s e o d n o s i n a ka t e g o r iju m je r a

t r ˇ z is n o g r iz ika . P r e t p o s t a vim o d a p r o m a t r a m o vr e m e n s ki p e r io d iz m e d u t r e n u t a ka 0 i 1 . N e ka je p o z n a t a

t r ˇ z is n a vr ije d n o s t p o r t fe lja 0p u t r e n u t ku 0 i n e ka je t r ˇ z is n a vr ije d n o s t p o r t fe lja 1P u t r e n u t ku 1 s lu ˇ c a jn a

va r ija b la ko jo j m o ˇ z e m o d o d ije lit i n e ku d is t r ib u c iju vje r o ja t n o s t i. Ma t e m a t ika portfelj d e fi n ir a ka o u r e d e n i

p a r ( 0p,1P ) . VaR metrika je r e a ln a fu n kc ija o d 0p i d is t r ib u c ije vje r o ja t n o s t i s lu ˇ c a jn e va r ija b le 1P u vje t o va n e

in fo r m a c ija m a r a s p o lo ˇ z ivim u t r e n u t ku 0 . A ko gubitak portfelja d e fi n ir a m o s a

1L =0 p−1 P , ( 4 8 )

ocekivani gubitak ( kr a t ic a E TL o d e n g . e xp e c t e d t a il lo s s ) je V a R m e t r ika ko ja o z n a ˇ c a va o ˇ c e kiva n i g u b it a k

p o r t fe lja u vje t o va n t im e d a li g u b it a k p r e la z i u n a p r ije d z a d a n i kva n t il g u b it ka [6 8 ]. D a b is m o u p o t p u n o s t i

s p e c ifi c ir a li V a R m e t r iku , m o r a m o in d ic ir a t i t r i s t va r i:

1 . horizont ; vr e m e n s ki p e r io d iz m e d u t r e n u t a ka 0 i 1

2 . funkciju; fu n kc iju o d 0p i u vje t n u d is t r ib u c iju o d 1P

3 . valutu; o s n o vn u va lu t u u ko jo j iz r a ˇ z a va m o 0p i 1P .

P r ih va ´ c e n a je s lje d e ´ c a ko n ve n c ija z a imenovanje VaR metrika:

1 . Im e m e t r ike je z a d a n o a ko r e d o m n a ve d e m o h o r iz o n t , fu n kc iju i va lu t u , iz a ko jih s lije d i V a R .

2 . A ko je h o r iz o n t iz r a ˇ z e n u d a n im a , p o d r a z u m je va s e d a s u t o d a n i t r g o va n ja .

5 2

3 . A ko je fu n kc ija kva n t il g u b it ka , t o je in d ic ir a n o ka o p o s t o t a k.

A ko m je r a r iz ika p o d u p ir e m e t r iku ko ja je V a R m e t r ika , m je r u n a z iva m o VaR mjera. A ko p r im je n ju je m o

V a R m je r u n a p o r t fe lj, d o b ive n u vr ije d n o s t n a z iva m o VaR mjerenje, ili, m a n je p r e c iz n o , VaR portfelja. K a d a

d iz a jn ir a m o n e ku V a R m je r u , u vije k u m is lim a im a m o n e ki fi n a n c ijs ki m o d e l. Ta kvi m o d e li s u p r e t p o s t a vke

i lo g ika ko ja m o t ivir a V a R m je r u . N a z iva m o ih VaR modeli. D a b is m o ko r is t ili V a R m je r u , m o r a m o ju

im p le m e n t ir a t i. R e z u lt a t je VaR implementacija.

F aktor rizika je b ilo ko ja s lu ˇ c a jn a va r ija b la 1Qi ˇ c ija ´ c e s e vr ije d n o s t r e a liz ir a t i t ije ko m in t e r va la < 0 , 1 ]

i u t je c a t i ´ c e n a t r ˇ z is n u vr ije d n o s t p o r t fe lja u t r e n u t ku 1 . Vektor rizika 1Q je s lu ˇ c a ja n ve kt o r fa kt o r a r iz ika .

A ko ve kt o r r iz ika o d r a ˇ z a va b u d u ´ c u vr ije d n o s t n e ke vr e m e n s ke s e r ije , g o vo r im o o trenutnoj vrijednosti 0q i

povijesnim vrijednostima −1q,−2 q,−3 q, . . .

5.5 Ogr anicenja r izika

In ve s t ic ijs ki fo n d s p e c ifi c ir a p r ih va t ljive in ve s t ic ije i o g r a n ic e n ja r iz ika p o p u t z a h t ije va d a t r a ja n je p o r t -

fe lja m o r a b it i kr a ´ c e o d 5 g o d in a i d a kr e d it n i r e jt in g o b ve z n ic a m o r a b it i b a r e m B B B . P r vo je o g r a n ic e n je

t r ˇ z is n o g r iz ika , a d r u g o kr e d it n o g . K a d a o r g a n iz a c ija a u t o r iz ir a o g r a n ic e n ja r iz ika r iz ic n ih a kt ivn o s t i, s p e c ifi c ir a

m e t r iku r iz ika , m je r u r iz ika ko ja o p is u je m e t r iku i ogranicenje rizika: vr ije d n o s t m e t r ike r iz ika ko ja n e s m ije

b it i p r ije d e n a . U b ilo ko je m vr e m e n s ko m t r e n u t ku , iskoristenost rizika je t r e n u t n i iz n o s r iz ika kva n t ifi c ir a n

m je r o m r iz ika . S lu ˇ c a j ka d a je is ko r is t e n o s t r iz ika ve ´ c a o d o g r a n ic e n ja r iz ika n a z iva m o povreda ogranicenja.

K r e d it n i o d je l b a n ke je a u t o r iz ir a o z a jm o ve d o kr e d it n e iz lo ˇ z e n o s t i r iz iku o d 2 0 0 0 0 0 0 0 H R K . B a n ka

m je r i kr e d it n u iz lo ˇ z e n o s t ka o z b r o j n e n a p la ´ c e n ih z a jm o va i o b ve z a z a jm o va s u p r o t n o j s t r a n c i ( e n g . t o t h e

c o u n t e r p a r t y) . K r e d it n i o d je l b a n ke p o z a jm lju je s u p r o t n o j s t r a n c i 1 4 0 0 0 0 0 0 H R K p o s t a vlja ju ´ c i n a t a j iz n o s

is ko r is t e n o s t r iz ika . P r e o s t a li iz n o s ko ji je kr e d it n i o d je l o vla ˇ s t e n p o z a jm it i s u p r o t n o j s t r a n c i iz n o s i 6 0 0 0 0 0 0

H R K .

5.5.1 Ogr anicenje pr estani gubiti

Og r a n ic e n je p r e s t a n i g u b it i in d ic ir a iz n o s g u b it ka n o vc a ko ji n e s m ije b it i p r ije d e n u je d n o m p e r io d u .

N e ka d a s e z a r a z lic it e p e r io d e s p e c ifi c ir a n e ko liko o g r a n ic e n ja p r e s t a n i g u b it i. Me ˇ s e t a r u s e m o g u z a d a t i s lje d e ´ c a

o g r a n ic e n ja p r e s t a n i g u b it i: 1 -d a n E U R 5 0 0 0 0 , 1 -t je d a n E U R 1 5 0 0 0 0 , 1 -m je s e c E U R 3 0 0 0 0 0 . K ada mesetar

povrijedi ogranicenje, od njega se zahtijeva da se ogradi od materijalnog eksponiranja. Od t u d a d o la z i n a z iv

o g r a n ic e n je p r e s t a n i g u b it i. U n a t o ˇ c m a n a m a , o g r a n ic e n je p r e s t a n i g u b it i je p o g o d n o z a ko r is t e n je r a d i s vo je

je d n o s t a vn o s t i. U p r a vo z b o g t o g a n e p o s t o ji o d je l z a u p r a vlja n je r iz ic im a ko ji ih n ije im p le m e n t ir a o .

5 3

5.5.2 Ogr anicenje izlozenosti

Og r a n ic e n je iz lo ˇ z e n o s t i s e z a s n iva n a m e t r ic i iz lo ˇ z e n o s t i r iz iku . Op ´ c e m e t r ike z a o g r a n ic a va n je t r ˇ z is n o g

r iz ika u klju ˇ c u ju t r a ja n je , ko n ve ks n o s t , d e lt a , g a m a i ve g a . S ir o va o g r a n ic e n ja iz lo ˇ z e n o s t i s e m o g u z a s n iva t i

n a p r e d o d ˇ z b e n im iz n o s im a . Zb o g t o g a s e n a z iva ju predodzbena ogranicenja. Mn o g a o g r a n ic e n ja iz lo ˇ z e n o s t i

m o g u p o p r im it i p o z it ivn e i n e g a t ivn e vr ije d n o s t i, p a s e is ko r is t e n o s t m o ˇ z e d e fi n ir a t i ka o a p s o lu t n a vr ije d n o s t

iz lo ˇ z e n o s t i. H ije r a r h ija o g r a n ic e n ja iz lo ˇ z e n o s t i o vis i o m n o g o b r o jn im m e t r ika m a r iz ika . Og r a n ic e n je iz lo ˇ z e n o s t i

n ije d je lo t vo r n o u s lu ˇ c a ju m a s o vn o g t r g o va n ja , p o p r e ˇ c n o g o g r a d iva n ja ili s lic n ih s t r a t e g ija m in im iz ir a n ja r iz ika

iz je d n a ˇ c a va n je m p o z ic ija ko r e lir a n e a kt ive . Me n a d ˇ z e r im a ve likih p o r t fe lja je z b o g s ve g a n a b r o je n o g n a jc e ˇ s ´ c e

t e ˇ s ko o fo r m it i d je lo t vo r n u h ije r a r h iju o g r a n ic e n ja iz lo ˇ z e n o s t i.

5.5.3 VaR ogr anicenja

V a R o g r a n ic e n ja ko m b in ir a ju p o z it ivn e ka r a kt e r is t ike o g r a n ic e n ja iz lo ˇ z e n o s t i i o g r a n ic e n ja p r e s t a n i g u -

b it i. P o p u t o g r a n ic e n ja iz lo ˇ z e n o s t i, VaR ogranicenja su prediktivna. In d ic ir a ju r iz ik p r ije n e g o ˇ s t o s e d o g o d e

n je g o ve e ko n o m s ke p o s lje d ic e . P o p u t o g r a n ic e n ja p r e s t a n i g u b it i, V a R m e t r ika ko n z is t e n t n o in d ic ir a r iz ik ( u

r a z u m n o j m je r i) . U t e o r iji, VaR sadrzava sve izvore trzisnog rizika. S a m o je je d n o o g r a n ic e n je d o vo ljn o z a

s va ki p o r t fe lj.

VaR je agregatan duz aktive. Ovis n o o p r o fi n je n o s t i V a R m je r e , o d r a ˇ z a va s lo ˇ z e n e e fe kt e o g r a d a i d ive r z -

ifi ka c ije . P r e m a t o m e , V a R o g r a n ic e n ja s u s a vr ˇ s e n a z a o g r a n ic a va n je r iz ika u s lu ˇ c a ju m a s o vn o g t r g o va n ja ,

p o p r e ˇ c n o g o g r a d iva n ja ili s lic n ih m e ˇ s e t a r s kih s t r a t e g ija .

5.5.4 Uspor edba ogr anicenja r izika

S n a g e i s la b o s t i o g r a n ic e n ja p r e s t a n i g u b it i, iz lo ˇ z e n o s t i i V a R s u s u m ir a n e u s lje d e ´ c o j t a b lic i.

5 4

Ta b lic a 1 . : U s p o r e d b a o g r a n ic e n ja r iz ika

K a r a kt e r is t ika o g r a n ic e n ja P r e s t a n i g u b it i Iz lo ˇ z e n o s t V a R

Je d n a m e t r ika s e p r im je n ju je d u ˇ z

h ije r a r h ije o g r a n ic e n ja ∨ − ∨Za h t je va s e je d n o ili vis e

o g r a n ic e n ja p o p o r t fe lju ∨ − ∨Mo ˇz e s e a g r e g ir a t i d u ˇ z iz lo ˇ z e n o s t i ∨ − ∨

L a ko je r a z u m ljiva ∨ − ∨R iz ik iz r a ˇ c u n a va p r e d ikt ivn o − ∨ ∨

Is ko r is t e n o s t d o s lije d n o in d ic ir a r iz ik − ∨ ∨Me ˇ s e t a r i s e m o g u s m a t r a t i o d g o vo r n im

z a kr ˇ s e n je o g r a n ic e n ja − ∨ ∨Is ko r is t e n o s t r iz ika s e la ko iz r a ˇ c u n a ∨ ∨ −

.

5.6 P r imjer : por tfelj Austr alskih dionica

H r va t s ki m e ˇ s e t a r d r ˇ z i p o r t fe lj A u s t r a ls kih d io n ic a : 1 0 p o d u z e ´ c a 1 , 3 0 p o d u z e ´ c a 2 i − 1 5 p o d u z e ´ c a 3( kr a t ko r o ˇ c n a p o z ic ija ) , ˇ s t o je r e p r e z e n t ir a n o ve kt o r o m posjedovanja portfelja ω = ( 1 0 , 3 0 ,−1 5 ) . U o ˇ c im o d ako m p o n e n t e ve kt o r a p o s je d o va n ja p o r t fe lja m o g u b it i n e g a t ivn e , ˇ s t o z n a ˇ c i d a u teoriji portfelja ne postoji

racunovodstvena razlika izmedu imovine i obveza. Ze lim o iz r a ˇ c u n a t i 1 -d a n 9 5 % H R K V a R p o r t fe lja . Ze lim o

g a iz r a ˇ c u n a t i u ku n a m a ia ko s u p o vije s n i p o d a c i iz r a ˇ z e n i u A U D . D e fi n ir a jm o s lu ˇ c a ja n ve kt o r

Y =

A U D a ku m u lir a n a vr ije d n o s t d io n ic e p o d u z e ´ c a 1

A U D a ku m u lir a n a vr ije d n o s t d io n ic e p o d u z e ´ c a 2

A U D a ku m u lir a n a vr ije d n o s t d io n ic e p o d u z e ´ c a 3

,

t e s lu ˇ c a jn u va r ija b lu

X = [H R K / A U D t e ˇ c a j] .

Oz n a ˇ c im o s a 1R =

Y

X

s lu ˇ c a ja n ve kt o r s a ko jim ´ c e m o o p e r a t ivn o r a d it i. Ta j ve kt o r n a z iva m o vektor kjucnih

faktora rizika ili kljucni vektor. S va ka V a R m je r a m o r a d ir e kt n o ka r a kt e r iz ir a t i u vje t n u d is t r ib u c iju vje r o ja -

t n o s t i klju ˇ c n o g ve kt o r a , ˇ c ije ko m p o n e n t e m o g u b it i c ije n e , ka m a t n ja c i, vo la t iln o s t ili n e ˇ s t o ˇ c e t vr t o . To ˇ c in im o

n e ko m procedurom izvodenja ( e n g . in fe r e n c e p r o c e d u r e ) ko ja z a h t ije va je d in o in fo r m a c ije ko je s u d o vo ljn e z a

iz r a ˇ c u n a va n je vr ije d n o s t i o d a b r a n e V a R m e t r ike . P r o c e d u r a iz vo d e n ja je potpuna a ko u p o t p u n o s t i s p e c ifi c ir a

u vje t n u d is t r ib u c iju s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a 1R. In a ˇ c e je nepotpuna. Za p o t r e b u n a ˇ s e g p r im je r a , ko r is t e n je m n e ke

5 5

o d m e t o d a vr e m e n s kih s e r ija , p o p u t GA R CH ( p ,q) m e t o d e [8 1 ], ko n s t r u ir a m o u vje t n u m a t r ic u ko va r ija n c i 1/0Σ

s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a 1R.

B u d u ´ c a vr ije d n o s t p o r t fe lja je s lu ˇ c a jn a va r ija b la 1P = θ ( 1R) = X · ωY. Fu n kc iju θ n a z iva m o mapiranje

portfelja. Op ´ c e n it o , mapiranje je s va ka fu n kc ija ko ja p o ve z u je b ilo ko ja d va ve kt o r a r iz ika . Ma t e m a t ic ki

p o s t o je d va n a ˇ c in a n a ko je m o ˇ z e m o d e fi n ir a t i s lu ˇ c a jn u va r ija b lu 1P : d ir e kt n o iz u vje t n e d is t r ib u c ije o d 1P ˇ s t o

je u p r a ks i g o t o vo u vije k n e m o g u ´ c e z b o g s lo ˇ z e n o s t i p o r t fe lja n a fi n a n c ijs kim t r ˇ z is t im a ili m a p ir a n je m p o r t fe lja ,

ˇ s t o je n a ˇ s p r is t u p .

P rocedura transformacije ili transformacija ka r a kt e r iz ir a u vje t n u d is t r ib u c iju o d 1P i ko r is t i ju z a r a ˇ c u n a n je

vr ije d n o s t i ˇ z e lje n e V a R m e t r ike . U m a p ir a n je p o r t fe lja 1P = θ ( 1R ) je u g r a d e n a i n e s ig u r n o s t i iz lo ˇ z e n o s t .

K a r a kt e r iz a c ija u vje t n e d is t r ib u c ije o d 1R o d r a ˇ z a va n e s ig u r n o s t . Fu n kc ija m a p ir a n ja θ o d r a ˇ z a va iz lo ˇ z e n o s t .

K a ˇ z e m o d a je p r o c e d u r a t r a n s fo r m a c ije potpuna a ko je ka r a kt e r iz a c ija u vje t n e d is t r ib u c ije o d 1P d o vo ljn o

o p ´ c e n it a d a p o d r ˇ z i b ilo ko ju p r a kt ic n u V a R m e t r iku . In a ˇ c e je p r o c e d u r a t r a n s fo r m a c ije nepotpuna. V a R

m je r u n a z iva m o potpuna ili nepotpuna o vis n o o t o m e je li n je n a p r o c e d u r a t r a n s fo r m a c ije p o t p u n a .

Oz n a ˇ c im o s a 1/0Φ1L ku m u la t ivn u fu n kc iju d is t r ib u c ije g u b it ka vr ije d n o s t i p o r t fe lja1L u vje t o va n u in fo r -

m a c ija m a r a s p o lo ˇ z ivim u t r e n u t ku 0 . 1/0Φ−11L n a m o m o g u ˇ c a va iz r a ˇ c u n kva n t ila o d 1L. K a d a t r a ˇ z im o 1 -d a n

9 5 % H R K V a R , r a ˇ c u n a m o 0 .9 5 -kva n t il g u b it ka vr ije d n o s t i p o r t fe lja 1L. P o s t o ji n e ko liko n a ˇ c in a z a r a ˇ c u n a n je

V a R -a :

1 . P r im je n a Mo n t e Ca r lo m e t o d e z a a p r o ks im a c iju ˇ z e lje n o g kva n t ila

2 . A p r o ks im ir a n je kva d r a t ic n o g p o lin o m a 1P s a lin e a r n im

3 . P r im je n a vje r o ja t n o s n ih t e h n ika z a p r e t p o s t a vku d a je 1R u vje t n o n o r m a ln o d is t r ib u ir a n s lu ˇ c a ja n ve kt o r

5.6.1 P r imjena M onte Car lo metode

N a b a z i p r e t p o s t a vke d a je 1R ∼ N ( 0 r ,1/0Σ) g d je s u 0 r t r e n u t n e vr ije d n o s t i s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a 1R,

s lu ˇ c a jn o g e n e r ir a m o 1 0 0 0 0 r e a liz a c ija s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a 1R Mo n t e Ca r lo t r a n s fo r m a c ijo m . Ta d a je 1 -d a n

9 5 % H R K V a R 1/0Φ−11L ( 0 .9 5 ) =

0 p−1/0 Φ−11P ( 0 .0 5 ) , g d je je 0 .0 5 -kva n t il

1/0Φ−11P ( 0 . 0 5 ) o d

1P a p r o ks im ir a n n a ˇ s im

r e a liz a c ija m a .

5.6.2 Linear izacija buduce vr ijednosti por tfelja

P r im a r n o m a p ir a n je p o r t fe lja 1P = θ ( 1R ) je z a s t va r n e fi n a n c ijs ke p o r t fe lje ˇ c e s t o s lo ˇ z e n o je r je ili fu n kc ija

m a p ir a n ja θ s lo ˇ z e n a ili je V a R m je r a im p le m e n t ir a n a n a p r e ko 1 0 0 0 kju ˇ c n ih fa kt o r a 1Ri, p a je s a d is t r ib u c ijo m

5 6

klju ˇ c n o g ve kt o r a 1R t e ˇ s ko r a d it i. D a b is m o r e d u c ir a li vr ije m e r a ˇ c u n a n ja V a R -a , ˇ c e s t o n a s z a d o vo lja va a p r o ks i-

m a c ija b u d u ´ c e vr ije d n o s t i p o r t fe lja t e h n iko m ko ju n a z iva m o remapiranje. P r iliko m r e m a p ir a n ja m o ˇ z e m o

z a m ije n it i fu n kc iju m a p ir a n ja θ, klju ˇ c n i ve kt o r 1R ili o b o je . Ilu s t r ir a jm o lin e a r iz a c iju θ.

A ko je 0 r =0 E ( 1R) o ˇ c e kiva n a vr ije d n o s t s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a 1R u vje t o va n a in fo r m a c ija m a r a s p o lo ˇ z ivim u

t r e n u t ku 0 , b u d u ´ c u vr ije d n o s t p o r t fe lja 1P a p r o ks im ir a m o s a 1Q =0 p+[∇θ ( 0 r ) ]⊤[1R−0 r ]. U vje t n a s t a n d a r d n a

d e vija c ija a p r o ks im a c ije 1Q je 1/0σ =√[∇θ ( 0 r ) ]⊤[1/0Σ][∇θ ( 0 r ) ]. A ko z a s lu ˇ c a jn u va r ija b lu 1Q p r e t p o s t a vim o

d a je 1Q ∼ N ( 0p,1/0 σ ) , t a d a je 1 -d a n 9 5 % H R K V a R 1/0Φ−11L ( 0 .9 5 ) = 1 .6 4 5

1/0σ.

5.6.3 Kvadr atna tr ansfor macija

K va d r a t n a t r a n s fo r m a c ija je z a s n o va n a n a s lje d e ´ c e m t e o r e m u :

T eor em 1. Neka je zadan m-dimenzionalan slucajan vektor X ∼ Nm ( µ, Σ) i neka je Y = X⊤cX + bX + a

kvadratni polinom u X. Tada se slucajna varijabla Y moze izraziti u obliku linearnog polinoma nezavisnih

slucajnih varijabli

Y =

(m∑

k=1

γkQk

)+ βQ0 + α ,

gdje su α, β, γk ∈ R, k = 1 , 2 , . . . ,m, Q0 ∼ N ( 0 , 1 ) i Qk ∼ χ2 ( 1 , δ2k ) , k = 1 , 2 , . . . ,m.

P r e t p o s t a vim o d a je 1R ∼ N ( 0 r ,1/0Σ) g d je s u 0 r t r e n u t n e vr ije d n o s t i s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a 1R. Ta d a s e

ko r is t e n je m t e o r e m a 1 . b u d u ´ c a vr ije d n o s t p o r t fe lja 1P m o ˇ z e e g z a kt n o r e p r e z e n t ir a t i ka o lin e a r n i p o lin o m

n e z a vis n ih s lu ˇ c a jn ih va r ija b li: s t a n d a r d n e n o r m a ln e s lu ˇ c a jn e va r ija b le i s lu ˇ c a jn ih va r ija b li s a h i-kva d r a t d is -

t r ib u c ijo m i je d n im s t u p n je m s lo b o d e . P o s t o je d va n a ˇ c in a n a ko je s e iz t a kve r e p r e z e n t a c ije m o ˇ z e iz r a ˇ c u n a t i

1 -d a n 9 5 % H R K V a R :

1 . a p r o ks im ir a n je kva n t ila 1/0Φ−11L ( 0 .9 5 ) Co r n is h -Fis h e r o vim iz r a z o m [5 7 ]. Za d e t a lje t r e b a p o g le d a t i ( [1 1 7 ],

p p . 1 5 1 -1 5 2 ) .

2 . in ve r t ir a n je ka r a kt e r is t ic n e fu n kc ije o d 1P n u m e r ic ko m in t e g r a c ijo m . Za d e t a lje t r e b a p o g le d a t i ( [1 1 7 ],

p p . 1 5 6 -1 6 0 ) .

5.7 Sazetak

V a R m je r e s lije d e s lje d e ´ c u o p ´ c e n it u s h e m u , ilu s t r ir a n u s liko m 1 . P r o c e d u r e s u z a p is a n e u p r a vo ku t n ic im a ,

a in p u t i i o u t p u t i p r o c e d u r a s u z a p is a n i u o va ln im o b lic im a .

5 7

In p u t i V a R m je r a s u ve kt o r p o s je d o va n ja p o r t fe lja i p o vije s n i p o d a c i s a fi n a n c ijs ko g t r ˇ z is t a . P r o c e d u r a

m a p ir a n ja s p e c ifi c ir a fu n kc iju m a p ir a n ja p o r t fe lja i m o ˇ z e o d r a ˇ z a va t i p r im a r n u fu n kc iju m a p ir a n ja p o r t fe lja ili

n je n o r e m a p ir a n je . P r o c e d u r a iz vo d e n ja ka r a kt e r iz ir a u vje t n u d is t r ib u c iju klju ˇ c n o g ve kt o r a , a n a jc e ˇ s ´ c e je z a s -

n o va n a n a n e ko j t e h n ic i a n a liz e vr e m e n s kih s e r ija . Ou t p u t i p r o c e d u r a m a p ir a n ja i iz vo d e n ja r e fl e kt ir a ju d vije

ko m p o n e n t e r iz ika . Fu n kc ija m a p ir a n ja o d r a ˇ z a va iz lo ˇ z e n o s t , a ka r a kt e r iz a c ija u vje t n e d is t r ib u c ije klju ˇ c n o g

ve kt o r a o d r a ˇ z a va n e s ig u r n o s t . P r o c e d u r a t r a n s fo r m a c ije ko m b in ir a d vije ko m p o n e n t e ka ko b i ka r a kt e r iz ir a la

u vje t n u d is t r ib u c iju b u d u ´ c e vr ije d n o s t i p o r t fe lja . Za t im t u ka r a kt e r iz a c iju ko r is t i ka ko b i o d r e d ila vr ije d n o s t

ˇ z e lje n e V a R m e t r ike ko ja je o u t p u t V a R m je r e .

D a b is m o ka r a kt e r iz ir a li u vje t n u d is t r ib u c iju b u d u ´ c e vr ije d n o s t i p o r t fe lja , p r o c e d u r a t r a n s fo r m a c ije m o ˇ z e

ko r is t it i r e z u lt a t e t e o r ije vje r o ja t n o s t i ili m e t o d e n u m e r ic ke in t e g r a c ije p o p u t Mo n t e -Ca r lo m e t o d e . K a r a k-

t e r iz a c ija m o ˇ z e p o p r im it i m n o g o o b lika p o p u t fu n kc ije g u s t o ´ c e vje r o ja t n o s t i, ka r a kt e r is t ic n e fu n kc ije , p a r a m -

e t a r a d is t r ib u c ije b u d u ´ c e vr ije d n o s t i p o r t fe lja , Mo n t e -Ca r lo r e a liz a c ije u z o r ka iz d is t r ib u c ije b u d u ´ c e vr ije d n o s t i

p o r t fe lja , it d ... A ko je ka r a kt e r iz a c ija d o vo ljn o o p ´ c e n it a d a s e p o m o ´ c u n je m o ˇ z e iz r a ˇ c u n a t i b ilo ko ja p r a kt ic n o

p r im je n jiva V a R m e t r ika , ka ˇ z e m o d a je t r a n s fo r m a c ija p o t p u n a . In a ˇ c e je t r a n s fo r m a c ija n e p o t p u n a . V a R

m je r u n a z iva m o p o t p u n a a ko je n je n a p r o c e d u r a t r a n s fo r m a c ije p o t p u n a , a n e p o t p u n a a ko n ije .

S L IK A 1 . S h e m a V a R m je r e

5 8

6 Osnove vjer ojatnosti i statistike

6.1 Osnovni pojmovi

Fa m ilija F p o d s ku p o va o d Ω ( F ⊂ P ( Ω) ) je s t σ–algebra skupova ( n a Ω) a ko je

F1 . ∅ ∈ F

F2 . A ∈ F =⇒ Ac ∈ F

F3 . Ai ∈ F , i ∈ N =⇒∞⋃i=1

Ai ∈ F

N e ka je F σ – a lg e b r a n a s ku p u Ω. U r e d e n i p a r ( Ω, F ) z o ve s e izmjeriv prostor. N e ka je ( Ω, F ) iz m je r ivp r o s t o r . Fu n kc ija P : F −→ R je s t vjerojatnost ( n a F , n a Ω) a ko vr ije d i

P 1 . P ( A) ≥ 0 , A ∈ F ;P ( Ω) = 1P 2 . Ai ∈ F , i ∈ N i Ai ∩Aj = ∅ z a i = j

=⇒ P

( ∞⋃i=1

Ai

)=

∞∑i=1

P ( Ai ) .

U r e d e n a t r o jka ( Ω, F , P ) g d je je F σ – a lg e b r a n a Ω i P vje r o ja t n o s t n a F , z o ve s e vjerojatnosni prostor. N e kaje ( Ω, P ( Ω) , P ) vje r o ja t n o s n i p r o s t o r . Ta d a p r o iz vo ljn u fu n kc iju X : Ω −→ R n a z iva m o slucajna varijabla.

N e ka je X s lu ˇ c a jn a va r ija b la n a Ω. Ta d a fu n kc iju FX : R −→ [0 , 1 ] d e fi n ir a n u s a FX ( t ) = PX ≤ t, t ∈ R

n a z iva m o funkcija distribucije od X. S lu ˇ c a jn a va r ija b la X je diskretna a ko p o s t o ji ko n a ˇ c a n ili p r e b r o jiv s ku p

D ⊂ R t a ka v d a je PX ∈ D = 1 . D is kr e t n e s lu ˇ c a jn e va r ija b le o b ic n o z a d a je m o t a ko d a z a d a m o s ku p

D = x1, x2, . . . i b r o je ve pn = PX = xn, ˇ s t o z a p is u je m o u o b liku t a b lic e

X =

x1 x2 · · · xn · · ·

p1 p2 · · · pn · · ·

.

Ova kvu t a b lic u z o ve m o distribucija ili zakon razdiobe slucajne varijable X. N e ka je X s lu ˇ c a jn a va r ija b la n a

vje r o ja t n o s n o m p r o s t o r u ( Ω, F , P ) i n e ka je FX n je z in a fu n kc ija d is t r ib u c ije . K a ˇ z e m o d a je X apsolutno

neprekidna ili, kr a ´ c e , n e p r e kid n a s lu ˇ c a jn a va r ija b la a ko p o s t o ji B o r e lo va fu n kc ija f : R −→ [0 , +∞〉 t a kva d aje

FX ( x) =

x∫

−∞

f ( t) dλ ( t) , x ∈ R .

Go r n ji in t e g r a l je L e b e s g u e o v in t e g r a l fu n kc ije f u o d n o s u n a L e b e s g u e o vu m je r u λ. Fu n kc iju f z o ve m o

funkcija gustoce vjerojatnosti o d X. N e ka je µ ∈ R i σ > 0 . N e p r e kid n a s lu ˇ c a jn a va r ija b la X im a normalnu

distribuciju s parametrima µ i σ2 a ko jo j je g u s t o ´ c a f d a n a s a

f ( x) =1

σ√2 πe−

12(x−µ

σ)2 , x ∈ R .

5 9

To ´ c e m o o z n a ˇ c a va t i X ∼ N ( µ, σ2 ) .

A ko s u Xi ∼ N ( µi, σ2i ) i = 1 , . . . , n n e o vis n e , o n d a je Y =

n∑i=1

aiXi ∼ N( n∑

i=1

aiµi,n∑

i=1

a2iσ2i

). M atematicko

ocekivanje o d X o z n a ˇ c a va m o s a EX i d e fi n ir a m o s a

EX =

n∑k=1

xipi , a ko je X =

x1 · · · xn

p1 · · · pn

+∞∫−∞

xf ( x ) dx , a ko je X n e p r e kid n a s g u s t o ´ c o m f .

N e ka je X = ( X1, . . . , Xn ) n– d im e n z io n a ln i s lu ˇ c a jn i ve kt o r n a ( Ω, F , P ) . Ta d a je m a t e m a t ic ko o ˇ c e kiva n je o dX d e fi n ir a n o ka o EX = ( EX1, . . . , EXn ) ∈ Rn u z p r e t p o s t a vku EXi < +∞ z a s va ki i = 1 , . . . , n.

A ko p o s t o je b r o je vi µij = E[( Xi − EXi ) ( Xj − EXj ) ], i, j = 1 , . . . , n t a d a r e a ln u s im e t r ic n u m a t r ic u M =

[µij] ∈ Mn z o ve m o kovarijaciona matrica o d X, z a i = j µij z o ve m o kovarijanca s lu ˇ c a jn ih va r ija b li Xi i Xj

ˇ s t o o z n a ˇ c a va m o s a cov ( Xi, Xj ) , a µii z o ve m o varijanca s lu ˇ c a jn e va r ija b le Xi i o z n a ˇ c a va m o s a V arXi. B r o j

σi =√µii n a z iva m o s t a n d a r d n a d e vija c ija s lu ˇ c a jn e va r ija b le Xi.

N e ka je ( Ω, F , P ) vje r o ja t n o s n i p r o s t o r i n e ka je X s lu ˇ c a jn a va r ija b la n a Ω s fu n kc ijo m d is t r ib u c ije F . K a ˇ z e m o

d a X1, X2, . . . , Xn ˇ c in e slucajni uzorak duljine n iz p o p u la c ije s fu n kc ijo m d is t r ib u c ije F a ko s u X1,X2, . . . ,Xn

n e z a vis n e i je d n a ko d is t r ib u ir a n e s lu ˇ c a jn e va r ija b le s a z a je d n ic ko m fu n kc ijo m d is t r ib u c ije F . In t u it ivn o s lu ˇ c a jn i

u z o r a k d u ljin e n o d g o va r a n iz u o d n n e z a vis n ih m je r e n ja s lu ˇ c a jn o g s vo js t va n e ko g a s t a t is t ic ko g s ku p a ( p o p u -

la c ije ) , i t o s lu ˇ c a jn o g s vo js t va ko je s e o p is u je s lu ˇ c a jn o m va r ija b lo m X.

N e ka je X = ( X1, . . . , Xn ) s lu ˇ c a ja n u z o r a k iz fu n kc ije d is t r ib u c ije F i g : Rn −→ R B o r e lo va fu n kc ija . S lu ˇ c a jn u

va r ija b lu T = g ( X ) t a d a z o ve m o statistika.

S lu ˇ c a ja n u z o r a k X = ( X1, . . . , Xn ) im a n– d im e n z io n a ln u n o r m a ln u r a z d io b u a ko m u je fu n kc ija g u s t o ´ c e d a n a

s a

f ( X ) = ( 2 π ) −n2 |A|−1

2 e−12Q(x) , x ∈ Rn

g d je je A r e g u la r n a p o z it ivn o d e fi n it n a s im e t r ic n a m a t r ic a i

Q( x ) = ( x− µ ) A−1 ( x− µ ) ⊤ p r i ˇ c e m u je µ ∈ Rn .

To ´ c e m o o z n a ˇ c a va t i X ∼ N ( µ, A) . A ko je X ∼ N ( µ, A ) t a d a je EX = µ i A je ko va r ija c io n a m a t r ic a o d X.

6.2 Ocjenjivanje tocke

U o c je n jiva n ju t o ˇ c ke c ilj je is ko r is t it i a p r io r i in fo r m a c ije i in fo r m a c ije iz u z o r ka r a d i iz r a ˇ c u n a va n ja vr ije -

d n o s t i ko ja ´ c e b it i n a ˇ s n a jb o lji p o ku ˇ s a j u p o g a d a n ju p r a ve vr ije d n o s t i p a r a m e t r a ko ji n a s z a n im a . In fo r m a c ije

iz u z o r ka d a n e s u o p a ˇ z a n jim a u z o r ka X1, X2, . . . , Xn. N a ˇ c in ko r is t e n ja t ih in fo r m a c ija ka ko b i s e d o b ila o c je n a

p a r a m e t r a θ ko ji ka r a kt e r iz ir a d is t r ib u c iju o d X p r o p is a n je fo r m u lo m o c je n jiva n ja ko ja s e z o ve ocjenjivac

6 0

θ = θ ( X1, . . . , Xn ) . S vo js t va o c je n jiva ˇ c a ko d m a lih u z o r a ka s u n e p r is t r a n o s t , e fi ka s n o s t , B L U E i d o vo ljn o s t . θ

je nepristran ocjenjivac o d θ a ko je E[θ] = θ. θ je efikasni ocjenjivac o d θ a ko s u is p u n je n i s lje d e ´ c i u vje t i: θ

je n e p r is t r a n i V ar ( θ ) ≤ V ar ( θ ) , g d je je θ b ilo ko ji d r u g i n e p r is t r a n i o c je n jiva ˇ c o d θ. Ta ko d e fi n ir a n e fi ka s n i

o c je n jiva ˇ c p o n e ka d s e jo ˇ s z o ve ” nepristrani ocjenjivac s najmanjom varijancom (M VUE ) ” . θ je najbolji linearni

nepristrani ocjenjivac (B L UE ) o d θ a ko s u is p u n je n a s lje d e ´ c a t r i u vje t a : θ je lin e a r n a fu n kc ija o p a ˇ z a n ja iz

u z o r ka , θ je n e p r is t r a n i V ar ( θ ) ≤ V ar ( θ ) , g d je je θ b ilo ko ji d r u g i lin e a r n i n e p r is t r a n i o c je n jiva ˇ c o d θ. Za

o c je n jiva ˇ c ka ˇ z e m o d a je dovoljan a ko r a b i s ve in fo r m a c ije o p a r a m e t r u ko je s e m o g u n a ´ c i u u z o r ku .

A s im p t o t s ka s vo js t va o c je n jiva ˇ c a ( z a ve like u z o r ke ) s u a s im p t o t s ka n e p r is t r a n o s t , ko n z is t e n t n o s t i a s im p t o t s ka

e fi ka s n o s t . θ je asimptotski nepristran ocjenjivac o d θ a ko je limn→∞

E ( θ ) = θ. θ je konzistentan ocjenjivac o d

θ a ko θ−→P θ, t j. a ko je limn→∞

P|θ − θ| < ε = 1 , z a s va ki ε > 0 . θ je asimptotski efikasan ocjenjivac o d

θ a ko s u z a d o vo lje n i s lje d e ´ c i u vje t i: θ im a a s im p t o t s ku d is t r ib u c iju s ko n a ˇ c n o m s r e d in o m i va r ija n c o m , θ je

ko n z is t e n t a n i n it i je d a n ko n z is t e n t n i o c je n jiva ˇ c o d θ n e m a m a n ju a s im p t o t s ku va r ija n c u o d θ.

6.3 M etode ocjenjivanja

M etoda momenata ka ˇ z e d a m o m e n t d is t r ib u c ije p o p u la c ije t r e b a o c je n jiva t i o d g o va r a ju ´ c im m o m e n t o m

u z o r ka .

6.3.1 M etoda najmanjih kvadr ata

Za d a n i s ku p t o ˇ c a ka ( yi, xi1, xi2, . . . , xik ) , i = 1 , 2 , . . . , n a p r o ks im ir a m o fu n kc ijo m

y = f ( x1, x2, . . . , xk | β1, . . . , βl )

ˇ c ije p a r a m e t r e β1, β2, . . . , βl b ir a m o t a ko d a s u m a kva d r a t a p o g r e ˇ s a ka a p r o ks im a c ijen∑

i=1

( yi − f ( xi1, . . . , xik | β1, . . . , βl ) ) 2

b u d e n a jm a n ja m o g u ´ c a .

6.3.2 M etoda najvece vjer odostojnosti

A ko s lu ˇ c a jn a va r ija b la X im a g u s t o ´ c u f ( x ) ko ju o b ilje ˇ z a va ju p a r a m e t r i θ1, θ2, . . . , θk i a ko o p a z im o

u z o r a k x1, x2, . . . , xn, t a d a s u m a ks im a ln o vje r o d o s t o jn i o c je n jiva ˇ c i ( ML E ) θ1, θ2, . . . , θk p a r a m e t a r a p o p u la c ije

θ1, θ2, . . . , θk o n i ˇ c ije b i vr ije d n o s t i n a jc e ˇ s ´ c e g e n e r ir a le o p a ˇ z e n i u z o r a k x1, x2, . . . , xn. Fo r m a ln o , ML E n a la z im o

ka o r je ˇ s e n je p r o b le m a m a ks im iz a c ije fu n kc ije vje r o d o s t o jn o s t i l ( θ ) =n∏

i=1

f ( θ |Xi ) , o d n o s n o n je n o g lo g a r it m a

L( θ ) = ln l ( θ ) . U g o r n jo j n o t a c iji ( X1, X2, . . . , Xn ) n a m p r e d s t a vlja s lu ˇ c a jn i u z o r a k, a θ = ( θ1, θ2, . . . , θk ) je

ve kt o r o c je n jiva n ih p a r a m e t a r a .

6 1

6.3.3 M etoda najboljeg linear nog nepr istr anog ocjenjivanja

Ova m e t o d a p o la z i o d a p r io r i z a h t je va d a o c je n jiva ˇ c θ p a r a m e t r a θ b u d e B L U E , t j. d a vr ije d i s lje d e ´ c e :

1 . θ =n∑

i=1

aiXi, g d je s u a1, a2, . . . , an ko n s t a n t e ko je t r e b a o d r e d it i

2 . E ( θ ) = θ

3 . V ar ( θ ) ≤ V ar ( θ∗ ) , g d je je θ∗ b ilo ko ji d r u g i lin e a r n i n e p r is t r a n i o c je n jva ˇ c o d θ.

A ko p r e t p o s t a vim o d a s lu ˇ c a jn a va r ija b la X d o la z i iz p o p u la c ije s a s r e d in o m µ i va r ija n c o m σ2, im a m o

E ( θ ) = E( n∑

i=1

aiXi

)=

n∑

i=1

aiE ( Xi ) = µn∑

i=1

ai i

V ar ( θ ) = V ar( n∑

i=1

aiXi

)=

n∑

i=1

a2iV ar ( Xi ) = σ2n∑

i=1

a2i ,

p a s e p r o b le m s vo d i n a m in im iz ir a n je fu n kc ije

‖a‖22 , a ∈ Rn u z o g r a n ic e n je µn∑

i=1

ai − θ = 0 .

6.4 Klasican nor malni linear ni model visestr uke r egr esije

6.4.1 Specifikacija modela

Te m e ljn e je d n a d ˇ z b e m o d e la , o b ic n o z va n e jednadzbe visestruke linearne regresije populacije d a n e s u s a

yi =K∑

j=1

βjxij + εi , i = 1 , . . . , n ( 4 9 )

g d je je y o vis n a ili o b ja ˇ s n je n a va r ija b la ( r e g r e s a n d ) , x1, . . . , xk s u n e o vis n e ili o b ja s n id b e n e va r ija b le ( r e g r e s o r i) ,

t e i in d e ks i n o p a ˇ z a n ja iz u z o r ka . P r e t p o s t a vlja s e d a je xi1 = 1 , i = 1 , . . . , n p a p a r a m e t a r β1 p r e d s t a vlja

ko n s t a n t n i ˇ c la n u m o d e lu . Cla n ε p r e d s t a vlja s lu ˇ c a jn o o d s t u p a n je , t j. s lu ˇ c a jn u s m e t n ju , t a ko n a z va n u je r

s m e t a in a ˇ c e s t a b iln o m o d n o s u . S m e t n ja p r o iz la z i iz n e ko liko r a z lo g a . P r im a r n i r a z lo g je d a s e n e m o ˇ z e m o

n a d a t i d a m o d e lo m o b u h va t im o s va ki u t je c a j n a e ko n o m s ke va r ija b le . E fe kt z a n e m a r e n ih u t je c a ja je o b u h va ´ c e n

u t o j s m e t n ji. P o s t o je i m n o g i d r u g i d o p r in o s it e lji o d s t u p a n ju u e m p ir ic ko m m o d e lu . V je r o ja t n o n a jz n a ˇ c a jn iji

s u g r e ˇ s ke m je r e n ja , a p r o b le m u t vr d iva n ja m je r e p r o fi t a , ka m a t n ih s t o p a , d io n ic a ili p r o t o ka u s lu g a je jo ˇ s

u vije k o t vo r e n . Je d n a d ˇ z b u ( 4 9 ) m o ˇ z e m o z a p is a t i u m a t r ic n o m o b liku ka o

y = Xβ + ε ( 5 0 )

6 2

g d je je

y =

y1

y2...

yn

∈Mn1 ve kt o r o vis n ih va r ija b li, X =

x11 x12 · · · x1K

x21 x22 · · · x2K...

.... . .

...

xn1 xn2 · · · xnK

∈MnK

m a t r ic a vr ije d n o s t i o b ja s n id b e n ih va r ija b li, t j. m a t r ic a ˇ c iji e le m e n t xij , ( i, j ) ∈ 1 , . . . , n × 2 , . . . ,Kp r e d s t a vlja vr ije d n o s t j – t e o b ja s n id b e n e va r ija b le u s t a n o vlje n e p r iliko m i – t o g o p a ˇ z a n ja , a

β =

β1

β2...

βK

∈MK1 i ε =

ε1

ε2...

εn

∈Mn1

s u ve kt o r ko e fi c ije n a t a r e g r e s ije ko ji m o d e lo m ˇ z e lim o o c ije n it i i ve kt o r s lu ˇ c a jn ih o d s t u p a n ja , r e d o m . U o b ic a je n o

je p r e t p o s t a vit i d a s u va r ija b le xi n e s t o h a s t ic ke s fi ks n im vr ije d n o s t im a z a r a z lic it e u z o r ke ka o ˇ s t o ´ c e b it i u

e ks p e r im e n t a ln im s it u a c ija m a . D r u g im r je ˇ c im a , X je p o z n a t a m a t r ic a ko n s t a n t i. Ta ko d e r s e u o b ic a je n o p r e t -

p o s t a vlja d a n e p o s t o ji e g z a kt n a lin e a r n a ve z a m e d u o b ja s n id b e n im va r ija b la m a t e d a je b r o j o p a ˇ z a n ja iz

u z o r ka u n a jm a n ju r u ku o n o liko ve lik ko liko je p r o c je n jiva n ih p a r a m e t a r a , t j. n ≥ K. Te d vije p r e t p o s t a vke

o b ic n o s e z d r u ˇ z u ju u uvjetu identifikacije rang ( X ) = K . To u p r a vo z n a ˇ c i d a s u s t u p c i o d X lin e a r n o n e z a -

vis n i p a je X⊤X r e g u la r n a m a t r ic a i d a p o s t o ji b a r e m K o p a ˇ z a n ja . N a d a lje je u o b ic a je n o p r e t p o s t a vit i d a s u

e le m e n t i m a t r ic e1

n( X⊤X ) ko n a ˇ c n i ka d a n −→∞.

Ta ko d e r , p o g o d n o je p r e t p o s t a vit i d a s u s m e t n je n o r m a ln o d is t r ib u ir a n e n e o vis n e s lu ˇ c a jn e va r ija b le s a o ˇ c e kiva n je m

n u la i ko n s t a n t n o m va r ija n c o m , t j. ε|X ∼ N [0, σ2In]. P r e t p o s t a vka u vje t n o g o ˇ c e kiva n ja

E[ε|X] =

E[ε1|X]E[ε2|X]

...

E[εn|X]

= 0

t vr d i d a n ije d n o o p a ˇ z a n je o x n e s a d r ˇ z i in fo r m a c iju o o ˇ c e kiva n o j vr ije d n o s t i s m e t n je . D r u g im r je ˇ c im a , n e

p o s t o ji in fo r m a c ija o E[εi|·] s a d r ˇ z a n a u n e ko m p r o m a t r a n ju xj. Ta ko d e r p r e t p o s t a vlja m o d a s m e t n je n e s a d r ˇ z e

in fo r m a c ije je d n e o d r u g im a . To je s t , E[εi|ε1, . . . , εi−1, εi+1, . . . , εn] = 0 . U ve ´ c in i s lu ˇ c a je va , p r e t p o s t a vka d a

je o ˇ c e kiva n je n u la n ije o g r a n ic a va ju ´ c a . Za ilu s t r a c iju p r o m o t r im o m o d e l s a d vije va r ija b le i p r e t p o s t a vim o

d a je o ˇ c e kiva n je o d ε je d n a ko µ = 0 . Ta d a je α + βx + ε is t o ka o ( α + µ ) + βx + ( ε − µ) , p a s t a vlja ju ´ c i

α′ = α+ µ i ε′ = ε− µ d o b iva m o o r ig in a ln i m o d e l. P r e t p o s t a vka E[εε⊤|X] = σ2In s a d r ˇ z i u s e b i p r e t p o s t a vke

h o m o s ke d e s t ic n o s t i V ar [εi|X] = σ2 z a s va ki i = 1 , . . . , n i n e a u t o ko r e la c ije Cov [εi, εj|X] = 0 z a s va ki i = j.

S m e t n je ko je z a d o vo lja va ju p r e t p o s t a vke h o m o s ke d e s t ic n o s t i i n e a u t o ko r e la c ije z o ve m o sfericne smetnje.

6 3

Rezime:

K la s ic n i n o r m a ln i lin e a r n i m o d e l vis e s t r u ke r e g r e s ije m o ˇ z e m o iz r a z it i s lje d e ´ c im p r e t p o s t a vka m a :

1 . y = Xβ + ε

2 . X je n e s t o h a s t ic ka m a t r ic a r a n g a K t a kva d a s u e le m e n t i m a t r ic e 1n( X⊤X ) ko n a ˇ c n i ka d a n −→∞

3 . ε|X ∼ N [0, σ2In].

Iz p r e t h o d n e s p e c ifi ka c ije m o d e la d ir e kt n o s lije d i d a je

y|X ∼ N [Xβ, σ2In]

p a d o b iva m o s lje d e ´ c u in t e r p r e t a c iju ko e fi c ije n a t a r e g r e s ije :

β1 = s r e d in a va r ija b li y ka d je s va ka o b ja s n id b e n a va r ija b la je d n a ka n u li

βk = p r o m je n a E[yi] ko ja o d g o va r a je d in ic n o j p r o m je n i k – t e o b ja s n id b e n e va r ija b le , ka d s u p r e o s t a le o b ja s -

n id b e n e va r ija b le ko n s t a n t n e .

βk =∂E[yi]

∂Xik

( k = 2 , . . . ,K )

β1 s e p o n e ka d n a z iva o d s je ˇ c a k ( ili ko n s t a n t a r e g r e s ije ) , a β2, β3, . . . , βK s e z o vu n a g ib r e g r e s ije ( ili ko e fi c ije n t

p a r c ija ln e r e g r e s ije ) .

6.4.2 I zvodenje ocjenjivaca koeficijenata r egr esije metodom najmanjih kvadr ata

Me t o d o m n a jm a n jih kva d r a t a ˇ z e lim o o d a b r a t i ve kt o r ko e fi c ije n a t a r e g r e s ije t a ko d a n o r m a ve kt o r a

s lu ˇ c a jn ih o d s t u p a n ja b u d e n a jm a n ja m o g u ´ c a . D r u g im r je ˇ c im a , ˇ z e lim o m in im iz ir a t i fu n kc iju S : Rk −→ R

d a n u s a

S ( β ) = ‖ε‖22 = ‖y −Xβ‖22 = ( y −Xβ ) ⊤ ( y −Xβ ) = y⊤y − β⊤X⊤y − y⊤Xβ + β⊤X⊤Xβ

= y⊤y − 2 y⊤Xβ + β⊤X⊤Xβ .

Iz n u ˇ z n ih u vje t a z a e ks t r e m d o b iva m o

0 =∂S ( β )

∂β= −2 X⊤y + 2 X⊤Xβ .

D o b ive n a je d n a d ˇ z b a

( X⊤X ) β = X⊤y

6 4

n a z iva s e normalna jednadzba metode najmanjih kvadrata. K a ko iz p r e t p o s t a vke p u n o g r a n g a o d X s lije d i

r e g u la r n o s t m a t r ic e X⊤X, d o b iva m o s lije d e ´ c u fo r m u lu z a o c je n jiva ˇ c o d β:

β = ( X⊤X ) −1X⊤y . ( 5 1 )

D o vo lja n u vje t z a m in im u m z a h t je va d a H e s s e o va m a t r ic a HS ( β ) = 2 X⊤X b u d e p o z it ivn o d e fi n it n a . K a ko

z a p r o iz vo lja n n e n u l ve kt o r c im a m o

c⊤ ( 2 X⊤X ) c = 2 ( c⊤X⊤ ) ( Xc) = 2 ‖Xc‖22 > 0 ,

t a j u vje t je is p u n je n .

Zakljucak: A ko je y = Xβ + ε p r i ˇ c e m u je X ∈ Mnk r a n g a K, o n d a β = ( X⊤X ) −1X⊤y m in im a liz ir a

fu n kc iju S : Rk −→ R d a n u s a S ( β ) = ‖ε‖22.

6.4.3 Svojstva ocjenjivaca koeficijenata r egr esije dobivenih metodom najmanjih kvadr ata

Iz n o r m a ln ih je d n a d ˇ z b i m e t o d e n a jm a n jih kva d r a t a s lije d i

0 = X⊤Xβ −X⊤y = −X⊤ ( y −Xβ ) = −X⊤ε .

To z n a ˇ c i d a z a s va ki s t u p a c xk o d X im a m o x⊤k ε = 0 p a t o s p e c ija ln o vr ije d i i z a p r vi s t u p a c . D o b iva m o

∑

1≤i≤n

εi = 0 ,

t j. s lu ˇ c a jn a o d s t u p a n ja u z b r o ju s e m e d u s o b n o p o n is t a va ju . N a d a lje , r a ˇ c u n a n je m o ˇ c e kiva n ja o d y = Xβ + ε

d o b iva m o d a h ip e r r a vn in a r e g r e s ije n u ˇ z n o p r o la z i t o ˇ c ko m s r e d in e p o d a t a ka . V a ˇ z n o je z a p a z it i d a n ije d a n o d

o vih r e z u lt a t a n e m o r a n u ˇ z n o vr ije d it i a ko r e g r e s ija n e s a d r ˇ z i ko n s t a n t n i ˇ c la n .

K a ˇ z im o n e ˇ s t o i o d is t r ib u c iji o c je n jiva ˇ c a β. K a ko u vr ˇ s t a va n je m y = Xβ + ε u fo r m u lu ( 5 1 ) s lije d i

β = ( X⊤X ) −1X⊤ ( Xβ + ε) = β + ( X⊤X ) −1X⊤ε

d o b iva m o d a je o c je n jiva ˇ c ve kt o r a β ka o lin e a r n a ko m b in a c ija ve kt o r a ε n o r m a ln o d is t r ib u ir a n . K a ko je

E[β] = β + ( X⊤X ) −1X⊤E[ε] = β ∈MK1 i

E[( β−β ) ( β−β ) ⊤] = E[( X⊤X ) −1X⊤εε⊤X ( X⊤X ) −1] = ( X⊤X ) −1X⊤E[εε⊤]X ( X⊤X ) −1 = σ2 ( X⊤X ) −1 ∈ MK

m o ˇ z e m o p r e c iz n o z a p is a t i

β ∼ N [β, σ2 ( X⊤X ) −1] .

Jo ˇ s je d n o s vo js t vo o c je n jiva ˇ c a β s a d r ˇ z a n o je u s lje d e ´ c e m t e o r e m u :

T eor em 2. Ocjene koeficijenata regresije metodom najmanjih kvadrata su najbolje linearne nepristrane ocjene

(B L UE ).

6 5

6.4.4 I zvodenje ocjenjivaca koeficijenata r egr esije metodom maksimalne vjer odostojnosti

K a ko s u s lu ˇ c a jn a o d s t u p a n ja εi ∼ N ( 0 , σ2 ) d o b iva m o d a fu n kc ija vje r o d o s t o jn o s t i z a ε iz n o s i

l ( β, σ2 | y, X ) =n∏

i=1

f ( εi ) =n∏

i=1

1

σ√2 πe−

12(εiσ)2 = ( 2 πσ2 ) −

n2 e−

1

2σ2 ‖ε‖22 ,

a n je z in lo g a r it a m

L( β, σ2 ) = ln l ( β, σ2 | y, X ) = −n2ln ( 2 π ) − n

2ln ( σ2 ) − 1

2 σ2‖y −Xβ‖22 .

Iz n u ˇ z n ih u vje t a z a e ks t r e m d o b iva m o

0 =∂L ( β, σ2 )

∂β=1

σ2( X⊤y −X⊤Xβ ) =⇒ ( X⊤X ) β = X⊤y

0 =∂L( β, σ2 )

∂σ2= − n

2 σ2+

1

2 ( σ2 ) 2‖y −Xβ‖22 =⇒ σ2 =

1

n‖y −Xβ‖22 ,

o d a kle p r o iz la z i d a s u m a ks im a ln o vje r o d o s t o jn i o c je n jiva ˇ c i ko e fi c ije n a t a r e g r e s ije je d n a ki o c je n jiva ˇ c im a m e t o d e

n a jm a n jih kva d r a t a , a m a ks im a ln o vje r o d o s t o ja n o c je n jiva ˇ c o d σ2 je

σ2 =1

n‖y −Xβ‖22 .

K a ko s u m a ks im a ln o vje r o d o s t o jn i o c je n jiva ˇ c i a s im p t o t s ki n e p r is t r a n i, ko n z is t e n t n i i a s im p t o t s ki e fi ka s n i s lije d i

d a i o c je n jiva ˇ c i p a r a m e t a r a r e g r e s ije β kla s ic n o g lin e a r n o g r e g r e s ijs ko g m o d e la d o b ive n i m e t o d o m n a jm a n jih

kva d r a t a im a ju s va p o ˇ z e ljn a s vo js t va ko n a ˇ c n o g u z o r ka i s va p o ˇ z e ljn a a s im p t o t s ka s vo js t va . N a im e , n jih o va

s e e fi ka s n o s t m o ˇ z e d o ka z a t i u z p o m o ´ c Cr a m e r – R a o ve d o n je g r a n ic e iz ve d e n e iz L( β, σ2 ) , a ko n z is t e n t n o s t

o c je n jiva ˇ c a β s lije d i iz ˇ c in je n ic e d a s vi e le m e n t i m a t r ic e σ2 ( X⊤X ) −1 =σ2

n

(X⊤X

n

)−1

t e ˇ z e n u li ka d a n −→∞

je r je limn→∞

σ2

n= 0 , a e le m e n t i m a t r ic e

(X⊤X

n

)−1

s u p o p r e t p o s t a vc i ko n a ˇ c n i ka d a n −→∞.

6.4.5 Ocjenjivanje var ijance σ2

V e kt o r r e z id u a la ( o d s t u p a n ja ) m e t o d e n a jm a n jih kva d r a t a je

e = y −Xβ = y −X ( X⊤X ) −1X⊤y = ( I −X ( X⊤X ) −1X⊤ ) y =My .

Ma t r ic a M = I −X ( X⊤X ) −1X⊤ ∈ Mn je fu n d a m e n t a ln a m a t r ic a r e g r e s ijs ke a n a liz e . L a ko s e p o ka z u je d a je

s im e t r ic n a ( M⊤ =M ) i id e m p o t e n t n a ( M2 =M ) , t e d a z a n ju vr ije d i MX = 0 . Od a t le s lije d i

e =My =M ( Xβ + ε ) =Mε ,

p a je

‖e‖22 = e⊤e = ε⊤M⊤Mε = ε⊤Mε =∑

1≤i,j≤n

εiεjMij .

6 6

S a d a je

E ( ‖e‖22 |X ) = σ2∑

1≤i≤n

Mii = σ2trM = σ2 tr [I −X ( X⊤X ) −1X⊤] = σ2tr ( In ) − tr[( X ( X⊤X ) −1 ) ( X⊤ ) ] =

= σ2tr ( In ) − tr[( X⊤X ) ( X⊤X ) −1] = σ2tr ( In ) − tr ( IK ) = σ2 ( n−K )

o d a kle s lije d i fo r m u la z a n a p r is t r a n i o c je n jiva ˇ c o d σ2:

s2 =1

n−K‖y −Xβ‖22 .

B u d u ´ c i d a je s2 a s im p t o t s ki je d n a ko σ2, o c je n jiva ˇ c u o d σ2 d o b ive n o m m e t o d o m m a ks im a ln e vje r o d o s t o jn o s t i,

p r o iz la z i d a s2 im a is t a o p t im a ln a a s im p t o t s ka s vo js t va ka o i σ2.

7 Statistika i analiza vr emenskih ser ija

7.1 Uvod

U t e ku ´ c e m o d je ljku ´ c e m o o p is a t i t e h n ike s t a t is t ike i a n a liz e vr e m e n s kih s e r ija ko je s e ko r is t e ka o p o d r ˇ s ka

p r o c e d u r i iz vo d e n ja .

Teorija vjerojatnosti o p is u je vje r o ja t n o s t i ka o b r o je ve ko ji z a d o vo lja va ju o d r e d e n e a ks io m e . In t e r -

p r e t a c ija t ih b r o je va je p r e p u ˇ s t e n a a n a lit ic a r im a . In t e r p r e t a c ije vje r o ja t n o s t i m o ˇ z e m o s vr s t a t i u d vije ka -

t e g o r ije :

1 . objektivne: m o ˇ z e m o ih lo g ic ki iz ve s t i ili a p r o ks im ir a t i p a ˇ z ljivim o p a ˇ z a n je m

2 . subjektivne: ko n s t r u ir a m o ih t a ko d a o d r a ˇ z a va ju n a ˇ s e s p o z n a je

Iz t e o r ije vje r o ja t n o s t i z n a m o d a z a d a n u ka r a kt e r iz a c iju ( fu n kc iju g u s t o ´ c e vje r o ja t n o s t i ili fu n kc iju

d is t r ib u c ije vje r o ja t n o s t i) m o ˇ z e m o iz ve s t i vje r o ja t n o s t . A li ka ko iz ve s t i d is t r ib u c iju ? Statistika r a s p o la ˇ z e

o b ilje m t e h n ika z a iz vo d e n je vje r o ja t n o s t i iz e m p ir ijs kih p o d a t a ka .

P r e t p o s t a vim o d a s u o p a ˇ z a n ja r e z u lt ir a la p o d a c im a x[1],x[2], . . . ,x[m]. P it a n je n a ko je ´ c e m o s a d a

p o ku ˇ s a t i o d g o vo r it i je kako opravdati statisticku formulu koju mislimo koristiti? Od g o vo r n a m p r u ˇ z a t e o r ija

vje r o ja t n o s t i: ko n s t r u ir a m o vje r o ja t n o s n i m o d e l z a p o d a t ke ko jim a r a s p o la ˇ z e m o i is ko r is t im o g a z a o p r a vd a n je

fo r m u le .

6 7

7.2 Statisticko ocjenjivanje

P r o m o t r im o s lu ˇ c a ja n ve kt o r X i s ku p m n e z a vis n ih s lu ˇ c a jn ih ve kt o r a X[1],X[2], . . . ,X[m] ko ji s va kiim a je d n a ku d is t r ib u ic iju ka o i X. Za ve t o r e X[k] ka ˇ z e m o d a s u n e z a vis n i i je d n a ko d is t r ib u ir a n i. S ku p

s lu ˇ c a jn ih ve kt o r a X[1],X[2], . . . ,X[m] n a z iva m o uzorak. S a d a s va ku vr ije d n o s t x[k] iz s ku p a p o d a t a ka ko jim

r a s p o la ˇ z e m o m o ˇ z e m o t r e t ir a t i ka o r e a liz a c iju ko r e s p o d e n t n o g s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a X[k]. B r o jm n a z iva m o velicina

uzorka, a s ku p vr ije d n o s t i x[1],x[2], . . . ,x[m] ko jim a r a s p o la ˇ z e m o n a z iva m o realizacija uzorka.

R e p r e z e n t ir a jm o n e ku p o ja vu s lu ˇ c a jn o m va r ija b lo m X. N e ka je d is t r ib u c ija o d X p o z n a t a o s im vr ije d -

n o s t i n e ko g p a r a m e t r a θ. P r o m a t r a ju ´ c i p o ja vu m p u t a s a ku p im o n u m e r ic ke p o d a t ke x[1], x[2], . . . , x[m] ko jet r e t ir a m o ka o r e a liz a c iju u z o r ka X [1], X [2], . . . , X [m]. Ze lim o is ko r is t it i p r iku p lje n e p o d a t ke d a o c ije n im op a r a m e t a r θ d is t r ib u c ije o d X. Ocjenjivac je s lu ˇ c a jn a va r ija b la ko ja je fu n kc ija u z o r ka X [1], X [2], . . . , X [m].K a o t a kva , im a n e ku d is t r ib u c iju vje r o ja t n o s t i. P r e fe r ir a m o d a je o ˇ c e kiva n je o c je n jiva ˇ c a je d n a ko p a r a m e t r u

ko je g o c je n ju je m o , a s t a n d a r d n a d e vija c ija ˇ s t o m a n ja m o g u ´ c a . Ocjena je r e a liz a c ija o c je n jiva ˇ c a , a iz n je g a s e

iz vo d i s u p s t it u ir a n je m x[1], x[2], . . . , x[m] z a X [1],X [2], . . . ,X [m].

Ocjenjivaci uzorka s u p r e g le d n e s t a t is t ike p o p u t ocekivanja uzorka

X =1

m

m∑

k=1

X [k] ( 5 2 )

ili varijance uzorka

S2 =1

m

m∑

k=1

( X [k] −X ) 2 . ( 5 3 )

P ristranost o c je n jiva ˇ c a H je o ˇ c e kiva n a vr ije d n o s t E ( H ) t o g o c je n jiva ˇ c a u m a n je n a z a vr ije d n o s t p a r a m e t r a

θ ko je g p r o c je n ju je m o :

P r is t r a n o s t = E ( H ) − θ . ( 5 4 )

A ko je p r is t r a n o s t o c je n jiva ˇ c a je d n a ka n u li, ka ˇ z e m o d a je o c je n jiva ˇ c nepristran. In a ˇ c e je pristran. Oc je n jiva ˇ c

o ˇ c e kiva n ja u z o r ka je p r im je r n e p r is t r a n o g o c je n jiva ˇ c a .

Standardna greska o c je n jiva ˇ c a je n je g o va s t a n d a r d n a d e vija c ija

S t a n d a r d n a g r e ˇ s ka = std( H ) =√E ( [H − E ( H ) ]2 ) . ( 5 5 )

Ocekivana kvadratna greska je d e fi n ir a n a s a

MSE = E ( [H − θ]2 ) = ( S t a n d a r d n a g r e ˇ s ka ) 2 + ( P r is t r a n o s t ) 2 . ( 5 6 )

M aksimalna vjerodostojnost je p r is t u p z a iz vo d e n je o c je n jiva ˇ c a . Za b ilo ko ju r e a liz a c iju x[1],x[2], . . . ,x[m],fu n kc ija g u s t o ´ c e vje r o ja t n o s t i u z o r ka φm je fu n kc ija o c je n jiva n o g p a r a m e t r a θ. N a z iva m o ju funkcija vjerodos-

tojnosti, a m a t e m a t ic ki ju z a p is u je m o s a

L( θ ) = L ( θ|x[1],x[2], . . . ,x[m] ) = φm ( x[1],x[2], . . . ,x[m]|θ ) . ( 5 7 )

6 8

Ocjenu maksimalne vjerodostojnosti o d θ d e fi n ir a m o ka o vr ije d n o s t h ko ja m a ks im iz ir a vr ije d n o s t fu n kc ije

vje r o d o s t o jn o s t i. To je vr ije d n o s t o d θ ko ja p o ve z u je s ku p p o d a t a ka x[1],x[2], . . . ,x[m] s a m a ks im u m o mg u s t o ´ c e vje r o ja t n o s t i. N a p o m e n im o d a o c je n jiva ˇ c i m a ks im a ln e vje r o d o s t o jn o s t i n is u u vije k o p t im a ln i u s m is lu

p r is t r a n o s t i i o ˇ c e kiva n e kva d r a t n e g r e ˇ s ke .

K a ko je lo g a r it a m s ka fu n kc ija s t r o g o r a s t u ´ c a , b ilo ko ja vr ije d n o s t h ko ja m a ks im iz ir a L ´ c e m a ks im iz ir a t i

i lo g [L]. Zb o g t o g a m o ˇ z e m o p o ku ˇ s a t i d ir e kt n o m a ks im iz ir a t i fu n kc iju vje r o d o s t o jn o s t i, r je ˇ s a va ju ´ c i

∇L ( θ ) = 0 ( 5 8 )

ili m o ˇ z e m o t r a ˇ z it i m a ks im u m z a lo g a r it m ir a n u fu n kc iju vje r o d o s t o jn o s t i, r je ˇ s a va ju ´ c i

∇ lo g [L( θ ) ] = 0 . ( 5 9 )

7.3 Stohasticki pr ocesi

Vremenska serija je s e r ija −αx, . . . ,−1 x,0 x n – d im e n z io n a ln ih ve kt o r a o p a ˇ z e n ih t ije ko m vr e m e n s ko g

p e r io d a [−α, 0 ]. P r ir o d a n b r o j n n a z iva m o dimenzija vr e m e n s ke s e r ije . A ko je n = 1 , vr e m e n s ka s e r ija

je univariatna, a z a n > 1 je multivariatna. P r o c e s ko ji je g e n e r ir a o vr e m e n s ku s e r iju ´ c e s e n a s t a vit i u

b u d u ´ c n o s t i. Mi s m o z a in t e r e s ir a n i z a b u d u ´ c e vr ije d n o s t i ko je t r e t ir a m o ka o s lu ˇ c a jn e . Stohasticki proces ili

proces je n iz s lu ˇ c a jn ih ve kt o r a tX, p r i ˇ c e m u je t ∈ Z. N a p o m e n im o d a p r o m a t r a m o s a m o diskretne p r o c e s e .

K o d kontinuiranih p r o c e s a je t ∈ R.

Za d a n u vr e m e n s ku s e r iju −αx, . . . ,−1 x,0 x ko n s t r u ir a m o s t o h a s t ic ki p r o c e s . . . ,−1X,0X,1X, . . . t r e -t ir a ju ´ c i vr e m e n s ku s e r iju ka o je d n u r e a liz a c iju ko r e s p o n d ir a ju ´ c e g s e g m e n t a −αX, . . . ,−1X,0X s t o h a s t ic ko gp r o c e s a . P r im je n u s t a t is t ic kih t e h n ika d a b i s p e c ifi c ir a li s t o h a s t ic ki p r o c e s ko ji je ko n z is t e n t a n s a t a kvo m

r e a liz a c ijo m n a z iva m o analiza vremenskih serija.

A n a liz a vr e m e n s kih s e r ija s e r a z liku je o d s t a t is t ic ko g o c je n jiva n ja . S t a t is t ic ke o c je n e d o b iva ju s e iz r e a li-

z a c ija x[1],x[2], . . . ,x[m−1],x[m] u z o r ka X[1],X[2], . . . ,X[m−1],X[m]. A n a liz a vr e m e n s kih s e r ija s e p r im je n ju jen a r e a liz a c iju −αx, . . . ,−1 x,0 x ko r e s p o n d ir a ju ´ c e g s e g m e n t a −αX, . . . ,−1X,0X s t o h a s t ic ko g p r o c e s a . Seg-ment stohastickog procesa nije uzorak. S lu ˇ c a jn i ve kt o r i tX s t o h a s t ic ko g p r o c e s a n e m o r a ju b it i n e z a vis n i.

U vje t n a d is t r ib u c ija o d tX kr o z t − k vr e m e n s kih p e r io d a je n je g o va d is t r ib u c ija u vje t o va n a vr ije d n o s t im a

t−kx,t−k−1 x,t−k−2 x, . . . U vje t n o o ˇ c e kiva n je o d tX kr o z t−k vr e m e n s kih p e r io d a o z n a ˇ c im o s a t−kE ( tX ) . B e z u -

vje t n o o ˇ c e kiva n je o d tX o z n a ˇ c a va li s m o s a E ( tX ) . U vje t n e p a r a m e t r e , ka o ˇ s t o s u o ˇ c e kiva n je ili s t a n d a r d n a

d e vija c ija u vje t o va n a in fo r m a c ija m a r a s p o lo ˇ z ivim kr o z vr ije m e t− k ´ c e m o o z n a ˇ c a va t i s a t|t−kµ ili t|t−kσ. B e z u -

vje t n e p a r a m e t r e s m o o z n a ˇ c a va li s a tµ i tσ. A n a lo g n o , u vje t n a i b e z u vje t n a fu n kc ija d is t r ib u c ije ili g u s t o ´ c e

vje r o ja t n o s t i o z n a ˇ c a va ju s e s a t|t−kΦ i tΦ ili t|t−kφ i tφ.

6 9

U o d s u t n o s t i u vje t a n e z a vis n o s t i i je d n a ke d is t r ib u c ije s lu ˇ c a jn ih va r ija b li u u z o r ku , ko d p r o c e s a s e p o -

ja vlju ju d va t ip a b e z u vje t n ih ko r e la c ija . K o r e la c iju iz m e d u ko r e s p o n d e n t n ih s lu ˇ c a jn ih va r ija b li p o m a kn u t ih z a

vr e m e n s ki p e r io d k, cor ( tXi,t−kXi ) , n a z iva m o autokorelacija s a vr e m e n s kim z a o s t a t ko m k. K o r e la c iju iz m e d u

r a z lic it ih s lu ˇ c a jn ih va r ija b li p o m a kn u t ih z a vr e m e n s ki p e r io d k, cor ( tXi,t−kXj ) , n a z iva m o poprecna korelacija

( e n g . c r o s s c o r r e la t io n ) s a vr e m e n s kim z a o s t a t ko m k.

D a b is m o u p o t p u n o s t i o p is a li s t o h a s t ic ki p r o c e s , m o r a m o e ks p lic it n o ili im p lic it n o z a d a t i d is t r ib u c iju

z a s ve ko m p o n e n t e tXi o dtX. Za p r o c e s ka ˇ z e m o d a je strogo stacionaran a ko je b e z u vje t n a d is t r ib u c ija n e ko g

s e g m e n t a p r o c e s a tX,t+1X, . . . ,t+m−1X,t+mX je d n a ka b e z u vje t n o j d is t r ib u c iji b ilo ko je g d r u g o g s e g m e n t at+kX,t+k+1X, . . . ,t+k+m−1X,t+k+mX je d n a ke d u ljin e m.

Za p r o c e s ka ˇ z e m o d a je ( kovarijancno ) stacionaran a ko b e z u vje t n a d is t r ib u c ija b ilo ko je g s e g m e n t a

tX,t+1X, . . . ,t+m−1X,t+mX im a o ˇ c e kiva n je , s t a n d a r d n u d e vija c iju i ko r e la c ije je d n a ke ko r e s p o n d ir a ju ´ c imo ˇ c e kiva n jim a , s t a n d a r d n im d e vija c ija m a i ko r e la c ija m a b e z u vje t n e d is t r ib u c ije b ilo ko je g d r u g o g s e g m e n t a

t+kX,t+k+1X, . . . ,t+k+m−1X,t+k+mX je d n a ke d u ljin e m. K a ko je s va ka s it u a c ija je d in s t ve n a , n a p o m e n im od a u p r im je n a m a p r e t p o s t a vka s t a c io n a r n o s t i n ije u vije k p r ih va t ljiva . Zb o g t o g a je p o n e ka d p o t r e b n o t r a n s -

fo r m ir a t i vr e m e n s ke s e r ije u o n e ko je z a d o vo lja va ju p r e t p o s t a vku s t a c io n a r n o s t i. D iferenciranjem t r a n s fo r m i-

r a m o vr e m e n s ku s e r iju x u vr e m e n s ku s e r iju y z a m je n o m p r ikla d n ih ko m p o n e n t i txi s a n je n im d ife r e n c ija m a

tyi =t xi −t−1 xi . ( 6 0 )

U fi n a n c ija m a , prinos je m e t r ika e ko n o m s ke ko r is t i o d p o s je d o va n ja im o vin e . A ko im o vin a d a n a s vr ije d i 1 0

E U R -a , a s u t r a 1 1 E U R -a , ka ˇ z e m o d a im o vin a im a 1 -d a n 1 0 % p r in o s . Mi p r in o s t r e t ir a m o ka o m a t e m a t ic ki

p o ja m . P r o m o t r im o u n iva r ia t n u vr e m e n s ku s e r iju x = −αx, . . . ,−1 x,0 x. D e fi n ir a m o d vije m e t r ike p r in o s a .J ednostavan prinos o d x kr o z p e r io d [t− 1 , t] je

tzsimple =tx−t−1 x

t−1x. ( 6 1 )

L ogaritamski prinos o d x kr o z p e r io d [t− 1 , t] je

tzlog = lo g

(tx

t−1x

). ( 6 2 )

Za m a le p r in o s e , o ve d vije m e t r ike s u g o t o vo je d n a ke . Ob je s u ˇ c e s t o ko r is t e n e u fi n a n c ija m a . S va ka im a

p r e d n o s t i i n e d o s t a t ke .

S t o h a s t ic ki p r o c e s tX je homoskedastican a ko je b e z u vje t n a m a t r ic a ko va r ija n c i tΣ s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a

tX ko n s t a n t n a . Heteroskedastican je a ko n ije ko n s t a n t n a . P r o c e s je uvjetno homoskedastican a ko je u vje t n a

m a t r ic a ko va r ija n c i t|t−1Σ s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a tX ko n s t a n t n a . Uvjetno je heteroskedastican a ko n ije ko n s t a n t n a .

7 0

7.4 Autor egr esivni pr ocesi pokr etnih pr osjeka

S t o h a s t ic ki p r o c e s

. . . ,t−2W,t−1W,tW,t+1W, . . . ( 6 3 )

n a z iva m o bijeli sum a ko b e z u vije t n a o ˇ c e kiva n ja z a d o vo lja va ju

E ( tW ) = 0 , ( 6 4 )

E ( tWt+kW⊤ ) =

Σ, k = 0 ,

0, k = 0 ,( 6 5 )

g d je je Σ ko n s t a n t n a ko va r ia c io n a m a t r ic a . U vje t ( 6 5 ) n e z a h t ije va n e z a vis n o s t s lu ˇ c a jn ih ve kt o r a tW. A ko

d o d a m o t u p r e t p o s t a vku n e z a vis n o s t i, p r o c e s n a z iva m o nezavisan bijeli sum. A ko d o d a m o p r e t p o s t a vku d a

s u s lu ˇ c a jn i ve kt o r i tW n o r m a ln o d is t r ib u ir a n i, p r o c e s n a z iva m o Gaussov bijeli sum.

n – d im e n z io n a la n proces pokretnih prosjeka r e d a q, MA ( q) , je p r o c e s o b lika

tX = a+t W +

q∑

k=1

βkt−kW , ( 6 6 )

g d je s u a ∈Mn1, βk ∈Mn, a W ∈Mn1 je b ije li ˇ s u m . K o e fi c ije n t i βk u ( 6 6 ) u vo d e u MA p r o c e s a u t o ko r e la c iju .

n – d im e n z io n a la n autoregresivan proces r e d a p, A R ( p ) , je p r o c e s o b lika

tX = a+t W +

p∑

k=1

bkt−kX , ( 6 7 )

g d je s u a ∈ Mn1, bk ∈ Mn, a W ∈ Mn1 je b ije li ˇ s u m . Im e a u t o r e g r e s iva n s u g e r ir a d a ( 6 7 ) d e fi n ir a r e g r e s iju

s lu ˇ c a jn o g ve kt o r a tX p r e m a n je g o vim p r e t h o d n im vr ije d n o s t im a .

n – d im e n z io n a la n autoregresivan proces pokretnih prosjeka r e d a p i q,

A R MA ( p ,q) , je p r o c e s o b lika

tX = a+t W +

q∑

k=1

βkt−kW +

p∑

k=1

bkt−kX . ( 6 8 )

K a o ˇ s t o m u im e s u g e r ir a , A R MA ( p ,q) m o d e l ko m b in ir a A R ( p ) m o d e l s a MA ( q) m o d e lo m je d n a ke d im e n z ije

n.

K a ko b ije li ˇ s u m m o ˇ z e b it i u vje t n o h e t e r o s ke d a s t ic a n , MA ( q) , A R ( p ) i A R MA ( p ,q) p r o c e s i m o g u b it i

u vje t n o h e t e r o s ke d a s t ic n i. MA ( q) p r o c e s je n u ˇ z n o s t a c io n a r a n , d o k A R ( p ) i A R MA ( p ,q) p r o c e s i t o n e m o r a ju

b it i.

U c ilju ilu s t r a c ije , t r e t ir a jm o vr e m e n s ku s e r iju ka o r e a liz a c iju s e g m e n t a u n iva r ia t n o g s t a c io n a r n o g A R ( 1 )

p r o c e s a :

tX = a+ tW + b1t−1X , ( 6 9 )

7 1

g d je je W Ga u s s o v b ije li ˇ s u m , tW ∼ N ( 0 , σ2 ) . P a r a m e t r i ko je t r e b a m o p r o c ije n it i s u a, b1 i σ. N e ka

je θ = ( a, b1, σ ) . N e ka je tφ ( tx| θ ) fu n kc ija g u s t o ´ c e vje r o ja t n o s t i o d tX u vje t o va n a s a m o s a θ, t e n e ka je

t|t−1φ ( tx| θ,t−1 x) fu n kc ija g u s t o ´ c e vje r o ja t n o s t i o d tX u vje t o va n a i s a θ i s a p r e t h o d n o m vr ije d n o s t i t−1x.

Mo ˇz e s e p o ka z a t i d a je

tφ( tx| θ ) ∼ N

(a

1 − b1,

σ2

1 − b12

), ( 7 0 )

t|t−1φ ( tx| θ,t−1 x) ∼ N(a+ b1

t−1x, σ2). ( 7 1 )

K a ko s u s lu ˇ c a jn e va r ija b le tX z a vis n e , fu n kc ija vje r o d o s t o jn o s t i ko r is t i u vje t n e g u s t o ´ c e vje r o ja t n o s t i z a s ve

ˇ c la n o ve o s im p r vo g :

L ( θ ) =−α φ ( t−αx| θ ) ·−α+1|−α φ ( −α+1x| θ,−α x ) · . . . ·0|−1 φ ( 0x| θ,−1 x ) . ( 7 2 )

Za fu n kc iju vje r o d o s t o jn o s t i ( 7 2 ) r ije ˇ s im o u vje t ( 5 9 ) N e wt o n o vo m m e t o d o m ˇ c im e s m o p r o c ije n ili p a r a m e t r e u

θ.

7.5 P oopceni autor egr esivni uvjetno heter oskedasticni pr ocesi

7.5.1 Klaster i volatilnosti i efekt poluge

P r o c e s i p o kr e t n ih p r o s je ka n e d o z vo lja va ju d a s e vo la t iln o s t ( n e p o s t o ja n o s t ) m ije n ja t ije ko m vr e m e n a .

P r o m je n a o c je n e vo la t iln o s t i t ije ko m vr e m e n a s e m o ˇ z e p r ip is a t i je d in o b ije lo m ˇ s u m u u MA( q ) m o d e lu . U

s t va r n o s t i, p r in o s i n a fi n a n c ijs kim t r ˇ z is t im a p r i vr lo vis o kim fr e kve n c ija m a p o ka z u ju z n a ko ve a u t o ko r e la c ije .

P r in o s i p r i n is kim fr e kve n c ija m a n e m o r a ju b it i a u t o ko r e lir a n i, a li g o t o vo je s ig u r n o d a n is u n e z a vis n i. V o -

la t iln o s t s e n a fi n a n c ijs kim t r ˇ z is t im a p o ja vlju je u kla s t e r im a , a m ir n i p e r io d i m a lih p r in o s a s u is p r e m ije ˇ s a n i

s a n e p o s t o ja n im p e r io d im a vis o kih p r in o s a . V o la t iln o s t je vr lo n a g la ˇ s e n a z a p o d a t ke u n u t a r d a n a , a ˇ c e s t o

p o s t o ji z a d n e vn e , p a ˇ c a k i t je d n e fr e kve n c ije p o d a t a ka . Te h n ic ki n a z iv d a n t o j p o ja vi je autoregresivna

uvjetna heteroskedasticnost. Je d n o s t a vn a m e t o d a z a o t kr iva n je kla s t e r a vo la t iln o s t i je r a ˇ c u n a n je ko e fi c ije n t a

a u t o ko r e la c ije p r vo g r e d a z a kva d r a t e p r in o s a :

T∑

t=2

rt2rt−1

2

T∑

t=1

rt4

. ( 7 3 )

Os n o vn i t e s t z n a ˇ c a jn o s t i a u t o ko r e la c ije r e d a p je B ox-P ierce L M test b a z ir a n n a s t a t is t ic i

Q = T

p∑

n=1

ϕ ( n) 2 , ( 7 4 )

7 2

g d je je T ve lic in a u z o r ka , a ϕ ( n) a u t o ko r e la c ija u z o r ka n– t o g r e d a

ϕ ( n) =

T∑

t=n+1

ytyt−n

T∑

t=1

y2t

. ( 7 5 )

S t a t is t ika je a s im p t o t s ke h i-kva d r a t d is t r ib u c ije s a p s t u p n je va s lo b o d e , p a je 1 % -t n a kr it ic n a vr ije d n o s t t o g

t e s t a 6 .6 3 5 .

Za t e s t ir a n je n e – n o r m a ln o s t i d is t r ib u c ije p r in o s a s e ko r is t e m je r e p o p u t ko e fi c ije n t a a s im e t r ic n o s t i τ ( e n g .

s ke wn e s s ) i vis ka z a o b lje n o s t i vr h a d is t r ib u c ije κ ( e n g . e xc e s s ku r t o s is ) :

τ = E[( X − µ ) 3]/σ3 , ( 7 6 )

κ = E[( X − µ ) 4]/σ4 − 3 . ( 7 7 )

K o e fi c ije n t a s im e t r ic n o s t i je s t a n d a r d iz ir a n i t r e ´ c i m o m e n t d is t r ib u c ije , a z a o b lje n o s t vr h a d is t r ib u c ije je s t a n -

d a r d iz ir a n i ˇ c e t vr t i m o m e n t . K a ko n o r m a ln a d is t r ib u c ija im a z a o b lje n o s t vr h a d is t r ib u c ije 3 , u o b ic a je n o je o d

z a o b lje n o s t i vr h a d is t r ib u c ije o d u z e t i 3 ˇ c im e d o b ija m o vis a k z a o b lje n o s t i vr h a d is t r ib u c ije , t a ko d a s u i τ i κ

n u la z a n o r m a ln u d is t r ib u c iju . P o z it ivn i κ in d ic ir a ve ´ c u t e ˇ z in u u o b a r e p a d is t r ib u c ije o d t e ˇ z in e ko ju im a n o r -

m a ln a d is t r ib u c ija . Od t u d a z a d is t r ib u c ije s a p o z it ivn im κ d o la z i p o p u la r a n n a z iv ” d e b e lo r e p e ” . S t a n d a r d n u

g r e ˇ s ku z a τ i κ je t e ˇ s ko iz r a ˇ c u n a t i b e z p r e t p o s t a vke n o r m a ln o s t i. A ko je p o p u la c ija n o r m a ln a , s t a n d a r d n e

g r e ˇ s ke o c je n jiva ˇ c a u z o r ka τ i κ s u p r ib liz n o√6 /n i

√2 4 /n.

A ko n e ke d io n ic e im a ju n is ku a u t o ko r e la c iju i vr ije d n o s t B o x-P ie r c e o vo g L M t e s t a n iz u o d 6 .6 3 5 , t o n e

z n a ˇ c i d a z a n jih n e p o s t o je kla s t e r i vo la t iln o s t i. A ko je z a is t e d io n ic e τ n e g a t iva n i κ iz r a z it o p o z it iva n , ja s n o

je d a s e n is ka a u t o ko r e la c ija kva d r a t a p r in o s a m o ˇ z e p r ip is a t i b a r e m je d n o m e ks t r e m n o n e g a t ivn o m p r in o s u .

P o u ka iz o vo g p r im je r a je d a je u vije k n e o p h o d n o p a ˇ z ljivo p o g le d a t i p o d a t ke p r ije s a m o g p o ˇ c e t ka a n a liz e .

P o t e n c ija ln a u ˇ s t e d a u vr e m e n u m o ˇ z e b it i z n a ˇ c a jn a . S d r u g e s t r a n e , m o ˇ z e p o s t o ja t i iz r a z it o p o z it iva n κ u z

is t o vr e m e n u vis o ku s ig n ifi ka n t n o s t ( p r e ko 3 0 ) p r e m a B o x-P ie r c e o vo m L M t e s t u .

N a t r ˇ z is t im a ka p it a la je vo la t iln o s t vis a n a o p a d a ju ´ c e m n e g o n a r a s t u ´ c e m t r ˇ z is t u . R e a kc ija vo la t iln o s t i

n a vis o ki n e g a t iva n p r in o s je ˇ c e s t o m n o g o ja ˇ c a n e g o n a vis o ki p o z it iva n p r in o s je d n a ke ve lic in e . N a im e , ka d a s e

c ije n a ka p it a la s m a n ju je u z ko n s t a n t n e u ku p n e o b ve z e u kr a t ko m r o ku , ko e fi c ije n t fi n a n c ir a n ja ( o d n o s u ku p -

n ih o b ve z a i ka p it a la ) i ko e fi c ije n t z a d u ˇ z e n o s t i ( o d n o s u ku p n ih o b ve z a i im o vin e ) s e p o ve ´ c a va ju , a ko e fi c ije n t

vla s t it o g fi n a n c ir a n ja ( o d n o s ka p it a la i im o vin e ) s m a n ju je . Ti p o ka z a t e lji u p o t r e b e fi n a n c ijs ke p o lu g e ( e n g .

L e ve r a g e ) g o vo r e d a s e p o ve ´ c a va n e s o lve n t n o s t p o d u z e ´ c a , p a s e z b o g t o g efekta poluge p o ve ´ c a va vo la t iln o s t

c ije n e ka p it a la . E fe kt p o lu g e u z r o ku je a s im e t r ic n o s t kla s t e r a vo la t iln o s t i n a t r ˇ z is t im a ka p it a la : ako je volatil-

nost koja slijedi negativan prinos visa od volatilnosti koja slijedi pozitivan prinos, tada ce autokorelacija izmedu

7 3

jucerasnjih i danasnjih kvadrata prinosa biti visoka i negativna. Je d n o s t a va n t e s t e fe kt a p o lu g e je r a ˇ c u n a n je

ko e fi c ije n t a a u t o ko r e la c ije p r vo g r e d a iz m e d u p o m a kn u t ih p r in o s a i t e ku ´ c ih kva d r a t a p r in o s a :

T∑

t=2

rt2rt−1

√√√√T∑

t=2

rt4T∑

t=2

rt−12

. ( 7 8 )

A ko je o va j ko e fi c ije n t a u t o ko r e la c ije n e g a t iva n i ko r e s p o d e n t a n B o x-P ie r c e o v L M t e s t z n a ˇ c a jn o r a z lic it o d n u le ,

t a d a t r e b a p r im ije n it i a s im e t r ic a n A -GA R CH m o d e l. Ia ko je t e o r ija p r e d lo ˇ z ila i t e s t ir a la r a z lic it e va r ija n t e

A -GA R CH m o d e la , p r im je n a A -GA R CH m o d e la u p r a ks i je o g r a n ic e n a je r je o c je n a A -GA R CH m o d e la m n o g o

t e ˇ z a o d o c je n e s im e t r ic n o g GA R CH m o d e la .

7.5.2 P r egled GARCH modela

K la s ic a n m o d e l lin e a r n e r e g r e s ije p r e t p o s t a vlja d a je n e o ˇ c e kiva n i p r in o s o b ja ˇ s n je n s lu ˇ c a jn o m g r e ˇ s ko m

ko ja je h o m o s ke d a s t ic a n p r o c e s , t j. p r o c e s s a ko n s t a n t n o m va r ija n c o m ko ja n e z a vis i o vr ije d n o s t i z a vis n e

va r ija b le . Te m e ljn a id e ja GA R CH m o d e la je dodavanje jednadzbe uvjetne varijance regresijskom modelu. Ta

je d n a d ˇ z b a ´ c e o p is a t i e vo lu c iju u vje t n e va r ija n c e p r o c e s a n e o ˇ c e kiva n ih p r in o s a . U p r a vo s e u n jo j r a z liku ju

s im e t r ic n i GA R CH m o d e li z a m o d e lir a n je kla s t e r a vo la t iln o s t i o d a s im e t r ic n ih A -GA R CH m o d e la ko ji s e

ko r is t e z a m o d e lir a n je e fe kt a p o lu g e .

A u t o r e g r e s ivn i u vje t n o h e t e r o s ke d a s t ic n i ( A R CH ) m o d e li vo la t iln o s t i i ko r e la c ija s u p r vi p u t a p r e d lo ˇ z e n i

u r a d u [7 6 ]. Za r a d s a fi n a n c ijs kim p o d a c im a s u p r ikla d n iji s im e t r ic n i poopceni autoregresivni uvjetno het-

eroskedasticni GA R CH ( p ,q) p r o c e s i [2 8 ]

tW ∼t−1 N ( 0 ,t|t−1 σ2 ) , ( 7 9 )

t|t−1σ2 = a+

q∑

k=1

βkt−kW 2 +

p∑

k=1

bkt−k|t−k−1σ2 . ( 8 0 )

GA R CH p r o c e s i s e n a jc e ˇ s ´ c e p r o c je n ju ju m e t o d o m m a ks im a ln e vje r o d o s t o jn o s t i. U n iva r ia t n i GA R CH m o d e li

s u d a n a s im p le m e n t ir a n i u g o t o vo s va ko j ko m e r c ija ln o j b a n c i. B iva r ia t n e GA R CH m o d e le je la ko o c ije n it i,

a u s lu ˇ c a ju vis e o d d vije va r ija b le s e GA R CH z a p r a kt ic a r e n ije p o ka z a o u s p je ˇ s n im . Zb o g t o g a ´ c e m o s e u

n a s t a vku iz la g a n ja ko n c e n t r ir a t i n a m o d e le ko ji s u ko r is n i z a p r a kt ic a r e i p r e b a c it i s e n a n o t a c iju ko ju ko r is t e

p r a kt ic a r i. K o n s t a n t u GA R CH m o d e la o z n a ˇ c im o s a w, ko e fi c ije n t u z kva d r a t s lu ˇ c a jn e g r e ˇ s ke ε o z n a ˇ c im o s a

α, a s a β o z n a ˇ c im o ko e fi c ije n t u z u vje t n u va r ija n c u u p r e t h o d n o m p e r io d u . S im e t r ic n i GA R CH ( 1 ,1 ) m o d e l je

t a d a

σ2t = w + αε2t−1 + βσ2

t−1

w > 0 , α, β ≥ 0. ( 8 1 )

7 4

P r e t h o d n i iz r a z n a z iva m o genericki ili vanilija GAR CH. V e liki β in d ic ir a d a p o t r e s u u vje t n e va r ija n c e t r e b a

m n o g o vr e m e n a d a is ˇ c e z n e ˇ s t o z n a ˇ c i d a je volatilnost izdrzljiva. V e liki α u z r e la t ivn o n is ki β z n a ˇ c i in t e n z ivn u

r e a kc iju vo la t iln o s t i n a kr e t a n ja t r ˇ z is t a p a je g r a f vo la t iln o s t i t ije ko m vr e m e n a b o d ljika vo g o b lika . P r iliko m

ko r is t e n ja GA R CH m o d e la t r e b a b it i o p r e z a n . P o n e ka d je d o vo lja n je d n o d n e vn i ˇ s o k t r a je kt o r ije p r in o s a d a

o b o r i r e z u lt a t e GA R CH m o d e la . U t o m s lu ˇ c a ju je n a jc e ˇ s ´ c e d o vo ljn o u klo n it i p r o b le m a t ic n e p o d a t ke ( fi lt r ir a n je

p o d a t a ka ) i p o n o vo r ije ˇ s it i m o d e l. Za d io n ic e s a iz r a z it o p o z it ivn im κ je GA R CH m o d e l ( 8 1 ) ˇ c e s t o n e u p o t r e b ljiv

je r n ije z a d o vo lje n a p r e t p o s t a vka ( 7 9 ) , t j. d is t r ib u c ija vje r o ja t n o s t i b ije lo g ˇ s u m a n ije n o r m a ln a .

U vr ˇ s t a va n je m σ2t = σ2,∀t u iz r a z ( 8 1 ) d o b iva m o iz r a z z a p o s t o ja n o s t a n je va r ija n c e u d u g o m r o ku :

σ2 =w

1 − α− β. ( 8 2 )

N e ki a n a lit ic a r i p o n e ka d n e ˇ z e le p r o c je n jiva t i ko n s t a n t u w u m o d e lu ( 8 1 ) n e g o ju iz r a ˇ z a va ju iz iz r a z a ( 8 2 ) .

N je n im u vr ˇ s t a va n je m u iz r a z ( 8 1 ) d o b iva m o GA R CH ( 1 ,1 ) m o d e l fo r m u lir a n u o b liku o d s t u p a n ja o d postojanog

stanja varijance u d u g o m r o ku :

σ2t − σ2 = α( ε2t−1 − σ2 ) + β ( σ2

t−1 − σ2 ) . ( 8 3 )

Iz iz r a z a ( 8 2 ) je o ˇ c it o d a m o r a n u ˇ z n o vr ije d it i α + β < 1 ka ko b i p r o c e s p r in o s a b io s t a c io n a r a n . U s lu ˇ c a ju

ka d a je z a n e ku d io n ic u α + β ≈ 1 , b o lje je ko r is t it i in t e g r ir a n i GA R CH m o d e l ( I-GA R CH )

σ2t = w + ( 1 − λ ) ε2t−1 + λσ2

t−1 ( 0 ≤ λ ≤ 1 ) ( 8 4 )

ili je d n o s t a va n e ks p o n e n c ija ln o p o n d e r ir a n m o d e l p o m a kn u t ih p r o s je ka z a vo la t iln o s t ( E W MA , o d e n g . E x-

p o n e n t ia lly W e ig h t e d Mo vin g A ve r a g e s )

σ2t = ( 1 − λ ) r2t−1 + λσ2

t−1 ( 8 5 )

s a konstantom izgladivanja λ ∈< 0 , 1 > p o s t a vlje n o m n a β p r o c ije n je n GA R CH m o d e lo m . P r vi ˇc la n u iz r a z u

( 8 5 ) , ( 1 − λ ) r2t−1, d e t e r m in ir a in t e n z it e t r e a kc ije vo la t iln o s t i n a kr e t a n ja t r ˇ z is t a : ˇ s t o je m a n ji λ t o vo la t iln o s t

ja ˇ c e r e a g ir a n a in fo r m a c ije o ju ˇ c e r a ˇ s n jim p r in o s im a rt−1 n a t r ˇ z is t u . D r u g i ˇ c la n , λσ2t−1, d e t e r m in ir a p o s t o ja n o s t

vo la t iln o s t i: λ b liz u 1 n a m g o vo r i d a b e z o b z ir a ˇ s t o s e d o g a d a n a t r ˇ z is t u , ve lika ju ˇ c e r a ˇ s n ja vo la t iln o s t ´ c e

u z r o ko va t i ve liku vo la t iln o s t d a n a s . S p o m e n im o d a E W MA z a ko r e la c iju im a o b lik

σ12,t = ( 1 − λ ) r1,t−1r2,t−1 + λσ12,t−1 . ( 8 6 )

V o la t iln o s t n a d e viz n im t r ˇ z is t im a i t r ˇ z is t im a p o t r o ˇ s n ih d o b a r a n e ko n ve r g ir a p r e m a r a z in i p r o s je ˇ c n e

vo la t iln o s t i u d u g o m r o ku . V o la t iln o s t t e ˇ c a ja je n a jc e ˇ s ´ c e s lu ˇ c a jn a ˇ s e t n ja , p a s u z b o g t o g a s t a c io n a r n i GA R CH

m o d e li n a d e viz n im t r ˇ z is t im a n e p r im je n jivi. U m je s t o n jih s e z a p r o g n o s t iku ko r is t i [9 6 ] I-GA R CH m o d e l ( 8 4 ) .

7 5

Co m p o n e n t s GA R CH m o d e l [7 8 ], [7 9 ], [8 2 ] o m o g u ´ c a va va r ir a n je vo la t iln o s t i u d u g o m r o ku u n u t a r p e r io d a

o c je n jiva n ja . Mo d e l je n a jko r is n iji n a d e viz n im t r ˇ z is t im a i t r ˇ z is t im a p o t r o ˇ s n ih d o b a r a ka d a je GA R CH m o d e l

b liz u in t e g r ir a n o g . Je d n a d ˇ z b a u vje t n e va r ija n c e u c o m p o n e n t s GA R CH m o d e lu je

σ2t = qt + α( ε2t−1 − qt−1 ) + β ( σ2

t−1 − qt−1 ) , ( 8 7 )

g d je je ko m p o n e n t a qt ko ja t r a jn o va r ir a t ije ko m vr e m e n a d a n a s a

qt = w + ρ ( qt−1 − w ) + ζ ( ε2t−1 − σ2t−1 ) . ( 8 8 )

E ks p o n e n c ija ln i GA R CH ili E -GA R CH m o d e l je u ve d e n u r a d u [1 6 9 ]. Je d n a d ˇ z b a u vje t n e va r ija n c e u

E -GA R CH m o d e lu je d e fi n ir a n a ˇ c la n o vim a s t a n d a r d n e n o r m a ln e va r ija b le zt :

ln σ2t = w + g ( zt−1 ) + β ln σ2

t−1 . ( 8 9 )

L o g a r it a m s ka s p e c ifi ka c ija vo la t iln o s t i im a z n a t n e p r e d n o s t i [1 1 2 ], [1 5 3 ], [1 9 6 ]. N a ˇ z a lo s t , E -GA R CH je t e ˇ s ko

ko r is t it i z a p r o g n o s t iku vo la t iln o s t i.

K a d a je z a n e ku d io n ic u n a g la ˇ s e n e fe kt p o lu g e , b o lje p r o g n o s t ic ke r e z u lt a t e o d s im e t r ic n o g GA R CH ( 1 ,1 )

m o d e la ( 8 1 ) d a je a s im e t r ic a n A -GA R CH ( 1 ,1 ) m o d e l [8 0 ] ko ji im a s lje d e ´ c u je d n a d ˇ z b u u vje t n e va r ija n c e :

σ2t = w + α ( εt−1 − λ ) 2 + βσ2

t−1 ( w > 0 , α, β, λ ≥ 0 ) . ( 9 0 )

K o e fi c ije n t λ u m o d e lu ( 9 0 ) n a z iva m o koeficijent financijske poluge.

Za fo r m ir a n je c ije n a o p c ija i o g r a d iva n je ( e n g . h e d g in g ) r a d o vi [7 1 ], [7 2 ] z a g o va r a ju n e lin e a r a n a s im e t r ic a n

GA R CH ili N -GA R CH m o d e l:

rt = r − 0 .5 σ2t + σtξt

σ2t = w + ασ2

t−1 ( ξt−1 − θ − λ ) 2 + βσ2t−1

ξt = εt + λ

. ( 9 1 )

GA R CH m o d e li ko ji p r e t p o s t a vlja ju n o r m a ln o d is t r ib u ir a n u s lu ˇ c a jn u g r e ˇ s ku s e n a jc e ˇ s ´ c e ko r is t e z a m o d -

e lir a n je d n e vn ih p r in o s a i vo la t iln o s t i. D a ka ko , p o s t o je d o ka z i [1 9 7 ] d a normalna distribucija nije dovoljno

dobra pretpostavka u slucaju visokofrekventnih podataka. U t o m s lu ˇ c a ju b o lje je p r e t p o s t a vit i [2 9 ] Studentovu

t distribuciju p r o c e s a s lu ˇ c a jn e g r e ˇ s ke u je d n a d ˇ z b i u vje t n o g o ˇ c e kiva n ja . D o b ive n i m o d e l n a z iva m o t-GAR CH

model.

N a p o m e n im o d a je r a d [1 6 8 ] p o ka z a o d a GA R CH m o d e l p r o c ije n je n s a vis o ko fr e kve n t n im p o d a c im a n e

p r e d vi d a d o vo ljn o d o b r o n is ko fr e kve n t n u vo la t iln o s t , t e je b o lje p r e d vi d a t i vis o ko fr e kve n t n u vo la t iln o s t s a

n is ko fr e kve n t n im m o d e lo m . Ta j r e z u lt a t d o ve o je d o fo r m u la c ije H A R CH ( o d e n g . h e t e r o g e n e o u s in t e r va l

7 6

a u t o r e g r e s s ive c o n d it io n a l h e t e r o s c e d a s t ic it y) m o d e la [6 0 ] ko ji ko r is t i e ks p o n e n c ija ln o iz g la d e n kva d r a t z b r o ja

p r in o s a iz m je r e n z a s a m o n e ko liko r a z lic it ih fr e kve n c ija . P a r c ija ln e vo la t iln o s t i ko je s e ko r is t e u H A R CH

m o d e lu s u d iz a jn ir a n e d a u h va t e kla s t e r e vo la t iln o s t i z a r a z lic it e fr e kve n c ije . D e fi n ir a n e s u s a

σ2j,t = ( 1 − λj )

Kj∑

i=1

εt−i∆ t

2

+ λjσ2j,t−∆ t . ( 9 2 )

7.5.3 Ocjenjivanje GARCH modela

K ako odabrati vremenski period dnevnih podataka za koji cemo ocijeniti GAR CH model? P r iliko m o d a b ir a

ko liko d a le ko t r e b a m o b a c it i p o g le d u p r o ˇ s lo s t m o r a m o vo d it i r a ˇ c u n a o d o g a d a jim a ko ji s u p o t r e s a li t r ˇ z is t a ka p i-

t a la . E ko n o m e t r ijs ki p a ke t i p o p u t p a ke t a M athematica Time Series, TSP , R ATS, GAUSS, S-P L US, E VIE W S,

SAS, P cGive ili M ICR OF IT z a t u s vr h u im a ju u n a p r ije d is p r o g r a m ir a n e p r o c e d u r e . K r it ic ki p r ika z n e ko liko

GA R CH s o ft wa r e -a m o ˇ z e s e p r o n a ´ c i u r a d u [3 2 ]. P r im je r i e ks t r e m n ih d o g a d a ja n a t r ˇ z is t im a ka p it a la ko ji s u

u t je c a li n a b u r z o vn e in d e ks e p o p u t A E X ( N iz o z e m s ka ) , CA C ( Fr a n c u s ka ) , D A X ( N je m a ˇ c ka ) , FTS E 1 0 0 ( V e lika

B r it a n ija ) , A OR D ( A u s t r a lija ) , S &P 5 0 0 ( S A D ) , N ikke i 2 2 5 ( Ja p a n ) , H a n g S e n g ( H o n g K o n g ) ili S t r a it s Tim e s

( S in g a p u r ) s u A z ijs ka kr iz a 1 9 9 7 . ili t e r o r is t ic ki n a p a d i n a S A D 2 0 0 1 . U s va ko m s lu ˇ c a ju , a n a lit ic a r im a t r ˇ z is t a

ka p it a la je n e o p h o d n o n e ko liko g o d in a d n e vn ih p o d a t a ka d a b i o s ig u r a li r e la t ivn o s t a b iln u o c je n u p a r a m e t a r a

ka ko s e p r o z o r p o d a t a ka p o m ic e , a li n e t o liko d a t e o c je n e n e o d r a ˇ z a va ju p r o m je n e t e ku ´ c ih t r ˇ z is n ih u vje t a .

Ta ko d e r , o u t lie r i m e d u p o d a c im a m o g u p o kva r it i ko n ve r g e n c iju GA R CH m o d e la ˇ s t o d o vo d i d o p o g r e ˇ s n ih

p r o c je n a p a r a m e t a r a . D a kle , predug vremenski period u kojem promatramo podatke i postojanje outliera mogu

utjecati na danasnju prognozu dugorocne volatilnosti. K oji je GAR CH model najbolje primijeniti? P o d s je t im o

s e d a s m o z a is p it iva n je a d e kva t n o s t i h va t a n ja kla s t e r a vo la t iln o s t i ko r is t ili t e s t s t a t is t iku ( 7 4 ) p r i ˇ c e m u s a d a

u fo r m u lu ( 7 5 ) z a yt s t a vlja m o s t a n d a r d iz ir a n i kva d r a t p r in o s a r∗2t = r2t /σ

2t , g d je je σ

2t GA R CH p r o c je n a

u vje t n e va r ija n c e . A ko n e p o s t o ji a u t o ko r e la c ija kva d r a t a s t a n d a r d iz ir a n ih p r in o s a , GA R CH m o d e l je d o b r o

s p e c ifi c ir a n .

8 Osnove teor ije indeksnih br ojeva za mjer enje pr omjene

visefaktor ske pr oduktivnosti

8.1 Uvod

Indeksni broj je r e a la n b r o j ko ji m je r i p r o m je n u ko ja s e d o g o d ila u n u t a r s ku p a p o ve z a n ih va r ija b li.

In d e ks n i b r o je vi s e ko r is t e z a u s p o r e d iva n je p r o m je n e ko ja s e d o g o d ila kr o z vr ije m e ili kr o z p r o s t o r ili kr o z

7 7

vr ije m e i p r o s t o r is t o vr e m e n o . In d e ks n i b r o je vi s e ko r is t e z a m je r e n je p r o m je n e c ije n a ili ko lic in a t ije ko m

vr e m e n a , je d n a ko ka o i z a m je r e n je r a z lika iz m e d u p o d u z e ´ c a , in d u s t r ija , r e g ija ili z e m a lja . In d e ks i c ije n a

m o g u s e o d n o s it i n a c ije n e p o t r o ˇ s a ˇ c a , in p u t a i o u t p u t a , u vo z a i iz vo z a , d o k in d e ks i ko lic in a m o g u m je r it i

p r o m je n e ko lic in a o s t va r e n ih o u t p u t a ili ko r is t e n ih in p u t a p o d u z e ´ c a ili in d u s t r ije kr o z vr ije m e ili r e la t ivn o

p r e m a o s t a lim p o d u z e ´ c im a .

N e ki o d p r im je r a in d e ks n ih b r o je va ko ji m je r e promjenu razine cijena s u CPI ko ji m je r i p r o m je n u c ije n e

p o t r o ˇ s a ˇ c e ve ko ˇ s a r e d o b a r a , d e fl a t o r i c ije n a z a a g r e g a t e n a c io n a ln o g d o h o t ka , r a z lic it i fi n a n c ijs ki in d e ks i i in d e ks i

c ije n a u vo z a i iz vo z a . In d e ks n i b r o je vi s e ˇ c e s t o ko r is t e i z a m je r e n je promjene produktivnosti kr o z vr ije m e i

p r o s t o r . N a jva ˇ z n ija u p o t r e b a in d e ks n ih b r o je va z a m je r e n je p r o m je n e p r o d u kt ivn o s t i s u TFP in d e ks n i b r o je vi

z a m je r e n je promjene ukupne produktivnosti faktora. D r u g a u p o t r e b a in d e ks n ih b r o je va z a m je r e n je p r o m je n e

p r o d u kt ivn o s t i je generiranje podataka ko ji ´ c e s e z a t im ko r is t it i u p r im je n i ” p r o fi n je n ih ” a n a lit ic kih m e t o d a

p o p u t a n a liz e o b a vija n ja p o d a t a ka ili p r o c je n e s t o h a s t ic ke g r a n ic e . U ve ´ c in i s t u d ija u ko jim a s e t e m e t o d e

ko r is t e z a a n a liz u s lu ˇ c a je va iz p r a ks e , nuzno je agregirati podatke u nekoliko ekonomskih varijabli r a z d vo je n ih

n a in p u t e i o u t p u t e . N a p r im je r , r a z lic it e vr s t e in p u t a r a d a s u o b ic n o a g r e g ir a n e u je d a n in p u t r a d a . Ou t p u t i

d o b a r a ko ji p r ip a d a ju p o s e b n o j g r u p i s u ˇ c e s t o a g r e g ir a n i u je d a n a g r e g a t n i o u t p u t ( u r a t a r s t vu s u o u t p u t ,

n a p r im je r , ˇ z it a r ic e ) .

N e ka pij i qij p r e d s t a vlja ju c ije n u i ko lic in u i-t o g d o b r a , i ∈ 1 , 2 , . . . ,m, u j-t o m p e r io d u , j ∈ s, t.B e z g u b it ka o p ´ c e n it o s t i, s i t s e m o g u o d n o s it i n a d va p o d u z e ´ c a u m je s t o d va vr e m e n s ka p e r io d a , a kolicine

se mogu odnositi na vrijednosti ekonomskih varijabli. K a ko s u u kla s ic n o j m ikr o e ko n o m s ko j t e o r iji p o d u z e ´ c a

e ko n o m s ke va r ija b le p o d ije lje n e n a in p u t e i o u t p u t e , indeks kolicina inputa m o ˇ z e p r e d s t a vlja t i a g r e g a t n i in p u t ,

a indeks kolicina outputa m o ˇ z e p r e d s t a vlja t i a g r e g a t n i o u t p u t . S vi in d e ks n i b r o je vi m je r e p r o m je n u r a z in e vis e

e ko n o m s kih va r ija b li u o d n o s u n a o d a b r a n i r e fe r e n t n i p e r io d ili u o d n o s u n a o d a b r a n o r e fe r e n t n o p o d u z e ´ c e .

R e fe r e n t n i p e r io d s e u t e o r iji in d e ks n ih b r o je va n a z iva bazni period. P e r io d u ko je m s e in d e ks r a ˇ c u n a s e n a z iva

trenutni period. N a d a lje , n e ka Ist p r e d s t a vlja o p ´ c i in d e ks n i b r o j z a t r e n u t n i p e r io d t s a b a z n im p e r io d o m s.

S lic n o , Vst, Pst i Qst ´ c e u d a ljn je m t e ks t u o vo g o d je ljka p r e d s t a vlja t i in d e ks e vr ije d n o s t i, c ije n a i ko lic in a .

8.2 For mule za osnovne indeksne br ojeve

Indeks promjene vrijednosti kosare dobara d e fi n ir a s e fo r m u lo m

Vst =

m∑

i=1

pitqit

m∑

i=1

pisqis

, ( 9 3 )

a m je r i p r o m je n u vr ije d n o s t i ko ˇ s a r e o d m d o b a r a iz m e d u p e r io d a s i t.

7 8

L aspeyresov indeks [1 4 0 ] d e fi n ir a s e fo r m u lo m

PLst =

m∑

i=1

pitqis

m∑

i=1

pisqis

=m∑

i=1

pitpiswis , ( 9 4 )

g d je je

wis =pisqis

m∑

i=1

pisqis

( 9 5 )

vr ije d n o s t u d je la i-t o g d o b r a u b a z n o m p e r io d u . L a s p e yr e s o v in d e ks im a d vije a lt e r n a t ivn e in t e r p r e t a c ije .

P r vo , L a s p e yr e s o v in d e ks je o m je r d vije a g r e g ir a n e vr ije d n o s t i ko je r e z u lt ir a ju iz ko lic in a u b a z n o m p e r io d u

i c ije n a u t r e n u t n o m i b a z n o m p e r io d u . D r u g a in t e r p r e t a c ija L a s p e yr e s o vo g in d e ks a je a g r e g ir a n a vr ije d n o s t

o m je r a c ije n a u t r e n u t n o m i b a z n o m p e r io d u p o n d e r ir a n ih s a u d je lim a vr ije d n o s t i d o b a r a u b a z n o m p e r io d u

ka o tezinama koje odrzavaju relativnu vaznost svakog dobra u kosari.

P aascheov indeks [1 7 1 ] d e fi n ir a s e fo r m u lo m

PPst =

m∑

i=1

pitqit

m∑

i=1

pisqit

=1

m∑

i=1

pispitwit

, ( 9 6 )

g d je je wit in d e ks d e fi n ir a n fo r m u lo m ( 9 5 ) . P a a s c h e o v in d e ks t a ko d e r im a d vije in t e r p r e t a c ije . P r vo , vid im o

d a je P a a s c h e o v in d e ks o m je r d vije a g r e g ir a n e vr ije d n o s t i d o b ive n e iz ko lic in a u t r e n u t n o m p e r io d u i c ije n a u

t r e n u t n o m i b a z n o m p e r io d u . A lt e r n a t ivn o , vid im o d a je P a a s c h e o v in d e ks harmonijska sredina o m je r a b a z n ih

i t r e n u t n ih c ije n a s a t r e n u t n im u d je lim a vr ije d n o s t i ka o t e ˇ z in a m a .

L a s p e yr e s o v i P a a s c h e o v in d e ks p r e d s t a vlja ju d va e ks t r e m a : fo r m u la L a s p e yr e s o vo g in d e ks a ( 9 4 ) n a g la ˇ s a va

ko lic in e b a z n o g p e r io d a , a fo r m u la P a a s c h e o vo g in d e ks a ( 9 6 ) n a g la ˇ s a va t r e n u t n e ko lic in e . D a kle , L aspeyresov

i P aascheov indeks pruzaju ograde stvarnog indeksa d e fi n ir a n o g ko r is t e n je m e ko n o m s ke t e o r ije , ko je g ´ c e m o

p r ika z a t i ka s n ije .

F isherov indeks [9 0 ] d e fi n ir a s e fo r m u lo m

P Fst =

√PLstP

Pst . ( 9 7 )

Fis h e r o v in d e ks , ka o g e o m e t r ijs ka s r e d in a L a s p e yr e s o vo g i P a a s c h e o vo g in d e ks a , p r e d s t a vlja u m je t n u ko n -

s t r u kc iju ko ja , p o ˇ s t o je iz m e d u d va e ks t r e m a , p o s je d u je m n o g o p o ˇ z e ljn ih s t o h a s t ic kih i e ko n o m s ko -t e o r ijs kih

s vo js t a va .

7 9

Tornqvistov indeks cijena [2 0 0 ] d e fi n ir a s e fo r m u lo m

P Tst =

m∏

i=1

(pitpis

)wis + wit

2 . ( 9 8 )

Ob ic n o s e p r im je n ju je u lo g a r it a m s ko m o b liku

ln P Tst =

m∑

i=1

wis + wit

2[ln pit − ln pis] , ( 9 9 )

je r je fo r m a la ks a z a iz r a ˇ c u n a t i, a

ln pit − ln pis = lnpitpis≃ pitpis− 1 ( 1 0 0 )

a p r o ks im ir a p o s t o t n u p r o m je n u ( s t o p u in fl a c ije ) c ije n e i-t o g d o b r a . D a kle , Tornqvistov indeks nam pruza

podatke o opcoj stopi rasta cijena.

F ormule za indekse kolicina m o g u s e d e fi n ir a t i ko r is t e ´ c i in d e ks e c ije n a , t a ko d a je d n o s t a vn o z a m je n im o

c ije n e i ko lic in e . D o b ive n e fo r m u le s u :

QLst =

m∑

i=1

pisqit

m∑

i=1

pisqis

, ( 1 0 1 )

QPst =

m∑

i=1

pitqit

m∑

i=1

pitqis

, ( 1 0 2 )

QFst =

√QL

stQPst i ( 1 0 3 )

QTst =

m∏

i=1

(qitqis

)wis+wit2

, t j. ( 1 0 4 )

ln QTst =

m∑

i=1

(wis + wit

2

)[ln qit − ln qis] . ( 1 0 5 )

Indirektni pristup s e n a jc e ˇ s ´ c e ko r is t i z a u s p o r e d iva n je p r o m je n e ko lic in a t ije ko m vr e m e n a . In d ir e kt n i

p r is t u p ka o o s n o vn u p r e m is u ko r is t i d a je p r o m je n a vr ije d n o s t i je d n a ka u m n o ˇ s ku p r o m je n e c ije n e i p r o m je n e

ko lic in e , t j. Vst = PstQst . P o ˇ s t o s u Vst d ir e kt n o d e fi n ir a n i iz p o d a t a ka , ka o o m je r i vr ije d n o s t i u p e r io d im a t i

s, Qst s e m o ˇ z e iz ve s t i ka o fu n kc ija o d Pst :

Qst =VstPst

=

m∑

i=1

pitqit

m∑

i=1

pisqis

Pst=

m∑

i=1

pitqit

Pstm∑

i=1

pisqis

. ( 1 0 6 )

8 0

Op is a n o r je ˇ c im a ,

Qst =vr ije d n o s t u p e r io d u t, p r ila g o d e n a z a p r o m je n u c ije n e

vr ije d n o s t u p e r io d u s, ( 1 0 7 )

t o je s t ,

Qst =vr ije d n o s t u p e r io d u t ( u c ije n a m a p e r io d a s)

vr ije d n o s t u p e r io d u s ( u c ije n a m a p e r io d a s). ( 1 0 8 )

In d ir e kt n i p r is t u p u t vr d u je in d e ks e ko lic in a iz o m je r a vr ije d n o s t i, a g r e g ir a n ih p o s lije u kla n ja n ja e fe kt a p r o m -

je n e c ije n a t ije ko m r a z m a t r a n o g p e r io d a . P osljedica indirektnog pristupa je da se vrijednosti agregata, pri-

lagodeni za promjene cijena tijekom vremena, mogu razmatrati kao kolicine agregata. P r im je r i t a kvih a g r e g a t a

s u b r u t o d o m a ´ c i p r o iz vo d , o u t p u t s e kt o r a ka o ˇ s t o je p o ljo p r ivr e d a ili p r o iz vo d n ja , t e u vo z i iz vo z d o b a r a i u s -

lu g a . Iz perspektive prakse, is t r a ˇ z iva ˇ c ´ c e r ije t ko ka d a im a t i n a r a s p o la g a n ju iz b o r iz m e d u d ir e kt n ih i in d ir e kt n ih

u s p o r e d b i. A ko a n a liz ir a n i p r o b le m u klju ´ c u je ko r is t e n je p o d a t a ka o a g r e g a t im a , t a d a s u o b ic n o s a m o ko lic in e

p o d a t a ka r a s p o lo ˇ z ive u o b liku vr e m e n s kih s e r ija . N a d a lje , p o u z d a n o s t in d e ks a o vis i o r a z n o vr s n o s t i p r o m a -

t r a n ih p r o m je n a c ije n a i ko lic in a r a z lic it ih d o b a r a . Iz perspektive teorije, iz b o r iz m e d u d ir e kt n ih i in d ir e kt n ih

ko lic in a ( in p u t a ili o u t p u t a ) t r e b a s e z a s n iva t i n a p r e t p o s t a vka m a p o n a ˇ s a n ja p o d u z e ´ c a .

8.3 Aksiomatski pr istup za konstr uir anje indeksnih br ojeva –

svojstva indeksnih br ojeva

A ks io m a t s ki p r is t u p z a ko n s t r u ir a n je in d e ks n ih b r o je va u t vr d u je s vo js t va in d e ks n ih b r o je va u o b liku

a ks io m a , t e z a t im p r o n a la z i in d e ks n e b r o je ve ko ji z a d o vo lja va ju u t vr d e n e a ks io m e . N e ka Pst iQst p r e d s t a vlja ju

in d e ks e c ije n a i ko lic in a , a ps, pt, qs, qt ∈ Mm1 ve kt o r e c ije n a i ko lic in a m d o b a r a r a z m a t r a n ih u b a z n o m i

t r e n u t n o m p e r io d u . Najcesce koristeni aksiomi [9 ] su:

1 . in d e ks i c ije n a ( ko lic in a ) m o r a ju b it i pozitivni

2 . in d e ks i c ije n a ( ko lic in a ) s u neprekidne fu n kc ije c ije n a ( ko lic in a ) s va ko g d o b r a

3 . in d e ks i c ije n a ( ko lic in a ) s u homogene fu n kc ije s t u p n ja 1 u c ije n a m a ( ko lic in a m a ) s vih d o b a r a

4 . in d e ks i c ije n a ( ko lic in a ) s u n e o vis n i o u p o t r e b lje n im je d in ic a m a m je r e

5 . z a in d e ks c ije n a vr ije d i s vo js t vo in ve r z ije vr e m e n a : Pst · Pts = 1

6 . in d e ks c ije n a ( ko lic in a ) m o r a p o p r im a t i vr ije d n o s t iz m e d u m in im u m a i m a ks im u m a p r o m je n e r a z in e

p o je d in a ˇ c n ih d o b a r a

7 . is t a fo r m u la s e ko r is t i z a d ir e kt n e in d e ks e c ije n a i ko lic in a , a u m n o ˇ z a k r e z u lt ir a ju ´ c ih in d e ks a je je d n a k

in d e ks u vr ije d n o s t i

8 1

8 . vr ije d i s vo js t vo t r a n z it ivn o s t i kr o z vr ije m e , t j. Ist = Isr · Irt

T eor em 3. F isherov indeks zadovoljava aksiome od 1. do 7.

T eor em 4. Tornqvistov indeks zadovoljava aksiome od 1. do 6.

R e z u lt a t i p r e t h o d n a d va t e o r e m a s u ve o m a ko r is n i. N jih o vi d o ka z i s u m a t e m a t ic ki vr lo z a h t je vn i, p a

s m o ih s t o g a , d a s e n e b is m o u d a ljili o d b it i, iz o s t a vili iz o vo g s a ˇ z e t ka . D o ka z t e o r e m a 1 . s e m o ˇ z e p r o n a ´ c i u

ˇ c la n ku [6 6 ], d o ka z t e o r e m a 2 . s e m o ˇ z e p r o n a ´ c i u ˇ c la n ku [7 4 ].

S a d a m o ˇ z e m o iz ve s t i, z a u s p o r e d iva n je p r o m je n e r a z in e c ije n a , ko lic in a i p r o d u kt ivn o s t i t ije ko m vr e m e n a ,

o p e r a t ivn o u p o t r e b ljive in d e ks n e b r o je ve . A n a lit ic a r e o b ic n o z a n im a u s p o r e d iva n je p r o m je n e p r o d u kt ivn o s t i

s va ke g o d in e u o d n o s u n a p r e t h o d n u , a ko m b in ir a n je t a kvih p r o m je n a p r o d u kt ivn o s t i o m o g u ´ c a va m je r e n je

p r o m je n e p r o d u kt ivn o s t i kr o z d a n i p e r io d . In d e ks ko n s t r u ir a n ko r is t e n je m t e p r o c e d u r e n a z iva m o lancani

indeks. Fo r m a ln o , n e ka I ( t, t + 1 ) d e fi n ir a in d e ks p e r io d a t + 1 s a b a z n im p e r io d o m t. In d e ks m o ˇ z e m o

p r im je n it i n a vr e m e n s ku s e r iju t = 0 , 1 , . . . , T. Ta d a s e u s p o r e d b a iz m e d u p e r io d a t i b a z n o g p e r io d a 0 m o ˇ z e

n a p r a vit i ko r is t e ´ c i la n ˇ c a n i in d e ks I ( 0 , t) =t−1∏

i=0

I ( i, i + 1 ) . R e z u lt ir a ju ´ c i in d e ks je u t e o r iji in d e ks n ih b r o je va

p o z n a t ka o indeks s fiksnom bazom. A lt e r n a t ivn o je m o g u ´ c e u s p o r e d iva t i p e r io d e 0 i t ko r is t e ´ c i b ilo ko ju

fo r m u lu o d r a n ije . Iz b o r fo r m u le n a jc e ˇ s ´ c e s e s vo d i n a iz b o r iz m e d u Fis h e r o vo g i To r n qvis t o vo g in d e ks a . A ko

s u in d e ks i iz r a ˇ c u n a t i z a p e r io d e ko ji n is u d a le ko , r a z lika vr ije d n o s t i Fis h e r o vo g i To r n qvis t o vo g in d e ks a m o ˇ z e

b it i s a s vim m a la . N a d a lje , o b a in d e ks a im a ju va ˇ z n a t e o r ijs ka s vo js t va . D o k je u p r a ks i To r n qvis t o v in d e ks

ˇ c e ˇ s ´ c e ko r is t e n , ko r is t n je Fis h e r o vo g in d e ks a m o ˇ z e s e p r e p o r u ˇ c it i z b o g s vo js t va s a m o d u a ln o s t i i s p o s o b n o s t i

u klju ˇ c iva n ja n u la u p o d a t ke . Ta ko d e r , p r e m a ˇ c la n ku [6 6 ], Fis h e r o v in d e ks z a d o vo lja va vis e p o ˇ z e ljn ih s vo js t a va

o d To r n qvis t o vo g in d e ks a , ka o i n e ka ko ja je ˇ c la n a k [9 ] iz o s t a vio .

P r o m o t r im o p r o b le m o d r e d iva n ja in d e ks a c ije n a i ko lic in a u d a n o j t o ˇ c ki vr e m e n a . Ta j p r o b le m p o -

ja vlju je s e ka d a n a s in t e r e s ir a ju u s p o r e d b e r a z in a o u t p u t a , in p u t a i p r o d u kt ivn o s t i z e m a lja , r e g ija , p o d u z e ´ c a ,

p o s t r o je n ja , it d . P r e t p o s t a vim o d a s m o o d r e d ili m a t r ic u I = ( Ist ) ∈Mn, p r i ˇ c e m u je Ist in d e ks p a r a p o d u z e ´ c a

( s, t) , s, t = 1 , 2 , . . . , n. E le m e n t i m a t r ic e I s u r e la t ivn e u s p o r e d b e s va ka d va o d p r o m a t r a n ih n p o d u z e ´ c a . Za

e le m e n t e m a t r ic e I z a h t je va m o s vo js t vo t r a n z it ivn o s t i, t j. Ist = Isr · Irt .

Za ko n ve r t ir a n je n e t r a n z it ivn o g To r n qvis t o vo g in d e ks a ITst u t r a n z it ivn i CCD in d e ks , ˇ c la n a k [3 8 ] is ko r is t io

je EKS m e t o d u [7 5 ] i [1 9 5 ] . N ju u o vo m p r e g le d u n e ´ c e m o d e t a ljn o o b r a d it i. D e t a ljn a o b r a d a m e t o d e s e m o ˇ z e

p r o n a ´ c i u ˇ c la n ku [1 7 9 ] . Tr a n z it ivn i CCD in d e ks d e fi n ir a n je fo r m u lo m

ICCDst =

n∏

r=1

(ITsrI

Trt

)1/n. ( 1 0 9 )

8 2

L o g a r it m ir a n je m iz r a z a ( 1 0 9 ) d o b iva m o

ln QCCDst =

1

n

n∑

r=1

[ln QT

sr + ln QTrt

], ( 1 1 0 )

o d n o s n o

ln QCCDst =

1

2

m∑

i=1

( wit + wi ) ( ln qit − ln qi ) −1

2

m∑

i=1

( wis + wi ) ( ln qis − ln qi ) , ( 1 1 1 )

g d je je

wi =1

n

n∑

j=1

wij i ln qi =1

n

n∑

j=1

ln qij . ( 1 1 2 )

D a kle , u s p o r e d iva n je d va ju p o d u z e ´ c a d o b iva m o u s p o r e d iva n je m s va ko g p o d u z e ´ c a s a ” p r o s je ˇ c n im p o d u z e ´ c e m ” ,

a z a t im u s p o r e d iva n je m o d s t u p a n ja s o b z ir o m n a ” p r o s je ˇ c n o p o d u z e ´ c e ” .

P r e t p o s t a vim o d a r a d im o s a Fis h e r o vim in d e ks im a ko lic in a o u t p u t a p o d u z e ´ c a . N e ka QFst p r e d s t a vlja

Fis h e r o v in d e ks p o d u z e ´ c a t s a p o d u z e ´ c e m s ka o b a z n im . Oc it o je d a in d e ks i QFst, s, t = 1 , 2 , . . . , n n e z a d o vo l-

ja va ju s vo js t vo t r a n z it ivn o s t i. P r im je n a EKS p r o c e d u r e d a je t r a n z it iva n Fis h e r o v in d e ks

QF−EKSst =

n∏

r=1

(QF

srQFrt

)1/n. ( 1 1 3 )

Op e r a t ivn a p r e d n o s t t r a n z it ivn ih in d e ks a je u t o m e ˇ s t o d o d a va n je p o d u z e ´ c a u u z o r a k n e z a h t je va p r e r a ˇ c u n a va n je

s vih r a n ije iz r a ˇ c u n a t ih in d e ks a .

8.4 M jer enje ukupne pr oduktivnosti faktor a

In d e ks i u ku p n e p r o d u kt ivn o s t i fa kt o r a ( TFP in d e ks i) m je r e p r o m je n u u ku p n o g o u t p u t a r e la t ivn o p r e m a

p r o m je n i ko r is t e n ja s vih o d a b r a n ih in p u t a . TFP in d e ks i s e m o g u p r im je n it i u s it u a c iji u ko jo j ˇ z e lim o u s p o r e d it i

is t u je d in ic u u d va vr e m e n s ka p e r io d a ili d vije je d in ic e u is t o m p e r io d u , ili ih m o ˇ z e m o p r im je n it i u s it u a c iji

g d je s e TFP in d e ks i iz r a ˇ c u n a va ju z a u s p o r e d b u vis e je d in ic a u p r o m a t r a n o m vr e m e n s ko m p e r io d u .

TFP indeks z a d va vr e m e n s ka p e r io d a s i t d e fi n ir a m o s a

ln TFPst = lnOu t p u t In d e ks stIn p u t In d e ks st

= ln Ou t p u t In d e ks st − ln In p u t In d e ks st , ( 1 1 4 )

g d je s e input i output indeksi racunaju koristenjem bilo koje ranije navedene formule.

N e ka y-i i x-o vi p r e d s t a vlja ju ko lic in e o u t p u t a i in p u t a , w-o vi i ν-o vi n e ka p r e d s t a vlja ju u d je le vr ije d n o s t i

o u t p u t a i in p u t a , in d e ks i s i t n e ka p r e d s t a vlja ju p o d u z e ´ c a ili vr e m e n s ke p e r io d e , i n e ka s e ko r is t i z a o z n a ˇ c a va n je

i-t o g o u t p u t a , a j z a o z n a ˇ c a va n je j-t o g in p u t a .

Tornqvistov TFP indeks z a m in p u t a i M o u t p u t a je d e fi n ir a n s a

ln TFPst =1

2

M∑

i=1

( wis + wit ) ( ln yit − ln yis ) −1

2

m∑

j=1

( νjs + νjt ) ( ln xjt − ln xjs ) . ( 1 1 5 )

8 3

A n a lo g n im r a z m a t r a n je m m o ˇ z e m o iz ve s t i i n p r . Fis h e r o v TFP in d e ks .

P r im je n ju ju ´ c i fo r m u lu z a ln QCCDst d o b iva m o tranzitivni TFP indeks

ln TPF ∗st =

[1

2

M∑

i=1

( wit + wi ) ( ln yit − ln yi ) −1

2

M∑

i=1

( wis + wi ) ( ln yis − ln yi )]

−[1

2

m∑

j=1

( νjt + νj ) ( ln xjt − ln xj ) −1

2

m∑

j=1

( νjs + νj ) ( ln xjs − ln xj )] ( 1 1 6 )

g d je je wi = a r it m e t ic ka s r e d in a u d je la o u t p u t a

νi = a r it m e t ic ka s r e d in a u d je la in p u t a

n = u ku p a n b r o j p o d u z e ´ c a ili vr e m e n s kih p e r io d a

ln yi =1

n

n∑

k=1

ln yik

ln xj =1

n

n∑

k=1

ln xjk .

A lt e r n a t ivn e TFP fo r m u le m o ˇ z e m o d e fi n ir a t i ko r is t e n je m t r a n z it ivn ih in d e ks a o u t p u t a i in p u t a u o p ´ c e m

m u lt ila t e r a ln o m TFP in d e ks u d a n o m s a

TFP ∗st =

Tr a n z it ivn i in d e ks o u t p u t a

Tr a n z it ivn i in d e ks in p u t a. ( 1 1 7 )

Za z a klju ˇ c a k p o ku ˇ s a jm o o d g o vo r it i n a p it a n je ˇ s t o t o ˇ c n o TFP in d e ks m je r i. D ugorocna interpretacija TFP

indeksa je mjera tehnoloske promjene ili progresa koji se dogodio tijekom vremena.

8.5 I ndeksni br ojevi izvedeni iz ekonomske teor ije

P r o m o t r im o o p ´ c e n it i s lu ˇ c a j o s t va r iva n ja m o u t p u t a ko r is t e n je m k in p u t a , t e p r ivr e m e n o u ve d im o s lje d e ´ c e

o z n a ke :

pit = c ije n a i-t o g o u t p u t a u vr e m e n s ko m p e r io d u t

yit = ko lic in a i-t o g o u t p u t a u vr e m e n s ko m p e r io d u t

wjt = c ije n a j-t o g in p u t a u vr e m e n s ko m p e r io d u t

xjt = ko lic in a j-t o g in p u t a u vr e m e n s ko m p e r io d u t

pt = ( pit ) ∈ M1m

wt = ( wjt ) ∈M1k

yt = ( yit ) ∈Mm1

xt = ( xjt ) ∈Mk1

St je p r o iz vo d n a t e h n o lo g ija u vr e m e n s ko m p e r io d u t

Lt ( y ) = x | ( x, y ) ∈ St , ∀y, s u s ku p o vi in p u t a i

P t ( x) = y | ( x, y ) ∈ St , ∀x, s u s ku p o vi o u t p u t a .

( 1 1 8 )

8 4

N a d a lje , p r e t p o s t a vim o d a s u s va p r o m a t r a n a p o d u z e ´ c a t e h n ic ki i a lo ka t ivn o e fi ka s n a u vr e m e n s kim p e r io d im a

s i t. Fu n kc iju m a ks im a ln o g o s t va r ivo g p r ih o d a u vr e m e n s ko m p e r io d u t d e fi n ir a m o s a

Rt ( p, x ) = m a xy py | ( x, y ) ∈ St . ( 1 1 9 )

Ta d a je indeks cijena outputa b a z ir a n n a t e h n o lo g iji p e r io d a t d e fi n ir a n s a

P tO ( ps, pt, x) =

Rt ( pt, x )

Rt ( ps, x), ( 1 2 0 )

a indeks cijena outputa b a z ir a n n a t e h n o lo g iji p e r io d a s je d e fi n ir a n s a

P sO ( ps, pt, x ) =

Rs ( pt, x)

Rs ( ps, x ). ( 1 2 1 )

T eor em 5. P od pretpostavkom optimalnog ponasanja (alokativne i tehnicke efikasnosti) poduzeca i uvjeta

regularnosti proizvodne tehnologije, vrijedi

(1) PLst ≤ P s

O ( ps, pt, xs ) i PPst ≥ P t

O ( ps, pt, xs )

(2) [P tO ( ps, pt, xs ) P

sO ( ps, pt, xs ) ]

12 ≃ P F

st56

(3) Ako je pretpostavljena translog funkcija prihoda

ln Rt ( x, p) = α0t +k∑

i=1

αit ln xi +m∑

j=1

βit ln pj +1

2

k∑

i=1

k∑

j=1

αijt ln xi ln xj+

+1

2

m∑

i=1

m∑

j=1

βijt ln pi ln pj +1

2

k∑

i=1

m∑

j=1

γijt ln xi ln pj ,

pri cemu je

αijt = αjit, αijs = αijt, βijt = βjit, βijs = βijt, γijt = γjit i γijs = γijt,

tada je[P sO ( ps, pt, xs ) P

tO ( ps, pt, xt )

] 12 ≃ P T

st .

A n a lo g n o m o ˇ z e m o d e fi n ir a t i fu n kc iju n a jm a n jih p o t r e b n ih t r o ˇ s ko va u vr e m e n s ko m p e r io d u t s a

Ct ( w, y ) = m inx

wx | ( x, y ) ∈ St

. ( 1 2 2 )

Ta d a je indeks cijena inputa b a z ir a n n a t e h n o lo g iji p e r io d a j, j ∈ s, t, d e fi n ir a n s a

P jI ( ws, wt, y ) =

Cj ( wt, y )

Cj ( ws, y ). ( 1 2 3 )

Za n je g a vr ije d e is t i r e z u lt a t i ka o z a n je g o v o u t p u t a n a lo g o n .

56znak ≃ predstavlja razumnu aproksimaciju

8 5

F isher-Shell indeks [9 1 ] ko lic in a o u t p u t a u vr e m e n s ko m p e r io d u t d o b ive n m e t o d o m d e fl a c ije je d e fi n ir a n

fo r m u lo m

QOt ( ps, pt, xt, ys, yt ) =

VstP tO ( ps, pt, xt )

. ( 1 2 4 )

Za m je r e n je p r o m je n e r a z in e o u t p u t a s e ko r is t i i Samuelson-Swamy indeks [1 8 3 ] d e fi n ir a n fo r m u lo m

QOSS ( xs, xt, p) =

Rt ( p, xt )

Rs ( p, xs )=Rt ( p, xt )

Rs ( p, xt )· R

s ( p, xt )

Rs ( p, xs ). ( 1 2 5 )

P r vi kvo c ije n t im a in t e r p r e t a c iju m je r e t e h n o lo ˇ s ke p r o m je n e , a d r u g i m je r e p r o m je n e o u t p u t a iz p r o m je n e

p r ih o d a , a s o b z ir o m n a p r o m je n u ko r is t e n ih in p u t a i t e h n o lo g iju b a z n o g p e r io d a .

Output funkcija udaljenosti u vr e m e n s ko m p e r io d u t je fu n kc ija [1 9 0 ]

DOt ( y, x) = m in µ | y/µ ∈ P t ( x) . ( 1 2 6 )

M almquistov output indeks [3 7 ] ili indeks promjena kolicina outputa b a z ir a n n a t e h n o lo g iji u vr e m e n s ko m

p e r io d u j ∈ s, t i o u t p u t fu n kc iji u d a lje n o s t i ( 1 2 6 ) je d e fi n ir a n s a

QOj ( ys, yt, x) =

DOj ( yt, x)

DOj ( ys, x )

. ( 1 2 7 )

T eor em 6. M almquistov output indeks zadovoljava svojstvo

QOt ( ys, λys, x) = λ ,

koje ne vrijedi za F isher-Shell i Samuelson-Swamy indeks.

T eor em 7. Ako su funkcije udaljenosti u periodima s i t reprezentirane translog funkcijom sa jednakim

parametrima drugog reda i ako je zadovoljena pretpostavka alokativne i tehnicke efikasnosti, tada je

[QO

s ( ys, yt, xs ) ·QOt ( ys, yt, xt )

]1/2= Tornquistov indeks kolicina outputa .

Input funkcija udaljenosti je fu n kc ija

DI ( y, x ) = m a x λ | x/λ ∈ L( y ) . ( 1 2 8 )

M almquistov input indeks [3 7 ] ili indeks promjena kolicina inputa b a z ir a n n a t e h n o lo g iji u vr e m e n s ko m

p e r io d u j ∈ s, t i in p u t fu n kc iji u d a lje n o s t i ( 1 2 8 ) je d e fi n ir a n s a

QIj ( xs, xt, y ) =

DIj ( y, xt )

DIj ( y, xs )

. ( 1 2 9 )

T eor em 8. Ako su funkcije udaljenosti u periodima s i t reprezentirane translog funkcijom sa jednakim

parametrima drugog reda i ako je zadovoljena pretpostavka alokativne i tehnicke efikasnosti, tada je

[QI

s ( xs, xt, y ) ·QIt ( xs, xt, y )

]1/2= Tornquistov indeks kolicina inputa .

8 6

8.6 I ndeksni br ojevi za mjer enje pr oduktivnosti

Hicks-M oorsteen indeks produktivnosti, u ve d e n u ˇ c la n ku [2 4 ], a in s p ir ir a n r a d o vim a [1 1 6 ] i [1 6 6 ] , z a

t e h n o lo g iju vr e m e n s ko g p e r io d a t je d e fi n ir a n s a

HM t ( xt, yt, xs, ys ) =QO

t ( ys, yt, xt )

QIt ( xs, xt, yt )

. ( 1 3 0 )

On z a d o vo lja va s vo js t vo

[HM t ( ·) HM s ( · )

]1/2=Fis h e r Ou t p u t In d e ks

Fis h e r In p u t In d e ks=To r n qu is t Ou t p u t In d e ks

To r n qu is t In p u t In d e ks.

M almquistov (output-orjentirani) indeks produktivnosti [3 7 ] b a z ir a n n a t e h n o lo g iji p e r io d a j, j ∈ s, t jed e fi n ir a n s a

MOj ( ys, yt, xs, xt ) =

DOj ( yt, xt )

DOj ( ys, xs )

. ( 1 3 1 )

T eor em 9. Ako su M almquistove output funkcije udaljenosti u periodima s i t reprezentirane translog funkci-

jom sa jednakim parametrima drugog reda i ako je zadovoljena pretpostavka alokativne i tehnicke efikasnosti,

tada je

MO ( ys, yt, xs, xt ) =[MO

t ( ys, yt, xs, xt ) ·MOs ( ys, yt, xs, xt )

]1/2=

=Tornquist Output Indeks

Tornquist Input Indeks·

k∏

i=1

(xitxis

) 12[wit(1−εt)+wis(1−εs)]

,

a εt i εs su lokalni prinosi obzirom na opseg djelovanja u periodima s i t.

M almquistov (input-orjentirani) indeks produktivnosti [3 7 ] b a z ir a n n a t e h n o lo g iji p e r io d a j, j ∈ s, t jed e fi n ir a n s a

MIj ( ys, yt, xs, xt ) =

DIj ( yt, xt )

DIj ( ys, xs )

. ( 1 3 2 )

T eor em 10. Ako su M almquistove input funkcije udaljenosti u periodima s i t reprezentirane translog funkci-

jom sa jednakim parametrima drugog reda i ako je zadovoljena pretpostavka alokativne i tehnicke efikasnosti,

tada je

MI ( ys, yt, xs, xt ) =[MI

t ( ys, yt, xs, xt ) ·MIs ( ys, yt, xs, xt )

]1/2=

=Tornquist Output Indeks

Tornquist Input Indeks·

m∏

j=1

(yjtyjs

) 12ν∗j

,

gdje je

ν∗j =[( εs )

−1 − 1]νjs +

[( εt )

−1 − 1]νjt ,

a εt i εs su lokalni prinosi obzirom na opseg djelovanja u periodima s i t.

8 7

P o d p r e t p o s t a vka m a u p r e t h o d n a d va t e o r e m a , M almquistov indeks produktivnosti mozemo interpretirati

kao mjeru ciste tehnoloske promjene.

A ko je p o d u z e ´ c e u p e r io d im a s i t t e h n ic ki e fi ka s n o , t a d a vr ije d i

DOj ( yj, xj ) = 1 , j ∈ s, t .

Me d u t im , r e a lis t ic n ije je p r e t p o s t a vit i p r is u t n o s t t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i, t j.

DOj ( yj , xj ) ≤ 1 , j ∈ s, t .

Ta d a s e Ma lm qu is t o v ( o u t p u t -o r je n t ir a n i) in d e ks p r o d u kt ivn o s t i ( MPI ) m o ˇ z e d e ko m p o n ir a t i [8 6 ] u u m n o ˇ z a k

MO ( ys, yt, xs, xt ) =DO

t ( yt, xt )

DOs ( ys, xs )

·[DO

s ( yt, xt )

DOt ( yt, xt )

· DOs ( ys, xs )

DOt ( ys, xs )

]1/2,

g d je o m je r is p r e d u g la t e z a g r a d e m je r i p r o m je n u o u t p u t -o r je n t ir a n e m je r e Fa r r e llo ve t e h n ic ke e fi ka s n o s t i

iz m e d u vr e m e n s kih p e r io d a s i t, a g e o m e t r ijs ka s r e d in a d va ju o m je r a u n u t a r z a g r a d a m je r i t e h n o lo lo ˇ s ku

p r o m je n u iz m e d u vr e m e n s kih p e r io d a s i t. D a kle , m o ˇ z e m o z a p is a t i

MPI = P r o m je n a e fi ka s n o s t i · Te h n o lo ˇ s ka p r o m je n a ,

g d je je

MPI = MO ( ys, yt, xs, xt )

P r o m je n a e fi ka s n o s t i =DO

t ( yt, xt )

DOs ( ys, xs )

Te h n o lo ˇ s ka p r o m je n a =

[DO

s ( yt, xt )

DOt ( yt, xt )

· DOs ( ys, xs )

DOt ( ys, xs )

]1/2.

MPI o p ´ c e n it o n ije t r a n z it iva n , t j. vr ije d i

MPI ( t, t+ 2 ) =MPI ( t, t+ 1 ) ·MPI ( t+ 1 , t+ 2 ) .

Ce s t i s u s lu ˇ c a je vi ka d a p o d u z e ´ c e o p t im iz ir a p o s lo va n je p o d z a d a n im o g r a n ic e n jim a . N a p r im je r , p o d u z e ´ c e

ˇ z e li m a ks im iz ir a t i p r ih o d s o b z ir o m n a o g r a n ic e n je d a t r o ˇ s ko vi ko r is t e n ih in p u t a m o r a ju b it i is p o d r a z in e

o d o b r e n o g kr e d it a . U t a kvim s lu ˇ c a je vim a , p o n a ˇ s a n je p o d u z e ´ c a s e m o d e lir a ko r is t e n je m troskovno-indirektne

funkcije prihoda. Ta ko d e r je m o g u ´ c e m o d e lir a t i p o d u z e ´ c a ko je m in im iz ir a ju t r o ˇ s ko ve in p u t a u z u vije t d a

m o r a ju o s t va r it i m in im a ln i p r o p is a n i p r ih o d . R e z u lt ir a ju ´ c a fu n kc ija t r o ˇ s ko va n a jc e ˇ s ´ c e s e n a z iva prihodovno-

indirektna funkcija troskova. D a kle , ako promatrano poduzece djeluje pod ogranicenjima, razumno je izvesti

promjene kolicina indirektnom metodom deflacije vrijednosti indeksima cijena.

N a jve ´ c a p r e d n o s t in d e ks n o g p r is t u p a je d a s u je d in i z a h t je va n i p o d a c i c ije n e i ko lic in e d o b a r a z a d va

vr e m e n s ka p e r io d a ili d va p o d u z e ´ c a . U p r a ks i n a jc e ˇ s ´ c e ˇ c a k n ije n i p o t r e b n o r a s p o la g a t i p o d a c im a o c ije n a m a

d o b a r a .

8 8

P r imjer 2. P r istizu li (jos uvijek) u dionicke fondove novi ulozi? Koliko je r ast neto imovine

dionickih fondova uzr okovan ostvar enim pr inosom, a koliko pr iljevom novih sr edstava?

Neto imovina dionickih fondova s javnom ponudom je tijekom svibnja narasla za 1 2 , 5 8 posto. Indeks

vrijednosti udjela u dionickim fondovima s javnom ponudom F isherovog tipa (teorija indeksnih brojeva sugerira

da je za indeks investicijskih fondova najbolje koristiti tranzitivan F isherov indeks) je tijekom svibnja pokazao

rast vrijednosti udjela od 2 , 6 6 posto. Iz ovog je lako zakljuciti da se sve vise ulagaca odlucuje dio svoje,

teskom mukom stecene, dugogodisnje stednje indirektno uloziti na trziste kapitala kupovinom udjela u dionickim

fondovima. P ri tome, prema misljenju autora osvrta, ve ´ c in a n o vih u d je lic a r a u H r va t s ko j ku p u je u d je le u

d io n ic kim fo n d o vim a d o k n jih o va vr ije d n o s t r a s t e , ne vodeci racuna ni o tome da ce mozda upravo njihov ulog

uzrokovati daljnji rast vrijednosti kupljenih udjela ni o tome da su ocekivanja sudionika izrazito spekulativnih

trzista kapitala jugoistocne E urope mozda vec ugradena u cijenu dionica, te da zbog toga ulaganje na trziste

kapitala moze rezultirati znacajnim gubitkom za ulagaca. Na rizik ulaganja u domace dionicke fondove je

upozorio trenutni pad indeksa vrijednosti udjela u svim dionickim fondovima s javnom ponudom L aspeyresovog

tipa (primjer takvog indeksa za dionice je, na primjer, CR OB E X) koji je izmedu 18. svibnja i 17. lipnja

izgubio na vrijednosti 1 , 5 0 posto. Tijekom posljednjih mjesec dana, najveci gubitnici su bili Capital Two

(−3 , 2 5 posto), E rste AE (− 3 , 1 4 posto), P B Z E quity (− 3 , 1 1 posto) i HI Growth (−1 , 7 1 posto). P romatrano

ekonomski, n a ko n b la g e ko r e kc ije vr ije d n o s t i u d je la , n a ve d e n i d io n ic ki fo n d o vi s u z a n o ve u la g a ˇ c e je ft in iji

d a n a s n e g o ˇ s t o s u b ili p r ije m je s e c d a n a . D a bismo odgovorili kako ulagaci u fondove reagiraju na opisanu

blagu korekciju, moramo pricekati statisticka izvjesca HANF A-e za mjesec lipanj.

P r imjer 3. Kor ekcija ner ealnih ocekivanja Indeks vrijednosti udjela u dionickim fondovima s javnom

ponudom L aspeyresovog tipa je tijekom lipnja pokazao rast vrijednosti udjela od 0 , 2 1 posto. Zbog toga ne

moemo govoriti o korekciji koja je tijekom lipnja pogodila dionicke fondove. M ozemo govoriti samo o korekciji

nerealnih ocekivanja pohlepnih spekulanata, korekciji koja je zasigurno dobrodosla. L ipanj je ukazao da je

razdoblje eksplozivnog rasta domaeg trzista kapitala napokon zavrsilo, te na zacudujucu zrelost upravitelja

investicijskim fondovima. Hoce li vrijednost udjela u dionickim fondovima i koliko ce rasti tijekom srpnja

je nezahvalno prognozirati. Sve dok je ponuda vlasnickih vrijednosnih papira na domacem trzistu kapitala

znacajno ispod potraznje te dok novi ulozi u dionicke fondove svakodnevno pristizu, znacajnu korekciju nije

racionalno ocekivati.

P r imjer 4. N ovi ulagaci u dionicke fondove pr istizali su i tijekom lipanjske ”blage kor ekcije” Neto

imovina dionickih fondova s javnom ponudom tijekom lipnja je narasla za 1 , 9 4 posto. Indeks vrijednosti udjela

u dionickim fondovima s javnom ponudom F isherova tipa (teorija indeksnih brojeva sugerira da je za indeks

investicijskih fondova najbolje koristiti tranzitivan F isherov indeks) tijekom lipnja je pokazao rast vrijednosti

8 9

udjela od 0 , 3 2 posto. Iz toga mozemo zakljuciti da su novi ulagaci u dionicke fondove pristizali i tijekom

lipanjske ”blage korekcije” 3 0 najlikvidnijih dionica na Zagrebackoj burzi. Naime, CR OB E X je tijekom lipnja

izgubio na vrijednosti cak za 2 , 8 4 posto.

P r imjer 5. Dionicki fondovi tijekom lipnja povecali izlozenost dionicama P odaci Hrvatske agencije

za nadzor financijskih usluga o strukturi imovine investicijskih fondova za mjesec lipanj su demantirali nedavna

nagaanja poslovnih dnevnih novina da zbog korekcije na domacem trzistu kapitala dionicki fondovi bjeze u si-

gurnost banaka. Udjel depozita u vrijednosnim papirima i depozitima dionickih fondova se smanjio sa 1 9 , 0 7 na

1 6 , 9 0 posto, dok se izlozenost domacim dionicama povecala sa 3 3 , 8 1 na 3 4 , 1 9 posto, a izlozenost inozemnim

dionicama sa 3 6 , 0 4 na 3 8 , 8 0 posto. D rugim rijecima, vjerojatno je da su upravitelji dionickih fondova mudro

iskoristili blagu korekciju na trzistu kapitala da bi jeftinije dokupili dionice iz svog portfelja. O zrelosti up-

ravitelja fondovima dodatno svjedoci cinjenica da je indeks vrijednosti udjela u dionickim fondovima s javnom

ponudom L aspeyresova tipa tijekom lipnja pokazao rast vrijednosti udjela od 0 , 2 1 posto, dok je CR OB E X kao

indeks likvidnih dionica na Zagrebackoj burzi L aspeyresova tipa tijekom lipnja izgubio na vrijednosti 2 , 8 4 posto.

9 M odeli za mjer enje efikasnosti metodom stohastickih gr anica

9.1 Uvod

V e ´ c in a u d ˇ z b e n ika [5 2 ], [1 1 5 ], [1 8 5 ], [2 0 3 ] iz p r o iz vo d n e e ko n o m ije p r e t p o s t a vlja d a s vi p r o iz vo d a ˇ c i

u s p je ˇ s n o o p t im iz ir a ju s vo je p o s lo va n je . On i p r o iz vo d e m a ks im a ln u ko lic in u o u t p u t a ko ju im d o p u ˇ s t a ju

r a s p o lo ˇ z iva t e h n o lo g ija i r a s p o lo ˇ z ivi in p u t i, t e m in im a liz ir a ju t r o ˇ s ko ve p r o iz vo d n je m a ko je o u t p u t e o d lu ˇ c ili

p r o iz vo d it i, z a d a n u r a s p o lo ˇ z ivu t e h n o lo g iju i c ije n e in p u t a s a ko jim a s e s u o ˇ c a va ju ( p r e t p o s t a vka je s a vr ˇ s e n a

ko n ku r e n c ija n a t r ˇ z is t u in p u t a , t j. p o d u z e ´ c a p r ih va ´ c a ju t r ˇ z is n e c ije n e in p u t a ) . P o t r a ˇ z n ja z a in p u t im a ko ja

m in im a liz ir a t r o ˇ s ko ve iz ve d e n a je iz fu n kc ije m in im a ln ih t r o ˇ s ko va , ko r is t e n je m S h e p a r d o ve le m e . On i t a ko d je r

m a ks im a liz ir a ju d o b it , z a d a n u t e h n o lo g iju i c ije n e in p u t a s a ko jim a s e s u o ˇ c a va ju . P o n u d a o u t p u t a i p o t r a ˇ z n ja

z a in p u t im a ko je m a ks im a liz ir a ju d o b it iz ve d e n e s u iz fu n kc ije m a ks im a ln e d o b it i, ko r is t e n je m H o t e llin g o ve

le m e .

Tr a d ic io n a ln a p r im ije n je n a e ko n o m e t r ija ko r is t ila je r a z lic it e va r ija c ije m e t o d e n a jm a n jih kva d r a t a z a

p r o c je n u p a r a m e t a r a fu n kc ija p r o iz vo d n je , t r o ˇ s ko va i d o b it i. Me d u t im , e m p ir ija je p o t vr d ila h ip o t e z u d a

m n o g i p r o iz vo d a ˇ c i, u s p r ko s s vo jim n a s t o ja n jim a , n e u s p ije va ju d a o p t im iz ir a ju p r o iz vo d n ju . Zb o g t o g a je

b ilo p o ˇ z e ljn o r a z vit i t e o r iju p o n a ˇ s a n ja p r o iz vo d a ˇ c a u ko jo j je m o t iva c ija n e p r o m ije n je n a , a li u ko jo j u s p je h

n ije z a g a r a n t ir a n . Ta ko d e r je b ilo p o t r e b n o m o d ifi c ir a t i e ko n o m e t r ijs ke t e h n ike z a p r o c je n u ve z a iz m e d u

9 0

p r o iz vo d n je , t r o ˇ s ko va i d o b it i, t a ko d a d o p u ˇ s t a ju n e u s p je h p o d u z e ´ c a u p o ku ˇ s a ju d a o p t im iz ir a ju s vo je p o s lo -

va n je . K o n a ˇ c n o , u m o d ifi c ir a n o m p r is t u p u b ilo je p o ˇ z e ljn o d o p u s t it i n e kim p r o iz vo d a ˇ c im a d a b u d u r e la t ivn o

u s p je ˇ s n iji o d d r u g ih . Ta j m o d ifi c ir a n i p r is t u p n a z iva m o analiza stohastickih granica je r s e b a vi p r o c je n o m

g r a n ic a ko je o b a vija ju p o d a t ke , a n e p r o c je n o m fu n kc ija ko je ih p r e s ije c a ju . N a p o m e n im o d a s e p r is t u p n e

b a vi s a m o p r o c je n o m p r o iz vo d n ih g r a n ic a , n e g o i p r o c je n o m g r a n ic a t r o ˇ s ko va i d o b it i. Te p r o c ije n je n e g r a n ic e

s u s t o h a s t ic ke , je r ip a k z a d r ˇ z a va m o t r a d ic io n a ln o u vje r e n je e ko n o m e t r ije d a p r is u t n o s t va n js kih fa kt o r a d o p r i-

n o s i s lu ˇ c a jn im s t o h a s t ic kim o d s t u p a n jim a .

V e ´ c s m o r e kli d a je e ko n o m e t r ija vr lo d u g o ko r is t ila va r ija c ije m e t o d e n a jm a n jih kva d r a t a u ko jim a je

s lu ˇ c a jn a g r e ˇ s ka p o p r e t p o s t a vc i b ila s im e t r ic n o d is t r ib u ir a n a s a o ˇ c e kiva n je m n u la , a je d in i iz vo r o d s t u p a n ja o d

p r o c ije n je n e fu n kc ije p o p r e t p o s t a vc i je b ila s lu ˇ c a jn a g r e ˇ s ka . Ta kva a n a liz a p r e t p o s t a vlja la je d a s vi p r o iz vo d a ˇ c i

u s p je ˇ s n o o p t im iz ir a ju s vo ju p r o iz vo d n ju . Me d u t im , n e u s p ije va ju s vi p r o iz vo d a ˇ c i p r o iz ve s t i p la n ir a n e ko lic in e

o u t p u t a ko r is t e n je m m in im a ln e z a h t ije va n e ko lic in e r a s p o lo ˇ z ivih in p u t a , u z d a n u t e h n o lo g iju . U n a ˇ s e m ˇ z a r g o n u

n is u s vi p r o iz vo d a ˇ c i tehnicki efikasni. P o s lje d ic a je d a n e u s p ije va ju s vi p r o iz vo d a ˇ c i m in im a liz ir a t i t r o ˇ s ko ve

p r o iz vo d n je p la n ir a n e ko lic in e o u t p u t a . D o d a t n o , i a ko s u t e h n ic ki e fi ka s n i, n e u s p ije va ju s vi p r o iz vo d a ˇ c i

a lo c ir a t i s vo je in p u t e t r o ˇ s ko vn o e fi ka s n o s o b z ir o m n a c ije n e in p u t a s a ko jim a s e s u o ˇ c a va ju , a t a kr iva a lo ka c ija

in p u t a d a lje d o p r in o s i n jih o vo m n e u s p je h u d a m in im a liz ir a ju t r o ˇ s ko ve p r o iz vo d n je p la n ir a n e ko lic in e o u t p u t a .

U n a ˇ s e m ˇ z a r g o n u , n is u s vi p r o iz vo d a ˇ c i troskovno efikasni. P o s lje d ic a je d a n e u s p ije va ju s vi p r o iz vo d a ˇ c i

m a ks im a liz ir a t i d o b it iz s vo jih p r o iz vo d n ih a kt ivn o s t i. D o d a t n o , ˇ c a k i a ko s u t r o ˇ s ko vn o e fi ka s n i, n e u s p ije va ju

s vi p r o iz vo d a ˇ c i a lo c ir a t i s vo je o u t p u t e t a ko d a m a ks im a liz ir a ju p r ih o d , z a d a n e c ije n e o u t p u t a s a ko jim a s e

s u o ˇ c a va ju , a t a kr iva a lo ka c ija o u t p u t a u z r o ku je n jih o v n e u s p je h d a m a ks im a liz ir a ju d o b it . U n a ˇ s e m ˇ z a r g o n u ,

n is u s vi p r o iz vo d a ˇ c i profitno efikasni.

P roizvodne granice ka r a kt e r iz ir a ju m in im a ln e ko lic in e in p u t a z a h t ije va n e z a p r o iz vo d n ju r a z lic it ih o u t -

p u t a ili m a ks im a ln e ko lic in e o u t p u t a ko ja s e m o ˇ z e p r o iz ve s t i iz r a z lic it ih ko lic in a in p u t a , u z d a n u t e h n o lo g iju .

P r o iz vo d a ˇ c e ko ji d je lu ju n a s vo jo j p r o iz vo d n o j g r a n ic i n a z iva m o tehnicki efikasnim, a p r o iz vo d a ˇ c e ko ji d je lu ju

is p o d s vo je p r o iz vo d n e g r a n ic e n a z iva m o tehnicki neefikasnim. D u a ln a troskovna granica ka r a kt e r iz ir a m in i-

m a ln e iz d a t ke z a h t ije va n e z a p r o iz vo d n ju d a n ih ko lic in a o u t p u t a , u z d a n e c ije n e in p u t a ko r is t e n ih u p r o iz vo d n ji

i u z d a n u t e h n o lo g iju . P r o iz vo d a ˇ c e ko ji d je lu ju n a s vo jo j t r o ˇ s ko vn o j g r a n ic i n a z iva m o troskovno efikasnim,

a p r o iz vo d a ˇ c e ko ji d je lu ju is p o d s vo je t r o ˇ s ko vn e g r a n ic e n a z iva m o troskovno neefikasnim. S lic n o , d u a ln a pri-

hodovna granica ka r a kt e r iz ir a m a ks im a ln i p r ih o d o s t va r iv iz d a n ih ko lic in a in p u t a , u z d a n e c ije n e p r o iz ve d e n ih

o u t p u t a i d a n u t e h n o lo g iju . P r o iz vo d a ˇ c e ko ji d je lu ju n a s vo jo j p r ih o d o vn o j g r a n ic i n a z iva m o prihodovno efikas-

nim, a p r o iz vo d a ˇ c e ko ji d je lu ju is p o d s vo je p r ih o d o vn e g r a n ic e n a z iva m o prihodovno neefikasnim. K o n a ˇ c n o ,

d u a ln a profitna granica ka r a kt e r iz ir a m a ks im a ln u d o b it o s t va r ivu iz p r o iz vo d n ih a kt ivn o s t i, z a d a n e c ije n e

ko r is t e n ih in p u t a , c ije n e p r o iz ve d e n ih o u t p u t a i d a n u t e h n o lo g iju . P r o iz vo d a ˇ c e ko ji d je lu ju n a s vo jo j p r o fi t n o j

9 1

g r a n ic i n a z iva m o profitno efikasnim, a p r o iz vo d a ˇ c e ko ji d je lu ju is p o d s vo je p r o fi t n e g r a n ic e n a z iva m o profitno

neefikasnim.

A n a liz a s t o h a s t ic kih g r a n ic a b a vi s e u p r a vo e m p ir ijs ko m p r o c je n o m o p is a n ih g r a n ic a . Za r a z liku o d

kla s ic n e e ko n o m e t r ijs ke a n a liz e , s lu ˇ c a jn a g r e ˇ s ka p o ve z a n a s a g r a n ic a m a n e m o ˇ z e b it i s im e t r ic n a i n e m o ˇ z e

im a t i o ˇ c e kiva n je n u la . On a m o r a b it i p o m a kn u t a ( n e g a t ivn o u s lu ˇ c a ju p r o iz vo d n ih , p r ih o d o vn ih i p r o fi t n ih

g r a n ic a i p o z it ivn o u s lu ˇ c a ju t r o ˇ s ko vn ih g r a n ic a ) i m o r a im a t i o ˇ c e kiva n je r a z lic it o o d n u le ( n e g a t ivn o u s lu ˇ c a ju

p r o iz vo d n ih , p r ih o d o vn ih i p r o fi t n ih g r a n ic a i p o z it ivn o u s lu ˇ c a ju t r o ˇ s ko vn ih g r a n ic a ) .

9.2 Osnovni pojmovi teor ije poduzeca

U o vo m p o g la vlju [5 2 ], [1 3 8 ], ´ c e m o p r o u ˇ c a va t i p r o c e s p r o iz vo d n je d o b a r a i u s lu g a o d s t r a n e p r o iz vo d n ih

je d in ic a -p o d u z e ´ c a . P o d u z e ´ c a m o g u b it i ko r p o r a c ije ili le g a ln o p r iz n a t i p o s a o . S ku p p o d u z e ´ c a m o ˇ z e u klju ˇ c iva t i

i n e ke p o t e n c ija ln e p r o iz vo d n e je d in ic e ko je z a p r a vo n ika d a n is u o r g a n iz ir a n e . K a ko ˇ z e lim o ˇ s t o p r ije d o ´ c i d o

m in im a ln o g ko n c e p t u a ln o g a p a r a t a ko ji n a m o m o g u ´ c a va a n a liz u p o n a ˇ s a n ja t r ˇ z is t a , ko n c e n t r ir a t ´ c e m o s e s a m o

n a p it a n je : ” ˇS t o p o d u z e ´ c a m o g u ?” , iz o s t a vlja ju ´ c i m n o g e a s p e kt e n jih o vo g p u n o g o p is a . D r u g im r ije ˇ c im a ,

p o d u z e ´ c a ´ c e m o p r o m a t r a t i ka o ” c r n e ku t ije ” s p o s o b n e d a t r a n s fo r m ir a ju in p u t e u o u t p u t e . P r e t p o s t a vim o d a

p r o iz vo d a ˇ c i ko r is t e n e n e g a t ivn i ve kt o r in p u t a x ∈ Rm+ , d a b i p r o iz ve li n e n e g a t ivn i ve kt o r o u t p u t a y ∈ Rs

+.

Graf p r o iz vo d n e t e h n o lo g ije ,

GR = ( y, x) | x m o ˇ z e p r o iz ve s t i y , ( 1 3 3 )

o p is u je s ku p m o g u ´ c ih in p u t – o u t p u t ve kt o r a .

Skupovi inputa p r o iz vo d n e t e h n o lo g ije ,

L( y ) = x | ( y, x ) ∈ GR , ( 1 3 4 )

o p is u ju s ku p o ve ve kt o r a in p u t a ko ji s u m o g u ´ c i z a s va ki ve kt o r o u t p u t a y.

Skupovi outputa p r o iz vo d n e t e h n o lo g ije ,

P ( x ) = y | ( y, x ) ∈ GR , ( 1 3 5 )

o p is u ju s ku p o ve ve kt o r a o u t p u t a ko ji s u m o g u ´ c i z a s va ki ve kt o r in p u t a x.

Izokvante inputa

IsoqL( y ) = x | x ∈ L ( y ) , λx /∈ L ( y ) , λ < 1 , ( 1 3 6 )

o p is u ju s ku p o ve s vih in p u t ve kt o r a s p o s o b n ih d a p r o iz ve d u s va ki o u t p u t ve kt o r y, a li ko ji, n a ko n n jih o ve

r a d ija ln e ko n t r a kc ije , p o s t a ju o n e m o g u ´ c e n i p r o iz ve s t i o u t p u t ve kt o r y.

9 2

E fikasni podskupovi inputa

EffL( y ) = x | x ∈ L( y ) , x′ ≤ x =⇒ x′ /∈ L( y ) , ( 1 3 7 )

o p is u ju s ku p o ve ve kt o r a in p u t a s p o s o b n e d a p r o iz ve d u s va ki ve kt o r o u t p u t a y, a li ko ji, n a ko n n jih o ve ko n -

t r a kc ije u b ilo ko jo j d im e n z iji, p o s t a ju o n e m o g u ´ c e n i p r o iz ve s t i o u t p u t ve kt o r y.

Izokvante outputa

IsoqP ( x) = y | y ∈ P ( x ) , λy /∈ P ( x) , λ > 1 , ( 1 3 8 )

o p is u ju s ku p o ve s vih o u t p u t ve kt o r a s p o s o b n ih d a s e p r o iz ve d u s va kim in p u t ve kt o r o m x, a li ko ji s e , n a ko n

n jih o ve r a d ija ln e e ks p a n z ije , n e m o g u p r o iz ve s t i ko r is t e ´ c i in p u t ve kt o r x.

E fikasni podskupovi outputa

EffP ( x) = y | y ∈ P ( x ) , y′ ≥ y =⇒ y′ /∈ P ( x ) , ( 1 3 9 )

o p is u ju s ku p o ve ve kt o r a o u t p u t a s p o s o b n e d a s e p r o iz ve d u s va kim ve kt o r o m in p u t a x, a li ko ji s e , n a ko n n jih o ve

e ks p a n z ije u b ilo ko jo j d im e n z iji, n e m o g u p r o iz ve s t i ko r is t e ´ c i in p u t ve kt o r x.

Zajednicka proizvodna granica je im p lic it n o z a d a n a fu n kc ija F ( y, x) = 0 , ko ja im a s vo js t va

IsoqL( y ) = x | F ( y, x ) = 0 i IsoqP ( x) = y | F ( y, x) = 0 . ( 1 4 0 )

Za je d n ic ka p r o iz vo d n a g r a n ic a s e u m ikr o e ko n o m ic i ˇ c e s t o n a z iva granica proizvodnih mogucnosti ili granica

transformacije. U s it u a c ija m a ka d a s e o u t p u t i m o g u a g r e g ir a t i u je d a n o u t p u t y = g ( y1, y2, . . . , ym ) , m ikr o e ko n o m ika

u m je s t o n a z iva z a je d n ic ka p r o iz vo d n a g r a n ic a ko r is t i n a z iv proizvodna granica.

P roizvodna granica je fu n kc ija

f ( x) = m a x y | y ∈ P ( x ) = m a x x | x ∈ L( y ) . ( 1 4 1 )

P a r a m e t r i p r o iz vo d n ih g r a n ic a m o g u s e p r o c ije n it i iz u z o r ka p o d a t a ka . Ti p o d a c i m o g u u klju ˇ c iva t i p r o m a -

t r a n ja ve ´ c e g b r o ja p o d u z e ´ c a u o d r e d e n o m vr e m e n s ko m p e r io d u ( c r o s s -s e c t io n a l p o d a c i) , a g r e g ir a n e p o d a t ke

n a in d u s t r ijs ko j r a z in i p r o m a t r a n e kr o z vis e vr e m e n s kih p e r io d a ( vr e m e n s ke s e r ije p o d a t a ka ) ili p r o m a t r a n ja

vis e p o d u z e ´ c a u vis e vr e m e n s kih p e r io d a ( p a n e l p o d a c i) . Za p r o c je n u p r o iz vo d n e fu n kc ije z a h t je va ju s e in fo r -

m a c ije o ko lic in a m a in p u t a i o u t p u t a , a m o ˇ z e m o ju p r o c ije n it i ko r is t e ´ c i p a r a m e t a r s ke e ko n o m e t r ijs ke m e t o d e

m a t e m a t ic ke s t a t is t ike ili n e p a r a m e t a r s ke m e t o d e m a t e m a t ic ko g p r o g r a m ir a n ja . Za e m p ir ijs ko m je r e n je r e la -

t ivn e t e h n ic ke e fi ka s n o s t i u s it u a c iji ka d a p r o iz vo d a ˇ c i ko r is t e vis e in p u t a z a p r o iz vo d n ju vis e o u t p u t a , u ve d e n e

s u fu n kc ije u d a lje n o s t i [6 4 ], [1 9 0 ].

Input funkcija udaljenosti je fu n kc ija

DI ( y, x ) = m a x λ | x/λ ∈ L( y ) . ( 1 4 2 )

9 3

Output funkcija udaljenosti je fu n kc ija

DO ( y, x) = m in µ | y/µ ∈ P ( x) . ( 1 4 3 )

S a d a p r e t p o s t a vim o d a s e p r o iz vo d a ˇ c i s u o ˇ c a va ju s a s t r o g o p o z it ivn im ve kt o r o m c ije n a in p u t a w ∈ Rm++

i d a p o ku ˇ s a va ju m in im a liz ir a t i t r o ˇ s ko ve p r o iz vo d n je o u t p u t a y ko je g s u o d a b r a li.

Troskovna granica je fu n kc ija

c( y, w ) = m inx w⊤x | x ∈ L( y ) = m in

x w⊤x | DI ( y, x ) ≥ 1 . ( 1 4 4 )

U s lu ˇ c a ju p r o iz vo d n je s a m o je d n o g o u t p u t a , t r o ˇ s ko vn a g r a n ic a p o s t a je

c( y, w ) = m inx w⊤x | y ≤ f ( x ) . ( 1 4 5 )

K a o s lje d e ´ c e , p r e t p o s t a vim o d a s e p r o iz vo d a ˇ c i s u o ˇ c a va ju s a s t r o g o p o z it ivn im ve kt o r o m c ije n a o u t p u t a

p ∈ Rs++ i d a p o ku ˇ s a va ju m a ks im a liz ir a t i p r ih o d o d p r o iz vo d n je ko ja s e m o ˇ z e o s t va r it i iz ve kt o r a in p u t a x

ko jim r a s p o la ˇ z u .

P rihodovna granica je fu n kc ija

r ( x, p) = m a xy p⊤y | y ∈ P ( x) = m a x

y p⊤y | DO ( y, x ) ≤ 1 . ( 1 4 6 )

U s lu ˇ c a ju p r o iz vo d n je s a m o je d n o g o u t p u t a , p r ih o d o vn a g r a n ic a p o s t a je

r ( x, p) = pf ( x) . ( 1 4 7 )

S a d a p r e t p o s t a vim o d a p r o iz vo d a ˇ c i p o ku ˇ s a va ju o d r e d it i ve kt o r e in p u t a x i o u t p u t a y u s vo m c ilju d a

m a ks im a liz ir a ju d o b it .

P rofitna granica je fu n kc ija

π ( p,w ) = m a xx,y

p⊤y − w⊤x | ( y, x) ∈ GR . ( 1 4 8 )

K a ko je p r o fi t n a g r a n ic a π ( p, w ) h o m o g e n a s t u p n ja +1 u ( p, w ) , u s lu ˇ c a ju p r o iz vo d n je je d n o g o u t p u t a je

m o g u ´ c e n o r m a liz ir a t i m a ks im a ln u d o b it π ( p, w ) s a c ije n o m p > 0 .

N e ka je s = 1 . Normalizirana profitna granica je fu n kc ija

π∗ ( w/p) = π ( p,w ) /p = m a xx,y

y − ( w/p) ⊤x | ( y, x) ∈ GR . ( 1 4 9 )

S a d a p r e t p o s t a vim o d a p r o iz vo d a ˇ c i ko r is t e va r ija b iln i ve kt o r in p u t a x ∈ Rm+ , d a s e s u o ˇ c a va ju s a s t r o g o

p o z it ivn im ve kt o r o m n je g o vih c ije n a w ∈ Rm++, d a ko r is t e fi ks n i ve kt o r in p u t a z ∈ Rq

+, z a d a n u p r o iz vo d n u

9 4

t e h n o lo g iju , t e d a je z a p r o iz vo d n ju ˇ z e lje n o g ve kt o r a o u t p u t a y ∈ Rs+ n jih o vo p o n a ˇ s a n je m o t ivir a n o m in im a l-

iz ir a n je m va r ija b iln ih t r o ˇ s ko va .

Granica varijabilnih troskova je fu n kc ija

vc( y, w, z ) = m inx w⊤x | ( y, x, z ) ∈ GR . ( 1 5 0 )

D o d a jm o u p r e t h o d n o r a z m a t r a n je p r e t p o s t a vku d a s e p r o iz vo d a ˇ c i s u o ˇ c a va ju s a s t r o g o p o z it ivn im ve k-

t o r o m c ije n a o u t p u t a p ∈ Rs++ i d a p o ku ˇ s a va ju m a ks im a liz ir a t i va r ija b iln u d o b it .

Granica varijabilne dobiti je fu n kc ija

vπ ( p, w, z ) = m inx,y p⊤y − w⊤x | ( y, x, z ) ∈ GR . ( 1 5 1 )

D e fi n ir a jm o t e h n ic ku e fi ka s n o s t . In p u t – o u t p u t ve kt o r ( y, x ) ∈ GR je tehnicki efikasan a ko i s a m o a ko

vr ije d i ( y′, x′ ) /∈ GR z a ( y′,−x′ ) ≥ ( y,−x) . In p u t ve kt o r x ∈ L( y ) je tehnicki efikasan a ko i s a m o a ko vr ije d ix′ /∈ L ( y ) z a x′ ≤ x, ili, e kviva le n t n o , x ∈ EffL ( y ) . Ou t p u t ve kt o r y ∈ P ( x) je tehnicki efikasan a ko i s a m oa ko vr ije d i y′ /∈ P ( x) z a y′ ≥ y, ili, e kviva le n t n o , y ∈ EffP ( x) . S a d a m o ˇ z e m o u ve s t i D e b r e u – Fa r r e ll [6 4 ], [8 7 ]m je r e t e h n ic ke e fi ka s n o s t i.

Input–orijentirana mjera tehnicke efikasnosti je fu n kc ija

TEI ( y, x) = m in θ | θx ∈ L( y ) . ( 1 5 2 )

U s lu ˇ c a ju p r o iz vo d n je je d n o g o u t p u t a , in p u t – o r ije n t ir a n a m je r a t e h n ic ke e fi ka s n o s t i p o s t a je fu n kc ija

TEI ( y, x) = m in θ | y ≤ f ( θx) . ( 1 5 3 )

U s lu ˇ c a ju p r o iz vo d n je vis e o u t p u t a , in p u t – o r ije n t ir a n a m je r a t e h n ic ke e fi ka s n o s t i m o ˇ z e s e p o m o ´ c u fu n kc ija

u d a lje n o s t i z a p is a t i ka o fu n kc ija

TEI ( y, x) = m in θ | DI ( y, θx) ≥ 1 . ( 1 5 4 )

Output–orijentirana mjera tehnicke efikasnosti je fu n kc ija

TEO ( y, x) =[m a x φ | φy ∈ P ( x )

]−1

. ( 1 5 5 )

U s lu ˇ c a ju p r o iz vo d n je je d n o g o u t p u t a , o u t p u t – o r ije n t ir a n a m je r a t e h n ic ke e fi ka s n o s t i p o s t a je fu n kc ija

TEO ( y, x ) =[m a x φ | φy ≤ f ( x)

]−1

. ( 1 5 6 )

U s lu ˇ c a ju p r o iz vo d n je vis e o u t p u t a , o u t p u t – o r ije n t ir a n a m je r a t e h n ic ke e fi ka s n o s t i m o ˇ z e s e p o m o ´ c u fu n kc ija

u d a lje n o s t i z a p is a t i ka o fu n kc ija

TEO ( y, x ) =[m a x φ | DO ( φy, x ) ≤ 1

]−1

. ( 1 5 7 )

V e z a iz m e d u r a z lic it ih o r ije n t a c ija m je r a t e h n ic ke e fi ka s n o s t i i fu n kc ija u d a lje n o s t i, d a n a je u s lje d e ´ c e m

9 5

T eor em 11. TEI ( y, x ) = TEO ( y, x) ∀( y, x) ∈ GR ⇐⇒ L( λy ) = λL( y ) ⇐⇒ P ( λx ) = λP ( x) . TEI ( y, x) =[DI ( y, x)

]−1

i TEO ( y, x) = DO ( y, x) .

M jera troskovne efikasnosti je fu n kc ija

CE ( y, x, w ) = c( y, w ) /w⊤x . ( 1 5 8 )

M jera input alokativne efikasnosti je fu n kc ija

AEI ( y, x, w ) = CE ( y, x, w ) /TEI ( y, x ) . ( 1 5 9 )

M jera prihodovne efikasnosti je fu n kc ija

RE ( y, x, p) = p⊤y/r ( x, p) . ( 1 6 0 )

M jera output alokativne efikasnosti je fu n kc ija

AEO ( y, x, p) = RE ( y, x, p) /TEO ( y, x) . ( 1 6 1 )

M jera profitne efikasnosti je fu n kc ija

πE ( y, x, p, w ) = ( p⊤y − w⊤x) /π ( p,w ) z a π ( p,w ) > 0 . ( 1 6 2 )

M jera efikasnosti varijabilnih troskova je fu n kc ija

V CE ( y, x, w, z ) = vc( y, w, z ) /w⊤x . ( 1 6 3 )

M jera efikasnosti varijabilne dobiti je fu n kc ija

V πE ( y, x, p, w, z ) = ( p⊤y − w⊤x ) /vπ ( p, w, z ) z a vπ ( p, w, z ) > 0 . ( 1 6 4 )

9.3 E konometr ijska pr ocjena pr oizvodnih funkcija

N a jc e ˇ s ´ c e ko r is t e n a p r o iz vo d n a fu n kc ija je Cobb-D ouglasova [4 9 ] p r o iz vo d n a fu n kc ija

y = Am∏

i=1

xβii ,m∑

i=1

βi = 1 , A > 0 , ( 1 6 5 )

ko ju je la ko p r o c ije n it i i s n jo m m a t e m a t ic ki m a n ip u lir a t i, a li im a o g r a n ic a va ju ´ c a s vo js t va ka o ˇ s t o s u ko n s t a n t n i

p r in o s i s o b z ir o m n a o p s e g d je lo va n ja i e la s t ic n o s t s u p s t it u c ije je d n a ku je d in ic i. L o g a r it m ir a n je m , iz r a z ( 1 6 5 )

s e m o ˇ z e z a p is a t i u lin e a r n o m o b liku z a lo g a r it m ir a n e p o d a t ke

ln y = β0 +m∑

i=1

βi · ln xi ,m∑

i=1

βi = 1 , β0 = ln A . ( 1 6 6 )

9 6

N a jc e ˇ s ´ c e s e iz r a z ( 1 6 6 ) z a p is u je u m a t r ic n o m o b liku

ln y = β · x , ( 1 6 7 )

g d je je y o u t p u t , x ∈ Mm+1,1 ve kt o r ˇ c iji je p r vi e le m e n t 1 t e o s t a li e le m e n t i lo g a r it m i ko lic in a ko r is t e n ih

m-in p u t a ( ln xi, i = 1 , 2 , . . . ,m) , a β ∈M1,m+1 ve kt o r p a r a m e t a r a ko je ˇ z e lim o p r o c ije n it i, β = ( β0, β1, . . . , βm ) .

N e ˇ s t o s lo ˇ z e n ija [1 0 2 ], [1 2 5 ] je translog proizvodna funkcija

ln y = β0 + β · x+ 1

2x⊤Bx, ( 1 6 8 )

g d je je y o u t p u t , x ∈Mm,1 ve kt o r ˇ c iji s u e le m e n t i lo g a r it m i ko lic in a ko r is t e n ih m-in p u t a ( ln xi, i = 1 , 2 , . . . ,m) ,

β ∈ M1,m ve kt o r i B ∈ Mm s im e t r ic n a m a t r ic a p a r a m e t a r a ko je ˇ z e lim o p r o c ije n it i. Tr a n s lo g p r o iz vo d n a

fu n kc ija je fl e ks ib iln o g fu n kc io n a ln o g o b lika ko ji n e p o s t a vlja o g r a n ic e n ja n a s t r u kt u r u p r o iz vo d n je , a li n a

r a ˇ c u n fo r m e s ko jo m je t e ˇ z e m a t e m a t ic ki m a n ip u lir a t i i ko ja m o ˇ z e im a t i p r o b le m a s a s t u p n je vim a s lo b o d e i

m u lt iko lin e a r n o s t i.

P r o iz vo d n a fu n kc ija konstantne elasticnosti supstitucije ( CES p r o iz vo d n a fu n kc ija )

y = A

[m∑

i=1

βi · x−gi

]−ν/g

,m∑

i=1

βi = 1 . ( 1 6 9 )

m a lo o s la b lju je p r e t p o s t a vku je d in ic n e e la s t ic n o s t i s u p s t it u c ije , a Zellner-R evankar [9 2 ], [1 3 7 ] fu n kc io n a ln i

o b lik

yeθy = Am∏

i=1

xβii ,m∑

i=1

βi = 1 , A > 0 , ( 1 7 0 )

d o p u ˇ s t a p r in o s im a d a va r ir a ju kr o z r a z in e o u t p u t a .

A ko r a s p o la ˇ z e m o vr e m e n s ko m s e r ijo m p o d a t a ka , t a d a stopu tehnoloske promjene u in d u s t r iji m o ˇ z e m o

p r o c ije n it i u klju ˇ c u ju ´ c i va r ija b lu vr e m e n s ko g t r e n d a u e ko n o m e t r ijs ku p r o iz vo d n u fu n kc iju . Ta ko ´ c e Co b b -

D o u g la s o va p r o iz vo d n a fu n kc ija ( 1 6 7 ) p o s t a t i

ln y = β · x+ βtt , ( 1 7 1 )

g d je je t vr e m e n s ki t r e n d ( t = 1 , 2 , · · · , T ) . P r o c je n a ko e fi c je n t a βt o m o g u ´ c a va p r o c je n u p o s t o t ka p r o m je n e o u t -p u t a ko ja r e z u lt ir a iz t e h n o lo ˇ s ke p r o m je n e . S lic n o , t r a n s lo g p r o iz vo d n u fu n kc iju ( 1 6 8 ) z a r a ˇ c u n a n je t e h n o lo ˇ s ke

p r o m je n e m o ˇ z e m o p r ila g o d it i n a s lic a n n a ˇ c in . K a ko je o n a a p r o ks im a c ija d r u g o g r e d a , o b ic n o s e u je d n a d ˇ z b u

u vo d e i ko m p o n e n t e t i t2, p a o n a p o s t a je

ln y = β0 + β · x+ 1

2x⊤Bx+ βtt+ βttt

2 . ( 1 7 2 )

9 7

A li ka ko p r o c ije n it i o p is a n e fu n kc io n a ln e o b like ? Za p o ˇ c e t a k p r o m o t r im o p r im je r d e t e r m in is t ic ke , e ko n o m e t r i-

js ki p r o c ije n je n e g r a n ic e , ka d a s e ko lic in e p r o m a t r a n ih o u t p u t a o d o z g o o g r a n ic a va ju n e s t o h a s t ic kim ( d e t e r m in -

is t ic kim ) ko lic in a m a , p r o c je n o m p a r a m e t a r a Co b b -D o u g la s o ve fu n kc ije . D a kle , p r o m o t r im o p r o c je n u p a r a m -

e t a r s ke g r a n ic e Co b b -D o u g la s o vo g fu n kc io n a ln o g o b lika ko r is t e n je m u z o r ka o d n p o d u z e ´ c a . Mo d e l [2 ] je

d e fi n ir a n s a

ln ( yi ) = xi · β − ui , i = 1 , 2 , . . . , n, ( 1 7 3 )

g d je je yi o u t p u t i-t o g p o d u z e ´ c a , xi ∈ M1,m+1 ve kt o r ˇ c iji je p r vi e le m e n t 1 , a o s t a li e le m e n t i s u lo g a r it m i

ko lic in a ko r is t e n ih m-in p u t a i-t o g p o d u z e ´ c a , β ∈ Mm+1,1 ve kt o r p a r a m e t a r a ko je ˇ z e lim o p r o c ije n it i, a ui

n e n e g a t ivn a s lu ˇ c a jn a va r ija b la p o ve z a n a s a t e h n ic ko m n e e fi ka s n o s t i p r o iz vo d n je p o d u z e ´ c a . Te h n ic ka e fi ka s n o s t

i-t o g p o d u z e ´ c a d e fi n ir a n a je s a

TEi = yie−xiβ = exiβ−uie−xiβ = e−ui . ( 1 7 4 )

Ta m je r a je Fa r r e llo va m je r a [8 7 ] t e h n ic ke e fi ka s n o s t i o r ije n t ir a n a p r e m a p o ve ´ c a n ju o u t p u t a i p o p r im a vr ije d -

n o s t i iz m e d u n u la i je d a n . N ju m o ˇ z e m o p r o c ije n it i o m je r o m p r o m a t r a n o g o u t p u t a yi i p r o c ije n je n e vr ije d n o s t i

o u t p u t a g r a n ic e exiβ d o b ive n o g p r o c je n jiva n je m β ko r is t e ´ c i m o d e l lin e a r n o g p r o g r a m ir a n ja

m in

n∑

i=1

ui

∣∣∣ ui ≥ 0 , i = 1 , 2 , . . . , n

. ( 1 7 5 )

K r it ika g o r n je g m o d e la je d a m o d e l n e vo d i r a ˇ c u n a o m o g u ´ c e m u t je c a ju g r e ˇ s a ka u m je r e n ju i d r u g ih s m e t n ji

n a g r a n ic i. Je d a n p r is t u p r je ˇ s a va n ju p r o b le m a ” s m e t n ji” je m e t o d a p o z n a t a ka o p r is t u p s t o h a s t ic kih g r a n ic a .

9.4 P r ocjena stohastickih gr anica

P r o iz vo d n a fu n kc ija s t o h a s t ic ke g r a n ic e je d e fi n ir a n a s lje d e ´ c im m o d e lo m , n e o vis n o p r e d lo ˇ z e n o m u r a d o vim a

[3 ] i [1 6 1 ] :

ln ( yi ) = xiβ + vi − ui , i = 1 , 2 , . . . , n, ( 1 7 6 )

p r i ˇ c e m u s lu ˇ c a jn a g r e ˇ s ka vi d o d a n a u m o d e l ( 1 7 3 ) o b u h va ´ c a g r e ˇ s ke m je r e n ja i d r u g e s lu ˇ c a jn e fa kt o r e ( ka o ˇ s t o

s u e fe kt i vr e m e n a , ˇ s t r a jko va , s r e ´ c e , it d .) n a vr ije d n o s t va r ija b le o u t p u t a z a je d n o s a ko m b in ir a n im e fe kt im a

n e s p e c ifi c ir a n ih va r ija b li in p u t a u p r o iz vo d n o j fu n kc iji. Za s lu ˇ c a jn e g r e ˇ s ke vi s e o b ic n o p r e t p o s t a vlja d a s u

n e z a vis n e o d ui i m e d u s o b n o , t e d a s u n o r m a ln o d is t r ib u ir a n e s a o ˇ c e kiva n je m 0 i va r ija n c o m σV2. Mo d e l ( 1 7 6 )

je d o b io im e je r s u vrijednosti outputa ogranicene slucajnom varijablom exiβ+vi . K a d a je vr ije d n o s t s lu ˇ c a jn e

g r e ˇ s ke vi p o z it ivn a , vr ije d n o s t o u t p u t a s t o h a s t ic ke g r a n ic e y∗i = exiβ+vi je iz n a d vr ije d n o s t i o u t p u t a o d r e d e n o g

p r o iz vo d n o m fu n kc ijo m , a a ko je vi n e g a t ivn a , vr ije d n o s t o u t p u t a s t o h a s t ic ke g r a n ic e y∗i = exiβ+vi je is p o d

vr ije d n o s t i o u t p u t a o d r e d e n o g p r o iz vo d n o m fu n kc ijo m .

9 8

Gla vn a kr it ika m o d e la s t o h a s t ic ke g r a n ic e je d a o p ´ c e n it o nema opravdanja za a priori odabir bilo koje

distribucije slucajnih varijabli ui koje opisuju tehnicku neefikasnost. N a jc e ˇ s ´ c i iz b o r i u p r im je n a m a s u p o lu n o r -

m a ln a ( kr n ja u n u li n o r m a ln a s a o ˇ c e kiva n je m 0 ) i e ks p o n e n c ija ln a d is t r ib u c ija , a li s e m o ˇ z e ko r is t it i i b ilo ko ja

d r u g a d is t r ib u c ija .

N a jb o lji n a ˇ c in [5 0 ] p r o c je n e p a r a m e t a r a p r o iz vo d n e fu n kc ije s t o h a s t ic ke g r a n ic e je ko r is t e n je m e t o d e

m a ks im a ln e vje r o d o s t o jn o s t i ( ML ) . N a p r im je r , a ko p r e t p o s t a vim o d a s u e fe ka t i t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i ui ∼N ( 0 , σ2 ) m e d u s o b n o n e o vis n e s lu ˇ c a jn e va r ija b le p o lu n o r m a ln e d is t r ib u c ije , n e o vis n e o d s lu ˇ c a jn ih g r e ˇ s ka vi ∼N ( 0 , σV

2 ) , ML p r o c je n e p a r a m e t a r a β, u z p a r a m e t r iz a c iju σ2s := σ2 + σ2

v i γ :=σ2

σ2sd o b iva m o n a la ˇ z e n je m

m a ks im u m a lo g a r it m ir a n e fu n kc ije vje r o d o s t o jn o s t i [1 2 ] d e fi n ir a n e iz r a z o m

ln ( L ) = −n2lnπ

2− n

2lo g ( σ2

s ) +n∑

i=1

ln [1 − Φ( zi ) ]−1

2 σ2s

n∑

i=1

( ln yi − xi · β ) 2 , ( 1 7 7 )

g d je je zi =(ln yi−xiβ)

σs

√γ

1−γ, a Φ( · ) fu n kc ija d is t r ib u c ije s t a n d a r d iz ir a n e n o r m a ln e s lu ˇ c a jn e va r ija b le . D o b ive n i

o c je n jiva ˇ c i s u ko n z is t e n t n i i a s im p t o t s ki e fi ka s n i [3 ]. N a ko n ˇ s t o je p r o iz vo d n a fu n kc ija s t o h a s t ic ke g r a n ic e

p r e d lo ˇ z e n a i n a ko n ˇ s t o s u n je n i p a r a m e t r i p r o c ije n je n i, m o ˇ z e s e iz r a ˇ c u n a t i m a t e m a t ic ko o ˇ c e kiva n je t e h n ic ke

e fi ka s n o s t i TEi = e−ui z a d a n e p r e t p o s t a vke d is t r ib u c ija t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i. Mo ˇ z e s e p o ka z a t i [5 1 ] d a je

E[e−ui] = 2 [1 − Φ( σs√γ ) ] e

−γσ2s2 , ( 1 7 8 )

u ko liko s u ui p o lu n o r m a ln e s lu ˇ c a jn e va r ija b le . A lt e r n a t ivn i o c je n jiva ˇ c o ˇ c e kiva n e t e h n ic ke e fi ka s n o s t i je a r it -

m e t ic ka s r e d in a p r e d vi d a n ja p o je d in a ˇ c n ih t e h n ic kih e fi ka s n o s t i p o d u z e ´ c a iz u z o r ka .

U o ˇ c im o d a t e h n ic ka e fi ka s n o s t i-t o g p o d u z e ´ c a TEi = e−ui u klju ˇ c u je e fe kt t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i ui, ko ji

n e m o ˇ z e m o o p a z it i. Ca k i a ko je p o z n a t a s t va r n a vr ije d n o s t ve kt o r a p a r a m e t a r a β u m o d e lu s t o h a s t ic ke

g r a n ic e ( 1 7 6 ) , m o ˇ z e m o o p a z it i je d in o r a z liku ei := vi − ui. Za t o je , u c ilju ka r a kt e r iz a c ije t e h n ic ke e fi ka s n o s t i

je d n im b r o je m , iz ve d e n [1 2 3 ] s lje d e ´ c i r e z u lt a t :

E[ui|ei] = −γei + σAφ(γeiσA

)

1 − Φ(γeiσA

) , ( 1 7 9 )

g d je je σA =√γ ( 1 − γ ) σ2

s ; ei = ln ( yi ) − xiβ i φ ( · ) je fu n kc ija g u s t o ´ c e s t a n d a r d iz ir a n e n o r m a ln e s lu ˇ c a jn eva r ija b le . Op e r a t ivn o s e iz r a z ( 1 7 9 ) m o ˇ z e ko r is t it i a ko z a m je n im o n e p o z n a t e p a r a m e t r e u n je m u n jih o vim

o c je n jiva ˇ c im a . A lt e r n a t ivn o , n a jb o lji o c je n jiva ˇ c o d e−ui [1 3 ] je

E[e−ui |ei

]=1 − Φ

(σA+γei

σA

)

1 − Φ(γeiσA

) eγei+σ2A2 . ( 1 8 0 )

H ip o t e z a d a n e m a e fe ka t a t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i u m o d e lim a s t o h a s t ic kih g r a n ic a m o ˇ z e s e testirati s a

n u l– h ip o t e z o m H0 : σ2 = 0 i a lt e r n a t ivn o m h ip o t e z o m H1 : σ

2 > 0 ili u z p a r a m e t r iz a c iju γ = σ2

σ2+σV2 u ve d e n u

9 9

u r a d u [1 2 ], s a n u l– h ip o t e z o m H0 : γ = 0 i a lt e r n a t ivn o m h ip o t e z o m H1 : γ > 0 . N a im e , a ko je va r ija n c a

kr n je u n u li n o r m a ln e d is t r ib u c ije σ2 = 0 , o n d a s u s ve s lu ˇ c a jn e va r ija b le p o ve z a n e s a t e h n ic ko m n e e fi ka s n o s t i

p r o iz vo d n je p o d u z e ´ c a je d n a ke n u li, ˇ s t o p o vla ˇ c i d a s u s va p o d u z e ´ c a t e h n ic ki e fi ka s n a . Ova s e h ip o t e z a m o ˇ z e

t e s t ir a t i ko r is t e n je m r a z lic it ih t e s t s t a t is t ika . N a p r im je r , W aldova statistika s a d r ˇ z i o m je r ML o c je n jiva ˇ c a

z a γ i n je g o ve o c je n je n e s t a n d a r d n e g r e ˇ s ke . Za H0 : γ = 0 t a je s t a t is t ika [3 ] a s im p t o t s ki d is t r ib u ir a n a ka o

s t a n d a r d iz ir a n a n o r m a ln a s lu ˇ c a jn a va r ija b la . D a ka ko , m o r a s e iz ve s t i je d n o s t r a n i t e s t je r γ p o p r im a vr ije d n o s t i

iz n e n e g a t ivn o g s e g m e n t a [0 , 1 ]. U p r im je n a m a s e ka o n a jb o lji t e s t [5 0 ] p o ka z a o jednostrani generalizirani test

omjerom vjerodostojnosti s a t e s t s t a t is t iko m

LR = − 2 ln [L( H0 ) ]− ln [L( H1 ) ] , ( 1 8 1 )

g d je s u L ( H0 ) i L( H1 ) vr ije d n o s t i fu n kc ije vje r o d o s t o jn o s t i z a n u l– h ip o t e z u i a lt e r n a t ivn u h ip o t e z u , r e d o m .

U ko liko je H0 : γ = 0 is t in it a , L R s t a t is t ika im a ka o a s im p t o t s ku d is t r ib u c iju ko m b in a c iju d va ju h i– K va d r a t

d is t r ib u c ija , t j. ( χ02 + χ1

2 ) /2 , a je d n o s t r a n i g e n e r a liz ir a n i t e s t ve lic in e z a α o m je r o m vje r o d o s t o jn o s t i je :

” Od b a c i H0 : γ = 0 z b o g H1 : γ > 0 u ko liko je L R ve ´ c a o d χ12 ( 2 α) ” . Ta ko kr it ic n a ve lic in a z a α = 0 .0 5 iz n o s i

2 .7 1 .

U o vo m p o g la vlju o b r a d ili s m o m o d e l s a s lje d e ´ c im ka r a kt e r is t ika m a :

1 . a n a liz ir a li s m o s a m o c r o s s -s e c t io n a l p o d a t ke

2 . p r o iz vo d n a fu n kc ija je Co b b – D o u g la s o vo g fu n kc io n a ln o g o b lika

3 . e fe kt i t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i im a ju p o lu n o r m a ln u d is t r ib u c iju .

9.5 M odeli koji kor iste panel podatke

P o d a t ke o r e z u lt a t im a p o s lo va n ja vis e p o d u z e ´ c a t ije ko m vr e m e n a n a z iva m o panel podacima. R a s p o lo ˇ z ivo s t

t a kvih p o d a t a ka p o vla ˇ c i p o s t o ja n je ve ´ c e g b r o ja s t u p n je va s lo b o d e z a p r o c je n u p a r a m e t a r a . Jo ˇ s va ˇ z n ije , p a n e l

p o d a c i d o p u ˇ s t a ju is t o vr e m e n o is p it iva n je t e h n o lo ˇ s ke p r o m je n e i p r o m je n e t e h n ic ke e fi ka s n o s t i t ije ko m vr e m e n a .

Je d a n o d m o d e la ko ji ko r is t i p a n e l p o d a t ke [1 7 7 ]

ln ( yit ) = xitβ + vit − uit, i = 1 , 2 , . . . , n; t = 1 , 2 , . . . , T ; ( 1 8 2 )

1 0 0

g d je je yit ≡ o u t p u t i-t o g p o d u z e ´ c a u vr e m e n s ko m p e r io d u t

xit ∈M1m ≡ ve kt o r vr ije d n o s t i in p u t a i d r u g ih p o g o d n ih va r i-

ja b li p o ve z a n ih p o g o d n im fu n kc io n a ln im o b liko m

β ∈M1m ≡ ve kt o r n e p o z n a t ih p a r a m e t a r a ko je p r o c je n ju je m o

uit ≡ e fe kt i t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i u m o d e lu

vit ≡ s lu ˇ c a jn e g r e ˇ s ke , m e d u s o b n o n e o vis n e s a N ( 0 , σV2 )

d is t r ib u c ijo m , n e o vis n e o d uit

Za e fe kt e t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i m o ˇ z e m o p r e t p o s t a vit i d a s u in va r ija n t n i s o b z ir o m n a vr ije m e , t j. uit =

ui, i = 1 , 2 , . . . , n; t = 1 , 2 , . . . , T . Me d u t im , t u p r e t p o s t a vku je t e ˇ s ko o p r a vd a t i, u ko liko je T ve lik, je r je

n o r m a ln o o ˇ c e kiva t i d a m e n a d ˇ z e r i u ˇ c e iz s vo g p r e t h o d n o g is ku s t va . Za t o s e p r e t p o s t a vlja d a s e e fe kt i t e h n ic ke

n e e fi ka s n o s t i m ije n ja ju t ije ko m vr e m e n a , n p r . fu n kc ijo m [1 3 6 ]

uit =ui

1 + ebt+ct2, ( 1 8 3 )

g d je s u ui s lu ˇ c a jn e va r ija b le s a n p r . p o lu n o r m a ln o m d is t r ib u c ijo m , a b i c s u n e p o z n a t i p a r a m e t r i ko je t r e b a m o

p r o c ije n it i. A lt e r n a t ivn o z a e fe kt e t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i m o ˇ z e m o p r e t p o s t a vit i [1 4 ] d a s u d e fi n ir a n i s a

uit = e−η(t−T )ui, i = 1 , 2 , . . . , n; t = 1 , 2 , . . . , T, ( 1 8 4 )

p r i ˇ c e m u s u ui g e n e r a liz ir a n e kr n je n o r m a ln e s lu ˇ c a jn e va r ija b le , a η je n e p o z n a t i s ka la r ko je g o c je n ju je m o .

Mo d e l n a z iva m o model neefikasnosti koja se mijenja tijekom vremena ( e n g . Tim e -va r yin g in e ffi c ie n c y m o d e l) .

S lu ˇ c a jn a va r ija b la ui p r e d s t a vlja e fe kt t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i i-t o g p o d u z e ´ c a u p o s lje d n je m p e r io d u p a n e la , a

vr ije d n o s t p a r a m e t r a η n a m ka ˇ z e d a li je e fe kt t e h n ic ke e fi ka s n o s t i p a d a ju ´ c a ( η > 0 ) ili r a s t u ´ c a ( η < 0 ) fu n kc ija

vr e m e n s ko g p e r io d a . D r u g a z n a ˇ c a jka m o d e la je d a je r e d o s lje d p o d u z e ´ c a p r e m a m a g n it u d i e fe ka t a t e h n ic ke

n e e fi ka s n o s t i je d n a k t ije ko m s vih vr e m e n s kih p e r io d a .

9.6 M odelir anje efekata neefikasnosti i alokativne efikasnosti

U z r o c i t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i t r a d ic io n a ln o s u s e o b ja ˇ s n ja va li kr o z d vije fa z e :

1 . P r o c je n jiva n je m s t o h a s t ic ke g r a n ic e p r e d vi d a m o vr ije d n o s t i e fe ka t a t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i z a ko je p r e t -

p o s t a vlja m o d a s u n e o vis n o i je d n o liko d is t r ib u ir a n e .

2 . P r e t p o s t a vlja m o d a s u p r o c ije n je n i e fe kt i n e e fi ka s n o s t i fu n kc ije s p e c ifi ˇ c n ih fa kt o r a p o d u z e ´ c a ( ve lic in a ,

s t a r o s t , o b r a z o va n je m e n a d ˇ z m e n t a , it d .) , ˇ s t o p o vla ˇ c i n jih o vu n e je d n o liku d is t r ib u c iju . D r u g a fa z a s t o g a

s e p r o vo d i kla s ic n o m r e g r e s ijs ko m a n a liz o m .

1 0 1

D a n a s s u [1 5 ] r a z vije n i m o d e li s t o h a s t ic kih g r a n ic a u ko jim a s u e fe kt i t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i d e fi n ir a n i

ka o e ks p lic it n e fu n kc ije s p e c ifi ˇ c n ih fa kt o r a t vr t ki ko je u s e b i u klju ˇ c u ju ve z u iz m e d u va r ija b li in p u t a , a s vi

p a r a m e t r i s u p r o c ije n je n i m e t o d o m m a ks im a ln e vje r o d o s t o jn o s t i. U p r is t u p s u u g r a d e n i i p a n e l p o d a c i ko ji

d o p u ˇ s t a ju p r o c je n u p a r a m e t a r a fa kt o r a z a ko je s e vje r u je d a u t je ˇ c u n a r a z in e e fe ka t a t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i,

z a je d n o s a ko m p o n e n t a m a p r o m je n e t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i i t e h n o lo ˇ s ke p r o m je n e t ije ko m vr e m e n a . Mo d e l

z a r a ˇ c u n a n je e fe ka t a t e h n ic ke n e e fi ka s n o s t i ( 1 8 2 ) p r e t p o s t a vlja d a s u o n e n e o vis n o d is t r ib u ir a n e , n e n e g a t ivn e

s lu ˇ c a jn e va r ija b le , d o b ive n e iz kr n je u n u li n o r m a ln e d is t r ib u c ije , t j.

uit ∼ N ( zitδ, σ2 ) ( 1 8 5 )

g d je s u zit ∈ M1m ve kt o r o p a ˇ z a n ja o b ja s n id b e n ih va r ija b li i

δ ∈ Mm1 ve kt o r n e p o z n a t ih p a r a m e t a r a ko je t r e b a m o o c ije n it i.

Ta d a je t e h n ic ka e fi ka s n o s t i-t o g p o d u z e ´ c a u vr e m e n s ko m p e r io d u t d e fi n ir a n a s a

TEit = e−uit . ( 1 8 6 )

Mo d e l ( 1 8 2 ) +( 1 8 5 ) je p o je d n o s t a vlje n je s t va r n o s t i ko je n e vo d i r a ˇ c u n a o m o g u ´ c o j ko r e lin a n o s t i s lu ˇ c a jn ih

g r e ˇ s a ka vit p o ve z a n ih s a p o d u z e ´ c im a i vr e m e n o m , n it i o h e t e r o s ke d a s t ic n o s t i s lu ˇ c a jn ih g r e ˇ s a ka i e fe ka t a t e h n ic ke

n e e fi ka s n o s t i.

D o s a d r a z m a t r a n a d ir e kt n a p r o c je n a p r o iz vo d n ih fu n kc ija p r e t p o s t a vlja ili d a m e n a d ˇ z e r i p o ku ˇ s a va ju

m a ks im a liz ir a t i o u t p u t z a d a n u r a z in u in p u t a ili d a b ir a ju r a z in e in p u t a i o u t p u t a u c ilju m a ks im a liz ir a n ja

o ˇ c e kiva n e d o b it i. Gla vn i r a z lo z i u vo d e n ja d u a ln o g p r is t u p a , t j. z a p r o m a t r a n je fu n kc ija t r o ˇ s ko va ili d o b it i,

s u o d r a ˇ z a va n je a lt e r n a t ivn ih c ilje va ka o ˇ s t o je m in im a liz ir a n je t r o ˇ s ko va , ko r is t e n je vis e o u t p u t a i is t o vr e m e n o

p r e d vi d a n je t e h n ic ke i a lo ka t ivn e e fi ka s n o s t i. N a im e , a ko p o s t o ji z a h t je v z a g o d is n jo m p r o iz vo d n jo m o d r e d e n e

r a z in e o u t p u t a , m o g u ´ c e je p r o c ije n it i s t o h a s t ic ku g r a n ic u fu n kc ije t r o ˇ s ko va m o d e lo m o b lika

ln ci = C ( yi, wi; β ) + vi + ui, i = 1 , 2 , . . . , n ( 1 8 7 )

g d je s u ci o p a ˇ z e n i t r o ˇ s ko vi p r o iz vo d n je i-t o g p o d u z e ´ c a ,

C ( · ) p o g o d a n fu n kc io n a ln i o b lik,

yi ko lic in a o u t p u t a ,

wi ∈Mm1 ve kt o r c ije n a e g z o g e n ih in p u t a ,

β ve kt o r n e p o z n a t ih p a r a m e t a r a ko je o c je n ju je m o , t e

ui s lu ˇ c a jn a va r ija b la ko ja p r e d s t a vlja n e n e g a t ivn i

e fe kt t r o ˇ s ko vn e n e e fi ka s n o s t i.

U o ˇ c im o d a s m o u s lu ˇ c a ju s t o h a s t ic ke g r a n ic e p r o iz vo d n e fu n kc ije ( ko ja p r e d s t a vlja m a ks im a ln i o u t -

p u t ) va r ija b lu ui o d u z im a li, a s a d a , u s lu ˇ c a ju s t o h a s t ic ke g r a n ic e fu n kc ije t r o ˇ s ko va ( ko ji p r e d s t a vlja ju m in i-

m a ln e t r o ˇ s ko ve ) va r ija b lu ui d o d a je m o . Mo ˇ z e s e p o ka z a t i d a z a e ko n o m s ku ( u ku p n u t r o ˇ s ko vn u ) e fi ka s n o s t

1 0 2

i-t o g p o d u z e ´ c a vr ije d i EEi = e−ui. N a d a lje , a ko fu n kc iju t r o ˇ s ko va m o ˇ z e m o e ks p lic it n o p r o c ije n it i ( n a -

jb o ljo m s e p o ka z a la p r o c je n a p a r a m e t a r a je d n e fu n kc ije m e t o d o m m a ks im a ln e vje r o d o s t o jn o s t i) i iz p r o iz vo d n e

fu n kc ije m o ˇ z e m o iz r a ˇ c u n a t i r e la t ivn u t e h n ic ku e fi ka s n o s t ( TE ) , t a d a a lo ka t ivn u e fi ka s n o s t p r o c je n ju je m o fo r -

m u lo m AE = EE/TE. K o r is t e n je g r a n ic e iz ve d e n e iz fu n kc ije t r o ˇ s ko va je z n a ˇ c a jn o p o b o ljs a n je je r u klju ˇ c u je

m o g u ´ c n o s t e g z o g e n ih o u t p u t a i e n d o g e n ih in p u t a , d o p u ˇ s t a ju ´ c i m je r e t e h n ic ke i a lo ka t ivn e e fi ka s n o s t i u s lu ˇ c a ju

vis e o u t p u t a . N e d o s t a t c i p r is t u p a s u z a h t ije v z a e ks p lic it n im p o z n a va n je m c ije n a s vih in p u t a i o g r a n ic e n je

s a m o n a o n e o b like fu n kc ije t r o ˇ s ko va iz ko jih e ks p lic it n o m o ˇ z e m o iz ve s t i p r o iz vo d n u fu n kc iju .

1 0 3

Liter atur a

[1 ] A h m e d , E ., E l-A le m , M., ( 2 0 0 5 ) , ” On m u lt io b je c t ive o p t im iz a t io n in p o r t fo lio m a n a g e m e n t ” , Applied

M athematics and Computation, 1 6 7 , p p . 6 1 6 -6 2 1

[2 ] A ig n e r , D .J., Ch u , S .F., ( 1 9 6 8 ) , ” On E s t im a t in g t h e In d u s t r y P r o d u c t io n Fu n c t io n ” , American E conomic

R eview, 5 8 , p p . 8 2 6 -8 3 9

[3 ] A ig n e r , D .J., L o ve ll, C.A .K ., S c h m id t , P ., ( 1 9 7 7 ) , ” Fo r m u la t io n a n d E s t im a t io n o f S t o c h a s t ic Fr o n t ie r

P r o d u c t io n Fu n c t io n Mo d e ls ” , J ournal of E conometrics, 6 , p p . 2 1 -3 7

[4 ] A le xa n d e r , C.O., ( 2 0 0 3 ) , ” M arket M odels: A Guide to F inancial D ata Analysis ” , Jo h n W ile y & S o n s

[5 ] A le xa n d e r , C.O., ( 2 0 0 1 ) , ” Or t h o g o n a l GA R CH ” , in A le xa n d e r , C.O., ( e d .) , M astering R isk, 2 , Fin a n c ia l

Tim e s -P r e n t ic e H a ll

[6 ] A n d e r s o n , R .I., Fo k, R ., Zu m p a n o , L .V ., E ld e r H .W ., ( 1 9 9 8 ) , ” Me a s u r in g t h e E ffi c ie n c y o f R e s id e n t ia l

R e a l E s t a t e B r o ke r a g e Fir m s ” , J ournal of R eal E state R esearch, 1 6 , p p . 1 3 9 -1 5 8

[7 ] A n d e r s o n , R .I., L e wis , D ., S p r in g e r , T.M., ( 2 0 0 0 ) , ” Op e r a t in g E ffi c ie n c ie s in R e a l E s t a t e : A R e vie w o f

t h e L it e r a t u r e ” , J ournal of R eal E state L iterature, 8 / 1

[8 ] A n d e r s o n , R .I., S p r in g e r , T.M., ( 2 0 0 2 ) , ” R E IT S e le c t io n a n d P o r t fo lio Co n s t r u c t io n U s in g Op e r a t in g

E ffi c ie n c y a s a n In d ic a t o r o f P e r fo r m a n c e ” , A m e r ic a n R e a l E s t a t e S o c ie t y A n u a l Me e t in g win n e r a r t ic le ,

J ournal of R eal E state P ortfolio M anagement, 9 / 1 , p p . 1 7 -2 8

[9 ] B a lk, B ., ( 1 9 9 5 ) , ” A xio m a t ic P r ic e In d e x Th e o r y: A S u r ve y” , International Statistical R eview 63, p p .

6 9 -9 3

[1 0 ] B a r r o , D ., Ca n e s t r e lli, E ., ( 2 0 0 5 ) , ” D yn a m ic p o r t fo lio o p t im iz a t io n : Tim e d e c o m p o s it io n u s in g t h e Ma x-

im u m P r in c ip le wit h a s c e n a r io a p p r o a c h ” , E uropean J ournal of Operational R esearch, 1 6 3 , p p . 2 1 7 -2 2 9

[1 1 ] B a s s o , A ., Fu n a r i, S ., ( 2 0 0 1 ) , ” A d a t a e n ve lo p m e n t a n a lys is a p p r o a c h t o m e a s u r e t h e m u t u a l fu n d p e r -

fo r m a n c e ” , E uropean J ournal of Operational R esearch, 1 2 0 / 3 , p p . 4 7 7 -4 9 2

[1 2 ] B a t t e s e , G.E ., Co r r a , G.S ., ( 1 9 7 7 ) , ” E s t im a t io n o f a P r o d u c t io n Fr o n t ie r Mo d e l: W it h A p p lic a t io n t o t h e

P a s t o r a l Zo n e o f E a s t e r n A u s t r a lia ” , Australian J ournal of Agricultural E conomics, 2 1 , p p . 1 6 9 -1 7 9

[1 3 ] B a t t e s e , G.E ., Co e lli, T.J., ( 1 9 8 8 ) , ” P r e d ic t io n o f Fir m -L e ve l Te c h n ic a l E ffi c ie n c ie s W it h a Ge n e r a lis e d

Fr o n t ie r P r o d u c t io n Fu n c t io n a n d P a n e l D a t a ” , J ournal of E conometrics, 3 8 , p p . 3 8 7 -3 9 9

1 0 4

[1 4 ] B a t t e s e , G.E ., Co e lli, T.J., ( 1 9 9 2 ) , ” Fr o n t ie r P r o d u c t io n Fu n c t io n s , Te c h n ic a l E ffi c ie n c y a n d P a n e l D a t a :

W it h A p p lic a t io n t o P a d d y Fa r m e r s in In d ia ” , J ournal of P roductivity Analysis, 3 , p p . 1 5 3 -1 6 9

[1 5 ] B a t t e s e , G.E ., Co e lli, T.J., ( 1 9 9 5 ) , ” A Mo d e l fo r Te c h n ic a l In e ffi c ie n c y E ffe c t s in a S t o c h a s t ic Fr o n t ie r

P r o d u c t io n Fu n c t io n fo r P a n e l D a t a ” , E mpirical E conomics, 2 0 , p p . 3 2 5 -3 3 2

[1 6 ] B a wa , V .S ., ( 1 9 7 5 ) , ” Op t im a l r u le s fo r o r d e r in g u n c e r t a in p r o s p e c t s ” , J ournal of F inancial E conomics,

2 , p p . 9 5 -1 2 1

[1 7 ] B e n a t i, S ., R iz z i, R ., ( 2 0 0 6 ) , ” A m ixe d in t e g e r lin e a r p r o g r a m m in g fo r m u la t io n o f t h e o p t im a l m e a n / V a lu e -

a t -R is k p o r t fo lio p r o b le m ” , E uropean J ournal of Operational R esearch, fo r t h c o m in g

[1 8 ] B e r n s t e in , P .L ., ( 1 9 9 6 ) , ” Against the Gods. The R emarkable Story of R isk.” , Jo h n W ile y & S o n s

[1 9 ] B e r t o c c h i, M., Fa b o z z i, F.J., Gia c o m e t t i, R ., R a c h e v, S .T., ( 2 0 0 5 ) , ” S t a b le d is t r ib u t io n s in t h e B la c k-

L it t e r m a n a p p r o a c h t o t h e a s s e t a llo c a t io n ” , www.pstat.ucsb.edu/research/papers/B L approach2005.pdf,

p p . 3 8

[2 0 ] B e r t s im a s , D ., D a r n e ll, C., S t o u c y, R ., ( 1 9 9 9 ) , ” P o r t fo lio Co n s t r u c t io n t h r o u g h Mixe d -In t e g e r P r o g r a m -

m in g a t Gr a n t h a m , Ma yo , V a n Ot t e r lo o o a n d Co m p a n y” , Interfaces, 2 9 , p p . 4 9 -6 6

[2 1 ] B e s t , M.J., Gr a u e r , R .R ., ( 1 9 9 1 ) , ” On t h e s e n s it ivit y o f m e a n -va r ia n c e e ffi c ie n t p o r t fo lio s t o c h a n g e s in

a s s e t m e a n s . S o m e a n a lyt ic a l a n d c o m p u t a t io n a l r e s u lt s ” , The R eview of F inancial Studies, 4 , p p . 3 1 5 -3 4 2

[2 2 ] B e va n , A ., W in ke lm a n n , K ., ( 1 9 9 8 ) , ” U s in g t h e B la c k– L it t e r m a n Glo b a l A s s e t A llo c a t io n Mo d e l: Th r e e

Y e a r s o f P r a c t ic a l E xp e r ie n c e ” , Goldman, Sachs & Co., F ixed Income R esearch, p p . 1 -1 5

[2 3 ] B h a t t i, M.A ., ( 2 0 0 0 ) , ” P ractical Optimization M ethods W ith M athematica Applications ” , S p r in g e r –

V e r la g , N e w Y o r k

[2 4 ] B ju r e k, H ., ( 1 9 9 6 ) , ” Ma lm qu is t To t a l Fa c t o r P r o d u c t ivit y In d e x” , Scandinavian J ournal of E conomics

98/2, p p . 3 0 3 -3 1 3

[2 5 ] B la c k, F., L it t e r m a n , R ., ( 1 9 9 0 ) , ” A s s e t A llo c a t io n : Co m b in in g In ve s t o r V ie ws W it h Ma r ke t E qu ilib -

r iu m ” , J ournal of F ixed Income, 1 , p p . 7 -1 8

[2 6 ] B la c k, F., L it t e r m a n , R ., ( 1 9 9 2 ) , ” Glo b a l P o r t fo lio Op t im iz a t io n ” , F inancial Analysts J ournal, 4 8 / 5 , p p .

2 8 -4 3

[2 7 ] B o d ie , Z., K a n e , A ., Ma r c u s , A .J., ( 1 9 9 9 ) , ” Investments (5nd E dition) ” , Ir win

1 0 5

[2 8 ] B o lle r s le v, T., ( 1 9 8 6 ) , ” Ge n e r a liz e d a u t o r e g r e s s ive c o n d it io n a l h e t e r o s ke d a s t ic it y” , J ournal of E conomet-

rics, 3 1 , p p . 3 0 7 -3 2 8

[2 9 ] B o lle r s le v, T., ( 1 9 8 7 ) , ” A c o n d it io n a l h e t e r o s ke d a s t ic it y t im e s e r ie s m o d e l fo r s e c u r it y p r ic e s a n d r a t e s o f

r e t u r n d a t a ” , R eview of E conomics and Statistics, 6 9 , p p . 5 4 2 -5 4 7

[3 0 ] B o n d , S .A ., Gla s c o c k, J.L ., ( 2 0 0 6 ) , ” Th e P e r fo r m a n c e a n d D ive r s ifi c a t io n B e n e fi t s o f E u r o p e a n P u b lic

R e a l E s t a t e S e c u r it ie s ” , E uropean P ublic R eal E state Association W orking P aper, p p . 1 -2 8

[3 1 ] B r a n d im a r t e , P ., ( 2 0 0 2 ) , ” Numerical M ethods in F inance ” , Jo h n W ile y & S o n s , N e w Y o r k

[3 2 ] B r o o ks , C., B u r ke , S .P ., P e r s a n d , G., ( 2 0 0 1 ) , ” B e n c h m a r ks a n d t h e a c c u r a c y o f GA R CH m o d e l e s t im a -

t io n ” , International J ournal of F orecasting, 1 7 / 1 , p p . 4 5 -5 6

[3 3 ] B ys t r o m , H .N E ., ( 2 0 0 4 ) , ” Or t h o g o n a l GA R CH a n d c o va r ia n c e m a t r ix fo r e c a s t in g : Th e N o r d ic s t o c k

m a r ke t s d u r in g t h e A s ia n fi n a n c ia l c r is is 1 9 9 7 -1 9 9 8 ” , E uropean J ournal of F inance, 1 0 / 1 , p p . 4 4 -6 7

[3 4 ] Ca i, X ., Te o , K .L ., Y a n g , X ., Zh o u , X ., ( 2 0 0 0 ) , ” P o r t fo lio o p t im iz a t io n u n d e r m in im a x r u le ” , M anagement

Science, 4 6 , p p . 9 5 7 -9 7 2

[3 5 ] Ca r h a r t , M.M., ( 2 0 0 0 ) , ” Fo r e c a s t in g Th e S iz e a n d V a lu e R is k P r e m ia ” , presented at B eaver Creek Con-

ference, Colorado

[3 6 ] Ca va g lia , S ., Mo r o z , V ., ( 2 0 0 2 ) , ” Cr o s s -In d u s t r y, Cr o s s -Co u n t r y A llo c a t io n ” , F inancial Analysts J ournal,

5 8 / 6 , p p . 2 0

[3 7 ] Ca ve s , D .W ., Ch r is t e n s e n , L .R ., D ie we r t , W .E ., ( 1 9 8 2 ) , ” Th e E c o n o m ic Th e o r y o f In d e x N u m b e r s a n d

t h e Me a s u r e m e n t o f In p u t , Ou t p u t a n d P r o d u c t ivit y” , E conometrica 50/6, p p . 1 3 9 3 -1 4 1 4

[3 8 ] Ca ve s , D .W ., Ch r is t e n s e n , L .R ., D ie we r t , W .E ., ( 1 9 8 2 ) , ” Mu lt ila t e r a l Co m p a r is o n s o f Ou t p u t , In p u t a n d

P r o d u c t ivit y U s in g S u p e r la t ive In d e x N u m b e r s ” , E conomic J ournal 92, p p . 7 3 -8 6

[3 9 ] Ch a n , L ., K a r c e s ki, J., L a ko n is h o k, J., ( 1 9 9 9 ) , ” On P o r t fo lio Op t im iz a t io n : Fo r e c a s t in g Co va r ia n c e s a n d

Ch o o s in g t h e R is k Mo d e l” , R eview of F inancial Studies, 1 2 , p p . 9 3 7 -9 7 4

[4 0 ] Ch a n g , C.-T., ( 2 0 0 5 ) , ” A m o d ifi e d g o a l p r o g r a m m in g a p p r o a c h fo r t h e m e a n -a b s o lu t e d e via t io n p o r t fo lio

o p t im iz a t io n m o d e l” , Applied M athematics and Computation, 1 7 1 , p p . 5 6 7 -5 7 2

[4 1 ] Ch a n g , T.J., Me a d e , N ., B e a s le y, J.E ., S h a r a ih a , Y .M., ( 2 0 0 0 ) , ” H e u r is t ic s fo r Ca r d in a lit y Co n s t r a in e d

P o r t fo lio Op t im iz a t io n ” , Computers and Operations R esearch, 2 7 , p p . 1 2 7 1 -1 3 0 2

1 0 6

[4 2 ] Ch e n , J., H o b b s , P ., ( 2 0 0 3 ) , ” Glo b a l R e a l E s t a t e R is k In d e x” , The J ournal of P ortfolio M anagement, 2 9 ,

p p . 3 7 -5 3

[4 3 ] Ch o p r a , N ., L a ko n is h o k, J., R it t e r , J.R ., ( 1 9 9 2 ) , ” Me a s u r in g A b n o r m a l P e r fo r m a n c e : D o S t o c ks Ove r r e -

a c t ?” , The J ournal of E conomics, 3 1 , p p . 2 3 5 -2 6 8

[4 4 ] Ch o p r a , V .K ., Zie m b ia , W .T., ( 1 9 9 3 ) , ” Th e e ffe c t o f e r r o r s in m e a n s , va r ia n c e s , a n d c o va r ia n c e s o n

o p t im a l p o r t fo lio c h o ic e s ” , J ournal of P ortfolio M anagement, 1 9 / 2 , p p . 6 -1 1

[4 5 ] Ch o u , P .-H ., L i, W .-S ., Zh o u , G., ( 2 0 0 6 ) , ” P o r t fo lio o p t im iz a t io n u n d e r a s s e t p r ic in g a n o m a lie s ” , J apan

and the W orld E conomy, 1 8 , p p . 1 2 1 -1 4 2

[4 6 ] Ch r is t o d o u la kis , G.A ., ( 2 0 0 2 ) , ” B a ye s ia n Op t im a l P o t r fo lio S e le c t io n : Th e B la c k-L it t e r m a n A p p r o a c h ” ,

http://www.staff.city.ac.uk/ gchrist/Teaching/QAP /optimalportfoliobl.pdf

[4 7 ] Ch u i, A ., Tit m a n , S ., W e i, K .C.J., ( 2 0 0 3 ) , ” In t r a -in d u s t r y m o m e n t u m : Th e c a s e o f R E ITs ” , J ournal of

F inancial M arkets, 6 / 3 , p p . 3 6 3 -3 8 7

[4 8 ] Ch u n c h a c h in d a , P ., D a n d a p a n i, K ., H a m id , S ., P r a ka s h , A .J., ( 1 9 9 7 ) , ” P o r t fo lio s e le c t io n a n d s ke wn e s s :

E vid e n c e fr o m in t e r n a t io n a l s t o c k m a r ke t s ” , J ournal of B anking and F inance, 2 1 , p p . 1 4 3 -1 6 7

[4 9 ] Co b b , C., D o u g la s , P .H ., ( 1 9 2 8 ) , ” A Th e o r y o f P r o d u c t io n ” , American E conomic R eview S u p p le m e n t ,

1 8 , p p .1 3 9 -1 6 5

[5 0 ] Co e lli, T.J., ( 1 9 9 5 ) , ” E s t im a t o r s a n d H yp o t h e s is Te s t s fo r a S t o c h a s t ic Fr o n t ie r Fu n c t io n : A Mo n t e Ca r lo

A n a lys is ” , J ournal of P roductivity Analysis, 6 , p p . 2 4 7 -2 6 8

[5 1 ] Co e lli, T.J., P r a s a d a R a o , D .S ., B a t t e s e , G.E ., ( 1 9 9 9 ) , ” An introduction to effi ciency and productivity

analysis ” , K lu we r A c a d e m ic P u b lis h e r s , B o s t o n

[5 2 ] Co le ll, A .M., W in s t o n , M.D ., Gr e e n , J.R ., ( 1 9 9 5 ) , ” M icroeconomic Theory ” , Oxfo r d U n ive r s it y P r e s s ,

N e w Y o r k

[5 3 ] Co llin s , B .M., Fa b o z z i, F.J., ( 1 9 9 1 ) , ” A Me t h o d o lo g y fo r Me a s u r in g Tr a n s a c t io n Co s t s ” , F inancial Ana-

lysts J ournal, 4 7 / 2 , p p . 2 7 -3 6

[5 4 ] Co n n o r , G., ( 1 9 9 7 ) , ” S e n s ib le r e t u r n fo r e c a s t in g fo r p o r t fo lio m a n a g e m e n t ” , F inancial Analysts J ournal,

5 3 / 5 , p p . 4 4 -5 1

[5 5 ] Co o p e r , M., D o wn s , D .H ., P a t t e r s o n , G.A ., ( 1 9 9 9 ) , ” R e a l E s t a t e S e c u r it ie s a n d a Filt e r -b a s e d , S h o r t -t e r m

Tr a d in g S t r a t e g y” , J ournal of R eal E state R esearch, 1 8 / 2 , p p . 3 1 3 -3 5 4

1 0 7

[5 6 ] Co r ie lli, F., ( 2 0 0 6 ) , ” Statistics course CL E F IN ” , Fin a n c ia l E c o n o m ic s D e p a r t m e n t , U n ive r s it `a Co m m e r -

c ia le L u ig i B o c c o n n i d i Mila n o

[5 7 ] Co r n is h , E .A ., Fis h e r , R .A ., ( 1 9 3 7 ) , ” Mo m e n t s a n d c u m u la n t s in t h e s p e c ifi c a t io n o f d is t r ib u t io n s ” R eview

of the International Statistical Institute, 5 , p p . 3 0 7 -3 2 0

[5 8 ] Cvit a n ic , J., P o lim e n is , V ., Za p a t e r o , F., ( 2 0 0 6 ) , ” Op t im a l P o r t fo lio A llo c a t io n wit h H ig h e r Mo m e n t s ” ,

www.hss.caltech.edu, p p . 2 7

[5 9 ] D a , Z., Ja g a n n a t h a n , R ., ( 2 0 0 5 ) , ” Teaching note on B lack–L itterman model, course F INC 460: Invest-

ments ” , K e llo g S c h o o l o f B u s in e s s

[6 0 ] D a c o r o g n a , M., M¨u lle r , U .A ., Ols e n , R ., P ic t e t , O.V ., ( 1 9 9 8 ) , ” Mo d e llin g s h o r t t e r m vo la t ilit y wit h

GA R CH a n d H A R CH m o d e ls ” , in D u n is , C., Zh o u , B ., ( e d s ) , Nonlinear M odelling of High F requency

F inancial Time Series, Jo h n W ile y & S o n s

[6 1 ] D a n ie l, K ., Tit m a n , S ., W e i, K .C.J., ( 2 0 0 1 ) , ” E xp la in in g t h e Cr o s s -s e c t io n o f S t o c k R e t u r n s in Ja p a n :

Fa c t o r s o r Ch a r a c t e r is t ic s ” , J ournal of F inance, 5 6 , p p . 7 4 3 -7 6 6

[6 2 ] D a ykin , C.D ., P e n t ika in e n , T., P e s o n e n , M., ( 1 9 9 4 ) , ” P ractical R isk Theory for Actuaries ” , K lu we r

A c a d e m ic P u b lis h e r s , B o s t o n

[6 3 ] D e B o n d t , W .F.M., Th a le r , R ., ( 1 9 8 5 ) , ” D o e s t h e S t o c k Ma r ke t Ove r r e a c t ?” , The J ournal of F inance, p p .

7 9 3 -8 0 5

[6 4 ] D e b r e u , G., ( 1 9 5 1 ) , ” Th e Co e ffi c ie n t o f R e s o u r c e U t iliz a t io n ” , E conometrica, 1 9 / 3 , p p . 2 7 3 -2 9 2

[6 5 ] D e n g , X .-T., L i, Z.-F., W a n g , S .-Y ., ( 2 0 0 5 ) , ” A m in im a x p o r t fo lio s e le c t io n s t r a t e g y wit h e qu ilib r iu m ” ,

E uropean J ournal of Operational R esearch, 1 6 6 , p p . 2 7 8 -2 9 2

[6 6 ] D ie we r t , W .E ., ( 1 9 9 2 ) , ” Fis h e r Id e a l Ou t p u t , In p u t a n d P r o d u c t ivit y In d e xe s R e vis it e d ” , J ournal of

P roductivity Analysis 3, p p . 2 1 1 -2 4 8

[6 7 ] D in g , Z., ( 1 9 9 4 ) , ” Time series analysis of speculative returns ” , P h D t h e s is , U n ive r s it y o f Ca lifo r n ia , S a n

D ie g o

[6 8 ] D o wd , K ., ( 2 0 0 2 ) , ” M easuring M arket R isk ” , Ch ic h e s t e r : Jo h n W ile y & S o n s

[6 9 ] D o wn s , D .H ., Gu n e r , Z.N ., ( 1 9 9 9 ) , ” Is t h e In fo r m a t io n D e fi c ie n c y in R e a l E s t a t e E vid e n t in P u b lic Ma r ke t

Tr a d in g ?” , R eal E state E conomics, 2 7 / 3 , p p . 5 1 7 -5 4 2

1 0 8

[7 0 ] D r o b e t z , W ., ( 2 0 0 1 ) , ” H o w t o a vo id t h e p it fa lls in p o r t fo lio o p t im iz a t io n ? P u t t in g t h e B la c k– L it t e r m a n

a p p r o a c h a t wo r k” , F inancial M arkets and P ortfolio M anagement, 1 5 / 1 , p p . 5 9 -7 5

[7 1 ] D u a n , J.C., ( 1 9 9 5 ) , ” Th e GA R CH o p t io n p r ic in g m o d e l” , M athematical F inance, 5 / 1 , p p . 1 3 -3 2

[7 2 ] D u a n , J.C., ( 1 9 9 6 ) , ” Cr a c kin g t h e s m ile ” , R ISK , 9 / 1 2

[7 3 ] E h r g o t t , M., K la m r o t h , K ., S c h we h m , C., ( 2 0 0 4 ) , ” A n MCD M a p p r o a c h t o p o r t fo lio o p t im iz a t io n ” ,

E uropean J ournal of Operational R esearch, 1 5 5 , p p . 7 5 2 -7 7 0

[7 4 ] E ic h o r n , W ., V o e lle r , J., ( 1 9 8 3 ) , ” Th e A xio m t ic Fo u n d a t io n s o f P r ic e In d e xe s a n d P u r c h a s in g P o we r

P a r it ie s ” , in D ie we r t a n d Mo n t a m a r qu e t t e ( E d s .) ” P rice L evel M easurement ” , S t a t is t ic s Ca n a d a , p p .

4 1 1 -4 5 0

[7 5 ] E lt e t o , O., K o ve s , P ., ( 1 9 6 4 ) , ” On a P r o b le m o f In d e x N u m b e r Co m p u t a t io n R e la t in g t o In t e r n a t io n a l

Co m p a r is o n ” , Statisztikai Szemle 42, p p . 5 0 7 -5 1 8

[7 6 ] E n g le , R .F., ( 1 9 8 2 ) , ” A u t o r e g r e s s ive c o n d it io n a l h e t e r o s ke d a s t ic it y wit h e s t im a t e s o f t h e va r ia n c e o f U K

in fl a t io n ” , E conometrica, 5 0 , p p . 9 8 7 -1 0 0 8

[7 7 ] E n g le , R .F., K r o n e r , K .F., ( 1 9 9 3 ) , ” Mu lt iva r ia t e s im u lt a n e o u s g e n e r a liz e d A R CH ” , E conometric Theory,

1 1 , p p . 1 2 2 -1 5 0

[7 8 ] E n g le , R .F., L e e , G.G.J., ( 1 9 9 3 ) , ” L o n g r u n vo la t ilit y fo r e c a s t in g fo r in d ivid u a l s t o c ks in a o n e fa c t o r

m o d e l” , W orking P aper 93-30, D e p a r t m e n t o f E c o n o m ic s , U n ive r s it y o f Ca lifo r n ia , S a n D ie g o , p p . 1 -2 0

[7 9 ] E n g le , R .F., L e e , G.G.J., ( 1 9 9 3 ) , ” A p e r m a n e n t a n d t r a n s it o r y c o m p o n e n t m o d e l o f s t o c k r e t u r n vo la t il-

it y” , UCSD discussion paper

[8 0 ] E n g le , R .F., N g , V .K ., ( 1 9 9 3 ) , ” Me a s u r in g a n d t e s t in g t h e im p a c t o f n e ws o n vo la t ilit y” , J ournal of

F inance, 4 8 , p p . 1 7 4 9 -1 7 7 8

[8 1 ] E n g le , R .F., K r o n e r , K .F., ( 1 9 9 5 ) , ” Mu lt iva r ia t e s im u lt a n e o u s g e n e r a liz e d A R CH ” , E conometric Theory,

1 1 , p p . 1 2 2 -1 5 0

[8 2 ] E n g le , R .F., Me z r ic h , J., ( 1 9 9 5 ) , ” Gr a p p lin g wit h GA R CH ” , R ISK , 8 / 9 , p p . 1 1 2 -1 1 7

[8 3 ] Fa b o z z i, F.J., Go r d o n , J., W ils o n , S .H ., ( 2 0 0 3 ) , ” W h y R e a l E s t a t e ?” , The J ournal of P ortfolio M anage-

ment, 2 9 , p p . 1 2 -2 5

[8 4 ] Fa m a , E .F., Fr e n c h , K .R ., ( 1 9 9 3 ) , ” Co m m o n r is k fa c t o r s in t h e r e t u r n s o n s t o c ks a n d b o n d s ” , J ournal of

F inancial E conomics, 3 3 , p p . 3 -5 6

1 0 9

[8 5 ] Fa m a , E .F., Fr e n c h , K .R ., ( 1 9 9 2 ) , ” Th e c r o s s s e c t io n o f e xp e c t e d s t o c k r e t u r n s ” , J ournal of F inance,

4 7 / 2 , p p . 4 2 7 -4 6 5

[8 6 ] Fa r e , R ., Gr o s s ko p f, S ., N o r r is , M., Zh a n g , Z., ( 1 9 9 4 ) , ” P r o d u c t ivit y Gr o wt h , Te c h n ic a l P r o g r e s s , a n d

E ffi c ie n c y Ch a n g e in In d u s t r ia liz e d Co u n t r ie s ” , American E conomic R eview 84, p p . 6 6 -8 3

[8 7 ] Fa r r e ll, M.J. ( 1 9 5 7 ) , ” Th e Me a s u r e m e n t o f P r o d u c t ive E ffi c ie n c y” , J ournal of the R oyal Statistical Society,

S e r ie s A , CX X , P a r t 3 , p p . 2 5 3 -2 8 1

[8 8 ] Fe in s t e in , C.D ., Th a p a , M.N ., ( 1 9 9 3 ) , ” N o t e s : a r e fo r m u la t io n o f a m e a n -a b s o lu t e d e via t io n p o r t fo lio

o p t im iz a t io n m o d e l” , M anagement Science, 3 9 / 1 2 , p p . 1 5 5 2 -1 5 5 3

[8 9 ] Fe r n a n d e z , A ., G´o m e z , S ., ( 2 0 0 6 ) , ” P o r t fo lio s e le c t io n u s in g n e u r a l n e t wo r ks ” , Computers & Operations

R esearch, fo r t h c o m in g

[9 0 ] Fis h e r , I., ( 1 9 2 2 ) , ” The M aking of Index Numbers ” , H o u g h t o n Miffl in , B o s t o n

[9 1 ] Fis h e r , F.M., S h e ll, K ., ( 1 9 7 2 ) , ” The E conomic Theory of P rice Indexes ” , A c a d e m ic P r e s s , N e w Y o r k

[9 2 ] Fo r s u n d , F.R ., H ja lm a r s s o n , L ., ( 1 9 7 9 ) , ” Ge n e r a lis e d Fa r r e ll Me a s u r e s o f E ffi c ie n c y: A n A p p lic a t io n t o

Milk P r o c e s s in g in S we d is h D a ir y P la n t s ” , E conomic J ournal, 8 9 , p p . 2 9 4 -3 1 5

[9 3 ] Fr u k, M., H u lja k, I., ( 2 0 0 4 ) , ” Te s t ir a n je S h a r p e – L in t n e r o vo g m o d e la n a Za g r e b a ˇ c ko j b u r z i” , F inancijska

teorija i praksa

[9 4 ] Fu s a i, G., Me u c c i, A ., ( 2 0 0 3 ) , ” A s s e s in g vie ws ” , R isk, Ma r c h , p p . 1 8 -2 1

[9 5 ] Gr o u p o f 3 0 , ( 1 9 9 3 ) , ” D erivatives: P ractices and P rinciples ” , W a s h in g t o n : Gr o u p o f 3 0

[9 6 ] Ga lla n t , A .R ., H s e ih , D ., Ta u c h e n , G., ( 1 9 9 1 ) , ” On fi t t in g a r e c a lc it r a n t s e r ie s : Th e p o u n d / d o lla r e xc h a n g e

r a t e 1 9 7 4 -8 3 ” , in B a r n e t t , W ., P o we ll, J., Ta u c h e n , G., ( e d s ) , ” Nonparametric and Semiparametric M e-

thods in E conometrics and Statistics ” , Ca m b r id g e U n ive r s it y P r e s s

[9 7 ] Ga ivo r o n s ki, A .A ., S t e lla , F., ( 2 0 0 3 ) , ” On -lin e p o r t fo lio s e le c t io n u s in g s t o c h a s t ic p r o g r a m m in g ” , J ournal

of E conomic D ynamics & Control, 2 7 , p p . 1 0 1 3 -1 0 4 3

[9 8 ] Gh e z z i, L .L ., ( 1 9 9 9 ) , ” A m a xm in p o lic y fo r b o n d m a n a g e m e n t ” , E uropean J ournal of Operational R e-

search, 1 1 4 , p p . 3 8 9 -3 9 4

[9 9 ] Gilib e r t o , S .M., ( 2 0 0 3 ) , ” A s s e s s in g R e a l E s t a t e V o la t ilit y” , The J ournal of P ortfolio M anagement, 2 9 ,

p p . 1 2 2 -1 2 8

1 1 0

[1 0 0 ] Gilm o r e , C.G., Mc Ma n u s , G.M., Te z e l, A ., ( 2 0 0 5 ) , ” P o r t fo lio a llo c a t io n s a n d t h e e m e r g in g e qu it y m a r ke t s

o f Ce n t r a l E u r o p e ” , J ournal of M ultinational F inancial M anagement, 1 5 , p p . 2 8 7 -3 0 0

[1 0 1 ] Gr e e n , R .C., H o llifi e ld , B ., ( 1 9 9 2 ) , ” W h e n will m e a n -va r ia n c e e ffi c ie n t p o r t fo lio s b e we ll d ive r s ifi e d ?” ,

J ournal of F inance, 4 7 / 5 , p p . 1 7 8 5 -1 8 1 0

[1 0 2 ] Gr e e n e , W .H ., ( 1 9 8 0 ) , ” On t h e E s t im a t io n o f a Fle xib le Fr o n t ie r P r o d u c t io n Mo d e l” , J ournal of E cono-

metrics, 1 3 , p p . 1 0 1 -1 1 5

[1 0 3 ] Gr e g o r io u , G.N ., S e d z r o , K ., Zh u , J., ( 2 0 0 5 ) , ” H e d g e fu n d p e r fo r m a n c e a p p r a is a l u s in g d a t a e n ve lo p m e n t

a n a lys is ” , E uropean J ournal of Operational R esearch, 1 6 4 , p p . 5 5 5 -5 7 1

[1 0 4 ] Gr e g o r io u , G.N ., Zh u , J., ( 2 0 0 5 ) , ” E valuating Hedge F und and CTA P erformance: D ata E nvelopment

Analysis Approach + CD -R OM ” , Jo h n W ile y & S o n s

[1 0 5 ] Gr in o ld , R .C., K a h n , R .N ., ( 1 9 9 9 ) , ” Active P ortfolio M anagement ” , Mc Gr a w-H ill, N e w Y o r k

[1 0 6 ] Gr in o ld , R .C., S t u c ke lm a n , M., ( 1 9 9 3 ) , ” Th e va lu e -a d d e d / t u r n o ve r fr o n t ie r ” , J ournal of P ortfolio M an-

agement, 1 9 / 4 , p p . 8 -1 7

[1 0 7 ] Gu ld im a n n , T.M., ( 2 0 0 0 ) , ” Th e s t o r y o f R is kMe t r ic s ” , R isk, 1 3 / 1 , p p . 5 6 -5 8

[1 0 8 ] Gyo u r ko , J., K e im , D .B ., ( 2 0 0 3 ) , ” W h a t D o e s t h e S t o c k m a r ke t Te ll U s A b o u t R e a l E s t a t e R e t u r n s ?” ,

J ournal of the American R eal E state and Urban E conomics Association, 2 0 / 3 , p p . 4 5 7 -4 8 5

[1 0 9 ] H a r ve y C.R ., ( 2 0 0 6 ) , ” Global Asset Allocation and Stock Selection ” , D u ke U n ive r s it y, Th e Fu qu a S c h o o l

o f B u s in e s s , forthcoming

[1 1 0 ] H a r ve y C.R ., L ie c h t y, J.C., L ie c h t y, M.W ., Mu lle r , P ., ( 2 0 0 4 ) , ” P o r t fo lio S e le c t io n W it h H ig h e r Mo -

m e n t s ” , D uke University W P , p p . 1 -4 2

[1 1 1 ] H e , L .T., W e b b , J.R ., Mye r , N ., ( 2 0 0 3 ) , ” In t e r e s t R a t e S e n s it ivit ie s o f R E IT R e t u r n s ” , International

R eal E state R eview, 6 / 1 , p p . 1 -2 1

[1 1 2 ] H e yn e n , R ., K e m n a , A ., V o r s t , T., ( 1 9 9 4 ) , ” A n a lys is o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f im p lie d vo la t ilit ie s ” ,

J ournal of F inancial Quantitative Analysis, 2 9 / 1 , p p . 3 1 -5 6

[1 1 3 ] H ib iki, N ., ( 2 0 0 6 ) , ” Mu lt i-p e r io d s t o c h a s t ic o p t im iz a t io n m o d e ls fo r d yn a m ic a s s e t a llo c a t io n ” , J ournal

of B anking & F inance, 3 0 , p p . 3 6 5 -3 9 0

[1 1 4 ] H e , G., L it t e r m a n , R ., ( 1 9 9 9 ) , ” Th e In t u it io n B e h in d B la c k-L it t e r m a n Mo d e l P o r t fo lio s ” , Goldman,

Sachs & Company, Investment M anagement R esearch, p p . 1 -2 0

1 1 1

[1 1 5 ] H e a t h e r , K ., ( 2 0 0 2 ) , ” The E conomics of Industries and F irms ” , Fin a n c ia l Tim e s Ma n a g e m e n t

[1 1 6 ] H ic ks , J.R ., ( 1 9 6 1 ) , ” M easurement of Capital in R elation to the M easurement of Other E conomic Ag-

gregates ” , in L u t z , F.A ., H a g u e , D .C., ( e d s ) , ” Th e Th e o r y o f Ca p it a l” , L o n d o n : Ma c m illa n .

[1 1 7 ] H o lt o n , G.A ., ( 2 0 0 3 ) , ” Value-at-R isk: Theory and P ractice ” , A c a d e m ic P r e s s : E ls e vie r S c ie n c e

[1 1 8 ] Ib b o t s o n , R ., S in d e la r , J., R it t e r , J., ( 1 9 8 8 ) , ” In it ia l P u b lic Offe r in g s ” , J ournal of Applied Corporate

F inance, 1 , p p . 3 7 -4 5

[1 1 9 ] Id z o r e k, T., ( 2 0 0 4 ) , ” A S t e p -b y-S t e p Gu id e t o t h e B la c k– L it t e r m a n Mo d e l: In c o r p o r a t in g U s e r -S p e c ifi e d

Co n fi d e n c e L e ve ls ” , Goldman, Sachs & Company, Investment M anagement R esearch, p p . 1 -3 2

[1 2 0 ] Id z o r e k, T., A d r o g u e , J., ( 2 0 0 3 ) , ” B la c k– L it t e r m a n R e t u r n Fo r e c a s t s in Ze p h yr A llo c a t io n A d vis o r ” ,

www.styleadvisor.com/products/allocationadvisor/index.html

[1 2 1 ] Jia n g , B ., P a n d a , T., L in , J., Zh a n g , Y ., ( 2 0 0 6 ) , ” Te s t in g B la c k-L it t e r m a n A s s e t A llo c a t io n Mo d e l” ,

D uke University W P , p p . 1 -4 2

[1 2 2 ] Ja in , P .C., ( 1 9 8 8 ) , ” R e s p o n s e t o H o u r ly S t o c k P r ic e s a n d Tr a d in g V o lu m e t o E c o n o m ic N e ws ” , J ournal

of B usiness, 6 1 , p p . 2 1 9 -2 3 1

[1 2 3 ] Jo n d r o w, J., L o ve ll, C.A .K ., Ma t e r o v, I.S ., S c h m id t , P ., ( 1 9 8 2 ) , ” On E s t im a t io n o f Te c h n ic a l In e ffi c ie n c y

in t h e S t o c h a s t ic Fr o n t ie r P r o d u c t io n Fu n c t io n Mo d e l” , J ournal of E conometrics, 1 9 , p p . 2 3 3 -2 3 8

[1 2 4 ] Jo n e s , C.P ., W ils o n , J.W ., ( 1 9 9 5 ) , ” P r o b a b ilit ie s A s s o c ia t e d wit h Co m m o n S t o c k R e t u r n s ” , The J ournal

of P ortfolio M anagement, p p . 2 1 -3 2

[1 2 5 ] Jo r g e n s o n , D .W ., Ch r is t e n s e n , L .R ., L a u , L .J., ( 1 9 7 3 ) , ” Tr a n s c e n d e n t a l L o g a r it h m ic P r o d u c t io n Fr o n -

t ie r s ” , R eview of E conomics and Statistics, 5 5 , p p . 2 8 -4 5

[1 2 6 ] Ju r c z e n ko , E ., Ma ille t , B ., Me r lin , P ., ( 2 0 0 6 ) , ” H e d g e Fu n d s P o r t fo lio S e le c t io n wit h H ig h e r -o r d e r Mo -

m e n t s : A N o n -p a r a m e t r ic Me a n -V a r ia n c e -S ke wn e s s -K u r t o s is E ffi c ie n t Fr o n t ie r ” , riskturk.com, p p . 2 9

[1 2 7 ] K a llb e r g , J.G., Zie m b a , W .T., ( 1 9 8 3 ) , ” Co m p a r is o n o f A lt e r n a t ive U t ilit y Fu n c t io n s in P o r t fo lio S e le c t io n

P r o b le m s ” , M anagement Science 29, p p . 1 2 5 7 -1 2 7 6

[1 2 8 ] K a z e m i, H ., Ma r t in , G., ( 2 0 0 1 ) , ” Is s u e s in A s s e t A llo c a t io n : Op t im iz a t io n ” , University of M assachusetts

W P , p p . 1 -1 5

[1 2 9 ] K a llb e r g , J.G., Zie m b a , W .T., ( 1 9 8 3 ) , ” Co m p a r is o n o f A lt e r n a t ive U t ilit y Fu n c t io n s in P o r t fo lio S e le c t io n

P r o b le m s ” , M anagement Science, 2 9 , p p . 1 2 5 7 -1 2 7 6

1 1 2

[1 3 0 ] K o c h , R .L ., ( 1 9 9 8 ) , ” A n a lyz in g R E IT S t o c ks : V a lu a t io n a n d P e r fo r m a n c e Is s u e s ” , R eal E state R eview,

p p . 1 2 -2 3

[1 3 1 ] K o c h , W ., ( 2 0 0 5 ) , ” Consistent R eturn E stimates in the Asset Allocation P rocess – The B lack L itterman

Approach ” , COMIN V E S T A s s e t Ma n a g e m e n t , Fr a n kfu r t Ma t h Fin a n c e W o r ks h o p

[1 3 2 ] K o le , E ., K o e d ijk, K ., V e r b e e k, M., ( 2 0 0 6 ) , ” P o r t fo lio im p lic a t io n s o f s ys t e m ic c r is e s ” , J ournal of B anking

& F inance, fo r t h c o m in g

[1 3 3 ] K o n n o , H ., S u z u ki, K ., ( 1 9 9 5 ) , ” A m e a n -va r ia n c e -s ke wn e s s o p t im iz a t io n m o d e l” , J ournal of the Opera-

tions R esearch Society of J apan, 3 8 , p p . 1 3 7 -1 8 7

[1 3 4 ] K o n n o , H ., Y a m a z a ki, H ., ( 1 9 9 1 ) , ” Th e Me a n A b s o lu t e D e via t io n P o r t fo lio Op t im iz a t io n Mo d e l a n d it s

A p p lic a t io n s t o t h e To kyo S t o c k Ma r ke t ” , M anagement Science, 3 7 , p p . 5 1 9 -5 3 1

[1 3 5 ] K o t h a r i, S .P ., S h a n ke n , J., S lo a n , R .G., ( 1 9 9 5 ) , ” A n o t h e r lo o k a t t h e c r o s s s e c t io n o f e xp e c t e d s t o c k

r e t u r n s ” , J ournal of F inance, 5 0 / 2

[1 3 6 ] K u m b h a ka r , S .C., ( 1 9 9 0 ) , ” P r o d u c t io n Fr o n t ie r s , P a n e l D a t a a n d Tim e -V a r yin g Te c h n ic a l In e ffi c ie n c y” ,

J ournal of E conometrics, 4 6 , p p . 2 0 1 -2 1 1

[1 3 7 ] K u m b h a ka r , S .C., Gh o s h , S ., Mc Gu c kin J.T., ( 1 9 9 1 ) , ” A Ge n e r a liz e d P r o d u c t io n Fr o n t ie r A p p r o a c h

fo r E s t im a t in g D e t e r m in a n t s o f In e ffi c ie n c y in U .S . D a ir y Fa r m s ” , J ournal of B usiness and E conomic

Statistics, 9 , p p . 2 7 9 -2 8 6

[1 3 8 ] K u m b h a ka r , S .C., L o ve ll, C.A .K ., ( 2 0 0 0 ) , ” Stohastic F rontier Analysis ” , Ca m b r id g e U n ive r s it y P r e s s

[1 3 9 ] L a ko n is h o k, J., L e e , I., ( 2 0 0 1 ) , ” A r e In s id e r Tr a d e s In fo r m a t ive ?” R eview of F inancial Studies, 1 4 , p p .

7 9 -1 1 1

[1 4 0 ] L a s p e yr e s , E ., ( 1 8 7 1 ) , ” D ie B e r e c h n u g e in e r m it t le r e n W a a r e n -p r e is s t e ig u e r u n g ” , J ahrbucher fur Na-

tionalokonomie und Statistik 16, p p . 2 9 6 -3 1 4

[1 4 1 ] L e in we b e r , D .J., ( 2 0 0 2 ) , ” U s in g In fo r m a t io n fr o m Tr a d in g in Tr a d in g a n d P o r t fo lio Ma n a g e m e n t : Te n

Y e a r s L a t e r ” , California Institute of Technology, Social Science W orking P aper, 1 1 3 5 , p p . 1 -3 0

[1 4 2 ] L e ip p o ld , M., Tr o ja n i, F., V a n in i, P ., ( 2 0 0 4 ) ” A g e o m e t r ic a p p r o a c h t o m u lt ip e r io d m e a n va r ia n c e

o p t im iz a t io n o f a s s e t s a n d lia b ilit ie s ” , J ournal of E conomic D ynamics & Control, 2 8 , p p . 1 0 7 9 -1 1 1 3

[1 4 3 ] L e wis , D ., S p r in g e r , T.M., A n d e r s o n , R .I., ( 2 0 0 3 ) , ” Th e Co s t E ffi c ie n c y o f R e a l E s t a t e In ve s t m e n t

Tr u s t s : A B a ye s ia n S t o c h a s t ic Fr o n t ie r A p p r o a c h ” , J ournal of R eal E state F inance and E conomics, 2 6 ,

p p . 6 5 -8 0

1 1 3

[1 4 4 ] L i, D .D ., N g , W .L ., ( 2 0 0 0 ) , ” Op t im a l d yn a m ic p o r t fo lio s e le c t io n : m u lt i-p e r io d m e a n va r ia n c e fo r m u la -

t io n ” , M athematical F inance, 1 0 , p p . 3 8 7 -4 0 6

[1 4 5 ] L i, D .D ., Y u n g , K ., ( 2 0 0 4 ) , ” S h o r t In t e r e s t s in R e a l E s t a t e In ve s t m e n t Tr u s t s ” , International R eal E state

R eview, 7 / 1 , p p . 5 6 -7 0

[1 4 6 ] L ie t a e r , B .A ., ( 1 9 7 1 ) , ” F inancial M anagement of F oreign E xchange: An Operational Technique to R educe

R isk ” , Ca m b r id g e : MIT P r e s s

[1 4 7 ] L ie w, J., V a s s a lo u , M., ( 2 0 0 0 ) , ” Ca n B o o k-t o -Ma r ke t , S iz e , a n d Mo m e n t u m b e R is k Fa c t o r s t h a t P r e d ic t

E c o n o m ic Gr o wt h ?” , J ournal of F inancial E conomics, 5 7 , p p . 2 2 1 -2 4 5

[1 4 8 ] L in t n e r , J., ( 1 9 6 5 ) , ” Th e va lu a t io n o f r is k a s s e t s a n d t h e s e le c t io n o f r is ky in ve s t m e n t s in s t o c k p o r t fo lio s

a n d c a p it a l b u d g e t s ” , R eview of E conomics and Statistics, 4 7 , p p . 1 3 -3 7

[1 4 9 ] L it t e r m a n , R ., ( 2 0 0 3 ) , ” M odern Investment M anagement: An E quilibrium Approach ” , Jo h n W ile y &

S o n s , N e w Je r s e y

[1 5 0 ] L it t e r m a n , R ., W in ke lm a n n , K ., ( 1 9 9 8 ) , ” E s t im a t in g Co va r ia n c e Ma t r ic e s ” , Goldman, Sachs & Co.,

R isk M anagement Series, p p . 1 -4 7

[1 5 1 ] L iu , J.F., L o n g s t a ff, F., P a n , J., ( 2 0 0 3 ) , ” D yn a m ic A s s e t A llo c a t io n wit h E ve n t R is k” , J ournal of

F inance, 5 8 , p p . 2 3 1 -2 5 9

[1 5 2 ] L o p e z , J.A ., ( 2 0 0 5 ) , ” E m p ir ic a l a n a lys is o f t h e a ve r a g e a s s e t c o r r e la t io n fo r r e a l e s t a t e in ve s t m e n t t r u s t s ” ,

F ederal R eserve B ank of San F rancisco, W P S e r ie s 2 0 0 5 -2 2

[1 5 3 ] L u m s d a in e , R .L ., ( 1 9 9 5 ) , ” Fin it e s a m p le p r o p e r t ie s o f t h e m a xim u m like lih o o d e s t im a t io n in

GA R CH ( 1 ,1 ) a n d IGA R CH ( 1 ,1 ) m o d e ls : A Mo n t e Ca r lo in ve s t ig a t io n ” , J ournal of B usiness E conomics

and Statistics, 1 3 / 1 , p p . 1 -1 0

[1 5 4 ] Ma lkie l, B ., ( 2 0 0 2 ) , ” H o w Mu c h D ive r s ifi c a t io n is E n o u g h ?” , AIM R Conference P roceedings: E quity

P ortfolio Construction, Ch a r lo t t e s ville , p p . 1 -2 3

[1 5 5 ] Ma r k, R ., ( 1 9 9 1 ) , ” U n it s o f m a n a g e m e n t ” , R isk, 4 / 6 , p p . 3 -7

[1 5 6 ] Ma r ko wit z , H .M., ( 1 9 5 2 ) , ” P o r t fo lio S e le c t io n ” , J ournal of F inance, 7 / 1 , p p . 7 7 -9 1

[1 5 7 ] Ma r ko wit z , H .M., ( 1 9 9 9 ) , ” Th e e a r ly h is t o r y o f p o r t fo lio t h e o r y: 1 6 0 0 -1 9 6 0 ” , F inancial Analysts J ournal,

5 5 / 4 , p p . 5 -1 6

[1 5 8 ] Ma r r is o n , C., ( 2 0 0 2 ) , ” The F undamentals of R isk M easurement ” , N e w-Y o r k: Mc Gr a w-H ill

1 1 4

[1 5 9 ] Mc Cla ve J.T., B e n s o n P .G., S in c ic h T., ( 1 9 9 8 ) , ” Statistics for B usiness and E conomics ” , P r e n t ic e H a ll

In c .

[1 6 0 ] Mc Mu lle n , P ., S t r o n g , R ., ( 1 9 9 7 ) , ” S e le c t io n o f m u t u a l fu n d s u s in g d a t a e n ve lo p m e n t a n a lys is ” , J ournal

of B usiness and E conomic Studies, 4 / 1 , p p . 1 -1 4

[1 6 1 ] Me e u s e n , W ., V a n d e n B r o e c k, J., ( 1 9 7 7 ) , ” E ffi c ie n c y E s t im a t io n fr o m Co b b -D o u g la s P r o d u c t io n Fu n c -

t io n s W it h Co m p o s e d E r r o r ” , International E conomic R eview, 1 8 , p p . 4 3 5 -4 4 4

[1 6 2 ] Me u c c i A ., ( 2 0 0 5 ) , ” B e yo n d B la c k-L it t e r m a n : V ie ws o n N o n -N o r m a l Ma r ke t s ” , L ehman B rothers, Inc.,

New York, p p . 1 -1 9

[1 6 3 ] Me u c c i A ., ( 2 0 0 5 ) , ” R isk and Asset Allocation ” , S p r in g e r V e r la g

[1 6 4 ] Mic h a u d , R .O., ( 1 9 8 9 ) , ” Th e Ma r ko wit z o p t im iz a t io n e n ig m a : is ” Op t im iz e d ” o p t im a l?” , F inancial

Analists J ournal, 4 5 / 1 , p p . 3 1 -4 2

[1 6 5 ] Mo r e y, M.R ., Mo r e y, R .C., ( 1 9 9 9 ) , ” Mu t u a l fu n d p e r fo r m a n c e a p p r a is a ls : A m u lt i-h o r iz o n p e r s p e c t ive

wit h e n d o g e n o u s b e n c h m a r kin g ” , Omega, 2 7 / 2 , p p . 2 4 1 -2 5 8

[1 6 6 ] Mo o r s t e e n , R .H ., ( 1 9 6 1 ) , ” On Me a s u r in g P r o d u c t ive P o t e n t ia l a n d R e la t ive E ffi c ie n c y” , Quarterly J our-

nal of E conomics 75/3, p p . 4 5 1 -4 6 7

[1 6 7 ] Mo s s in , J., ( 1 9 6 6 ) , ” E qu ilib r iu m in a c a p it a l a s s e t m a r ke t ” , E conometrica, 3 4 , p p . 7 6 8 -7 8 3

[1 6 8 ] M¨u lle r , U .A ., D a c o r o g n a , M., D a ve , R .D ., Ols e n , R ., P ic t e t , O.V ., vo n W e iz s ¨a c ke r , J.E ., ( 1 9 9 7 ) , ” V o la t il-

it ie s o f d iffe r e n t t im e r e s o lu t io n s – a n a lys in g t h e d yn a m ic s o f m a r ke t c o m p o n e n t s ” , J ournal of E mpirical

F inance, 4 , p p . 2 1 3 -2 3 9

[1 6 9 ] N e ls o n , D .B ., ( 1 9 9 1 ) , ” Co n d it io n a l h e t e r o s ke d a s t ic it y in a s s e t r e t u r n s : A n e w a p p r o a c h ” , E conometrica,

5 9 , p p . 3 4 7 -3 7 0

[1 7 0 ] Oh , K .J., K im , T.J., Min , S .-H ., L e e , H .Y ., ( 2 0 0 6 ) , ” P o r t fo lio a lg o r it h m b a s e d o n p o r t fo lio b e t a u s in g

g e n e r ic a lg o r it h m ” , E xpert Systems with Applications, 3 0 , p p . 5 2 7 -5 3 4

[1 7 1 ] P a a s c h e , H ., ( 1 8 7 4 ) , ” U e b e r d ie P r e s e n t wic klu n g d e r le t z t e n Ja h r e n a c h d e n H a m b u r g e r B o r s e n n o t ir u n -

g e n ” , J ahrbucher fur Nationalokonomie und Statistik 23, p p . 1 6 8 -1 7 8

[1 7 2 ] P a s t o r , L ., S t a m b a u g h , R .F., ( 2 0 0 0 ) , ” Co m p a r in g A s s e t P r ic in g Mo d e ls : A n In ve s t m e n t P e r s p e c t ive ” ,

J ournal of F inancial E conomics, 5 6 , p p . 3 3 5 -3 8 1

1 1 5

[1 7 3 ] P e n d a r a ki, K ., Zo p o u n id is , C., D o u m p o s , M., ( 2 0 0 5 ) , ” On t h e c o n s t r u c t io n o f m u t u a l fu n d p o r t fo lio s :

A m u lt ic r it e r ia m e t h o d o lo g y a n d a n a p p lic a t io n t o t h e Gr e e k m a r ke t o f e qu it y m u t u a l fu n d s ” , E uropean

J ournal of Operational R esearch, 1 6 3 , p p . 4 6 2 -4 8 1

[1 7 4 ] P e t r o v, T., ( 2 0 0 3 ) , ” P r e d a va n je e kvilib r ija n a t r ˇ z is t im a ka p it a la ko r is t e n je m p r o g r a m s ko g p a ke t a M ath-

ematica - p r im je r Za g r e b a ˇ c ke b u r z e ” , Zbornik radova konferencije P rimM ath[2003], p p . 1 -1 8

[1 7 5 ] P e t r o v, T., ( 2 0 0 3 ) , ” K o r is t e n je p r o g r a m s ko g p a ke t a M athematica z a viz u a liz a c iju a n a liz e o m e d iva n ja

p o d a t a ka ( A OMP ) - p r ip r e m a A OMP m o d e la z a p r a ´ c e n je Za g r e b a ˇ c ke b u r z e ” , Zbornik radova konferencije

P rimM ath[2003], p p . 1 -1 7

[1 7 6 ] P e t r o v, T., ( 2 0 0 2 ) , ” M odeli analize omedivanja podataka s primjenom u trgovini ” , m a g is t a r s ki r a d ,

E ko n o m s ki fa ku lt e t – Za g r e b , p p . 1 -1 6 2

[1 7 7 ] P it t , M.M., L e e , L .F., ( 1 9 8 1 ) , ” Me a s u r e m e n t a n d S o u r c e s o f Te c h n ic a l In e ffi c ie n c y in t h e In d o n e s ia n

W e a vin g In d u s t r y” , J ournal of D evelopment E conomics, 9 , p p . 4 3 -6 4

[1 7 8 ] P o we r s , J., Mc Mu lle n , P ., ( 2 0 0 0 ) , ” U s in g d a t a e n ve lo p m e n t a n a lys is t o s e le c t e ffi c ie n t la r g e m a r ke t c a p

s e c u r it ie s ” , J ournal of B usiness and M anagement, 7 / 2 , p p . 3 1 -4 2

[1 7 9 ] R a o , D .S .P r a s a d a , B a n e r je e , K .S ., ( 1 9 8 4 ) , ” A Mu lt ila t e r a l S ys t e m o f In d e x N u m b e r s B a s e d o n Fa c t o r ia l

A p p r o a c h ” , Statistiche Hefte 27, p p . 2 9 7 -3 1 2

[1 8 0 ] R a s m u s s e n , M., ( 2 0 0 3 ) , ” Quantitative P ortfolio Optimisation, Asset Allocation and R isk M anagement

(F inance and Capital M arkets) ” , P a lg r a ve Ma c m illa n

[1 8 1 ] R o s s , S ., ( 1 9 7 6 ) , ” Th e a r b it r a g e t h e o r y o f c a p it a l a s s e t p r ic in g ” , J ournal of E conometric Theory, 1 3 , p p .

3 4 1 -3 6 0

[1 8 2 ] R o y, A .D ., ( 1 9 5 2 ) , ” S a fe t y fi r s t a n d t h e h o ld in g o f a s s e t s ” , E conometrica, 2 0 / 3 , p p . 4 3 1 -4 4 9

[1 8 3 ] S a m u e ls o n , P .A ., S wa m y, S ., ( 1 9 7 4 ) , ” In va r ia n t E c o n o m ic In d e x N u m b e r s a n d Ca n o n ic D u a lit y: S u r ve y

a n d S yn t h e s is ” , American E conomic R eview 64, p p . 5 6 6 -5 9 3

[1 8 4 ] S a t c h e ll, S ., S c o wc r o ft , A . , ( 2 0 0 0 ) , ” A d e m ys t ifi c a t io n o f B la c k– L it t e r m a n m o d e l: Ma n a g in g qu a n t it a t ive

a n d t r a d it io n a l p o r t fo lio c o n s t r u c t io n ” , J ournal of Asset M anagement, 1 / 2 , p p . 1 3 8 -1 5 0

[1 8 5 ] S a u t e t , F., ( 2 0 0 0 ) , ” An E ntrepreneurial Theory of the F irm ” , R o u t le d g e

[1 8 6 ] S c h we b a c h , R .G., Olie n yk, J.P ., Zu m wa lt , J.K ., ( 2 0 0 2 ) , ” Th e im p a c t o f fi n a n c ia l c r is e s o n in t e r n a t io n a l

d ive r s ifi c a t io n ” , Global F inance J ournal, 1 3 , p p . 1 4 7 -1 6 1

1 1 6

[1 8 7 ] S h a r p e , W .F., ( 1 9 6 3 ) , ” A s im p lifi e d m o d e l fo r p o r t fo lio a n a lys is ” , M anagement Science, 9 , p p . 2 7 7 -2 9 3

[1 8 8 ] S h a r p e , W .F., ( 1 9 6 4 ) , ” Ca p it a l A s s e t P r ic e s : A Th e o r y o f Ma r ke t E qu ilib r iu m U n d e r Co n d it io n s o f

R is k” , J ournal of F inance, 1 9 / 3 , p p . 4 2 5 -4 4 2

[1 8 9 ] S h a r p e , W .F., ( 1 9 6 6 ) , ” Mu t u a l Fu n d P e r fo r m a n c e ” , J ournal of B usiness, Ja n u r a r y, p p . 1 1 9 -1 3 8

[1 9 0 ] S h e p h a r d , R .W ., ( 1 9 5 3 ) , ” Cost and P roduction F unctions ” , P r in c e t o n U n ive r s it y P r e s s

[1 9 1 ] S h u m wa y, R .H ., S t o ffe r , D .S ., ( 2 0 0 5 ) , ” Time Series Analysis and Its Applications ” , S p r in g e r Te xt s in

S t a t is t ic s

[1 9 2 ] S im a a n , Y ., ( 1 9 9 7 ) , ” E s t im a t io n r is k in p o r t fo lio s e le c t io n : Th e m e a n va r ia n c e m o d e l ve r s u s t h e m e a n

a b s o lu t e d e via t io n m o d e l” , M anagement Science, 4 3 , p p . 1 4 3 7 -1 4 4 6

[1 9 3 ] S o ln ik, B ., ( 2 0 0 2 ) , ” Glo b a l Co n s id e r a t io n s fo r P o r t fo lio Co n s t r u c t io n ” , Association for Investment M an-

agement and R esearch Conference P roceedings: E quity P ortfolio Construction, Charlottesville, SAD , p p .

2 9 -3 5

[1 9 4 ] S t a t m a n , M., ( 1 9 8 7 ) , ” H o w Ma n y S t o c ks Ma ke a D ive r s ifi e d P o r t fo lio ?” , J ournal of F inancial and

Quantitative Analysis

[1 9 5 ] S z u lc , B .J., ( 1 9 6 4 ) , ” In d ic e s fo r Mu lt ir e g io n a l Co m p a r is o n s ” , P rezeglad Statystyczny 3, p p . 2 3 9 -2 5 4

[1 9 6 ] Ta ylo r , S .J., ( 1 9 9 4 ) , ” Mo d e lin g s t o c h a s t ic vo la t ilit y: A r e vie w a n d c o m p a r a t ive s t u d y” , M athematical

F inance, 4 / 2 , p p . 1 8 3 -2 0 4

[1 9 7 ] Te r ¨a s vir t a , T., ( 1 9 9 6 ) , ” Two s t yliz e d fa c t s a n d t h e GA R CH ( 1 ,1 ) m o d e l” , Stockholm School of E conomics,

W o r kin g P a p e r S e r ie s in E c o n o m ic s a n d Fin a n c e N o . 9 6

[1 9 8 ] Te s s it o r e , A ., U s m e n , N ., ( 2 0 0 5 ) , ” R e la t ive im p o r t a n c e o f in d u s t r y a n d c o u n t r y fa c t o r s in s e c u r it y

r e t u r n s ” , Global F inance J ournal, 1 6 , p p . 1 6 -2 5

[1 9 9 ] To b in , J., ( 1 9 5 8 ) , ” L iqu id it y p r e fe r e n c e a s b e h a vio r t o wa r d s r is k” , The R eview of E conomic Studies, 2 5 ,

p p . 6 5 -8 6

[2 0 0 ] To r n qvis t , L ., ( 1 9 3 6 ) , ” Th e B a n k o f Fin la n d ’s Co n s u m p t io n P r ic e In d e x” , B ank of F inland M onthly

B ulletin, 1 0 , p p . 1 -8

[2 0 1 ] Tr e yn o r , J., ( 1 9 6 2 ) , ” To wa r d a t h e o r y o f m a r ke t va lu e o f r is ky a s s e t s ” , unpublished manuscript

[2 0 2 ] Ts a y, R .S ., ( 2 0 0 5 ) , ” Analysis of F inancial Time Series ” , W ile y S e r ie s in P r o b a b ilit y a n d S t a t is t ic s

1 1 7

[2 0 3 ] V illa r , A ., ( 2 0 0 0 ) , ” E quilibrium and E ffi ciency in P roduction E conomies (L ecture Notes in E conomics

and M athematical Systems) ” , S p r in g e r V e r la g

[2 0 4 ] W ilke n s , K ., Zh u , J., ( 2 0 0 1 ) , ” P o r t fo lio e va lu a t io n a n d b e n c h m a r k s e le c t io n : A m a t h e m a t ic a l p r o g r a m -

m in g a p p r o a c h ” , J ournal of Alternative Investments, 4 / 1 , p p . 9 -1 9

[2 0 5 ] W ils o n , T., ( 1 9 9 2 ) , ” R a r o c r e m o d e le d ” , R isk, 5 / 8 , p p . 1 1 2 -1 1 9

[2 0 6 ] X u , J., L i, J., ( 2 0 0 2 ) , ” A c la s s o f s t o c h a s t ic o p t im iz a t io n p r o b le m s wit h o n e qu a d r a t ic & s e ve r a l lin e -

a r o b je c t ive fu n c t io n s a n d e xt e n d e d p o r t fo lio s e le c t io n m o d e l” , J ournal of Computational and Applied

M athematics, 1 4 6 , p p . 9 9 -1 1 3

[2 0 7 ] Y o u n g , M.R ., ( 1 9 9 8 ) , ” A m in im a x p o r t fo lio s e le c t io n r u le wit h lin e a r p r o g r a m m in g s o lu t io n ” , M anage-

ment Science, 4 4 , p p . 6 7 3 -6 8 3

[2 0 8 ] Y o u n g , M.S ., ( 1 9 9 8 ) , ” L e s s o n s o f t h e P a s t : H o w R E ITs R e a c t in Ma r ke t D o wn t u r n s ” , International R eal

E state Securities, 3 / 4 , p p . 2 0 -2 2

[2 0 9 ] Zim m e r m a n n , H .G., N e u n e ie r , R ., Gr o t h m a n n , R ., ( 2 0 0 1 ) , ” A c t ive P o r t fo lio -Ma n a g e m e n t b a s e d o n

E r r o r Co r r e c t io n N e u r a l N e t wo r ks ” , NIP S 2001, p p . 1 4 6 5 -1 4 7 2

[2 1 0 ] Zim m e r m a n n , H .G., D r o b e t z , W ., Oe r t m a n n , P ., ( 2 0 0 2 ) , ” Global Asset Allocation : New M ethods and

Applications, Jo h n W ile y & S o n s

1 1 8