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prof. Francesco RagusaUniversità di Milano
Interazioni Elettrodeboli
anno accademico 2019-2020
Lezione n. 821.10.2019
Quantizzazione canonica. Teorema di NoetherTensore energia impulso
Invarianza di gauge globale
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 176
Quantizzazione canonicaAnche nel caso continuo si può utilizzare il formalismo Hamiltoniano
Dobbiamo trovare il momento coniugato della variabile dinamicaLa variabile dinamica è il campo φ
La densità Hamiltoniana è
A questo punto si può procedere come nel caso della quantizzazione dell’oscillatore armonico unidimensionale
Si trasformano la variabile dinamica φ e il suo momento coniugato π in operatori
Osserviamo che si tratta di operatori dipendenti dal tempoIn realtà di famiglie di operatori che dipendono dal "parametro" r
Si impongono regole canoniche di commutazione fra la variabile dinamica e il momento coniugato corrispondente
Lp
q∂
=∂
πφ
∂=
∂L
( ),H p q pq L= − ( ) ( ), , ,μ μπ φ φ πφ φ φ∂ = − ∂H L ( ) 3, ,H d xμπ φ φ= ∂∫ H
φ φ π π→ → ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,t t t tφ φ π π→ →r r r r
( ) ( )[ ],q it tp = ( ) ( ) ( )3, , , it tφ π δ⎡ ⎤′ ′= −⎣ ⎦r r r r Attenzione: t è lo stesso per i due operatori
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 177
Quantizzazione canonicaPoiché rappresenta una famiglia di operatori occorre fissare anche la regola di commutazione per i due operatori distinti
Analogamente
Adesso vogliamo trovare una relazione per trovare a e a† in funzione di φ e πRichiamiamo la rappresentazione del campo che abbiamo già utilizzato
Calcoliamo il momento coniugato
Consideriamo adesso l’espressione
( ),tφ r( ) ( ), ,t tφ φ ′r re
( ) ( ), , , 0t tφ φ⎡ ⎤′ =⎣ ⎦r r
( ) ( ), , , 0t tπ π⎡ ⎤′ =⎣ ⎦r r
( )
( )
3†
3
122
ik x ik xdx a e a eφ
ωπ− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k k
k
( ) ( )( )
( )3
†3
1
22
ik x ik xdx x i a e a eπ φ ω
ωπ
− ⋅ + ⋅⎡ ⎤≡ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk
2 2E mω ≡ = +k kper semplificare la notazione
0p iφ π+
( )( )
3†
3
1
22
ik x ik xda a ei ei ω
ωπ
− ⋅ + ⋅⎡ ⎤+ −− ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk
( )0
3†
3
1
22
ik x ik xda e a ep
ωπ
− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk
( )( ) ( )0 0
3†
3
1
22
ik x ik xda e p a ep ω ω
ωπ
− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦+ −∫ k kk
0p φ iπ
( ),k ω= k
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 178
Quantizzazione canonica
Consideriamo adesso l’integrale ( p = (p0, p) )( )
( ) ( )3
†03
0 0122
ik x ik xdp i a e p a ep ω ωφ π
ωπ− ⋅ + ⋅+⎡ ⎤+ = +⎣ − ⎦∫ k k
k
( )0 302
ip xep i d
pφ π
⋅+∫ r ( )
0
0 302
ip t ie ep i d
pφ π
− ⋅= +∫
p rr
( )( ) ( ) 0
3† 3
30
001
2 4i t i i t i ip t id
a ep pe a e e e e dp
ω ωω ωπ ω
− + ⋅ + − ⋅ − ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦+ −∫ ∫ k r k r p rk k
kr
= −k p 0p ω=
( )( ) 00
33
3 0
12 4
i t i ip t ida e e e e d
pp ωω
π ω− + ⋅ − ⋅⎡ ⎤= ⎣ ⎦+∫ ∫ k r p r
kk
r
( )( ) ( ) ( ) ( )
0 300
33
1 1
22
2
pi t
pa e dp
ω π δπ
ω −−⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎢+
⎥⎣ ⎦∫ k p k k a= p
( )0 302
ip xep i d a
pφ π
⋅+ =∫ pr Notiamo che è
indipendente dal tempo
( )δ +p k
( )δ −p k=k p 0p ω=
( ) 3a dδ= −∫ k p k k
02p
0
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 179
Quantizzazione canonicaAnalogamente si dimostra che
A questo punto possiamo verificare che le relazioni di commutazione sui campi implicano le regole di commutazione sugli operatori di creazione e distruzione
( )0 302
ip xep i d a
pφ π
⋅+ =∫ pr( )0 3 †
02
ip xep i d a
pφ π
− ⋅− =∫ pr
( ) ( )( ) ( ) ( )( )† 0 0 3 30 0
, ,2 2
ik x ip xe ea a k x i x p x i x d d
k pφ π φ π
′⋅ − ⋅⎡ ⎤⎡ ⎤ ′ ′ ′= + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫k p r r
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0 0
0 0 3 30 0
,2 2
i k p ti ie
k x i x p x i x e e d dk p
φ π φ π−
′⋅ − ⋅⎡ ⎤′ ′ ′= + −⎣ ⎦∫ k r p r r r
( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0,k x i x p x i xφ π φ π⎡ ⎤′ ′+ − =⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0 0 0 0, , , ,k p x x ik x x ip x x x xφ φ φ π π φ π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′= − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( )0 0iik i i pδ δ′ ′= − − + − −r r r r ( ) ( )0 0k p δ ′= + −r r
x e x′ hanno lo stesso t
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 180
Quantizzazione canonica
Analogamente si possono verificare le altre regole di commutazioneSi potrebbe anche verificare la relazione inversa
Le regole di commutazione sugli operatori di creazione e distruzioneimplicano le regole di commutazione sui campi
Concludiamo che i due insiemi di regole sono equivalenti
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0 0
† 0 0 3 30 0
, ,2 2
i k p ti i
ke
a a k x i x p x i x e e d dk p
φ π φ π−
′⋅ − ⋅⎡ ⎤⎡ ⎤ ′ ′ ′= + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ k r p rp r r
( ) ( )( )0 0
0 0 3 30 02 2
i k p ti ie
k p e e d dk p
δ−
′⋅ − ⋅′ ′= + −∫ k r p rr r r r
( )( )
( )
0 0
0 0 30 02 2
i k p tie
k p e dk p
−− − ⋅= +∫ p k r r
( ) ( )( ) ( )
0 00 03
0 02
2 2
i k p tk p e
k pπ δ
−+= −p k ( ) ( )32π δ= −p k
( ) ( )0 0k p δ ′+ −r r
0 0p k=
( )δ −p k
= 1
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 181
Calcolo dell’HamiltonianaPer continuare a fare pratica con gli operatori di campo e le regole di commutazione possiamo esprimere l’Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e distruzione per il campo di Klein-Gordon reale
( ) ( ), , ,μ μπ φ φ πφ φ φ∂ = − ∂H L [ ]212 mμ
μφ φ φφ= ∂ ∂ −L
21 12 2m
μμφφ φ φ φφ= − ∂ ∂ +H 21
2 mφφ φ φ φφ⎡ ⎤= + ∇ ∇ +⎣ ⎦
( )
( )
3†
3
122
ik x ik xdx a e a eφ
ωπ− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k k
k
3H d= ∫ rH
( )
( )
3†
3
122
ik x ik xdx i a e a eφ
ωπ− ⋅ + ⋅⎡ ⎤∇ = −⎣ ⎦∫ k k
kk
2 312H m dφφ φ φ φφ⎡ ⎤= + ∇ ∇ +⎣ ⎦∫ r
( )
( )( )
3†
31
22ik x ik xd
x i a e a eφ ωωπ
− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫ k kk
π φφ
∂= =
∂L
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 182
Calcolo dell’HamiltonianaCominciamo con il pezzo più complicato (poco più complicato)
Per semplicità definiamo
Con i diversi prodotti compaiono due tipi di δIl termine −kk′ assume valori diversi
( )† †3 3 3
, ,,6 ,
12 2 2
i i i it tt td d a e a e a e a e d
π ω ω′ ′+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
′ ′′− ⎡ ⎤⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′∫ ∫ ∫ k r k r k r k r
k kk kkk
k k r
( ) ( )
( )
2† † † †3 3
, , , ,, , , ,31
22t t t tt t t tx x d d a a a a a a a aφ φ
ωπ − −⎡ ⎤∇ ∇ = + + +⎣ ⎦∫ ∫ k k k kk k k k
kr k
( ) ( ) 3x x dφ φ∇ ∇∫ r
( )† †3 3 3
61
22 2ik x ik x ik x ik xi i
d d a e a e a e a e dωπ ω
′ ′− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅′ ′
′ ⎡ ⎤⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′∫ ∫ ∫ k kk kk k
k k r
0 0† †, ,
ik t ik tt ta e a a e a− +≡ ≡k k k k
( ) ( )
( ) ( )
3
3
2
2
i i
i i
e e
e e
π δ
π δ
′+ ⋅ + ⋅
′+ ⋅ − ⋅
′+
′−
k r k r
k r k r
k k
k k
∼
∼( ) 2δ ′ ′+ → − =k k kk k ( ) 2δ ′ ′− → − = −k k kk k
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 183
Calcolo dell’HamiltonianaVeniamo al termine contenente il momento coniugato
Questo integrale è quasi identico a quello precedenteLa differenza risiede nel fatto che il termine −ωω′ ha sempre lo stesso segnoI termini con compaiono con segno opposto rispettoal caso precedente (segno negativo)
( ) ( ) 3x x dφ φ∫ r
( )† †3 3 3
6
122 2
ik x ik x ik x ik xi id d a e a e a e a e d
ω ωωπ ω
′ ′− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅′ ′
′ ⎡ ⎤⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′∫ ∫ ∫ k kk kk k r
( ) ( )
( )
2† † † †3 3
, , , ,, , , ,3
122
t t t tt t t tx x d d a a a a a a a aω
φ φωπ − −⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦∫ ∫ k k k kk k k kr k
† †a a a a− −k k k ke
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 184
Calcolo dell’HamiltonianaPer finire il termine che contiene il quadrato del campo
Otteniamo un risultato molto simile al primoTutti i prodotti hanno segno positivo
Sommiamo i tre integrali e moltiplichiamo per ½I termini con avranno un coefficiente ( ricordiamo E = ω )
I termini rimanenti avranno un coefficiente
( ) ( )2 3m x x dφ φ∫ r
( )
2† †3 3 3
6
1 122 2
ik x ik x ik x ik xmd d a e a e a e a e d
ωπ ω′ ′− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅
′ ′⎡ ⎤⎡ ⎤′= + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′∫ ∫ ∫ k kk kk k r
( ) ( )
( )
2† † † †2 3 3
, , , ,, , , ,3
122
t t t tt t t tm
m x x d d a a a a a a a aφ φωπ − −
⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦∫ ∫ k k k kk k k kr k
2 2 2m E+ −k2 2 2 0m E+ − =k† †a a a a− −k k k ke
2 2 2m E+ +k2 2 2 22m E E+ + =k
( )
2† †3 3
, ,, ,3
1 1 22 22
t tt tE
H d d a a a aωπ
⎡ ⎤= = +⎣ ⎦∫ ∫ kk kk kr kH
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 185
Calcolo dell’HamiltonianaNotiamo infine che
Il risultato che abbiamo trovato è molto simile a quanto avevamo trovato intuitivamente (diapositiva )
Trasformiamo ulteriormente l’espressione trovata usando le regole di commutazione degli operatori di creazione e distruzione
L’Hamiltoniana è la somma delle energie dei singoli oscillatoriIl termine ½Ek è legato all’energia del vuoto nell’oscillatoreNel caso di un campo porta ad un contributo divergente
Viene eliminato imponendo che i campi abbiano un ordinamento normaleIn un prodotto normale ( :AB: ) gli operatori di distruzione stanno a destra
( )† †3
31 1
22H d E a a a a
π⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k k kk kk
† † †, 1 1a a a a a a⎡ ⎤ = → = +⎣ ⎦k k kk k k
0 0† †, ,
ik t ik tt ta e a a e a− +≡ ≡k k k k
† † † †, ,, ,t tt ta a a a a a a a= =k k k kk k k k
( )†3
3
1 122
H d E a aπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kkk
indipendenti dal tempo
1274170
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 186
DigressioneIl calcolo appena fatto, benché concettualmentesemplice, è un po’ laborioso
Una complicazione deriva dagli integrali del tipo
Infatti, a differenza degli integrali con il segnonegativo nell’esponente che contiene k⋅x, questicontribuiscono con fattore un po’ più complicato
Conviene definire una procedura standard che consenta di semplificare i calcoliInnanzitutto alcune notazioni
Inoltre
Si può verificare che le funzioni uk(x) oltre alla relazione standard
Soddisfano alle seguenti ulteriori regole di ortogonalità generalizzata
( )3
3 0 0
12 2 2
ip x ik xe ed
p kπ
+ ⋅ − ⋅
∫ r
( )3
3 0 0
12 2 2
ip x ik xe ed
p kπ
+ ⋅ + ⋅
∫ r
( )02
ik xeu x
k
− ⋅≡k
0 2 2k m= + +k 0k x k t⋅ = − ⋅k r
( ) ( )1 2 1 2 1 2f f f f f fμ μ μ∂ ≡ ∂ − ∂
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
3 3
0 03 3
3 3
0 03 3
' '2 2
0 02 2
d du x i u x u x i u x
d du x i u x u x i u x
δ δπ π
π π
∗ ∗′ ′
∗ ∗′ ′
∂ = − ∂ = − −
∂ = ∂ =
∫ ∫∫ ∫
k kk k
k kk k
r rk k k k
r r
( ) ( )
( )( )
3
03122
du x u x
kδ
π∗
′ ′= −∫ k kr
k k
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 187
DigressioneTramite le funzioni uk le espansioni dei campi diventano
L’inversione delle formule si esprime in modo più semplice
Come esempio, diventa relativamente facile il calcolo del commutatore
Sono diversi da zero solo
Otteniamo pertanto
( )
( )( ) ( )
†33
12
x d a u x a u xφπ
∗⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k k kkk ( )
( )( ) ( ) ( )
†3 03
12
x d ik a u x a u xππ
∗⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫ k k kkk
( ) ( ) 30a u x i x dφ∗= ∂∫p p r
( ) ( )† 30a u x i x dφ= − ∂∫p p r
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )† 0 3 0 3, ,a a u x p x i x d u x k x i x dφ π φ π∗⎡ ⎤⎡ ⎤ ′ ′ ′ ′= + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫p p kk r r
( ) ( ) ( )( )0 3a u x p x i x dφ π∗= +∫p p r
( ) ( ) ( )( )† 0 3a u x p x i x dφ π= −∫p p r
( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 0 0u x d u x d ip i ik iδ δ∗ ′ ′ ′ ′= − − − −∫ ∫p kr r r r r r
( ) ( ) ( )0 0 3p k u x u x d∗= + ∫ p k r ( ) ( ) ( ) ( )0
3 30
22 2
2pp
π δ π δ= − = −p k p k
( ) ( ) ( )3, iφ π δ⎡ ⎤′ ′= −⎣ ⎦r r r r ( ) ( ) ( )3, iπ φ δ⎡ ⎤′ ′= − −⎣ ⎦r r r r
†,a a⎡ ⎤⎣ ⎦p k
( ) ( )
( )( )
3
03122
du x u x
kδ
π∗
′ ′= −∫ k kr
k k
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 188
Digressione
( )( )3
3 3 0 †1 12 2
H d d p a aπ
δ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫ k p kpk p( )
( )3
†3 3 0 †1 12 2
H d d p a a a aπ
δ δ⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k p kp k p kpk p ( )33 0 † †1 1
2 2d p a a a a
π⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ p p p pp
1307185
Anche il calcolo dell’Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e distruzione diventa più semplice
Innanzitutto notiamo che
Inoltre, per l’equazione di KGPertanto l’Hamiltoniana si semplifica in
Introducendo le rappresentazioni
Sopravvivono solo (vedi diapositiva )
2 312H m dφφ φ φ φφ⎡ ⎤= + ∇ ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ r
2 2mφ φ φφ φφ− ∇ = − −2 2 0mφ φ φ− ∇ + =
( ) 2φ φ φ φ φ φ∇ ∇ = ∇ ⋅ ∇ − ∇ ( ) ( )3 0d dφ φ φ φ∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ →∫ ∫r a
Teorema di Gauss
312H dφφ φφ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ r ( ) 31
02 i i dφ φ= ∂∫ r
( )
( )( ) ( )
†33
12
x d a u x a u xφπ
∗⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k k kkk ( )
( )( ) ( ) ( )
†3 03
12
x d ik a u x a u xφπ
∗⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫ k k kkk
( )( ) ( ) ( ) ( )
6†3 3 3 0 †1 1
02 2H d d d p a u x a u x i a u x a u x
π∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ∂ −⎣ ⎦⎣ ⎦∫ k k k p p p pkk p r
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 189
Teorema di NoetherAbbiamo già visto che le equazioni di campo si deducono minimizzando l’azione
Il teorema di Noether† permette derivare leggi di conservazioni dalle proprietà di simmetria dell’Azione (e quindi della Lagrangiana)
L’azione può essere lasciata invariata da trasformazioniDi simmetria interna (ad esempio isospin, gauge)Di simmetria spazio-temporale (trasformazioni di Lorentz)
Il teorema di Noether asserisce cheAd ogni simmetria differenziabile che lascia invariata l’azione corrisponde una corrente conservata e, di conseguenza, una carica conservata
Dato che l’azione è un integrale su d4x la trasformazione di simmetria deve Lasciare invariata la lagrangiana δL = 0
Al più variare la lagrangiana di una 4-divergenza (δL = ∂μfμ) che per il teorema di Gauss 4-dimensionale non contribuisce all’azione
†Emmy Noether, Invariante Variationsprobleme. Göttingen 1918, pp. 235-257
( ) 4,S d xμφ φ= ∂∫ L 0Sδ =( )μ
μ φφ∂ ∂
∂ =∂∂ ∂
L L
4 0f d x f dSμ μμ μ∂ = →∫ ∫
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 190
Teorema di NoetherTipicamente, per le simmetrie interne il termine di 4-divergenza è nullo
La 4-divergenza è non nulla nel caso delle simmetrie dello spazio-tempo†
Trasformazioni del gruppo di Poincaré:Trasformazioni Lorentz e traslazioniL’applicazione di una trasformazione del gruppo di simmetria provoca una variazione dei campi φ → φ + δφLa variazione dei campi induce una variazione della Lagrangiana L → L + δL
Nel caso delle simmetrie interne δL = 0Esiste una corrente jμ conservata ∂μjμ = 0
Nel caso delle simmetrie dello spazio tempo δL = ∂μfμ
Esiste una corrente jμ tale che ∂μjμ = ∂μfμ → ∂μ(jμ− fμ ) = 0
La corrente conservata implica l’esistenza di una carica conservata
†Peskin-Schroeder – An Introduction to Quantum Field Theory – cap. 2.2 p. 17
Q dVρ= ∫ 0Qt
∂=
∂
tρ∂
= ∇ ⋅∂
j dV dVtρ∂
= ∇ ⋅∂∫ ∫ j
S
d= ⋅∫ j a 0=
Per campi che vanno a zeroall'infinito rapidamente
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 191
Teorema di NoetherUna variazione δφ(x) di un campo è una funzione
InfinitesimaChe si annulla agli estremi
L’operazione di variazione commuta con la derivazioneL’espressione ∂μφ è una funzione (che dipende da φ)
Veniamo ora alla dimostrazione del teoremaPer generalità supponiamo che la lagrangiana dipenda da più campi ( n = 1,N)
Calcoliamo la variazione della Lagrangiana
Elaboriamo l’espressioneCommutiamo δ con ∂μ nel secondo termineUtilizziamo l’equazione di Eulero-Lagrange nel primo
( ) ( ) ( )1 2xx xφδφ φ= −
xa xb
( ) ( ) 0a bx xδφ δφ= =
( )1 xφ( )2 xφ
( )[ ] ( ) ( )1 2 xxxμ μμφδ φ φ∂= − ∂∂ ( ) ( )[ ]1 2x xμ φ φ= ∂ − ( )xμδφ= ∂
( ),n nμφ φ= ∂L L
( ),n n n nμ μδ φ δφ φ δ φ= + ∂ + ∂ −L L L( )
1
N
n nn nn
μμ
δφ δ φφ φ
=
∂ ∂= + ∂
∂ ∂ ∂∑ L L
( ) nnμ
μ φφ∂ ∂
∂ =∂∂ ∂
L L
( ) ( )1
N
n nn nn
μ μμ μ
δ δφ δφφ φ
=
∂ ∂= ∂ + ∂
∂ ∂ ∂ ∂∑ L LL
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 192
Teorema di Noether
L’espressione può essere trasformata in una 4-divergenza
Se la trasformazione di simmetria modifica solo i campi ma lascia invariata la lagrangiana allora la variazione è nulla: δL = 0
Otteniamo
Abbiamo inoltre supposto che l’operazione di simmetria sia differenziabileIn generale, la variazione del campo dipende da M parametri arbitrari (ad esempio, una rotazione dipende da 3 parametri)
Poiché la variazione dei campi è arbitraria possiamo variare gli M parametriindipendentemente (uno a uno) e otteniamo M espressioni
( ) ( )n nn nn
μ μμ μ
δ δφ δφφ φ
∂ ∂= ∂ + ∂
∂ ∂ ∂ ∂∑ L LL
( ) nnn
μμ
δ δφφ
∂= ∂
∂ ∂∑ LL
( )0n
nn
μμ
δφφ
∂∂ =
∂ ∂∑ L
1
Mn k
n kk
δφδφ δε
δε=
= ∑
( )0 1,n
knn
k Mμμ
δφφ δε
∂∂ = =
∂ ∂∑ L
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 193
Teorema di Noether
Possiamo pertanto definire le M correnti conservate
La natura dell’indice k dipende dal tipo di trasformazionePuò essere un indice di Lorentz
In questo caso la corrente è un tensorePuò essere un indice che individua un grado di libertà interno
Un esempio è l’isospin
( )0 1,n
knn
k Mμμ
δφφ δε
∂∂ = =
∂ ∂∑ L
( ), ,1, 0nk k
knn
j k M jμ μμ
μ
δφφ δε
∂= = ∂ =
∂ ∂∑ L
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 194
Tensore energia impulsoCome prima applicazione del teorema di Noether consideriamo l’invarianza della Lagrangiana per traslazioni nello spazio tempo per il campo di Klein-Gordon
Le traslazioni sono elementi del gruppo di PoincarèSi tratta di trasformazioni dello spazio tempo
Una traslazione e definita come
Trasformazioni differenziabiliDipendono da 4 parametri
Per una traslazione i campi hanno una variazione
La corrente di Noether è pertanto
La relativa variazione della Lagrangiana èAttenzione! Non è nulla !
x x aμ μ μ→ +
( ) ( ) ( )x x a x aν ν ν ννδφ φ φ φ= + − = ∂
a ννδφ
φδ
= ∂
[ ]212 mμ
μφ φ φφ= ∂ ∂ −L
( )j
aμμν νδφδφ
∂∂ ∂
=L
j μμν νφφ= ∂ ∂
ja
μ μμν μ νν
δφ φ
δ= ∂ = ∂ ∂ ∂
L
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 195
Tensore energia impulsoInfatti la lagrangiana è implicitamente una funzione della posizione
La variazione indotta dalla traslazione è
Uguagliando con l’analoga espressione trovata per la variazione dei campi
Definiamo il tensore Energia-Impulsoper il campo di Klein Gordon
La conservazione della corrente èLe “cariche” conservate sono le componenti del 4-momento
In particolare l’Hamiltoniana
( ) ( ) ( )( ),x x xμφ φ= ∂L L ( )a g a xμ μ νμ μνδ = ∂ = ∂L L L
( )g xa
μμνν
∂= ∂
∂L
L
( )g xμ μμ ν μνφ φ∂ ∂ ∂ = ∂ L
( )T g xμν μ ν μνφ φ= ∂ ∂ − L
0Tμ μν∂ =
30P T dν ν= ∫ r
30 00H P T d≡ = ∫ r ( )00 0 0 00T g xφ φ= = ∂ ∂ −H L ( )xφφ= −H L
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 196
Tensore energia impulsoAnalizziamo anche le altre componenti del 4-momento
Anche nel caso di P, come per H, alla fine avremo bisogno di eliminare un contributo infinito
Oppure adottiamo l’ordinamento normaleSviluppiamo l’espressione
Osserviamo cheInoltre
Ovviamente le due espressioni conducono a risultati uguali solo se si scartano i termini che conducono a infiniti da eliminare
A questo punto si sostituiscono le rappresentazioni del campo e si trova, come per l’Hamiltoniana
( )T g xμν μ ν μνφ φ= ∂ ∂ − L3
0P T dν ν= ∫ r 30 dνφ φ= ∂ ∂∫ r 3dφ φ= − ∇∫ r
3dφ φ= − ∇∫P : r :
3dφ φ= − ∇∫P : : r 312
dφ φ φ φ= − ∇ + ∇∫ : : r
( ) ( )φ φ φφ φ φ∇ = ∇ − ∇ ( ) ( )3 0i j k i id dx dx dxφφ φφ+∞
−∞∂ = ∂ →∫ ∫ ∫r
( ) ( )φ φ φ φ∇ = ∇: : : :
312
dφ φ φ φ= − ∇ − ∇∫P : : r
( )† 3
312
a a dπ
= ∫ p pP p p
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 197
Il campo scalare complessoIl campo di Klein-Gordon che abbiamo fino ad ora studiato ha un solo grado di libertà
Ci renderemo conto che serve per descrivere bosoni neutriParticelle che coincidono con la propria antiparticella
Per descrivere particelle cariche abbiamo bisogno di un campo complessoLa carica va intesa in senso ampio
È un numero quantico che distingue particelle e antiparticelleNon è necessariamente la carica elettrica
Consideriamo due particelle di Klein-Gordon con la stessa massaLa Lagrangiana di questo sistema è
I campi φ1 e φ2 sono due gradi di libertà di un sistemache ha bisogno di due componenti in uno spazio astratto
Studiamo gli effetti dell’invarianza rispetto a rotazioniin questo spazio
Le trasformazioni dipendono da un parametro ( gruppo SO[2] )
( ) 2 2 2 21 1 1 11 1 1 2 2 22 2 2 2x m mμ μ
μ μφ φ φ φ φ φ= ∂ ∂ − + ∂ ∂ −L
φ1
φ2
1 1 2
2 1 2
cos sin
sin cos
φ φ α φ α
φ φ α φ α
′ = −
′ = +
α φ
φ'
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 198
Il campo scalare complessoConsideriamo una rotazione infinitesima: α → δα
La trasformazione dei campi diventaPertanto le variazioni dei due campi sono
Si tratta di una simmetria interna con un solo parametroLa corrente di Noether è
La carica conservata è
cos 1 sinδα δα δα≈ ≈
1 1 2
2 1 2
φ φ φ δα
φ φ δα φ
′ = −
′ = +
1 1 1 2
2 2 2 1
δφ φ φ φ δα
δφ φ φ φ δα
′= − = −
′= − =
12
21
δφφ
δαδφ
φδα
= −
=
( )n
nn
N μφ
μ
δφδαφ
∂=
∂ ∂∑ L
( ) ( )1 2
1 2μ μ
δφ δφδα δαφ φ
∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ∂L L
( )( ) ( )1 2 2 1μ μφ φ φ φ= ∂ − + ∂ ( ) ( )2 1 1 2N μ μ μ
φ φ φ φ φ= ∂ − ∂
0 3Q N dφ= ∫ r ( ) 32 1 1 2 dφ φ φ φ= −∫ r
confrontare con la corrente dell’equazione di
Klein-Gordon
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 199
Il campo scalare complessoUn modo più sintetico di svolgere i calcoli si ha introducendo un campo complesso φ
Ricordando lo sviluppo di un campo scalare reale
Troviamo il seguente sviluppo per il campo complesso
Gli operatori a e b† sono adesso indipendenti
Gli operatori di creazione e distruzione introdotti hanno le seguenti regole di commutazione
Tutte le regole di commutazione altre sono nulle
( )11 22iφ φ φ= − ( )† 1
1 22iφ φ φ= +
( )
( )
3†
31
22ik x ik x
n n nd
x a e a eφωπ
− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k kk
( )
( )
3†
31
22ik x ik xd
x a e b eφωπ
− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k kk
† † †11 22ˆ ˆ( )b a ia= −k k k
11 22( )a a ia= −k k k
( ) ( )† 3, 2a a π δ′⎡ ⎤ ′= −⎣ ⎦k k k k ( ) ( )† 3, 2b b π δ′
⎡ ⎤ ′= −⎣ ⎦k k k k
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 200
Il campo scalare complessoSi può verificare facilmente che nel piano complesso la trasformazioneche abbiamo introdotto è ( gruppo U[1] )
La trasformazione in oggetto prende il nome di trasformazione di fase o trasformazione di gauge globale (la fase non dipende da x)
La Lagrangiana per il campo complesso èRipetiamo il calcolo precedente utilizzando il campo complesso
La corrente di Noether
La carica conservata è
† 2 †mμμφ φ φ φ= ∂ ∂ −L
( )n
nn
N μφ
μ
δφδαφ
∂=
∂ ∂∑ L
( ) ( )†
†μ μ
δφ δφδα δαφ φ
∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ∂L L
( )( ) ( )( )† †i iμ μφ φ φ φ= ∂ + ∂ −
ie αφ φ−′ = ( )1 iφ δα φ′ = − iδφ δαφ= − † †iδφ δαφ=
( ) ( )† †N iμ μ μφ φ φ φ φ⎡ ⎤= ∂ − ∂⎣ ⎦
0 3 † † 3Q N d i dφ φφ φ φ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫r r
confrontare con la corrente dell’equazione di Klein-Gordon
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 201
Il campo scalare complessoUtilizzando le espansioni integrali si calcolano
L’Hamiltoniana
L’operatore Carica
In entrambi i calcoli si sono trascurati i termini che danno contributo infinito (equivalente a imporre prodotti normali)
Entrambi gli operatori (H e Q) si possono esprimere in funzione di due operatori numero relativi a due differenti tipi di quanti
Entrambi gli operatori numero (n+ e n−) hanno autovalori non negativiL’Hamiltoniana contiene la somma di questi operatori
L’Hamiltoniana è definita positivaSi è eliminato il problema delle energie negative
L’operatore Carica è la differenza dei due operatoriI due quanti contribuiscono con segno opposto alla caricaHanno carica opposta (sono uno antiparticella dell’altro)
( )† †3
312
H d a a b b ωπ
⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k kk kk
( )† †3
312
Q d a a b bπ
⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ k kk kk
†n a a+ = kk k†n b b− =k kk
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 202
Il campo scalare complessoAnalizziamo un po’ meglio l’effetto degli operatori a e b
Per un generico operatore di creazione o distruzione op
Per i vari operatori di creazione e distruzione si ha
Pertanto
Inserendo nella relazione di partenza
Gli operatori a e b† diminuiscono di 1 la caricaL’operatore a distrugge una particella, l’operatore b† crea un’antiparticella
Gli operatori a† e b aumentano di 1 la caricaL’operatore a† crea una particella, l’operatore b distrugge un’antiparticella
( )† †3
31
, ,2
Q o d a a b b oπ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫p k k pk kk
† † ,a a b b a⎡ ⎤−⎣ ⎦k k pk k† ,a a a⎡ ⎤= ⎣ ⎦k pk [ ]† †, ,a a a a a a⎡ ⎤= + ⎣ ⎦k p p kk k
†,a a a⎡ ⎤= − ⎣ ⎦p kk ( )3(2 ) aπ δ= − − kk p
( )† † † 3 †, (2 )a a b b a aπ δ⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦k k k k p pk p
( )† † † 3 †, (2 )a a b b b bπ δ⎡ ⎤− = − −⎢ ⎥⎣ ⎦k k k k p pk p
( )† † 3, (2 )a a b b a aπ δ⎡ ⎤− = − −⎢ ⎥⎣ ⎦k k k k p kk p
( )† † 3, (2 )a a b b b bπ δ⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦k k k k p pk p
,Q a a⎡ ⎤ = −⎣ ⎦p p† †,Q a a⎡ ⎤ =⎣ ⎦p p ,Q b b⎡ ⎤ =⎣ ⎦p p
† †,Q b b⎡ ⎤ = −⎣ ⎦p p
• E analogamente …
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 203
Il campo scalare complessoGli stati del campo complesso si costruiscono come nel caso del campo reale
Adesso però ci sono due tipi di particelle indipendentiParticelle “Positive”
Particelle “Negative”
Analogamente si costruiscono stati con un numero arbitrario di quanti dei due tipiData la forma degli operatori Q e H è immediato verificare che l’operatore Q è conservato
In assenza di interazioni si può facilmente verificare che il numero di antiparticelle e il numero di particelle si conservano separatamente
Si può inoltre verificare che per i campi φ e φ† valgono regole di commutazione con Q simili a quelle degli operatori di creazione e distruzione
Definiamo (tramite sviluppo in serie) l’operatoreSi può dimostrare che
†, 0a+ = pp
†, 0b− = pp
, 0Q Q H⎡ ⎤= =⎣ ⎦
,Q φ φ⎡ ⎤ = −⎣ ⎦† †,Q φ φ⎡ ⎤ =⎣ ⎦
( ) i QU e αα =
1( ) ( ) iU U e αα φ α φ− =
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 204
Quantizzazione del Campo di DiracLa quantizzazione del campo di Dirac ψ si effettua in modo del tutto analogoalla quantizzazione del campo di Klein-Gordon
Seguendo il nostro approccio per il campo di KGSi sviluppa il campo nei modi normaliSi promuovono i coefficienti dello sviluppo a operatoriSi impongono le regole di commutazione
Alternativamente si può seguire il metodo canonicoSi scrive la Lagrangiana del campo di DiracSi individuano i momenti coniugati ai campiSi impongo le relazioni di commutazioni fra campi e momenti coniugati
Anticipiamo che la differenza fondamentale sta nel fatto che nelle regole di commutazione ai commutatori [A,B] si sostituiscono gli anticommutatori {A,B}
La necessità degli anticommutatori può essere motivata alternativamenteDal principio di esclusione di Pauli che richiede l’antisimmetria degli statifermionici costruiti con gli operatori di creazione e distruzioneDalla necessità che l’Hamiltoniana sia definita positiva
Entrambi gli approcci derivano da motivazioni fisicheVale la pena approfondire entrambi gli aspetti
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 205
Lagrangiana del campo di DiracLa Lagrangiana del campo di Dirac è
Notiamo che non contiene i campi ∂μψ†
L’equazione di Dirac segue semplicemente applicando le equazioni di Eulero Lagrange ai campi ψ e ψ†
Variando i campi ψ†
Alternativamente, variando i campi ψ
L’asimmetria fra ψ e ψ† deriva dal fatto che più Lagrangiane sono possibiliAd esempio
Tuttavia si può dimostrare che le azioni corrispondenti differiscono per l’integrale di una 4-divergenza che si può rendere nullo all’infinito
Pertanto conducono alle stesse equazioni
( ) ( )†, , i mμψ ψ ψ ψ ψ/∂ = ∂ −L
( )μμ φφ
∂ ∂∂ =
∂∂ ∂L L
( ) ††μμ ψψ
∂ ∂∂ =
∂∂ ∂L L ( )00 i mγ ψ/= ∂ − ( ) 0i m ψ/∂ − =
( )μμ ψψ
∂ ∂∂ =
∂∂ ∂L L
i mμμ ψγ ψ∂ = − ( ) 0i mψ /∂ + =
( )1 i mψ ψ∗ ⎡ ⎤/= = ∂ −⎣ ⎦L L ( )[ ]i mμμψ γ ψ ψ= ∂ −
( ) ( )*uAv uAv=
( )i mμμγ ψ ψ ψ= ∂ −
( )i mμμψγ ψ ψ= − ∂ − ( )1 i mψ ψ/= − ∂ +L
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 206
Hamiltoniana del campo di DiracPossiamo a questo punto calcolare i momenti coniugati di ψ
I momenti coniugati di ψ† sono nulli per l’asimmetria fra ψ e ψ† nella Lagrangiana
L’Hamiltoniana è pertanto
Dal momento che ψ soddisfa l’equazione di Dirac
Abbiamo una utile espressione alternativa per l’HamiltonianaSi potrebbe calcolare il momento del campo calcolando il tensore Tμν
Diamo i due risultati (il calcolo può essere un esercizio)
( )i mψ ψ/= ∂ −L
( )0π
ψ∂
=∂ ∂L 0iψ γ= † 0 0iψ γ γ= †iψ=
0π ψ= ∂ −H L ( )†0i i mψ ψ ψ ψ/= ∂ − ∂ − ( )0 0† † 0
0 i mμμψ ψ ψγ γ γ ψγ= ∂ − ∂ −
† 0
1,3
kk
k
i mψ γ γ ψ=
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= − ∂ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠∑ ( )† 0i mψ α γ ψ= − ⋅ ∇ + ( )† i mψ α β ψ= − ⋅ ∇ +H
( ) 0i m iα β ψ ψ− ⋅ ∇ + = ∂
†0iψ ψ= ∂H
3 †0H d iψ ψ= ∂∫ r ( )3 †d iψ ψ= −∫P r ∇
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 207
Espansione del campo di DiracL’espansione del campo di Dirac in onde piane si può fare allo stesso modo di quanto fatto per il campo scalare
Conviene definire delle funzioni con ben definite proprietà di ortogonalità
Le relazioni di ortogonalità sono
Il campo diventa
Utilizzando queste relazioni si può facilmente invertire l’espansione
( )
( )( )
3†
, , ,,32 2ik x ik x
s
dx a u e b v e
E σ σ σσσ
ψπ
− ⋅ + ⋅
=±
= +∑∫ k k kkk
k
( ),
, 32 2
ik xu ef
Eσ
σ π
− ⋅
= kk
k ( ),
, 32 2
ik xv eg
Eσ
σ π
+ ⋅
= kk
k
( ) ( )† 3
, ,f x f x d σ σσ σ δ δ′ ′′ ′ =∫ k kk k r ( ) ( )† 3
, ,g x g x d σ σσ σ δ δ′ ′′ ′ =∫ k kk k r
( ) ( )† 3 0f x g x dσ σ′ ′ =∫ k k r ( ) ( )
† 3 0g x f x dσ σ′ ′ =∫ k k r
( ) ( )† 3a f x x dσ σ ψ= ∫p p r ( ) ( )† † 3b g x x dσ σ ψ= ∫p p r
( ) ( )†3, , , ,
s
x d f a g bσ σ σ σσ
ψ=±
= +∑∫ k k k kk
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 208
Quantizzazione del campo di DiracPossiamo adesso discutere la quantizzazione del campo di Dirac
Seguendo il nostro approccio iniziale promuoviamo le funzioni akσ e bkσ a operatori in uno spazio astratto e fissiamo le regole di anti-commutazione
Con questi operatori si possono costruire gli stati con n particelle nello spazio di Fock
Una analoga espressione si può scrivere con gli operatori b† (antiparticelle)Le regole di anticommutazione fra gli operatori a e b assicurano che gli stati abbiano la corretta antisimmetria rispetto alle permutazioni di due particelle
Il segno è + o − per permutazioni pari o dispari rispettivamenteNel seguito sarà utile trattare separatamente le due componenti di un campo
La componente a energia positiva
La componente a energia negativa
{ } ( )† 3, 2a aσ σσσ π δ δ′ ′′ ′ =k kkk { } ( )† 3, 2b bσ σσσ π δ δ′ ′′ ′ =k kkk tutte le altre nulle
1 1 1
† †1 1, 2 2 0
n n nn n E E a aσ σσ σ = k k k kk k… … …
1 1 1 1, , , , , , , , , , , ,n n nj j k k k k nj jσ σ σσ σ σ σ σ= ±k k k kk k k k… … … … … …
3,( ) ( )a
s
x f x a dσ σσ
ψ=±
= ∑∫ k k k
†† 3,( ) ( )
bs
x g x b dσ σσ
ψ=±
= ∑∫ k k k
†( ) ( ) ( )a bx x xψ ψ ψ= +
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 209
Quantizzazione del campo di DiracCalcoliamo adesso gli anticommutatori (a tempi uguali t = t′ )
Notiamo che i campi ψ hanno 4 componentiDal momento che gli operatori a e b anti-commutano fra di loro avremo
Cominciamo con le componenti a energia positiva
Analogamente per le componenti a energia negativa
( ) ( ){ },n mx xψ ψ ′ ( ) ( ){ }† †,n mx xψ ψ ′ ( ) ( ){ }†,n mx xψ ψ ′
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }† ††† †, , ,n m an am b n b m
x x x x x xψ ψ ψ ψ ψ ψ′ ′ ′= +
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }† †† 3 3, ,an am n mx x d d f x f x a aσ σσ σσσ
ψ ψ ′ ′ ′ ′′
′ ′ ′= ∑∫ k kk kk k
( ) ( ) ( )3 †32 n md f x f xσ σσ
π ′= ∑∫ k kk
( )( ) †3
3
1 122
in md e u u
E σ σσπ
′⋅ −+= ∑∫ k r rk k
k
k
( ) ( ){ }( )
( )† †
3† †
3
1,
22
in mb n b m
dx x e v v
E σ σσ
ψ ψπ
− ′⋅ −′ = ∑∫ k r rk k
k
k
( )( ) †3
3
1 122
in md e v v
E σ σσπ
′+ ⋅ −− −= ∑∫ k r r
k kk
k
Ricordiamo t = t′
{ } ( )† 3, 2a aσ σσσ π δ δ′ ′′ ′ =k kkk
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 210
Quantizzazione del campo di DiracSommando i due pezzi
Oltre alle relazioni di completezza già studiate (diapositiva ) ne esistono altre
In conclusione otteniamo
Con una procedura simile si ottengono le altre relazioni
( ) ( ){ }( )
( ) † †† 33
1 1,
22i
n m
nm
x x d e u u v vE σ σσ σ
σ σ
ψ ψπ
′⋅ −− −
+ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟′ ⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑∫ k r rk kk k
kk
( )† †12 nm nmnm
u u v v IE σ σσ σ
σ
δ− −+ = =∑ k kk kk
( ) ( ){ }( )
( )† 33
1,
2i
n m nmx x d eψ ψ δπ
+ ′⋅ −′ = ∫ k r rk
( ) ( ){ } ( )†,n m nmx xψ ψ δ δ′ ′= −r r
( ) ( ){ }, 0n mx xψ ψ ′ = ( ) ( ){ }† †, 0n mx xψ ψ ′ =
( )†⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟= =⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i i i i i i ii i i i i i ii i i ii i i i i i ii i i i i i i
116282
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 211
Hamiltoniana e regole di commutazioneVeniamo adesso all’espressione dell’Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e distruzione
È conveniente partire dalle relazioni
Utilizzando l’espansione di ψ otteniamo
Introducendo nell’Hamiltoniana
Eseguiamo l’integrazione sul volumeUtilizziamo le relazioni di ortogonalità: sopravvivono solo due termini
3 †0H d iψ ψ= ∂∫ r ( ) ( )†3
, , , ,s
x d f a g bσ σ σ σσ
ψ=±
= +∑∫ k k k kk
( ) ( )†30 , , , ,
s
i x d E f a g bσ σ σ σσ
ψ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′=±
′∂ = −∑∫ k k k k kk ( ) ( )† † †† 3,, , ,
s
x d f a g b σσ σ σσ
ψ=±
= +∑∫ kk k kk
( ) ( )† † † †3 † 3 3 30 , , , ,, , , ,
, s
H d i d d d f a g b E f a g bσ σ σ σσ σ σ σσ σ
ψ ψ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′=±
′= ∂ = + −∑∫ ∫ k k k k kk k k kr r k k
( )† † † †3 3 3,, , ,, , , ,
, ' s
H d d E d f f a a g g b bσσ σ σσ σ σ σσ σ
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′=±
′= −∑∫ ∫ kk k k kk k k kk k r
( )† †3 3,,, ,
, ' s
d d E a a b bσσ σσ σσσ σσ σ
δ δ δ δ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′=±
′= −∑∫ kk k kk kkk kk k ( )† †3, ,, ,
s
d E a a b bσ σσ σσ=±
= −∑∫ k k kk kk
nel caso di Dirac c’è solo una derivata ∂0
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 212
Hamiltoniana e regole di commutazione
Il termine relativo ai quanti a è già sotto forma di un operatore numeroPer mettere anche il secondo termine sotto forma di operatore numero abbiamo bisogno di commutare i due operatori
Se avessimo una regola di commutazione (eliminiamo il termine infinito)
Questa Hamiltoniana non è definita positivaI quanti b contribuiscono con energia negativa !
Al contrario, con una regola di anticommutazione
Questa volta anche i quanti b contribuiscono all’energia con segno positivoAdottare regole di anticommutazione è necessario per avere una Hamiltoniana definita positiva
Nel dettaglio del calcolo la differenza è stata introdotta dal fatto che l’equazione di Dirac è di primo ordine nel tempo
( )† †3, , , ,
s
H d E a a b bσ σ σ σσ=±
= −∑∫ k k k k kk
† † †, , , , , ,,b b c b b c b bσ σ σ σ σ σ
⎡ ⎤ = → = +⎢ ⎥⎣ ⎦k k k k k k ( )† †3, , , ,
s
H d E a a b bσ σ σ σσ=±
= −∑∫ k k k k kk
{ }† † †, , ,, , ,, ,b b c b b c b bσ σ σσ σ σ= → = −k k kk k k ( )† †3
, , , ,s
H d E a a b bσ σ σ σσ=±
= +∑∫ k k k k kk