quaternionen & quaoaring - uni-frankfurt.de
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Animation
Quaternionen & Quaoaring
Dr. Tobias Ch. Breiner
SS 2006 - AnimationQuaternionen und Quaoaring
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Organisatorisches
Achtung!!! Die nächste Vorlesung und Übung am kommenden Mittwoch, den 28 Juni, fallen wegen Schulprojekttagen aus. Die beiden Veranstaltungen werden auf den Mittwoch, den 5. Juli, verschoben!
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Inhalt
Zusammenfassung
Wiederholung und Vertiefung
Quaternionen
Hyperkomplexe Zahlen
Quaoaring
Wiederholung und Vertiefung
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Computer Generated Character Animation
Kinematik
Gelenkhierarchie von Roboter
Gelenk
Hebel
Endeffektor
Basis
Kinematik verwendet Konzepte der Robotik
offene kinematischeKette
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Kinematik
geschlossenekinem. Kette
offene kinem. Kette
ohne Zirkel-schluss
mit Zirkel-schluss
kinematische Kette
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Vorwärtskinematik / Inverse Kinematikfür offene kinematische Ketten
Gelenkein-stellungen
Position des Endeffektors
inverse Kinematik
Vorwärtskinematik
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Nichtlineare Globale Deformation nach Barr
Rahmen
Tapering
Twisting
Bending
-
Translation
Rotation
Einachsige Transformation
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Freiform-Deformation (Gitter-Deformation) nach [Sederburg 86]
Idee: 1. Man fasst ein Objekt in ein umgebendes Gitter (einen Raum) ein. 2. Man deformiert das Gitter (den Raum) durch Modeling-Transformationen3. Deformationen des Gitters (des Raumes ) werden auf das Objekt übertragen.
Modellvorstellung z.B. : Objekte sind durch Federn in dem Gitter gehalten
benutzbar für polygonale und parametrische Objekte: Eckpunkte �� Kontrollpunkte
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Erweiterte Freiform-Deformationnach [Coquillart 90]
Die Rechteckstruktur der FFD-Blocks be-schränkt die mög-lichenVerzerrungenSabine Coquillart führt verschie-dene andere Gitterstruk-turen ein: EFFDsInsbesondere die zylindrische Form findet viele AnwendungenTransformation zwischen Modeling-Koordinaten und Gitter-koordinaten wird aufwendiger
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Erweiterte Freiform-DeformationBeispiele nach S. Coquillart
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Schichtmodelle Anzahl der Schichten
einschichtig (Skelettmodelle)zweischichtig (3D-Skinning, Ellipsoidal Sweeping)dreischichtig (Dreischichtenmodell von Chadwick et al., Implizites Primitivenmodell von Scheepers et al., Implizites Primitivenmodell von Thalman et al.) vierschichtig (Elastic Surface Layer Modell)
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einschichtige Modelle
Skelettmodelle
Keine Deformationen möglichGut geeignet für Puppen und Roboter-Animation
http://emsh.calarts.edu/~mathart/sw/Cult_e_Math/DINOkron_bones.gif
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H-Anim
http://h-anim.org/Specifications/H-Anim1.1/h-anim1_1g.gif
Standard für die Strukturierung, Benennung und Geometriedefinition von virtuellen Humanoiden.Enge Zusammenarbeit
mit VRML 2 und MPEG4-GruppenVRML-Hierarchie von
Knochen und GelenkenHier: H-Anim1.1
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zweischichtige Modelle
3D-Skinning
Zwei Schichten: Skelettlinien Skin Mesh (Haut)
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Schichtmodelle mit 2 Schichten: 3D-Skinning
Verbindung von Skelett und Skin Mesh
Gewichtete Zuordnung (weighted assignment z.B. mit envelopes):im Überdeckungsbereich beeinflusst mehr als ein Hebel die Geometrieeckpunkte: jeder Eckpunkt ist mit dem Skelett gewichtet verbunden – Häufigste Form: Vertex Blending
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Entstehen des „Syndroms des kollabierenden Ellenbogens“
[Lewis et al. 2000, 166 & 167]
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Schichtmodelle mit 4 Schichten
Das Elastic Surface Layer Model
Synonym: Vierschichtenmodell von Turner und Thalmann
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Feder-Masse-Dämpfer-Systeme
Engl.: spring mass (damper) systems, SMD systemsverteilen die Gesamtmasse mges des zu simulierenden Objektes auf nverschiedene Massepunkte bzw. Partikel. Die Masse eines Partikels erhält dadurch den konstanten Wert mi. = mges /n.
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Feder-Masse-Dämpfer-Systeme
Schema einer Funktionseinheit mit Feder, Masse und Dämpfungszylinder sowie den Größen k (Federkonstante), cv(Dämpfungskonstante), m(Masse des Partikels), l0 (Ruhelänge der Feder) und x (Ruheposition des Partikels)
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Feder-Masse-Dämpfer-Systeme
Topolgisches Netzwerk von SMD-Einheiten
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Dynamische Muskelmodelle
Fischmodell von Terzopoulos
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Dynamische Muskelmodelle
Fischmodell von Terzopoulos
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Dynamische Muskelmodelle
Modell von Nedel und Thalmann
Action Linies markieren die Zentrallinie der Muskeln
http://www.nlm.nih.gov/research/visible/vhp_conf/gingins/paper.htm
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Dynamische Muskelmodelle Modell von Nedel und Thalmann- Beispiel
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Nächstes Kapitel
Quaternionen
Resümee
Wiederholung und Vertiefung
Hyperkomplexe Zahlen
Quaoaring
QuaternionenQuaternionen
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Kurze Auffrischung der Oberstufenmathematik
Komplexe Zahlen (1)
Im 16. Jahrhundert stellte Rafaello Bombellidie Frage, was die Lösung von sei.
Lösung durch Leonard Euler 1777:Einführung der imaginären Einheit i mit
=> Komplexe Zahlen
1−
1−=⋅ ii
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Kurze Auffrischung der Oberstufenmathematik
Komplexe Zahlen (2)
i ist keine reelle Zahl. Komplexe Zahlen werden aus zwei reellen Zahlen gebildet:
22' :Zahlkomplexen einer Betrag
,' : Zahlkomplexe konjugiertseSchreibwei
,: Zahlkomplexe
ba
babiahealgebraisc
babia
+=⋅=
ℜ∈−=
ℜ∈+=
zzz
z
z
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Kurze Auffrischung der Oberstufenmathematik
Komplexe Zahlen (3)Algebraische Operationen
iabbabbaaibbaaibaiba
)()()()(
2121212121
212121
222111
++−=⋅+++=++=+=
zzzz
zz
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Kurze Auffrischung der Oberstufenmathematik
Komplexe Zahlen (4)Algebraische Operationen
)( und )(:vdistributi sindtion Multiplika undAddition
)./('1- :ist Zahlkomplexen einer Inverse Die/1-oder 1)-( : allefür Inverse eine
und :01t Einselemenein hat tion Multiplika Die)(- Inverse eine und
:00t Nullelemenein hat Addition Die)( )( und
)( )( und :assoziativ und kommutativ sindtion Multiplika undAddition
enkörper.einen Zahlbilden Zahlen Komplexe
23132133231321
3213211221
3213211221
zzzzzzzzzzzzzz
zz'zzz1z1zz0z
z1z10zz
z0z0zzzzzzzzzz
zzzzzzzzzz
+=++=+
===≠
=⋅+==+
=++=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅
++=+++=+
i
i
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Kurze Auffrischung der Oberstufenmathematik
Komplexe Zahlen (5)Geometrische Deutung
Eine Komplexe Zahl istein Punkt in der (komplexen) Ebene.Jede Komplexe Zahl lässt sich als Punkt oder Vektor (Zeiger) darstellen.
reelle Achse
imag
inär
e A
chse
a
b
ϕ
r
6
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Kurze Auffrischung der OberstufenmathematikKomplexe Zahlen (6)Geometrische Deutung der Konjungierten
Quelle: http://www.onlineenzyklopaedie.de/k/ko/komplexe_zahl.html
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Kurze Auffrischung der Oberstufenmathematik
Komplexe Zahlen (7)
Trigonometrische Form
Exponentialform)sin(cos'
;,,)sin(cos22
ϕϕ
ϕϕϕ
irbiabar
rbairbia
−=−=+==
+∞<<∞−ℜ∈+=+=
zz
z
i
i
erbia
bar
rbaerbia
ϕ
ϕ ϕ
−⋅=−=
+==
+∞<<∞−ℜ∈⋅=+=
'
;,,22
z
z
z
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Kurze Auffrischung der Oberstufenmathematik
Komplexe Zahlen (8) Eulersche Formel
)sin(cos:allgemein
sincos
bibeeeee
ie
abiabia
i
−===
+∞<<∞−−=
+z
ϕϕϕϕ
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Geschichte der Quaternionen
Sir William Rowan Hamilton (1805-1865)
Hamilton suchte eine Erweiterung der komplexen Zahlen in 3 Dimensionen – über Jahrzehnte erfolglos!
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Geschichte der Quaternionen
Hamilton rückblickend an seinen Sohn 1865:
“Every morning, on my coming down to breakfast, you used to ask me: ’Well, Papa, can you multiplytriplets?’ Whereto I was always obliged to reply, with a sad shake of the head: ’No, I can only add and substract them.’ ”
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Geschichte der QuaternionenHeute wissen wir, dass eine Erweiterung der
komplexen Zahlen in 3D nicht existieren!
Aber, es gibt eine Erweiterung nach 4D:Leonard Euler (1748, in seinen „Schriften zu Goldbach“, Berlin) undKarl Friedrich Gauß (1849 in „Mutationen des Raums“ , unpubliziert Göttingen)
hatten getrennt dafür die wichtigsten Regeln gefunden, diese waren aber zu Zeiten Hamiltons wieder in Vergessenheit geraten.
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Geschichte der QuaternionenBei einem Spaziergang mit seiner Frau kam Hamilton in Dublin
die Eingebung:„They started into life, or light, full grown, on the 16th of October, 1843, as I was walking with Lady Hamilton to Dublin, and came up to Brougham Bridge [...] Nor could I resist the impulse – unphilosophical as it may have been –to cut with a knife on a stone of Brougham Bridge the fundamental formula with the symbols i2 = j2 = k2 = ijk = -1“
Quellen: http://encyclopedia.laborlawtalk.com/wiki/images/thumb/d/db/180px-Quaternion_Plague_on_Broom_Bridge.jpg & http://curvebank.calstatela.edu/hamilton/hamilton.htm
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Geschichte der Quaternionen1843 fand Hamilton somit die Erweiterung
nach 4D (wieder): die Quaternionen.Namesherkunft:
(... he put him in prison and delivered himto four quaternions of soldiers to keephim... (Apg 12,4))
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Quaternionen
jkiikijkkj
kijji
-kk-jj-iiki, j,
=⋅−=⋅=⋅−=⋅=⋅−=⋅
=⋅=⋅=⋅
gilt Es :ktorenEinheitsvefür kt Kreuzprodu demmit ten Ähnlichkeihaben
len dieser Zahzweier tion Multiplika Die111
:gilt Es . and :drei wir definierenEinheit imaginäreneiner Anstatt Zahlen. komplexender genErweiterun sind enQuaternion
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Quaternionen
[ ]
i,j,k
w
zyxw
zyxw, i,j,kzkyjxiw
Einheiten imaginären diefür Vektor ionalen dreidimenseinen und 1ten von Koeffizienden für
Skalar als ),(ˆoder
inationLinearkombdieser ten Koeffiziender vier Vektor als ˆ
oder ,,,.1von
ination Linearkomb als ˆalsdefiniert ist Ein
vq
q
qQuaternion
�=
=
ℜ∈+++=
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Rechenregeln für Quaternionen
).ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ('ˆˆˆ
'ˆ:Zahlenkomplexen bei eähnlich wi finden wir Betrag und eKonjugiert
321321
2222
qqqqqqqqq
q
⋅⋅=⋅⋅+++=⋅=
−−−=
zyxw
zkyjxiw
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Rechenregeln für Quaternionen
).ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ( :assoziativaber
,ˆˆˆˆ:kommutativnicht ist tion Multiplika Die :Achtung
),(ˆˆ),(ˆˆ
),(ˆ),(ˆdefiniertfolgt n wietion werdeMultiplika undAddition
321321
1221
211221212121
212121
222111
qqqqqq
qqqq
vvvvvvqqvvqq
vqvq
⋅⋅=⋅⋅
⋅≠⋅
×++⋅−⋅=⋅++=+==
ssssss
ss
8
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Zur Multiplikation von QuaternionenFaktorisierung und Matrixschreibweise
kji
kjiqkjiq
1
1
)()()()(ˆˆ
ˆˆ
21212121
21212121
21212121
212121212
22222
1111
wzxyyxzwxzwyzxywyzyywxxwzzyyxxww
zyxwzyxw
+−+=++−=−++=−−−=⋅
+++=+++=
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Zur Multiplikation von QuaternionenFaktorisierung und Matrixschreibweise
[ ]
[ ]����
�
�
����
�
�
−−−−−−
==⋅
����
�
�
����
�
�
−−−−−−
==⋅
⋅⋅
2222
2222
2222
2222
11112*12
1111
1111
1111
1111
2222*22
2
22
)ˆ(ˆˆ
oder )ˆ(ˆˆ
notieren. eibweiseMatrixschrin undren faktorisie ˆˆkönnen Wir ab. ˆauch von als ˆten von Koeffizien von sowohllinear hängt ˆˆ
wzyxzwxyyxwzxyzw
wzyx
wzyxzwxyyxwzxyzw
wzyx
qRqqq
qLqqq
qqqqqq
1
11
1
11
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Rotationen mit QuaternionenRotationssatz
2sin
2cosmit ),(ˆ
:ˆ Quaternion das wir definieren berechnen,zu den Winkel um
ktor Einheitsveden umRotation eine Um
θ
θ
θ
uv
vq
q
u
��
�
�
=
== ww
uθ
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Rotationen mit QuaternionenRotationssatz
ist).aternion Einheitsquein ˆ weil,'ˆˆ(mit
ˆˆˆ'
:durchRotation gesuchte dieerhalten Wir ert.repräsenti
),0(ˆ
Quaternion dasdurch wirdRaum im Punkt Ein
qqq
qPqP
pP
p
1
1
=
=
=
−
−
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Quaternion => Rotationsmatrix
�����
�
�
�����
�
�
++++−−−+
+−+−−−+−−+
=
2222
2222
2222
2222
0000)(2)(20)(2)(20)(2)(2
)ˆ(
zyxwzyxwwxyzwyxz
wxyzzyxwwzxywyxzwzxyzyxw
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Rotationsmatrix => Quaternion
w
zw
x
w
y
qqq
w
qmmq
qmmq
qmmq
mmmq
44
421
01101221
0220221100
−=−=
−=+++±
=
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Der Nutzen von Quaternionen
Warum der ganze Aufwand?
Quaternionen erlauben 1. eine sehr einfache und aufwandsarme Verkettung von
Rotationen2. Interessante Interpolationsvarianten zwischen zwei
Orientierungen
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Verkettung von Rotationen
Hintereinander ausgeführte Rotationen Ra und Rb
(verkettete Rotationen) lassen sich mit den zugehörigen Quaternionen einfach berechnen:
Etwas weniger Aufwand als eine 3x3 Matrixmultiplikation: 21 Multiplikationen und 18 Additionen.Quaternionen: 16 Multiplikationen und 12 Additionen.
ba qq ˆ,ˆ
)'ˆˆ('ˆ'ˆmit 'ˆ'ˆˆˆˆ 'ˆ'ˆˆ"
'ˆˆˆ ˆˆˆ'
abbabaabbb
aaaa
qqqqqqPqqqPqP
qPqqPqP 1
===
== −
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Anwendung von QuaternionenLERP (Quaternion Linear Interpolation)
[ ]rqrq
rq
ˆˆ)1(),ˆ,ˆlerp(.1,0
ˆˆ
tttistDanntParametereinund
undaternionenEinheitsquzweiseienGegeben
+−=∈
Quaternionen können zur Interpolation von Rotationen verwendet werden, einfachste Form: Lerping
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Anwendung von QuaternionenLERP (Quaternion Linear Interpolation)
Nachteile:läuft nicht mit konstanter Geschwindigkeit ab. (beschleunigt und bremst mit dem Verlauf der Interpolation)das Ergebnis dieser Interpolation behält seine Größe nicht bei => Zusätzliche Normalisierung erforderlichNicht unbedingt kürzester Weg
=> Abhilfe bietet das „Slerping“Vorteile:
einfach & schnell für viele Anwendungen ausreichend
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Anwendung von QuaternionenSLERP (Spherical Linear Interpolation)
Eingeführt von Ken Shoemake(„Animating Rotation with Quaternion Curves“, Proceedings of Siggraph 85).
[ ]
)arccos(sin
ˆ)sin(ˆ))1(sin(),ˆ,ˆslerp(
.1,0ˆˆ
wwzzyyxx rqrqrqrqmit
ttt
istDanntParametereinundundaternionenEinheitsquzweiseienGegeben
+++=
+−=
∈
φφ
φφ rqrq
rq
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Anwendung von QuaternionenSLERP (Spherical Linear Interpolation)
Vorteile:berechet für t=[0,1] die kürzeste Verbindung (Großkreis) auf der vierdimensionalen Einheitskugel zwischen ´q`und´r`.ideal geeignet für die Interpolation (Animation) von Orientierungen von Körpern. (Hauptgrund für die Benutzung von Quaternionen)
Nachteile:rechenintensivnicht kommutativkeine Q2-Stetigkeit (Abhilfe: Squad)Nicht sehr gut für die Orientierung der Kamera geeignet, da sich der camera-up Vektor verändern kann!
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Weitere Hyperkomplexe Zahlen
Biquaternionen sind ein 8-Tupel mit den Einheiten 1, i, j, k, ω, ωi, ωj und ωk. Sie lassen sich als Summe zweier Quaternionen q und r wie folgt darstellen: p = q + ωr. Oktonionen sind 8-Dimensionale hyperkomplexe Zahlen mit 7 imaginären Einheiten. (nicht mit Biquaternionen zu verwechseln)Sedenionen sind 16-Dimensionale hyperk. ZahlenHyperkomplexe Zahlen mit einer Dimension ungleich 2n existieren nicht.
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Fano-Kreis für Quaternionen
Pfeile zeigen Multiplikationsrichtungen an: z.B. k*i = j aber i*k= -j
i
jk
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Fano-Ebene der Oktonionen
e1
e2
e4e7
e5e3
e6
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Anwendungen von Hyperkomplexen Zahlen
Komplexe Zahlen:Schrödinger-Gleichung (Quantenmechanik)Klein-Gordon-Gleichung (Quantenmechanik)
Quaternionen:Dirac-Gleichung (Quantenmechanik)Rotationen (GDV)Fraktale Julia-Mengen (Kunst, GDV)Maxwellgleichungen (Elektromagn.)Quaoaring (Biologie, GDV)
Oktonionen:String-Theorie (Kosmologie)
Sedenionen:Logomtheorie
http://www.physcip.uni-stuttgart.de/phy11733/
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Quaternionale Julia-MengenSchielbild-Beispiele Quelle (modifiziert): http://www.physcip.uni-
stuttgart.de/phy11733/
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Philosophisches zum Abschluss des Kapitels
Kant‘sche Idee von der Zeit als phänomenaler Basis der Zahl Quaternionen könnten als drei imaginäre Raumkoordinaten und eine reelle Zeitkoordinate interpretiert werden.Basisvektoren mit t2 = 1, x2, y2, z2= -1. Als Unterscheidungsmerkmal zwischen Raum und Zeit steht -1.Unsere Welt muss 3+1-Dimensional sein!
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Dr. Tobias [email protected] 61/100
Nächstes Kapitel
Quaoaring
Zusammenfassung
Wiederholung und Vertiefung
Quaternionen
Hyperkomplexe Zahlen
QuaoaringQuaoaring
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Dr. Tobias [email protected] 62/100
Anforderungsanalyse
Zugrunde liegendes Paradigma
Modellierung Animation Rendering
Quaoaring
Simulation Objekt-modell
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Quaoaring
Zugrunde liegendes Paradigma
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Quaoaring
Verwendete Metapher
Ein Organismus wird kreiert, indem ”wassergefüllteBallons” (Pneus) verformt und zu einer komplexenHierarchie zusammengesetzt werden .
Metapher“Luftballon-männchen”
Unterschiede:
• Die Pneus wachsen.• Die Pneus sind unzerstörbar.• Physikalische Parameter der
Pneuoberfläche können frei gewählt werden.• Es existieren Pneuverhärtungen, um Knochen,
Knorpel und Chitinpanzer zu simulieren.• Es existieren Constriction-Pneus, die sich wie
ein Muskel kontrahieren können.
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Dr. Tobias [email protected] 65/100
Quaoaring
Quaoaring Design Patterns
Main & Organ Bulge Skin
Constriction Conic SqueezeSS 2006 - AnimationQuaternionen und Quaoaring
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Quaoaring
Hierarchiebildung
Objekthierarchie von Quaoaring Design Patterns
=> Organismus(Protoplesiosaurus)
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Quaoaring
Evolutionäre Animationen
Visualisierung der Evolution der Enteropneusten
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Quaoaring
Bewegungssimulationkontraktile Pneus für Muskeln
flexibler Pneu für Chorda
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Quaoaring
Bewegungssimulation
kontraktile Pneus für Muskeln
verhärtete Pneus für Knochen
für die Bewegung der Gliedmaßen
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Quaoaring
Evolutionäre Veränderungen
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Quaoaring
kombinierte Animation
Status A
Status B
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Quaoaring
Biologisches Koordinatensystem
Kartesische Koordinaten sind nicht invariant gegenüber Statusänderungen von Organismen, wie:
•Wachstum und Altersdegenerationen•Evolutionäre Formveränderungen•Bewegungen
=> Entwicklung eines Biologischen Koordinatensystems
13
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Quaoaring
Biologische Koordinaten
ZentrallinieSkin Mesh
Zentrallinie wird durch NURBS Interpolation erzeugt.Ausrichtung der Ventralvektoren mit Hilfe von Quaternionen und dem SLERP-AlgorithmusSkin Mesh Vertices werden anhand Zentrallinie positioniert
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Quaoaring
Biologische Koordinaten
Ein Biovektor ist ein 3-Tupel n = (fR,fJ,fA)
Hier: n = (1/3 , 1, 2/3π)
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Bijektivität zwischen Nomina Anatomica und Biologischem Koordinatensystem
Der Parameter fR gibt direkt die Position entlang der logitudinalen Körperachse an. Der Parameter fA bezeichnet die Rotation um die Axis Medialis. Der Parameter fH definiert die Position auf der central-peripheralen Skala.
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Bijektivität zwischen Nomina Anatomica und Biologischem Koordinatensystem
���
∉∨∉∨∈∧∈∧
≥∀<∀
=ΡΞPPPP
ffff
RR
RRInferior '
''0'1
),',(ττττ
ττ
( ) ( )( )( ) ( )( )�
��
∉∨∉∨∉∨≤∈∧∈∧∈∧>
∀∀
=ΡΞRAHAH
RAHAHDextral MPPPffff
MPPPffff''sin'sin''sin'sin
01
),',(ττττ
ττ
Inferior
Dextral
…
…
NA
BKSBereichs-
funktionen
Termini
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Quaoaring
Biologische KoordinatenZwischen Biologischen Koordinaten und Skin Mesh entsteht ein implikatorischer Zirkelschluss. Daraus resultiert eine wechselseitige Dynamik zwischen Skin Mesh und biologischen Koordinaten, bei der sich die Punktdefinition assymptodisch auf einen fixen euklidischen Raumpunkt hin einpendelt.
Biologische
Koordinaten
Skin
Mesh
definieren
parame-trisieren
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Quaoaring
Bioräume im BKS
Ein Bioraum wird in einem Pneu P wird durch den Sechsertupel S = (cR; cA; cH; rR; rA; rH) beschrieben .Die ersten drei Parameter definieren den Mittelpunkt und die drei letzen Parameter die dreidimensionale Ausdehnung im biologischen Koordinatensystem.
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Quaoaring
Bioräume im BKS
Die Deformation des Skin Meshs erfolgt über „Morphische Felder“Ein Morphisches Feld F:=( S; ω; d) wird durch den Bioraum S= (cR; cA; cH; rR; rA; rH), die maximale Auslenkung ω und den Toggling-Parameter d beschrieben.Die Auslenkung fs entlang der Oberflächennormale an einem Biopunkt des Skin Mehs erfolgt über die Summe der entsprechenden lokalen Auslenkungen Θ aller nMorphischen Felder Fi :
�=Θ=
n
iiS Ff
1),(τ
τ
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Auswirkung des Parameters d bei morphischen Feldern
Auf folgenden kugelförmigen Pneus wurden gleich große morphische Felder appliziert. Lediglich der Toggling-Parameter d wurde verändert.
d=1 d=0,1 d=0,01
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Quaoaring
Morphische Felder
: , 10
1)1(
)1(),(
2222
���
����
� −+���
����
� −+���
����
� −=��
�
≥
<⋅⋅+
−=Θ
H
HH
A
AA
R
RR
rcf
rcf
rcfK
K
KKd
KF ωτ
Die lokale Auslenkung Θ eines morphischen Feldes F am Biopunkt berechnet sich dann zu:
τ
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Quaoaring
Kreuzungen durch Parametermix
Kaulquappe Biene Nilpferd
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QuaoaringVorteile des Biologischen Koordinatensystems
Invariant gegenüber Bewegungsveränderungen des OrganismusPositionen, Flächen etc. „wachsen“ mitIntuitive HandhabungBijektive Übersetzung in die Nomina AnatomicaHohe Reusability einmal modellierter StrukturenEinfache Kreuzungen durch Parametermix möglich
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Quaoaring
Hydropneumatik
Volumenkonstanz wird erreicht durch:Die Volumenberechnung mit punktkonzentrischen PyramidenDie Volumenabschätzung mit KugelschichtenDie Volumenberechnung mit Achtflächnern entlang der ZentrallinieDie Volumenabschätzung mit Prismen entlang der Zentrallinie
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QuaoaringHydrostatisches Bumpmapping
über Steuerung der morphischen Felder via Texturen.
Vorteile:SelbstokklusionSilhouettenbildungVesikelbildung
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QuaoaringBerechnung des Hydrostatischen Bumpmappings
arctan:mit 0)),((0)),((
),(),(���
���
����
−−=
<−Γ≥Γ
=Φ=AA
RR
cfcfa
aaaa
Svuπτπτ
τ
��==
���
����
�⋅
Φ+Φ+Φ+Θ=
m
jj
jjjn
iiS
SbSgSrFf
11 3)),(()),(()),((
),( ωτττ
τ
),(222
���
����
� −+���
����
� −+���
����
� −=ΓH
HH
A
AA
R
RR
rcf
rcf
rcfSτ
Die Gesamtauslenkung fs am Punkt τ über alle morphischen Felder Fi und alle m hydrostatischen Bumpmaps (mit den Farbanteilen rj,gj und bj wird erreicht durch:
Dabei ist Г die Distanzfunktion von τ über den Bioraum S:
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SoftwareMS Visual C++ RealiMation SceneGraph-API
HardwareStandard PCPentium IV, 3.0 GHzGeForce FX Go 5700�
Bildwiederholrate für „Protoplesiosaurus “ beträgt ~21 fps
Quaoaringbeispiele
Implementierungsframework e-Go
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Quaoaringbeispiele
Anwendungen und Projekte
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Quaoaringbeispiele
Cybernarium -Exponat „e-VoLuzie“
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Quaoaringbeispiele
e-Munkulus
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Quaoaringbeispiele
e-RythrozytVisualisierung von Erythrozyten anhand von AFM-Daten
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Nächstes Kapitel
Resümee
Zusammenfassung
Wiederholung und Vertiefung
Quaternionen
Hyperkomplexe Zahlen
Quaoaring
Zusammenfassung
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Zusammenfassung
Imaginäre ZahlenräumeKomplexe ZahlenQuaternionenOktanionenRotationsinterpolation mit Quaternionen (Lerping und Slerping)
QuaoaringVor- und Nachteile
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Ausblick
Motion CapturingDIDsAnwendungen
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EndeDankeDankefürfür IhrIhrInteresseInteresse!!
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