¿qué era un irracional para un matemático griego clásico?

Bienvenida Portada Fundamentos Razon aurea Razon y proporcion Aproximacion De los griegos a Dedekind

La obra de Euclides perdurara por mucho tiempo despues de quetodos los libros de texto del presente sean superados y olvidados.Es uno de los mas nobles monumentos de la antiguedad; ningunmatematico digno de su nombre puede permitirse el lujo dedesconocer a Euclides; el Euclides verdadero, distinto de cualquierade las versiones revisadas o reescritas que sirven para escolares oingenieros. Pero, para conocer a Euclides es necesario conocer sulenguaje y —hasta donde pueda alcanzarse— la historia de los“elementos” que el colecciono en su tratado inmortal.

Thomas L. Heath

Douglas Jimenez UNEXPO. Vicerrectorado de [email protected]; [email protected]

¿Que era un irracional para un matematico griego antiguo?


¿Que era un irracional para un matematicogriego antiguo?

Douglas Jimenez

UNEXPO. Vicerrectorado de [email protected]; [email protected]

28 de Noviembre de 2006




De Pitagoras




De Pitagoras a Euclides




¿Tienen A y B medida comun?

Concepto de proporcion: A : B :: 14 : 5




A y B estan en la razon 14 : 5

Concepto de proporcion: A : B :: 14 : 5




¿Son conmensurables la diagonal y ellado de un cuadrado?




Inconmensurabilidad por antifairesis

FC = AD − EC




Division en extrema y media razon

La estrella pitagorica




Division en extrema y media razon

La seccion aurea: AC : AD :: AD : DC




Inconmensurabilidad en la seccionaurea

AC : AD :: AD : DC

Si AE = DC entonces AD : AE :: AE : ED




¿Que es una razon entreinconmensurables?

D : L :: d : l




Construccion del concepto de razon:D : LDef. V.3. Una razon es determinada relacion con respecto a su tamanoentre dos magnitudes homogeneas.

Def. V.4. Se dice que guardan razon entre sı las magnitudes que, al

multiplicarse, pueden exceder una a otra.




Construccion del concepto de“misma razon”: D : L :: d : l




Construccion del concepto de“misma razon”: D : L :: d : lDef. V.5. Se dice que una primera magnitud guarda la misma razon conuna segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquieraequimultiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a lapar o resulten inferiores a la par, que cualquiera equimultiplos de lasegunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el ordencorrespondiente.




Construccion del concepto de“misma razon”: D : L :: d : lDef. V.5. Se dice que una primera magnitud guarda la misma razon conuna segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquieraequimultiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a lapar o resulten inferiores a la par, que cualquiera equimultiplos de lasegunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el ordencorrespondiente.

Def. V.6. Llamense proporcionales las magnitudes que guardan la misma

razon




Orden entre razones

Def. V.7. Entre los equimultiplos, cuando el multiplo de la primera

excede al multiplo de la segunda pero el multiplo de la tercera no excede

al multiplo de la cuarta, entonces se dice que la primera guarda con la

segunda una razon mayor que la tercera con la cuarta.




Concepto de “misma razon”(nomenclatura moderna)

D

L=

d

l

si y solo si dados dos enteros cualesquiera m, n se tiene quemD < nL implica que md < nlmD = nL implica que md = nlmD > nL implica que md > nl




Concepto de “razon mayor”(nomenclatura moderna)

D

L>

d

l

si y solo si es posible encontrar dos enteros m, n tales quemD > nL pero md ≤ nl




Separacion de razones de enterosD : L separa a las razones de enteros m : n en dos partes

I La parte Y en la que D : L es mayor que cualquier m : n

I La parte X en la que D : L no es mayor que cualquier m : n







igualmente

d : l separa a las razones de enteros m : n en dos partes

I La parte y en la que d : l es mayor que cualquier m : n

I La parte x en la que d : l no es mayor que cualquier m : n







igualmente

d : l separa a las razones de enteros m : n en dos partes

I La parte y en la que d : l es mayor que cualquier m : n

I La parte x en la que d : l no es mayor que cualquier m : n

Si D : L :: d : l entonces Y es exactamente y , y X es exactamentex .




“Entonces, siempre que nos encontremos con una cortadura(A1, A2) que no haya sido producida por ningun numero racional,crearemos un nuevo numero, un numero irracional α, al queconsideraremos completamente definido por esta cortadura(A1, A2); diremos que el numero α corresponde a esta cortadura oque la produce.”

Essays on the theory of numbers (I. Continuity and irrationalnumbers. II. The nature and meaning of numbers). RichardDedekind. Dover Publications Inc. New York. 1963. Pag. 15.




Nuestras vidas son los rıosque van a dar en la marque es el morir;allı van los senorıosderechos a se acabare consumir.

Jorge Manrique, poeta renacentista espanol.



¿qué era un irracional para un matemático griego clásico?

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