questionario - mathesis romana...mathesis roma seconda prova liceo scientifico sessione suppletiva...
TRANSCRIPT
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
QUESTIONARIO
Soluzioni a cura di S,Iacino, A. Lanza, S. Savarino
QUESITO 1
Fissati i numeri reali positivi a e b, con ๐ โฅ ๐, provare che
lim๐ฅโ+โ
log๐ฅ(๐ฅ๐ + ๐ฅ๐) = ๐
Soluzione
Per calcolare il limite facciamo prima un cambio di base del logaritmo e lo portiamo in base e, per
cui il limite diventa:
lim๐ฅโ+โ
log๐ฅ(๐ฅ๐ + ๐ฅ๐) = lim
๐ฅโ+โ
ln(๐ฅ๐ + ๐ฅ๐)
ln ๐ฅ=
โ
โ
Poichรฉ sussistono le ipotesi, applichiamo il teorema di de lโHopital per risolvere la forma
indeterminata:
lim๐ฅโ+โ
ln(๐ฅ๐ + ๐ฅ๐)
ln ๐ฅ=
โ
โ= lim
๐ฅโ+โ
๐ท(๐ฅ๐ + ๐ฅ๐)๐ฅ๐ + ๐ฅ๐
1๐ฅ
= lim๐ฅโ+โ
๐๐ฅ๐โ1 + ๐๐ฅ๐โ1
๐ฅ๐ + ๐ฅ๐
1๐ฅ
= lim๐ฅโ+โ
(๐๐ฅ๐ + ๐๐ฅ๐)๐ฅ
๐ฅ(๐ฅ๐ + ๐ฅ๐)=
lim๐ฅโ+โ
(๐๐ฅ๐ + ๐๐ฅ๐)
(๐ฅ๐ + ๐ฅ๐)
Ora se ๐ > ๐ allora
lim๐ฅโ+โ
(๐๐ฅ๐ + ๐๐ฅ๐)
(๐ฅ๐ + ๐ฅ๐)=
โ
โ= ๐
in quanto il limite รจ dato dal rapporto dei coefficienti delle x di grado massimo.
Se ๐ = ๐ allora
lim๐ฅโ+โ
(๐๐ฅ๐ + ๐๐ฅ๐)
(๐ฅ๐ + ๐ฅ๐)= lim
๐ฅโ+โ
(๐๐ฅ๐ + ๐๐ฅ๐)
(๐ฅ๐ + ๐ฅ๐)= lim
๐ฅโ+โ
2๐๐ฅ๐
2๐ฅ๐= ๐
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
QUESITO 2
ร assegnata la funzione ๐: ๐ โ ๐ cosรฌ definita:
๐(๐ฅ) = โซ ๐๐ก2๐ฅ
1
๐๐ก
Studiare il segno della funzione ๐ e provare che essa รจ crescente. Determinare il valore di
โซ๐โฒโฒ(๐ฅ)
๐โฒ(๐ฅ)๐๐ฅ
1
0
Soluzione
Il dominio della funzione ๐(๐ฅ) รจ ๐ . Inoltre, poichรฉ la funzione integranda ๐(๐ก) = ๐๐ก2 รจ sempre
positiva nel suo dominio ๐ ne segue che la funzione integrale รจ concorde con la funzione integranda,
a patto che lโestremo di integrazione inferiore sia minore dellโestremo superiore, discorde in caso
contrario; pertanto
๐ ๐ ๐ฅ > 1 ๐๐๐๐๐๐ ๐(๐ฅ)รจ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ก๐๐ฃ๐
๐ ๐ ๐ฅ < 1 ๐๐๐๐๐๐ ๐(๐ฅ)รจ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐ฃ๐
๐ ๐ ๐ฅ = 1 ๐๐๐๐๐๐ ๐(๐ฅ) = 0
Dimostriamo ora che ๐(๐ฅ) รจ crescente:
essendo la funzione integranda continua, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale
๐โฒ(๐ฅ) = ๐๐ฅ2 ๐โ๐ รจ ๐๐๐ ๐๐ก๐๐ฃ๐ โ ๐ฅ โ ๐
pertanto ๐(๐ฅ) รจ sempre crescente.
Calcoliamo ora lโintegrale
โซ๐โฒโฒ(๐ฅ)
๐โฒ(๐ฅ)๐๐ฅ
1
0= [ln (๐โฒ(๐ฅ))]0
1 = [ln ๐๐ฅ2]0
1= [๐ฅ2]0
1 =1
Ovvero, in modo diretto
โซ2๐ฅ๐๐ฅ2
๐๐ฅ2 ๐๐ฅ = 2โซ ๐ฅ ๐๐ฅ = [๐ฅ2]01 = 1
1
0
1
0
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
QUESITO 3
Dimostrare che il quadrilatero avente per vertici i punti medi dei lati di un rombo รจ un rettangolo
Soluzione
Consideriamo il rombo (ABCD) in figura, dove M, N, P, R, sono punti medi dei lati del rombo:
Le ipotesi sono le seguenti:
โข ๐ด๐ต = ๐ต๐ถ = ๐ถ๐ท = ๐ด๐ท
โข ๐ด๐ต//๐ถ๐ท ๐ ๐ด๐ท//๐ต๐ถ
โข ๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ท = ๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ท ๐ ๐ด๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ถ = ๐ด๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ถ
โข ๐ด๐ = ๐๐ต = ๐ต๐ = ๐ ๐ถ = ๐ถ๐ = ๐๐ท = ๐ท๐ = ๐๐ด
Sapendo che un rettangolo รจ un parallelogramma avente tutti e quattro gli angoli uguali e uguali a
90ยฐ, dobbiamo dimostrare che
โข ๐๐ = ๐ ๐ ๐ ๐๐ = ๐๐
โข ๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = 90ยฐ
Consideriamo i triangoli AMN e RPC che sono isosceli e uguali per il primo criterio di uguaglianza
in quanto hanno:
๐ด๐ = ๐ด๐ = ๐ ๐ถ = ๐๐ถ
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ท = ๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ท
Pertanto avranno uguali tutti gli altri elementi e in particolare
๐๐ = ๐ ๐
๐ด๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐ด๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐ถ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐ถ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐ผ
Analogamente i triangoli BMR e NDP sono isosceli e uguali per il primo criterio di uguaglianza in
quanto hanno:
๐ต๐ = ๐ต๐ = ๐๐ท = ๐ท๐
๐ด๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ถ = ๐ด๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ถ
Pertanto avranno uguali tutti gli altri elementi e in particolare
๐๐ = ๐๐
๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ท = ๐ท๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐ฝ
Inoltre
๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = 180ยฐ โ ๐ผ โ ๐ฝ
Poichรฉ la somma degli angoli interni in un quadrilatero รจ uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati
meno due, ovvero 360ยฐ, ne segue che
๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = 90ยฐ
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
QUESITO 4
Considerati i punti A(2,3,6), B(6,2,-3), C(3,-6,2) nello spazio tridimensionale, verificare che i
segmenti OA, OB, OC (dove il punto O indica lโorigine degli assi) costituiscono tre spigoli di un
cubo.
Determinare il raggio e il centro della sfera S circoscritta a tale cubo.
Soluzione
Per verificare che i segmenti OA, OB e OC siano i tre spigoli di un cubo dobbiamo verificare
lโuguaglianza dei tre segmenti OA=OB=OC:
๐๐ด = โ(2 โ 0)2 + (3 โ 0)2 + (6 โ 0)2 = โ49 = 7
๐๐ต = โ(6 โ 0)2 + (2 โ 0)2 + (โ3 โ 0)2 = โ49 = 7
๐๐ถ = โ(3 โ 0)2 + (โ6 โ 0)2 + (2 โ 0)2 = โ49 = 7
e la mutua perpendicolaritร , e per far ciรฒ prendiamo in considerazione il vettore direzione della retta
OA che รจ ๐ฃ โโโ (2,3,6), quello della retta OB che รจ ๐ฃ โฒ(6,2, โ3) e quello della retta OC che รจ ๐ฃ โฒโฒ(3, โ6,2).
Affinchรฉ OA sia perpendicolare a OB si deve avere:
๐ฃ ๐ฅ ๐ฃโฒโโโ = 0 โ ๐ฃ๐ฅ๐ฃโฒ๐ฅ + ๐ฃ๐ฆ๐ฃโฒ๐ฆ + ๐ฃ๐ง๐ฃโฒ๐ง = 0 โ 2 โ 6 + 3 โ 2 โ 6 โ 3 = 0 ๐. ๐ฃ. ๐.
affinchรฉ OA sia perpendicolare a OC si deve avere:
๐ฃ ๐ฅ ๐ฃโฒโฒโโโโ = 0 โ ๐ฃ๐ฅ๐ฃโฒโฒ๐ฅ + ๐ฃ๐ฆ๐ฃโฒโฒ๐ฆ + ๐ฃ๐ง๐ฃโฒโฒ๐ง = 0 โ 2 โ 3 โ 3 โ 6 + 6 โ 2 = 0 ๐. ๐ฃ. ๐.
affinchรฉ OB sia perpendicolare a OC si deve avere:
๐ฃโฒโโโ ๐ฅ ๐ฃโฒโฒโโโโ = 0 โ ๐ฃโฒ๐ฅ๐ฃโฒโฒ๐ฅ + ๐ฃโฒ๐ฆ๐ฃโฒโฒ๐ฆ + ๐ฃโฒ๐ง๐ฃโฒโฒ๐ง = 0 โ 6 โ 3 โ 2 โ 6 โ 3 โ 2 = 0 ๐. ๐ฃ. ๐
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
Il diametro della sfera circoscritta al cubo รจ la diagonale CD del cubo, mentre il centro Cโ รจ il punto
medio di questa diagonale; pertanto determiniamo prima il punto medio M della diagonale AB del
quadrato di base del cubo e, con la formula inversa del punto medio, determiniamo il vertice D:
๐ฅ๐ =๐ฅ๐ด + ๐ฅ๐ต
2=
2 + 6
2= 4
๐ฆ๐ =๐ฆ๐ด + ๐ฆ๐ต
2=
3 + 2
2=
5
2
๐ง๐ =๐ง๐ด + ๐ง๐ต
2=
6 โ 3
2=
3
2
๐ฅ๐ท = 2๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐ = 8
๐ฆ๐ท = 2๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐ = 5
๐ง๐ท = 2๐ง๐ โ ๐ง๐ = 3
Quindi il diametro CD รจ
๐ถ๐ท = โ(3 โ 8)2 + (โ6 โ 5)2 + (2 โ 3)2 = 7โ3
e quindi il raggio r รจ
๐ =๐ถ๐ท
2=
7โ3
2
Mentre il centro Cโ della sfera รจ il punto medio Mโ della diagonale CD:
๐ฅ๐ถโฒ =๐ฅ๐ถ + ๐ฅ๐ท
2=
3 + 8
2=
11
2
๐ฆ๐ถโฒ =๐ฆ๐ถ + ๐ฆ๐ท
2=
โ6 + 5
2= โ
1
2
๐ง๐ถโฒ =๐ง๐ถ + ๐ง๐ท
2=
2 + 3
2=
5
2
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
In alternativa si puรฒ determinare lโequazione della sfera imponendo il passaggio per i quattro punti
๐(0; 0; 0) , A(2,3,6), B(6,2, โ3), C(3,โ6,2)
Lโequazione di una sfera passante per lโorigine ha la forma
๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 + ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐๐ง = 0
Sostituendo le coordinate degli altri tre punti e risolvendo il sistema
{2๐ + 6๐ + 6๐ + 49 = 06๐ + 2๐ โ 3๐ + 49 = 03๐ โ 6๐ + 2๐ + 49 = 0
si trova {๐ = โ11๐ = 1๐ = โ5
Pertanto lโequazione della sfera รจ ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 โ 11๐ฅ + ๐ฆ โ 5๐ง = 0 da cui si possono
determinare le coordinate del centro ๐ถโฒ(11
2; โ
1
2;
5
2)
La misura del raggio รจ โ121
4+
1
4+
25
4 =โ
147
4=
7โ3
2
QUESITO 5
Una persona lancia due dadi da gioco, con facce numerate da 1 a 6, poi trascrive su un foglio il
massimo dei due numeri usciti. Ripetendo molte volte la procedura, quale ci si puรฒ attendere che
sarร la media dei valori scritti?
Soluzione
I valori dei numeri scritti definiscono una variabile casuale X=โ massimo dei due numeri uscitiโ
La media dei valori scritti, allโaumentare del numero di lanci, si avvicina al valor medio della
variabile casuale X, la cui distribuzione di probabilitร รจ la seguente
x 1 2 3 4 5 6
P(x)
1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
Infatti, se ๐ รจ lโuscita del primo dado, lโuscita del secondo, dovendo essere โค๐ฅ ,puรฒ assumere ๐
valori.
Il ragionamento รจ analogo se ๐ รจ lโuscita del secondo dado.
In totale si hanno ๐๐ โ ๐ coppie di numeri in cui ๐ รจ il numero maggiore , in quanto la coppia (๐; ๐)
deve essere contata una volta sola
Poichรฉ le coppie possibili sono in tutto 36 si ha
๐(๐ = ๐ฅ) =2๐ฅ โ 1
36
Il valor medio ( o valore atteso ) รจ
๐ธ(๐ฅ) = โ ๐ฅ๐ โ6๐ผ=1 ๐(๐ฅ๐) =
1
36+
6
36+
15
36+
28
36+
45
36 +
66
36 =
161
36โ 4,47
QUESITO 6
Consideriamo unโastronave in moto che viaggia rispetto alla terra a velocitร ๐ฃ = 0,90 ๐.
Supponiamo che a bordo dellโastronave sia presente una scatola di dimensioni ๐ = 40 ๐๐ , ๐ =
50 ๐๐, โ = 20 ๐๐, con il lato b disposto parallelamente alla direzione del moto dellโastronave.
Per un osservatore posto sulla terra, che volume avrร la scatola? Se lโastronave lancia la scatola con
una velocitร ๐ฃ2 = 0,50 ๐ nella direzione del moto dellโastronave, quale velocitร misura
lโosservatore sulla terra?
Soluzione
Le lunghezze si contraggono nella direzione del moto secondo la legge:
๐ = ๐0โ1 โ (๐ฃ
๐)2
pertanto, solo per il lato b lโosservatore terrestre misura una lunghezza minore
pari a circa 22 ๐๐ da cui : ๐17600 ๐๐3
La formula per la composizione delle velocitร :
๐ฃ =๐ฃ1 + ๐ฃ2
1 +๐ฃ1 โ ๐ฃ2
๐2
Da notare che se l'astronauta "lanciasse" un raggio di luce nella direzione del moto dell'astronave si
avrebbe:
๐ฃ =๐ฃ1 + ๐
1 +๐ฃ1 โ ๐๐2
= ๐
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
cioรจ la velocitร della luce รจ un invariante, il suo valore non si compone con quella del sistema in
movimento da cui parte.
Nel caso in questione:
๐ฃ =0.90๐ + 0.50๐
1 + 0.90 โ 0.50โ 0.97 ๐
QUESITO 7
Una bobina รจ costituita da N spire quadrate di lato ๐, ha una resistenza elettrica R ed รจ montata su un
carrello che puรฒ muoversi con attrito trascurabile su un piano orizzontale. Il carrello viene tirato con
velocitร costante ๐ฃ ed entra in una zona in cui รจ presente un campo magnetico ๏ฟฝโ๏ฟฝ uscente dalla pagina
come in figura. Spiegare perchรฉ la bobina si riscalda e determinare lโespressione della potenza
dissipata.Cosa accade se il carrello viene lanciato con velocitร ๐ฃ verso la stessa regione?
Soluzione
Il carrello si muove verso destra, quando la spira quadrata viene attraversata dal campo magnetico,
il flusso del campo ษธ =โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐ = ๐ต โ ๐ โ ๐๐๐ ๐ผ aumenta man mano che il quadrato si sposta a
destra, dando luogo a una f.e.m. di pari alla variazione , cambiata di segno, del flusso rispetto al
tempo: ๐. ๐.๐. = โโษธ
โ๐ก= โ๐ต โ ๐ โ
โ๐
โ๐ก
Lโangolo ๐ผ = 0 perchรฉ le linee di forza di ๐ตโโ โ sono parallele alla normale alla superficie, il segno " -
" segnala che la f.e.m. indotta creerร una corrente che a sua volta darร luogo a un campo magnetico
tale da compensare l'aumento del flusso.
La corrente che attraversa un conduttore lo riscalda per effetto Joule (gli elettroni in moto
incontrano ostacoli, "attrito", e l'attrito causa una perdita di energia sotto forma di calore). La
potenza dissipata, energia persa rispetto al tempo, รจ data da:
๐ =๐2
๐
In questo caso poichรฉ la bobina รจ costituita da N avvolgimenti
๐ = โโษธ
โ๐ก= โ๐ โ ๐ต โ ๐ โ
โ๐
โ๐ก= โ๐๐ต โ ๐ โ ๐ฃ
Quindi la potenza รจ
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
๐ =(๐ โ ๐ต โ ๐ โ ๐ฃ)2
๐
Quando tutto il quadrato della spira sarร all'interno del campo, il flusso sarร costante:
ษธ = ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐ = ๐๐ต โ ๐2 e quindi f.e.m.=0 .
Se il carrello รจ lanciato verso la stessa regione con velocitร iniziale ๐ฃ , non appena il lato destro
della bobina penetra nella regione del campo magnetico, il conduttore sarร attraversato da una
corrente indotta e quindi soggetto a un forza magnetica ๐น = ๐๐ ๐ ร ๏ฟฝโ๏ฟฝ di intensitร ๐น=๐2๐ต2๐ฟ2๐ฃ
๐
che ha la stessa direzione di ๐ฃ ma verso opposto.
Il carrello si muove di moto decelerato e, a seconda del valore della velocitร iniziale, si puรฒ fermare
allโinterno della regione del campo magnetico o attraversare lโintera regione . In tal caso, nella fase
di uscita si inverte il verso della corrente; la forza magnetica diventa attrattiva ma sempre diretta in
verso opposto alla velocitร .
Anche in questo caso la bobina si riscalda per effetto del passaggio di corrente,
APPROFONDIMENTO
Bilancio energetico
In entrambi i casi, non appena il lato destro della spira penetra nella regione del campo magnetico,
sul carrello agisce la forza magnetica di intensitร ๐น=๐2 โ๐ต2๐ฟ2๐ฃ
๐ che ha la stessa direzione della
velocitร ma verso opposto.
1. Se รจ presente una forza che mantiene costante la velocitร , questa forza deve avere la stessa
intensitร e la stessa direzione della forza magnetica che agisce sulla spira ma avrร lo stesso
verso della velocitร quindi fornirร una potenza uguale a ๐น๐ฃ =๐2๐ต2โ๐2โ๐ฃ2
๐
Potenza meccanica = Potenza elettrica assorbita dal circuito= potenza dissipata per effetto Joule
2. Se non รจ presente alcuna forza che si oppone alla forza magnetica , il carrello si muove di moto
decelerato e la velocitร decresce esponenzialmente come si evince dalla soluzione della seguente
equazione differenziale che risolve il problema classico di una sbarretta di lunghezza ๐ e massa ๐ in
un campo magnetico๏ฟฝโ๏ฟฝ ,, nelle stesse condizioni del quesito in esame
๐๐ = โ๐ต2๐2๐ฃ
๐ โ ๐
๐๐ฃ
๐๐ก= โ
๐ต2๐2๐ฃ
๐
๐ฃ = ๐ฃ๐๐โ
๐ก๐ ๐๐๐ ๐ =
๐๐
๐ต2๐2
Lโenergia dissipata dalla resistenza in un tempo โ๐ก sarร โซ ๐2๐ ๐๐กโ๐ก
0 =โซ
๐ต2๐2๐ฃ2
๐
โ๐ก
0๐๐ก=
๐ต2๐2๐ฃ02
๐ โซ ๐โ2
โ๐ก๐ ๐๐ก = โ๐
๐ต2๐2๐ฃ02
2๐ โ๐โ2
โ๐ก๐ โ 1โ
โ๐ก
0
=
โ๐๐
๐ต2๐2๐ต2๐2๐ฃ0
2
2๐ โ๐โ2
โ๐ก
๐ โ 1โ =1
2๐๐ฃ0
2 (1 โ ๐โ2โ๐ก
๐ ) = โโ๐ธ๐
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
Al tendere di โt allโinfinito ( dopo un tempo sufficientemente lungo) lโenergia dissipata tende
proprio a 1
2๐๐ฃ0
2.
Se il conduttore entra nel campo magnetico con una velocitร v e non รจ presente una forza
esterna , la forza magnetica frena il conduttore e la sua energia cinetica viene dissipata per
effetto Joule.
QUESITO 8
Una bobina รจ costituita da 130 spire di raggio R= 15 cm. Si pone un ago magnetico, le cui
dimensioni sono trascurabili rispetto a R, al centro della bobina ,come in figura.
Il piano della bobina viene orientato in modo da contenere lโago che, a sua volta, รจ orientato
nella direzione della componente orizzontale del campo magnetico terrestre. Quando la bobina รจ
attraversata da corrente, lโago devia di un angolo ๐ผ. Spiegare la causa di questa deviazione.
In tabella sono riportati alcuni valori, misurati sperimentalmente, di ๐ผ e della corrispondente
corrente nella bobina. Utilizzando questi dati , misura la componente orizzontale del campo
magnetico terrestre, con la relativa incertezza.
Soluzione
Il dispositivo รจ una bussola delle tangenti, utilizzata solitamente per misurare lโintensitร di corrente
che attraversa la bobina, essendo noto il valore della componente orizzontale del campo magnetico
terrestre.
Inizialmente lโago risente solo dellโazione della componente
๐ต๐โโ โโ del campo magnetico terrestre ma se si fa passare
corrente nella bobina si crea un campo magnetico ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐
che si somma a quello terrestre e lโago si dispone lungo la
direzione della risultante dei due vettori, formando un angolo
๐ผ con la direzione di ๐ต๐โโ โโ .
Osserviamo che il vettore ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐, รจ perpendicolare al
piano della bobina, pertanto รจ perpendicolare alla direzione
di ๐ต๐โโ โโ che appartiene allo stesso piano.
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
BT
Brisult.
Per un osservatore posto sull'asse di rotazione dell'ago magnetico, la situazione descritta appare
come segue:
La bobina percorsa da corrente crea un campo magnetico ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐ direttamente proporzionale
allโintensitร di corrente. Le spire sono 130, ma la bobina รจ "compatta", quindi si comporta come
un'unica spira, il cui campo รจ quantificabile come: ๐ต =๐0
2๐ ๐ dove i รจ 130 volte quella indicata.
Questo si compone con il campo magnetico terrestre dando luogo a una risultante che forma
l'angolo ฮฑ di cui parla il testo.
Fra ๐ต๐๐๐๐๐๐ , ๐ต๐ e ฮฑ c'รจ la relazione trigonometrica: ๐ต๐ =๐ต๐๐๐๐๐๐
๐ก๐ ๐ผ
Allo stesso risultato si perviene imponendo che il momento meccanico agente sullโago, dovuto ai
due campi magnetici, sia nullo
๐๐ต๐ sin ๐ผ = ๐๐ต๐๐๐๐๐๐ cos ๐ผ
dove ๐ รจ il momento magnetico dellโago.
Prendendo in considerazione i dati sperimentali possiamo costruire la seguente tabella,
considerando la misura indiretta di ๐ต๐ come misure ripetute di una stessa grandezza e calcolando,
quindi ,lโerrore statistico. Lascia qualche perplessitร il fatto che le misure di ๐ต๐ sembrano
sottostimate allโaumentare dellโangolo.
Possiamo stimare il valore di ๐ต๐ = (34,6 ยฑ 0,6)๐๐
Poichรฉ il numero di misurazioni non รจ elevato, si puรฒ anche considerare come incertezza il valore
della semidispersione massima ๐ฃ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ฅโ๐ฃ๐๐๐๐๐ ๐๐๐,
2=
35,3โ33,9
2๐๐ โ 0,7๐๐
Da notare chei valori noti di ๐ต๐ vanno da un minimo all'equatore 210-5 T a un massimo ai poli
710-5 T . Il valore trovato appare allora รจ ragionevole, per una latitudine intermedia anche se in
Italia i valori sono piรน bassi, inferiori a 310-5 T .
Bbobina
Mathesis Roma Seconda prova liceo scientifico Sessione suppletiva 2019
Osservazione
La stima ottenuta per il valore di ๐ต๐ รจ il risultato di una misura indiretta, a partire dalle misure
dirette dellโangolo di deviazione e dellโintensitร di corrente. Non sono rese note le incertezze delle
misure dirette ma si puรฒ ricorrere allโipotesi aggiuntiva che gli errori sulla corrente e sullโangolo
siano rispettivamente 0,1 mA e 1ยฐ, cioรจ lโincertezza sulla cifra meno significativa.
Applicando le regole della propagazione degli errori possiamo trovare innanzi tutto lโerrore su
๐ก๐๐ผ , per il quale si puรฒ utilizzare il concetto di differenziale
โ๐(๐ฅ) โ ๐โฒ(๐ฅ๐)โ๐ฅ
Si ottiene la seguente tabella
ฮฑยฐ ฮฑ rad. tg(ฮฑ) ฮrad ฮtg(ฮฑ) ฮtg(ฮฑ)rel 10 0,175 0,176 1 0,017 0,018 0,103
20 0,349 0,364 1 0,017 0,020 0,057
30 0,524 0,577 1 0,017 0,023 0,044
40 0,698 0,839 1 0,017 0,030 0,043
50 0,873 1,19 1 0,017 0,042 0,048
Media 0,059
Mentre per lโerrore relativo sulla corrente troviamo
corrente(A) ฮi ฮi rel.
0,0114 0,0001 0,0088
0,0233 0,0001 0,0043
0,0368 0,0001 0,0027
0,0524 0,0001 0,0019
0,0739 0,0001 0,0014
Media 0,0038
Lโincertezza relativa sul rapporto ๐ =๐
๐ก๐๐ผ รจ
โ๐
๐ =
โ๐
๐+
โ๐ก๐ ๐ผ
๐ผโ 0,06
ed รจ uguale allโincerteza relativa su ๐ต๐ che รจ ad esso proporzionale
Lโerrore assoluto sarร uguale a (34,6 โ 0,06 โ 2,0 )๐๐
Lโincertezza , dellโordine di 2 ๐๐, รจ molto maggiore dellโerrore statistico. Le misure effettuate non
introducono incertezze maggiori dellโerrore strumentale.