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Questoes de Vestibular
Matematica
Autor:Vinıcius Nicolau
Agradecimentos:Karine Biazi dos Santos
Universidade Tecnologica Federal do Parana - UTFPRRumo Curso Pre Vestibular Assistencial- RCPVA
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Rumo Curso Pre Vestibular Assistencial - RCPVADisciplina: MatematicaQuestoes de Vestibular
Sumario1 Questoes ENEM 2
1.1 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Questoes UFPR 122.1 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Outros Vestibulares 383.1 UP - 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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1 Questoes ENEM
1.1 2012Questao 1
O esporte de alta competicao da atualidade produziu uma questao ainda sem resposta: Qual e olimite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido42 quilometros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planıcies da California, conseguiucorrer dez vezes mais em 75 horas.
Um professor de Educacao Fısica, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do mara-tonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centımetros, que representaria o percursoreferido.
Disponıvel em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).
Se o percurso de Dean Karnazes fosse tambem em uma pista reta, qual seria a escala entre a pistafeita pelo professor e a percorrida pelo atleta?
(a) 1:700.(b) 1:7000.(c) 1:70000.(d) 1:700000.(e) 1:7000000.
Questao 2
O losango representado na Figura 1 foi formado pela uniao dos centros das quatro circunferencias
tangentes, de raios de mesma medida.
Dobrando-se o raio de duas das circunferencias centradas em vertices opostos do losango e ainda
mantendo-se a configuracao das tangencias, obtem-se uma situacao conforme ilustrada pela Figura 2.
O perımetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perımetro do losango da Figura 1, teve
um aumento de(a) 300%.(b) 200%.
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(c) 150%.(d) 100%.(e) 50%.
Questao 3
Jose, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. De-
cidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles
redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaco de cada um.
Na primeira parte do trajeto Jose, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporcao 6 : 5 : 4, respec-
tivamente. Na segunda parte do trajeto Jose, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporcao 4 : 4 :
2, respectivamente.
Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas
que Jose, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?(a) 600, 550, 350(b) 300, 300, 150(c) 300, 250, 200(d) 200, 200, 100(e) 100, 100, 50
Questao 4
Em um blog de variedades, musicas, mantras e informacoes diversas, foram postados Contos de
Halloween. Apos a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reacoes em: Divertido,
Assustador ou Chatfi. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram
esta postagem. O grafico a seguir apresenta o resultado da enquete.
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O administrador do blog ira sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem Contos de
Halloween. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa
escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto Contos de Halloween e Chato e
mais aproximada por:
(a) 0,09
(b) 0,12
(c) 0,14
(d) 0,15
(e) 0,18
Questao 5
Arthur deseja comprar um terreno de Cleber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de paga-
mento:
• Opcao 1: Pagar a vista, por R$ 55 000,00.
• Opcao 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30 000,00, e mais uma prestacao de R$ 26
000,00 para dali a 6 meses.
• Opcao 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20 000,00, mais uma prestacao de R$ 20
000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18 000,00 para dali a 12 meses da data da compra.
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• Opcao 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15 000,00 e o restante em 1 ano da data da
compra, pagando R$ 39 000,00.
• Opcao 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60 000,00.
Arthur tem o dinheiro para pagar a vista, mas avalia se nao seria melhor aplicar o dinheiro do
valor a vista (ou ate um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre,
resgatando os valores a medida que as prestacoes da opcao escolhida fossem vencendo.
Apos avaliar a situacao do ponto de vista financeiro e das condicoes apresentadas, Arthur concluiu
que era mais vantajoso financeiramente escolher a opcao(a) 1(b) 2(c) 3(d) 4(e) 5
Questao 6
Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informacao de que encolhera apos a primeira
lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o
tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressao algebrica que representa
a area do forro apos ser lavado e (5− x) · (3− y).
Nestas condicoes, a area perdida do forro, apos a primeira lavagem, sera expressa por(a) 2xy(b) 15− 3x
(c) 15− 5y
(d) −5y − 3x
(e) 5y + 3x− xy
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Questao 7
A capacidade mınima, em BTU/h, de um aparelho de ar-condicionado, para ambientes sem
exposicao ao sol, pode ser determinada da seguinte forma:
• 600 BTU/h por m2, considerando-se ate duas pessoas no ambiente;
• para cada pessoa adicional nesse ambiente, acrescentar 600 BTU/h;
• acrescentar mais 600 BTU/h para cada equipamento eletroeletronico em funcionamento no
ambiente.
Sera instalado um aparelho de ar-condicionado em uma sala, sem exposicao ao sol, de dimensoes 4
m × 5 m, em que permanecam quatro pessoas e possua um aparelho de televisao em funcionamento.
A capacidade mınima, em BTU/h, desse aparelho de ar-condicionado deve ser(a) 12000(b) 12600(c) 13200(d) 13800(e) 15000
Questao 8
A resistencia mecanica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepıpedo retangulo, e
diretamente proporcional a sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporci-
onal ao quadrado da distancia entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x),
conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k e chamada de resistencia da viga.
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A expressao que traduz a resistencia S dessa viga de madeira e(a) S = k·b·d2
x2
(b) S = k·b·dx2
(c) S = k·b·d2x
(d) S = k·b2·dx
(e) S = k·b·2d2x
Questao 9
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brinca-
deira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 comodos; um dos personagens
esconde um dos objetos em um dos comodos da casa. O objetivo da brincadeira e adivinhar qual
objeto foi escondido por qual personagem e em qual comodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno e sorteado e da a sua resposta. As
respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno nao pode ser sorteado mais de
uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele e declarado vencedor e a brincadeira e encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertara a resposta porque ha(a) 10 alunos a mais do que possıveis respostas distintas.(b) 20 alunos a mais do que possıveis respostas distintas.(c) 119 alunos a mais do que possıveis respostas distintas.(d) 260 alunos a mais do que possıveis respostas distintas.(e) 270 alunos a mais do que possıveis respostas distintas.
Questao 10
Um biologo mediu a altura de cinco arvores distintas e representou-as em uma mesma malha
quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicacoes na figura a seguir.
Qual e a arvore que apresenta a maior altura real?
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(a) I(b) II(c) III(d) IV(e) V
Questao 11
Em um jogo ha duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir
indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
Uma jogada consiste em:
1 ◦)
o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que sera retirada por ele da urna 2;
2 ◦)
ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que la
estao;
3 ◦)
em seguida ele retira, tambem aleatoriamente, uma bola da urna 2;
4 ◦)
se a cor da ultima bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo.
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?(a) Azul.(b) Amarela.(c) Branca.(d) Verde.(e) Vermelha.
Questao 12
Os hidrometros sao marcadores de consumo de agua em residencias e estabelecimentos comerci-
ais. Existem varios modelos de mostradores de hidrometros, sendo que alguns deles possuem uma
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combinacao de um mostrador e dois relogios de ponteiro. O numero formado pelos quatro primei-
ros algarismos do mostrador fornece o consumo em m3, e os dois ultimos algarismos representam,
respectivamente, as centenas e dezenas de litros de agua consumidos. Um dos relogios de ponteiros
indica a quantidade em litros, e o outro em decimos de litros, conforme ilustrados na figura a seguir.
Considerando as informacoes indicadas na figura, o consumo total de agua registrado nesse hidrometro,
em litros, e igual a(a) 3 534,85.(b) 3 544,20.(c) 3 534 850,00.(d) 3 534 859,35.(e) 3 534 850,39.
Questao 13
O dono de uma farmacia resolveu colocar a vista do publico o grafico mostrado a seguir, que
apresenta a evolucao do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.
De acordo com o grafico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda
absolutas em 2011 foram
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(a) marco e abril.(b) marco e agosto.(c) agosto e setembro.(d) junho e setembro.(e) junho e agosto.
Questao 14
Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos.
Nas imagens apresentadas estao as planificacoes dessas caixas.
Quais serao os solidos geometricos que Maria obtera a partir dessas planificacoes?(a) Cilindro, prisma de base pentagonal e piramide.(b) Cone, prisma de base pentagonal e piramide.(c) Cone, tronco de piramide e piramide.(d) Cilindro, tronco de piramide e prisma.(e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
Questao 15
Jogar baralho e uma atividade que estimula o raciocınio. Um jogo tradicional e a Paciencia,
que utiliza 52 cartas. Inicialmente sao formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem
uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem tres cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim
sucessivamente ate a setima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que sao as
cartas nao utilizadas nas colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte e(a) 21(b) 24(c) 26(d) 28(e) 31
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Questao 16
O grafico mostra a variacao da extensao media de gelo marıtimo, em milhoes de quilometros
quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos
meses de junho a setembro. O Artico comeca a recobrar o gelo quando termina o verao, em meados
de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz
solar de volta ao espaco. Aguas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforcam o
aquecimento do Artico, ocasionando derretimento crescente do gelo.
Com base no grafico e nas informacoes do texto, e possıvel inferir que houve maior aquecimento
global em(a) 1995(b) 1998(c) 2000(d) 2005(e) 2007
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2 Questoes UFPR
2.1 2009
Questao 1
Uma determinada regiao apresentou, nos ultimos cinco meses, os seguintes valores (fornecidos
em mm) para a precipitacao pluviometrica media:
jun jul ago set out
32 34 27 29 28
A media, a mediana e a variancia do conjunto de valores acima sao, respectivamente:(a) 30, 27 e 6, 8.(b) 27, 30 e 2, 4.(c) 30, 29 e 6, 8.(d) 29, 30 e 7, 0.(e) 30, 29 e 7, 0.
Questao 2
A estrutura de um telhado tem a forma de um prisma triangular reto, conforme o esquema ao
lado. Sabendo que sao necessarias 20 telhas por metro quadrado para cobrir esse telhado, assinale a
alternativa que mais se aproxima da quantidade de telhas necessarias para construı-lo. (Use√3 =
1, 7)
18m 10m
30º
30º
(a) 4080.(b) 5712.(c) 4896.(d) 3670.(e) 2856.
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Questao 3
Numa empresa de transportes, um encarregado recebe R$400, 00 a mais que um carregador, porem
cada encarregado recebe apenas 75% do salario de um supervisor de cargas. Sabendo que a empresa
possui 2 supervisores de cargas, 6 encarregados e 40 carregadores e que a soma dos salarios de todos
esses funcionarios e R$57.000, 00, qual e o salario de um encarregado?(a) R$2.000, 00.(b) R$1.800, 00.(c) R$1.500, 00.(d) R$1.250, 00.(e) R$1.100, 00.
Questao 4
Em estudos realizados numa area de protecao ambiental, biologos constataram que o numero N
de indivıduos de certa especie primata esta crescendo em funcao do tempo t (dado em anos), segundo
a expressao
N(t) =600
5 + 3 · 2−0,1t
Supondo que o instante t = 0 corresponda ao inıcio desse estudo e que essa expressao continue sendo
valida com o passar dos anos, considere as seguintes afirmativas:
1. O numero de primatas dessa especie presentes na reserva no inıcio do estudo era de 75 in-
divıduos.
2. Vinte anos apos o inıcio desse estudo, o numero de primatas dessa especie sera superior a 110
indivıduos.
3. A populacao dessa especie nunca ultrapassara 120 indivıduos.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente a afirmativa 1 e verdadeira.(b) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras.(c) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras.(d) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(e) As afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.
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Questao 5
Considere o hexagono regular inscrito na circunferencia de raio 2 centrada na origem do sistema
de coordenadas cartesianas, conforme representado na figura abaixo. Nessas condicoes, e INCOR-
RETO afirmar:
A
BO
D C
E
F
(a) A equacao da circunferencia e x2 + y2 = 4.(b) O triangulo com vertices nos pontos B, D e F e equilatero.(c) A distancia entre os pontos A e D e 4.(d) A equacao da reta que passa pelos pontos A e C pode ser escrita na forma px + qy = r, com
r = 0.(e) A equacao da reta que passa pelos pontos B e D pode ser escrita na forma y = px + q, com
p > 0 e 0 < q < 2.
Questao 6
Sabendo-se que x = 2 e um zero do polinomio p(x) = 9x3− 21x2+4x+4, e correto afirmar que
a soma das outras duas raızes e igual a:(a) 1
3.
(b) 37.
(c) 1.(d) 4
21.
(e) 49.
Questao 7
Dados os numeros reais a, b e c diferentes de zero e a matriz quadrada de ordem 2
M =
a b
0 c
considere as seguintes afirmativas a respeito de M :
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1. A matriz M e invertıvel.
2. Denotando a matriz transposta de M por MT , teremos det(M ·MT ) > 0.
3. Quando a = 1 e c = −1, tem-se M2 = I , sendo I a matriz identidade de ordem 2.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente a afirmativa 2 e verdadeira.(b) Somente a afirmativa 3 e verdadeira.(c) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras.(d) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(e) As afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.
Questao 8
A linha de producao de uma fabrica produz milhares de pecas por dia e apresenta, em media,
quatro pecas defeituosas a cada cem pecas produzidas. Um inspetor de qualidade sorteia cinco pecas
de modo aleatorio e verifica a quantidade de pecas defeituosas. De acordo com as informacoes acima,
considere as seguintes afirmativas:
1. A probabilidade de o inspetor encontrar no maximo uma peca defeituosa e(0, 040 × 0, 965
)+(
5× 0, 041 × 0, 964).
2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma peca defeituosa e 1−(0, 040 × 0, 965
).
3. E impossıvel o inspetor encontrar 5 pecas defeituosas.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente a afirmativa 1 e verdadeira.(b) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras.(c) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(d) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras.(e) As afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.
Questao 9
Sabendo que a aresta do cubo abaixo mede 6 cm, considere as seguintes afirmativas:
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1. A area do triangulo ACD e 9 cm2.
2. O volume da piramide ABCD e 16
do volume do cubo.
3. A altura do triangulo ABC relativa a qualquer um dos lados mede 3√2 cm.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente a afirmativa 1 e verdadeira.(b) Somente a afirmativa 2 e verdadeira.(c) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras.(d) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras.(e) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.
2.2 2010
Questao 1
Num mapa da Regiao Metropolitana de Curitiba, na escala 1 : 250.000, uma das pistas da rodo-
via BR-116 aparece desenhada com um milımetro de largura. A partir dessa informacao, e correto
afirmar:(a) A largura da pista e de 20 m.(b) A largura da pista e de 15 m.(c) A largura da pista e de 25 m.(d) A representacao da rodovia com um milımetro de largura, num mapa na escala 1:250.000, esta
de acordo com a largura real da rodovia.(e) Trata-se de uma questao de generalizacao cartografica e nesse caso o desenho da rodovia nao
obedece a relacao de escala.
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Questao 2
Uma corda de 3,9 m de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de madeira a uma
polia localizada no alto de uma elevacao, conforme o esquema abaixo. Observe que o ponto mais alto
dessa polia esta 1,5 m acima do plano em que esse bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 m, na
direcao indicada abaixo, a distancia x que o bloco deslizara sera de:
(a) 1,0 m.(b) 1,3 m.(c) 1,6 m.(d) 1,9 m.(e) 2,1 m.
Questao 3
Assinale a alternativa que apresenta a historia que melhor se adapta ao grafico.
tempo
distância de casa
(a) Assim que saı de casa lembrei que deveria ter enviado um documento para um cliente pore-mail. Resolvi voltar e cumprir essa tarefa. Aproveitei para responder mais algumas mensagense, quando me dei conta, ja havia passado mais de uma hora. Saı apressada e tomei um taxi para oescritorio.
(b) Saı de casa e quando vi o onibus parado no ponto corri para pega-lo. Infelizmente o motoristanao me viu e partiu. Apos esperar algum tempo no ponto, resolvi voltar para casa e chamar um taxi.Passado algum tempo, o taxi me pegou na porta de casa e me deixou no escritorio.
(c) Eu tinha acabado de sair de casa quando tocou o celular e parei para atende-lo. Era meu chefe,dizendo que eu estava atrasado para uma reuniao. Minha sorte e que nesse momento estava passandoum taxi. Acenei para ele e poucos minutos depois eu ja estava no escritorio.
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(d) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou. Desci do carro, troquei o pneu e finalmentepude ir para o trabalho.
(e) Saı de casa sem destino - estava apenas com vontade de andar. Apos ter dado umas dez voltasna quadra, cansei e resolvi entrar novamente em casa.
Questao 4
Qual das seguintes retas passa pelo centro da circunferencia x2 + y2 + 4y − 3 = 0?(a) x+ 2y = 4.(b) 5x− y = 2.(c) x+ y = 0.(d) x− 5y = −2.(e) 2x+ y = 7.
Questao 5
Em uma populacao de aves, a probabilidade de um animal estar doente e 125. Quando uma ave
esta doente, a probabilidade de ser devorada por predadores e 1 4 , e, quando nao esta doente, a
probabilidade de ser devorada por predadores e 1 40. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa
populacao, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores e de:(a) 1, 0%.(b) 2, 4%.(c) 4, 0%.(d) 3, 4%.(e) 2, 5%.
Questao 6
Suponha que o horario do por do sol na cidade de Curitiba, durante o ano de 2009, possa ser
descrito pela funcao
f(t) = 18, 8− 1, 3 sin
(2π
365t
)sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1◦ de janeiro. Com base nessas informacoes, considere
as seguintes afirmativas:
1. O perıodo da funcao acima e 2π.
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2. Foi no mes de abril o dia em que o por do sol ocorreu mais cedo.
3. O horario em que o por do sol ocorreu mais cedo foi 17h30.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente a afirmativa 3 e verdadeira.(b) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras.(c) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras.(d) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(e) As afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.
Questao 7
Para testar a eficiencia de um tratamento contra o cancer, foi selecionado um paciente que possuıa
um tumor de formato esferico, com raio de 3 cm. Apos o inıcio do tratamento, constatou-se, atraves
de tomografias, que o raio desse tumor diminuiu a uma taxa de 2 mm por mes. Caso essa taxa de
reducao se mantenha, qual dos valores abaixo se aproxima mais do percentual do volume do tumor
original que restara apos 5 meses de tratamento?(a) 29, 6%.(b) 30, 0%.(c) 30, 4%.(d) 30, 8%.(e) 31, 4%.
Questao 8
A soma das areas dos tres quadrados ao lado e igual a 83 cm2. Qual e a area do quadrado maior?
x
4 cm
2 cm
(a) 36 cm2.(b) 20 cm2.(c) 49 cm2.(d) 42 cm2.(e) 64 cm2.
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Questao 9
Considere o polinomio p(x) = x3 − ax2 + x− a e analise as seguintes afirmativas:
1. i =√−1 e raiz desse polinomio.
2. Qualquer que seja o valor de a, p(x) e divisıvel por x− a
3. Para que p(?2) =?10, o valor de a deve ser 0.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente a afirmativa 2 e verdadeira.(b) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras.(c) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras.(d) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(e) As afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.
Questao 10
Um professor de Estatıstica costuma fazer duas avaliacoes por semestre e calcular a nota final
fazendo a media aritmetica entre as notas dessas duas avaliacoes. Porem, devido a um problema de
falta de energia eletrica, a segunda prova foi interrompida antes do tempo previsto e varios alunos nao
conseguiram termina-la. Como nao havia possibilidade de refazer essa avaliacao, o professor decidiu
alterar os pesos das provas para nao prejudicar os alunos. Assim que Amanda e Debora souberam da
notıcia, correram ate o mural para ver suas notas e encontraram os seguintes valores:
Nome 1a prova 2a provaNota final
da disciplina
Amanda 82 52 72,1
Debora 90 40 73,5
Qual foi o peso atribuıdo a segunda prova?(a) 0,25.(b) 0,30.(c) 0,33.(d) 0,35.(e) 0,40.
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2.3 2011
Questao 1
O grafico ao lado representa a velocidade de um veıculo durante um passeio de tres horas, iniciado
as 13h00. De acordo com o grafico, o percentual de tempo nesse passeio em que o veıculo esteve a
uma velocidade igual ou superior a 50 quilometros por hora foi de:
35
65
60
55
50
45
40
13h00 14h00 15h00 16h00
tempo
Velocidade(km/h)
(a) 20%.(b) 25%.(c) 30%.(d) 45%.(e) 50%.
Questao 2
Uma piscina possui duas bombas ligadas a ela. A primeira bomba, funcionando sozinha, esvazia
a piscina em 2 horas. A segunda, tambem funcionando sozinha, esvazia a piscina em 3 horas. Caso
as duas bombas sejam ligadas juntas, mantendo o mesmo regime de funcionamento, a piscina sera
esvaziada em:(a) 1 hora.(b) 1,2 horas.(c) 2,5 horas.(d) 3 horas.(e) 5 horas.
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Questao 3
O retangulo ABCD foi dividido em nove quadrados, como ilustra a figura abaixo. Se a area do
quadrado preto e 81 unidades e a do quadrado cinza 64 unidades, a area do retangulo ABCD sera de:
A B
CD
(a) 860 unidades.(b) 990 unidades.(c) 1024 unidades.(d) 1056 unidades.(e) 1281 unidades.
Questao 4
Em 2010, uma loja de carros vendeu 270 carros a mais que em 2009. Abaixo temos um grafico
ilustrando as vendas nesses dois anos. Nessas condicoes, pode-se concluir que a media aritmetica
simples das vendas efetuadas por essa loja durante os dois anos foi de:
Ano Carros Vendidos pela Loja
2009
2010
(a) 540 carros.(b) 530 carros.(c) 405 carros.(d) 270 carros.(e) 135 carros.
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Questao 5
Um balao de ar quente foi lancado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura
abaixo descreve a situacao de maneira simplificada. Ao ser lancado, o balao esticou uma corda presa
aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, sao, entao:
(a) (21,7).(b) (22,8).(c) (24,12).(d) (25,13).(e) (26,15).
Questao 6
Durante o mes de dezembro, uma loja de cosmeticos obteve um total de R$900, 00 pelas vendas
de um certo perfume. Com a chegada do mes de janeiro, a loja decidiu dar um desconto para estimular
as vendas, baixando o preco desse perfume em R$10, 00. Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes
a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$1.000, 00 pelas vendas de janeiro. O preco pelo
qual esse perfume foi vendido em dezembro era de:(a) R$55, 00.(b) R$60, 00.(c) R$65, 00.(d) R$70, 00.(e) R$75, 00.
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Questao 7
Em uma cidade de 250.000 habitantes, aproximadamente 10.000 foram vacinados contra o vırus
H1N1, numero muito menor do que as autoridades de saude previam. Se tomarmos aleatoriamente
50 habitantes dessa cidade, quantos deles se espera que tenham sido vacinados contra o vırus H1N1?(a) 2 habitantes.(b) 6 habitantes.(c) 8 habitantes.(d) 12 habitantes.(e) 15 habitantes.
Questao 8
Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo
alemao Hermann Ebbinghaus no final do seculo XIX. Utilizando metodos experimentais, Ebbinghaus
determinou que, dentro de certas condicoes, o percentual P do conhecimento adquirido que uma
pessoa retem apos t semanas pode ser aproximado pela formula
P (t) = (100− a) · bt + a
sendo que a e b variam de uma pessoa para outra. Se essa formula e valida para um certo estudante,
com a = 20 e b = 0, 5, o tempo necessario para que o percentual se reduza a 28% sera:(a) entre uma e duas semanas.(b) entre duas e tres semanas.(c) entre tres e quatro semanas.(d) entre quatro e cinco semanas.(e) entre cinco e seis semanas.
Questao 9
Um telhado inclinado reto foi construıdo sobre tres suportes verticais de aco, colocados nos pontos
A, B e C, como mostra a figura abaixo. Os suportes nas extremidades A, B, C medem, respectiva-
mente, 4 metros e 6 metros de altura. A altura do suporte em B e, entao, de:
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(a) 4,2 metros.(b) 4,5 metros.(c) 5 metros.(d) 5,2 metros.(e) 5,5 metros.
2.4 2012
Questao 1
Num teste de esforco fısico, o movimento de um indivıduo caminhando em uma esteira foi regis-
trado por um computador. A partir dos dados coletados, foi gerado o grafico da distancia percorrida,
em metros, em funcao do tempo, em minutos, mostrado abaixo:
tempo(minutos)
distância(metros)
2 4 6 8 10
200
600
1000
1400
De acordo com esse grafico, considere as seguintes afirmativas:
1. A velocidade media nos primeiros 4 minutos foi de 6 km/h.
2. Durante o teste, a esteira permaneceu parada durante 2 minutos.
3. Durante o teste, a distancia total percorrida foi de 1200 m.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras.(b) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(c) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras.
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(d) Somente a afirmativa 3 e verdadeira.(e) As afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.
Questao 2
Numa serie de testes para comprovar a eficiencia de um novo medicamento, constatou-se que
apenas 10% dessa droga permanecem no organismo seis horas apos a dose ser ministrada. Se um
indivıduo tomar uma dose 250 mg desse medicamento a cada seis horas, que quantidade da droga
estara presente em seu organismo logo apos ele tomar a quarta dose?(a) 275 mg.(b) 275,25 mg.(c) 277,75 mg.(d) 285 mg.(e) 285,55 mg.
Questao 3
Andre, Beatriz e Joao resolveram usar duas moedas comuns, nao viciadas, para decidir quem ira
lavar a louca do jantar, lancando as duas moedas simultaneamente, uma unica vez. Se aparecerem
duas coroas, Andre lavara a louca; se aparecerem duas caras, Beatriz lavara a louca; e se aparecerem
uma cara e uma coroa, Joao lavara a louca. A probabilidade de que Joao venha a ser sorteado para
lavar a louca e de:(a) 25%.(b) 27, 5%.(c) 30%.(d) 33, 3%.(e) 50%.
Questao 4
As duas latas na figura abaixo possuem internamente o formato de cilindros circulares retos, com
as alturas e diametros da base indicados. Sabendo que ambas as latas tem o mesmo volume, qual o
valor aproximado da altura h?
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4 cm
6 cm
h
12 cm16 cm
(a) 5 cm.(b) 6 cm.(c) 6,25 cm.(d) 7,11 cm.(e) 8,43 cm.
Questao 5
Na figura ao lado estao representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado
cinza de area 4 unidades, um quadrado hachurado de area 9 unidades e a reta r que passa por um
vertice de cada quadrado. Nessas condicoes, a equacao da reta r e:
(a) x− 2y = −4.(b) 4x− 9y = 0.(c) 2x+ 3y = −1.(d) x+ y = 3.(e) 2x− y = 3.
Questao 6
Todas as faces de um cubo solido de aresta 9 cm foram pintadas de verde. Em seguida, por meio
de cortes paralelos a cada uma das faces, esse cubo foi dividido em cubos menores, todos com aresta
3 cm. Com relacao a esses cubos, considere as seguintes afirmativas:
1. Seis desses cubos menores terao exatamente uma face pintada de verde.
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2. Vinte e quatro desses cubos menores terao exatamente duas faces pintadas de verde.
3. Oito desses cubos menores terao exatamente tres faces pintadas de verde.
4. Um desses cubos menores nao tera nenhuma das faces pintada de verde.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 sao verdadeiras.(b) Somente as afirmativas 1 e 4 sao verdadeiras.(c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 sao verdadeiras.(d) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 sao verdadeiras.
Questao 7
Uma bolsa contem 20 moedas, distribuıdas entre as de 5, 10 e 25 centavos, totalizando R$3, 25.
Sabendo que a quantidade de moedas de 5 centavos e a mesma das moedas de 10 centavos, quantas
moedas de 25 centavos ha nessa bolsa?(a) 6.(b) 8.(c) 9.(d) 10.(e) 12.
Questao 8
Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x centımetros
num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte formula:
log
(L
15
)= −0, 08x
Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm?(a) 150 lumens.(b) 15 lumens.(c) 10 lumens.(d) 1,5 lumens.(e) 1 lumen.
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Questao 9
Num projeto hidraulico, um cano com diametro externo de 6 cm sera encaixado no vao triangular
de uma superfıcie, como ilustra a figura abaixo. Que porcao x da altura do cano permanecera acima
da superfıcie?
(a) 12
cm.(b) 1 cm.(c)
√32
cm.(d) π
2cm.
(e) 2 cm.
2.5 2013
Questao 1
Durante um surto de gripe, 25% dos funcionarios de uma empresa contraıram essa doenca. Den-
tre os que tiveram gripe, 80% apresentaram febre. Constatou-se tambem que 8% dos funcionarios
apresentaram febre por outros motivos naquele perıodo. Qual a probabilidade de que um funcionario
dessa empresa, selecionado ao acaso, tenha apresentado febre durante o surto de gripe?(a) 20%.(b) 26%.(c) 28%.(d) 33%.(e) 35%.
Questao 2
De acordo com a Organizacao Mundial de Saude, um Indice de Massa Corporal inferior a 18,5
pode indicar que uma pessoa esta em risco nutricional. Ha, inclusive, um projeto de lei tramitando
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no Senado Federal, e uma lei ja aprovada no Estado de Santa Catarina, proibindo a participacao em
eventos de modelos que apresentem esse ındice inferior a 18,5. O Indice de Massa Corporal de uma
pessoa, abreviado por IMC, e calculado atraves da expressao
IMC =m
h2
em que m representa a massa da pessoa, em quilogramas, e h sua altura, em metros. Dessa forma,
uma modelo que possua IMC = 18,5 e massa corporal de 55,5 kg, tem aproximadamente que altura?(a) 1,85 m.(b) 1,81 m.(c) 1,77 m.(d) 1,73 m.(e) 1,69 m.
Questao 3
Numa pesquisa com 500 pessoas, 50% dos homens entrevistados responderam “sim” a uma deter-
minada pergunta, enquanto 60% das mulheres responderam “sim” a mesma pergunta. Sabendo que,
na entrevista, houve 280 respostas “sim” a essa pergunta, quantas mulheres a mais que homens foram
entrevistadas?(a) 40.(b) 70.(c) 100.(d) 120.(e) 160.
Questao 4
Em relacao a um prisma com 39 arestas, todas com o mesmo comprimento c, considere as seguin-
tes afirmativas:
1. A piramide com mesma base e altura desse prisma possui 13
do volume do prisma.
2. As bases inferior e superior do prisma sao polıgonos com 13 lados.
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3. O prisma possui 26 vertices.
4. A area lateral do prisma e 15c2.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras.(b) Somente as afirmativas 2 e 4 sao verdadeiras.(c) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 sao verdadeiras.(d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 sao verdadeiras.(e) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.
Questao 5
Um recipiente, no formato de hemisferio, contem um lıquido que tem profundidade maxima de 5
cm. Sabendo que a medida do diametro do recipiente e de 20 cm, qual o maior angulo, em relacao
a horizontal, em que ele pode ser inclinado ate que o lıquido alcance a borda, antes de comecar a
derramar?
5 cm
• 20 cm
(a) 70◦.(b) 60◦.(c) 45◦.(d) 30◦.(e) 15◦.
Questao 6
O medico e fısico frances J. L. Poiseuille descobriu experimentalmente que o fluxo de sangue
atraves de uma pequena arteria e diretamente proporcional a quarta potencia do raio dessa arteria. Para
isso, ele supos que pequenos trechos das arterias podem ser considerados como cilindros circulares.
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Nesse caso, se uma pessoa tomar um medicamento que dilate o raio de uma arteria em 10%, o fluxo
de sangue por ela aumentara que percentual?(a) 0, 001%.(b) 0, 01%.(c) 0, 1%.(d) 1%.(e) 10%.
Questao 7
Suponha que o numero P de indivıduos de uma populacao, em funcao do tempo t, possa ser
descrito de maneira aproximada pela expressao
P (t) =3600
9 + 3× 4t
Sobre essa expressao, considere as seguintes afirmativas:
1. No instante inicial, t = 0, a populacao e de 360 indivıduos.
2. Com o passar do tempo, o valor de P aumenta.
3. Conforme t aumenta, a populacao se aproxima de 400 indivıduos.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras.(b) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras.(c) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(d) Somente a afirmativa 1 e verdadeira.(e) As afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.
Questao 8
Considerando a circunferencia C de equacao (x−3)2+(y−4)2 = 5, avalie as seguintes afirmativas:
1. O ponto P(4,2) pertence a C.
2. O raio de C e 5.
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3. A reta y = 43x passa pelo centro de C.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente a afirmativa 1 e verdadeira.(b) Somente a afirmativa 2 e verdadeira.(c) As afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.(d) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras.(e) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras.
Questao 9
A tabela abaixo mostra como e distribuıda a populacao brasileira por regioes da Federacao, com
base em dados do censo de 2010. Qual dos graficos de setores a seguir melhor representa os dados
dessa tabela?
►a) b)
c) d) e)
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
Região População
(em milhões)
Norte 15,8
Nordeste 53,0
Sudeste 80,3
Sul 27,3
Centro-Oeste 14,0
Fonte: IBGE
2.6 2014
Questao 1
O motivo de uma pessoa ser destra ou canhota e um dos misterios da ciencia. Acredita-se que 11%
dos homens e 9% das mulheres sao canhotos. Supondo que 48% da populacao brasileira e constituıda
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de homens, e que essa crenca seja verdadeira, que percentual da populacao brasileira e constituıdo de
canhotos?(a) 9,60 %.(b) 9,96 %.(c) 10,00 %.(d) 10,40 %.(e) 10,56 %.
Questao 2
Qual e o numero mınimo de voltas completas que a menor das engrenagens deve realizar para que
as quatro flechas fiquem alinhadas da mesma maneira novamente?
(a) 14 voltas.(b) 21 voltas.(c) 57 voltas.(d) 60 voltas.(e) 84 voltas.
Questao 3
Um kit para impressao vem com oito cartuchos de tinta, de formato identico, para impressora.
Nesse kit ha dois cartuchos de cada uma das quatro cores diferentes necessarias para uma impressora
caseira (ciano, magenta, amarelo e preto). Escolhendo aleatoriamente dois cartuchos desse kit, qual a
probabilidade de se obter duas cores distintas?
(a)6
7.
(b)1
12.
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(c)15
56.
(d)1
48.
(e)1
64.
Questao 4
Um cırculo, com centro na origem do plano cartesiano, e tangente a reta de equacao y = 2x + 2.
Qual e o raio desse cırculo?
(a)√2.
(b) 2.
(c)√10
2.
(d)2
5.
(e)2√5
5.
Questao 5
O angulo de visao de um motorista diminui conforme aumenta a velocidade de seu veıculo. Isso
pode representar riscos para o transito e os pedestres, pois o condutor deixa de prestar atencao a
veıculos e pessoas fora desse angulo conforme aumenta sua velocidade. Suponha que o angulo de
visao A relaciona-se com a velocidade v atraves da expressaoA = kv+b, na qual k e b sao constantes.
Sabendo que o angulo de visao a 40 km/h e de 100◦, e que a 120 km/h fica reduzido a apenas 30◦,
qual o angulo de visao do motorista a velocidade de 64 km/h?(a) 86◦.(b) 83◦.(c) 79◦.(d) 75◦.(e) 72◦.
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Questao 6
Um tanque para armazenamento de produtos corrosivos possui, internamente, o formato de um
cilindro circular reto com uma semiesfera em cada uma de suas bases, como indica a figura. Para
revestir o interior do tanque, sera usada uma tinta anticorrosiva. Cada lata dessa tinta e suficiente
para revestir 8 m2 de area. Qual o numero mınimo de latas de tinta que se deve comprar para revestir
totalmente o interior desse tanque? (Use π = 3, 14).
6 m
2 m
(a) 3 latas.(b) 4 latas.(c) 5 latas.(d) 7 latas.(e) 10 latas.
Questao 7
Num laboratorio, sensores sao colocados no topo de dois pistoes para analisar o desempenho
de um motor. A profundidade do primeiro pistao no bloco do motor pode ser descrita, de maneira
aproximada, pela expressao H1 = 12 cos(2πt/60), e a profundidade do segundo, pela expressao
H2 = 12sen(2πt/60), sendo t o tempo medido em milissegundos a partir do acionamento do motor.
Quanto tempo levara para que os pistoes estejam na mesma profundidade, pela primeira vez, apos o
acionamento do motor?(a) 5 milissegundos.(b) 7,5 milissegundos.(c) 10 milissegundos.(d) 22,5 milissegundos.(e) 45 milissegundos.
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Questao 8
Um retangulo no plano cartesiano possui dois vertices sobre o eixo das abscissas e outros dois
vertices sobre a parabola de equacao y = 4 − x2, com y > 0. Qual e o perımetro maximo desse
retangulo?
(a) 4.(b) 8.(c) 10.(d) 12.(e) 17.
Questao 9
Duas escadas foram usadas para bloquear um corredor de 2,4 m de largura, conforme indica a
figura ao lado. Uma mede 4 m de comprimento e outra 3 m. A altura h, do ponto onde as escadas se
tocam, em relacao ao chao, e de aproximadamente
(a) 1,15 m.(b) 1,40 m.(c) 1,80 m.(d) 2,08 m.(e) 2,91 m.
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3 Outros Vestibulares
3.1 UP - 2014
Questao 1
Um tanque de contencao de resıduos de uma industria quımica possui internamente o formato de
um cilindro circular reto com 5 m diametro. Como essa industria esta em fase de expansao, decidiu-se
construir um segundo tanque de contencao com o mesmo formato e altura, porem capaz de armazenar
o dobro do volume de resıduos. Qual dos valores abaixo mais se aproxima do diametro desse novo
tanque?(a) 6,5 m.(b) 7,1 m.(c) 7,6 m.(d) 8,0 m.(e) 10,0 m.
Questao 2
Cada um dos termos de uma sequencia de numeros (com excecao do primeiro) e obtido adicionando-
se 7 ao termo anterior. Sabendo-se que um dos termos dessa sequencia e -31, qual dos termos listados
abaixo pertence a essa sequencia?(a) 123.(b) 132.(c) 213.(d) 231.(e) 321.
Questao 3
Supondo que a quantidade residual R de um medicamento, em miligramas, presente no corpo de
uma paciente, t horas apos a ingestao de um comprimido, possa ser descrita pela expressao
R(t) = 125 · 22−0,5t,
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considere as seguintes afirmativas (use log 2 = 0, 3):
1. No instante inicial, t = 0, ha 250 mg desse medicamento no corpo da paciente.
2. Em 2 horas, a quantidade residual atinge metade da quantidade inicial.
3. Para que a quantidade residual atinja 100 mg, sao necessarias 4 horas e 40 minutos.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente a afirmativa 2 e verdadeira.(b) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras.(c) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras.(d) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(e) As afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.
Questao 4
Uma piramide de base quadrada tem todas as suas arestas medindo o mesmo comprimento l. Qual
e a area total dessa piramide?(a) A = l2(
√3 + 1).
(b) A = l2(2√
2 + 1).
(c) A = l2(√
2 + 1).
(d) A = l2(2√
3 + 1).
(e) A = 3 · l2.
Questao anulada, pois nao havia alternativa correta devido a erro na impressao.
Questao 5
Alberto, Bernardo e Cleber formam uma equipe de vendedores de uma grande empresa de refri-
gerantes. No mes passado, Alberto e Cleber venderam, juntos, R$ 420.000,00 em produtos, porem o
campeao de vendas foi Cleber, que conseguiu vender o mesmo valor que Alberto e Bernardo juntos.
Sabendo que Bernardo conseguiu vender apenas R$ 30.000,00 a mais que Alberto, quanto Cleber
conseguiu vender?(a) R$ 150.000,00.(b) R$ 180.000,00.(c) R$ 240.000,00.(d) R$ 290.000,00.
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(e) R$ 330.000,00.
Questao 6
Considere as retas r : 2x+ y + 2 = 0 e s : mx+ 2y + n = 0 e avalie as seguintes afirmativas:
1. Quando m = −1, as retas r e s sao perpendiculares.
2. Quando m = 4, as retas r e s sao paralelas ou coincidentes.
3. Quando m = 0, a reta s contem o centro da circunferencia c : x2 + y2 = (m+ 1)2.
Assinale a alternativa correta.(a) Somente a afirmativa 2 e verdadeira.(b) Somente as afirmativas 1 e 2 sao verdadeiras(c) Somente as afirmativas 1 e 3 sao verdadeiras(d) Somente as afirmativas 2 e 3 sao verdadeiras.(e) As afirmativas 1, 2 e 3 sao verdadeiras.
Questao 7
Para quais valores reais b a equacao x2 + 2bx− b = 0 NAO possui raızes reais?(a) b = 0.(b) 0 < b < 1.(c) −1 < b < 0.(d) b < 0 ou b > 1.(e) b < −1 ou b > 0.
Questao 8
Marisa tem um terreno plano de esquina cujo formato e de um triangulo retangulo com catetos
medindo 60 e 30 metros, conforme indicado na figura ao lado. Segundo as leis municipais, ela deve
respeitar um recuo de 4 m em cada uma das frentes do terreno e pode construir ate a divisa com o
terreno ao lado, ou seja, ela pode construir apenas na area hachurada da figura.
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Rumo Curso Pre Vestibular Assistencial - RCPVADisciplina: MatematicaQuestoes de Vestibular
Qual e a area do terreno que ela tem disponıvel para construcao, respeitando o recuo determinado
em lei?(a) 484 m2.(b) 550 m2.(c) 572 m2.(d) 616 m2.(e) 660 m2.
Questao anulada, pois nao havia alternativa correta.
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