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Scienza delle costruzioni - Luigi Gambarotta, Luciano Nunziante, Antonio Tralli
Copyright 2011 The McGraw-Hill Companies srl
(1 _ STATICA E CINEMATICA)
1.3 _ Ricerca reazioni vincolari con il metodo di Lagrange: Struttura isostatica composta
da travi rettilinee
Esercizio n. 1.3.2
Si consideri la struttura isostatica di fig. n.1, costituita da tre tratti ABD , DE , EHI, e dal pendolo
AE . I carichi che agiscono sulla struttura sono la forza yF applicata in C , e la forza zF della
medesima intensit applicata sulla cerniera E.
Figura n. 1
Si determinano le reazioni vincolari del pendolo AE e del carrello in I, utilizzando il metodo di
Lagrange.
- Reazione a del pendolo AE
Per determinare la reazione del pendolo AE , si sostituiscono le reazioni che esso esercita sulla
struttura in A ed E; si ottiene una struttura una volta labile costituita da tre tratti . Si determinano i
centri di rotazione relativa e assoluta dei tre tratti per tracciare i diagrammi dello spostamento rigido
infinitesimo. Per il secondo teorema di Eulero , i centri relativi dei tre tratti devono essere allineati:
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231312 ,, CCC ; ed inoltre per il primo teorema di Eulero devono essere allineati i centri assoluti di due
tratti e il loro centro relativo:
3131
3232
2121
,,,,,,
CCCCCCCCC
.
Queste condizioni di allineamento determinano i centri , come in fig. 2
Si riportano di seguito i diagrammi delle componenti dello spostamento:
Figura n.2
Assunta quale coordinata langrangiana la rotazione 1 del tratto (1) , si ottiene il cinematismo
rappresentato in figura per componenti parallele a y e a z. Lequazione del principio dei lavori
virtuali , scomponendo la a nelle sue componenti di direzioni y e z diventa:
( ) ( ) 02224
222
2 1111=++ lalalFlF
da cui si ricava :
26
5 Fa = ;
- Reazione Ia del carrello in I
Per determinare la reazione del carrello in I , nella struttura originaria si elimina il carrello in I
sostituendovi la sua reazione Ia . La struttura una volta labile, costituita da due corpi rigidi che
sono: la maglia chiusa ABEA che non presenta labilit interne (corpo 1), e il tratto EHI (corpo 2) .
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Il centro assoluto del corpo (1) , la cerniera A ; il centro relativo 12C la cerniera interna E; grazie
al primo teorema di Eulero ),,( 1221 CCC , il centro assoluto 2C del corpo (2) dato
dallintersezione della retta dazione del pendolo AE e di quella del carrello in G.
Si riportano di seguito i diagrammi delle componenti dello spostamento rigido infinitesimo dei due
corpi , avendo assunto quale coordinata lagrangiana la 1
Figura n. 3
Per il principio dei lavori virtuali si ha:
02
2423
111 = lFlFlaI
da cui si ricava:
FaI 125
= .
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Diagrammi dello Sforso Assiale , del Taglio , e del Momento flettente
Si passa adesso a determinare le reazioni vincolari della struttura con il metodo grafico. Si
determinano le reazioni , considerando le due forze agenti separatamente ; e si tracciano i
diagrammi del momento flettente, del taglio e dello sforzo assiale.
Diagramma del Momento Flettente (Forza yF )
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Diagramma del Taglio (Forza yF )
Diagramma dello Sforzo Assiale (Forza yF )
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Diagramma del Momento Flettente (Forza zF )
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Diagramma del Taglio (Forza zF )
Diagramma dello Sforzo Assiale (Forza zF )