[r] - matematica iii - [talo] (1)

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MATEMATICA III▐ RESUMEN TEMA IREVISION APLICACIONES DE LA DERIVADA * NOTA: 1°) El enunciado siempre corresponderá a las hipótesis y a la tesis de los teoremas sin tener en cuenta sus demostraciones. 2°) Las hipótesis pueden corresponder a las condiciones para el uso de teoremas. Aproximaciones (3): A) Aproximación por diferenciales: Formula: ( + ∆) ≅ () + ´(). ∆ B) Aproximación por Taylor: ■ Hipótesis (3): Si f una función tal que: ) [; ] ) (+1) ∃ ∀ ∈ (; ) ■ Tesis: Entonces ∃ (; )/() = (). ( − ) 0 0! + ´(). ( − ) 1 1! + ´´(). ( − ) 2 2! + ´´´(). ( − ) 3 3! + (). ( − ) ! C) Aproximación por MC Laurin: ■ Hipótesis (3): Si f una función tal que: ) [; ] ) (+1) () ∃ ∀ ∈ (; ) ) () = ∑ =0 ■ Tesis: Entonces ∃ (; )/() = (0). ( − 0) 0 0! + ´(0). ( − 0) 1 1! + ´´(0). ( − 0) 2 2! + ´´´(0). ( − 0) 3 3! + (0). ( − 0) ! Teoremas de valor medio para derivadas (TVM P/D): A) TVM P/D Según Lagrange: ■ Hipótesis (3): Si f una función tale que: ) ^ [; ] ) ^ (; ) ) ()∃ (; ) ≠ () ■ Tesis: ∃ (; )/´() = () − () B) TVM P/D Según Cauchy: ■ Hipótesis (3): Si f y g son dos funciones tales que: ) ^ [; ] ) ^ (; ) ) ′() ≠ 0 ∈ (; ) ■ Tesis: ∃ (; )/ () − () () − () = ′() () ■ Demostración (4): 1°) Considerando: ℎ() = [() − ()] ∗ [() − ()] − [() − ()] ∗ [() − ()] la cual es: - Continuas en [a; b] y derivables en (a; b). 2°) Además valuando h(x) en (a) y (b) teneos que: ℎ() = [() − ()] ∗ [() − ()] − [() − ()] ∗ [() − ()] ⟹ ℎ() = [() − ()] ∗ [0] − [() − ()] ∗ [0] = 0 ℎ() = [() − ()] ∗ [() − ()] − [() − ()] ∗ [() − ()] ⟹ ℎ() = 0 3°) Observaciones: h verifica las hipótesis del Teorema de Rollepor lo que: ∃ (; )/ℎ′() = 0

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teoria mate 3 unsa economicas

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  • MATEMATICA III RESUMEN TEMA I REVISION APLICACIONES DE LA DERIVADA * NOTA: 1) El enunciado siempre corresponder a las hiptesis y a la tesis de los teoremas sin tener en cuenta sus demostraciones. 2) Las hiptesis pueden corresponder a las condiciones para el uso de teoremas. Aproximaciones (3): A) Aproximacin por diferenciales: Formula:

    ( + ) () + (). B) Aproximacin por Taylor: Hiptesis (3): Si f una funcin tal que: ) [; ] ) (+1) (; ) Tesis: Entonces

    (; )/() =(). ( )0

    0!+(). ( )1

    1!+(). ( )2

    2!+(). ( )3

    3!+(). ( )

    !

    C) Aproximacin por MC Laurin: Hiptesis (3): Si f una funcin tal que: ) [; ] ) (+1)() (; )

    ) () =

    =0

    Tesis: Entonces

    (; )/() =(0). ( 0)0

    0!+(0). ( 0)1

    1!+(0). ( 0)2

    2!+(0). ( 0)3

    3!+(0). ( 0)

    !

    Teoremas de valor medio para derivadas (TVM P/D): A) TVM P/D Segn Lagrange: Hiptesis (3): Si f una funcin tale que: ) ^ [; ] ) ^ (; ) ) () (; ) () Tesis:

    (; )/() =() ()

    B) TVM P/D Segn Cauchy: Hiptesis (3): Si f y g son dos funciones tales que: ) ^ [; ] ) ^ (; ) ) () 0 (; ) Tesis:

    (; )/() ()

    () ()= ()

    ()

    Demostracin (4): 1) Considerando: () = [() ()] [() ()] [() ()] [() ()] la cual es: - Continuas en [a; b] y derivables en (a; b). 2) Adems valuando h(x) en (a) y (b) teneos que: () = [() ()] [() ()] [() ()] [() ()] () = [() ()] [0] [() ()] [0] = 0 () = [() ()] [() ()] [() ()] [() ()] () = 0 3) Observaciones: h verifica las hiptesis del Teorema de Rolle por lo que: (; )/() = 0

  • 4) Derivando h(x): Tenemos: () = [() ()] [()] [() ()] [()] y como h'(c)=0, entonces: () = [() ()] [()] [() ()] [()] = 0 [() ()] [()] = [() ()] [()] () ()

    () ()= ()

    ()

    La regla de L'Hopital: Hiptesis (3): Si f y g son dos funciones tales que: ) ^ (; ) ) () = () = 0 ) () 0 (; ) Tesis:

    lim

    ()

    ()= lim

    ()

    () ,

    Demostracin (3): 1) Por TVM de Cauchy (con b=x) podemos decir que:

    (; )/() ()

    () ()=()

    (), ""

    () 0

    () 0=()

    ()

    ()

    ()=()

    ()

    2) , (; ) ( ) ( ) :

    ()

    ()=

    ()

    ()=

    ()

    ()

    3) Por transitividad:

    ()

    ()=

    ()

    ()

    TEMA II DERIVADA INVERSA, METODOS Indefinidas: Definicin:

    () = () + [() + ]

    = ()

    Aclaracin:

    = () + = () = = =

    [() + ]

    = ""

  • Mtodo de partes: Formula:

    . = . .

    Demostracin (5): 1) Sea; ) = ()) = ()

    }

    2) La derivada de su producto es: [(). ()]

    =[()]

    . () + ().

    [()]

    3) Utilizando la sustitucin i y ii y por el mnimo comn denominador queda: [. ]

    =[]. + . []

    4) Conmutando e integrando:

    [. ] = . [] + . []

    . = . + .

    5) Reubicando:

    . = . .

    Integrales trigonomtricas: CASO I: Senos y cosenos elevados a una potencia impar: Modelo: con n=Impar.

    Senn(x).dx Cosn(x).dx

    Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

    Sen2(x)=1-Cos2(x) O Cos2(x)=1-Sen2(x)

    Solucin:

    - Descomponer de tal forma que quede "Sen2(x) o Cos2(x) luego utilizar la identidad sugerida. - Resolver el binomio (Si es que lo hay) y luego hacer una distribucin del sen(x) o cos(x) respectivamente. - Resolver las integrales progresivas por tabla y mtodo de sustitucin. CASO II: Senos y cosenos elevados a una potencia par: Modelo: Con m=Par.

    Senm(x).dx Cosm(x).dx

    Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

    Sen2(x)=

    1-Cos (2x)

    2

    Cos2(x)=

    1+Cos (2x)

    2

    Solucin:

    - Descomponer de tal forma que quede "Sen2(x) o Cos2(x) luego utilizar la identidad sugerida. - Distribuir el exponente (Si es que lo hay) y luego el denominador. - Resolver las integrales progresivas por tablas y mtodo de sustitucin, esta vez compensando lo agregado debido a la situacin de ngulos dobles 2x.

  • CASO III: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares e impares. Modelo: Con n y m=Par o impar.

    Senn(x)*Cosm(x).dx

    Solucin: - Descomponer la potencia impar como en el Caso I, luego distribuir senos y cosenos respectivamente. - Si ambas son impares, descomponer la menor. - Resolver las integrales progresivas por tablas y mtodo de sustitucin. CASO IV: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares. Modelo: Con m=Par.

    Senm(x)*Cosm(x).dx

    Solucin: - Descomponer la potencia par como en el Caso II, luego distribuir senos y cosenos respectivamente. - Si ambas son pares e iguales, asociar potencias y utilizar la siguiente identidad:

    Sen(2x)=2*Sen(x)*Cos(x) Sen(x)*Cos(x)=Sen(2x)

    2

    CASO V: Producto de senos-cosenos de ngulos mayores. Modelo: Con m y n R.

    Sen (nx)*Cos (mx).dx

    Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

    Sen(nx)*Cos(mx)=1

    2*Sen[(n-m)*X]+

    1

    2*Sen[(n+m)*x]

    Sen(-A)=-Sen(A) Cos(-A)=-Cos(A) CASO VI: Tangentes y Cotangentes elevados a una potencia par o impar: Modelo: con n=Par o Impar.

    Tangn(x).dx Cotgn(x).dx

    Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

    1+Tg2(x)=Sec2(x) 1+Cotg2(x)=Cosec2(x)

    Solucin: Descomponer de la forma:

    Tgn(x)=Tgn-2(x)*Tg2(x)

    Tgn(x)=Tgn-2(x)*[Sec2(x)-1]

    * Cotgn(x)=Cotgn-2(x)*Cotg2(x)

    * Cotgn(x)=Cotgn-2(x)*[Cosec2(x)-1]

    CASO VII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia Par: Modelo: con m=Par.

    Secm(x).dx Cosecm(x).dx

    Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

    1+Tg2(x)=Sec2(x) 1+Cotg2(x)=Cosec2(x)

    Solucin: Descomponer de forma que quede (preparada du) Sec2(x).dx o Cosec2(x).dx y expresar el resto en funcin

    de Tg(x) o Cotg(x) respectivamente. CASO VIII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia impar: Modelo: con n=impar.

    Secn(x).dx Cosecn(x).dx

    Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

    1+Tg2(x)=Sec2(x) 1+Cotg2(x)=Cosec2(x)

    Solucin: Descomponer de forma que quede Sec2(x).dx o Cosec2(x).dx (Expresin que ser dv) y el resto considerar

    u, se resuelve por partes.

  • CASO IX: Producto de Tangentes- secantes y Cotangentes- cosecantes elevadas a una potencia par o impar: Modelo: con n y m=Par o impar.

    Tgn(x)*Secm

    (x).dx Cotgn(x)*Cosecm

    (x).dx

    Solucin: Aplicar tcnica Caso VII CASO X: Producto de Tangentes-secantes y Cotangentes-cosecantes elevadas a una potencia impar: Modelo: con n y m=Impar.

    Tgn(x)*Secn(x).dx Cotgn(x)*Cosec

    n(x).dx

    Solucin: Descomponer de forma que quede (preparada du) Sec(x)*Cotg(x).dx o Cosec(x)*Cotg(x).dx y el resto expresar en funcin de Sec(x) o Cotg(x) respectivamente. CASO XI: SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA: RECONOCER UTILIZAR

    2 2 = . () = . ()

    2 2 = . () = . (). ()

    2 + 2 = . () = . sec2()

    CASO XI: COCIENTES DE SENO Y/O COSENOS:

    = (

    2)

    {

    () =

    2

    1 + 2

    () =1 2

    1 + 2

    =2

    1 + 2

    Demostracin de las formulas anteriores (5): 1) Por definicin tenemos que:

    (

    2) =

    1=

    2) Por Pitgoras obtenemos que:

    2 = 2 + 2

    2 = 2 + 12 = 2 + 1 3) Por propiedades de trigonometra obtenemos:

    (

    2) =

    (

    2) =

    2 + 1

    (

    2) =

    (

    2) =

    1

    2 + 1

    4) Por identidad trigonomtrica de ngulos dobles: 4.1) Del seno: (2) = 2. (). ()

    [2. (

    2)] = 2. (

    2) . (

    2)

    () = 2.

    2 + 1.

    1

    2 + 1

    () =2

    1 + 2

  • 4.2) Del coseno: (2) = cos2() 2()

    [2. (

    2)] = 2 (

    2) 2 (

    2)

    () = (1

    2 + 1)2

    (

    2 + 1)2

    () =1

    2 + 1

    2

    2 + 1

    () =1 2

    1 + 2

    5) Derivando:

    = (

    2)

    = sec2 (

    2) .1

    2

    2

    sec2 (

    2)=

    =2

    1 + tg2 (

    2)

    =2

    1 + t2

    TEMA III INTEGRALES DEFINIDAS DE RIEMANN Integral definida: Dada una funcin f(x) y un intervalo [a, b], la integral definida es igual al rea limitada entre la grfica de f(x), y las rectas verticales x = a y x = b. Interpretacin grafica: Interpretacin simblica: La integral definida se representa por:

    ().

    Propiedades (5):

    = . ( )

    .

    (). = . ()

    .

    [() +

    ()]. = ()

    . + ()

    .

    ()

    . = ()

    .

    ()

    . = ()

    . + ()

    .

    f(x)

    a b

  • Integral definida por definicin: Formulas:

    () =

    [() ]

    =1

    =

    = + ( 1). () = + ( 1/2). () = + . () FORMULAS DE SUMATORIAS:

    1 =

    =1

    =. ( + 1)

    2

    =1

    2 =. ( + 1). (2 + 1)

    6

    =1

    3 =2. ( + 1)2

    4

    =1

    Teorema de valor medio para integrales (TVM P/I): Hiptesis (1): ) () [; ] Tesis:

    (; ) / () = ( ) ()

    Demostracin (4): 1) Si m y M son los valores mnimos y mximos de = () en el segmento [; ] entonces se podra decir:

    ( ) < () < ( )

    * Nota: Los tres trminos representan el rea (Base*Altura) de los segmentos dibujados.

    2) Dividiendo en ( ) los trminos queda:

    < ()

    ( )<

    3) Llamaremos (1) a:

    =1

    ( ) ()

    a b c

    M

    m

    f(c)

  • 4) Como f(x) es una funcin continua x [a; b], tambin lo ser para los valores entre m y M entonces < < . Por el TVM para funciones continuas en un intervalo donde [; ]/ = ();

    - Remplazando en (1) queda:

    () =

    () =1

    ( ) ()

    () ( ) = ()

    () = () ( )

    Primer teorema fundamental del clculo integral (1TFCI): Hiptesis (1): ) () .

    ) () = ()

    0

    Tesis: () = () Demostracin (2): 1) Por definicin de derivada:

    () = 0

    ( ()+

    ()

    )

    () = 0

    ( ()

    + ()

    +

    ()

    )

    2) Por TVM para integrales: c [x; x+h] tal que:

    () = 0

    {[( + ) ] ()

    }

    () = 0

    { ()

    }

    () = 0

    ()

    () = () * Nota: Como h0 entonces (x+h)0. Por otro lado, tambin cx, ya que c pertenece al intervalo [x; x+h], entonces: () = () Segundo teorema fundamental del clculo integral (o Regla de Barrow) (2TFCI): Hiptesis (2): Si: ) () [; ]. ) F'(x)=f(x) [; ] Tesis: Entonces:

    ()

    = ()| = () ()

    Demostracin (2): 1) Por el 1TFCI:

    () = ; () = ()

    () = ; () = () = 0

    2) Restando m.a.m (1) y (2) y con la sustitucin t=x queda:

    () () = ()

    0

    ()

    = () ()

  • TEMA IV SERIES Y SUCECIONES Sucesiones (2): Una sucesin es un conjunto de cosas (normalmente nmeros) una detrs de otra, en un cierto orden. - Sucesin infinita: Si tiende al infinito. - Sucesin finita: Si tiende a un nmero. Lmite de una sucesin: Si una sucesin numrica {an} tiene limite finito L, decimos que es convergente si y solo si > 0 = () / |. | < , || > lim

    =

    Clases: Sucesiones acotadas:

    - Cota superior: {} - Cota inferior: {} Nota: Si una sucesin tiene solamente cota superior o solamente cota inferior, se dice que esta acotada superior o inferiormente. Si tiene cota superior e inferior se dice que solo esta acotada. Series: Una serie es la suma de los elementos de una sucesin. Clases (3): A) Series de trminos alternados (STA): La prueba (o criterios) de Leibniz: Sea:

    (1). una serie de trminos alternados (STA) , la misma:

    > Converge, si (2): ) +1 ) lim

    = 0

    * NOTA: Si la STA converge y:

    . .

    > Diverge, si: Alguno de los puntos i) o ii), que fueron mencionados, llega a fallar. B) Series geomtricas: Definicin:

    . 1 { : || < 1 : || 1

    =1

    Demostracin:

    . 1 = . 0 + . 1 + . 2 + . 3 ++ . 1

    =1

    La suma de los n primeros trminos de la serie es: = . 0 + . 1 + . 2 + . 3 + Multiplicando por q ambos miembros: . = . + . 2 + . 3 ++ . Restando m.a.m queda: . = . . (1 ) = . (1 )

    = . (1

    1 )

  • Anlisis (2): 1) Partimos de:

    = . (1

    1 )

    = .

    1

    =

    1

    1 .

    2) Aplicamos lim cuando ( )

    lim

    () = lim

    (

    1

    1 . )

    lim

    () =

    1

    1 . lim

    Casos (2):

    ) || < 1 lim

    = 0 =

    1 ()

    ) || > 1 lim

    = = ()

    ) || = 1 Conclusiones: ) || < 1 ) || > 1 C) Series de potencias: Criterios (4): D'Alembert (o del cociente): Este criterio se utiliza para clasificar las series numricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera. Sea:

    ()

    =1

    El criterio de D'Alembert utiliza el nmero (L):

    lim

    +1

    =

    Y se clasifica de la siguiente manera: L1 La serie diverge. L=1 El criterio no sirve, o no lleva a ninguna conclusin por lo que hay que aplicar otro criterio. De la raz (o criterio de Cauchy): Sea:

    ()

    =1

    El criterio de la raz utiliza el nmero (L):

    lim

    =

    Y se clasifica de la siguiente manera: L1 La serie diverge. L=1 El criterio no sirve, o no lleva a ninguna conclusin por lo que hay que aplicar otro criterio.

  • De Raabe: Sea:

    ()

    =1

    El criterio de Raabe utiliza el nmero (L):

    lim

    [. (1 +1

    )] =

    L>1 La serie converge. L

  • Para la prctica de Extremos libres: Dada = (; ) 1) Hallar los posibles nmeros crticos (P0), para eso hacer: = 0

    = 0} ", = 0" , = , (; )

    2) Calcular: |0; |0 ; |0 3) Calcular H:

    = |

    | = . 2

    > 0 { < 0 . > 0 .

    < 0 = 0

    Extremos relativos (condicionados o ligados): Condicin de existencia (3): Dada (; ) y (; ) = 0 con = (; ; ) = (; ) + . (; ), la condicin para que existan extremos ligados es: ) (0; 0) = 0 ) (0; 0) = 0 ) (0; 0) = 0 Maximo condicionado relativo: Sea A el conjunto de puntos en el espacio surgidos entre la interseccin de (; ) con (; ) = 0. Se llama mximo condicionado al punto (0; 0; 0)/(0; 0) (; ) (, ) . Mnimo condicionado relativo: Sea B el conjunto de puntos en el espacio surgidos entre la interseccin de (; ) con (; ) = 0. Se llama mximo condicionado al punto (0; 0; 0)/(0; 0) (; ) (, ) . Para la prctica de Extremos ligados (5): Dada = (; ) y (; ) = 0 1) Multiplicadores de Lagrange:

    (; ; ) = (; ) + . (; ) 2) Hallar los posibles nmeros crticos (P0), para eso hacer: = 0 = 0

    } "" (1)

    = (; ) } "y" (2) 3) Igualar (1) y (2): Despejar x e y P0= (x0; y0) 4) Calcular: |0; |; |0; |0 ; |0 5) Calcular H:

    = |

    0

    |

    > 0 < 0 . = 0 Extremos absolutos: Maximo absoluto: La funcin f(x; y) tiene un mximo absoluto en su dominio D sobre el plano xy si existe algn P0(0; 0; 0) D / (0; 0) (; ). En este caso P0(0; 0; 0) es el mximo absoluto de (0; 0) en D. Mnimo absoluto: La funcin f(x; y) tiene un mnimo absoluto en su dominio D sobre el plano xy si existe algn P0(0; 0; 0) D / (0; 0) (; ). En este caso P0(0; 0; 0) es el mnimo absoluto de (0; 0) en D. Ecuaciones diferenciales (ED): Es aquella en la que interviene una funcin y una o varias de sus derivadas. - Si F(x) tiene una variable independiente, se trata de una ecuacin Diferencial Ordinaria (E.D.O) - Si la ecuacin intervienen varias variables independientes, se trata de una ecuacin diferencial a derivadas parciales Orden: Nmero dado por la mayor derivada presente en la ecuacin diferencial. Grado: Es la potencia de la mayor derivada presente en la ecuacin.

  • Ejemplo: FUNCION TIPO ORDEN GRADO

    3 + 4 = 0 EDO 1 1 4

    3y = 1

    EDO 1 1

    (2

    2)

    3

    + (

    )4

    + 5 = 0 EDO 2 3

    3

    2 + 1

    A derivadas Parciales - -

    + 5 1 = 0 EDO 2 1 6[()]3 4[()]2 + () = 4 EDO 2 3

    Solucin de una ED: Una funcin y=f(x) es solucin de una Ecuacin Diferencial si verifica la misma al sustituir en ella F(x) y sus derivadas. - Sol. General: C Desconocida. - Sol. Particular: C Conocida. - Sol. Explicita: y despejada. - Sol. Implcita: y sin despejar. Clases: A) Ecuacin diferencial a variables separables: Estructura:

    () + () = 0 Solucin general: 1) Separar variables - 2) Integrar.

    () = ()

    Terminologa a utilizar: (

    )

    B) Ecuacin diferencial Lineal: Estructura:

    + (). = () Solucin general:

    = () . [ () . () + ]

    - Demostracin (4):

    1) Partimos de la ecuacin de estructura: + (). = () 2) Comprobar que coeficiente que acompaa a (y') sea 1: Ejemplo:

    (). + (). = ()

    (). + ().

    ()=()

    ()

    1. + [()

    ()] . = [

    ()

    ()]

    + (). = ()

    3) Multiplicamos ambos miembros por el factor integral: ().

    [ + (). ]. (). = (). ().

    . (). + . ().. () = (). . ()

    [. ().]

    = (). . ()

    [. ().] = (). . ().

  • 4) Aplicamos integrales en ambos miembros:

    [. ().] = ().. ().

    . (). = (). . (). +

    = (). . [ (). . () + ]

    Terminologa a utilizar: () C) Ecuacin diferencial exacta: Estructura:

    (; ). + (; ). = 0 Condicin:

    =

    Solucin general:

    (; ) . + {(; ) [(; ) . ]

    } . =

    D) Ecuacin diferencial Homogneas: Estructura:

    (; ). + (; ). = 0 Condicin: M y N tienen que ser funciones homogneas de grado n: * Verificacin: (; ) = .(; )

    (; ) = . (; )}

    Solucin general y demostracin (2): 1) Partimos de la estructura:

    (; ). + (; ). (; ). = (; ).

    =

    (; )

    (; )

    2) Ahora paralelamente (3):

    2.1) Dividimos en el cociente de (/):

    =

    (; ). (1 )

    (; ). (1 )

    = (/) (1)

    2.2) Utilizamos la sustitucin:

    = . =

    = . + . Dividimos en dx ambos miembros:

    = .

    + (2)

    2.3) Igualando (1) y (2):

    (/) = .

    + () = .

    +

    () = .

    1

    () =1

    .

    1

    () . =

    1

    .

    Aplicamos integral:

    1

    () . =

    1

    . } .

  • MATEMATICA III MAPA TEMA I REVICION APLICACIONES DE LA DERIVADA Aproximaciones (3): A) Aproximacin por diferenciales: Formula: B) Aproximacin por Taylor: Hiptesis (3): Tesis C) Aproximacin por MC Laurin: Hiptesis (3): Tesis: Teoremas de valor medio para derivadas (TVM P/D): A) TVM P/D Segn Lagrange: Hiptesis (3): Tesis: B) TVM P/D Segn Cauchy: Hiptesis (3): Tesis: Demostracin (4): La regla de L'Hopital: Hiptesis (3): Tesis: Demostracin (3): TEMA II DERIVADA INVERSA, METODOS Indefinidas: Definicin: Aclaracin: Mtodo de partes: Formula: Demostracin (5): Integrales trigonomtricas (11): CASO I: Senos y cosenos elevados a una potencia impar: CASO II: Senos y cosenos elevados a una potencia par: CASO III: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares e impares. CASO IV: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares. CASO V: Producto de senos-cosenos de ngulos mayores. CASO VI: Tangentes y Cotangentes elevados a una potencia par o impar: CASO VII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia Par: CASO VIII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia impar: CASO IX: Producto de Tangentes- secantes y Cotangentes- cosecantes elevadas a una potencia par o impar: CASO X: SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA: CASO XI: COCIENTES DE SENO Y/O COSENOS: TEMA III INTEGRALES DEFINIDAS DE RIEMANN Integral definida: Interpretacin grafica: Interpretacin simblica: Propiedades (5): Integral definida por definicin: Formulas: FORMULAS DE SUMATORIAS: Teorema de valor medio para integrales (TVM P/I): Hiptesis (1): Tesis: Demostracin (4): Primer teorema fundamental del clculo integral (1TFCI): Hiptesis (2): Tesis: Demostracin (2): Segundo teorema fundamental del clculo integral (o Regla de Barrow) (2TFCI): Hiptesis (2): Tesis: Demostracin (2): TEMA IV SERIES Y SUCECIONES Sucesiones (2): - Sucesin infinita: - Sucesin finita: Lmite de una sucesin: Clases: Sucesiones acotadas: - Cota superior: - Cota inferior: Series: Clases (3): A) Series de trminos alternados (STA): B) Series geomtricas: C) Series de potencias: Criterios (4): D'Alembert (o del cociente): De la raz (o criterio de Cauchy): De Raabe: TEMA V FUNCIONES DE DOS O MS VARIABLES: Derivadas parciales: De primer orden (3): De segundo orden o de orden superior (4): Diferencial total: Hiptesis: Tesis: Punto crtico: Extremos relativos (libres): Condicin de existencia (2): Maximo relativo libre: Mnimo relativo libre: Para la prctica de Extremos libres: Extremos relativos (condicionados o ligados): Condicin de existencia (3): Maximo condicionado relativo: Mnimo condicionado relativo: Para la prctica de Extremos ligados (5): Extremos absolutos: Maximo absoluto: Mnimo absoluto: Ecuaciones diferenciales (ED): Orden: Grado: Ejemplo: Solucin de una ED: Una funcin y=f(x) es Clases: A) Ecuacin diferencial a variables separables: B) Ecuacin diferencial Lineal: C) Ecuacin diferencial exacta: D) Ecuacin diferencial Homogneas:

  • Acerca de: Tejada, Carlos A. (TaLO) http://www.talito.com.ar http://www.ceuce.com.ar/bd mailto:[email protected]