MATEMATICA III RESUMEN TEMA I REVISION APLICACIONES DE LA DERIVADA * NOTA: 1) El enunciado siempre corresponder a las hiptesis y a la tesis de los teoremas sin tener en cuenta sus demostraciones. 2) Las hiptesis pueden corresponder a las condiciones para el uso de teoremas. Aproximaciones (3): A) Aproximacin por diferenciales: Formula:

( + ) () + (). B) Aproximacin por Taylor: Hiptesis (3): Si f una funcin tal que: ) [; ] ) (+1) (; ) Tesis: Entonces

(; )/() =(). ( )0

0!+(). ( )1

1!+(). ( )2

2!+(). ( )3

3!+(). ( )

!

C) Aproximacin por MC Laurin: Hiptesis (3): Si f una funcin tal que: ) [; ] ) (+1)() (; )

) () =

=0

Tesis: Entonces

(; )/() =(0). ( 0)0

0!+(0). ( 0)1

1!+(0). ( 0)2

2!+(0). ( 0)3

3!+(0). ( 0)

!

Teoremas de valor medio para derivadas (TVM P/D): A) TVM P/D Segn Lagrange: Hiptesis (3): Si f una funcin tale que: ) ^ [; ] ) ^ (; ) ) () (; ) () Tesis:

(; )/() =() ()

B) TVM P/D Segn Cauchy: Hiptesis (3): Si f y g son dos funciones tales que: ) ^ [; ] ) ^ (; ) ) () 0 (; ) Tesis:

(; )/() ()

() ()= ()

()

Demostracin (4): 1) Considerando: () = [() ()] [() ()] [() ()] [() ()] la cual es: - Continuas en [a; b] y derivables en (a; b). 2) Adems valuando h(x) en (a) y (b) teneos que: () = [() ()] [() ()] [() ()] [() ()] () = [() ()] [0] [() ()] [0] = 0 () = [() ()] [() ()] [() ()] [() ()] () = 0 3) Observaciones: h verifica las hiptesis del Teorema de Rolle por lo que: (; )/() = 0

4) Derivando h(x): Tenemos: () = [() ()] [()] [() ()] [()] y como h'(c)=0, entonces: () = [() ()] [()] [() ()] [()] = 0 [() ()] [()] = [() ()] [()] () ()

() ()= ()

()

La regla de L'Hopital: Hiptesis (3): Si f y g son dos funciones tales que: ) ^ (; ) ) () = () = 0 ) () 0 (; ) Tesis:

lim

()

()= lim

()

() ,

Demostracin (3): 1) Por TVM de Cauchy (con b=x) podemos decir que:

(; )/() ()

() ()=()

(), ""

() 0

() 0=()

()

()

()=()

()

2) , (; ) ( ) ( ) :

()

()=

()

()=

()

()

3) Por transitividad:

()

()=

()

()

TEMA II DERIVADA INVERSA, METODOS Indefinidas: Definicin:

() = () + [() + ]

= ()

Aclaracin:

= () + = () = = =

[() + ]

= ""

Mtodo de partes: Formula:

. = . .

Demostracin (5): 1) Sea; ) = ()) = ()

}

2) La derivada de su producto es: [(). ()]

=[()]

. () + ().

[()]

3) Utilizando la sustitucin i y ii y por el mnimo comn denominador queda: [. ]

=[]. + . []

4) Conmutando e integrando:

[. ] = . [] + . []

. = . + .

5) Reubicando:

. = . .

Integrales trigonomtricas: CASO I: Senos y cosenos elevados a una potencia impar: Modelo: con n=Impar.

Senn(x).dx Cosn(x).dx

Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

Sen2(x)=1-Cos2(x) O Cos2(x)=1-Sen2(x)

Solucin:

- Descomponer de tal forma que quede "Sen2(x) o Cos2(x) luego utilizar la identidad sugerida. - Resolver el binomio (Si es que lo hay) y luego hacer una distribucin del sen(x) o cos(x) respectivamente. - Resolver las integrales progresivas por tabla y mtodo de sustitucin. CASO II: Senos y cosenos elevados a una potencia par: Modelo: Con m=Par.

Senm(x).dx Cosm(x).dx

Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

Sen2(x)=

1-Cos (2x)

2

Cos2(x)=

1+Cos (2x)

2

Solucin:

- Descomponer de tal forma que quede "Sen2(x) o Cos2(x) luego utilizar la identidad sugerida. - Distribuir el exponente (Si es que lo hay) y luego el denominador. - Resolver las integrales progresivas por tablas y mtodo de sustitucin, esta vez compensando lo agregado debido a la situacin de ngulos dobles 2x.

CASO III: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares e impares. Modelo: Con n y m=Par o impar.

Senn(x)*Cosm(x).dx

Solucin: - Descomponer la potencia impar como en el Caso I, luego distribuir senos y cosenos respectivamente. - Si ambas son impares, descomponer la menor. - Resolver las integrales progresivas por tablas y mtodo de sustitucin. CASO IV: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares. Modelo: Con m=Par.

Senm(x)*Cosm(x).dx

Solucin: - Descomponer la potencia par como en el Caso II, luego distribuir senos y cosenos respectivamente. - Si ambas son pares e iguales, asociar potencias y utilizar la siguiente identidad:

Sen(2x)=2*Sen(x)*Cos(x) Sen(x)*Cos(x)=Sen(2x)

2

CASO V: Producto de senos-cosenos de ngulos mayores. Modelo: Con m y n R.

Sen (nx)*Cos (mx).dx

Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

Sen(nx)*Cos(mx)=1

2*Sen[(n-m)*X]+

1

2*Sen[(n+m)*x]

Sen(-A)=-Sen(A) Cos(-A)=-Cos(A) CASO VI: Tangentes y Cotangentes elevados a una potencia par o impar: Modelo: con n=Par o Impar.

Tangn(x).dx Cotgn(x).dx

Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

1+Tg2(x)=Sec2(x) 1+Cotg2(x)=Cosec2(x)

Solucin: Descomponer de la forma:

Tgn(x)=Tgn-2(x)*Tg2(x)

Tgn(x)=Tgn-2(x)*[Sec2(x)-1]

* Cotgn(x)=Cotgn-2(x)*Cotg2(x)

* Cotgn(x)=Cotgn-2(x)*[Cosec2(x)-1]

CASO VII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia Par: Modelo: con m=Par.

Secm(x).dx Cosecm(x).dx

Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

1+Tg2(x)=Sec2(x) 1+Cotg2(x)=Cosec2(x)

Solucin: Descomponer de forma que quede (preparada du) Sec2(x).dx o Cosec2(x).dx y expresar el resto en funcin

de Tg(x) o Cotg(x) respectivamente. CASO VIII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia impar: Modelo: con n=impar.

Secn(x).dx Cosecn(x).dx

Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonomtricas:

1+Tg2(x)=Sec2(x) 1+Cotg2(x)=Cosec2(x)

Solucin: Descomponer de forma que quede Sec2(x).dx o Cosec2(x).dx (Expresin que ser dv) y el resto considerar

u, se resuelve por partes.

CASO IX: Producto de Tangentes- secantes y Cotangentes- cosecantes elevadas a una potencia par o impar: Modelo: con n y m=Par o impar.

Tgn(x)*Secm

(x).dx Cotgn(x)*Cosecm

(x).dx

Solucin: Aplicar tcnica Caso VII CASO X: Producto de Tangentes-secantes y Cotangentes-cosecantes elevadas a una potencia impar: Modelo: con n y m=Impar.

Tgn(x)*Secn(x).dx Cotgn(x)*Cosec

n(x).dx

Solucin: Descomponer de forma que quede (preparada du) Sec(x)*Cotg(x).dx o Cosec(x)*Cotg(x).dx y el resto expresar en funcin de Sec(x) o Cotg(x) respectivamente. CASO XI: SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA: RECONOCER UTILIZAR

2 2 = . () = . ()

2 2 = . () = . (). ()

2 + 2 = . () = . sec2()

CASO XI: COCIENTES DE SENO Y/O COSENOS:

= (

2)

{

() =

2

1 + 2

() =1 2

1 + 2

=2

1 + 2

Demostracin de las formulas anteriores (5): 1) Por definicin tenemos que:

(

2) =

1=

2) Por Pitgoras obtenemos que:

2 = 2 + 2

2 = 2 + 12 = 2 + 1 3) Por propiedades de trigonometra obtenemos:

(

2) =

(

2) =

2 + 1

(

2) =

(

2) =

1

2 + 1

4) Por identidad trigonomtrica de ngulos dobles: 4.1) Del seno: (2) = 2. (). ()

[2. (

2)] = 2. (

2) . (

2)

() = 2.

2 + 1.

1

2 + 1

() =2

1 + 2

4.2) Del coseno: (2) = cos2() 2()

[2. (

2)] = 2 (

2) 2 (

2)

() = (1

2 + 1)2

(

2 + 1)2

() =1

2 + 1

2

2 + 1

() =1 2

1 + 2

5) Derivando:

= (

2)

= sec2 (

2) .1

2

2

sec2 (

2)=

=2

1 + tg2 (

2)

=2

1 + t2

TEMA III INTEGRALES DEFINIDAS DE RIEMANN Integral definida: Dada una funcin f(x) y un intervalo [a, b], la integral definida es igual al rea limitada entre la grfica de f(x), y las rectas verticales x = a y x = b. Interpretacin grafica: Interpretacin simblica: La integral definida se representa por:

().

Propiedades (5):

= . ( )

.

(). = . ()

.

[() +

()]. = ()

. + ()

.

()

. = ()

.

()

. = ()

. + ()

.

f(x)

a b

Integral definida por definicin: Formulas:

() =

[() ]

=1

=

= + ( 1). () = + ( 1/2). () = + . () FORMULAS DE SUMATORIAS:

1 =

=1

=. ( + 1)

2

=1

2 =. ( + 1). (2 + 1)

6

=1

3 =2. ( + 1)2

4

=1

Teorema de valor medio para integrales (TVM P/I): Hiptesis (1): ) () [; ] Tesis:

(; ) / () = ( ) ()

Demostracin (4): 1) Si m y M son los valores mnimos y mximos de = () en el segmento [; ] entonces se podra decir:

( ) < () < ( )

* Nota: Los tres trminos representan el rea (Base*Altura) de los segmentos dibujados.

2) Dividiendo en ( ) los trminos queda:

< ()

( )<

3) Llamaremos (1) a:

=1

( ) ()

a b c

M

m

f(c)

4) Como f(x) es una funcin continua x [a; b], tambin lo ser para los valores entre m y M entonces < < . Por el TVM para funciones continuas en un intervalo donde [; ]/ = ();

- Remplazando en (1) queda:

() =

() =1

( ) ()

() ( ) = ()

() = () ( )

Primer teorema fundamental del clculo integral (1TFCI): Hiptesis (1): ) () .

) () = ()

0

Tesis: () = () Demostracin (2): 1) Por definicin de derivada:

() = 0

( ()+

()

)

() = 0

( ()

+ ()

+

()

)

2) Por TVM para integrales: c [x; x+h] tal que:

() = 0

{[( + ) ] ()

}

() = 0

{ ()

}

() = 0

()

() = () * Nota: Como h0 entonces (x+h)0. Por otro lado, tambin cx, ya que c pertenece al intervalo [x; x+h], entonces: () = () Segundo teorema fundamental del clculo integral (o Regla de Barrow) (2TFCI): Hiptesis (2): Si: ) () [; ]. ) F'(x)=f(x) [; ] Tesis: Entonces:

()

= ()| = () ()

Demostracin (2): 1) Por el 1TFCI:

() = ; () = ()

() = ; () = () = 0

2) Restando m.a.m (1) y (2) y con la sustitucin t=x queda:

() () = ()

0

()

= () ()

TEMA IV SERIES Y SUCECIONES Sucesiones (2): Una sucesin es un conjunto de cosas (normalmente nmeros) una detrs de otra, en un cierto orden. - Sucesin infinita: Si tiende al infinito. - Sucesin finita: Si tiende a un nmero. Lmite de una sucesin: Si una sucesin numrica {an} tiene limite finito L, decimos que es convergente si y solo si > 0 = () / |. | < , || > lim

=

Clases: Sucesiones acotadas:

- Cota superior: {} - Cota inferior: {} Nota: Si una sucesin tiene solamente cota superior o solamente cota inferior, se dice que esta acotada superior o inferiormente. Si tiene cota superior e inferior se dice que solo esta acotada. Series: Una serie es la suma de los elementos de una sucesin. Clases (3): A) Series de trminos alternados (STA): La prueba (o criterios) de Leibniz: Sea:

(1). una serie de trminos alternados (STA) , la misma:

> Converge, si (2): ) +1 ) lim

= 0

* NOTA: Si la STA converge y:

. .

> Diverge, si: Alguno de los puntos i) o ii), que fueron mencionados, llega a fallar. B) Series geomtricas: Definicin:

. 1 { : || < 1 : || 1

=1

Demostracin:

. 1 = . 0 + . 1 + . 2 + . 3 ++ . 1

=1

La suma de los n primeros trminos de la serie es: = . 0 + . 1 + . 2 + . 3 + Multiplicando por q ambos miembros: . = . + . 2 + . 3 ++ . Restando m.a.m queda: . = . . (1 ) = . (1 )

= . (1

1 )

Anlisis (2): 1) Partimos de:

= . (1

1 )

= .

1

=

1

1 .

2) Aplicamos lim cuando ( )

lim

() = lim

(

1

1 . )

lim

() =

1

1 . lim

Casos (2):

) || < 1 lim

= 0 =

1 ()

) || > 1 lim

= = ()

) || = 1 Conclusiones: ) || < 1 ) || > 1 C) Series de potencias: Criterios (4): D'Alembert (o del cociente): Este criterio se utiliza para clasificar las series numricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera. Sea:

()

=1

El criterio de D'Alembert utiliza el nmero (L):

lim

+1

=

Y se clasifica de la siguiente manera: L1 La serie diverge. L=1 El criterio no sirve, o no lleva a ninguna conclusin por lo que hay que aplicar otro criterio. De la raz (o criterio de Cauchy): Sea:

()

=1

El criterio de la raz utiliza el nmero (L):

lim

=

Y se clasifica de la siguiente manera: L1 La serie diverge. L=1 El criterio no sirve, o no lleva a ninguna conclusin por lo que hay que aplicar otro criterio.

De Raabe: Sea:

()

=1

El criterio de Raabe utiliza el nmero (L):

lim

[. (1 +1

)] =

L>1 La serie converge. L

Para la prctica de Extremos libres: Dada = (; ) 1) Hallar los posibles nmeros crticos (P0), para eso hacer: = 0

= 0} ", = 0" , = , (; )

2) Calcular: |0; |0 ; |0 3) Calcular H:

= |

| = . 2

> 0 { < 0 . > 0 .

< 0 = 0

Extremos relativos (condicionados o ligados): Condicin de existencia (3): Dada (; ) y (; ) = 0 con = (; ; ) = (; ) + . (; ), la condicin para que existan extremos ligados es: ) (0; 0) = 0 ) (0; 0) = 0 ) (0; 0) = 0 Maximo condicionado relativo: Sea A el conjunto de puntos en el espacio surgidos entre la interseccin de (; ) con (; ) = 0. Se llama mximo condicionado al punto (0; 0; 0)/(0; 0) (; ) (, ) . Mnimo condicionado relativo: Sea B el conjunto de puntos en el espacio surgidos entre la interseccin de (; ) con (; ) = 0. Se llama mximo condicionado al punto (0; 0; 0)/(0; 0) (; ) (, ) . Para la prctica de Extremos ligados (5): Dada = (; ) y (; ) = 0 1) Multiplicadores de Lagrange:

(; ; ) = (; ) + . (; ) 2) Hallar los posibles nmeros crticos (P0), para eso hacer: = 0 = 0

} "" (1)

= (; ) } "y" (2) 3) Igualar (1) y (2): Despejar x e y P0= (x0; y0) 4) Calcular: |0; |; |0; |0 ; |0 5) Calcular H:

= |

0

|

> 0 < 0 . = 0 Extremos absolutos: Maximo absoluto: La funcin f(x; y) tiene un mximo absoluto en su dominio D sobre el plano xy si existe algn P0(0; 0; 0) D / (0; 0) (; ). En este caso P0(0; 0; 0) es el mximo absoluto de (0; 0) en D. Mnimo absoluto: La funcin f(x; y) tiene un mnimo absoluto en su dominio D sobre el plano xy si existe algn P0(0; 0; 0) D / (0; 0) (; ). En este caso P0(0; 0; 0) es el mnimo absoluto de (0; 0) en D. Ecuaciones diferenciales (ED): Es aquella en la que interviene una funcin y una o varias de sus derivadas. - Si F(x) tiene una variable independiente, se trata de una ecuacin Diferencial Ordinaria (E.D.O) - Si la ecuacin intervienen varias variables independientes, se trata de una ecuacin diferencial a derivadas parciales Orden: Nmero dado por la mayor derivada presente en la ecuacin diferencial. Grado: Es la potencia de la mayor derivada presente en la ecuacin.

Ejemplo: FUNCION TIPO ORDEN GRADO

3 + 4 = 0 EDO 1 1 4

3y = 1

EDO 1 1

(2

2)

3

+ (

)4

+ 5 = 0 EDO 2 3

3

2 + 1

A derivadas Parciales - -

+ 5 1 = 0 EDO 2 1 6[()]3 4[()]2 + () = 4 EDO 2 3

Solucin de una ED: Una funcin y=f(x) es solucin de una Ecuacin Diferencial si verifica la misma al sustituir en ella F(x) y sus derivadas. - Sol. General: C Desconocida. - Sol. Particular: C Conocida. - Sol. Explicita: y despejada. - Sol. Implcita: y sin despejar. Clases: A) Ecuacin diferencial a variables separables: Estructura:

() + () = 0 Solucin general: 1) Separar variables - 2) Integrar.

() = ()

Terminologa a utilizar: (

)

B) Ecuacin diferencial Lineal: Estructura:

+ (). = () Solucin general:

= () . [ () . () + ]

- Demostracin (4):

1) Partimos de la ecuacin de estructura: + (). = () 2) Comprobar que coeficiente que acompaa a (y') sea 1: Ejemplo:

(). + (). = ()

(). + ().

()=()

()

1. + [()

()] . = [

()

()]

+ (). = ()

3) Multiplicamos ambos miembros por el factor integral: ().

[ + (). ]. (). = (). ().

. (). + . ().. () = (). . ()

[. ().]

= (). . ()

[. ().] = (). . ().

4) Aplicamos integrales en ambos miembros:

[. ().] = ().. ().

. (). = (). . (). +

= (). . [ (). . () + ]

Terminologa a utilizar: () C) Ecuacin diferencial exacta: Estructura:

(; ). + (; ). = 0 Condicin:

=

Solucin general:

(; ) . + {(; ) [(; ) . ]

} . =

D) Ecuacin diferencial Homogneas: Estructura:

(; ). + (; ). = 0 Condicin: M y N tienen que ser funciones homogneas de grado n: * Verificacin: (; ) = .(; )

(; ) = . (; )}

Solucin general y demostracin (2): 1) Partimos de la estructura:

(; ). + (; ). (; ). = (; ).

=

(; )

(; )

2) Ahora paralelamente (3):

2.1) Dividimos en el cociente de (/):

=

(; ). (1 )

(; ). (1 )

= (/) (1)

2.2) Utilizamos la sustitucin:

= . =

= . + . Dividimos en dx ambos miembros:

= .

+ (2)

2.3) Igualando (1) y (2):

(/) = .

+ () = .

+

() = .

1

() =1

.

1

() . =

1

.

Aplicamos integral:

1

() . =

1

. } .

MATEMATICA III MAPA TEMA I REVICION APLICACIONES DE LA DERIVADA Aproximaciones (3): A) Aproximacin por diferenciales: Formula: B) Aproximacin por Taylor: Hiptesis (3): Tesis C) Aproximacin por MC Laurin: Hiptesis (3): Tesis: Teoremas de valor medio para derivadas (TVM P/D): A) TVM P/D Segn Lagrange: Hiptesis (3): Tesis: B) TVM P/D Segn Cauchy: Hiptesis (3): Tesis: Demostracin (4): La regla de L'Hopital: Hiptesis (3): Tesis: Demostracin (3): TEMA II DERIVADA INVERSA, METODOS Indefinidas: Definicin: Aclaracin: Mtodo de partes: Formula: Demostracin (5): Integrales trigonomtricas (11): CASO I: Senos y cosenos elevados a una potencia impar: CASO II: Senos y cosenos elevados a una potencia par: CASO III: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares e impares. CASO IV: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares. CASO V: Producto de senos-cosenos de ngulos mayores. CASO VI: Tangentes y Cotangentes elevados a una potencia par o impar: CASO VII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia Par: CASO VIII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia impar: CASO IX: Producto de Tangentes- secantes y Cotangentes- cosecantes elevadas a una potencia par o impar: CASO X: SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA: CASO XI: COCIENTES DE SENO Y/O COSENOS: TEMA III INTEGRALES DEFINIDAS DE RIEMANN Integral definida: Interpretacin grafica: Interpretacin simblica: Propiedades (5): Integral definida por definicin: Formulas: FORMULAS DE SUMATORIAS: Teorema de valor medio para integrales (TVM P/I): Hiptesis (1): Tesis: Demostracin (4): Primer teorema fundamental del clculo integral (1TFCI): Hiptesis (2): Tesis: Demostracin (2): Segundo teorema fundamental del clculo integral (o Regla de Barrow) (2TFCI): Hiptesis (2): Tesis: Demostracin (2): TEMA IV SERIES Y SUCECIONES Sucesiones (2): - Sucesin infinita: - Sucesin finita: Lmite de una sucesin: Clases: Sucesiones acotadas: - Cota superior: - Cota inferior: Series: Clases (3): A) Series de trminos alternados (STA): B) Series geomtricas: C) Series de potencias: Criterios (4): D'Alembert (o del cociente): De la raz (o criterio de Cauchy): De Raabe: TEMA V FUNCIONES DE DOS O MS VARIABLES: Derivadas parciales: De primer orden (3): De segundo orden o de orden superior (4): Diferencial total: Hiptesis: Tesis: Punto crtico: Extremos relativos (libres): Condicin de existencia (2): Maximo relativo libre: Mnimo relativo libre: Para la prctica de Extremos libres: Extremos relativos (condicionados o ligados): Condicin de existencia (3): Maximo condicionado relativo: Mnimo condicionado relativo: Para la prctica de Extremos ligados (5): Extremos absolutos: Maximo absoluto: Mnimo absoluto: Ecuaciones diferenciales (ED): Orden: Grado: Ejemplo: Solucin de una ED: Una funcin y=f(x) es Clases: A) Ecuacin diferencial a variables separables: B) Ecuacin diferencial Lineal: C) Ecuacin diferencial exacta: D) Ecuacin diferencial Homogneas:

Acerca de: Tejada, Carlos A. (TaLO) http://www.talito.com.ar http://www.ceuce.com.ar/bd mailto:talo.stl@gmail.com