r5 g kel 5 allin2 1
TRANSCRIPT
Hal.: 1 Vektor
Adaptif
KELOMPOK 5
MAMAN 201013500655MEGA PRANITA 201013500663FIKA SELLA 201013500670ANISTIN KAROMAH 201013500646
Hal.: 2 Integral
Adaptif
Ringkasan SAP
1. Vektor2. Matriks 3. Determinan4. Matriks dan sistem Persamaan Linear5. Invers6. Ruang Euclid
Hal.: 3
Adaptif
Pengertian vektor
Adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah.
Ā
Vektor v
Hal.: 4
Adaptif
JENIS – JENIS VEKTOR5
vektor posisiSuatu vektor a yang bertitik awal di O (0,0) dan titik ujung di A (a,b) disebut vektor posisi dari vektor a.Contoh:
Ā = a1 atau a1, a2
a2
Vektor nolAdalah vektor yang tidak mempunyai panjang dan di notasikan dengan o
Hal.: 5
Adaptif
Vektor satuan Adalah suatu vektor yang panjangnya satu
satuan
vektor satuan dari Ā = a1
a2
Ū= ā = 1 a1
ā ā a2
☺ Vektor basis
Vektor satuan yang saling tegak lurus di sebut vektor basis.di dalam R 2
Terdapat dua vektor basis yaitu: i = 1,0 dan j = 0,1
Hal.: 6
Adaptif
RUANG PADA VEKTORDefinisi kan misal V sembarang himpunan benda yang dua operasinya di artikan dengan penambahan dan perkalian skalar (bilangan rill) jika aksioma –aksioma di penuhi oleh semua benda U,V,W pada vektor V dan vektor V tsb kita namakan ruang vektor dan benda –benda yang ada di vektor V di sebuat vektor.
sub ruang vektor
Yaitu sub himpunan W dari skala ruang vektor V dinamakan sub ruang atau subspace V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah permukaan dan perkalian skalar yang di definisikan pada V.
Hal.: 7
Adaptif
OPERASI –OPERASI PADA VEKTOR
A. Operasi penjumlahanDua vektor atau lebih dapat di jumlahkan Contoh:Vektor a di jumlahkan dengan vektor b penjumlahannya dapat di
tulis dengan Dua vektor atau lebih dapat di jumlahkan dengan menggunakan
metode – metode berikut ; Metode segitiga dengan metode segitiga vektor hasil atau resultan dari
penjumlahan dua vektor misalnya a + b di peroleh dengan menempatkan titik awal vektor b pada titik ujung vektor a.setelah itu titik awal vektor a di tempatkan ke titik ujung vektor b.dengan demikian hasil penjumlahan mempunyai titik awal vektor a dan titik ujung vektor b.
Hal.: 8
Adaptif
Metode jajargenjang dengan metode ini titik awal vektor b di tempatkan pada titik awal vektor a .selain itu titik ujung vektor a di lukis garis yang sama dn sejajar dengan vektor b.sama halnya dengan titik ujung vektor b juga di lukiskan garis yang sama dan sejajar dengan vektor a sehingga berbentuk jajargenjang.resultan atau hasil dari penjumlahan kedua vektor berupa diagonal jajargenjang.
Hal.: 9
Adaptif
metode poligon metode ini merupakan metode pengembangan dari metode segitiga.
Hal.: 10
Adaptif
Sifat – sifat penjumlahan vektor1.Komutatif a+b=b+a2.Asosiatif (a+b)+c=a+(b+c)3.Elemen identitas a+0=0+a4.Invers penjumlahan a+(-a)=(-a)+a=0
Hal.: 11
Adaptif
B.Pengurangan vektorPada hakekatnya pengurangan vektor merupakan proses penjumlahan vektor dengan vektor negatif (invers penjumlahan).vektor negatif b yaitu (-b) adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor b tetapi arahnya berlawanan
Jika ā = a1 dan ē = e1 ,e2
a2
Maka ā – ē = a1 - e1
a2 - e2
Hal.: 12
Adaptif
soal – soal vektor
1. Pada jajargenjang ABCD diketahui vektor posisi a=(2,-2),c=(-4,3),dan d (1,2) dengan demikian koordinat titik b adalah . . .a.(3,1) b.(-3,-1) c.(1,3) d.(-1,3) e.(2,3)
2. Jika v =(2,-1) + ( 5 , -3) – ( 1 , 4) maka panjang vektor v adalah . . . a.2 b.4 c.6 d.8 e.10
3. Jika a = (4,3),b =(3,1) dan c = a – bMaka panjang vektor c =a.Akar 2 b.akar 3 c.2 d.akar 5 e.akar 6
4. Jika a = (2,3) b=(0,5) maka b- a adalah . . .a.(2,2) b.(-2,2) c.(2,-2) d.(2,8) e.(-3,3)
5. Misal a = (3,-2) b= (1,0) c=(-5,4).jika d = a+b-c maka d= . . .a.(9,6) b.(-9,6) c.(9,-6) d. (-1,2) e.(1,-2)
Hal.: 13
Hal.: 14 MATRIKS
Adaptif
MATRIKS
adalah sekumpulan bilangan yang di susun secara baris dan kolom atau membentuk pola persegi panjang dan di tempatkan kedalam kurung biasa atau kurung siku.bilangan – bilangan pembentuk matriks di sebut elemen – elemen matriks.
Hal.: 15
Adaptif
JENIS-JENIS MATRIKS
Matriks baris dan kolom
Suatu matriks disebut matriks baris jika hanya mempunyai satu baris saja, sedangkan suatu matriks disebut matriks kolom jika hanya mempunyai satu kolom saja.
Contoh : a. A = ( 2 3 4 ) dan B = ( p q ) adalah matriks baris
b. C = 7 dan D = x adalah matriks kolom
3 y
1
Matriks persegi
Matriks yang banyak baris dan banyak kolom sama disebut matriks persegi atau bujur sangkar. Matriks An x n disebut matriks persegi atau matriks bujur sangkar berordo n.
Contoh : a. A = ( 2 ) adalah matriks persegi berordo 1
b. B = 4 1 adalah matriks persegi berordo 2 2 3
Hal.: 16
Adaptif
Matriks segitiga atas dan segitiga bawah
Matriks persegi A yang elemen-elemen aij = 0 untuk I > j atau elemen-elemen di bawah diagonal
utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang elemen-elemen aij = 0 untuk I < j atau
elemen-elemen di atas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah. Contoh :a. A = 1 4 3 adalah matriks segitiga atas 0 5 2 0 0 6 b. B = 2 0 0 6 3 0 4 1 5 adalah matriks segitiga bawah
Matriks diagonal
Matriks bujur sangkar D yang elemen-elemen dij = 0 untuk I tidak sama dengan j (elemen-elemen
di luar diagonal utama bernilai nol) disebut matriks diagonal.
Contoh : adalah matriks
D= 2 0 0 dan E = 3 0 diagonal 0 3 0 0 1 0 0 1
Hal.: 17
Adaptif
Matriks skalar adalah Matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.Contoh : S = 3 0 dan G = 2 0 0
0 3 0 2 0 0 0 2
Maka S dan G adalah matriks skalar.
Matriks IdentitasMatriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamayan
bernilai satu disebut matriks satuan atau matriks identitas, umumnya dinotasikan dengan I.Contoh : I= 1 0 dan I= 1 0 0
0 1 0 1 0 0 0 1adalah matriks satuan atau matriks identitas.
Hal.: 18
Adaptif
Matriks segitiga atas dan segitiga bawah
Matriks persegi A yang elemen-elemen aij = 0 untuk I > j
atau elemen-elemen di bawah diagonal utama bernilai 0 disebut
matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang elemen-elemen aij
= 0 untuk I < j atau elemen-elemen di atas diagonal utama
bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.
Contoh :a. A = 1 4 3 adalah matriks segitiga atas
0 5 2 0 0 6
Hal.: 19
Hal.: 20 DETERMINAN
Adaptif
DETERMINANDeterminan adalah suatu matriks persegi atau matriks bujur sangkar yang dapat dikaitkan dengan suatu bilangan. Determinan dari matriks persegi A dinotasikan dengan A .
Jika A= a b maka determinan matriks A adalah : A = a b c d c d
Det = ad -bc
Contoh : a. jika A = 3 2 maka Det. A = 3.6 – 2.7 = 4
7 6
Determinan Matriks Berordo 2 x 2
Hal.: 21
Adaptif
CARA SEARUS MATRIKS 3 X 3Jika A = a b c maka determinan matriks A adalah :
d e f g h i
A = a b c = a b c a b d e f d e f d e
g h I g h i g h = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Menentukan nilai determinan matriks 3x3 seperti ini, disebut aturan searus.
Contoh : jika A = 3 1 2 maka determinan adalah :5 1 45 2 6
A= 3 1 2 = 3 1 2 3 1 5 1 4 5 1 4 5 1 5 2 6 5 2 6 5 2
= 3.1.6 + 1.4.5 + 2.5.2 – 2.1.5 – 3.4.2 – 1.5.6 =18 + 20 + 20 -10 - 24 -30 = -6
Hal.: 22
Adaptif
SIFAT-SIFAT PADA OPERASI MATRIKS
Pada matriks A dan B berlaku:
1. AB = BA (tidak komutatif)
2. A. A-1 = A-1. A = I
3. (AB)-1 = B-1.A-1
4. A(B + C) = AB + AC (Distributif)
5. A(BC) = (AB)C (Assosiatif)
6. (B + C)A = BA + BC
7. (A-1)-1 = A
Hal.: 23
Adaptif
Determinan matriks 4x4
Dengan menggunakan transformasi elementer Hitunglah det. A=
Jawab;
−
−
0321
1314
2022
3211
128)]8.(4.1.1[4
8000
0400
1110
3211
4
0400
8000
1110
3211
4
3130
13550
1110
3211
4
3130
13550
4440
3211
0321
1314
2022
3211
34)3(
42)5(
32
)1(41
)4(31
)2(21
=−−=−
−−−
−=−−−
−
=
−−−−−
−
=
−−−−−
−
=−
−
−−
−−−
HHH
HHH
Hal.: 24
Hal.: 25Matriks dan sistem persamaan Linear
Adaptif
Matriks dan sistem persamaan linier
Jika sistem linier mempunyai penyelesaian disebut dengan konsisten sedangkan jika tidak memiliki penyelesaian disebut inkonsisten.
Hal.: 26
Adaptif
Diketahui SPL dengan m buah persamaan linear dan n peubah:
a x + a x + … + a₁₁ ₁ ₁₂ ₂ 1nxn = b1
a x + a x + … + a₁₂ ₁ ₂₂ ₂ 2nxn = b2
am1x + a₁ m2x2 + … + amn xn = bm
Sistem persamaan linear diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks AX = B dengan
A=
Pada SPL yang berbentuk seperti ini , matriks A juga biasa disebut sebagai matriks konstanta.
Hal.: 27
Adaptif
Jika b=b=....=b= 0 maka sistem tersebut dinamakan sistem persamaan linier homogen yaitu,
a x + a x + … + a₁₁ ₁ ₁₂ ₂ 1nxn = 0
a x + a x + … + a₁₂ ₁ ₂₂ ₂ 2nxn = 0
am1x + a₁ m2x2 + … + amn xn = 0
Jika sistem persamaan mempunyai penyelesaian
x₁= x₂ = ....= xn = 0 , disebut penyelesaian trivial.
Hal.: 28
Adaptif
Reduksi baris menggunakan operasi baris elementer
Metode ini tidak lepas dari metode ekspansi kofaktor yaitu pada kasus suatu kolom banyak mengandung elemen yang bernilai 0. Berdasarkan sifat ini maka matriks yang berbentuk eselon baris atau matriks segitiga akan lebih mudah untuk dihitung nilai determinannya karena hanya merupakan perkalian dari elemen diagonalnya.
Hal.: 29
Adaptif
Dalam melakukan reduksi baris operasi yangdigunakan adalah operasi baris elementer.Pada operasi baris elementer ada beberapa operasi yang berpengaruh terhadap nilaideterminan awal , yaitu :- Jika matriks B diperoleh dengan mempertukarkan dua baris pada matriks A makadet (B) = − det (A)- Jika matriks B diperoleh dengan mengalikan konstanta k ke salah satu barismatriks A maka det (B) = k det (A)- Jika matriks B didapatkan dengan menambahkan kelipatan suatu baris ke barislainnya , maka det (B) = det (A)
Hal.: 30
Adaptif
Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks.
Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A.
Rank Baris = Rank kolomMaka rank suatu matriks adalah harga
rank baris = rank kolom dari matriks tersebut.
Dapat ditulis dengan r(A)
Rank
Hal.: 31
Adaptif
Contoh:Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks dari sistem persamaan linier dalam contoh, adalah
−−
−
16000
61100
0230
0011
−−
−
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan banyaknya unsur yang tak
diketahui yaitu 4
Hal.: 32
Adaptif
Penyelesaian umum persamaan linier
Contoh;3x1+x2+x3=3, x1+x2+2x3=-1, X1-2x2+x3=-5
Penyelesaian;
Bentuk eselon Baris2100
32/510
1211
3/136/1300
32/510
1211
3/43/110
32/510
1211
4130
6520
1211
5121
3113
1211
5121
1211
3113
)13/6(3
)1(32
)3/1(3
)2/1(2
)1(31
)3(2112
−−−
−−−
−−
−−−−−
−
−−
−=
−−−
−
−−−
−−
H
HHH
HHH
Hal.: 33
Adaptif
Penyelesaian dalam langkah mundur
X3=-2
X2+5/2x3=-3
X2+5/2(-2)=-3
X2-5=-3
X2=2
X1+x2+2x3=-1
X1+2+2(-2)=-1
X1+2-4=-1
X1-2=-1
X1=1
Maka nilai dariX1=1
X2=2 dan
X3=-2Hal.: 34
Hal.: 35 INVERS
Adaptif
MATRIKS INVERSSebuah matriks persegi A ordo n disebut
mempunyai invers bila ada suatu matriks B, sehingga A.B = In (In = matriks ordo n).
B disebut invers dari A dan ditulis dengan A-1 Sehingga A.A-1 = In.
Untuk matriks berordo 2X2
A = maka A-1 =
syarat det A ≠0det A = ad-bc
dc
ba
−
−ac
bd
Adet
1
Hal.: 36
Adaptif
Contoh ; Tentukan invers matriks A= jawab; A-1
56
43
−
−
=
−
−
=
−
−−
=
−
−−
=
−
−=
3
1
3
29
4
9
5
9
3
9
69
4
9
5
36
45
9
1
36
45
6.45.3
1
36
45
det
1
A
Hal.: 37
Adaptif
Matriks Adjoin Dari bentuk matriks A = (aij )
Kofaktor dari elemen aij adalah Aij,maka
Matriks Kofaktor A Maka,
Adjoin A
Matriks adjoin A adalahAdjoin A = Transpose dari matriks kofaktor A
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
......
::::
......
......
21
22221
11211
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
......
::::
......
......
21
22221
11211
Hal.: 38
Adaptif
Invers matriks dengan bantuan matriks adjoin
rumus :Contoh;Diket A Tentukan invers A???
A-1 =???? jawab; Langkah 1
det [A]
AAdjA
A .det
11 =−
−−
−=
511
241
432
57)3(4)3(3)18(2
11
414
51
213
51
242
−=−−−=−−
−−−−
=
Hal.: 39
Adaptif
Langkah2; Kofaktor elemen A
Jadi matriks kofaktor A adalah
1851
2411 −=
−−
+=A
1451
42
311
41
22
13
=−
+=
=−−
+=
A
A
511
32
1151
43
351
21
23
21
12
=−
−=
−=−
−−=
−=−=
A
A
A
1141
32
,821
42
,1024
43
33
32
31
−=−
+=
−=−
−=
−=−
−+=
A
A
A
−−−−
−−
11810
51411
3318
−−−−−−
=1153
8143
101118
.AAdj
Hal.: 40
Adaptif
Maka invers dari matriks Maka invers dari matriks A adalahA adalah
−−
−=
−−−−−−
−=∴
−
−
57
11
57
5
57
357
8
57
14
57
357
10
57
11
57
18
1153
8143
101118
57
1
1
1
A
A
Hal.: 41
Adaptif
Mencari invers matriks dengan transformasi elementer
Yaitu dengan menggandengkan matriks dengan matriks identitasnya kemudian dilakukan transformasi elementer baris. Setelah matriks(yang dicari inversnya)menjadi matriks segitiga atas, maka baris yang lebih bawah dapat dipakai untuk menyapu semua elemen diatas diagonal utama menjadi nol(sehingga menjadi matriks identitas).Gambaran prosedur
Transformasi Elementer baris
Transf.Elementer Baris
A-1
[ ]AIn |
[ ]
[ ]nI
atasm
|
.|
−−−↓
∆−−−↓
Hal.: 42
Adaptif
Jawab ;
ContohCara invers matriksdengan transf.Elementer
−−
−=
511
241
432
A
)3(32
)11/1(2
)1(31
)2(2
12
330|110
11/810|011/211/1
241|010
330|110
8110|021
241|010
511|100
432|001
241|010
511|100
241|010
432|001
−
−−
−−−
−
−−−
−
−−
−
−−
−
H
H
HH
H
Hal.: 43
Adaptif
−−−
−−−
−−
−−−−
−
−−−−
−
−
100|57/1157/557/3
010|57/857/1457/3
001|57/1057/1157/18
100|57/1157/557/3
010|57/857/1457/3
041|57/2257/6757/6
100|57/1157/557/3
11/810|011/211/1
241|010
11/5700|111/511/3
11/810|011/211/1
241|010
)4(12
)11/8(23
)2(13
)57/11(3
H
HH
H
−−−=∴ −
57/1157/557/3
57/857/1457/3
57/1057/1157/181A
Hal.: 44
Hal.: 45 Definisi-definisi Ruang Euclid
Adaptif
Definisi 1
Bila n adalah bilangan bulat positif, maka tupel berorder n(ordered tupel) adalah urutan n bilangan real yang terbentuk(a1,a2,a3,…,an)contoh;Untuk R1 contohnya bilangan 2,-2,0…..Untuk R2 contohnya bilangan (2,1),(1/2,1)…Untuk R3 contonya (1,2,1),(1,-1,-2),(1,0,1)…..Untuk R1 sampai R3 dapat digambarkan secara geometri sedangkan untuk n>3 sulit dibayangkan dan bahkan tidak dapat digambarkan.
Hal.: 46
Adaptif
Definisi 2
*Dua buah vektor U = (U1,U2,U3,…,Un) dan V = (V1,V2,V3…,Vn) di Rn disebut sama apabila u1=v1,u2=v2,u3=v3,…,un=vn.
Hal.: 47
Adaptif
Definisi 3
Penjumlahan dua vektor u,v di Rn didefinisikan sbb;u + v = (u1,u2,u3,…un)+(v1,v2,v3,…vn)
= (u1+v1,u2+v2,…,un+vn)
Hal.: 48
Adaptif
Definisi 4
Perkalian sebuah skalar k dengan sebuah vektor V di Rn didefinisikan sebagai;k V = K (v1,v2,v3,…vn)=(kv1,kv2,kv3,….kvn)
Hal.: 49
Adaptif
Definisi 5
Vektor nol dalam Rn adalah vektor yang sama komponennya adalah nol yaitu o=(0,0,0…,0)
Hal.: 50
Adaptif
Definisi 6
uu
uukuk
vkukvuk
ukuk
uuatauuu
uuu
wvuwvu
uvvu
=
+=+
+=+
=
=−=−+
=+=+
++=++
+=+
1.8
1)1.(7
)(.6
)1()1(.5
00)(.4
00.3
)()(.2
.1
Jika u di Rn adalah sebuah vektor sembarang, maka:-u =(-u1,-u2,-u3,…,-un)Beberapa hasil dari definisi-definisi diatas adalah sbb. Jika U,V,W di Rn dengan k dan l adalah skalar maka;
Hal.: 51
Adaptif
Definisi 7
Jika u =(u1,u2,u3…un) dan v(v1,v2,v3…vn) di Rn, maka perkalian dalam Euclid(perkalian titik) vektor u dan v didefinisikan sebagai berikut.
u.v = u1v1+u2v2+u3v3+…+unvn
Contoh;Jika u=(-1,2,-1,0,1) dan v= (1,1,1,2,2)di R5
maka:u.v =(-1,2,-1,0,1).(1,1,1,2,2)
=(-1)(1)+(2)(1)+(-1)(1)+(0)(2)+(1)(2)= -1+2-1+0+2=2
Jadi u.v=2
Hal.: 52
Adaptif
Definisi 8 ( jarak Euclid dalam Rn)
Jarak euclid antara vektor u =(u1,u2,u3,…,un) dan vektor v=(v1,v2,v3,…,vn) dalam Rn didefinisikan sbb;
d(u,v)=
Contoh;Jika u=(1,-1,1,0,1) dan v=(0,2,2,2,1),maka;
2222
211 )(....)()( nn vuvuvu −++−+−
15
)11()20()21()21()01().(
13)1()2()2()2()0(
24)1()0()1()1()1(
22222
22222
22222
=
−+−+−+−−+−=
=++++=
==+++−+=
vud
v
u
=− vu
Hal.: 53