2009.08作成

[R] 対称行列の固有値・固有ベクトルの最適な求め方

　固有値算出には、固有値分解、特異値分解、QR分解などいくつかの方法があり、Rで

はいずれも LAPACKのルーチンを呼び出して使っている。

対称行列についての計算の場合は、計算効率が良く DC法よりもメモリを消費しない HG

法を採用している eigen関数の利用が最も良いと思われる。

LAPACKにある固有値・特異値問題の解き方の流れ

　　Phase 1. 初期行列を減じる　　(二重対角化)

Phase 2. 固有値計算

Phase 3. 結果がもとの行列に対応するよう逆変換

　※　Phase 1と 3は並立処理可能。問題は Phase 2。

固有値計算(Phase 2)の解法

1) QR法 [LAPACK V.1～]

計算効率が O(n**3)

2) Divide-and-conquer(分割統治:DC)法 [LAPACK V.2～]

計算効率が最大で O(n**3)

3) Holy Grail(HG)法 [LAPACK V.3～]

計算効率が O(nk)

Ｒの固有値・特異値分解で使っている LAPACKルーチン

　○　固有値分解 eigen()

　　- DSYEVR 対称行列の固有値問題に対する倍精度実数の RRRドライバ ← HG法

　　　　　　　　※　RRR: relatively robust representationの略

- DGEEV 非対称行列の固有値問題に対する倍精度実数の simpleドライバ

- ZHEEV 倍精度複素数用

- ZGEEV 倍精度複素数用

　○　特異値分解 svd()

- DGESDD 特異値分解の DC法ドライバ

- ZGESVD 倍精度複素数用

［参考］ 　“LAPACK Users’ Guide” Third Edition http://www.netlib.org/lapack/lug/index.html