HIMPUNAN

Pengertian Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang diterangkan dengan

jelas. Notasi : Penulisan himpunan diawali dengan huruf capital. Elemen atauanggota suatu himpunan dituluis dalamtanda kurung kurawal { }. Contoh : 1.Himpunana bilangan bulat yang lebih besar dari-3 dan lebih kecil dari

3.Jikanama himpunannya dinptasikan dengan himpunan A,berarti himpunan tersebut dapat dituliskan : A={-2,-1,0,1,2}

2,Himpunan B menyatakan seluruh nama siswa laki-laki di kelas VIII,maka himpunan B dapat dituliskan :B {nama-nama seluruh siswa di kelas VIII}

3.Himpunan C menyatakan bilangan cacah yang lebih besar dari

0,maka himpunan C dapat dituliskan : C={1,2,3,…}

Keanggotaan Suatu Himpunan

Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan

notasi €.sedangkan untuk menyatakan bukan anggota digunakan

notasi

Contoh : Himpunan A={ nama-nama bulan dalam tahun

masehi}maka jelas bahwa n(A)=12.

Himpunan Bilangan Tertentu 1.Jika G adalah himpunan bilangan genap → G= {2,4,6,…} 2.Jika L adalah himpunan bilangan asli → L= {1,3,5,7..} 3.Jika A adalah himpunan bilangan asli → A= {1,2,3,..} 4.Jika P adalah himpunan bilangan prima → P={2,3,5,7,..} 5.Jika C adalah himpunan bilangan cacah → C= {0,1,2,3,..}  Menyatakan Suatu Himpunan a.Cara Deskripsi Dengan penjelasan sifat-sifatnya atau dengan notasi

pembentuk himpunan b.Cara Tabulasi (roster) Dengan mendaftarkan anggota himpunan satu per satu

Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki

anggota.Himpunan kosong dinotasikan dengan ǿ atau A={ }

Contoh :X={bilangan ganjil yang habis dibagi 2},artinya X= ǿ atau

X={ }

Himpunan Semesta adalah suatu himpunan yang memuat semua

anggota dalam pembicaraan

Contoh: Jika A={a,b,c,d,e} dan X={f,g,h,i}maka himpunan semesta

dapat beruopa S={a,b,c,d,e,f,g,h,iu} atau S={a,b,c,d,e,f,g,h,i}

Himpunan Bagian Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan

anggota dari himpunan B maka A adalah himpunan bagian atau subset dari B

Contoh : Jika A ={bilangan asli}, Z={Bilangan Bulat} dan N={bilangan prima}

Maka hubungan yang dapat dilihat dari ketiga himpunan tersebut adalah: A c Z dan N c Z

  Sifat: Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap

himpunan dan setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu sendiri,yaitu untuk suatu himpunan A maka berlaku ǿ c A dan A c A

HIMPUNAN BAGIAN1. Himpunan Bilangan Asli (A)

secara tabulasi, himpunan ini ditulis : A={1,2,3,….} dengan A adalah simbol himpunan bilangan asli.

2. Himpunan Bilangan Cacah (C)

secara tabulasi, dapat ditulis : C={0,1,2,3,….} dengan C simbol bilangan cacah.

3. Himpunan Bilangan Prima (P)

bilangan prima adalah bilangan yang memiliki tepat 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. P={2,3,4,5,7,….} dengan P simbol bilangan prima.

4. Himpunan Bilangan Bulat (B)

Himpunanbilangan bulat berangotakan: bilangan bulat positif, nol, dan bulat negatif.

B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} dengan B simbol bilangan bulat

HIMPUNAN BAGIAN

HIMPUNAN KUASA

DIAGRAM VENNDiperkenalkan oleh pakar matematika Inggris pada tahun 1834-1923 bernama John Venn. Dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan, yaitu:

a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang huruf S diletakan di sudut kiri atas persegi panjang.

b. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong)ditunjukkan oleh kurva tertutup.

c. Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik).

d. Bila anggota suaatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.

CONTOH DIAGRAM VENN

GABUNGAN [ᴜ]

Pengertian :

Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan “ ᴜ “.

Misalkan, P={2,3,4,5} dan Q={1,2,4,7}, maka PᴜQ = {1,2,3,4,5,7}.

Gabungan dari P dan Q adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada P dan Q, ditulis dengan notasi pembentuk himpunan:

PᴜQ = {xIx ε P atau x ε Q}.

CONTOH GABUNGAN

IRISAN

B•D•f

.. h.a .c .e .g

Perhatikan dua himpunan dibawah ini .

P = {a, b, c, d, e, f, g }, Q = {a, c, g, h, }

Terlihat bahwa anggotapersekutuan P dan Q

adalah a, c, e, dan g,. Hal ini berarti P dan Q

beririsan ditulis P ∩ Q ={a, c, e,g }.• Irisan P dan Q ditunjukkkan oleh daerah yang • pada gambar dibawah ini...

Contoh soal

1).Diberikan: A = {bilangan asli yang kurang dari 6}

B = {2, 4, 6 }

a) Tentukan A ∩ B!

b) Tuliskan diagram Venn A ∩ B!

Jawab :

a). {1,2,3,4,5} B = {2,4,6} maka A ∩ B = {2, 4}

b). Dagram venn A∩ B terlihat pada gambar disamping.

. 2 . 41. 3. 5..6

SelisihPenulisan komplemen A terehadap B sebagai B-A dan dibaca “ada di B tetapi tidak ada di A O . Sedangkan komplemen B terhadap A di tulis A-B, dibaca “ada di A tetapi tidak ada di B”. Jadi, contoh di atas bila di dalam dalam notasi B-A dan A-B adalah:

(i). B – A {7}

(ii). A –B = {2, 3, 4,}

Contoh soal:

1). P =Himpunan huruf berbentuk kata “SANTO”dan

Q= Himpunan huruf berbentuk kata”SANTOSA”

P={ s,a,n,t,o) dan Q={s,a,n,t,o} berarti P= Q, maka

P-Q =Ǿ = {}• Jawab: - P-Q= {x I x € P dan x Є Q)• - n (P-Q )= n (P) –n ( P∩Q)• - P’ =S-P• - n (S – P) = n(P’) = n(S) –n(S∩P

komplemenKomplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan dari elemen-elemen

yang tidak termasuk A, yaitu, selisih dari himpunan semesta U dan A. Kita nyatakan komplemen dari A dengan komplemen A dapat didefinisikan secara ringkas oleh atau,secara singkat

= { x | x ,x }= { x | x } Kita nyatakan beberapa pernyataan mengenai himpunan-himpunan yang

merupakan akibat langsung dari definisi komplemen himpunan.Pernyataan:Penggabungan sembarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah himpunan

semesta, yaitu A U A’ =U

.3 .7 .10 .

15

• 4• 12• 28

Contoh soal

1). Di berikan himpunan semesta S dan himpunan D sebagai berikut.

S= { 3, 4, 7, 10, 15, 28}.

D= {x ׀ x habis dibagi 4, x Є S}

a. Tuliskan semua anggota adari D !

b. Tunjukan himpunan S pada diaram venn

Jawab:

S = {3, 4, 7, 10, 12, 15, 28, }

D = {4,12, 10, 15 }

D’ =. {3, 7, 10, 15)

TEORIMA DALAM OPERASI HIMPUNAN

Operasi-operasi perpaduan, perpotongan,selisih dan komplemen mempunyai sifat-sifat yang sederhana apabila himpunan-himpunan yang ditinjau dapat diperbandingkan. Teorema-teorema berikut dapat dibuktikan :

TEOREMA I :Misalkan A subhimpunan B. Maka perpotongan A dan B adalah A, jadi,bila maka

TEOREMA II : Misalkan A subhimpunan B. Maka perpaduan A dan B adalah B, jadi,bila maka

TEOREMA III : Misalkan A sebuah subhimpunan B. Maka adalah subhimpunan , yaitu jika maka .

TEOREMA IV : Misalkan A sebuah subhimpunan dari B. Maka perpaduan A dan (BA) adalah B, yaitu, bila maka AU(B-A)=B

Contoh Soal,

Misalkan A = {1,2,3,4}, B={2,4,6,8} dan

C={3,4,5,6}. Carilah ( a ) AUB , ( b ) AUC , (C) BUC

Jawab :

a)A={1, 2, 3, 4)

B={2, 4, 6, 8}

AUB = {1,2 ,3, 4, 6, 8)

b) AUC

A ={1, 2, 3, 4}

C ={3, 4, 5, 6,}

AUC ={1, 2, 3, 4, 5, 6, }

c) BUC

B = {2. 4. 6, 8} C = {3, 4,5, 6 }

BUC ={2, 3, 4, 5, 6, 8 }

HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan secara jelas.

Objek tersebut disebut elemen/anggota himpunan,biasanya

dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya :a,b,p,q dll.sedangkan

himpunan,biasanya dinyatakan dengan huruf besar,misal:A,B,P,Q dll.

Jika a merupakan elemen dari himp A,sedangkan b bukan elemen

dari himp A,maka dapat ditulis sebagai a E A,

Ada 2 bentuk dalam penulisan suatu himpunan,yaituL: Bentuk pendaftaran (tabular-form),yaitu dengan menuliskan

semua elemen himpunan tersebut dalam kurung kurawal {} .

contoh 1:

A={jakarta,bandung,surabaya}

B={…,-2,-1,0,1,2}

C={1,2,3,…} Bentuk pencirian (set builder-form), yaitu dengan menuliskan

sifat/ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut.

contoh 2 :

Q= {x | x adalah bilangan rasional}

R = {y | y adalah mahasiswa jurusan informatika}

MACAM MACAM HIMPUNAN

a. Himpunan kosong Adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan ini

menggunakan notasi { }. Contoh : D = {orang indonesia yang tinggiaya 5 m}

E = {mahasiswa unindra umurnya > 100 tahun}

b. Himpunan semesta Adalah suatu himpunan yang memuat semua anggota yang sedang

dibicarakan. Sering disebut semesta pembicaraan atau set universum dilambangkan dengan “S” atau “U”.

c. Himpunan hingga dan tak hingga

*Himpunan hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga atau terbatas atau banyak anggotanya suatu bilangan tertentu atau pembilangan anggotanya merupakan suatu proses yang dapat berhenti.

Contoh himpunan hingga :

D = {0,1,2,3….99}→banyak anggota himpunan D adalah 100 atau bilangan kardinal D atau n(D) =100

*Himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak terbatas atau tidak terhingga.

Contoh Himpunan tak hingga : E = {1,2,3….}→ banyak anggota himpunan E tak terbatas dan bilangan

kardinalnya atau n(E) =( tak hingga) karena anggota-anggotanya semua bilangan bulat positif atau bilangan asli sehingga tidak mungkin untuk menuliskannya.

d. Himpunan terbilang dan tak terbilang Terbilangi adalah sesuatu yang dapat ditunjukan satu persatu,sedangkan

tak terbilang adalah sesuatu yang tidak dapat ditunjukan satu persatu. Contoh :

a. A = {x,y,z}

himpunan A ini merupakan contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3 Dan termasuk himpunan terbilang karena anggotanya dapat ditunjukan

satu persatu yaitu x,y,z. b. B = {1,3,5,7,…} Himpunan B termasuk termasuk himpunan terbilang karena anggotanya

dapat ditunjukan satu persatu yaitu 1,3,5,7 dst tapi termasuk himpunan tak terhingga karena anggotanya tidak mungkin semuanya dituliskan satu-satu.

e. Himpunan terbatas dan tak terbatas

Ruang lingkup pembicaraan himpunan terbatas dan himpunan tak terbatas biasanya beranggotakan bilangan.

Himpunan yang memiliki batas bawah dan batas atas disebut himpunan terbatas.Himpunan yang hanya memiliki batas bawah /kiri saja disebut himpunan terbatas kiri .

Begitu sebaliknya yang hanya memiliki batas atas,kanan saja disebut himpunan terbatas kanan. Himpunan yang tidak memilikibatas kiri dan batas kanan adalah himpunan tak terbatas.

Contoh : P = {3,4,5,7} Himpunan p adalah termasuk himpunan terbatas. Karena memiliki

batas kiri 3

PASANGAN TERURUT DAN PRODUKSI CARTESIUS

a. Dengan diagram cartesius

Relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan diagram

cartesius. Anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar

dan anggota-anggota himpunan B pada sumbu tegak.setiap pasangan

anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B

dinyatakan dengan titik atau noktah.

Diagram Cartesius

B. InggrisIPA

MatematikaOlahraga

KterampilanKesenian

IPS

Pu

tri

Vita

Don

i

Bu

yun

g

b. Dengan himpunan pasangan berurut Himpunan pasangan berurutan dari data pada tabel sebagai

berikut. {(buyung, IPS), (buyung, kesenian), (doni,

ketrampilan), (doni, R), (vita, IPA), (putri, matematika), (putri, bahasa inggris)}.

Contoh : Diketahui A ={1,2,3,3,5,6} ; B = {1,2,3,…,12} dan relasi dari A ke B

adalah relasi” setengah dari “. Nyatakan relasi tersebut dalam bentuk a.diagram panah b.diagram cartesius c.himpunan pasangan berurutan

DENGAN DIAGRAM PANAH

1

2

3

4

5

6

123456789

101112

DENGAN DIAGRAM CARTESIUS

121110987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 A

Buyung

Doni

Vita

Putri

IPS

Kesenian

Keterampilan

Olahraga

Matematika

IPA

B. inggris

2. Fungsi surjektif Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika

dan hanya jika u ntuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a

dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3. Fungsi bijektif Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika

untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fun

PENGERTIAN FUNGSI

Pandangan suatu relasi dengan setiap anggota himpunan A dikaitkan dengan satu dan hanya satu anggota himpunan B. Relasi tersebut disebut suatu fungsi dari A ke dalam B. Himpunan A disebut domain dan himpunan B disebut kodomain dari fungsi,yang biasa ditulis f:A → B.

Jika a € A,maka anggota himpunan B yang merupakan kaitan dari a dapat ditulis sebagai f(a). Elemen f(a) tersebut dinamakan nilai fungsi dari a. himpunan semua fungsi disebut daerah nilai(range) dari fungsi f . Daerah nilai merupakan himpunan bagian dari kodomain.

Istilah fungsi disebut juga pemetaan (mapping) atau transformasi.

Contoh 1 :

A= {1,2,3,4}

B= {a,b,c,d}

F= {(1,a), (2,b), (3,c), (4,d)} merupakan fungsi dari A ke B

G= {(1,a), (1,b), (2,a), (3,d), (4,a)} bukan fungsi,karena elemen 1 E A dipetakan ke a dan ke B

B. Jenis-jenis Fungsi

1. Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi

injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2

dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak

sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka

f(a1) sama dengan f(a2).

2. Fungsi surjektif Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan

hanya jika u ntuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam

domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3. Fungsi bijektif Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika

untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fun

Fungsi Satu-Satu :

Suatu fungsi f: A→B disebut satu-satu bila setiap elemen yang berbeda

dari mempunyai peta yang berbeda pula di B.

Grafik Fungsi / Pemetaan

Suatu pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibuat

grafik pemetaannya. Grafik suatu ) adalah bentuk diagram cartesius

dari suatu pemetaan(fungsi).

Jenis – Jenis Fungsi :

1. Fungsi Konstan

Didefinisikan sebagai fungsi yang memetakan setiap unsur di domain ke satu nilai yang sama (konstanta).

2. Fungsi Identitas

Adalah fungsi yang memetakan setiap unsur didomain kedirinya sendiri

3. Fungsi Modulus / Fungsi Nilai Mutlak

Adalah fungsi yang memetakan setiap unsur didomain ke satu nilai positif atau nol.

4. Fungsi Linear

Adalah fungsi yang memetakan setiap x € R ke suatu bentuk ax + b, dengan a ≠ 0, a dan b konstanta.

5. Fungsi kuadrat

Rumus umumnya adalah f(x) = ax” + bx + c, dengan a ≠ 0 dan x € R.

Invers atau Fungsi

Jika fungsi f : A → yang dinyatakan dengan pasangan terurut f = {( a,b) Ӏ a ϵ A dan b ϵ B}, maka invers f adalah g: B → yang dinyatakan dengan g = {(b,a) l b ϵ B dan a ϵ A}

Syarat Agar Invers Suatu Fungsi Merupakan Fungsi Invers

Fungsi f mempunyai fungsi invers f -1 jika dan hanya jika f merupakan fungsi (korespondensi satu – satu).

Menentukan langkah-langkah rumus fungsi invers

1. Mengubah persamaan y = f (x) dalam bentuk x

sebagai fungsi y.

2. Bentuk x sebagai fungsi y tersebut dinamakan f -1 (y).

3. Mengganti y pada f -1 (y) dengan x, sehinga diperoleh f -1 (x).

Contoh Soal :

1. Fungsi invers dari f (x) = adalah…

Penyelesaian :

Jika , maka

Untuk soal diatas f (x) = →

Pengertian Relasi Beberapa Himpunan

Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B merupakan relasi khusus, yaitu relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

Misalkan F adalah satu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi F di notasikan dengan:

f : A → B

Contoh Soa:

Relasi dari himpunan A {a, b, c} ke himpunan B = {p, q, r} yang merupakan fungsi adalah…

(1) A B (2) A B

p

q

r

a

b

c

a

b

c

p

q

r

(3) A B (4) A B

Pembahasan:

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B merupakan relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Dengan demikian, relasi-relasi di atas yang merupakan fungsi adalah (1), (2), dan (3). Sedangkan (4) bukan fungsi, seebab ada anggota himpunan A yaitu a dan c tidak berpasangan dengan anggota B. selain itu ada anggota himpunan A yaitu b berpasangan dengan semua anggota himpunan B. jadi pilihan (1), (2) dan (3) bernilai benar.

a

b

c

p

q

r

a

b

c

p

q

r

FUNGSI KOMPOSISI

Pengertian Fungsi Komposisi

Suatu fungsi dapat dikombinasikan atau digabungkan dengan fungsi lain, dengan syarat tertentu, sehingga menghasilkan fungsi baru. Fungsi baru hasil kombinasi fungsi-fungsi sebelumnya ini dinamakan fungsi kombinasi.

Sifat-sifat komposisi fungsi

1. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi umumn ya tidak komutatif

(g o f) (x) ≠ (f o g) (x)

2. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif

(f o (g o a)) (x) = {(f o g) o h} (x)

3. Terdapat fungsi identitas I (x) = x sedemikian sehingga (f o i) (x) = (I o f) (x) = f (x)

• Contoh soal:

Diketahui fungsi f (x) = 6x – 3, g (x) = 5x + 4 dan (f o g) (a) = 81. nilai a = …

Pembahasan:

(f o g) (x) = f (g (x))

= f (5x + 4)

= 6 (5x + 4) – 3

= 30x + 24 – 3

= 30x + 21

(f o g) (a) = 30a + 21 = 81

30a = 81 – 21

a = 2

HUKUM-HUKUM HIMPUNAN

1. Hukum komutatif :

a. AUB = BUA

b. A∩B = B∩A

2. Hukum Asosiatif

a. (AUB)UC = AU(BUC)

b. (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

3. Hukum Distributif

a. AU(B∩C) = (AUB)∩ (AUC)

b. A∩(BUC) = (A∩B)U (A∩C)

4. Hukum Idempoten : a. AUA = A b. A∩A = A 5. Hukum Identitas : a. AUØ = A b. AUU= U c. A∩Ø = Ø d. A∩U = A 6. (AC)C=A 7. a. AUCC=U

b. A∩CC=Ø

8. a. Uc=Ø

b. Øc=U

9. Hukum De Morgan

a. (AUB)c = Ac ∩ Bc

b. (A∩B)c = Ac U Bc

10. Hukum absorbsi :

a. AU(A∩B)=A

b. A∩(AUB)=A

PRINSIP DUALITAS

Prinsip dualitas pada himpunan. Misalkan S adalah suatu

kesamaan yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi

seperti komplemen,U,∩.Jika S* diperoleh dari S dengan

mengganti U→∩,∩→U,Ø→U,U→Ø maka kesamaan S* juga

benar dan disebut dual dari kesamaan S.

PrinsipDualitas merupakan prinsip yang penting dalam

Aljabar himpunan, karena kita dapat menggunakan prinsip ini untuk

menurunkan hukum yang lain atau membuktikan suatu kalimat

himpunan. →Hukum identitas :AUØ=A

Dualnya :A∩U=A

→Hukum null :A∩Ø=Ø

Dualnya :AUU=U

→Hukum Komplemen :AUĀ=S

Dualnya :A∩Ā=Ø

HIMPUNAN INDEKS

Misalkan I adalah himpunan tidak kosong dan U himpunan semesta. Untuk setiap i ϵ I . I disebut himpunan indeks (atau himpunan dari indeks) dan setiap i ϵ I disebut indeks.

ᴜ Ai = {x І x ϵ Ai untuk sekurang-kurangnya satu i ϵ I} dan

∩ Ai = {x І x ϵ Ai untuk setiap i ϵ I}

Dapat ditulis menggunakan kuantor :

Jadi,

(i).

artinya jika dan hanya jika x Ai untuk

setiap indeks i ϵ I.

Artinyajika dan hanyax ϵ Ai unuk sekurang-kurangnya satu indeks i ϵ I.

OPERASI PADA HIMPUNAN

Apabila terdapat 2 himpunan sembarang S dan T dimana keduanya

adalah subset dari U. Union (gabungan) dari S dan T dilambangkan

dengan SUT, yang merupakan himpunan yang beranggotakan elemen

dari S atau dari T. Notasi matematikanya adalah:

S ᴜ T = { x : x ϵ S atau x ϵ T }

Irisan (intersection) dari dua himpunan S dan T

dilambangkan dengan S ∩ T, dimana S ∩ T adalah

himpunan yang terbentuk dari elemen yang

terkandung pada S dan pada T. Atau notasi

matematikanya: S ∩ T = { x : x ϵ S atau x ϵ T }

Sedangkan dua buah himpunan disebut tidak beririsan apabila

pada kedua himpunan tersebut tidak terdapat elemen yang sama.

Dua buah himpunan S dan T tidak beririsan (disjoint) apabila S ∩

T = Ø

Sedangkan dua buah himpunan disebut tidak beririsan apabila

pada kedua himpunan tersebut tidak terdapat elemen yang sama.

Dua buah himpunan S dan T tidak beririsan (disjoint) apabila S ∩

T = Ø

S

Irisan dari himpunan bilangan positif dan himpunan

bilangan negative adalah himpunan kosong.

Apabila terdapat sembarang himpunan S dan T, komplemen

relative (relative complement) T terhadap S dilambangkan S \

T, adalah himpunan yang dibentuk dari seluruh elemen S

yang bukan dari elemen T. Berikut adalah notasi

matematikanya:

S \ T = { x : x ϵ S atau x T }

Asumsikan U adalah himpunan semesta. Bila terdapat sembarang

himpuanan S pada U, Komplement Absolut (absolute complement)

dari S, dinotasikan dengan Sc,adalah U \ S atau :

Sc = U \ S = { x ϵ S atau x S }

Beda Simetris (symmetric different) dari 2 himpuanan S dan T,

adalah himpunan S T yang didefinisikan dengan :

S T = { x : x ϵ ( S ᴜ T ) dan x }

= {( S ᴜ T ) \ ( S ∩ T) }

= ( S \ T ) ᴜ ( T \ S)

Jika terdapat dua himpunan S dan T dimana s ϵ S dan t ϵ T,

maka pasangan berurutan (ordered pair) (s , t) adalah hasil

kali (product, X) dari S dan T dimana :

S X T ={ (s,t) : s ϵ S dan t ϵ T}

Dua buah pasangan berurutan ( x , y) dan ( u , v ) adalah

sama apabila :

( x , y ) = ( u , v ) jika dan hanya jika x = u dan y = c.

KARDINALITAS (URUTAN) 

Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan {apel,jeruk,mangga,pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

KONSEP KARDINALITAS

Konsep Kardinalitas

Bila A ekuivalen dengan B, yaitu A ~ B maka dikatakan bahwa A dan B mempunyai bilangan kardinal yang sama atau kardinalitasnya sama.

Untuk menyatakan bilangan kardinal dari A ditulis #(A). Jadi #(A) = #(B) bila dan hanya bila A ~ B. Bila A < B maka dikatakan A mempunyai kardinalitas lebih kecil dari B atau kardinalitas B lebih besar dari A, dengan kata lain :

#(A) < #(B) bila dan hanya bila A < B

#(A) > #(B) bila dan hanya bila A B

PENGERTIAN PROPOSISIProposisi adalah pernyataan dalam bentuk kalimat yang memiliki arti penuh, serta mempunyai nilai benar atau salah, dan tidak boleh kedua-duanya.

Maksud kedua-duanya ini adalah dalam suatu kalimat proposisi standar tidak boleh mengandung 2 pernyataan benar dan salah sekaligus.

Rumus ketentuannya :

Q +  S  +  K  +  P

Keterangan:

Q : Pembilang/jumlah.

(contohnya: sebuah,sesuatu, beberapa,semua,bagian, salah satu, bilangan satu s.d takterhingga).

Q boleh tidak ditulis, jika S (subjek) merupakan nama dan subjek yang pembilangnya sudah jelas berapa jumlahnya.

S : Subjek adalah sebuah kata atau rangkaian beberapa kata untuk diterangkan atau kalimat yang dapat berdiri sendiri (tidak menggantung).

K : Kopula, ada 5 macam : Adalah, ialah, yaitu, itu, merupakan.

P : Kata benda (tidak boleh kata sifat, kata keterangan, kata kerja).

CONTOH SOAL

1) Buktikan bahwa proposisi berikut “TAUTOLOGI”!

{(pvq) r } ⇔ {(p r) (q r)}⇒ ⇒ ∧ ⇒{p (q r)} ⇔ {(p q) (p r)}⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒{(p q) r } ⇔ {(p r) q)}∧ ⇒ ∧ ∼ ⇒∼{(p q) r} ⇔ {(p r) v (q r)}∧ ⇒ ⇒ ⇒(p r) {(p q) r} {p (q r)} (p q)⇒ ⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒ ⇒

2) Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari proposisi berikut. Kemudian tentukan kebenarannya!

Jika x=5, Maka x^2=25

Jika x^2 bilangan asli, maka x bilangan asli

Jika ∆ABC sama kaki, maka <A=<C

PENYELESAIAN

1) Pembuktian “TAUTOLOGI”

{(pvq) r}⇔{(p r) (q r)}⇒ ⇒ ∧ ⇒JAWAB:p q r { ( p v q ) r } ⇔ { ( p r ) (q r ) }⇒ ⇒ ∧ ⇒B B B B B B B B BB B S B S B S S SB S B B B B B B BB S S B S B S S BS B B B B B B B BS B S B S B B S SS S B S B B B B BS S S S B B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{p (q r)}⇔{(p q) (p r)}⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒JAWAB:p q r { p (q r) } ⇔ { (p q) ( p r ) }⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒B B B B B B B B BB B S S S B B S SB S B S S B S S BB S S S S B S S SS B B B B B B B BS B S B S B B B BS S B B S B B B BS S S B S B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{(p q) r}⇔{(p r) q)}∧ ⇒ ∧∼ ⇒∼JAWAB:p q r q r { (p q ) r } ⇔ { (p r) q )}∼ ∼ ∧ ⇒ ∧ ∼ ⇒∼B B B S S B B B S BB B S S B B S B B SB S B B S S B B S BB S S B B S B B B BS B B S S S B B S BS B S S B S B B S BS S B B S S B B S BS S S B B S B B S B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{(p q) r}⇔{(p r)v(q r)}∧ ⇒ ⇒ ⇒JAWAB:p q r {(p q ) r } ⇔ {(p r) v (q r )}∧ ⇒ ⇒ ⇒B B B B B B B B BB B S B S B S S SB S B S B B B B BB S S S B B S B BS B B S B B B B BS B S S B B B B SS S B S B B B B BS S S S B B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

(p r) {(p q) r} {p (q r)} (p q)⇒ ⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒ ⇒JAWAB:

p q r (p r) { (p q) r } { p (q r)} (p q)⇒ ⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒ ⇒B B B B B B B B B B B BB B S S B B S B S S B BB S B B B S B B B S B SB S S S B S B B B S B SS B B B B S B B B B B BS B S B B S B B B S B BS S B B B S B B B S B BS S S B B S B B B S B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

2) Konvers, Invers, Kontraposisi dan Tabel Kebenaran

Jika x=5 , Maka x^2=25Jawab :

p : x =5q : x^2=25

konvers (q p)⇒Jika x^2=25 , maka x=5

Invers ( p q)∼ ⇒∼Jika x≠5 , maka x^2≠25

Kontraposisi ( q p)∼ ⇒∼Jika x^2≠25 , maka x≠5

Negasi (p q)∧∼x=5 , akan tetapi x^2≠25

Tabel Kebenaranp q p q Implikasi∼ ∼( p q) Konvers⇒(q p) Invers⇒( p q) Kontraposisi∼ ⇒∼( q p) Negasi∼ ⇒∼(p q)∧∼B B S S B B B B SB S S B S B B S BS B B S B S S B SS S B B B B B B s

Jika x^2 bilangan asli, maka x bilangan asli.

Jawab:

P: x^2 bilangan asli.

q: x bilangan asli.

Konvers (q p)⇒Jika x bilangan asli, maka x^2 bilangan asli

Invers ( p q)∼ ⇒∼Jika x^2 bukan bilangan asli, maka x bukan bilangan asli.

Kontraposisi ( q p)∼ ⇒∼Jika x bukan bilangan asli, maka x^2 bukan bilangan asli.

Negasi (p q)∧∼x^2 bilangan asli akan tetapi bukan bilangan asli

Tabel kebenaran:

p q p q Implikasi,∼ ∼( p q ) Konvers⇒ ,

(q p) Invers,⇒( p q) Kontraposisi,∼ ⇒∼( q p) Negasi,∼ ⇒∼(p q)∧∼B B S S B B B B S

B S S B S B B S B

S B B S B S S B S

S S B B B B B B S

Jika ∆ ABC sama kaki, Maka A= C∠ ∠Jawab :

p : ∆ ABC sama kakiq : A= C∠ ∠konvers (q p)⇒Jika A= C, maka ∆ ABC sama kaki∠ ∠Invers ( p q)∼ ⇒∼Jika ∆ ABC bukan sama kaki , maka A ≠ C∠ ∠Kontraposisi ( q p)∼ ⇒∼Jika A ≠ C, maka ∆ ABC bukan sama kaki ∠ ∠Negasi (p q)∧∼∆ ABC sama kaki, akan tetapi A ≠ C∠ ∠

Tabel kebenaran:

p q p q Implikasi,∼ ∼( p q ) Konvers⇒ ,

(q p) Invers,⇒( p q) Kontraposisi,∼ ⇒∼( q p) Negasi,∼ ⇒∼(p q)∧∼B B S S B B B B S

B S S B S B B S B

S B B S B S S B S

S S B B B B B B S

HIMPUNAN TERBILANG

Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.

Contoh : A =

Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.

B =

Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.

CONTOH SOAL DAN JAWABAN

1) Selidikilah apakah himpunan semua bilangan bulat adalah himpunan terbilang?

Jawaban:

N: 1 2 3 4 5 6 …

| | | | | |

Z : 0 -1 1 -2 2 -3 ...

Ternyata Z ekivalen dengan N, jadi Z himpunan terbilang.

2) Misalkan K adalah himpunan semua bilangan kelipatan k, Selidikilah apakah K himpunan terbilang?

Jawaban:

 

N : 1 2 3 4 5 6 7 …

| | | | | | |

K : 0 -k k -2k 2k -3k 3k ...

Ternyata K ekivalen dengan N, jadi K himpunan terbilang.

 

HIMPUNAN TIDAK TERBILANG

Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung satu persatu.

Contoh :

R =

Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya tak dapat dihitung satu persatu. Himpunan R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) = ~.

CONTOH SOAL DAN JAWABAN

1) Misalkan R himpunan semua hilangan real, maka R adalah himpunan tak terbilang, buktikanlah:

Jawaban:

Bukti:

Misalkan R adalah himpunan yang dapat ditulis dengan pecahan desimal tanpa akhir, sedemikian hingga tidak terdapat digit c ≠ 0 yang diikuti oleh berhingga banyaknya digit nol.

Jadi 0,5 atau diganti 0,4999..., dan 7 diganti 6,999....

Misalkan r menyatakan bilangan real, maka: r =k1k2k3 … kn, a1a2a3 … an

…bagian bulat bagian desimal

Umpamakan R adalah himpunan terbilang, yang berarti ekivalen N. Jadi R dapat dibariskan sebagai berikut:

r1 = B1, a11 a12 a13 a14 a15 …

r2 = B2, a21 a22 a23 a24 a25 …

r3 = B3, a31 a32 a33 a34 a35 …

r4 =B4, a41 a42 a13 a44 a45 …

r5 = B5, a51 a52 a53 0554 a55 …

Perhatikanlah digit-digit yang terletak pada diagonal utama matriks di atas. Dibentuk suatu bilangan real r* sebagai berikut.

r* = B*, b1 b2 b3 b4 b5 …

dengan bi = 1 jika aii ≠ 1

bi = 2 jika aii = 1

Ini berarti bahwa bi = ai; iN.

Juga r*≠ri iN.

2) Misalkan I adalah himpunan semua bilangan irasional, maka I adalah himpunan tak terbilang, buktikanlah!

Jawaban:

Bukti:

Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, Q himpunan semua bilangan rasional, dan I himpunan semua bilangan rrasional, maka R = QI.

Jelas bahwa Q dan I dua himpunan yang saling lepas. Misalkan I himpunan terbilang.

Ini berarti R himpunan terbilang, hal ini suatu kontradiksi. Jadi haruslah I himpunan tak terbilang.

KOLEKSI HIMPUNAN TERBILANG

Anggota-anggota dari suatu himpunan dapat merupakan himpunan.

Misalnya, suatu gudang adalah himpunan dari beberapa peti rokok, setiap peti terdiri dari beberapa bungkus rokok. Jadi jelas bahwa suatu himpunan mungkin saja anggota-anggotanya merupakan himpunan pula. Kondisi seperti ini disebut sebagai koleksi himpunan atau himpunan dari himpunan.

Contoh:

a) A = {{a,b,c},{d},{e}}

b) B = {{1,2},{3},{2,3,4},{Ø}}

FUNGSI KARAKTERISTIK

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.

Jika maka:

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah elemen dalam himpunan tersebut.

PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

DI SUSUN OLEH: Kelompok 3

Hana Putri Kriscita (201013500023) Juni Triastuti (201013500007) Jasni (201013500030) Mursiti (201013500025) Melysa Natalia (201013500106) Muhammad Irwansyah Akbar (2010135000 ) Durahi (2010135 )