raciocinio lÓgico

7/18/2019 RACIOCINIO LÓGICO

http://slidepdf.com/reader/full/raciocinio-logico-56d6e2bdd8bfd 1/16

5 ELEMENTOS BÁSICOS DA LÓGICA PROPOSICIONAL

5.1 Contextualizando

Como você viu no capítulo 3, o juízo é a forma central de todo o pensamento e sua

expressão verbal é a proposição. Julgar é uma prerrogativa própria do homem.

Formulamos juízos como resultado de nossas atividades mentais. Para fundamentar

nossos juízos utilizamos argumentos. Ou seja, apresentamos à pessoa a quem nos

dirigimos as razões pelas quais nós próprios aceitamos o que dizemos. Os argumentos

são constituídos por proposições. Tanto as premissas quanto a conclusão de um

argumento são proposições.

Segundo o professor de Raciocínio Lógico, Nelson Carnaval (2011), a Lógica dasProposições tem sido um assunto sempre exigido em concursos. É importante, portanto,

um estudo mais aprofundado sobre essa temática.

Ao final deste capítulo esperamos que você possa:

definir uma proposição;

reconhecer a importância dos conectivos lógicos e as suas aplicações

nas operações lógicas para a elaboração de proposições compostas;

construir uma tabela de verdade.

5.2 Conhecendo a teoria

5.2.1 Conhecendo as proposições

Um dos ramos da lógica se dedica ao estudo das proposições. Vamos começar

entendendo o que são proposições.

No nosso dia a dia nos expressamos de diversas formas. Veja alguns exemplos:

1. Chove muito!

2. Que dia é hoje?

3. Cinco mais dois.

4. Natal é a capital do Rio Grande do Norte.



Os exemplos 1, 2 e 4 apresentam um significado pelo que está sendo expresso.

Apenas o exemplo 3 não apresenta sentido completo. O exemplo 3, por não apresentar

sentido completo, chamamos de expressão. Os exemplos 1, 2 e 4 chamamos de

sentenças.

Veja a definição de sentença a partir do que dissemos anteriormente.

[INICIO DE CAIXA]

Sentença é uma forma de se expressar que apresenta um sentido completo.

[FIM DE CAIXA]

As sentenças podem ser:

Abertas – quando apresentam uma variável. Exemplo: 2 + x = 5; y émenor que 12.

Fechadas – quando não apresentam variáveis. Exemplo: a poluição

causa doenças respiratórias; 3 – 2 = 1.

As sentenças fechadas são ainda aquelas que permitem julgamento verdadeiro ou

falso. São essas sentenças que chamamos de proposições.

[INICIO DE CAIXA]

“Uma Assim, “proposição é uma sentença declarativa que admite um e somente um

dos dois valores lógicos – V ou F” (FURTADO, 2010, p. 11).

[FIM DE CAIXA]

Ou seja, uma proposição terá como valor lógico verdade se a proposição é

verdadeira e falsidade se a proposição é falsa. Representamos verdadeiro pela letra V ou0 e falso pela letra F ou 1.

Valor Lógico Símbolo de Designação

Verdade V

Falsidade F



Para simbolizar o valor lógico de uma proposição, em lógica matemática, adota-se

uma notação específica. Assim, quando temos uma proposição simples verdadeira ela

será simbolizada da seguinte forma:

V(q) = V – traduzindo – o valor lógico da proposição q é verdadeiro.

Por outro lado, se a proposição for falsa teremos:V(q) = F – traduzindo – o valor lógico da proposição q é falso.

Toda proposição apresenta um sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo),

um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito) e um verbo que se denomina cópula

(elo). A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito: S é P .

Veja o que estamos dizendo no exemplo abaixo:

A praia de Ponta NegraSUJEITO

temCÓPULA

muito assalto.PREDICADO

Mesmo não apresentando variável, nem todas as sentenças exprimem uma

proposição. De acordo com os estudos de Murcho (2011), não constituem proposições as

seguintes sentenças:

1. Exclamativas – aquelas que exteriorizam estado afetivo.Exemplo: Que dia lindo!

2. Interrogativas – as que indicam perguntas.

Exemplo: Qual a cor do seu automóvel?

3. Imperativas – aquelas que expressam ordem, desejo, pedido, conselho.

Exemplo: Ande depressa!

4. Prescritivas – contêm informação acerca do modo de realizar uma atividade: são

instruções.

Exemplo: Não ultrapasse no sinal vermelho.

5. Compromissivas – expressam a intenção assumida de o locutor vir a praticar

uma ação futura.



Exemplo: Prometo que estudarei mais.

As proposições se baseiam nas três leis do pensamento ou, como você viu no

capítulo 2, nos princípios que a razão estabelece e garantem que a realidade seja

racional. Assim,

1) Se qualquer proposição é verdadeira, então ela é verdadeira. (Princípioda identidade)2) Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa, ao mesmo tempo,sob uma mesma condição. (Princípio da não-contradição)3) Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. (Princípio do terceiroexcluído) (CARNAVAL, 2011).

[INÍCIO DO ÍCONE SAIBA QUE]

Algumas proposições quebram as leis do pensamento e cometem o que se

denomina infração lógica; nesses casos temos os paradoxos. Veja um exemplo do que

estamos dizendo:

A frase que você está lendo é falsa.

Se você afirmar que a frase é verdadeira, é porque ela é falsa; e se é falsa, é

porque é verdadeira.

Existem ainda proposições que são incondicionalmente verdadeiras, independente

do valor lógico das variáveis proposicionais. Por exemplo, a afirmação de que UMA

PROPOSIÇÃO OU É VERDADEIRA OU FALSA é sempre verdadeira.

Na linguagem do dia a dia, a tautologia é um vício de linguagem. Veja alguns

exemplos: elo de ligação; certeza absoluta; surpresa inesperada; fato real, entre outros.

[FINAL DO ÍCONE SAIBA QUE]

As proposições podem ser:

1. Proposições simples ou atômicas

Simples ou Atômica - é a proposição que não contém nenhuma outraproposição como parte integrante de si mesma. As proposições simplessão geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r, s ..., chamadasletras proposicionais (GASPAR, 2011).

Veja exemplos de proposições simples:



Paulo gosta de estudar.

O curso que estou fazendo é de excelente qualidade.

A lua é um satélite da terra.

2. Proposições compostas ou moleculares

Composta ou Molecular - é a proposição formada pela combinação deduas ou mais proposições. São habitualmente designadas por letrasmaiúsculas P, Q, R, S..., também denominadas letras proposicionais(GASPAR, 2011).

Veja exemplos de proposições compostas:

João é engenheiro e Marta é estudante.

Se o aluno estudar durante o ano, então será aprovado.

Pedro é estudioso e José é preguiçoso.

Para ilustrar o que estamos dizendo, apresentamos a proposição composta a

seguir.

Você pode ver que ela é resultado da combinação de duas proposições, ou seja,

ela pode ser dividida em duas proposições:

e

As proposições podem, ainda, ser classificadas quanto à:

a) Quantidade - nesse caso podem ser universais, particulares e singulares.



Universais Quando o predicado se refere àextensão total do sujeito.

Todo S é P

Particulares Quando o predicado é atribuído a umaparte da extensão do sujeito.

Algum S é P

Singulares Quando o predicado é atribuído a umúnico indivíduo.

S é P

b) Qualidade - as proposições podem ser afirmativas ou negativas.

Afirmativas Atribuem alguma coisa a umsujeito.

Os natalenses são

brasileiros.

Negativas Separam o sujeito de algumacoisa.

Os portugueses não são

simpáticos.

5.2.2 A linguagem proposicional

Até aqui é possível concluir que as proposições são juízos sobre a realidade. Para

Wittgenstein (apud SOUZA, 2011), “a proposição é uma imagem da realidade. A

proposição é um modelo da realidade tal como nós a pensamos”. É resultado de nossas

percepções, expressa através da linguagem.

Toda a realidade que nos cerca e está dentro de nós pode ser expressa pela

linguagem. No entanto, a linguagem coloquial é passível de erros. É para evitar os

equívocos da linguagem coloquial que a lógica propõe a transformação dos argumentos

da linguagem coloquial em argumentos lógico-matemáticos. Estamos falando da

linguagem proposicional, entre os elementos dessa linguagem destacam-se:

Os símbolos proposicionais, também chamados variáveis

proposicionais ou átomos – são letras latinas minúsculas p,q,r ,s, ... para indicar as

proposições (fórmulas atômicas).

Os conectivos proposicionais – veja os exemplos abaixo:

SE Pedro é médico, ENTÃO sabe biologia.

Não vai chover hoje.

Ana trabalha OU Carlos descansa.



Podemos considerar como conectivos usuais da lógica: e, ou, não, se... então...,

se e somente se. A cada um dos conectivos que possibilita a combinação de proposições

corresponde um símbolo.

CONECTIVOS SÍMBOLOSeou

se ... entãose e somente se

~ não

PROPOSIÇÃO LINGUAGEM MATEMÁTICA A lua é quadrada. p

A lua é quadrada e a neve é branca. p QMaria estuda ou Pedro vai ao cinema. p QSe chover amanhã, então não saio. p Q A lua é quadrada se e somente se a neve ébranca.

p Q

A lua não é quadrada. ~ p

Cada conectivo tem sua especificidade a seguir explicitada:

1. Com o conectivo “~" (não), obtemos, a partir de uma proposição p,

uma segunda proposição ~p, chamada negação. O conectivo “~" age apenas

sobre a proposição negada.

Exemplo:

p = A terra é um planeta. ~p = A terra não é um planeta.

2. Com o conectivo “^" (e), obtemos, a partir de duas proposições p, q,

uma terceira proposição, “p ^ q”, chamada conjunção. Nesse caso, o conectivo “^"

age sobre duas proposições. O símbolo mais utilizado para a conjunção, em

eletrônica digital, é o ponto ".".

Exemplo:

p = O sol é uma estrela.

q = A terra é um planeta.

p ^ q = O sol é uma estrela e a terra é um planeta.



Com o conectivo “ " (ou), obtemos, a partir de duas proposições p, q, uma terceira

proposição “p v q”, chamada disjunção. Assim como o conectivo “^", o conectivo “ " age

sobre as duas proposições. O símbolo mais utilizado para a disjunção, em eletrônica

digital, é o sinal "+".

Exemplo:p = O sol é uma estrela.


p q = O sol é uma estrela ou a terra é um planeta.

3. Com o conectivo “ ”(se..., então...), obtemos de duas proposições p,

q, uma terceira proposição “p q”, chamada condicional. Observe que esteconectivo também age sobre as duas proposições.

Exemplo:



p q = Se o sol é uma estrela, então a terra é um planeta.

4. Com o conectivo “ ” (se, e somente se), obtemos de duas

proposições p, q, uma terceira proposição “p q”, chamada bicondicional.

Observe que este conectivo também age sobre as duas proposições.

Exemplo:



p q = O sol é uma estrela se, e somente se, a terra é um planeta.

Os símbolos de pontuação: parênteses

Ainda como símbolo auxiliar na transformação da linguagem coloquial para

linguagem matemática temos os parênteses ( ). Eles servem para denotar o alcance dos

conectivos. Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos:

~



Veja um exemplo:

a) A lua não é quadrada se, e somente se, a neve é branca - ((~p) q).

b) Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada - ((p ^ q) p).

[INÍCIO DO ÍCONE PRATICANDO]

Agora é com você:

1. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir

para a linguagem corrente as seguintes proposições:

a) ~q

b) p q

c) p q

d) p q

e) p (~q)

e) p q

2. Considere as proposições p: está frio e q: está chovendo. Traduza para a linguagem

corrente as seguintes proposições:

a) p ~q

b) p qc) p q

3. Traduza para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

1. Se a terra é um planeta, então a terra gira em torno do sol.

2. Não irei estudar.

3. A terra não é um planeta e não gira em torno do sol.

[FINAL DO ÍCONE PRATICANDO]Você já sabe que através das letras proposicionais, dos conectivos e dos símbolos

de pontuação é possível estabelecer a representação lógica das proposições. Vamos

agora falar sobre seu valor lógico.

5.2.3 Tabela-verdade



Como você viu acima, de acordo com o princípio do terceiro excluído, uma

proposição ou é verdadeira ou é falsa. Assim, atribuir um valor lógico a uma proposição é

indicar a sua validade considerando a possibilidade de esta ser verdadeira ou falsa.

Para estabelecermos o valor lógico de uma proposição composta é necessário

sabermos os valores lógicos das proposições simples que a compõem. Os valores lógicosde uma proposição são expressos pela tabela-verdade ou tabela de verdade. Na tabela-

verdade figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição correspondentes a

todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

[INÍCIO DO ÍCONE SAIBA QUE]

As tabelas-verdade surgem a partir dos trabalhos desenvolvidos por Gottlob Frege,

Charles Peirce e outros da década de 1880. Assumiram a forma com a qual trabalhamosem 1922, com as contribuições de Emil Post e Ludwig Wittgenstein.

[FINAL DO ÍCONE SAIBA QUE]

Uma tabela-verdade é construída por linhas e colunas. Para sua construção é

preciso que consideremos alguns pontos:

1. o número de proposições;2. o número de linhas da tabela-verdade;

3. a variação dos valores lógicos.

O número de colunas de uma tabela-verdade é igual ao número de proposições

que a compõem. O número de linhas é dado pela fórmula 2n. Aqui, n corresponde ao

número de proposições utilizadas. Vamos ver a construção da tabela-verdade nas linhas e

colunas, considerando uma e duas proposições.1. Para uma proposição

pVF



número de linhas dado pela fórmula 2n (o n = 1 uma vez que temos

apenas 1 proposição) 2¹ = 2, no caso duas linhas.

número de colunas = ao número de proposições, no caso 1 coluna.

PVF

2. Para duas proposições

- número de linhas dado pela fórmula 2n (o n = 2 uma vez que temos 2

proposições) 2² = 4, no caso quatro linhas.

- número de colunas = ao número de proposições, no caso 2 colunas.

p q

Uma vez construída a tabela é necessário acrescentar seus valores lógicos. Como

você já sabe, os valores lógicos possíveis para cada variável são V (verdadeiro) ou F

(falso), seu registro na tabela verdade – uma vez definidas linhas e colunas – realiza-se

considerando a seguinte distribuição:

Na primeira coluna, metade das linhas terá valor V e a outra metade

valor F.

Na segunda coluna, metade das linhas que possuem valor V na

primeira coluna terá valor V e a outra metade valor F; e metade das linhas que

possuem valor F na primeira coluna terá valor V e a outra metade valor F.

Na terceira coluna, metade das linhas que possuem valor V na segunda

coluna terá valor V e a outra metade valor F; e metade das linhas que possuem

valor F na segunda coluna terá valor V e a outra metade valor F.

Parece confuso, mas vamos à construção de uma tabela verdade para que você

veja que é algo simples.

Vamos começar traduzindo para a linguagem simbólica a proposição a seguir:

A Universidade a cada dia recebe mais alunos brilhantes e Paulo faz

engenharia.



Estamos diante de uma proposição composta, resultante da combinação de duas

proposições simples, a saber:

- A Universidade a cada dia recebe mais alunos brilhantes - passamos a representar

pela letra proposicional -

- Paulo faz engenharia - passamos a representar pela letra proposicional - Essas proposições estão ligadas pelo conectivo -

Assim, teremos a seguinte representação: p q

Vamos tentar entender construindo uma tabela-verdade.

- p q

- temos duas proposições, portanto, duas linhas.

- para o número de colunas usamos a fórmula 2n – 2x2 = 4

p q

V V

V F

F V

F F

Lembra como foram colocados os valores lógicos? Na primeira coluna, a metadedas linhas é V e a outra metade é F; na segunda coluna, metade das linhas que possuem

valor V na primeira coluna será F e metade das que foram F será V.

Para que você não esqueça:

Para construirmos as tabelas-verdade utilizamos o Principio Fundamental da

Contagem (PFC): o número de linhas sempre depende do número de elementos

combinados e, como uma proposição pode assumir os valores V ou F, o número de linhas

de uma tabela-verdade é dado por 2n, Sendo:1 elemento: 2¹ linhas = 2 linhas

2 elementos: 2² linhas = 4 linhas

3 elementos: 2³ linhas = 8 linhas

Viu como é fácil?

Agora que você já aprendeu a construir uma tabela-verdade vai colocá-la em

prática com as operações lógicas que serão desenvolvidas no capítulo seguinte.

e -



5.3 Aplicando a teoria na prática

Até aqui você pôde aprender que a lógica é uma ferramenta utilizada na

formalização de nossos pensamentos. Quando a utilizamos é possível elaborar o

pensamento de modo mais preciso, apresentar argumentos de forma mais exata e

ponderada, portanto, cometer menos equívocos. Essa é uma afirmação corrente quando

estudamos lógica. Como perceber, na prática, essa afirmação? Especificamente, qual a

importância do estudo da lógica de proposições para nossa vida?

Estudando a lógica das proposições trabalhamos com argumentos. Nossos

argumentos sustentam nossos pontos de vista. Um argumento é um conjunto de

proposições que utilizamos para justificar (provar, dar razão, suportar) algo. É exatamente

o estudo dos argumentos e das proposições o objeto de estudo da lógica dasproposições. Interessa à lógica a validade desses argumentos.

É muito comum, por exemplo, vermos situações em que a capacidade

argumentativa é determinante para decidir os rumos de uma situação. Lembramos aqui

que a verdade é uma propriedade das proposições e a validade é uma propriedade dos

argumentos. Considerando a verdade das proposições, chegaremos à validade ou não de

um argumento.

Veja o caso do direito. Um advogado de defesa consegue muitas vezes diminuir apena, ou até anulá-la, apenas pela capacidade argumentativa.

Eis um exemplo que pode ser representado através da lógica de proposições: um

indivíduo foi julgado por participação em um roubo. Na audiência, intervieram o juiz de

acusação e o de defesa. O de acusação disse: "Se o réu é culpado, então teve um

cúmplice". O de defesa contra argumentou: "Não é verdade!" e não podia ter dito coisa

pior. Deste modo, não só reconheceu a culpabilidade do cliente, mas tornou-o totalmente

responsável pelo delito, agravando a futura pena. O defensor equivocou-se porque não

soube formular corretamente a sua ideia.

Advogado de acusação disse SE O RÉU É CULPADO, ENTÃO TEVE UM

CÚMPLICE. Essa proposição pode ser assim representada:

R = réu é culpado

C = réu tem um cúmplice

Assim teremos: R → C

Sabemos que na condicional só teremos a negação desta proposição se R (o réu é

culpado) for verdadeira e C (o réu tem um cúmplice) for falsa. Nos demais casos a

proposição será verdadeira, portanto o argumento é válido.



O defensor afirmou que a proposição de que o réu tinha um cúmplice não era

verdadeira. Com sua argumentação, ficamos com a seguinte situação:

R → C onde - R é verdadeira e C é falsa.

Assim, o argumento se configura como inválido.

5.4 Para saber mais

LIVRO

Título: Lógica uma introdução voltada para as ciências

Autor: Stan Baronett

Editora: Bookman

Ano: 2009

Nesse livro o autor apresenta uma discussão sobre conceitos básicos de lógica,

matéria exigida em inúmeras disciplinas que exigem raciocínio lógico. Apresenta um texto

escrito de forma clara e acessível, com exemplos que facilitam a compreensão do leitor. A

forma de apresentação do livro o torna atraente pelo projeto gráfico, bem como pelo fato

de o autor aproximar a lógica do cotidiano de todos nós.

5.5 Relembrando

Neste capítulo você ficou sabendo que:

Uma proposição é uma afirmação passível de assumir valor lógico

verdadeiro ou falso.

Apresenta um sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo), um

predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito) e um verbo que se denomina

cópula (elo).De acordo com os estudos de Murcho (2011) não constituem

proposições as seguintes sentenças: exclamativas, interrogativas, imperativas,

prescritivas e compromissivas.

As proposições se baseiam nos princípios que a razão estabelece e

garantem que a realidade é racional:

1. Toda proposição é verdadeira ou falsa (princípio do terceiro excluído);

2. Uma proposição não pode ser verdadeira E falsa (princípio da não-contradição).



Proposições compostas são conectadas através dos seguintes

conectivos:

“~” ou “!” (negação);

“^” (conectivo “e”);

“v” (conectivo “ou”); “→” (conectivo “implica”);

“↔” (conectivo “se, e somente se”).

Os valores lógicos de uma proposição composta são expressos pela

tabela-verdade ou tabela de verdade. Para construir uma tabela-verdade é

preciso considerar:

1. o número de proposições;

2. o número de linhas da tabela verdade;3. a variação dos valores lógicos.

O número de colunas de uma tabela verdade é igual ao número de

proposições que a compõem. O número de linhas é dado pela fórmula 2n, onde n

corresponde ao número de proposições utilizadas.

5.6 Testando os seus conhecimentos

1. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca,

traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:

a) ~q

b) p ^ q

c) p v q

d) p → qe) p → (~q)

2. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala italiano,

traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano.

b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano.

c) Se Ricardo fala italiano, então Roberto fala inglês.

d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano.



3. Escrever na forma simbólica, indicando as proposições simples:

1. Ou a notícia foi publicada, ou o cofre foi aberto.

2. Se o Sr. Wilson não estava dormindo, então já passava de meia noite.

3. A Sra. Wilson mentiu no caso de o Sr. Wilson ter saído da cidade e ocaso foi arquivado.

4. A prova de recuperação estava bastante complexa.

4. Construa uma tabela-verdade para 3 elementos: p, q, r.

Onde encontrar

CARNAVAL, N. Lógica sentencial. Disponível em:<http://www.jusdecisum.com.br/sistema/turma/arquivos/BB%20LOGICA%20E%20MATEM ATICA.pdf >. Acesso em: 10 jun 2011.

FURTADO, E. M. Raciocínio Lógico para concursos. Curitiba: IESDE Brasil Ltda, 2010.

GASPAR, M. Introdução à lógica matemática. Disponível em:<http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica#listapref >. Acesso em: 15 jun 2011.

MURCHO, D. Lógica. Disponível em: <http://dmurcho.com/docs/introlog.pdf >. Acesso em:15 jun 2011.

SOUZA, Michel Aires. A lógica representa uma ordem, de fato a ordem a priori do mundo.Disponível em: http://logicanet.wordpress.com/2007/11/25/18/.Acesso em; 25 nov 2011.

VELASCO, P. D. N. Educando para a argumentação: contribuições do ensino da lógica.Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010. (Coleção Ensino de Filosofia, 3).

http://www.jusdecisum.com.br/sistema/turma/arquivos/BB%20LOGICA%20E%20MATEMATICA.pdf


http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica#listapref

http://dmurcho.com/docs/introlog.pdf

http://logicanet.wordpress.com/2007/11/25/18/

http://logicanet.wordpress.com/2007/11/25/18/

http://dmurcho.com/docs/introlog.pdf

http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica#listapref



raciocinio lÓgico

Documents