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RACIOCNIO LGICO

1

NDICE

1 - NOES DE LGICA ................................................................................................................. 2

1.1 - DEFINIES INICIAIS ......................................................................................................... 2

1.2 - CONECTIVOS LGICOS ...................................................................................................... 2

1.3 - PRINCIPAIS ESTRUTURAS LGICAS E SUAS DENOMINAES .......................................... 3

1.4 - TABELAS-VERDADE DAS ESTRUTURAS FUNDAMENTAIS .................................................. 4

1.5 - OUTRAS DEFINIES ....................................................................................................... 11

1.6 - LEIS FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO LGICO ........................................................... 13

1.7 - REGRAS DE EQUIVALNCIAS ........................................................................................... 13

1.8 - TABELA DAS NEGAES DE PROPOSIES COMPOSTAS ............................................... 14

1.9 - PROPOSIES CATEGRICAS .......................................................................................... 15

1.10 - DIAGRAMAS LGICOS ................................................................................................... 15

1.11 - EXERCCIOS PROPOSTOS I ............................................................................................. 18

1.12 - GABARITO I .................................................................................................................... 29

2 ANLISE COMBINATRIA ...................................................................................................... 30

2.1 - PRICPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO ............................................................................ 30

2.2 - PERMUTAO SIMPLES................................................................................................... 32

2.3 - ARRANJOS SIMPLES ......................................................................................................... 33

2.4 - COMBINAO SIMPLES ................................................................................................... 34

2.5 - PERMUTAO COM REPETIO ..................................................................................... 36

2.6 - ARRANJOS COM REPETIO ........................................................................................... 36

2.7 - COMBINAO COM REPETIO ..................................................................................... 37

2.8 EXERCCIOS RESOLVIDOS II ............................................................................................ 38

2.9 - EXERCCIOS PROPOSTOS II ............................................................................................. 42

BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 52

2

1 - NOES DE LGICA

1.1 - DEFINIES INICIAIS

PROPOSIO toda sentena, expressa em palavras ou smbolos, que pode ser valorada como

VERDADEIRA (V) ou FALSA (F).

Estas sentenas devem ser declarativas, pois as interrogativas, as exclamativas ou outras no

podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas.

Exemplos:

- O Brasil um pas da Amrica do Sul.

- 2 um nmero par.

PROPOSIO SIMPLES ou ATMICA quando a proposio no contm qualquer outra

proposio.

PROPOSIO COMPOSTA ou MOLECULAR quando se pode extrair dela uma outra

proposio.

Exemplos:

- Proposio simples: A terra redonda.

- Proposio Composta: Eduarda filha de Lus e Cludia. Dessa proposio pode se extrair as

proposies: Eduarda filha de Lus e Eduarda filha de Cludia.

1.2 - CONECTIVOS LGICOS

Conectivos lgicos so palavras ou expresses que frequentemente esto presentes nas

proposies. So eles: no, e, ou, se ento, se e somente se.

Exemplo: Se Lus Felipe no adulto ento ele criana ou adolescente.

Essa uma proposio composta com os conectivos lgicos no, se ento, e ou.

3

Os conectivos agem sobre as proposies compostas a que esto ligados de modo que seu

valor lgico (verdadeiro ou falso) depende somente

a) do valor lgico de cada uma das proposies componentes; b) e da forma como essas preposies esto ligadas pelos conectivos lgicos utilizados.

Exemplo

Proposies Valor Lgico

3 um nmero primo V

3 um nmero fracionrio F

3 um nmero primo e fracionrio F

3 um nmero primo ou fracionrio V

1.3 - PRINCIPAIS ESTRUTURAS LGICAS E SUAS DENOMINAES

Estruturas

Fundamentais

Denominaes Representaes Exemplos

No A Negao A 10 no um

nmero par

A ou B Disjuno A B 10 um nmero par

ou um nmero

primo

Ou A ou B Disjuno Exclusiva A B Ou 10 um nmero

par ou 10 um

nmero primo

A e B Conjuno A B 10 um nmero par

e 10 um no primo

Se A, ento B Condicional A B Se 10 um nmero

par ento 10 um

nmero primo

A se e somente se B Bicondicional A B 10 um nmero par

se e somente se 10

um nmero primo.

4

1.4 - TABELAS-VERDADE DAS ESTRUTURAS FUNDAMENTAIS

Negao (A, A , A)

Dada uma proposio A chama-se negao de A preposio A acrescida do conectivo no

ou de outro equivalente.

Exemplo: A: 10 um nmero par

A: 10 no um nmero par.

Outras formas de se expressar a negao:

No verdade que A

falso que A

Tabela-verdade da negao

A A

V F

F V

Disjuno (A B)

Disjuno a proposio composta formada por duas preposies quaisquer que esto ligadas

pelo conectivo ou

Exemplo:

A: 5 um nmero primo

B: 10 um nmero mpar

A B 5 um nmero primo ou 10 um nmero mpar.

5

Tabela-verdade da disjuno (A B)

A B A B

V V V

V F V

F V V

F F F

Exemplos

A B A B

5 um nmero primo (V) 10 um nmero par (V) 5 um nmero primo ou 10

um nmero par (V)

5 um nmero primo (V) 10 um nmero mpar (F) 5 um nmero primo ou 10

um nmero mpar (V)

5 um nmero par (F) 10 um nmero par (V) 5 um nmero par ou 10

um nmero par (V)

5 um nmero par (F) 10 um nmero mpar (F) 5 nmero par ou 10 um

nmero mpar (F)

CONCLUSO: Para uma disjuno ser verdadeira basta uma das proposies ser verdadeira.

Disjuno Exclusiva (A B)

Disjuno exclusiva uma preposio composta formadas por duas preposies quaisquer em

cada uma delas tem est precedida pelo conectivo ou

Exemplo

A: 5 um nmero primo

B: 10 um nmero par

6

A B: Ou 5 um nmero primo ou 10 um nmero par.

Tabela-verdade da disjuno (A B)

A B A B

V V F

V F V

F V V

F F F

Exemplo:

A B A B

5 um nmero mpar (V) 10 um nmero par (V) Ou 5 um nmero mpar ou

10 um nmero par (F)

5 um nmero mpar (V) 10 um nmero mpar (F) Ou 5 um nmero mpar ou

10 um nmero mpar (V)

5 um nmero par (F) 10 um nmero par (V) Ou 5 um nmero par ou 10

um nmero par (V)

5 um nmero par (F) 10 um numero mpar (F) Ou 5 um nmero par ou 10

um nmero mpar (F)

CONCLUSO: Uma disjuno exclusiva verdadeira somente quando as preposies tm

valores lgicos contrrios

Conjuno (A B)

Conjuno a preposio composta por duas preposies quaisquer ligadas pelo conectivo e

Exemplo:

A: 5 um nmero primo

7

B: 10 um nmero par

A B: 5 um nmero primo e 10 um nmero par.

Tabela-verdade da conjuno (A B)

A B A B

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplo

A B A B

5 um nmero mpar (V) 10 um nmero par (V) 5 um nmero mpar e 10

um nmero par (V)

5 um nmero mpar (V) 10 um nmero mpar (F) 5 um nmero mpar e 10

um nmero mpar (F)

5 um nmero par (F) 10 um nmero par (V) 5 um nmero par e 10 um

nmero par (F)

5 um nmero par (F) 10 um nmero mpar (F) 5 um nmero par e 10 um

nmero mpar (F)

CONCLUSO: Uma conjuno s verdadeira se as duas preposies so verdadeiras.

Condicional (A B)

Em uma preposio condicional Se A, ento B a preposio precedida da conjuno se

chamada condio ou antecedente, enquanto a preposio B, precedida da proposio

ento denominada de concluso ou conseqente

8

Exemplo

A: 5 um nmero mpar

B: O dobro de 5 um nmero par

A B: Se 5 um nmero mpar, ento o dobro de 5 um nmero par.

Outras formas de expressar a condicional

Se A, B

B, se A

A implica B

A somente se B

A suficiente para B

B necessrio para A

Tabela-verdade da condicional (A B)

A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

Exemplo

Considere a afirmativa: Se um nmero mpar seu dobro par e as seguintes possibilidades:

A B A B

9

Um nmero mpar (V) O dobro do nmero par (V) Se um nmero mpar, ento

seu dobro par(V)

Um nmero mpar (V) O dobro do nmero mpar

(F)

Se um nmero mpar seu

dobro par (F)

Um nmero par (F) O dobro do nmero par (V) Se um nmero mpar, ento

seu dobro par (V) (porque

nada se disse sobre o dobro de

um nmero par. Como uma

preposio deve ser verdadeira

ou falsa e essa no falsa,

ento ela verdadeira)

Um nmero par (F) O dobro do nmero mpar Se um nmero par, ento

seu dobro mpar (V) (como o

dobro do nmero ser par

estava condicionado ao fato

do nmero ser mpar e sendo o

nmero par no

necessariamente ele deveria

ser par, logo a preposio no

falsa. Portanto ela

verdadeira)

IMPORTANTE: Usualmente quando se tem uma condicional necessrio que as preposies A

e B se relacionem de alguma forma ou guardem uma relao de causa ou efeito. Mas, segundo

as regras da Lgica, mesmo quando no existem essas relaes entre A e B, a proposio A

B s falsa se A verdadeira e B falsa.

Bicondicional (A B)

Bicondicional uma preposio composta de duas preposies quaisquer ligadas pelo

conectivo se e somente se.

Exemplo:

A: 14 mltiplo de 7

B: 14 divisvel por 7

A B: 14 mltiplo de 7 se e somente se 14 divisvel por 7

Outras formas de se expressar a bicondicional

10

A se e s se B

Todo A b e todo B A.

Todo A B e reciprocamente.

Se A ento B e reciprocamente.

A necessrio e suficiente para B.

A suficiente para B e B suficiente para A.

A necessrio para B e B necessrio para A.

Tabela-verdade da condicional (A B)

A B A B

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplo

A B A B

14 mltiplo de 7 (V) 14 divisvel por 7 (V) 14 mltiplo de 7 se e somente se

14 divisvel por 7 (V)

14 mltiplo de 7 (V) 14 no divisvel por 7F 14 mltiplo de 7 se e somente se

14 no divisvel por 7 (F)

14 no mltiplo de 7

(F)

14 divisvel por 7 (V) 14 no mltiplo de 7 se e

somente se 14 mltiplo de 7 (F)

14 no mltiplo de 7

(F)

14 no divisvel por 7 (F) 14 no mltiplo de 7 se e

somente se 14 no divisvel por 7

(V)

11

CONCLUSO: Uma preposio bicondicional s verdadeira se as preposies que a compem

tm o mesmo valor lgico.

1.5 - OUTRAS DEFINIES

Sentenas abertas: A expresso P(x) uma sentena aberta na varivel x se, e somente se,

P(x) se tornar uma preposio sempre que substituirmos a varivel x por qualquer elemento

de um certo conjunto denominado universo do discurso.

Universo do discurso: conjunto de todos os valores que a varivel x pode assumir.

Exemplo:

Universo do discurso: Conjunto de todos os nmeros inteiros

Sentena aberta: O dobro de um nmero inteiro igual a 6.

Sentena matemtica aberta: 2x = 6

Observe que a sentena aberta uma preposio verdadeira para x = 3 e falsa para todos os

demais nmeros inteiros. Entretanto, a preposio conseguida quando se substitui x por todos

os valores do universo ela no tem necessariamente verdadeira.

Tautologia Uma preposio composta uma tautologia se ela for sempre verdadeira,

independente dos valores lgicos das preposies que a compem.

Exemplo: Se 2 um nmero par e primo, ento 2 um nmero par ou 2 um nmero primo.

Tabela-verdade da tautoplogia

A B A B A B A B A B

2 nmero par 2 nmero 2 um nmero 2 um nmero

par ou um

Se 2 um

nmero par e

12

(V) primo (V) par e primo (V) nmero primo

(V)

primo, ento 2

um nmero par

ou um nmero

primo (V)

2 um nmero

par (V)

2 no um

nmero primo

(F)

2 um nmero

par e no

primo (F)

2 um nmero

par ou no um

nmero primo

(V)

Se 2 um

nmero par e

primo ento 2

um nmero par

ou um nmero

primo (V)

2 no um

nmero par (F)

2 um nmero

primo (V)

2 no um

nmero par e

um nmero

primo (F)

2 no um

nmero par ou 2

um nmero

primo (V)

Se 2 um

nmero par e

primo, ento 2

um nmero par

ou um nmero

primo (V)

2 no um

nmero par (F)

2 no um

nmero primo

(F)

2 no um

nmero par e

um nmero

primo (F)

2 no um

nmero par ou 2

no um

nmero primo

(F)

Se 2 um

nmero par e

primo ento 2

um nmero par

ou um nmero

primo (V)

Contradio

Uma proposio composta formada por uma ou mais proposies uma contradio se, e

somente se, independente dos valores lgicos de suas preposies componentes, ela sempre

falsa.

Exemplo

Um nmero par se e somente se ele no par.

Tabela-verdade da Contradio

A A A B

13

V F F

F V F

OBSERVAO: A negao de uma tautologia sempre uma contradio e a negao se uma

contradio sempre uma tautologia.

Contingncia

Uma preposio composta uma contingncia se seu valor lgico depende dos valores lgicos

das preposies que a compem.

Proposies equivalentes:Duas proposies so equivalentes se so compostas pelas mesmas

proposies simples e tm tabelas-verdade idnticas. (A B)

1.6 - LEIS FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO LGICO

1 Lei: Princpio da Identidade: Se uma preposio qualquer verdadeira ento ela

verdadeira. ( P P)

2 Lei: Princpio da no contradio: Nenhuma preposio pode ser verdadeira e tambm

falsa. (P P)

3 Lei: Princpio do terceiro excludo:Uma proposio ou verdadeira ou falsa. (ou P ou P)

1.7 - REGRAS DE EQUIVALNCIAS

Leis da Comutatividade

A B B A A B B A A B B A A B B B

Leis de Associatividade

(A B) C A (B C)

14

(A B) C A (B C)

Leis da Distributividade

A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)

Lei da dupla negao

( A) A

Lei das Equivalncias da Condicional

A B A B A B B A

Leis das Equivalncias da Bicondicional

A B (A B) (B A) A B (A B) (B A) A B (A B)

1.8 - TABELA DAS NEGAES DE PROPOSIES COMPOSTAS

Proposio Negao direta Equivalente da negao

A e B No (A e B) No A e no B

A ou B No (A ou B) No A ou no B

Se A ento B No (se A ento B) A e no B

A se e somente se B No (A se e somente se B) Ou A ou B

Todo A B No (todo A B) Algum A no B

Algum A B No (algum A B) Nenhum A B

15

1.9 - PROPOSIES CATEGRICAS

Na Lgica clssica (aristotlica) usa-se apenas quatro tipos de proposies, denominadas

proposies categricas. Elas podem ser universais ou particulares e so

Afirmativas Negativas

Universais Todo A B Nenhum A B

Particulares Algum A B Algum A no B

1.10 - DIAGRAMAS LGICOS

Diagrama lgico um esquema de representao das relaes entre as diversas partes que

compem uma proposio. O modelo mais usado so os diagramas de Venn-Euler.

Nesses modelos, o universo do discurso (conjunto de tudo que se admite como possvel em

um dado contexto) representado por um retngulo e cada proposio indicada por uma

regio delimitada dentro do universo do discurso.

Ao representar uma estrutura lgica por um diagrama, somente as regies para as quais o

resultado da tabela-verdade da estrutura representada for verdadeiro sero sombreadas.

Diagrama da Negao

A

1

2

U Uma proposio verdadeira em qualquer ponto dentro de sua regio e falsa em todos os demais pontos do universo. Assim, na regio 1 do diagrama ao lado A verdadeira e na regio B ela falsa.

16

Diagrama da Conjuno

A B

Diagrama da Disjuno

A BA

Diagrama da disjuno exclusiva

A

A

Se a proposio for representada pelo conjunto A, ento a negao no A corresponder ao conjunto complementar de A.

A B corresponde interseo A B

A B corresponde unio A B

17

A BA

Diagrama da Condicional

a) Sombreando somente as regies correspondentes aos resultados V da tabela-verdade da

proposio condicional.

A BA B

b) Como a incluso do conjunto A no conjunto B

A AB

A B corresponde ao conjunto (A B) (B-A)

18

Diagrama da Bicondicional

A

A=B

A BB

1.11 - EXERCCIOS PROPOSTOS I

1) Considere a seguinte afirmativa : Todos os bons alunos tiram notas boas Em relao a essa

proposio correto afirmar que

(a) Alguns bons estudantes no tiram notas boas.

(b) O conjunto dos bons estudantes contm o conjunto dos alunos que tiram notas boas.

(c) Todo bom estudante tira notas boas.

(d) Nenhum bom estudante tira notas boas.

(e) O conjunto dos bons estudantes contm o conjunto dos estudantes que tiram notas boas.

2) ) Considere a seguinte afirmativa : Todo brasileiro gosta de samba Em relao a essa

proposio correto afirmar que

(a) toda pessoa que gosta de samba brasileira.

A B corresponde igualdade dos conjuntos A e B A (V) e B (V)

(V) B A (F)B~ e (F)A ~

(V) B e (V)A

19

(b) toda pessoa que no brasileira no gosta de samba.

(c) toda pessoa que no gosta de samba no brasileira.

(d) algum brasileiro no gosta de samba.

(e) alguma pessoa que no gosta de samba brasileira.

3) Se Duda bonita ento Marina graciosa. Se Marina graciosa ento Cludia autoritria.

Sabe-se que Cludia no autoritria. Nessas condies correto afirmar que

(a) Duda no graciosa.

(b) Marina no bonita.

(c) Duda no autoritria.

(d) Cludia no bonita.

(d) Duda no bonita

4) Todo atleta musculoso. Nenhum mineiro musculoso. Nessas condies correto afirmar

que

(a) algum atleta mineiro.

(b) nenhum atleta mineiro.

(c) nenhum atleta musculoso.

(d) algum que musculoso mineiro.

(e) nenhum mineiro atleta.

5) Se tem sol faz calor. Nessas condies correto afirmar que

(a) Ter sol condio necessria para fazer calor.

(b) Fazer calor condio suficiente para ter sol.

(c) Fazer sol condio necessria e suficiente

20

(d) Fazer sol condio suficiente para fazer calor.

(e) Fazer calor condio necessria e suficiente para ter sol.

6) Represente por diagrama de Venn-Euler

a) Algum A B

b) Algum A no B

c) todo A B

d) nenhum A B

7) Considere as seguintes proposies

I 4+3 = 7 e 2 + 6 = 8

II 5 > 2 e 10 < 12

III 4 = 7 e 5 < 1

Em relao a elas correto afirmar que

a) todas so falsas.

b) I e II so falsas

c) somente III falsa

d) Somente I verdadeira.

e) somente II falsa.

8) Considere as proposies

I 2 + 3 = 5 ou 4 + 5 = 9

II 8 < 3 e 6 < 5

21

III 3 < 0 ou 2 = 8

Em relao a elas correto afirmar que

a) todas as proposies so falsas

b) somente III falsa

c) somente II falsa

d) I e II so falsas.

e) I falsa ou II falsa.

9) Assinale a afirmativa falsa.

a) Se 2 mpar, ento 5 mpar.

b) Se 4 mpar, ento 1 menor que 5.

c) Se 6 par, ento 5 menor que 2.

d) Se 3 maior que 2, ento 8 menor que 9.

e) Se 5 par, ento 3 maior que 7

10) A negao da proposio Todas as mulheres so vaidosas

a) todos os homens so vaidosos.

b) algumas mulheres so vaidosas.

c) nenhuma mulher vaidosa.

d) todos os homens no so vaidosos.

e) nenhum homem vaidoso

22

11) Considere as proposies

P1: Todos os bebs so pequenos

P2: Pessoas pequenas tm baixa estatura

P3: Quem sabe jogar vlei no tem baixa estatura.

Assinale a nica alternativa que uma conseqncia lgica das trs proposies apresentadas.

a) Bebs no sabem jogar vlei.

b) Pessoas de baixa estatura so bebs.

c) Pessoas de baixa estatura no sabem jogar vlei.

d) Pessoas pequenas no sabem jogar vlei.

As questes 12 e 13, a seguir referem-se ao seguinte texto: Os sobrenomes de Ana, Beatriz

e Carla so Arantes, Braga e Castro, mas no necessariamente nesta ordem. A de sobrenome

Braga, que no Ana, mais velha que Carla e a de sobrenome Castro a mais velha das

trs.

12) (Apostila MRE/2009 - Vestcon) Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla so respectivamente

a) Arantes, Braga e Castro.

b) Arantes, Castro e Braga

c) Castro, Arantes e Braga

d) Castro, Braga e Arantes.

e) Braga, Arantes e Castro

13) (Apostila MRE/2009 - Vestcon) Nomeando-as em ordem crescente de idade, teremos

a) Ana, Beatriz e Carla.

23

b) Carla, Ana e Beatriz.

c) Beatriz, Carla e Ana.

d) Ana, Carla e Beatriz

e) Carla, Beatriz e Ana

14) (AFC/96) Se Beto briga com Glria, ento Glria vai ao cinema. Se Glria vai ao cinema,

ento Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, ento Raul briga com Carla. Ora, Raul no briga

com Carla, logo

a) Carla no fica em casa e Beto No Briga com Glria.

b) Carla fica em casa e Glria vai ao cinema.

c) Carla no fica em casa e Glria vai ao cinema.

d) Glria vai ao cinema e Beto briga com Glria.

e) Glria no vai ao cinema e Beto briga com Glria.

15) (AFC/96) Trs irms Ana, Maria e Cludia foram a uma festa com vestidos de cores

diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco e a terceira preto. Chegando festa, o anfitrio

perguntou qual era uma delas. A de azul respondeu: Ana a que est de branco A de branco

falou: Eu sou MariaE a de preto disse Cludia quem est de branco Como o anfitrio

sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria s vezes diz a verdade e que Cludia nunca diz

a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos

vestidos de Ana, Maria e Cludia eram, respectivamente,

a) preto, branco, azul.

b) preto, azul, branco.

c) azul, preto, branco.

d) azul, branco, preto.

e) branco, azul, preto.

24

16) (Apostila MRE/2009 - Vestcon) Dizer que verdade que para todo x, se x r e se x

verde, ento x est saltando logicamente equivalente a dizer que no verdade que

a) algumas rs que no so verdes esto saltando.

b) algumas rs verdes esto saltando.

c) nenhuma r verde no est saltando.

d) existe uma r verde que no est saltando.

e) algo que no seja uma r verde est saltando.

17) Se voc no estudar, ento ser reprovado. Sobre essa proposio correto afirmar que

a) no estudar condio suficiente para ser reprovado.

b) no estudar condio necessria para ser reprovado.

c) se voc estudar ento ser aprovado.

d) voc ser reprovado s se no estudar.

e) mesmo que voc no estude voc no ser reprovado

18) Se os pais de professores so sempre professores, ento correto afirmar que

a) os filhos de no professores nunca so professores.

b) os filhos de no professores sempre so professores.

c) os filhos de professores sempre so professores

d) os filhos de professores quase sempre so professores.

e) alguns filhos de professores so professores.

19) Sejam x e y dois nmeros reais quaisquer. Sendo assim, assinale a alternativa correta.

a) Se verdade que x y ento falso que x y.

25

b) Se verdade que x > y e ento verdade que x y.

c) Se verdade que x y, ento falso que x y.

d) Se verdade que x < y, ento falso que x y

e) Se verdade que x y, ento verdade que x y

20) Sejam x e y dois nmeros reais quaisquer e as afirmativas

I Se falso que x < y, ento verdadeiro que x > y.

II Se falso que x < y, ento verdade que x y.

III Se falso que x = y, ento verdade que ou x < y ou x > y

Em relao as essas afirmativas correto dizer que

a) Todas as afirmativas so falsas.

b) As afirmativas I e III so falsas

c) As afirmativas I e II so verdadeiras.

d) As afirmativas II e III so verdadeiras.

e) Todas as afirmativas so verdadeiras

21) (VUNESP) Todos os marinheiros so republicanos. Assim sendo:

a) o conjunto de marinheiros contm o conjunto dos republicanos.

b) o conjunto dos republicanos contm o conjunto dos marinheiros.

c) todos os republicanos so marinheiros.

d) algum marinheiro no republicano.

e) nenhum marinheiro republicano.

26

22) (VUNESP) Assinale a afirmativa que apresenta uma contradio.

a) Todo espio no vegetariano e algum vegetariano espio.

b) Todo espio vegetariano e algum vegetariano no espio.

c) Nenhum espio vegetariano e algum espio no vegetariano

d) Algum espio vegetariano e algum espio no vegetariano.

e) Todo vegetariano espio e algum espio no vegetariano.

23) (VUNESP) Todos os que conhecem Joo e Maria admiram Maria. Alguns que conhecem

Maria no a admiram. Logo:

a) todos que conhecem Maria a admiram.

b) ningum admira Maria.

c) Alguns que conhecem Maria no conhecem Joo.

d) quem conhece Joo admira Maria.

e) s quem conhece Joo e Maria conhece Maria.

24) (VUNESP) Valter tem inveja de quem mais rico do que ele. Geraldo no mais rico do

que quem o inveja. Logo:

a) quem no mais rico do que Valter mais pobre que Valter.

b) Geraldo mais rico do que Valter.

c) Valter no tem inveja de quem mais rico do ele.

d)Valter inveja s quem mais rico do que ele.

e) Geraldo no mais rico que Valter

27

25) (VUNESP) Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de gasolina e a banca de

jornal, e o posto de gasolina fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo:

a) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria.

b) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a padaria.

c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de jornal.

d) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina.

e) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria.

26) (VUNESP) Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana. Ftima corre tanto

quanto Juliana. Logo:

a) Ftima corre menos do que Rita.

b) Ftima corre mais que Marta.

c)Juliana corre menos do que Rita

d) Marta corre mais do que Juliana.

e) Juliana corre menos do que Marta.

27) (BACEN Analista) Aldo, Ben e Caio receberam uma proposta para executar um projeto.

A seguir esto registradas as declaraes dadas pelos trs, aps a concluso do projeto.

- Aldo: No verdade que ben e Caio executaram o projeto.

- Ben: Se Aldo no executou o projeto, ento Caio o executou.

- Caio: Eu no executei o projeto, mas Aldo e Ben o executaram.

Se somente a afirmao de Ben falsa, ento o projeto foi executado APENAS por

a) Aldo

b) Ben

c) Caio

d) Aldo e Ben

28

e) Aldo e Caio

28) (BACEN Analista) Sejam as proposies:

p: atuao compradora de dlares por parte do Banco Central.

q: fazer frente ao fluxo positivo.

Se p implica q, ento

a) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio necessria para

fazer frente ao fluxo positivo.

b) Fazer frente ao fluxo positivo condio suficiente para a atuao compradora de dlares

por parte do Banco Central.

c) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio suficiente para

fazer frente ao fluxo positivo.

d) Fazer frente ao fluxo positivo condio necessria e suficiente para a atuao compradora

de dlares por parte do Banco Central.

e) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central no condio suficiente e

nem necessria para fazer frente ao fluxo positivo.

29) (IPER Tcnico) Quando no vejo Lcia, no passeio e fico deprimido. Quando chove, no

passeio e fico deprimido. Quando no faz calor e passeio, no vejo Lcia. Quando chove e

estou deprimido, no passeio.

Hoje passeio. Portanto, hoje

a) vejo Lcia, e no estou deprimido, e no chove e faz calor.

b) no vejo Lcia, e estou deprimido, e chove e faz calor.

c) no vejo Lcia, e estou deprimido, e no chove, e no faz calor.

d) vejo Lcia, e no estou deprimido, e chove, e faz calor.

e) vejo Lcia, e estou deprimido, e no chove, e faz calor.

29

30) (IPER Tcnico) Considerando toda prova de Lgica difcil uma proposio verdadeira,

correto inferir que

a) nenhuma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamente verdadeira.

b) alguma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamente verdadeira.

c) alguma prova de Lgica difcil uma proposio falsa e verdadeira.

d) alguma prova de Lgica no difcil uma proposio necessariamente verdadeira.

e) alguma prova de Lgica no difcil uma proposio verdadeira e falsa.

1.12 - GABARITO I

Questo Questo

1 e 2 c 3 e 4e

5 d 6 a

A B

6b

A BA

6c

B

A

6d

AB

7 c

8 e 9 b

10 c 11 a 12 d 13 e

14 a 15 b 16 a 17a

18 a 19b 20 d 21b

30

22 a 23 c 24 e 25 e

26 b 27 e 28 c 29 d

30 b

2 ANLISE COMBINATRIA

2.1 - PRICPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO

Em anlise Combinatria h dois princpios fundamentais o Princpio Aditivo e o Princpio

Multiplicativo ou Princpio Fundamental da Contagem

Vejamos um exemplo de um problema em que se usa o princpio aditivo para resolv-lo.

Em uma escola foi feita uma enquete para saber quem prefere futebol ou vlei. O resultado foi

o seguinte: 230 alunos gostam de futebol, 150 gostam de vlei e 80 alunos gostam dos dois

esportes. Quantos alunos tem essa escola?

Em princpio parecem ser 230 + 150 + 80 = 460 alunos. Entretanto, h que se observar que

entre os alunos que gostam de futebol podem existir alunos que tambm gostam de vlei,

portanto, o nmero de alunos que gostam somente de futebol 230 80 = 150. Da mesma

maneira, o nmero de alunos que gostam somente de vlei 150 80 = 70. Sendo assim, o

nmero de alunos da escola ser:

Nmero de alunos que gostam s de futebol + nmero de alunos que gostam s de vlei +

nmero de alunos que gostam de futebol e vlei, ou seja, 150 + 70 + 80 = 300 alunos.

Isto porque, segundo o teorema:

Sendo A e B conjuntos finitos, o nmero de elementos da unio de A e B dado por:

n(AB) = n(A) + n(B) - n(AnB);

31

em que n() representa o nmero de elemento de um conjunto.

Mas, existe outra situao, na qual os conjuntos so disjuntos, isto , no h elementos que

pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo.

Se A e B so dois conjuntos disjuntos, sendo m o nmero de elementos de A e n o de

elementos de B, ento o nmero de elementos do conjunto A U B m + n

Exemplo: Em uma confeitaria existem 5 tipos de salgados - empada, coxinha, pastel, quibe e

casulo - e 3 tipos de suco de uva, de laranja e abacaxi. Se Flvia vai lanchar e s pode comer

um salgado e tomar um suco, quantos so os possveis pedidos que ela pode fazer?

Ora, ela pode escolher um entre os 5 salgados e um entre os 3 sucos, logo, ela poder fazer 8

tipos de pedidos.

PRINCPIO MULTIPLICATIVO OU PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Considere o seguinte problema:

Quero ir da cidade A cidade C, passando pela cidade B. Sabendo-se que h 3 caminhos para

ir de A B e 4 caminhos para ir de B a C, de quantos maneira possveis posso fazer essa

viagem?

Uma das maneiras de se resolv-lo usando a rvore de possibilidades.

Sejam B1, B2, B3 os trs caminhos para ir de A a B e C1, C2, C3 e C4 os caminhos para ir de B a

C. Ento teremos:

32

C4C3C2C1

B3

C4C3C2C1

B2

C4C3C2C1

1B

A

2.2 - PERMUTAO SIMPLES

Intuitivamente, permutar significa misturar e essa a idia que usamos para resolver

problemas de permutao simples.

Considere o seguinte problema:

Com os algarismos 3,5,7,9 e sem repeti-los, quantos nmeros de quatro algarismos podem ser

formados.

Utilizando a rvores de possibilidades, temos

Contando todas as possibilidades de viagem verificamos que so possveis 3 x 4 = 12 trajetos. De modo geral podemos dizer:

Se um evento composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que exista m possibilidades na primeira etapa e n possibilidades na segunda etapa, ento o

O Princpio Multiplicativo se aplica para qualquer nmero de etapas independentes. Por exemplo, se tivssemos um evento com 4 etapas independentes sendo m, n, p e q o nmero de possibilidades de cada etapa, respectivamente, ento o total de possibilidades do evento acontecer ser m x n x p x q

33

3553

7

3773

5

57753

9

35539

3993

5

59953

7

37739

3993

7

79973

5

97759

5995

7

7997

5

3

Pelo princpio multiplicativo, temos que o total de possibilidades 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Observe que nesse exerccio, a ordem dos algarismos muito importante. Todos os nmeros

se diferem pela ordem de seus algarismos.

Portanto, se temos n elementos distintos, ento o nmero de agrupamentos ordenados que

podemos obter dado por n(n-1)(n-2)(n-3)3.2.1

Esses agrupamentos ordenados (que diferem pela ordem) so chamados permutao simples

e representados por

O nmero n(n-1)(n-2)(n-3).3.2.1 chamado fatorial de n e representado por n!

2.3 - ARRANJOS SIMPLES

Vejamos agora a seguinte situao:

Considere os nmeros 1,2,3,4. Quantos e quais so os nmeros formados por dois

algarismos?

Temos como soluo os nmeros 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43, perfazendo um

total de 12 nmeros.

Pn = n(n-1)(n-2)(n-3).3.2.1

34

O que fizemos foi arranjarmos 4 algarismos agrupados 2 a 2.

Esse tipo de agrupamento chamado arranjo simples e representado por A4,2

Nesse problema temos que A4,2 = 4.3

De modo geral temos

Arranjo simples de n elementos tomados p a p (n p) so agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados.

Matematicamente representamos

2.4 - COMBINAO SIMPLES

Em Anlise Combinatria, intuitivamente o conceito de combinao est associado noo de

escolher subconjuntos.

Considere o problema de combinao simples:

Um time de basquete formado por Lus Felipe, Flvio, Andr, Pedro e Diogo. Em uma

apresentao, trs deles deve representar o time. Quais e quantas so as possibilidades de

representar essa equipe?

As representaes possveis so:

Lus Felipe, Flvio e Pedro

An,p = n(n-1)(n-2) (n-p+1) ou

An,p = p)!(nn!

35

Lus Felipe, Flvio e Diogo

Lus Felipe, Pedro e Diogo

Flvio, Andr e Pedro

Flvio, Andr e Diogo

Andr, Pedro e Diogo

em um total de 6 representaes, pois todos os outros subconjuntos so iguais a esses, j que

conjuntos com os mesmos elementos so iguais independentemente da ordem.

Escrevemos C5,3 = 6

De modo geral temos:

Combinao simples de n elementos tomados p a p (p n) so os subconjuntos de exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.

Indicamos a combinao simples de n elementos tomados p a p por Cn,p ou npC , ou

pn

.

O nmero total de combinaes simples que se pode formar com n elementos tomados p a p

dado por

Cn,p = )!pn(!p!n

= Cn,p = !p)!pn(!n

ou

A

36

2.5 - PERMUTAO COM REPETIO

Seja o problema

Quantos so os anagramas da palavra SAPATO?

Anagrama uma palavra obtida a partir de outra pela mudana de posio de suas letras.

Se as letras A fossem diferentes, teramos: S, A1, P, A2, T, O e o nmero de anagramas possveis

seria P6. Como a mudana de localizao dos As no produzir um novo anagrama,

necessrio que se divida P6 por P2.

Assim, a soluo correta do problema

360 2!

6x5x4x3x2!

2!6!

PP

26

===

De maneira geral, temos

A permutao de n elementos dos quais a so de um tipo, b de outro e c de outro tipo, com

a+b+c=n dada por

c! b! a!n!

P c,b,an =

2.6 - ARRANJOS COM REPETIO

Definio:

Seja A um conjunto com n elementos distintos. Chama-se arranjo com repetio dos n

elementos tomados p a p, aos grupamentos contendo n elementos distintos ou no, de modo

que dois agrupamentos sejam diferentes pela ordem ou pela natureza de seus elementos.

37

Representamos o arranjo com repetio de n elementos tomados p a p por pn)AR(

O nmero de agrupamentos possveis dado por

Exemplo: Seja A = {2,5} Quantos agrupamentos de 3 elementos podemos obter com esses

nmeros?

Os agrupamentos possveis so: 222, 225, 252, 255, 522, 525, 552, 555, em um total de 8.

Aplicando-se a frmula temos 82 )AR( 332 ==

2.7 - COMBINAO COM REPETIO

Definio

Seja A um conjunto de n elementos distintos. Combinao com repetio desses n elementos,

tomados p a p (ou de ordem p) todo agrupamento contendo p elementos (distintos ou no)

de A.

Representamos a combinao com repetio de n elementos tomados p a p por pn)CR(

O nmero total de combinaes com repetio de n elementos tomados p a p dado por

ppn n )AR( ====

!p2)...(n1)(nn(n

)CR( pn ++++++++++++====

38

Exemplo:

Seja o conjunto A = {1,2,3,4}. Qual o nmero total de combinaes com repetio dos

elementos de A, tomados 2 a 2?

Soluo:

Os agrupamentos possveis so: 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44 totalizando 10

agrupamentos.

Usando a frmula temos

102

202!

5 x 4)CR( 24 ===

2.8 EXERCCIOS RESOLVIDOS II

1) Quantos anagramas tem a palavra FATO

Soluo: Como a palavra no possui letras repetidas, para resolver o problema basta calcular

P4.

P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

2) De quantas maneiras possveis se pode arrumar 3 bolas, uma azul, uma vermelha e uma

branca.

Soluo: Chamando de A a bola azul, de V a vermelha e de B a branca teremos

AVVA

B ABBA

VVBBV

A

39

Contando as possibilidades teremos 6 formas possveis.

O problema tambm pode ser resolvido calculando-se P3

P3 = 3 x 2 x 1 = 6

3) De quantas maneiras podem ser arrumadas as letras da palavra MARCANTE, de modo que

as letras M, A, R se mantenham juntas, em qualquer ordem.

Soluo: Consideremos as letras M, A, R juntas como se fossem uma letra s. Ento teremos

P6.

Entretanto, como as letras podem aparecer em qualquer ordem, temos P3.

Assim, o nmero total de modos possveis P6 x P3 = 6! X 3! = (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) x (3 x 2 x 1)

= 720 x 6 = 4320

4) Simplifique a expresso 27!

28! !30 +

Soluo:

24388!27

)2824360(!27!27

28) 28 x 29 x (30 27!

!2727! x 28 27! x 28 x 29 x 30

=

+=

+=

+

4) Considere a palavra MALUCO.

a) Quantos anagramas possui essa palavra?

b) Quantas palavras de 4 letras distintas podemos formar?

c) Quantas dessas palavras comeam com a letra L?

d) Quantas contm a letra M?

e) Quantas no contm a letra M?

Soluo

a) P6 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Sem usar a frmula podemos raciocinar

40

Para a primeira letra temos 6 possibilidades, para a segunda 5, para a terceira letra 4, para a

quarta 3, para a quinta letra temos 2 possibilidades e para a sexta 1 possibilidade.

Da temos: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

b) A6,4 = 360!22! x 3 x 4 x 5 x 6

!4!6

==

Com raciocnio anlogo ao da letra a) podemos resolver esse item sem usar frmula.

c) Fixando a letra M, temos 5 possibilidades para a segunda letra, 4 possibilidades para a

terceira e trs para a quarta, duas possibilidades para a quinta e uma possibilidade para a

sexta letra, ou seja,

5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Ou ainda A6,3 = 120!33! x 4 x 5 x 6

=

d) Colocando o M temos A5,3 = 60!22! x 3 x 4 x 5

= . Como o M pode ocupar a primeira,

segunda, terceira ou quarta posio devemos multiplicar 20 por 4. Portanto, temos

60 x 4 = 2400.

e) Retirando-se o M temos 5 letras. Como as palavras devem ter 4 letras, ento temos

A5,4 = 12011 x 2 x 3 x 4 x 5

=

5) Sabendo-se que um time de vlei tem 6 jogadores e que o tcnico tem 10 atletas sua

disposio, de quantas maneiras diferentes ele pode escalar seu time?

Soluo: Estamos procurando todos os subconjuntos de um conjunto de 10 jogadores. Como a

ordem no importa e os subconjuntos devem ter 6 elementos, trata-se de 106C .

106C = 21024

50401) x 2 x 3 x 4( !66! x 7 x 8 x 9 x 10

4! !6!10

===

41

6) Em um jogo de so distribudas 5 cartas para cada jogador de um total de 18 cartas. De

quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas cartas?

Soluo: 8568120

102816013! )1x2x3x4x5(

13! x 14 x 15 x 16 x 17 x 1813! 5!

18!C185 ====

7) Uma comisso de alunos formada por duas meninas e trs meninos. Para form-la

candidataram-se 5 meninas e 9 meninos. De quantas maneira diferentes essa comisso poder

ser formada?

Soluo: Para a escolha das alunas temos 103! )1x2(3! x 4 x 5

3! !2! 5C52 ===

Para a escolha dos meninos temos 84!6 )1x2x3(6! x 7 x 8 x 9

6! 3!9!C93 ===

O nmero total de maneiras de se formar a comisso mista dado por

840 84 . 10 C . C 9352 ==

8) Quantos anagramas tem a palavra ARARAQUARA?

Soluo: 67206

403201) x 2 x (3 !5

5! x 6 x 7 x 8 x 9 x 103! !5!10P 3,510 ====

9) Dos anagramas possveis da palavra ARARAQUARA, quantos comeam com a letra U?

Soluo: 5046

30241) x 2 x (3 !5

5! x 6 x 7 x 8 x 93! 5!!9P 1,3,59 ====

42

10) Quantos nmeros de 2 algarismos, distintos ou no, pode-se obter com os algarismos 3, 4

e 5?

Soluo: P3 = 3 x 2 x 1 = 6

2.9 - EXERCCIOS PROPOSTOS II

1) (UFMG) Numa competio esportiva, dez atletas disputam os trs primeiros lugares.

Admitindo-se que no haja empate, quantos resultados so possveis para as trs primeiras

colocaes?

a) 30

b) 120

c) 240

d) 580

e) 720

2) Os nmeros mpares (sem algarismos repetidos) entre 100 e 200 formados pelos algarismos

2,3,4, 8 e 9 so em nmero de

a) 12

b) 24

c) 56

d) 72

e) 84

3) (UC) Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8, sem repetio, a quantidade de nmeros inteiros entre

1000 e 2000 que se pode formar

a) 5 . 34A

43

b) P4

c) C4,3

d) A4,3

e) 5 . P4

4) Com 8 jogadores o nmero de equipes de basquete (5 jogadores) que podemos formar

a) 15

b) 35

c) 56

d) 75

e) 125

5) (UFPA) Quantos so os anagramas da palavra BRASIL comeados por B e terminados por L?

a) 24

b) 120

c) 240

d) 720

e) 1440

6) (FUVEST) O nmero de anagramas da palavra FUNVEST que comeam e terminam por vogal

a) 24

b) 48

c) 96

44

d) 120

e) 144

7) Um certo nmero de garrafas distinguveis foi arranjado de 2 em 2, de todas as maneiras

possveis. O nmero desses arranjos foi 20. Ento o nmero de garrafas era:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 10

e) 12

8) (ICES-FAC) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 so formados nmeros de quatro dgitos distintos.

Dentre eles, a quantidade dos que so divisveis por 5 :

a) 20

b) 30

c) 60

d) 120

e) 180

45

9) (UFMG) Numa cidade A, os nmeros de telefones tm sete algarismos, sendo que os trs

primeiros constituem o prefixo da cidade. Os telefones que terminam em 10 so reservados

para as farmcias e os que tm os dois ltimos algarismos iguais, para os mdicos e hospitais.

A quantidade dos demais nmeros de telefones disponveis na cidade A :

a) 1650

b) 2100

c) 4800

d) 8900

e) 9000

10) (PUC-MG) Deseja-se guardar 10 bolas em quatro caixas, cada uma delas podendo conter

de 0 a 10 bolas. De quantas maneiras possvel distribuir essas bolas?

a) 336

b) 286

c) 226

d) 216

e) 126

11) (PUC-MG) Um tcnico de futebol de salo tem disposio 8 jogadores e 2 goleiros. Um

time deve ter 4 jogadores de linha e um goleiro. O nmero de times distintos que o tcnico

pode escalar :

a) 60

b) 70

c) 80

d) 120

e) 140

46

12) (PUC-MG) Em um grupo de 10 professores, 3 so professores de matemtica. O nmero de

comisses de 6 professores, dos quais pelo menos um professor de matemtica :

a) 120

b) 175

c) 192

d) 203

e) 210

13) (UNISINOS-RS) Numa prova de 12 questes, um aluno deve escolher 10 para responder. O

nmero de escolhas diferentes que o aluno poder fazer :

a) 66

b) 120

c) 132

d) 260

e) 264

14) (UNICRUZ) Numa sala h 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas

pessoas podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em p?

a) 2520

b) 5040

c) 21

d) 120

e) n.d.r

47

15) (ULBRA) Usando a primeira letra do nome de cada um dos seguintes pases: Brasil,

Argentina, Uruguai e Paraguai, todas as possibilidades de criao de siglas so em nmero de:

a) 5

b) 6

c) 8

d) 12

16) (PUC SP) Buscando melhorar o desempenho de seu time, o tcnico de uma seleo de

futebol decidiu inovar: convocou apenas 15 jogadores, 2 dos quais s jogam no gol e os demais

atuam em quaisquer posies, inclusive no gol. De quantas maneiras ele pode selecionar os 11

jogadores que iro compor seu time titular?

a) 450

b) 480

c) 550

d) 580

e) 650

17) (UFscar-SP) A cmara municipal de um determinado municpio tem exatamente 20

vereadores, sendo que 12 deles apiam o prefeito e os outros so contra. O nmero de

maneiras diferentes de se formar uma comisso contendo exatamente 7 vereadores

situacionais e 3 oposicionistas :

a) 27720

b) 13860

c) 551

d) 495

e) 56

48

18) (FUVEST-SP) Em um programa transmitido diariamente, uma emissora de rdio toca

sempre as mesmas 10 msicas, mas nunca na mesma ordem.Para esgotar as possveis

sequncias dessas msicas sero necessrios aproximadamente:

a) 100dias

b) 10 anos

c) 1 sculo

d) 10 sculos

e) 100 sculos

19) (UFSM-RS) De quantas maneiras distintas podem-se alinhar cinco estacas azuis idnticas,

uma vermelha e uma branca?

a) 12

b) 30

c) 42

d) 240

e) 5040

20) (ITA SP) Quantos nmeros de seis algarismos distintos podemos formar usando os dgitos

1,2,3,4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posies adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre

ocupam posies adjacentes?

a) 144

b) 180

c) 240

d) 288

e) 360

49

21) Considerando as permutaes possveis com as letras da palavra MARASMO, incluindo as

repeties obtemos um nmero

a) menor que 1 000

b) entre 1 000 e 1 500

c) entre 2 000 e 2 500

d) entre 2 500 e 5 000

e) maior que 5 000.

22) O nmero de permutaes distintas obtidas com as letras da palavra PARALELA

a) 3 360

b) 6 720

c) 20 160

d) 40 320

e) n.d.a

23) Com os dgitos 1, 1, 2, 2 e 3 quantos nmeros pares de cinco algarismos podem ser

formados?

a) 15

b) 24

c) 30

d) 48

e) 60

50

24) (UFU MG) O nmero de anagramas da palavra ERNESTO que comeam e terminam por

consoante :

a) 480

b) 720

c) 1 440

d) 1 920

e) 5 040

25) (Mack) Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes

nacionalidades, sendo um nico brasileiro. Ela dispe de 4 carros, de cores distintas, dos quais

somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em

cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiro, o nmero de inscries diferentes

que ela pode fazer para uma corrida onde ir participar com 3 carros :

a) 15

b) 30

c) 45

d) 90

e) No sei

26) (UF-CE) A quantidade de nmeros pares de 4 algarismos distintos que podemos formar

com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9 :

a) 20

b) 60

c) 240

d) 360

e) N.d.a

51

27) As placas dos automveis so formadas por trs letras seguidas de 4 algarismos. O nmero

de placas que podem ser formadas com as letras A, E, M e os algarismos pares, sem repetir

nenhum algarismo, :

a) 3 . C5,4

b) 3 . A5,4

c) 6 . C5,4

d) 6. A5,4

e) 6 . P4

28) (Cesgranrio) Um mgico se apresenta em pblico, vestindo cala e palet de cores

diferentes. Para que ele se possa apresentar em 24 sesses com conjuntos diferentes, o

nmero de peas (nmero de palets mais o nmero de calas) de que ele precisa :

a) 24

b) 13

c) 12

d) 10

e) 8

II I GABARITO II

1) e 2) b 3) d 4) c

5) a 6) b 7) b 8) c

9) d 10) b 11) e 12) d

13) a 14) a 15) a 16) e

17) e 18) e 19) c 20) a

52

21) b 22) a 23) c 24) b

25) d 26) b 27) d 28) d

BIBLIOGRAFIA

BRUNELLI, Remo Loschi. Matemtica Livro 1. Belo Horizonte: Colgio Loyola, 1999 (Apostila)

CABRAL, Luiz Cludio. NUNES, Mauro Csar. Raciocnio Lgico e Matemtica para Concursos.-

4.ed.Rio de Jabeiro: Elsevier, 2008

DANTE, Luiz Roberto. Matemtica Contexto & Aplicaes. So Paulo. tica, 2004 vol 2

GIOVANNI, Jos Ruy. BONJORNO, Jos Roberto. Matemtica 2 Grau. So Paulo: FTD, 1999

vol 2

MODELO Pr Vestibular. Superintensivo Primeira Etapa. Belo Horizonte: Modelo, 1999

(Apostila)

PIMENTEL, Ernani et all. Ministrio das Relaes Exteriores Oficial de Chancelaria Nvel

Superior.Braslia: Vestcon, 2008 (Apostila)

RIBEIRO, Renato Pinto. Matemtica Mdulo III. Belo Horizonte: Fatorial Pr Vestibular, 2003

(Apostila)

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