Raciocínio

Lógico

SentençasAbertasSentençasmatemáticasabertasousimplesmentesentençasabertassãoexpressõesquenãopodemosidentificarcomoverdadeirasoufalsas.Exemplos:Ø x+4=12.Essaexpressãopodeserverdadeiraoufalsa,dependendodovalordaincógnitax.Ø Eleestaestudando.Nessaoutra,precisaríamossaberdequemestásefalandoparapoderatribuirvalorlógicoàsentença.

RaciocínioLógico

SentençasFechadasouProposiçõesSentençasmatemáticasfechadasouproposiçõessãoexpressõesquepodemosidentificarcomoverdadeirasoufalsas.Exemplos:Ø 5+4=12.Essaexpressãoéfalsa,logoumaproposiçãoØ Dudanestáestudandoparaprepararsuasaulas.Essaoutratambémpoissabemosseruma“eterna”verdade.

RaciocínioLógico

ProposiçõesCompostasProposiçãocompostaéauniãodeproposiçõessimplespormeiodeumconectorlógico.Esseconectoriráserdecisivoparaovalorlógicodaexpressão.Proposiçõespodemserligadasentresipormeiodeconectivoslógicos.Conectoresquecriamnovassentençasmudandoounãoseuvalorlógico(VerdadeiroouFalso).

RaciocínioLógico

Proposições Compostas •  Umaproposiçãosimplespossuiapenasdoisvaloreslógicos,verdadeirooufalso.•  Jáproposiçõescompostasterãomaisdoqueduaspossibilidadesdistintasdecombinaçõesdosseusvaloreslógicos.

•  Portanto,deacordocomonúmerodeproposiçõessimplesquecompõemumaproposiçãocomposta,montamosatabelaverdadecomumnúmerodelinhasquepodesercalculadoelevandooalgarismo2aonumerodeproposiçoessimplesqueusaremos.

•  Exemplo:Umaproposiçãocompostaconstruídacomduassimplesterá4linhasnasuatabelaverdade.Issoporque2²=4;

•  Casotenhamos3proposiçõessimplescompondoacomposta,teremos2³=8linhasnatabelaverdadeeassimpordiante.

RaciocínioLógico

Conectivos:“e”/“^”TabelaVerdade:VV=VExemplo:DudanviajaeensinaMatemática.

Conjunção

Dudanviajap DudanensinaMatemáticaq DudanviajaeensinaMatemática.p^q

V V V

V F F

F V F

F F F

SeusarmosTeoriadosConjuntos,bastalembrarque“p^q”éaintersecção,logoaregiãoquepertenceaambos,portantoéondeambosseconfirmamVerdadeiros.

RaciocínioLógico

Mais Exemplos: • AdoroMatemáticaepassareinesseconcurso.

• Vousernomeadoeagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“ou”/“v”TabelaVerdade:FF=FExemplo:DudanviajaouensinaMatemática.

DisjunçãoInclusiva

Dudanviajap DudanensinaMatemáticaq DudanviajaouensinaMatemática.pvq

V V V

V F V

F V V

F F F

SeusarmosTeoriadosConjuntos,bastalembrarque“pvq”éaunião,logotodaaregiãoqueélimitadapelosconjuntos,portantoéondealgumdelesseconfirmaVerdadeiro.

RaciocínioLógico

Mais Exemplos: • AdoroMatemáticaoupassareinesseconcurso.

• Vousernomeadoouagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“Se...então”/“à”TabelaVerdade:VF=F“VeraFischerFalsa”Exemplo:SeDudanviajaentãoensinaMatemática.

Condicional

Dudanviajap DudanensinaMatemáticaq OuDudanviajaouensinaMatemática.pàq

V V V

V F F

F V V

F F V

NaCondicionaltemosumaideiade“causaeefeito”.Assimaproposiçãoinicialéacondiçãonecessáriaeaoutra,acondiçãosuficiente.

RaciocínioLógico

Mais Exemplos: •  SeadoroMatemáticaentãopassareinesseconcurso.

•  Sevousernomeadoentãoagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“Ou...ou...”/“v”TabelaVerdade:VV=FeFF=FExemplo:OuDudanviajaouensinaMatemática.

DisjunçãoExclusiva

Dudanviajap DudanensinaMatemáticaq OuDudanviajaouensinaMatemática.pvq

V V F

V F V

F V V

F F F

SeusarmosTeoriadosConjuntos,bastalembrarque“pvq”aregiãodeexclusividadedosconjuntos,portantoéondesomenteumdelesseconfirmaVerdadeiro.

RaciocínioLógico

Mais Exemplos: • OuadoroMatemáticaoupassareinesseconcurso.

• Ouvousernomeadoouagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“Seesomentese...”/“ßà”TabelaVerdade:FF=VeVV=VExemplo:DudanviajaseesomenteseensinaMatemática.

Bicondicional

Dudanviajap DudanensinaMatemáticaq OuDudanviajaouensinaMatemática.pßàq

V V V

V F F

F V F

F F V

Podemosentenderabicondicionalcomoumacondicionaldeidaeoutradevolta.

RaciocínioLógico

Mais Exemplos: • AdoroMatemáticaseesomentesepassareinesseconcurso.

• Vousernomeadoseesomenteseagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

NegaçãoSimplesParanegarumasentençaacrescentamosonãoouoretiramos,semmudaraestruturadafrase,masmudandoseuvalorlógico.Exemplo: DudanadoraMatemática.Negação:DudannãoadoraMatemática.Exemplo: Amanhanãovaichover.Negação:Amanhavaichover.

RaciocínioLógico

NegaçãodeProposiçõesCompostasNegarumaproposiçãocompostanãoétãosimplescomonegarumaproposiçãosimplesmasaideiademudarseuvalorlógicopermanece.Sendoassimumaproposiçãocompostaseránegadadeacordocomoconectivo.Asregrassãoespecíficasedevemserdecoradas.

RaciocínioLógico

Conectivos:“e”/“^”TabelaVerdade:VV=VNegação:negaambasasproposiçõesetroca“e”por“ou”. ~(p^q)=~pV~qExemplo:DudanviajaeensinaMatemática.Negação:DudannãoviajaounãoensinaMatemática.

Conjunção

p q p^q ~p ~q ~pv~q

V V V F F F

V F F F V V

F V F V F V

F F F V V V

Observequedefato,ovalorlógicodaproposiçãocompostamudouemtodasaslinhasdatabelaverdade.

RaciocínioLógico

Mais Exemplos: • AdoroMatemáticaepassareinesseconcurso.

Negando,temos:• NãoadoroMatemáticaounãopassareinesseconcurso.

• Vousernomeadoeagradecereiaosprofessores.Negando,temos:• Nãovousernomeadoounãoagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“ou”/“V”TabelaVerdade:FF=FNegação:negaambasasproposiçõesetroca“ou”por“e”. ~(pVq)=~p^~qExemplo:DudanviajaouensinaMatemática.Negação:DudannãoviajaenãoensinaMatemática.

DisjunçãoInclusiva

p q pvq ~p ~q ~p^~q

V V V F F F

V F V F V F

F V V V F F

F F F V V V

Observequedefato,ovalorlógicodaproposiçãocompostamudouemtodasaslinhasdatabelaverdade.

RaciocínioLógico

Mais Exemplos: • AdoroMatemáticaoupassareinesseconcurso.Negando,temos:• NãoadoroMatemáticaenãopassareinesseconcurso.

• Vousernomeadoouagradecereiaosprofessores.Negando,temos:• Nãovousernomeadoenãoagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“Se...então”/“à”TabelaVerdade:VF=FNegação:Confirmaacausa“e”negaaconsequencia~(pàq)=p^~qExemplo:SeDudanviaja,entãoensinaMatemática.Negação:DudanviajaenãoensinaMatemática.

Condicional

p q pàq p ~q ~p^~q

V V V V F F

V F F V V V

F V V F F F

F F V F V F

Observequedefato,ovalorlógicodaproposiçãocompostamudouemtodasaslinhasdatabelaverdade.

RaciocínioLógico

Mais Exemplos: •  SeadoroMatemáticaentãopassareinesseconcurso.Negando,temos:• AdoroMatemáticaenãopassareinesseconcurso.

•  Sevousernomeadoentãoagradecereiaosprofessores.Negando,temos:• Vousernomeadoenãoagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“Ou...ou...”/“V”TabelaVerdade:FF=FeVV=FNegação:~(pVq)=p↔qExemplo:OuDudanviajaouensinaMatemática.Negação:DudanviajaseesomenteseensinaMatemática.

DisjunçãoExclusivaRaciocínioLógico

Mais Exemplos: • OuadoroMatemáticaoupassareinesseconcurso.Negando,temos:• AdoroMatemáticaseesomentesepassareinesseconcurso.

• Ouvousernomeadoouagradecereiaosprofessores.Negando,temos:• Vousernomeadoseesomenteseagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“Seesomentese”/“↔”TabelaVerdade:FF=VeVV=VNegação:~(p↔q)=(qvp)Exemplo:DudanviajaseesomenteseensinaMatemática.Negação:OuDudanviajaouensinaMatemática.

BicondicionalRaciocínioLógico

Mais Exemplos: AdoroMatemáticaseesomentesepassareinesseconcurso.Negando,temos:• OuadoroMatemáticaoupassareinesseconcurso.

Vousernomeadoseesomenteseagradecereiaosprofessores.Negando,temos:• Ouvousernomeadoouagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

EquivalênciadeProposiçõesCompostas

RaciocínioLógico

DuasproposiçõessãoconsideradasEQUIVALENTESentresi,quandoelastransmitemamesmaideia.Deformaprática,dizemosqueduasproposiçõessãoequivalentesentresiquandoelasSEMPREpossuemomesmovalorlógico–ouseja,quandoumaéverdadeira,aoutratambémé,equandoumaéfalsa,aoutratambémé.Resumidamente,duasproposiçõessãoequivalentesquandopossuemamesmatabela-verdade.Vamosaprenderosprincipaismecanismosdeequivalêncialógica?

Conectivos:“e”/“^”TabelaVerdade:VV=VEquivalência:(p^q)=(q^p)Comutatividade.Exemplo:DudanviajaeensinaMatemática.Equivalência:DudanensinaMatemáticaeviaja.

ConjunçãoRaciocínioLógico

Mais Exemplos: • AdoroMatemáticaepassareinesseconcurso.

• Vousernomeadoeagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“ou”/“V”TabelaVerdade:FF=FEquivalência1:(pVq)=(qVp)Comutatividade.Equivalência2:(pVq)=(~pàq)Exemplo:DudanviajaouensinaMatemática.Equivalência1:DudanensinaMatemáticaouviaja.Equivalência2:SeDudannãoviaja,entãoeleensinaMatemática.

DisjunçãoInclusivaRaciocínioLógico

Mais Exemplos: • AdoroMatemáticaoupassareinesseconcurso.

• Vousernomeadoouagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“Se...então”/“à”TabelaVerdade:VF=FEquivalência1:(pàq)=(~pVq)Duasnegaçõesemsequencia.Equivalência2:(pàq)=(~qà~p)ContrapositivaExemplo:SeDudanviaja,entãoensinaMatemática.Equivalência1:DudannãoviajaouensinaMatemática.Equivalência2:SeDudannãoensinaMatemática,entãonãoviaja.

CondicionalRaciocínioLógico

Mais Exemplos: •  SeadoroMatemáticaentãopassareinesseconcurso.

RaciocínioLógico

Mais Exemplos: •  Sevousernomeadoentãoagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“Ou...ou...”/“V”TabelaVerdade:FF=FeVV=FEquivalência:(pVq)=(qVp)Comutatividade.

DisjunçãoExclusivaRaciocínioLógico

Mais Exemplos: • OuadoroMatemáticaoupassareinesseconcurso.

• Ouvousernomeadoouagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

Conectivos:“Seesomentese”/“↔”TabelaVerdade:FF=VeVV=VEquivalência:(p↔q)=(q↔p)Comutatividade.

BicondicionalRaciocínioLógico

Mais Exemplos: • AdoroMatemáticaseesomentesepassareinesseconcurso.

• Vousernomeadoseesomenteseagradecereiaosprofessores.

RaciocínioLógico

DIAGRAMAS LÓGICOS

ü  TodoSinônimos:“qualquerum”ououtrasimilar.Representação:Conclusão:TodoAéB.AlgunselementosdeBsãoAouexistemBquesãoA.Negação:TrocarTODOporALGUMNÃOExemplo:TodoalunogostadeMatematica.Negação:AlgumalunonãogostadeMatemática

Diagramaslógicos

ü  AlgumSinônimos:existe(m),hápelomenosumouqualqueroutrasimilar.Representação:Conclusão:ExistemelementosemAquesãoB.ExistemelementosemBquesãoA.ExistemelementosAquenãosãoB.ExistemelementosBquenãoestãoemA.Negação:trocarALGUMporTODONÃOouporNENHUM.Exemplo:AlgumalunogostadeMatematica.Negação1:TodoalunonãogostadeMatemática.Negação2:NenhumalunogostadeMatemática.

Diagramaslógicos

ü  NenhumRepresentação:Conclusão:NenhumAéB.NenhumBéA.Negação:trocarNENHUMporALGUMExemplo:NenhumalunogostadeMatematica.Negação:AlgumalunogostadeMatemática.

Diagramaslógicos

ü  ExemplosTodamulheréfriorenta.Negação:Algumamulhernãoéfriorenta.Algumalunodacasaseráaprovado.Negação:NenhumalunodaCasavaiseraprovado.Nenhumgremistaécampeão.Negação:Pelomenosumgremistaécampeão.Todososestudantesnãotrabalham.Negação:Algumestudantetrabalha.

Diagramaslógicos

ü  Resumindo

Diagramaslógicos