RACIONALNI BROJEVI-Periodini razlomci kroz primere-(Za dodatnu nastavu za VI razred osnovne kole)Saetak(rezime): Kao to znamo, brojevi oblika p/q, gde je gde je peZ (ceo broj) peN (prirodan broj), zovu se Racionalni brojevi.Racionalni broj se moe predstaviti u obliku decimalnog zapisa-decimalnom razlomku(konanog ili beskonano periodinog oblika ).To se dobija veoma jednostavno deljenjem broja p brojem q, a deljenjem se dobijaju jedan i samo jedan od tri sluaja:a) konaan i beskonaan decimalni razlomak (razvitak),b) isto periodian decimalni razlomak(razvitak),v) meovito periodian decimalan razlomak (razvitak).Racionalni broj p/q koji ima decimalni zapis s konano mnogo cfara zove se konaan decimalni razlomak.isto periodian decimalni razlomak pretvara se u obian razlomak, tako to se broj koji se sastoji od cifara perioda uzme za brojilac a imenilac ima onoliko devetki koliki je period tog broja.Meovito periodian decimalni razlomak pretvara se u obian razlomak tako to se za brojilac uzme razlika b broja koji se sastoji od cifara pretperioda i perioda i broja koji se sastoji od cifara pretpreioda a imenilac ima onoliko devetki koliko cifara ima period i onoliko nula koliko cifara ima period .

UvodZnai, svaki racionalni broj oblika p/q moe se izraziti u tkzv. Decimalnom (dekadnom, desetinom) zapisu.Tako je, na primer:1/2=0,5000...; 1/3 =0.333...; Da bismo pojednostavili izlaganje govoriemo, po pravilu o pozitivnim racionalnim brojevima manjim od jedinice i njihovom zapisivanju.Decimalni zapis racionalnog broja ima sledeu vanu osobinu: poev od neke decimale nadalje jedna cifra ili grupa cifara se ponavlja.Na primer, broj 0,1010010001..., u kojem se broj nula izmeu dveju uzastopnih jedinica poveava za jednu nulu, ili broj 1,414212...=2.Racionalni broj p/q koji ima decimalni zapis s konano mnogo cfara zove se konaan decimalni razlomak.Ako decimalni zapis racionalnog broja ima beskonaao mnogo cifara, onda se takav racionalan broj zove beskonani decimalni razlomak ili periodini razlomak.Cifre koje se ponavljaju, iji pini period tih cifara duinu perioda. Tako broj1/3=0.3333....=0,(3)-ima period 3 a duinu 1 (neki stavljaju crtu iznad cifre ili grupu cuifara koja se ponavlja) i zove se isto periodian decimalni razlomak.Broj 2,408080...=2,4(80), ima period 08, a duinu perioda 2 i zove se meovito periodian decimalni razlomak.Cifra 4 u ovom broju se ne ponavlja i ini pretperiod.

Z a d a c i

Kod uenika se postavljaju sledea dva zadatka:

1.) dati racionalni broj p/q napisati u decimalnom zapisu?2.) Nai racionalni broj oblika koji ima dati decimalni zapis.

Uenici prvi zadatak reavaju veoma jednostavno deljenjem broja p brojem q, a deljenjem dobijaju jedan i samo jedan od tri sluaja:

a) konaan decimalni razlomak,b) isto periodian decimalni razlomak,c) meovito periodian decimalan razlomak.

Ovde treba istai da svaki racionalan broj p/q ima konaan ili beskonaan decimalni zapis.Drugi zadatak za uenike je neto sloeniji i mi emo ga ovome pokazati preko primera, s isticanjem vanijih teorema bez dokaza (ostavljajui njihovo dokazivanje na asovima dodatne nastave).

P r i m e r 1.Nai racionalan a=p/q koji ima decimalni zapis a=0,21059.Reenje:

Ako broj a predstavimo u tkzv. Polinomijalnom obliku2 3 4 5a=2.10 +1.1/10 +0.1/10 + 5.1/10 +9.1/10 ,dobiemo svoenjem na zajedniki imenliac:4 3 2 5 5a= 2.10 +1/10 + 0.10 +5.10 + 9/10=21059/100000 +21059/(2.5) .

Teorema:Racionalni broj p/q, peZ, a q razliit od nule, ima konaan decimalni zapis i samo tada kada je q proizvod dvojki i petica.

P r i m e r 2.

Nai racionalni broj oblika p/q koji ima beskonani decimalni zapis a= 0,1515...=0.(15).Kako je2 4 6a=0,1515....=15/10 + 15/10 + 15/ 10.....2mnoenjem brojem 10 dobijamo2 2 4 610.a= 15+15/10 +15/10 +15/10 +,... =15+a.2Dakle, 10.a=15+a,2a=p/(10 -1), tojest. a=15/99 =5/33.Uopte, u sluaju isto periodinog decimalnog razlomaka a=0,(d1, d2.....dk)Imamo: ka = d1, d2.....dk/ (10 -1) = d1, d2.....dk /(99.......9)-u imeniocu k devetki ).Iz ovoga imamo pravilo: isto periodian decimalni razlomak pretvara se u obian razlomak, tako to se broj koji se sastoji od cifara perioda uzme za brojilac a imenilac ima onoliko devetki koliki je period tog broja.

P r i m e r 3.Nai racionalan broj oblika p/q koji ima beskonani decimalni zapis a=0,(234).Reenje:Primenom datog pravila jednostavno nalazimo a0234/999=26/111.

P r i m r r 4.Nai racionalan broj oblika p/q koji ima neskonani decimalni zapis a00,3(72).Reenje:

Kako jeA=0,3+0,0(72)=0,3+1/10. 0(72),Primenjujui pravilo na broj 0,72 dobijamo:A=3/10 +1/10 . 72/99 =3.99 +72/990 =3.(100-1)+ 72/990=372-3/990 = 369/990=41/110.Uopte u sluaju meovito periodinog decimalnog razlomkaa=0,c1 c2 ....cm (d1 d2 ...dk )imamo: m m k a=0,c1 c2 ....cm /10 + 1/ 10 . d1 d2 ...dk/10 -1.k kNa kraju imamo: a=0,c1 c2 ....cm d1 d2 ...dk - c1 c2 ....cm /10 ( 10 -1).

Na taj nain imamo sledee pravilo: meovito periodian decimalni razlomak pretvara se u obian razlomak tako to se za brojilac uzme razlika b broja koji se sastoji od cifara pretperioda i perioda ( u predhodnom primeru 372) i broja koji se sastoji od cifara pretpreioda a imenilac ima onoliko devetki koliko cifara ima period (dve devetke u naem primeru) i onoliko nula koliko cifara ima period (jedna nula).

P ri m e r 5.Nai racionalan broj oblika p/q koji ima beskonani decimalni zapis a=0,43 (128-).Primenom datog pravila dobijamo:a=43128143/99900=43085/99900= 8618/19980.